Ingineria Reglarii Automate

118
Obs: pentru vizualizarea planului general al cursului activaţi View/Document Map C1. Structura şi proiectarea unui SRA Structura unui SRA Figura 1. Structura generala a unui SRA unde: REG = regulator EE = element de executie (EE=EA+OR) IT = instalatie tehnologica Marimile din proces sunt: r – referinţa eroare a – comanda ptr. elementul de acţionare m – măsura (comanda elaborata de organul de reglare) y – mărimea de ieşire poate fi una din mărimile fizice: - nivel (exemplul 3), temperatura - presiune (exemplul 1), turaţie - debit, poziţie - concentraţie (exemplul 2) Structura unui SRA cu reacţie unitara REG EE INSTALAŢIE TEHNOLOGICA TR r + - a sau u m v Y1 R EE I T r + - y TR Parte fixata 1

Transcript of Ingineria Reglarii Automate

Page 1: Ingineria Reglarii Automate

Obs: pentru vizualizarea planului general al cursului activaţi View/Document Map

C1. Structura şi proiectarea unui SRA

Structura unui SRA

Figura 1. Structura generala a unui SRA

unde: REG = regulatorEE = element de executie (EE=EA+OR)IT = instalatie tehnologica

Marimile din proces sunt:r – referinţaeroarea – comanda ptr. elementul de acţionarem – măsura (comanda elaborata de organul de reglare)y – mărimea de ieşire poate fi una din mărimile fizice:

- nivel (exemplul 3), temperatura- presiune (exemplul 1), turaţie- debit, poziţie- concentraţie (exemplul 2)

Structura unui SRA cu reacţie unitara

REG EE INSTALAŢIETEHNOLOGICA

TR

r+

-

a

sau u

m

v

Y1

R EE IT r

+

-

yTR

Parte fixata

1

Page 2: Ingineria Reglarii Automate

unde : 1

( )1 1

ff n

i

KH s

T T s

sau în prezenta unui pol în origine şi a timpului mort:

1

( )1 1

sf

f n

i

K eH s

s T T s

unde:Kf - reprezintă coeficientul de transfer al parţii fixateTi – reprezintă constantele dominante (mari) de timpT∑ - reprezintă suma constantelor de timp parazite care sunt mult mai mici decât cele dominante.

1min

10 iT T

- reprezintă timpul mort al procesului

Valoarea constantelor Ti determina tipul procesului care poate fi lent sau rapid. Pentru iT < 10 sec

procesum este rapid iar pentru procesul este lent.

In general, funcţia de transfer a parţii fixate, care include sistemul de automatizat şi parametrii corespunzători traductorului şi elementelor care comandă sursa de energie care intervine în proces (element de execuţie) poate avea forma:

1-1 0

11 0

....( )

...

m msm m

f n nn

b s b s bH s e

s a s a

Exemplul 1: y = presiune

R Hf(s) = PFProces fizic

r+

-

y(t)

Model matematic

u(t)(t)

2

Page 3: Ingineria Reglarii Automate

SA=sursa de alimentareExemplul 2: y = concentraţie

TC = trad. de concentraţie

Exemplul 3: y = nivel

P = constant

0 ÷ 1 barr

Trad. de presiune

REG(electronic)referinţa

SA

IP

Consum variabil

manometru

ventily = presiune

(convertor electro-pneumatic)

EE

y = X % concentraţie A în B

REG

TC =trad.

A B

referinţa

% concentr.

EE

3

Page 4: Ingineria Reglarii Automate

QA = debit de alimentareQE = debit de ieşireTL = traductor de nivel

Proiectarea unui SRAProiectarea unui SRA presupune rezolvarea unor probleme legate de alegerea şi dimensionarea elementelor componente precum şi interconectarea lor aşa încât sa fie satisfăcute performanţele impuse sistemului de reglat.

Prima etapa a proiectării consta în identificarea obiectivelor propuse a fi realizate în conformitate cu tipul procesului şi condiţiile/restricţiile de funcţionare ale acestuia.A doua etapa consta în identificarea soluţiilor optimale pentru definirea legii de reglare implicit a regulatorului corespunzător. Odată determinata legea de reglare se procedează la alegerea tipului de regulator care o poate materializa.

Criterii de alegere a elementelor de execuţieIn cadrul sistemelor automate, elementele de execuţie şi traductoarele constituie elementele de cuplare a regulatorului la procesul supus automatizării.

R

y = h

IP

QA

QE

TL

R0 = h0

(convertor electro-pneumatic)

EE

Regulator

ProcesTR EE

Referinţa

y m

Perturbaţii

Sursa de energie

u

4

Page 5: Ingineria Reglarii Automate

Elementele de execuţie EE sunt generatoare de cuplu sau forte cu viteza precizata, prin exploatarea energiei exterioare comandate de semnalele de comanda trimise de regulator. Prin intermediul sau se acţionează asupra surselor energetice ale procesului tehnologic, a căror comanda este corelata cu cerinţele de variaţie a mărimii de la ieşirea procesului impuse de legea de reglare a regulatorului.

Un element de execuţie este format din partea motoare propriu-zisa (elemente de acţionare) şi organul de execuţie sau organul de reglare specific procesului tehnologic. Elementul de acţionare EA, transforma mărimea de comanda u intr-o mărime motoare de execuţie însa în conformitate cu natura fizica şi nivelul energetic al organului de reglare OR. Organul de reglare OR, acţionează direct asupra procesului tehnologic prin intermediul mărimii de execuţie m.

EE = element de execuţieEA = element de acţionareOR = organul de execuţie sau organul de reglare Clasificarea EE

► după natura energiei utilizate in:o EE pneumaticeo EE hidrauliceo EE electrice

► după modul de acţionare :o EE cu acţiune continuao EE bipoziţionaleo EE de tip pas cu pas.

Tipuri de elemente de acţionare EA: EA pneumatice:

- EA cu membrana cu simplu şi dublu efect, - EA cu piston cu simplu sau dublu efect pentru mişcări de translaţie - EA cu palete pentru mişcări unghiulare

Ele pot fi comandate de regulatoare pneumatice şi de regulatoare electronice. Daca regulatorul este electronic, cuplarea intre regulator şi elementul de execuţie se realizează prin intermediul unui convertor electro-pneumatic.

EA de acţionare hidraulica:- EA cu piston cu simplu sau dublu efect ptr. deplasări liniare- EA cu pistoane radiale ptr. deplasări unghiulare

EA de acţionare electrica:- Motoare electrice de cc- Motoare asincrone monofazate, bifazate şi trifazate- Motoare pas cu pas ptr. acţionarea discreta a organelor de reglare

EE EA OR= +

5

Page 6: Ingineria Reglarii Automate

Tipuri de organe de reglare OR:După natura energiei reglate organele de reglare pot fi:

OR mecanice OR electrice

După tipul procesului OR pot fi:OR pentru reglarea debitelorOR ptr. reglarea unor mărimi electrice sau neelectrice

Cele mai frecvente OR sunt robinetele de reglare a unor debite de fluid. Ele au ca mărime de intrare mărimea mecanica (deplasare) generata de elementul de acţionare iar ca mărime de ieşire un debit care se introduce sau evacuează din instalaţie.

Ex: OR : organ de reglare = robinetAcţionarea acestuia = pneumatica, hidraulica sau electrica EA pneumatic

Proces supus automatizării (PF)este definit în schema de reglare prin modelul matematic corespunzător. Aceasta este una din cele mai dificile etape în proiectarea unui SRA. Definirea modelului matematic corespunzător procesului de automatizat presupune:

identificarea mărimilor de intrare şi de ieşire (u(t) respectiv y(t)) determinarea perturbaţiilor care acţionează în sistem (v(t)) stabilirea observabilităţii sistemului determinarea variabilelor de stare de care depind direct mărimile de ieşire daca acestea sunt

măsurabile precizarea restricţiilor funcţionale ale procesului procesele complexe se vor descompune în subsisteme şi se vor identifica modelele

matematice corespunzătoare acestora

Modelele matematice sunt de tipul:

► intrare –stare – ieşire → ecuaţii de stare

► intrare – ieşire → funcţie de transfer

Modelul Intrare-stare-ieşire (Ecuaţii de stare)dx

Ax Budty Cx Du

unde :

PFProces fizic

y(t)

Model matematic

u(t)v(t)

6

Page 7: Ingineria Reglarii Automate

u – este vectorul intrărilor, cu nu componente x – este vectorul variabilelor de stare cu nx componente y – este vectorul ieşirilor, cu ny componente

A,B,C, şi D sunt matrice de dimensiuni : dim( ) ( )x xA n n , dim( ) ( )x uB n n ,

dim( ) ( )y xC n n , dim( ) ( )y uD n n .

Modelul intrare – ieşire (Funcţia de transfer)

( ) ( )

( )

Y sY s H s U s H s

U s

00

( ) ( ) lim ( ) ( )T

st st

TL f t F s f t e dt f t e dt

unde s este o variabila complexa definita prin s j , unde şi sunt variabile reale iar

1j .Corelat cu reprezentarea prin matricele de stare, se poate scrie:

1H s C s I A B D

.

O forma uzuala a funcţiei de transfer a unui sistem este aceea în care se pun în evidenta coeficientul de transfer în regim staţionar 0K precum şi numărul polilor în origine :

0 1

2

( )( )

( )

K P sH s

P ss

unde polinoamele 1P şi 2P au ultimul termen unu ( 1 2(0) (0) 1P P ).

Cea de-a patra forma pune în evidenta polii funcţiei de transfer respectiv zerourile polinoamelor 1P şi

2P (admitem ca aceştia sunt simpli):

1 20

1 2

....( )

.. m m

n n

s z s z s z bKH s unde K K

s p s p s p as

Modelele matematice ale elementelor tip ale unui SRA sunt:

Tipul elementului Ecuaţia diferenţiala Funcţia de transfer

Element proporţional 0( ) ( )y t K u t 0( )H s K

Element de întârziere de ordinul întâi 0 ( )

dyT y K u t

dt 0( )

1

KH s

Ts

Element oscilant de ordinul lI

22 2

022 ( )n n n

d y dyy K u t

dtdt

20

2 2( )

2n

n n

KH s

s s

Element de întârziere de ordinul II

2

1 2 1 2 02( )

d y dyT T T T y K u t

dtdt

0

1 2

( )1 1

KH s

T s T s

7

Page 8: Ingineria Reglarii Automate

Element cu timp mort ( ) ( )y t u t ( ) sH s K e Element cu timp mort şi întârziere de ordinul

I 0

dyT y K u t

dt 0

1

sK eH s

Ts

Element cu timp mort şi întârziere de ordinul

II 2

1 2 1 2 02

d y dyT T T T y K u t

dtdt

0

1 2

( )1 1

sK eH s

T s T s

Element de anticipaţie de ordinul I

( ) ( )du

y t T u tdt

( ) 1H s Ts

Element de anticipaţie de ordinul II

22

2( ) 2 n n

d u duy t u

dtdt 2 2( ) 2 n nH s s s

Regulator proporţional-intergral-

derivativ

1( ) R d

i

du t K dt T

T dt

1

( ) 1R di

H s K T sT s

Element integrator cu întârziere de ordinul I

2

02

d y dyT K u

dtdt

0( )1

KH s

s Ts

Circuit de corecţie de anticipaţie 1 0 2

dy duT y K T u

dt dt

20 2 1

1

1( ) ;

1

T sH s K T T

T s

Circuit de corecţie de întârziere 1 2

dy duT y T u

dt dt 2

0 2 11

1( ) ;

1

T sH s K T T

T s

8

Page 9: Ingineria Reglarii Automate

C2. Criteriile de performanta impuse unui SRATipuri de SRA

( ) ( )d R FH H s H s

0

( )

1 ( )d

d

H sH

H s

0

( ) ( )( )

1 ( ) ( )R F

R F

H s H sH s

H s H s

funcţia de transfer a sistemului cu reacţie unitara

in raport cu referinţa r .................................................................................................................................................................

0 1

( )( )

1 ( ) ( )F

vR F

H sH s

H s H s

funcţia de transfer în raport cu perturbaţia v1

................................................................................................................................................................

0 2

1( )

1 ( ) ( )vR F

H sH s H s

funcţia de transfer în raport cu perturbaţia v2

................................................................................................................................................................

HR(s) HF(s) r

+

-

u

y

+

v1 v2

+

∑ ∑

HR(s)

HF(s) v1

+

-

y

HR(s) HF(s)

v2+

-

y

9

Page 10: Ingineria Reglarii Automate

0 0 1 0 2( ) ( ) ( ) ( ) 1( ) ( ) 2( )v vY s H s r s H s v s H s v s evoluţia ieşirii când asupra

sistemului acţionează atât referinţa cat şi semnale perturbatoare

Referinta poate fi :- constanta (SRA de stabilizare)- variabila (SRA de urmarire)

In functie de acesta referinta un sistem SRA poate fi :

SRA de stabilizare presupune proiectarea unui SRA care elimina perturbaţiile în condiţiile menţinerii constante a semnalului de referinţa .

SRA de urmărire a referinţei presupune modificarea frecventa a referinţei cu neglijarea perturbaţiilor.

In general se urmăreşte proiectarea unui SRA care sa aibă performanţe bune în raport cu referinţa şi eliminarea efectelor perturbaţiilor (rejecţia perturbaţiilor).

In functie de tipul de acţiune a regulatorului:

Performanţele generale unui sistem sunt definite pentru regimul tranzitoriu şi cel staţionar:Performanţele reg. tranzitoriuPerformanţele reg. Staţionar

Criteriile generale de performanta ale unui sistem sunt determinate prinanaliza raspunsului in timp:

► răspuns tranzitoriu:suprareglaj timp tranzitoriu tt (durata regimului tranzitoriu)factor de amortizare timp de creştere tc

timp de întârziere ti

si prin analiza raspunsului in frecventa:► performanţele în domeniul frecventelor :

stabilitatea sistemului

SRASRA

de stabilizare(referinţa nu se modifica)

de stabilizare(referinţa nu se modifica)

de urmărire a referinţei(cu modificarea frecventa a referinţei)

de urmărire a referinţei(cu modificarea frecventa a referinţei)

SRA

continue discrete

10

Page 11: Ingineria Reglarii Automate

precizia în regim staţionar sau eroarea staţionara st

banda de frecventa

marginea de faza M

marginea de amplitudine (câştig) Mc

pulsaţia de rezonanta R

valoarea de vârf a modulului Mv

Criteriile de performanta se pot defini singular sau ca pachet de cerinţe deci ca şi criterii integrale. Criteriile integrale acoperă mai bine performanţele impuse unui sistem la variaţii mari ale intrării dar şi la variaţii ale perturbaţiilor. Criterii de performanta integrale uzuale utilizate în proiectarea unui SRA pot avea diferite expresii în funcţie de performanţele ce se impun unui SRA. Criteriile de performanta integrale se exprima prin indicii de performanta (IP) al sistemului.

Ex: răspunsul aperiodic la intrare treapta unitara este mult îmbunătăţit cu cat aria haşurata este mai mica:

0

0

min. refIP y y dt dt

Ex: răspunsul oscilant este îmbunătăţit daca:

0

min. IP dt

sau 0

min.2 IP dt

Obs: criteriile integrale se aplica cu succes numai în cazul sistemelor cu eroare staţionară nulă şi nu oferă informaţii despre regimul staţionar (altfel valoarea integralelor ar fi infinita).

Răspunsul în timp al sistemelor SISO cu parametrii invarianţi în timp

Răspunsul indicial al unui sistem de ordinul I (răspunsul ieşirii la treapta)

y

t

yref+

y

y

yref

t

-- -

+ + +

11

Page 12: Ingineria Reglarii Automate

unde : T – constanta de timp sau întârziere

K – factor de amplificare

S – variabila complexa s j

( ) ( ) ( )Y s H s U s

( )

1

KY s

s Ts

; 1 1 1

( )1 1

K Ty t L L K

s Ts s Ts

;

1 1 atL es a

; ( ) 1

t

Ty t K e

Răspunsul unui sistem de ordinul I la intrare treapta unitara (răspuns indicial)

Răspunsul indicial al unui sistem de ordinul I cu reacţie unitara

1

K

Ts

U(s) Y(s)1

s

T

1

K

y(t)

( )sty t y K u(t)=r(t)=1 st

t

( )1

KH s

Ts

1

K

Ts Y(s)1

s

U(s)

12

Page 13: Ingineria Reglarii Automate

Răspunsul indicial al unui sistem de ordinul I cu reacţie unitara

Performanţele sistemului sunt indicate de valoarea duratei regimului tranzitoriu T. Acesta

valoare este mai mica daca sistemul este cu reacţie unitara negativa deci sistemul îşi

îmbunătăţeşte răspunsul prin închiderea buclei de reacţie.

Răspunsul indicial al unui sistem de ordinul II (răspunsul la treapta unitara)

Răspunsul indicial al unui sistem oscilant de ordinul II pentru diferite valori ale lui

T2

1

K

y(t)

( )sty t y K u(t)=r(t)=1 st

t

( )1

KH s

Ts

T1

Rasp. sist. cu reacţie

Rasp. sist. fără reacţie

h(t)

t

0

1

1 1

13

U(s) Y(s)1

s2

2 2( )

2n

n n

H ss s

Page 14: Ingineria Reglarii Automate

21,2 1n np j

Obs: pentru >1 , rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt reale şi diferite, componenta tranzitorie fiind

alcătuita din doua exponenţiale. Răspunsul în acest caz este supra-amortizat.

Reprezentarea polilor sistemului de ordinului II, sunt o buna exemplificare pentru verificarea criteriului

general de stabilitate a sistemelor (prezenta polilor în semiplanul stâng al planului complex indica un

sistem stabil).

Performanţele unui SA în regim tranzitoriu

Suprareglajul sau abaterea dinamica maxima este diferenţa intre valoarea maxima a ieşirii şi

valoarea de regim staţionar: max sty y . Se poate defini procentual ca reprezentând

max 100 %st

st

y y

y

.

0<<1răspuns sub-amortizat

=1răspuns critic amortizat

>1răspuns

supra- amortizat

=0 răspuns neamortizat

< 0răspuns instabil

Reprezentarea rădăcinilor ecuaţiei caracteristice în planul complex pentru diverse valori ale lui

yr

11,05

0,95

0,5

0,05tc

ti tt

st

14

Page 15: Ingineria Reglarii Automate

Pentru sisteme de ordinul II : 21II e

= f

Daca se impune imp imp

Durata procesului tranzitoriu tt este sensibil influenţata de pulsaţia naturala n . Se considera

ca regimul tranzitoriu este încheiat odată cu atingerea şi stabilizarea valorii de răspuns a sistemului

în banda 0,05 sty . Se obţine în acest caz o valoare a tt de : 2ln 0,05 1

tn

t

. Se

utilizează aproximarea: 4

tn

t

, t nt f

Timpul de creştere ct reprezintă intervalul de timp în care mărimea de ieşire evoluează în

domeniul 0,05 ,0,95st sty y .

Timpul de întârziere este definit ca fiind timpul necesar ca mărimea de ieşire sa crească de la

zero la 0,5 sty

Răspunsul în frecventa al sistemelor LTIReprezentarea în frecventa a unui sistem se obţine prin aplicarea la intrare a unui semnal sinusoidal de

frecventa 2

f

, sinr A t . în cazul sistemelor liniare cu parametrii invariabili în timp

(sisteme LTI) aceasta determina apariţia unui semnal de sinusoidal cu amplitudine şi faza diferite fata

de semnalul de intrare :

1

1

0

imp

imp

15

Page 16: Ingineria Reglarii Automate

Deoarece raportul dintre cele doua amplitudini ale semnalului de intrare şi al celui de ieşire este chiar

modul funcţiei de transfer a sistemului pentru s=j, rezultă ca matematic pentru a aprecia răspunsul în

frecventa al unui sistem definit prin funcţia de transfer H(s), se înlocuieşte s=j în expresia funcţiei de

transfer si pentru diverse valori ale pulsaţiei se determină modulul şi argumentul funcţiei.

Aprecierea răspunsului în frecventa a sistemului automat H(s) este descris prin caracteristicile de

frecventa:

caracteristica amplitudine-faza sau locul de transfer(hodograful funcţiei) :

reprezentarea numărului complex H(s) în planul complex ( Re ( ) , Im ( )H s H s , prin

modulul ( )H s şi ( )H s . Aceasta caracteristica se trasează pentru sistemul deschis, fiind

utila şi în aprecierea stabilităţii sistemului închis cu reacţie unitara negativa (criteriul Nyquist)

caracteristici logaritmice: caracteristica amplitudine-pulsaţie şi fază-pulsaţie

cunoscute sub numele de caracteristici Bodé.

Prin caracteristicile de frecventa pot fi definite câteva din performanţele unui sistem cu reglare

automată : stabilitatea relativa a sistemului, banda de frecventa, frecventa de rezonanta.

Precizam ca pentru trasarea locului de transfer, daca funcţia de transfer a sistemului deschis este de

forma 10

2

( )( )

( )m

dn

P sKH s

P ss , se pot determina asimptotele locului de transfer în punctele

corespunzatoare frecventelor inalte şi joase (Figura 2). Cunoaşterea acestor asimptote permite trasarea hodografului funcţiei de transfer a sistemului deschis si aprecierea stabilităţii sistemului închis conform criteriului de stabilitate Nyquist. Pe de alta parte, se poate explica uşor cum este influenţata stabilitatea sistemului închis prin alocarea unui pol sau a unui zero în sistemul deschis. Un sistem deschis de ordinul II, la frecvente inalte are asimptota corespunzatoare lui θprin adăugarea unui pol, se ajunge la un sistem de ordinul III care are asimptota θla frecvente inalte. Aceasta intersectează axa reala negativa şi risca sa ocolească punctul (-1, j0) prin stânga acestuia. în mod similar, adăugarea unui zero în sistemul deschis, scade θ ceea ce scade şi riscul de instabilitate a sistemului închis. Obs: reprezintă excesul de poli fata de zerouri în funcţia .

reprezintă numărul de poli în origine ai

intrare ieşire

sinA t sinA j t H

H(s) sinA t sinA j t H

16

Page 17: Ingineria Reglarii Automate

10

2

( )( ) ;

( )

-

md

n

P sKH s

P ss

n m

Figura 2. Asimptotele locului de transfer pentru

a) frecvente joase, b) frecvente inalte

K

0

Im

Re

θ

θ

θ

θ

Im

Re

a) b)

17

Page 18: Ingineria Reglarii Automate

Performanţele unui SA în regim staţionar

Stabilitatea sistemului deschis : Conform criteriului de stabilitate al unui sistem, condiţia

necesara şi suficienta ca un sistem sa fie stabil este ca polii funcţiei de transfer H(s) (rădăcinile

ecuaţiei caracteristice) sa fie situaţi în semiplanul stâng al planului complex.

Stabilitatea sistemului închis se defineşte prin interpretarea locului de transfer al sist. deschis,

din punctul de vedere al criteriului de stabilitate Nyquist sau al caracteristicilor de frecventa în

reprezentare logaritmica. Criteriu Nyquist permite interpretarea stabilităţii sistemului în stare

închisă daca se cunoaşte locul de transfer (sau hodograful funcţiei) al sistemului în stare deschisa.

Criteriul Nyquist generalizat : daca sistemul deschis este instabil (deci funcţia ( )dH s are p poli în

semiplanul drept al planului complex (, j)), condiţia necesara şi suficienta ca un sistem LTI

continuu sa fie stabil în stare închisa, este ca punctul (-1, j0) sa fie înconjurat în sens trigonometric de

caracteristica amplitudine-faza a sistemului deschis (trasata pentru variind de la - la +), de un

număr de ori egal cu numărul polilor situaţi în semiplanul drept al funcţiei de transfer a sistemului

închis.

Criteriul simplificat este o particularizare a celui general şi porneşte de la ipoteza sistemului LTI stabil

în stare deschisa (deci numărul polilor din semiplanul drept al planului complex (, j) este 0).

Criteriul Nyquist simplificat : daca sistemul deschis este stabil (deci ecuaţia caracteristica are toţi polii

în semiplanul stâng al planului complex), condiţia necesara şi suficienta ca sistemul închis sa fie stabil

este ca locul de transfer sau caracteristica amplitudine-faza, pentru valori crescătoare ale pulsaţiei (=0….+) sa lase în stânga punctul critic de coordonate (-1, j0) sau acest punct sa nu se găsească în

interiorul caracteristicii trasata cu ambele ramuri când variază de la - la +.

H(s)U(s) Y(s)

Hd(s)(s) Y(s)r(s)

18

Page 19: Ingineria Reglarii Automate

1 – sistem stabil

2 – sistem la limita de stabilitate

3 – sistem instabil

Din reprezentarea grafica rezultă ca din doua sisteme stabile în stare deschisa, numai sistemul 1 este

stabil în stare închisă deoarece lasă în stânga punctul (-1, j0). Punctele importante de apreciere a

gradului de stabilitate sunt cele în care sistemul are amplitudinea (modulul funcţiei de transfer) 1 şi

cel în care faza este 180°. Pentru aceste puncte se cunosc pulsaţiile respective: c şi (hodograful

se trasează prin aplicarea la intrarea unui sistem deschis a unui semnal sinusoidal de frecventa

(pulsaţie) variind de la 0 la +) şi amplitudinile de răspuns care reprezintă matematic modulul funcţiei

de transfer în punctele respective. Se definesc următoarele noţiuni:

cd π

1M =

H (jω ) Margine de câştig sau de amplitudine

d cM =180+arg H (j ) Margine de faza

unde: este pulsaţia pentru care faza sistemului este 0180

c este pulsaţia la care modulul vectorului H s G s este 1.

Pentru un sistem stabil Mc > 1 şi M >0.

Cu cat Mc şi M sunt mai mari cu atât gradul de stabilitate al sistemului automat este mai mare. Cu

alte cuvinte, cu cat locul de transfer este mai aproape de origine, lăsând mult în stânga punctul (-1, j0),

cu atât sistemul este mai stabil.

Im(HG(s)

(|HG(c)|=1)

c

(-1, j0)

13

2

|HG(π)|=π

= +

= +0

Re(HG(s))

19

Page 20: Ingineria Reglarii Automate

Caracteristicile amplitudine-pulsaţie şi faza-pulsaţie

Diagrame Bodé

In cele doua caracteristici poziţia relativa a lui c şi determina stabilitatea sistemului:1. c < sistem stabil2. c > sistem instabil3. c = sistem la limita de stabilitate

Eroarea staţionara st , în cazul sistemelor deschise, se calculează ca diferenţa intre valoarea

de referinţa *y r şi valoarea staţionara yst a mărimii de ieşire:

* 1 0st st sty y y daca 0 1K deoarece lim ( ) 1stt

y y t

.

Eroarea staţionara st , în cazul sistemelor închise

Consideram forma generala a funcţiei de transfer a caii directe:

( )( )

( )d q

K P sH s

s Q s

unde:

q = reprezintă numărul de poli în origine,

K = coeficientul de transfer în regim staţionar

|H(s)|=A()|dB = 20 log10|H(s)|

log scara logaritmicac

-1800

log scara logaritmica

r yH(s)

( )( )

( )d q

K P sH s

s Q s

r +

-

y

20

Page 21: Ingineria Reglarii Automate

P(s) şi Q(s) sunt polinoame cu ultimul termen 1: P(0)=Q(0)=1.

Pentru sistemul închis cu reacţie unitara, se poate defini eroarea staţionara ca fiind :

0 0

( ) ( )lim lim limstt s s

t s s s R s Y s

st Intrare

qTreapta (1/s) Rampa (1/s2)

Parabolica (1/s3)

st = eroare de poziţie st = eroare de vitezast = eroare de

acceleraţie

01

1 k

1 01

k

2 0 01

k

Din analiza tabelului prezentat rezultă ca pentru un sistem la care se doreşte atingerea unei erori staţionare zero, prin adăugarea unui element de reglare de tip integrator se introduce un pol în origine ceea ce conduce la eroare staţionară zero. Utilizarea regulatorului cu acţiune proporţionala este impusa de necesitatea obţinerii unei anumite valori a răspunsului în regim staţionar însa cu precizarea ca acţiunea sa conduce la creşterea duratei regimului tranzitoriu. Se impune deci utilizarea în plus a unui element de reglare de anticipaţie – derivativ. Utilizarea sa singulara poate conduce fie la anularea polului existent în funcţia de transfer fie la scăderea cu un grad a numărului de poli în origine ceea ce uneori poate conduce la instabilitatea sistemului (pentru q=1, la intrarea treapta unitara adăugarea unui regulator derivativ duce la apariţia erorii staţionare iar pentru rampa unitara la eroare staţionară ). De aceea acţiunea de corecţie derivativa este combinata cel puţin cu cea proporţionala. Prezenta elementului derivativ conduce şi la creşterea suprareglajului.

Din punctul de vedere al proiectării unui SRA, interesează eroarea staţionară :

In raport cu referinţa

In raport cu perturbaţia.

Calculul erorii staţionare în raport cu referinţa

0 0

lim lim lim ( ) ( ) stt s s

t s s s R s Y s

00

( ) ( ) ( )lim s

s R s H s R s

00

1 ( )limst s

s R s H s

0

1

1limst s d

s R sH s

21

Page 22: Ingineria Reglarii Automate

referinţa = treapta unitara: 1

( )R ss

0 00 0

1lim 1 ( ) lim 1 ( )st s s

s H s H ss

2

0 02 20

2 =1 n

n n

H s Hs

acas

d

0stII =

referinţa = rampa unitara: 2

1( )R s

s

0 020 0

1 11 ( ) 1 ( )lim lim v

s s

s H s H sss

2 2

0 2 2 2 20

1lim 1

2 2v n n

sn n n n

daca H sss s s s

2 2 2

2 2 2 20 0

2 21lim lim

2 2n n n n

s sn n n n

s s s

ss s s s

2

0 2 22 n

n n

da H ss s

ca

20II v

n

TEMA: sa se calculeze st în raport cu perturbaţia (se va utiliza expresia 0vH pentru 0H .

Referinţa

treapta rampa

y

t

st = 0

vy

t

22

Page 23: Ingineria Reglarii Automate

C3. Principiile alegerii şi acordării regulatoarelor

Tipuri de regulatoare. Caracteristici, performanţeIntr-un SRA regulatorul elaborează algoritmul de reglare a procesului în funcţie de eroarea dintre referinţa şi ieşire. Legea de reglare a regulatorului reprezintă dependenta dintre (t) şi comanda u(t) pa care regulatorul o aplica procesului (parţii fixate).

Analiza pe care o vom face, pune în evidenta modul în care se reflecta intervenţia acţiunii regulatorului asupra parţii fixate care se presupune generic a fi:

element de întârziere de ordinul I cu sau fără timp mort, element de întârziere de ordinul II ( sau element oscilant de ord.II) cu sau fără timp mort

Se evaluează apoi răspunsul indicial al sistemului : fără intervenţia perturbaţiei cu intervenţia mărimilor perturbatoare.

Se vor pune în evidenta influenţa legilor de reglare asupra performanţelor SRA: suprareglajviteza de răspuns (timp de creştere)durata reg. tranzitoriufactor de amplificarefactor de amortizare

cu sau în prezenta perturbaţiilor.

Tipuri de regulatoare

După tipul IT ( instalaţie tehnologica):REG ptr. procese cu caracteristici invariante în timp (LTI)REG ptr. procese cu caracteristici variabile în timp (REG adaptive şi extremale)

După viteza de răspuns a IT :REG ptr. procese lente REG ptr. procese rapide

După caracteristicile de funcţionare ale RA :

REG cu acţiune continua REG cu acţiune discretaREG liniare ( u=f() dependenta liniara)REG neliniare( u=f() dependenta neliniara : ex. releu cu doua sau trei poziţii)

După algoritmul de reglare (sau legea de reglare elaborata de REG):REG convenţionale de tip : P, PI, PD PID, PDD2

REG cu caracteristici speciale : REG adaptive, extremale, cu estimarea stării, etc.

23

Page 24: Ingineria Reglarii Automate

Regulatoare liniare

Regulatorul proporţional (P)Legea de reglare :

( ) ( ) ;

R

R

u t K t

K parametrul de acord

( )R RH s K sau

_1 1

RR real

KH s

s

daca se considera întârzierea proprie a regulatorului real.

Răspunsul indicial al regulatorului P

1( ) RY s K

s ( ) Ry t K

sau din ( ) ( ) ( ) 1 ( ) R Ru t K t t u t K

Analiza unui SRA cu REG de tip P şi Hf = elem. de întârziere de ordinul I:

1

KR

HR (s)= KRU(s)(s)

u(t)

(t)REG

(t)

t

KR

( )1

ff

f

KH s

T s

U(s)(s) Y(s)R(s)

-

+

v(s)

u(t)

24

Page 25: Ingineria Reglarii Automate

1) în raport cu referinţa R(s) răspuns indicial:

0

0

( ) 1( )

1 ( ) 1 11

1

R fdO

fd R f

R f

K KH s KH s

TH s K K T ss

K K

Prin intervenţia REG de tip P, sistemul H0 romane unul de ordinul I cu următoarele performanţe:

1 1

1 1stR fK K K

0 1R f

R f

K KK

K K

0 1f

R f

TT

K K

P

KR ↑ st ↓ 0T ↓ 0K ↑

Creşterea factorului de amplificare KR determina o reducere a erorii staţionare (deci o creştere a preciziei) şi o reducere a constantei de timp a sistemului (viteza mai buna de răspuns).

Obs: alegerea unui REG de tip P, implica funcţionarea sistemului cu eroare staţionară care nu poate fi scăzuta până la zero. De aici rezultă concluzia ca NU se recomanda utilizarea acestui tip de regulator singur decât atunci când precizia impusa ieşirii se încadrează în limitele impuse.

2) în raport cu perturbaţia P(s) de tip treapta unitara :

0

1

11

1

f

f fp

f R f f R

f

K

T s KH

K K T s K K

T s

; 1

( )1

fp

f f R

KY s

T s K K s

_

1( ) lim lim

1 1f f

st vf s à s àf f R f R

K KY s s Y s s

T s K K s K K

cu cat KR creste, cu atât efectul perturbaţiei este scăzut (răspunsul ieşirii în regim staţionar scade):

( )1

f Rd

f

K KH s

T s

(s)Y(s)

R(s)

-+

25

Page 26: Ingineria Reglarii Automate

P

KR ↑ _st fy ↓

Concluzie : un regulator P se poate alege atunci când procesul conţine cel puţin un element integrator. Astfel se asigura eroare staţionară nulă deci o buna comportare a sistemului în regim staţionar. Pentru procese cu mai multe constante de timp, alegerea unui regulator P, poate atrage instabilitatea sistemului. Se indica alegerea factorilor mici de amplificare care însa va sacrifica precizia răspunsului în regim staţionar (creste eroarea staţionară).

Regulatorul integrator (I)Legea de reglare :

0

1( ) ;

t

i

i

u t dtT

T constanta de integrare

1R

i

H sT s

1

1

1Ri

H sT s s

daca se considera întârzierea proprie a regulatorului real.

Răspunsul indicial al regulatorului I

2

1( ) R R

i i

K KY s

T s s T s ( )

i

ty t

T

Abaterea răspunsului real indicial al unui regulator I, în raport cu răspunsul ideal, este cu atât mai mare cu cat constanta de timp proprie regulatorului este mai mare:

1

1Ri

H sT s s

Concluzie: răspunsul unui regulator I este o rampa cu panta 1/Ti. Regulatorul I are un caracter de memorie deoarece la o comanda u(t) nenula poate fi trimisa spre proces chiar daca intrarea în regulator este nula. Prezenta polului în origine în funcţia de transfer a regulatorului asigura o buna

1

1R

i

H sT s

U(s)(s)

u(t)

ideal

real

(t)

t

26

Page 27: Ingineria Reglarii Automate

comportare în regim staţionar a SRA la intrarea treapta unitara însa gradul de stabilitate al sistemului poate sa scadă. în general regulatoarele I se folosesc în combinaţie cu cele de tip P.

27

Page 28: Ingineria Reglarii Automate

Regulator proporţional-integrator (PI)Funcţia de reglare:

0

1( ) ;

t

Ri

R i

i

u t K t t dtT

K si T parametrii de acord

T - constanta de integrare

1( ) 1R R

i

H s KsT

_

11

( )1

Ri

R real

KsT

H ss

unde reprezintă constanta de timp a regulatorului (întârzierea proprie a

regulatorului real.

Efectul I determina asigurarea preciziei răspunsului (eroare staţionară zero) iar efectul P duce la creşterea vitezei de răspuns a SRA.

Răspunsul indicial al regulatorului PI

Constanta de integrare Ti reprezintă intervalul de timp după care ieşirea din regulator îşi dublează valoarea (de la KR, la 2KR).

2

1( ) R

i

KY s

s s T ( ) 1R

i

ty t K

T

Analiza unui SRA cu REG de tip PI şi Hf = elem. de întârziere de ordinul I:

1

11R R

i

H s KT s

U(s)(s)

u(t)

ideal

realKR

2KR

Ti-KR Ti

(t)

t

28

Page 29: Ingineria Reglarii Automate

1) în raport cu referinţa R(s) răspuns indicial:

0 2 2

1( ) 1

1 1

f R i f Ri

i f i f R f R i f i f R f R

K K T s K KH s T s

TT s T K K s K K TT s T K K s K K

2

0 2 2

1( )

2n

iin n

H s T sTs s

unde : 21

;1

=2

f RR f i fn

i f f R f

K KK K TT

TT K K T

Răspunsul acestui sistem este compus dintr-un răspuns echivalent al unui sistem de ordin II şi un

răspuns determinat de prezenta zeroului 1

i

zT

la numărătorul funct. de transfer.

Răspunsul indicial al sistemului este :2 2

2 2 2 2

1( )

2 2n i n

n n n n

TY s

s s s s s

Aplicând transformata Laplace inversa rezultă:

22

( )( ) ( ) i

dy ty t y t T

dt

Rezulta deci ca răspunsul sistemului este compus din răspunsul unui sistem oscilant de ordin II la care

se adăuga mărimi proporţionale cu derivata 2 ( )dy t

dt, cu coeficient de proporţionalitate =Ti. Răspunsul

( )y t al sistemului va înregistra:Modificarea (creşterea) suprareglajului în funcţie de constanta acţiunii integrale Ti

(Obs: pentru un sistem oscilant de ordinul II, 21II e

= f .

Suprareglajul lui ( )y t va fi afectat şi poziţia în planul complex a zeroului lui zr)

1( ) 1R R

i

H s KT s

( )1

ff

f

KH s

T s

U(s)(s) Y(s)R(s)

-

+

v(s)

R(s)

1( )

1

f R id

i f

K K T sH s

T s T s

(s) Y(s)

-+

29

Page 30: Ingineria Reglarii Automate

Ca urmare a prezentei acţiunii derivative, durata procesului tranzitoriu se reduce ( durata reg. tranzitoriu este dependenta invers de pulsaţia naturala)

Deoarece 0 (0) 1H , 0st la intrare treapta unitara, şi i

stf R

T

K K la o intrare

rampa unitara.Poziţia zeroului influenţează puternic suprareglajul şi durata reg. tranzitoriu. Ea poate fi reglata prin modificarea lui Ti.

Graficele de mai jos ilustrează dependenta , r

n

zf

şi , rn c

n

zt f

:

Figura 3. Influenţa unui zero suplimentar asupra unui sistem de ordinul II

Concluzie: efectul lui zr asupra lui şi asupra lui t c poate fi neglijat daca 0.5 5 r nsi z Se

poate formula şi altfel: prezenta unui zero în expresia lui ( )fH s va influenţa suprareglajul şi viteza de

răspuns a ieşirii daca 0.5 iar zeroul real 1

i

zT

real şi nu va depăşi limita 5 n . Pe măsura

apropierii zeroului de 0 suprareglajul creste iar durata regimului tranzitoriu scade.

Tema: sa se determine funcţia de transfer a sistemului analizat în raport cu perturbaţia: 0 ( )pH s . Sa se

determine ( )py t în regim staţionar şi sa se aprecieze daca parametrii de acord T i şi KR pot influenţa scăderea acestei influente.

Prezenta regulatorului proporţional-integrator înaintea punctului de aplicaţie al perturbaţiilor unitare conduce la următoarele concluzii:

La aplicarea unei perturbaţii treapta unitara, răspunsul sistemului si eroarea staţionara sunt:

0 1 2 3 4 5 6 7

20

40

60

80

100

0 1 2 3 4 5 6 7

20

40

60

80

100

nt

c[%

]

r

n

z

=0.3

=0.5

=0.7

r

n

z

=0.7 =0.5

=0.3

[%

]

30

Page 31: Ingineria Reglarii Automate

Prin urmare, prezenta elementului integrator înaintea punctului de aplicaţie al perturbaţiilor conduce la anularea contribuţiei acestora în răspunsul sistemului, daca ele sunt de tip treapta unitara.

C4. Regulator proporţional-derivativ (PD)Legea de reglare:

( )( ) ( ) ;R d

R d

d

d tu t K t T

dt

K si T reprezinta parametrii de acord;

T - constanta de derivare

( ) 1R R dH s K sT

_

1

1

1R d

R real

K sTH s

s

daca se considera întârzierea proprie a regulatorului real.

Răspunsul indicial al regulatorului PD

Răspunsul componentei derivative alături de cea proporţionala, introduce un efect de anticipaţie ceea ce atrage o îmbunătăţire a stabilităţii sistemului.

Analiza unui SRA cu REG de tip PD şi Hf = elem. de întârziere de ordinul I:

1

1R R dH s K T s U(s)

(s)

u(t)

ideal

KR

1

u(t)

real

KR

(t)

t t

31

Page 32: Ingineria Reglarii Automate

1) in raport cu referinţa R(s) răspuns indicial:

1( )

1 1 1 f R fR d

d d ff

K K KK T sH s unde T T

s T s s

0 ( )

11 1

1

f R f R

f R

f Rf R

K K K KH s

s K K sK K

K K

Performanţele sistemului reglat cu PD sunt:1

1stf RK K

0 ( )1 f R

T sK K

Componenta D nu aduce modificări substanţiale pentru un SRA–ul unui proces de ordinul I (nu

intervine dT .

Tema:

2) în raport cu perturbaţia P(s) de tip treapta unitara : Sa se determine performanţele unui SRA corectat cu un regulator de tip PD, în raport cu perturbaţia. Se considera ca procesul este un element de întârziere de ordinul I.

Analiza unui SRA cu REG de tip PD şi Hf = elem. de întârziere de ordinul II:

1( )

1R d

R

K T sH s

s

( )1

ff

f

KH s

T s

U(s)(s) Y(s)R(s)

-

+

v(s)

R(s)

( )

1f R

d

K KH s

s

(s) Y(s)

-+

32

Page 33: Ingineria Reglarii Automate

Pentru un sistem de ordinul II, alegerea unui regulator PD permite eliminarea unei constante de timp T 1

dar prezenta lui conduce tot la un sistem de ordinul II.Propunem o comparaţie intre acest SRA cu REG =PD şi cel în care REG este de tip P, pentru acelaşi proces:

0 11 2

2

( )( ) (0) (0) 1

( )

K P sH s P P

P ss sau 2

0 2 2( )

2n

n n

H s Ks s

0 _ 222 2 2

1( )

111

1 1

R f R fPD

R fR f

R f R f

K K K KH s

TK KT s T s K K Ts s

K K K K

0 _ 21 2 1 2

( )1

R fP

R f

K KH s

T T s T T s K K

;

Comparând cele doua răspunsuri :

0 ( )1

f R

f R

K KK s

K K

este factorul de amplificare identic pentru cele doua sisteme

1

1stf RK K

aceeaşi pentru ambele sisteme 0

0

1lim 1 (0)sts

s Hs

deoarece 1T _ _n P n PD _ _t P t PDt t (durata procesului

tranzitoriu scade pentru procesul cu regulator PD).

PD P PD P Concluzie: prezenta componentei derivative aduce îmbunătăţiri în regimul tranzitoriu al sistemului şi nu în cel staţionar. Ea permite scăderea suprareglajului şi a duratei procesului tranzitoriu (a timpului de creştere).

Regulator proporţional-integral-derivativ (PID)Legea de reglare:

0

1 ( )( ) ( ) ( )

t

R di

d tu t K t t dt T

T dt

1

( ) 1R R di

H s K T sT s

1( )

1R d

R

K T sH s

s

1 2

( )1 1

ff

KH s

T s T s

U(s)(s) Y(s)R(s)

-

+

v(s)

33

Page 34: Ingineria Reglarii Automate

2 1( )

1

R i d i

Ri

K TT s T sH s

T s s

daca se considera întârzierea proprie a regulatorului real.

Răspunsul indicial al regulatorului PID

Algoritmul PID se recomanda în general, pentru procese cu doua constante de timp predominante, alegând astfel parametrii de acord ai regulatorului încât aceste constante sa fie reduse.

Analiza unui SRA cu REG de tip PID şi Hf = elem. de întârziere de ordinul II:

Pentru procesul cu doua constante de timp predominante, se recomanda un regulator PID având funcţia de transfer :

1 21 1( )

1R

R

K s sH s

s s

Se aleg 1 1T şi 2 2T .

1

1( ) 1R R d

i

H s K T sT s

U(s)(s)

t

u(t)

ideal

real

(t)

KR t

D

P I

1( ) 1R R d

i

H s K T sT s

1 2

( )1 1

ff

KH s

T s T s

U(s)(s)

Y(s)

R(s)

-

+

v(s)

R(s)

( )

1f R

d

K KH s

s s

(s) Y(s)

-+

34

Page 35: Ingineria Reglarii Automate

02

( )11

R f

KK KK

H s unde KKs s K s s

Performanţele răspunsului sunt:0st

viteza de răspuns este superioara şi nf ; 2 R fn

K K

f K se determina precis in functie de K.

Adăugarea componentei D la un regulator impune o atenţie mărită la acordare pentru obţinerea unor performanţe îmbunătăţite. In cazul proceselor cu timp mort, introducerea componentei D nu aduce îmbunătăţiri semnificative.

35

Page 36: Ingineria Reglarii Automate

Regulatoare neliniare

Regulatoare bipoziţionaleLegea de reglare:

u M sign -

u M pentru

u M pentru

REG bipoziţional ideal REG bipoziţional real

Pentru intervalul , , mărimea u t u(t) este +M sau –M, după cum mărimea t se plasează în

intervalul , , venind de la valori mai mari decât sau venind de la valori mai mici decât .

Aceste regulatoare unde nu se cer performanţe ridicate, se recomanda în general pentru procese cu timp

mort şi a căror constanta de timp T respecta raportul 0.2T

Regulatoare tripoziţionaleLegea de reglare :

Regulatoare neliniare

bipoziţionale tripoziţionale

u

+M

-M

u

+M

-M

ideal cu histerezis

36

Page 37: Ingineria Reglarii Automate

0 -

u M pentru

u pentru

u M pentru

In unele cazuri, structura regulatoarelor neliniare bipoziţionale şi tripoziţionale, este completata cu circuite de corecţie locala, obţinându-se legi de reglare PI, PD sau PID.

Criterii de alegere a tipului de regulator

Alegerea tipului de regulator pentru un proces dat, este funcţie de caracteristicile procesului tehnologic şi de performanţele impuse sistemului de reglare.

Pentru procese lente se recomanda utilizarea regulatoarelor continue liniare sau a celor bipoziţionale şi tripoziţionale Pentru procese rapide sunt recomandate regulatoare au căror parametrii de acord au game reduse de variaţie.

Prezenta timpului mort în funcţionarea unui proces tehnologic impune următoarele obs: Componenta D se utilizează numai daca procesul conţine mai multe constante de timp ce pot fi reduse prin intermediul unui algoritm PID. Pentru un proces caracterizat printr-o constanta de timp T şi un timp mort, se recomanda utilizarea unui REG de tip PI sau P (regulatorul P se alege numai daca eroarea staţionara este admisibila ca

valoare). Daca raportul 0.2T

, se recomanda un regulator bipoziţional daca performanţele impuse

nu sunt foarte severe.

Variaţiile de sarcina ale procesului (perturbaţiile) impun următoarele restricţii în alegerea unui REG:Pentru procese cu o constanta de timp medie şi timp mort redus, la o perturbaţie cu amplitudine medie şi o frecventa redusa, se recomanda un REG = P sau unul bipoziţional.Pentru procese cu mai multe constante de timp şi timp mort redus, la perturbaţii de amplitudini variabile şi frecvente mari, se recomanda un algoritm PI.

u

+M

-M

u

+M

-M

ideal cu histerezis

+

+

37

Page 38: Ingineria Reglarii Automate

Pentru procese cu mai multe constante de timp şi timp mort redus, la perturbaţii de amplitudini mari şi frecvente mari,se recomanda un PID.

Obs: pentru frecventa perturbatiilor se intervine cu I iar pentru amplitudine se adauga D.

Dupa modelul matematic al procesului:Pentru procese cu doua sau mai multe constante de timp nu se recomanda un regulator P ci un regulator PI sau PID care anuleaza eroarea stationara si asigura viteza ridicata de raspuns.In functie de parametrul reglat sunt recomandate diverse tipuri de regulatoare avand in vedere dinamica procesului ( ,T) si caracterul perturbatiilor.

In general adăugarea componentei I la componenta P a unui REG, deşi asigura eroare staţionară nula, poate atrage instabilitatea sistemului. Ïn acest caz se recomanda reducerea factorului de amplificare

RK . Pentru sisteme cu referinţa constanta şi perturbaţii de amplitudine şi durata redusa, NU se justifica utilizarea REG = PI. Introducerea efectului I este justificata când intrarea în sistem se modifica des sau daca sistemul de reglare are mărimea de intrare variabila lent după un program iar perturbaţiile care intervin în proces sunt lente.

Adăugarea componentei D urmăreşte reducerea suprareglajului care apare în cazul utilizării componentelor P şi I şi când intervin perturbaţii bruşte, în perioada de pornire a procesului sau pentru procese discontinue. Prezenta componentei D, determina şi creşterea factorului de amortizare deci se îmbunătăţeşte desfăşurarea procesului la apariţia unei perturbaţii bruşte. Pentru procesele continue, adăugarea efectului D măreşte durata regimului tranzitoriu şi reduce suprareglajul. In cazul proceselor supuse la perturbaţii cu frecventa mare, prezenta sa poate fi dăunătoare.

P

RK st 0T Viteza de raspuns 0K

PD

,R DK T tt

PI

,R iK T 0st ; ; n tt oK

(instabilitate !!)

In tabelul de mai jos prezentam sistematizat modul de alegere a algoritmului de reglare pentru

diverse tipuri de procese descrise prin funcţia de transfer a parţii fixate fH s :Legea de reglare P PI PD PID

fH s

( )1

ff

KH s

Ts

DA

DA daca se impune eroarea staţionara

DA daca

este precis determinat

NU

38

Page 39: Ingineria Reglarii Automate

1 2

( )1 1

ff

KH s

T s T s

DA cu performanţe

reduseDA dar cu restricţii asupra amplificării

Se utilizează rarDA cu restricţii asupra

amplificării

1

( )1

ff n

i

KH s

T s

Rar, performanţele

sunt scăzuteDA Rar DA

( )1

sf

f

K eH s

Ts

DA când 0,1fT

iar st este în limite

admisibile

DA F. rar

Neconvenabil când timpul mort este produs de timpul de transport şi

exista zgomot

( ) sf fH s K e NU NU NU NU

1 2

( )1 1

sf

f

K eH s

T s T s

NU DA NU

Rar, în funcţie de tipul timpului mort şi de

efectul componentei D

Alegerea algoritmului de reglare in functie de natura parametrului reglatTip regulator/Parametrul de reglat

P PI PID Bipozitional

Temperatura

DA

daca DA DA

Da in functie de

raportul

PresiuneDA

daca nu exista timpi morti prea mari

DA In cazuri specilale -

Debit NU DA NU -

NivelDA

daca nu exista timpi morti prea mari

DA - DA

TuratieDA

daca timpii morti sunt foarte mici

DA DA, mai rar NU

Tensiune DA DA DA, mai rar NU

39

Page 40: Ingineria Reglarii Automate

C5. Alegerea şi acordarea regulatoarelor pentru procese rapideProces rapid: este caracterizat prin constante de timp mici şi timp mort neglijabil. Se considera ca o

constanta de timp este mica daca iT < 10 sec .

Alegerea tipului de regulator este în general funcţie de criteriile de performanta impuse răspunsului sub acţiunea intrării şi a eventualelor mărimi perturbatoare. în cazul sistemelor rapide se va propune un algoritm de reglare care sa asigure urmărirea cat mai fidela a referinţei şi rejecţia perturbaţiilor daca acestea intervin. Algoritmul de reglare va conduce la un SRA cu o comportare satisfăcătoare din aceste doua puncte de vedere însa nu permite satisfacerea anumitor performanţe care s-ar impune eventual răspunsului.Printre criteriile utilizate pentru determinarea valorilor parametrilor de acord cu asigurarea cerinţelor de performanta impuse sistemului, sunt criteriul modului şi criteriul simetriei.

Criteriul modululuiIn cazul unui sistem liniar monovariabil suspus unei perturbaţii aditive P, în cazul unei comportări ideale, mărimea de ieşire y trebuie sa urmărească cu exactitate mărimea de intrare, fie ea şi variabila:

y t r tatât în regim staţionar cat şi tranzitoriu.

0

( ) ( )

( )

R v

ov

Y s Y s

Y s H s r s H s v s

Răspasul Y s este format din cele doua componente: RY s şi vY s .

Sistemul SRA are o comportare ideala daca:

RY s Y s r s

0VY s , s sau j - efectul perturbaţiei anulat.

0

0

R

V V

Y s H s r s

Y s H s V s

0

0 0R

V V

Y s H s r s r s

Y s H s V s

0

0

1

0

V

H ss sau jω

H s

0

1

0 ,

O

V

H j

H s s sau jω

0

v

0

M ω

M ω

arg H s = 0

ceea ce se traduce prin :

HR(s) H2 (s) r

+

-

U Y

V

H1 (s)

40

Page 41: Ingineria Reglarii Automate

urmărirea exacta a referinţei( referinţa este urmărita în modul şi faza – vezi condiţia de modul şi argument)rejecţia perturbaţiei

Aceste condiţii trebuie îndeplinite pentru toata gama posibila de variaţie a pulsaţiei. Din aceste condiţii impuse modulelor deriva şi denumirea de "criteriul modului".

Pentru procese rapide cum sunt: acţionările electrice şi hidraulice, deoarece se pot identifica

modelele matematice ale proceselor reale (deci fH s se recomanda aplicarea variantei Kessler a criteriului modului. Acesta varianta oferă un algoritm de acordare optima a REG care sa asigure simultan o comportare buna atât în raport cu semnalele de intrare cat şi în raport cu perturbaţiile, fără a trata separat asigurarea anumitor performanţe.

1

( )1 1

ff n

i

KH s

T s T s

sau 1

( )1 1

ff n

i

KH s

s T s T s

unde:Kf - reprezintă coeficientul de transfer al parţii fixateTi – reprezintă constantele dominante (mari) de timp (constante de timp principale):

10iT T∑ - reprezintă suma constantelor de timp parazite care sunt mult mai mici decât cele predominante:

1min

10 iT T

In ambele cazuri varianta Kessler pentru procese rapide propune un regulator care sa transforme sistemul închis SRA intr-unul de ordinul II în care se elimina contribuţia în răspuns a constantelor de timp dominante. In ceea ce priveşte anularea efectului perturbaţiilor, criteriul modulului propune forme analitice de legi de reglare care plasează un element integrator înaintea punctului de aplicaţie al acestora. Prezenta elementului integrator înaintea punctului de aplicaţie a perturbaţiilor conduce la anularea efectului acestora daca ele sunt de tip treapta unitara.

Functia echivalenta a sistemului care are un element integrator inaintea punctului de aplicatie al perturbatiilor este:

H sr

+

-

Y

V

1G s

s

41

Page 42: Ingineria Reglarii Automate

; ;

Varianta Kessler pentru funcţia de transfer propune alegerea unui regulator a cărui funcţie de transfer sa aibă expresia:

1

1m

k

R

sH s

s

unde:

2k k

f

m n

T

K T

Varianta Kessler pentru procese rapide descrise prin funcţia de transfer propune alegerea unui regulator a cărui funcţie de transfer sa aibă expresia:

1

1m

k

R

sH s

unde:

2k k

f

m n

T

K T

In concluzie criteriul modulului, indiferent de expresia funcţiei de transfer a parţii fixate, conduce la obţinerea pe calea directa a unei funcţii de transfer cu un pol în origine. Prezenta acestuia, înaintea punctului de aplicaţie al perturbaţiilor, asigura urmărirea precisa a referinţei (eroare staţionara zero) dar si anularea efectului perturbaţiilor.

a) Pentru primul caz ajungem la:

1

2 1dH sT s T s

22

0 2 2 2 22

2

1

211 11 2 2 2

2

n

n n

TH s

T s T s s ss sT T

Deci oricare ar fi expresia procesului rapid de reglat, prin aplicarea variantei Kessler se ajunge la un sistem oscilant de ordinul II ale cărui caracteristici sunt formalizate.

1

2

20.7

2

nT

;

Se observa ca în urma acordării regulatoarelor aplicând varianta Kessler, constantele de timp dominante sunt înlăturate iar parametrii caracteristici ai sistemului sunt determinaţi de suma constantelor de timp parazite.

42

Page 43: Ingineria Reglarii Automate

b) Pentru cazul al doilea ajungem la aceeaşi expresie pentru dH s deci la aceleaşi

performanţe.

Pentru ambele variante deducem:

21II e

0,043 4,3%

;

4 4.788

1

2

tn

t T

T

pentru K , vezi funcţia de transfer dH s : 1

2 2n

vKT

Eroarea la viteza este 1

2v TK

Obs: pentru un sistemul de ordinul II eroarea la viteza se poate det.:

1 2

21 2 1 2

21 1 22n

vitezann

p pT

p p p p

Sau privesc 1

2 1dH sT s T s

12v T

K (conform Tabel.)

2 2 20 0

1 1lim lim lim 1

1 2 2vt s s

t s s sT s T s s

2 2 2

2 22 20 0

2 2lim lim

1 2 21 2 2v

s s

T s T s T s T

T s T ss T s T s

1

2n

T

20.7

2 4.3% 8tt T

0st 2st T

Din tabel tragem concluzia ca performanţele răspunsului unui astfel de SRA sunt constante determinate

sau f T . Comportarea acestui sistem este total nesatisfăcătoare pentru o intrare rampa.

Exemplu:

Se da SR: 10

8 1 3 1 0.1 1fH ss s s

Se cere determinarea REG şi parametrii de acordare astfel încât:

0

5%

1.3sec

st

tt

Verificam : 10.1 3

10 ?.

43

Page 44: Ingineria Reglarii Automate

8 1 3 1 8 1 3 1

2 0.1 10 2R

s s s sH s

-117.1

2 0.1 n s

0.7 4.3% 8 0.1 0.8 tt sec 1

52 0.1

K

0st 2 0.1 0.2st

Criteriul simetrieiCriteriul se aplica de asemenea pentru procese rapide atunci când se urmăreşte definirea unui REG care sa conducă la un SRA care sa aibă eroare staţionară nulă la intrare de tip rampa. Acest criteriu se foloseşte de regula, în reglarea sistemelor automate SA cu semnale de intrare variabile liniar cu timpul şi NU pentru semnale de intrare de tip treapta care înrăutăţesc performanţele tranzitorii şi staţionare ale SRA.

daca

1

1 1

ff n

i

KH s

T s T s

Deoarece i i1+T jω T jω , comportarea în frecventa a parţii fixate se poate aproxima la:

1

1

ff n

i

KH s

T s T s

Conform supoziţiei anterioare

1

1m

k

R

sH s

s

rezultă:

1

1

1

1

m

kf

d n

i

sK

H ss

T s T s

. Se amplifica în dH s cu

1

n

k

1 1 1

1 1 1

1

1

1 1

11

n n n

k k kf

d n n n

i k kn

k nf

k

s sK

H ss

T s T s Ts s T s

K

toate constantele de timp de la numărător sunt egale cu 1 2 .... n c ,

c constant

constanta de timp 4c n T

fH s 0st v

44

Page 45: Ingineria Reglarii Automate

1

1

2

n

k

nf

k

TT

K

Criteriul simetriei propune alegerea unui REG de forma:

1n

cR

sH s

s

unde:

1

4

2

c

nc

f n

i

n T

K TT

2 2

4 1

8 1d

T sH s

T s T s

0 2 2

4 1

4 2 1 2 1

T sH s

T s T s T s

2

0 2 22

2

1 1

424 1

4 2 1 2 1 1 1 1

2 24

sTTT s

H sT s T s T s

s s sT TT

23

2

2 22 3

2

1 1

42

21 1 1

2 24

n

n n

ps s zTT zs s s p

s s sT TT

1

2n T

; 1

20.5

2 n

T

; 3

1

2p

T

; 1

4z

T

1 1

1 1Re Re 0.5

2 4 = - np si p

T

1

4T

1

2T

jp1

p2

p3 z

45

Page 46: Ingineria Reglarii Automate

In sistem pe lângă cei doi poli complecşi ai sistemului oscilant de ordin II, apar un pol şi un zero suplimentar. Influenţa prezentei unui zero suplimentar, în funcţia de transfer a unui sistem oscilant de ordinul II, este prezentata în Figura 3 (variaţia suprareglajului şi a timpului tranzitoriu). In mod similar se poate determina analitic, influenţa unui pol suplimentar asupra performanţelor tranzitorii ale unui sistem de ordinul II:

Influenţa unui zero suplimentar asupra unui sistem de ordinul II

Influenţa unui pol suplimentar asupra performanţelor unui sistem de ordin II

Figura 4.

Efectul polului suplimentar asupra lui şi tc poate fi neglijat daca 30. 5 n5 si p . In

general prezenta unui pol suplimentar poate înrăutăţi sau îmbunătăţi răspunsul sistemului în regim tranzitoriu în funcţie de poziţia polului suplimentar în raport cu ceilalţi poli. Poziţia polilor şi a zeroului este simetrica fata de origine.

In acesta distributie a polilor si a zerourilor se obtine, pentru o intrare treapta, un raspuns cu si ∑ , deci performante nesatisfacatoare. Pentru intrarea rampa performantele sistemului sunt mult imbunatatite. Exemplu:

0 1 2 3 4 5 6 7

20

40

60

80

100

0 1 2 3 4 5 6 7

20

40

60

80

100

nt

c[%

]

r

n

z

=0.3

=0.5

=0.7

r

n

z

=0.7 =0.5

=0.3

[%

]

0 1 2 3 4 5 6 7

10

20

30

40

50

0 1 2 3 4 5 6 7

10

20

30

40

50

nt

c[%

]

3

n

p

=0.3

=0.5

=0.7

3

n

p

=0.7

=0.5 =0.3

[%

]

46

Page 47: Ingineria Reglarii Automate

Se considera procesul cu :

Sa se proiecteze un algoritm de reglare care sa asigure 0st în raport cu referinţa care este o rampa unitara.

1cR

sH s

s

unde :

1

4 4 0.1 0.4

42

c

f

T

TK T

T

8 1 0.41 0.4 1 0.44 0.1 0.02 0.42 2 0.1

8

R

ss sH s

s ss

1n

cR

sH s

s

unde:

1

4

2

c

nc

f n

i

n T

K TT

47

Page 48: Ingineria Reglarii Automate

C6. Proiectarea SRA prin metoda alocării poli-zerouri Se doreşte ca pornind de la performanţele impuse sa se găsească o repartiţie a polilor şi zerourilor

funcţiei de transfer a sistemului închis 0H s astfel încât SRA sa îndeplinească toate performanţele

impuse.

Cunoscând şi fH s se poate determina

0

0

1

1Rf

H sH s

H s H s

Ne propunem sa prezentam relaţiile dintre performanţele dinamice şi staţionare ale sistemului şi repartiţia polilor şi zerourilor acestuia în planul complex.

Alegerea generica a lui 0H s se face pornind de la excesul polilor asupra zerourilor în funcţia de

transfer a parţii fixate Fe (întotdeauna 0Fe ).

Condiţia de realizabilitate fizica a unui SRA este 0 Fe e (acesta rezultă din aceea ca excesul de poli

ai dH s este egal cu cel al lui 0H s iar 0 d R f fH H H He e e e e )

daca 01 1 Fe e . în acest caz se încearcă transpunerea performanţelor pentru un

sistem de ordinul I :

00

01

KH s

sT

daca 02 2 Fe e . în acest caz se presupune 0H s ca fiind un sistem de

ordinul II : 2

0 2 2( )

2n

n n

H ss s

daca 03 3 Fe e se încearcă transpunerea performanţelor intr-un sistem de

ordinul II care are un pol suplimentar:

23

0 2 232

n

n n

pH s

s s p

daca este necesara introducerea unui zero suplimentar :

2

0 2 22

n

n n

s zzH s

s

daca din condiţia de realizabilitate fizica este necesara introducerea unui pol şi a unui

zero suplimentar :

23

0 2 232

n

n n

ps z

zH ss s p

Alocarea polilor si/sau zerourilor şi aprecierea influentei acestora asupra performanţelor SRA, presupune cunoaşterea :

SRA de ordinul IIEfectele introducerii unui pol suplimentar Efectele introducerii unui zero suplimentarEfectele introducerii unei perechi pol-zero

48

Page 49: Ingineria Reglarii Automate

1) Sistem cu doi poli

Vom pune în evidenta care trebuie sa fie repartiţia polilor şi zerourilor funcţiei 0H s daca sistemul

are impuse anumite performanţe :

in regim staţionar : stε la intrare treapta unitara sau rampa ( vε ) (care sunt funcţie

numai de factorul de amplificare K)in regim tranzitoriu : n tω , σ, ξ , t (sunt funcţie numai de poziţia polilor în planul complex)restricţii impuse de caracteristicile răspunsului în frecventa : cM ,M (care indica gradul

de stabilitate al sistemului), B Rω ,ω (banda de frecventa sau lărgimea de banda este

limitată de B şi pulsaţia de rezonanta: ele indica comportarea sistemului fata de perturbaţiile de frecventa înalta)

1) eroarea staţionara nulă la intrarea treapta unitara stε = 0 :

00 0 0

0 0 00 0

lim lim lim lim 1

1lim 1 lim 1 1 0

stt s s s

sts s

t s s s R s Y s s H s R s

s H s H s H ss

0 0 1H pentru reacţie unitara.

doua forme analitice pentru 0H s după cum dorim sa punem în evidenta cei doi poli sau

elementele caracteristice ale unui sistem oscilant de ordinul II:

01 2

0 st

CH s

s p s p

; 1 2

01 2

1 22

1 2 1 21 1

pp p p

s p p s p pH s

p p

2

0 2 2( )

2n

n n

H ss s

, unde 21,2 1n njp

2 2 2 2 21 2 1n n n np p

1 2 n-p = -p = ω

cos = ξ

-p1 -p2

-p1

-p2

+j

+1

+j

+1

n

49

Page 50: Ingineria Reglarii Automate

Obs: utilizaţi în Matlab funcţia sgrid care activează pentru planul complex s (+j,+1) liniile de pulsaţie şi amortizare constanta

2) condiţie de suprareglaj: impσ σ ; f

21 100II e

i p pmp imim

3) durata reg. tranzitoriu:

2

4t n

n

t f

;

t impus n n impust t

= 0

1

< 0

Sistem neamortizat

Sistem supra-amortizat

Sistem instabil

1 0

Sistem amortizat

100%

16%

4,3%

0.5 0.7 1

imp

imp

50

Page 51: Ingineria Reglarii Automate

Ex: 4 4

10 10 0.410t n

n

t s

4) performanţe în domeniul frecventelor : Bω = lărgimea de banda cat mai mica pentru rejecţia perturbaţiilor.

B B_impusω ω

pentru zgomote de frecventa mai mare decât B sistemul se comporta ca un filtru (in cazul

sistemului de ordin II).

2 2

0 2 22 2 22

n nB

n B n BB n B n

H jjj j

2

0 22 2 2 2

2

24

nB

n B n B

H j

2 2 4B nω = ω 1- 2ξ 2 - 4ξ + 4ξ

B2 B_impusω ω

B_i2 2

sn p4

m uω 1- 2ξ 2 - 4ξ + ω4ξ

tt tt_impus

n

+j

1

0.4n

n

+j

1

M H j

M(0)

0.7 0M

B

A(dB)

-3 dB

51

Page 52: Ingineria Reglarii Automate

B n

B n

B n

B n

ξ = 0.5 ω = 1.27ω

ξ = 0.6 ω = 1.15ω

ξ = 0.7 ω ω

ξ = 0.8 ω = 1.76ω

5) limitarea erorii la viteza (intrarea este rampa):

v v_impusn

2ξ= ε

ω

Acesta formula rezultă din:

0 0

lim limvs s

s s s Y s R s

2

0 0 2 20 0 20 2

1 1lim 1 lim 1 lim 1

2n

n nv

s s ss H s R s s H s s

s s s s

2 20

2 2lim

2n

vs

nn n

s

s s

nv_impus

2ξω

ε poate rezultă contradicţie cu condiţia anterioara. Daca funcţia nu poate satisface

şi acesta cerinţa se impune adăugarea unui pol sau a unui zero suplimentar.

2) Sistemul cu doi poli şi un zero

1 203

1 2

Cp p s zH

s p s p

sau

sau

B B_impus

n n_impus

ω ω

ω ω

impus t t_impust t

+j

+1

+j

+1

-p1

-p2

-z

52

Page 53: Ingineria Reglarii Automate

1) eroarea staţionara la intrare treapta unitara stε = 0 03

10 1 H C

z

1 2

031 2

p ps z

zHs p s p

sau

2

3 2 22

n

on n

s zzH s

s s

2

2 2

3 2 2 2 2 2 2

1

2 2 2

n

n no

n n n n n n

s zzH s s

zs s s s s s

03

1H s Y s s Y s

z L-1 2

3 2

1 dyy t y t

z dt

Oscilaţiile procesului tranzitoriu cresc ceea ce conduce implicit la scăderea duratei regimului

tranzitoriu: tiar t Pe de alta parte modificarea intr-un sens a duratei regimului tranzitoriu conduce la modificarea în sens invers a lărgimii de banda a sistemului .

contracţia în domeniul timpului corespunde dilatării în domeniul frecventelor şi invers.

2

2

0 2 22 220 lg 20 lg 20 lg 20 lg

22

n

n

n nn n

s zz s z

H sz s ss s

2

2 2

120 lg 1 20 lg

2n

n n

sz s s

tt2tt3

y2

y3y(t) iar tσ t

53

Page 54: Ingineria Reglarii Automate

2) suprareglajul lui ( )f 03H s unde nωλ = 0,2

z

Introducerea unui zero este justificata daca λ 0,2 . Daca zeroul este plasat spre , efectul

introducerii lui este neglijabil.

2

3 03 2 2

1

2

n

n n

s zzY s H s R s

ss s

n-ξω t

2 23 n2

ey t = 1- λ - 2ξλ +1 sin ω 1- ξ t -

1- ξ

unde 21- ξ

tgξ - λ

iar nωλ =

z

Reamintim ca 2y t n-ξω t

2n2

e1- sin ω 1- ξ t +

1- ξ iar 21

e

Pentru a determina suprareglajul se pune condiţia: 3 0dy

dt

1e

2

ξ

-ξ 23 nσ ξ,ω ,λ λ - 2λξ +1

02H spanta =

- 40 dB/dec

panta+ 20 dB/dec

020 lg H j

- 20 dB/dec

03H s

B2ω B3ω

/ sec rad

+z

pulsaţie de frângere

s+z

- 3 dB

ξ = 0.7 ; σ = 4.3%ξ = 0.5 ; σ = 16%

100%

70%

45 %

ξ = 0.5

ξ = 0.7

nω=

z

0 1 2

54

Page 55: Ingineria Reglarii Automate

3) eroarea la viteza

v1 2 n

1 1 1 2ξ 1ε = + - -

p p z ω z

Rezulta ca pentru un sistem de ordinul II, prin introducerea unui zero suplimentar eroarea la viteza se reduce comparativ cu cea a sistemului necompensat.

3) Sistemul cu trei poli

1 2

041 2 3

Cp pH s

s p s p s p

1) eroarea staţionara la intrare treapta unitara stε = 0 04 0 1 H

23

04 2 232

n

n n

pH s

s s s p

sau

1 2 304

1 2 3

p p pH s

s p s p s p

Răspunsul indicial al unui sistem de ordinul doi cu un pol suplimentar este:

34 2

3

pY s Y s C

s p

; 1 1 atL es a

3-p t

4 2y t = y t + e C

2) Efecte negative ale introducerii polului suplimentar sunt:

4 2σ > σ

t4 t2t > t (teoria inversa : contracţia în domeniul frecventelor dilatarea în domeniu timp)

v4 v2ε > ε din 4 21 2 3 1 2

1 1 1 1 1; v vp p p p p

3) Efecte pozitive ale introducerii polului suplimentar: se reduce lărgimea de banda (contracţia în domeniul frecventelor) ca urmare a dilatării în domeniul timpului.

+j

+1

+j

+1 +1

= 0 = 2 = 1 +j

+j

+1

-p1

-p2

-p3

55

Page 56: Ingineria Reglarii Automate

Polii suplimentari trebuie introduşi pentru realizabilitatea fizica a lui RH s astfel încât:

3 5 10 np .

4) Efectele introducerii unei perechi pol-zero

1) eroarea staţionara la intrare treapta unitara stε = 0 0 1 H s

23

04 2 232

n

n n

ps z

zH ss s s p

sau

1 2 3

041 2 3

p p ps z

zH ss p s p s p

2) variante de introducere a polului şi zeroului suplimentari :varianta dipol: atât zeroul cat şi polul sunt apropiaţi de origine astfel încât

33

pz < p ; 1.01 ....1.05

z Δσ = 1...5 % . Deci varianta introducerii unui dipol

conduce la scăderea suprareglajului cu Δσ în raport cu cel al sistemului necompensat

cu dipol.

polul este proporţionat departe de polii dominanţi : 3 np 5...10 ξω

In ambele variante : 1 2 3

1 1 1 1v p p p z

Exemple:

020lg H j

/ sec rad- 40 dB/dec

- 20 dB/dec

- 60 dB/dec

B2ωB4ω

pulsaţie de frângere

3

1 1

1Ts s p

- 3 dB

+j

+1

-p1

-p2

-p3 - z

56

Page 57: Ingineria Reglarii Automate

1) Sa se proiecteze SRA astfel încât : 100

10 1FH ss s

7.5%

0.02

50 / sec v

B rad

eF = 2 sistem de ordinul II.

1) 7.5%

22) 0.02 0.02

3) 50 / sec

v v

0.65

n

BII rad

n

2 2 4n n

ξ

ω 65 rad/sec

ω 1- 2ξ 2 - 4ξ + 4ξ ω 46 rad/sec

Intre 2) şi 3) rezultă contradicţie deci este necesar sa procedam astfel: se respecta rezultatul condiţiei 3) pentru pulsaţia naturala şi se sacrifica rezultatul cond 2).

Pentru respectarea erorii de viteza impuse, se adaugă un zero suplimentar care duce la scăderea sa fata de cea corespunzătoare unui sistem de ordin II. Dar adăugarea unui zero suplimentar conduce la e0 = 1. Cum condiţia iniţiala este 2 F 0e e rezulta ca trebuie adăugat şi un pol, deci alegem varianta cu dipol.

3

3 3

33

3

1.03

7.5 3 4.5%

2 1 1 1 10.02 0.02

1 10.008

3.75

3.641.03

=0.7

0.028n

p

z

p z p z

pp z

zp

z

B n

v

Δσ = 3%

ω ω = 50 rad/sec

2

0 2 2

3.753.64

3.642 3.75

n

n n

sH s

s s s

2) Sa se proiecteze SRA astfel încât : 10

1 10 1FH ss s

_

4%

8sec

0t

st treapta

t

57

Page 58: Ingineria Reglarii Automate

0

0

2

2 2

2 2

2

1

2 2;

14

2

8 8 0.6 / sec;

1;

1

;2

21 ;

2

1 10 1 0.6 0.1 10.4 0.4 1

10 ( 2 0.7 0.6) 10

0

t nn

e

=0.7

4t

F

RF

nO

n n

nO

n n

R

s

e

rad

H sH s

H s H s

H ss s

s sH s

s s

s s sH s

s s s s

58

Page 59: Ingineria Reglarii Automate

C7. Alegerea şi acordarea regulatoarelor pentru procese lenteUn proces lent este caracterizat prin constante de timp mari T>10s sau prin constante de timp mari şi timp mort. Pentru procesele fără timp mort sau cu timp mort neglijabil, criteriul de alegere şi acordare a regulatoarelor pentru procese rapide poate fi extins şi aici.

Intr-o prima etapa se va utiliza criteriul modulului intersectat cu algoritmul de determinare a legii de reglare care sa asigure de maniera minimala performanţele sistemului.

In cea de-a doua etapa, în cadrul domeniului de variaţia a parametrilor de acord ai regulatorului obţinut din prima etapa, se vor pune condiţii pentru o buna comportare în raport cu perturbaţiile.

Varianta criteriului modulului cu delimitarea domeniilor de performanta este aplicabila pentru regulatoare cu doi parametrii de acord PI, PD . Se poate extinde şi la un regulator PID daca se cunosc relaţiile dintre Ti şi Td.

Exemplu: Se considera un regulator PI şi un proces de ordinul I :

11 ;

1

R Ri

fF

f

H s KT s

KH s

T s

Sa se determine parametrii optimi de acord _ _ R optim i optimK si T daca se cunosc KF şi TF şi daca se

impun performanţele:

impus

_t t impust t

0st pentru r(t) treapta unitara

_st v st impus pentru r(t) rampa unitara.

1

1iR F

di f

sTK KH s

T s T s

2

11

11 1

R f

R f i i iO

R f R fi f R f i

f i f

K Ks

K K T s T TH s

K K K KT s T s K K T ss s

T TT

;

i R fR f R fn

i f i f n R f f

T × 1+K KK K 1+K K1ω = ; z = ; ξ = =

TT T T × 2ω 2 K K T1) condiţia de eroare la viteza impune:

59

Page 60: Ingineria Reglarii Automate

__

1 i

v impusR f f v impus

T

K K K

R v

i f

K K

T K

2) din condiţia de durata de regim tranzitoriu limitata rezultă:

_

84

1 f

t t impusn R f

Tt t

K K

fR

f t_impus

8T1K - 1

K t

3) din condiţia de suprareglaj impus , ţinând cont de prezenta zeroului (vezi formula 3 din

cursul anterior) rezultă curba Rimpus

i

Kf

T .

4) Pentru a lua în consideraţie efectul constantelor de timp parazite T care apar inevitabil în funcţia de transfer a parţii fixate şi neliniarităţile care apar în funcţionarea parţii fixate asupra stabilităţii sistemului şi calităţii regimului tranzitoriu, se folosesc metode experimentale de determinare a unor valori admisibile pentru parametrii regulatorului. Pentru un proces care utilizează un PID se fixează iT sau la valoarea maxima pe care o poate atinge) , 0dT . în

aceste condiţii se modifica treptat RK pana se aduce sistemul la limita de stabilitate (oscilaţii

neamortizate de amplitudine constanta) . Fata de aceasta valoare a lui _R RK K limita se alege parametrul de acord:

_ max _ lim0.6....0.75R R itaK K vezi dreapta _ limR itaK

Condiţiile impuse determina domeniul comun haşurat în care se pot alege parametrii de acord siR iK T care asigura performanţele impuse răspunsului în regim tranzitoriu şi staţionar.

5) Se impune determinarea lui _R optimK şi _i optimT conform criteriului modulului astfel încât sistemul sa aibă o buna comportare atât în raport cu intrarea cat şi cu perturbaţiile:

KR

Ti

_v v impus

_t t impust t

impus

60

Page 61: Ingineria Reglarii Automate

2

2

1 1;

1 1 1

1

R f i R f iO

i f R f i R f i f i R f

i fOp

R f i f i R f

K K j T K K j TH j

j T j T K K j T K K TT j T K K

j T KH j

K K TT j T K K

Se vor

determina pM si M şi se vor pune condiţiile

0

0

0 0;

0 1:

0;

0;

p

p

M

M

dM

d

dM

d

Din aceste condiţii rezultă o valoare maxima pentru max.R

i

K

T

Se vor alege deci valori optime _R optimK şi _i optimT astfel încât sa fie satisfăcute condiţiile de

performanta (punctul definit de _ _,R optim i optimK T sa fie în aria comuna haşurata) iar raportul lor sa fie

_

_

maxR optim

i optim

K

T pentru a asigura o buna comportare în raport cu perturbaţiile (condiţiile 1….5 ).

Criterii experimentale de acordare a regulatoarelorModalitatea de acordare a regulatoarelor prezentate până în acest moment s-a bazat pe metode pur analitice. S-a demonstrat ca în cazul acordării regulatoarelor ptr. procese lente, daca care sunt impuse ieşirii performanţe multiple, determinarea analitica a parametrilor de acord ai regulatorului este destul de laborioasa şi chiar nesatisfăcătoare daca luam în consideraţie caracterul aleatoriu al perturbaţiilor.

Metodele practice de acordare se bazează pe experienţa acumulata prin repetarea algoritmilor de acordare a regulatoarelor pentru procese lente şi rapide şi în condiţii de intervenţie a perturbaţiilor din cele mai diverse. Astfel pentru un sistem dat, se menţin constante referinţa şi mărimile perturbatoare şi se modifica parametrii de acord până ce sistemul ajunge sa răspundă cu o ieşire corespunzătoare unui sistem neamortizat sau aflat la limita de stabilitate. Mărimea de ieşire răspunde prin oscilaţii întreţinute de amplitudine şi pulsaţie/perioada determinate:

Hd(s)(s) Y(s)r(s)

Re [Hd(s)]

Im[Hd(s)]

|Hd(s)|

(-1, j0)

A (M(c)=1, c)

B (M(),=180°)

H0

61

Page 62: Ingineria Reglarii Automate

Figura 5. Reprezentarea caracteristicilor amplitudine-faza sau amplitudine-pulsaţie , faza-pulsaţie

pentru un sistem aflat la limita de stabilitate A B

Figura 6. Reprezentarea polilor H0 în planul (+1,+j). Marcarea unui sistem aflat la limita de stabilitate

Figura 7. Reprezentarea răspunsului în timp al unui sistem aflat la limita de stabilitate (răspuns neamortizat)

Am exemplificat mai sus care este aspectul hodografului (reprezentarea amplitudine-faza) funcţiei de transfer a sistemului deschis Hd pentru ca sistemul închis sa se afle la limita de stabilitate. Aceleaşi concluzii se pot trage din aspectul reprezentării amplitudine/pulsaţie şi faza/pulsaţie (diagramele Bodé)

|Hd(s)|=M()|dB

log scara logaritmicac

-1800

log scara logaritmica

rad

Re [Hd(s)]

|Hd(s)|(-1, j0)Im[Hd(s)]

H0

R(s) Y(s)

0<<1răspuns sub-

amortizat

=1răspuns critic

amortizat

>1răspuns supra-

amortizat

=0 răspuns neamortizat

< 0răspuns instabil

y(t)

t

0

r(t)

T0

62

Page 63: Ingineria Reglarii Automate

pentru acelaşi sistem. Se poate face direct analiza sistemului închis H0 care va avea polii pe axa imaginara a planului (+j, +1) daca sistemul se afla la limita de stabilitate.

Folosind caracteristicile regulatorului specifice stării de stabilitate la limita ale sistemului se vor determina parametrii optimi de acord ai regulatoarelor de tip P, PD sau PID.

Metoda Ziegler-Nichols se aplica regulatoarelor utilizate în reglarea proceselor lente la care perturbaţiile sunt determinate de sarcina şi au durata mare. El propune următoarea procedura: pentru un regulator PID se fixează acordul pentru Ti la valoarea maxima ( Ti = ) iar acordul pentru TD la valoare minima (TD =0). Se modifica KR până se aduce răspunsul sistemului la oscilaţii neamortizate ceea ce înseamna ca sistemul se afla la limita de stabilitate. Se reţin cei doi parametrii respectiv R0K şi perioada oscilaţiilor 0T . Valorile care se vor propune pentru parametrii de acord ai

regulatorului asigura un raport de 1

4 intre amplitudinea celei de-a doua semi-oscilaţii pozitive oscilaţii

şi prima oscilaţie pozitivă descris şi prin expresia : "amortizare în sfert de amplitudine" :.

Criteriul Ziegler-Nichols recomanda următoarele valori de acordare optima a regulatoarelor, în funcţie de R0K şi 0T :

Pentru regulatoare P:R_opt R0K = 0.5 K

Pentru regulatoare PI:

R_opt R0

i_opt 0

K = 0.45 K ;

T = 0.8 T

Se poate remarca ca fata de un regulator P, utilizarea unui PI impune reducerea amplificării pentru compensarea efectelor negative ale componentei I.

Pentru regulatoare PID se recomanda:

;

;

R_opt R0

i_opt 0

D 0

K = 0.75 K ;

T = 0.6 T

T = 0.1 T

y(t)

t

r(t)

A A/4

63

Page 64: Ingineria Reglarii Automate

Sisteme de reglare automată cu structura speciala

C8. Sisteme de reglare în cascadaReglarea în cascada se poate alica în cazul reglării automate a proceselor lente şi rapide, acolo unde prezenta unui număr mare de constante de timp în funcţia de transfer a procesului nu permite aplicarea reglării convenţionale cu regulatoare P, PI sau PID. Prezenta mai multor constante de timp conduce la elaborarea teoretica a unor regulatoare care conţin mai multe binoame de gradul I. Acestea sunt dificil de realizat practic şi nerecomandate daca luam în calcul efectele negative ale componentelor derivative asupra răspunsului sistemului (amplificarea zgomotelor). în acest caz soluţia o reprezintă reglarea succesiva a diferitelor mărimi măsurabile din proces ajungând ca în ultima faza sa se poată regla acea mărime de proces dependenta de cele reglate anterior. Reglarea în cascada se poate implementa daca:

procesul tehnologic poate fi descompus în sub-procese ale căror variabile sunt măsurabile;funcţia de transfer a procesului tehnologic poate fi scrisa ca produs de funcţii de transfer cu cel mult doua constante de timp;se aplica în condiţiile în care constantele de timp asociate diferitelor componente (sub-procese) ale procesului se găsesc intr-un raport care variază în domeniul (3….10);este operaţională daca viteza de răspuns a buclei interioare este mai mare decât a celei exterioare (mărimile intermediare răspund la perturbaţii mai repede decât mărimea de ieşire);este eficienta în condiţiile în care perturbaţiile care acţionează asupra sistemului se pot compensa în buclele interne de reglare;reglarea în cascada facilitează controlul variabilelor intermediare şi oferă precizie deoarece perturbaţiile ce acţionează asupra procesului se compensează în buclele interioare;reglarea în cascada datorita prezentei mai multor reacţii negative are în plus şi avantajul unei sensibilităţi mai reduse la variaţia anumitor parametrii de proces sub acţiunea perturbaţiilor;obţinerea unor performanţe ridicate este legata de alegerea cu dificultate a regulatoarelor buclelor interioare deoarece buclele interioare au referinţa fixata intern de către alt regulator.

In general pentru buclele interioare se recomanda alegerea unor regulatoare de tip P sau PI , f. rar PID. Prin alegerea unui regulator P pentru bucla interioara se măreşte viteza sa de răspuns dar cu dezavantajul conservării unei erorii staţionare a mărimii reglate de respectiva bucla. Daca procesul impune performanţe precise şi mărimilor intermediare, se recomanda alegerea unui regulator PI (eroare staţionară =0). Pentru bucla exterioara se recomanda alegerea unui regulator PI , rar PID.

64

Page 65: Ingineria Reglarii Automate

Figura 8. Schema generala a unui sistem de reglare în cascada

Reglarea în cascada se poate exemplifica prin instalaţia de reglare a temperaturii unui reactor chimic:

Figura 9. Schema de reglare în cascada a unui reactor chimic

Referinţa regulatorului RA1 este fixata din exterior dar cea a lui RA2 este fixata de către RA1. Regulatorul RA2 acţionează prin intermediul elementului de execuţie asupra debitului de abur din camaşa reactorului. Perturbaţiile procesului pot fi variaţiile caracteristicilor aburului din camaşa reactorului – P2 sau variaţiile debitului sau temperaturii fluidului de alimentare a reactorului- P1. In schema de reglare bucla interioara are constante de timp mai mici şi permite compensarea rapida a perturbaţiilor P2(s). Ea poate fi reglata cu un regulator P sau PI daca se impune eroare staţionara nulă pentru θ1(s). Bucla exterioara sau principala conţine constante mari de timp şi reclama pentru reglare un regulator PI (care va asigura st =0 pentru ieşirea θ (s)).

R(s) RA1

2fHRA2

1fH∑ ∑

P1(s) P2(s)

Y(s)

+

+

-

Tr2RA2

RA1

Tr1

θθ1

θ0

Produs

Produs

Abur

RA1

2fHRA2

1fH∑ ∑

P2(s)P1(s)

θ (s)θ0(s) +

+

-

θ1(s)

Tr2

Tr1

-

65

Page 66: Ingineria Reglarii Automate

Criterii de reglare în cascada

Pentru ca reglarea în cascada sa fie performanta se impune următoarele restricţii:perturbaţiile cele mai importante se aplica în bucla interioara pentru a fi compensate rapid prin regulatorul RA2;constantele de timp ale parţii de proces cuprinse în bucla interioara sa fie mai mici decât

cele ale buclei principale iar raportul lor sa fie: 3 5....102

1

T

T ;

parametru de ieşire din bucla interioara sa fie direct legat de mărimea de ieşire a procesului

(funcţia de transfer f1

1

Y sH =

Y s)

Reglarea SRA cu subprocese dispuse în cascada impune reglarea întâi a mărimii intermediare şi apoi a celei de proces. Se procedează deci la determinarea regulatorului RA2 şi apoi a lui RA1. Alegerea lui RA2 se face astfel încât acţiunea să determine creşterea vitezei de răspuns a buclei interne deoarece aici se aplica perturbaţiile importante ale procesului. Alegerea regulatoarelor celor doua bucle se face în funcţie de metoda de proiectare dorita precum şi de tipul procesului.

daca acordarea regulatoarelor se fac experimental, se determina parametrii de acord ai regulatorului RA2 = P şi RA1= PI aplicând metoda limitei de stabilitate pentru fiecare bucladaca acordarea lui RA2 se face analitic se va determina parametru de acord KR astfel încât mărimea intermediara sa respecte un _st st impus . Acordarea lui RA1 se poate

Metoda de proiectare a regulatoarelorunui SRA în cascada

Analitic Experimental(Zigler-Nichols)

Tip de proces

Lent

Rapid

Met.analitice de reglare convenţională

(met. analitice de acordare a P sau PI, PID)

varianta Kessler a criteriului modululuicriteriul simetriei

Acordarea reg.convenţionale

(P, PI, PID)

66

Page 67: Ingineria Reglarii Automate

face apoi experimental aplicând Ziegler-Nichols astfel încât 0

0

0.45 ;

0.8R R

i

K K

T T

.

Regulatorul principal trebuie sa asigure eroare staţionara nulă deci obligatoriu este de tip PI. Pentru acordarea buclei principale, bucla secundara funcţionează ca o parte componenta a întregului sistem.Daca procesele sunt rapide acordarea regulatoarelor impune aplicarea metodelor analitice : metoda Kessler a criteriului modulului şi criteriul simetriei.

Acordarea regulatoarelor RA1 şi RA2 pentru procese rapideIn acest caz, bucla interioara conţine un proces a cărui funcţie de transfer conţine o singura constanta de timp dominanta şi o constanta de tip parazita.

2

22 21 1

ff

KH s

T s T s

.

Conform variantei Kessler a criteriului modulului se alege:

2 2

2 2 2 2 2

2 22

2 2 2 2 2 2

222 2

202

22

1 12 1 .

2 2

1 1

1 1 2 2 1

11

2 2 1

1

2 1

=

f f

fd

f

T s TRA un reg PI

T K s T K T s

K T sH s

T s T s T K s T T s

deoarece TT s T s

H sT s

Se reaplica acum varianta Kessler a criteriului modulului pentru bucla principala. Acesta are forma :

1

11 1

;1 1

ff

KH s

T s T s

1 1'

1 '1 1 1 1

'1 1 2

21 1 1 12 1

2

1

f ff

K KH s

T s T s T s T s

unde T

T s

T T

In acest caz se va alege regulatorul RA1 ca fiind de forma:

11 '

1 101 '

1

1

2

1

2 1 R

f

T sH s

sKs

TTH

In general se aplica criteriul modulului sau al simetriei în funcţie de tipul variaţiei în timp a semnalelor de intrare în bucle.

1

11 1

;1 1

ff

KH s

T s T s

2

1

2 1

T s RA1

67

Page 68: Ingineria Reglarii Automate

Reglarea în cascada a turatiei motorului de curent continuu

Motorul electric de curent continuu este descris de următoarea funcţie de transfer:

s I s sH s

U s U s I s

Pentru a determina cele doua funcţii de transfer se porneşte de la modelul matematic al mcc:

unde:Ra – rezistenta indusuluiLa – inductanţa indusuluiRe – rezistenta circuitului de excitaţieLe – inductanţa circuitului de excitaţieia – curent circuit de alimentaree – tensiunea electromotoareviteza unghiulara (mărimea de ieşire a sistemului)Ke, Km – constante de proporţionalitate (electrica , mecanica)Cm – cuplu motorCrez – cuplu rezistent

aa a a

e

m m a rez

diu e R I L

dte K

dC K i J C

dt

a

me e a

m

U s E s R I s LsI sK I s

E s K s U s K R Ls I sJs

K I s Js s

e ma

K KU s R Ls I s

Js

Daca notam mm e

JR LT = T =

K K Rsi

1 2;

1

m

m m

Ts

RH sT Ts T s

M Sarcina(J)

Ra La

Ue

Ua e

Re, Le

68

Page 69: Ingineria Reglarii Automate

1

1

;1 1

11

1

11

1

KH s =

T

s + 1

m

mm

mm

m

Ts

Rdeoarece T T H sT s Ts

Taproximam deoarece T este foarte mare

T

I sH s

U s R Ts

2

2

;

22

m

KH s =

T s

mm m e

e m

m e

e m

RK

s K K K RH s

JRI s Js K T ssK K

RH s

K T s

Figura 10. Schema generala de reglare a turaţiei motorului electric de curent continuu

Unde :

. (int )1

.1

iTRi

i

TR

KH functia de transfer a trad de curent ensitate

s

KH functia de transfer a trad de turatie

s

Consideram bucla interioara :

n0

TGReg. de turaţie

Reg. de curent

BC

- iA- n

M

1

2

Rn1HRI

2H (s)n0 +

+-

I(s)

Tr I

Tr n

-

I0 (s)

DCG EEU(s)

69

Page 70: Ingineria Reglarii Automate

1

1

1 1

;1 1 1

:

c if

i

i c i i i

K K KH s

s s Ts

notam K K K K si T

1

1 ;1 1

if

i

KH s

sT sT

Daca aplicam varianta Kessler a criteriului modulului rezultă :

1 0 2 21

11 1

2 2 2 1 i

R ii i i i i

ssTH s H s

s T K K T s T s

0

1 1

2 1i

ii i

sH s

K T s

22

1 1

1 2 1i

fi i m

s K KH s

K sT s T s

2

2 1fm

KH s

sT T s

22

2 tan sec

i i

i

unde

T T si este o cons ta de ordinul mili undelor

K KK

K

Pentru acordarea regulatorului se aplica criteriul simetriei care asigura răspunsul bun al sistemului la intrare de tip rampa a mărimii de intrare 0 .

2

1

4

42

iR

i

m

sH s

sT

unde TK T

T

; (Reamintim :

1

4

1; 2

cn

nc c

R f n

i

n T

sH s K T

sT

)

Bucla principala se acordează cu un regulator PI cu parametrii de acord determinaţi mai sus.

Printr-o reglare corespunzatoare a parametrilor intermediari, reglarea în cascada conduce la o reglare mult mai performanta fata de reglarea convenţionala cu un singur regulator.

RI+

-1

cK

s1

1

K

TsU(s)

1 1i

tri

KH

s

1 i

i

s

K

I(s)

R

+

-

1 1

1 2i

i i

s

K sT

0

1 1tr

KH

s

1 s

K

2

m

K

T s

mr

70

Page 71: Ingineria Reglarii Automate

C9. Reglarea după perturbaţie si combinata

Reglarea după perturbaţieMetoda de reglare propusa până acum se baza pe funcţionarea automată unui SRA dictata de abaterea sau eroarea intre referinţa şi ieşirea din proces. Referinţa reprezintă valoarea dorita a mărimii de ieşire care nu întotdeauna este diferita de ieşirea reala măsurata. Reglarea în funcţie de perturbaţie se bazează pe ipoteza ca perturbaţiile din proces sunt cunoscute şi măsurabile. Mărimea de ieşire se menţine la valoare constanta (valoarea dorita) prin măsurarea perturbaţiilor şi elaborarea comenzii înainte ca aceasta sa se modifice fata de cea dorita.

Figura 11. Schema de reglare în funcţie de perturbaţie

P RP fY s H s H s H s P s Punând condiţia ca ieşirea sa nu fie influenţata de perturbaţii sau efectul perturbaţiilor sa fie anulat prin alegerea corespunzatoare a unui regulator , rezultă:

PRP

f

H sH s

H s

Prin urmare, metoda de reglare după perturbaţie presupune cunoaşterea precisa a funcţiei de transfer a parţii fixate fH precum şi cea dintre ieşire şi perturbaţie PH .

Obs: condiţia de realizabilitate fizica a regulatorului RPH impune ca excesul de poli ai lui

fH sa fie inferior celui corespunzător lui PH :

f Pe edeoarece asupra procesului pot intervenii şi alte perturbaţii, metoda de reglare după o perturbaţie se dovedeşte a fi destul de limitataacesta metoda de reglare prezintă avantajul ca acţiunea de compensare a perturbaţiei se elaborează înainte ca mărimea de ieşire sa fi fost denaturata prin intervenţia ei.

Din combinarea metodei de reglare convenţionale după eroare cu cea reglarea după perturbaţie, se elaborează un sistem de reglare combinata.

Reglarea combinataReglarea combinata combina avantajele reglării după eroare cu cele ale erorii după perturbaţie. Un regulator RPH se utilizează pentru compensarea acelor perturbaţii care sunt măsurabile. El trebuie sa

asigure viteza ridicată de răspuns pentru compensarea efectului acestora. Un alt regulator RH poziţionat pe calea directa asigura eroare staţionară nulă dar şi compensarea efectelor celorlalte perturbaţii care nu sunt direct măsurabile:

HRP(s) HF(s)

HP(s)

∑+

+

Y(s)

P(s)

71

Page 72: Ingineria Reglarii Automate

Figura 12. Schema de reglare combinata

Pentru a determina Y(s) aplicam principiul superpoziţiei presupunând succesiv acţiunea lui P(s) şi a lui R(s):

1 P

P R fR f

H sY s P s H s Y s H s H s Y s P s

H s H s

1 RP f

RP R fR f

H s H sY s P s H s Y s H s H s Y s P s

H s H s

1R f

R f

H s H sY s R s

H s H s

Din relaţiile , şi rezultă :

1 1 1R f RP fP

R f R f R f

H s H s H s H sH sY s R s P s P s

H s H s H s H s H s H s

0 OPY s H s R s H s P s

0 00 0

1 P RP f

R fP P

H s H sH s s

H

HH

s

H s s

PRP

f

H sH s =

H s

Regulatorul principal va fi acordat considerând ca perturbaţiile principale sunt compensate de RPH iar ieşirea trebuie sa aibă performanţele impuse.

Exemplu:

Se considera procesul tehnologic descris prin 2

1.2 1fH ss

. Elementul de execuţie este un element

de întârziere de ordinul I cu factor de amplificare 2 şi constanta de timp 1,2s. Daca perturbaţia se aplica direct în proces iar funcţia de transfer a traductorului de perturbaţie este 0.5 , sa se dimensioneze funcţia de reglare după perturbaţie RPH .

R(s)

+HR Hf

HP

HRP

+ ∑

P(s)

-

-Y(s)

72

Page 73: Ingineria Reglarii Automate

0f RP TP E fP s H P s H s H s H s H

1 1

1.2 12

0.51.2 1

RPTP E

H s sH s H s

s

C10. Sisteme de reglare cu predicţie a proceselor timp mortSistemele cu timp mort conţin în expresia funcţiei de transfer, componenta se care induce mărimii de ieşire şi implicit transmiterii semnalului de reacţie, o întârziere egala cu . Semnalul de reacţie este

transmis defazat fata de R(s), ceea ce face imposibil calculul de eroare s R s Y s . Pentru a

asigura un proces de reglare continuu si sincron din punctul de vedere al momentului în care se colectează mărimea de ieşire în raport cu referinţa, se încearcă separarea componentei se din funcţia

fH s :

0 1

sR

sR

H s H s eH s

H s H s e

Componenta se determina un număr infinit de poli daca consideram relaţia : arg cos sinωj z jz z e z e z j

s j

cos sin ; jse e j

Aceasta ecuaţie este zero pentru : 1... k unde k 0H s are un număr infinit de poli deci

este o structura dificil de exploatat practic.

Sistem de reglare cu compensarea timpului mort

-R(s)

+HR 2

1,2 1EH ss

HRP

+ ∑

P(s)

-

Y(s)HF

0.5TPH s

HR (s) sH s e Y(s)R(s)

73

Page 74: Ingineria Reglarii Automate

Vom încerca proiectarea unui sistem de reglare care sa separe si în final sa facă abstracţie de

componenta cu timpul mort. Structura pe care o propunem va realiza reglarea mărimii de ieşire y t -

punctul A din Figura 13, situata înaintea elementului care întarzie cu acesată mărime ( y t ). în

acest mod sistemul de reglare propus, va urmări si regla mărimea y1(t):

Se va pune structura de reglare sub forma :

Figura 13. Schema funcţionala a unui sistem cu timp mort

**0 1

sR

R

H s H s eH s

H s H s

Se pune condiţia de egalitate a celor doua funcţii de transfer:

*0 0H s H s

*

*

* *

* * *

1 1

1 1

1

s sR R

sR R

sR R R R

sR R R R

H s H s e H s H s e

H s H s e H s H s

H s H s H s H s H s H s e

H s H s H s H s H s e H s

*

*1 1R

R sR

H sH s

H s H s e

Prin urmare daca se cunoaşte *

RH care se determina prin algoritmi de reglare convenţionali aplicaţi

mărimii intermediare 1y t , se poate determina legea de reglare a mărimii y t corespunzatoare

procesului cu timp mort:

y

t

y(t-y1(t

Hf (s)

*RH H(s) se

Y1(s) Y(s)R(s)

A

74

Page 75: Ingineria Reglarii Automate

Figura 14. Sistem de reglare cu compensarea timpului mort

Teoretic deci se poate determina legea de reglare a procesului cu timp mort însa cu condiţia ca

variabila 1y t sa poată fi pusa în evidenta ca variabila măsurabila.

Daca mărimea 1y t nu este accesibila măsurarii, se procedează la estimarea teoretica a acesteia.

Metoda cu un caracter de generalitate crescut propune definirea unui model teoretic care sa aproximeze printr-un model matematic apropiat procesul real şi care sa fie de compoziţie similara cu cel real. El este deci compus din partea care conţine timp mort m (indicele 'm' este abrevierea de la 'model') şi cea

care nu conţine timp mort mH s . Abaterea dintre mărimea de ieşire din sistemul de aproximare

teoretica şi cel real, constituie semnalul de eroare care exprima precizia matematica a aproximării. Aceasta însumată cu ieşirea 1mY s din modelul teoretic va constitui bucla de reacţie a sistemului global de eroare. Pe bucla de reacţie a sistemului de reglare, este achiziţioantă mărimea de ieşire (modelul

teoretic) din Hm(s) situata înaintea elementului de întarziere pura m-τ se (punctului A în modelul real ii

corespunde B din modelul teoretic) . Aceasta este o variabila continua în timp si sincrona cu R(s)

sau:

R(s) *RH s sH s e Y(s)

1 se H (s)

++

- -

Y1(s)=U(s)

= regulator cu predictor

H(s) -τse Y(s)

Parte fixa

A y(t) *

RH sR(s)

Hm (s)m-τ se

+

-

-+

-

U(s)

Predictor

By(t+)

y(t)

Regulator

y r (t)= y(t+)

75

Page 76: Ingineria Reglarii Automate

Figura 15. Sistem de reglare cu predicţie

Deşi cele doua scheme prezentate în Figura 15 sunt echivalente, prima pune mai clar în evidenta care este zona echivalenta cu regulatorul procesului.

Funcţia de transfer a predictorului este:

1

m

m

m m

m

Y s U s H s U s H s e

Y s U s H s e

m-τPR m H s = H s 1 - e s

Sistemul poate fi reprezentat schematic si astfel :

in care funcţia echivalenta a regulatorului este:

*RH s H(s) -τse

Y(s)R(s)

Hm (s) m-τ se

+-

-+

-

U(s)

Predictor

Parte fixa

B

A

y(t)

y(t+)

y(t)

y r (t)= y(t+)

Hm (s)m-τ se

-

1mY s Predictor

B

y(t+)

U(s)

Y(s)

u(t+)

R P

76

Page 77: Ingineria Reglarii Automate

m

*R

R -τ s*R m

H sH s =

1 + H s H s 1 - e

Facând o analiza temporala, pe reacţia sistemului de reglare ajunge mărimea:

ry t y t y t y t y t

ry t y t rezulta ca mărimea de reacţie care ajunge în comparator este devansata cu un

timp – deci cu predicţie - fata de ieşirea y(t) a instalaţiei tehnologice.

Daca m

m

H s H s

rezulta ca funcţia de transfer echivalenta a sistemelor: instalaţie tehnologica si predictor se determina apelând la principiile de echivalare specifice legării în paralel:

-1 1-s sH s H s e H s e H s .

Cele doua sisteme sunt echivalente cu funcţia de transfer a procesului fără timp mort. Prin urmare proiectarea regulatorului RA se face apelând la tehnicile de reglare convenţionale considerând numai

funcţia de transfer H s si facând abstracţie de timpul mort.

Sistem de reglare cu predictorAlta varianta pentru reglarea/compensarea proceselor cu timp mort consta în introducerea pe reacţie a unui element care sa realizeze funcţia de anticipaţie pura :

Schema generala a acestui SRA este:

Figura 16. Schema generala a unui sistem cu predicţie

*RH s

R(s)

Hm (s)m-τ se

+

-

-

+

-

U(s)

Predictor

By(t+)

y(t)

Regulator

Predictor R Predictor

Predictor

P(s)

P(s)U(s) Y(t-)

77

Page 78: Ingineria Reglarii Automate

Implementarea practica a unui asemenea element aplica aproximarea sa prin dezvoltarea în serie a exponenţialei:

Prezenta celor doua predictoare conduce la apariţie unei erori la momentul ceea ce înseamnă ca

sistemul se comporta ca si cum timpul mort al procesului nu ar exista. în acest caz se pot aplica metodele de acordare a regulatoarelor dedicate reglării proceselor fără timp mort.

Procedura de reglare

se construieşte modelul msmH s e fiind data funcţia de transfer a parţii fixate;

se separa timpul mort si se construieşte schema de reglare cu compensarea timpului mort si

estimarea procesului real prin modelul msmH s e

se proiectează algoritmul de reglare pe baza modelului mH s , aplicând metode analitice

sau experimentale pentru acordarea regulatorului *RH s

se calculează funcţia de transfer a regulatorului echivalent:

*

-*1 1- m

RR s

R m

H sH s

H s H s e

Aplicarea metodei limitei de stabilitate pentru acordarea regulatorului

Se considera procesul tehnologic : sF FH s K e . Sa se determine funcţia de reglare optima

considerând un regulator proporţional:

Aplicam metoda Ziegler-Nichols pentru reglarea lui Y(s):

se aduce sd R FH s K K e la limita de stabilitate:

1 jd R FH j K K e

00 11

FF

R RKKK

K

prin aplicarea unei pulsaţii : arg

;

=

dH j

00

2; 2 T T

; 0

10.5

2R RF

K KK

RK sFK e R(s)

Y(s)

78

Page 79: Ingineria Reglarii Automate

C11. Sisteme cu reacţie după stareSistemele de reglare propuse pana în acest moment s-au bazat pe descrierea parţii fixate prin funcţii de transfer care traduc raportul intrare-ieşire exprimat prin transformatele Laplace ale acestor mărimi. Pentru procesele liniare sau liniarizate monovariabile, modelelor intrare-ieşire le putem asocia expresia analitica echivalenta a modelului temporal intrare-stare-ieşire.

Mărimea de ieşire este direct proporţionala cu vectorul variabilelor de stare . Variaţia

temporala a variabilelor de stare este dependenta de intrarea :

.

;T

x t A x t B u t

y t C x t

unde matricele A, B, C se determina cu ajutorul coeficienţilor care apar în expresia diferenţială sau în funcţia de transfer a procesului. Daca s-au identificat pentru proces n variabile de stare, iar procesul are m intrări, atunci dimensiunile matricelor de stare sunt:

unde n = nr. variabilelor de starem = nr. intrărilor în sistem p = nr. ieşirilor din sistem (sistemele pot fi MIMO sau SISO)

Modele matematice ale sistemelor liniare monovariabile

Funcţii de transfer(intrare – ieşire)

variabila complexa s

Ecuaţii de stare(intrare –stare – ieşire) variabila reala timp t

MIMOn variabile de

stare1

2

:

m

u

u

u

1

2

:

p

y

y

y

79

Page 80: Ingineria Reglarii Automate

Vectorul de stare x t este alcătuit dintr-un set minim de variabile care caracterizează complet

procesul. Variabilele de stare se aleg în funcţie de modelul matematic diferenţial (liniar sau liniarizat) de care dispunem insa numărul lor este acelaşi. Variabilele de stare pot fi :

variabilele de faza,variabilele canonice,variabile fizice.

1) Sistem definit prin ecuaţie diferenţială (sistem definit prin variabile canonice) :

Determinarea ecuaţiilor de stare

4 3 2 1

3 2 1 0 04 3 2 1

d y d y d y d y dya a a a b u t

dtdt dt dt dt

Ca variabile de stare se pot alege variabila y si derivatele sale :

Pentru cele patru necunoscute se poate scrie sistemul:

.

1 2

.

2 3

.

3 4

.

4 0 1 1 2 2 3 3 4 0 1 0

x x

x x

x x

x a x a x a x a x a x b u t

Model matematic

Ecuaţii de stare Funcţie de transfer

Funcţie de transferEcuaţii de stare

80

Page 81: Ingineria Reglarii Automate

.

11

..

2 2

.3

3

0 1 2 3 04.

4

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

xx

x xx u t

xx

a a a a bxx

.

x t A x t B u t

1

2

3

4

1 0 0 0 T

x

xy C x t

x

x

Ty t C x t

Ecuaţiile si descriu mărimea de ieşire y t a sistemului ca o funcţie de variabilele de stare

definite de vectorul x t . Se retine deci ca aceasta reprezentare conţine dependenta de timp a

variabilelor referite.

Determinarea funcţiei de transfer a procesului când se cunosc matricele de stare Matricele A, B si C care descriu spaţiul stărilor permit determinarea funcţiei de transfer a procesului, respectiv raportul transformatelor Laplace ale ieşirii si intrării. Astfel, daca se efectuează transformatele Laplace ale variabilelor care apar în ecuaţiile si se obţin ecuaţiile în :

Matricea se numeşte matrice de tranziţie sau matrice fundamentala. în domeniul

timp acesta matrice se determina prin:

Cum rezulta ca cunoaşterea matricei de tranziţie si a comenzii

la un moment dat permite determinarea cu usurinţa a ieşirii .

Determinarea modelului intrare-stare-ieşire în funcţie de funcţia de transfer a procesului

81

Page 82: Ingineria Reglarii Automate

Daca se cunoaşte funcţia de transfer a procesului, acesta se scrie ca produs de funcţii de transfer elementare (daca este posibil):

Daca se scriu relaţiile în domeniul timpului rezulta:

2) Sistem definit prin variabile fizice :

Consideram modelul matematic al motorului de curent continuu cu excitaţie independenta (vezi Reglarea în cascada a motorului de cc):

unde:Ra – rezistenta indusuluiLa – inductanţa indusuluiRe – rezistenta circuitului de excitaţieLe – inductanţa circuitului de excitaţieia – curent circuit de alimentare

M Sarcina(J)

Ra La

Ue

Ua e

Re, Le

82

Page 83: Ingineria Reglarii Automate

e – tensiunea electromotoareviteza unghiulara (mărimea de ieşire a sistemului)Ke, Km – constante de proporţionalitate (electrica , mecanica)Cm – cuplu motorCrez – cuplu rezistent

Variabilele în raport cu timpul sunt :

S-au ales ca variabile de stare rotaţia unghiulara , viteza de rotaţie unghiulara si valoarea

intensitaţii curentului rotoric deoarece sunt variabile masurabile. Modelul matematic al procesului se poate exprima în funcţie de variabilele de stare alese sa fie mărimi fizice masurabile si reglabile. în egala măsura se poate gândi un algoritm de reglare a mărimii de ieşire din proces, prin controlul si corecţia acestor variabile de stare ceea ce conduce la un sistem cu reacţie după stare. Utilizarea reacţiilor după stare conduce la obţinerea unor performante superioare ale răspunsului în regim tranzitoriu (stabilitate si viteza de răspuns ridicate):

HC(s) Proces

K T

r(t) +

-

+

-∑

y(t)u(t)

u(t)

(t)

x(t)

83

Page 84: Ingineria Reglarii Automate

Figura 17. Sistem cu reacţie după stare

In figura Figura 17, s-a reprezentat schema generala a unui sistem cu reacţie după stare. S-a notat cu

legea de reglare a comenzii .

Reacţia este definita prin vectorul sau iar

comanda este corectata cu: 1 1 2 21

..n

Tn n i iu t K x t k x k x k x k x .

Legea de reglare poate fi de tip proporţional sau integrator. în fiecare din aceste cazuri se pot

scrie relaţiile:

1. .

Acesta lege de reglare se recomanda atunci când procesul conţine un pol în origine; legea de

reglare proporţionala asigura numai un răspuns rapid. Inlocuim expresia în ecuaţia de

stare a procesului:

In acest caz matricea fundamentala devine: .

Cum , rezulta ca prin alegerea corespunzatoare a matricei

se asigura o anumita evoluţie a stării si deci a ieşirii procesului.

2. .

Acest algoritm asigura o buna comportare în regim tranzitoriu (viteza de răspuns ridicata) dar si în regim staţionar (eroare staţionara nula).

Daca variabilele de stare nu sunt accesibile măsurării, se poate utiliza pe reacţie un set de variabile de

stare estimate . Sistemul de reglare construit se bazează pe generarea vectorului variabilelor de

stare de către un estimator de stare teoretic:

84

Page 85: Ingineria Reglarii Automate

Metoda de reglare după stare presupune determinarea legii de reglare a comenzii dar si alegerea corespunzatoare a matricei de corecţie a stării astfel încât sa se atingă parametrii de performanta doriţi pentru ieşirea procesului.

Exemplu: Pentru procesul definit de funcţia de transfer : sa se determine

matricea care sa asigure eroarea zero în regim staţionar a răspunsului

sistemului.

;

;

;

Condiţia ca eroarea în reg. staţionar sa fie zero este ca

HC(s) Proces

K T

r(t) +

-

+

-∑

Y(s)U(s)

u(t)

(t)

X s

Estimator de stare

85

Page 86: Ingineria Reglarii Automate

C12. Aplicaţii

Problema 1

Pentru se determine:

a) răspuns indicialb) performantele răspunsului în reg. tranzitoriu si staţionar

c) răspuns staţionar al sistemului la intrare rampa de tipul

Rezolvare:a) , b) Răspunsul în timp al unui sistem de ordinul II este:

unde :

Pentru

c)

-p1

-p2

+j

+1 n

86

Page 87: Ingineria Reglarii Automate

Problema 2

Pentru (sistem cu un zero suplimentar) sa se determine răspunsul la intrarea

treapta / rampa unitara pentru valori ale lui Rezolvare:

; ;

87

Page 88: Ingineria Reglarii Automate

Problema 3

Pentru (sistem cu un pol suplimentar) sa se determine răspunsul la

intrarea treapta / rampa unitara pentru valori ale lui Rezolvare:

; 1 1 atL e

s a

p A Bp=1/0.2=5 0.9524 0.0476

p=1/0.4=2.5 0.7895 0.2105p=1/0.6=1.66 0.5263 0.4737

Cu cat polul se apropie de origine, suprareglajul scade dar durata reg. tranzitoriu se măreşte.

88

Page 89: Ingineria Reglarii Automate

89

Page 90: Ingineria Reglarii Automate

Problema 4Se considera procesul caracterizat prin (Figura 18):

Se cere:structura SRA

sa se proiecteze SRA astfel încât : ¨

precizaţi tipul regulatorului si valorile parametrilor de acord. Cat este care este efectul coeficientului de amplificare asupra performantelor tranzitorii ale SRA în raport cu perturbaţia v de tip treapta unitara?

Rezolvare:

Figura 18

Structura SRA este:

1

s

1

s

5

5

5 1

s

s

5 1s

+

+

+

-

++

y

UY1

U

1

s

5

5 1s

+

-

++

yU

1

5s 5 1s

++

U RH sy

1

5s 5 1s

++

yU

90

Page 91: Ingineria Reglarii Automate

Aplicând criteriul modulului

;

Factorul nu influenţează răspunsul la aplicarea perturbaţiei v.

91

Page 92: Ingineria Reglarii Automate

Problema 5Se considera următoarea structura SRA (vezi ). Se cere:

apreciaţi stabilitatea sistemuluisa se calculeze eroarea staţionara în raport cu referinţa : rampa/treapta unitara si efectul perturbaţiei v asupra ieşiriisa se traseze hodograful funcţiei folosind utilizând asimptotele locului de transfer pentru frecvente joase si inalte (Figura 2)sa se calculeze : pentru răspunsul SRA si sa se determine expresia răspunsului indicial

Rezolvare:

;

rad. complexe în semiplanul stâng deci sistem

stabil

deoarece pe calea directa este un regulator PI (un pol în origine) , în raport cu referinţa treapta unitara este 0.

5

1

2s

0.1

0.5s

1

s

0.1

+

-

+

+

+

-

v

r

H12 H3 H45

92

Page 93: Ingineria Reglarii Automate

sau

perturbaţia este rejectată datorita prezentei integratorului înaintea punctului de aplicaţie al lui v.

unde

pentru trasarea hodografului

fie se iau valori în intervalul :

si

se reprezintă numărul complex

fie se trasează asimptotele locului de transfer pentru frecvente joase si inalte (Figura 2) pentru

funcţia . Suntem în cazul : unde este tipul sistemului iar este

excesul de poli fata de zerouri ai funcţiei:

93

Page 94: Ingineria Reglarii Automate

10

2

( )( ) ;

( )

-

md

n

P sKH s

P ss

n m

Pentru

K

0

Im

Re

θ

θ

θ

θ

Im

Re

a) b)

K

0

Im

Re

θ

θ

θ

θ

Im

Re

a) b)

94

Page 95: Ingineria Reglarii Automate

Problema 6Se considera un rezervor alimentat de la o sursa de debit supusa unor perturbaţii (Figura 19). Urmărind menţinerea constanta a nivelului din rezervor se cere:

structura SRAstrategia de reglare cunoscând ca debitul pe conducta de alimentare se măsoară cu un traductor a

cărui funcţie de transfer este : . Elementul de execuţie are iar funcţia de

transfer a rezervorului este . Dinamica conducţiei este neglijabila. Traductorul de

nivel este de tip proporţional algoritmul de reglare astfel încât pentru treapta unitara, răspunsul indicial sa fie aperiodic cu

.

Figura 19

Rezolvare:

RA1

RA2

Q

R2

TD

TN

R(s) RA1EH1RH

42

10 1

se

s

V1

Y(s)

+

+

-1FH

1TH

2TH

95

Page 96: Ingineria Reglarii Automate

proces rapid cu :

reg. PI cu

R(s)2RH

2

3 1EHs

1RH

42

10 1

se

s

V1

Y(s)

+

+

-1 1FH

1

0.5

0.1 1THs

2 0.3TH

R(s)2RH

42

10 1

se

s

Y(s)

+-

2 0.3TH

0.1 1

5

s 1

0.2 1s

R(s)2RH

46

5 10 1 0.1 1se

s s

Y(s)+

-

1

0.3

96

Page 97: Ingineria Reglarii Automate

Aplicând insa varianta Kessler a criteriului modulului nu se obţine un răspuns aperiodic

Se va dimensiona regulatorul aplicând metoda alocării poli-zerouri.

. în figura de mai jos se vede răspunsul aperiodic.

;

R(s) *2RH

6

5 10 1 0.1 1s s

+

-

1

0.34se Y(s)

97

Page 98: Ingineria Reglarii Automate

*

*1 1R

R sR

H sH s

H s H s e

98

Page 99: Ingineria Reglarii Automate

Problema 7

Se considera procesul cu structura din figura caracterizat de funcţia de transfer : Se

cere sa se proiecteze un algoritm de reglare astfel încât sa se fie îndeplinite următoarele performante: suprareglaj , durata reg. tranzitoriu si la semnal treapta la

intrare rejecţia perturbaţiei

Rezolvare:Pentru a asigura rejecţia perturbaţiei este necesar ca algoritmul de reglare sa conţină componenta integrală (polul în origine sa se găsească înaintea punctului de aplicaţie al perturbaţiei ). în plus, pentru asigurarea unei viteze ridicate de răspuns se recomanda alegerea unui algoritm PID:

pentru simplificarea constantei de timp principale, se alege

; deci este funcţie de transfer a unui

sistem de ordinul II cu un zero suplimentar (cu expresia analitica generica

se vor determina din performantele impuse sistemului de ordinul II făcând abstracţie de zeroul suplimentar după care se va compensa efectul zeroului:

Prezenta zeroului duce la creşterea suprareglajului, reducerea duratei reg. tranzitoriu, creşterea frecventei de banda ..etc. Compensarea creşterii suprareglajului se realizează prin introducerea unei

reţele de corecţie înaintea comparatorului :

10

20 1fHs s

99

Page 100: Ingineria Reglarii Automate

Problema 8

Sa se proiecteze SRA astfel încât : 100

10 1FH ss s

7.5%

0.02

50 / sec v

B rad

Rezolvare:

eF = 2 sistem de ordinul II.

21II e

B n

B n

B n

B n

ξ = 0.5 ω = 1.27ω

ξ = 0.6 ω = 1.15ω

ξ = 0.7 ω ω

ξ = 0.8 ω = 1.76ω

1) 7.5%

22) 0.02 0.02

3) 50 / sec

v v

0.65

n

BII rad

n

2 2 4n n

ξ

ω 65 rad/sec

ω 1- 2ξ 2 - 4ξ + 4ξ ω 46 rad/sec

Intre 2) şi 3) rezultă contradicţie deci este necesar sa procedam astfel: se respecta rezultatul condiţiei 3) pentru pulsaţia naturala şi se sacrifica rezultatul cond 2).

ceea ce nu respecta

Pentru respectarea erorii de viteza impuse, se adaugă un zero suplimentar care duce la scăderea sa fata de cea corespunzătoare unui sistem de ordin II. Dar adăugarea unui zero suplimentar conduce la e0 = 1. Cum condiţia iniţiala este 2 F 0e e rezulta ca trebuie adăugat şi un pol, deci alegem varianta cu dipol.

3

3 3

33

3

1.03

7.5 3 4.5%

2 1 1 1 10.02 0.02

1 10.008

3.75

3.641.03

=0.7

0.028n

p

z

p z p z

pp z

zp

z

B n

v

Δσ = 3%

ω ω = 50 rad/sec

100

Page 101: Ingineria Reglarii Automate

2

0 2 2

3.753.64

3.642 3.75

n

n n

sH s

s s s

101