Ingineria reglarii automate (5).pdf

Proiectarea Sistemelor de Reglare Automata cu Timp Discret

Cap.7. Proiectarea Sistemelor de Reglare Automată cu timp discret

7.1. Structura unui sistem de reglare automata cu timp discret In aplicatiile de conducere actuale algoritmii de reglare (a.r.) se implementează sub forma numerica (a.r.n.) cu ajutorul tehnologiilor numerice de prelucrare a informatiei (calculator, microprocesor, DSP). Structura de sistem de reglare automata (SRA) (cu prelucrarea informatiei) in timp discret este prezentată în fig.7.1-1. În vederea realizării a.r.n. dispozitivul de conducere numerică (DC) se interfaţează cu procesul condus (PC) si cu elementul de referinta prin intermediul convertoarelor de semnal, convertoarele numeric-analogic CNA şi analog-numeric CAN.

Fig.7.1-1. Structura unui sistem de reglare automata cu timp discret

Convertorul numeric-analogic are ca şi corespondent informaţional “eşantionatorul cu element de reţinere” (Zero Order Hold, ZOH) iar convertorul analog–numeric are ca şi corespondent informaţional “eşantionatorul”. Acţiunea simultană (in practica „aproape simultană”) a regulatorului numeric (RG), a CNA şi a CAN este asigurată de ceasul de timp (CT, generatorul de tact, generatorul perioadei de eşantionare Te ). Prin actiunea „eşantioanelor”, informaţiile din timp continuu se convertesc în informaţii în timp discret.

7.2.Modele matematice cu timp discret asociate sistemelor cu timp continuu. Reprezentarea prin MM cu timp discret (MM-t-D) al unui sistem cu timp (S-t-C) continuu trebuie corelata cu locul si rolul acestuia in cadrul SRA. In acest context apar si diferitele metode de asociere a MM-t-D la S-t-C:

- regulator cu timp discret, - proces cu timp continuu condus de catre un regulator cu timp discret.

A. Caracterizarea prin MM cu timp discret a PC cu timp continuu (procese conduse continuale). Schema de bază luată în considerare este prezentată în fig.7.2-1, in care procesul continual include elementul de executie (EE) procesul tehnic (PT) si elementul de masura (EM). Schema se refera la esantionarea informatiilor relative la marimea de iesire; însă, ea poate fi extrapolata si la marimile de stare ale procesului.

Fig.7.2-1. Stabilirea MM-t-D in cazul unui process condus continual

Procesul continual PC poate fi caracterizat prin MM continual de tip intrare-stare-iesire (MM–ISI) sau prin echivalentul intrare-iesire (MM-II). Prezenta elementelor ES-ER si respectiv ES permite explicitarea unor MM-t-D care caracterizeaza comportarea PC-t-C la momentele de timp discret.

1


Cazul PC-t-D caracterizat prin MM-ISI, (7.2-1):

⎩⎨⎧

⋅+=⋅+⋅=

)t(ud)t(xc)t(y)t(ub)t(xA)t(x

cT

c& (7.2-1)

Echivalentul MM cu timp discret este dat de relatia (7.2-2):

⎩⎨⎧

⋅+⋅=⋅+⋅=+

ckdkTdk

ckdkd1k

udxcyubxAx

(7.2-2)

În cazul sistemelor reale . Există diferite modalităţi de calcul al matricelor 0dd d =={ d,c,b,A ddd }; în continuare vor fi prezentate sintetic două variante: • Varianta 1: bazată pe integrarea ecuaţiei diferenţiale pe durata perioadei de eşantionare; ca

rezultat se obţine:

dd,cc,dbeb,eA dTT

d

T

0

Ad

TAd

e

e ==θ⋅⋅== ∫ θ⋅ (7.2-3)

• Varianta a 2–a: bazată pe calculul matricelor MM-ISI-t-D prin dezvoltare în serie de puteri: b]TA[

)!1i(1

Tb)IA(Ab)TA(!i

1A i

e0i

ed1

di

e0i

d ∑∑∞

=

−∞

= +=−== (7.2-4)

Cazul PC continual caracterizat prin MM-II continual explicitat in domeniul operational prin intermediul functiei de transfer (f.t.) continuale H(s). Scrierea MM-II-t-D sub forma f.t. cu timp discret H(s) se bazeaza pe echivalenta raspunsurilor indiciale (pe durata unei perioade de esantionare Te ) si are la baza relatia (7.2-5) (a) adusa la forma (b):

)b(s1)s(HLZ)z1()z(H)a(

s1)s(HLZ

z11)z(H 11

dTkt

11d

e ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=

−−−

=

−−

(7.2-5)

Cazurile de interes pentru aplicaţiile practice sunt cele în care f.t. continuala H(s) este o formă raţională – extinsa cu un factor care caracterizeaza eventualul timp mort ( ) al sistemului, – cu corespondent de forma rationala, . Pentru multe f.t. in z, H

mT msTe−

)z(A/)z(B d(z), are forme rationale, tabelate. În literatură, coeficientii modelului discret pot fi aliniaţi fie cu puterile crescatoare ale lui z, fie cu puterile crescatoare ale lui z-7. Forma Hd(z) poate fi descompusă în fracţii simple. Fie pentru simplificare cazul în care f.t. continuală a procesului condus HPC(s) are polii reali şi distincţi:

∑= α+

β+

β=

n

i i

iPC ss

sHs 1

0)(1 (7.2-6)

Corespunzător, f.t. in timp discret obţine forma:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−β

+−β−

= ∑=

α−

n

1iT

10EPC iiez

z1z

zz

1z)z(H (a) (7.2-7)

sau, în forma în z-1:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−β

+−β

−= ∑=

α−−−−−

n

1iT1

11

011EPC iiez1z1

)z1()z(H (b) (7.2-7)

αi reprezintă inversa unei constante de timp: αi = 1/Ti , i = 1,… n. Dacă f.t. HPC(s) are şi poli complex conjugaţi, în relaţia (7.2-5) se va utiliza relaţia specifică acestei explicitari, de forma:

2aT21e

aT-

-1e

-aT

221

zez)bTcos(2e-1)zcos(bTe-1

b)as(asLZ

ee

e

−−−−

+=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+++ (7.2-8)

2


Valoarea coeficientului va depinde de valoarea lui Te-aTe e; altfel spus, pentru un PC continuu, având HPC(s) cu constantele de timp {T1, T2, …}, coeficienţii MM cu timp discret HPC(z) vor depinde de valoarea perioadei de eşantionare (Te). În consecinţă, orice schimbare a perioadei de eşantionare Te implica recalcularea coeficienţilor MM cu timp discret.

Observaţii: 1. Omiterea elementului de reţinere ER în calculul f.t. în z aferentă PC, (rel.(7.2-5)), conduce la falsificarea rezultatelor. 2. Prezinta interes deosebit cunoasterea efectelor modificarii perioadei de esantionare Te asupra modificarii valorilor coeficienţilor MM cu timp discret. Rezultatele unui astfel de studiu va fi exemplificat pentru un exemplu numeric.

Exemplul 7.2.1: Să se studieze influenţa valorii lui Te asupra coeficienţilor f.t. HEP(z) pentru un PC caracterizat prin f.t.:

)s101)(s5.71)(s51(1)s(H P +++

= pentru Te = 2; 6; 12 sec. (7.2-9)

Soluţie: Urmând calea descrisă anterior se obţine:

13

32

21

1

22

1101

P zzazaza1

zbzbb)z(H −

−−−

−−−

+++++

= (7.2-10)

Valorile coeficienţilor astfel calculaţi sunt prezentate în tabelul 7.2. Analiza valorilor calculate si a tendinţelor in modificarea acestora la modificarea lui Te este deosebit de importantă. Pe baza exemplului prezentat se pot forma câteva concluzii generale privind influenţa perioadei de eşantionare Te asupra valorii coeficienţilor f.t. în z pentru o f.t. HPC(s) bine precizată:

- odată cu creşterea lui Te , valoarea absolută a coeficienţilor aν scade; - odată cu creşterea lui Te , valoarea absolută a coeficienţilor bμ creşte; - odată cu creşterea lui Te , valorile sumelor (a) şi (b) cresc dar raportul (c) rămâne constant,

egal cu coeficientul de transfer al PC continual,

0sPEPCp

n

1

m

0)s(H)1(Hka1/b

==ν=μ

μ ===⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑∑ υ

;

Tabelul 7.2. Valorile coeficienţilor din relaţia (2-10). Coeficient \ Te Te = 2 Te = 6 Te = 12

a1 –2.25498 –7.2993 –0.59381 a2 7.68932 0.54723 0.10645 a3 –0.42035 –0.07427 –0.00552

3 1 + ∑ aν (a) ν=1

0.01399

0.17362

0.50712

b1 0.00269 0.05108 0.22608 b2 0.00926 0.1086 0.26433 b3 0.00186 0.01391 0.02672

3 ∑ bμ (b)

μ=0

0.01399

0.017362

0.50713

2 3 (∑bμ)/(1+∑aν) (c)

μ=0 ν=1

1

1

1

- la creşterea excesivă a valorii perioadei de esantionare Te, se manifestă următoarele tendinţe (general valabile):

(1) ∑ υ<<

2

13 aa (2) ∑ μ<<

1

02 bb .

3


In concret, la creşterea excesivă a lui Te apare tentaţia reducerii ordinului sistemului prin neglijarea coeficientilor aferenti termenilor cu indici mari (aferente valorilor mult trecute). O astfel de reducere a ordinului este recomandată doar in anumite situatii (de exemplu, in cazul unui proces cu autostabilizare, aperiodic) întrucât între momentele de eşantionare sistemul iniţial (cu ordinul neredus) şi cel dat de modelul de ordin redus pot avea comportări net diferite, ele comportandu-se aproape identic numai în momentele de eşantionare. In tabelul 7.3. sunt prezentate f.t. in z aferente unor procese de ordin redus (benchmark) frecventa in aplicatiile industriale. Semnificatia abrevierilor este cea cunoscuta. In cazul PC multivariabile, fiecare canal de comandă va fi prevăzut cu modul ZOH (CNA) şi comanda continuă uc,i va fi construită din secvenţa de comandă u*

i(t) prin reţinere şi MM-t-D aferent fiecarui canal se calculeaza independent.

B. Discretizarea legilor de reglare contiuale (l.d.r) prin aproximarea integralei şi derivatei. Aceste metode au la baza relatia:

nn

1n

n1n

1n

0)c(),b(),a(s pzpz1

qzqzq)z(P)z(Q)s(H)z(H

+++⋅++

===−

= K

K sau (7.2-11)

nn

11

nn

110

n

n1

zpzp1zqzqq

zz

)z(P)z(Q)z(H

−−

−−

−

−−

+++++

==K

K (7.2-12)

Diferitele metode de aproximare, relatiile date la punctele (a), (b) sau (c) conduc la MM-II-t-D diferite. Funcţiile de transfer ale PC şi RG se scriu cu indicii coeficienţilor corelaţi cu puterile negative ale lui z , de exemplu . 1

1 zp −

(a) Metoda dreptunghiurilor întârziată (MD-I) metoda diferenţei de ordinu1 1 avansata. Se bazeaza pe relatiile (echivalente in continut):

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=

−=

−=<=>

−=

−

−e

e

1

1

e

ee

T)t(y)Tt(y

dtdy,

zz1

T1s

)1z(T1s

1zT

s1 (7.2-13)

(b) Metoda dreptunghiurilor avansată (MD-A) metoda diferenţei de ordinul 1 întârziată. Se bazeaza pe relatiile:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=

−=

−=

<=>−

=− e

e

1

e

ee

T)Tt(y)t(y

dtdy

)z1(T1s

z1z

T1s

1zzT

s1 (7.2-14)

(c) Metoda trapezelor (MT, relaţia lui Tustin). Se bazeaza pe relatiile:

1z1z

T2s

1z1z

2T

s1

e

e

+−

=<=>−+

= (7.2-15)

Remarcă: Relaţiile (7.2-13)-(7.2-15) sunt relatii care asigura transformări conforme ale planului “s” în planul “z” (şi invers). Efectul acestor transformări este ilustrat în fig.7.2-2. Exemplul 2.2: Discretizarea l.d.r. continuale de tip PID (varianta ideală) cu f.t.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++= d

iRR Ts

Ts11k)s(H . (7.2-16)

Soluţie: Dacă se utilizează metoda dreptunghiurilor întârziată (b) se obţine:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

−+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+

−+= −

− )z1(TT

z1zT

TT1k

zT1zT

1zzT

T11k)z(H 1

e

d1

e

i

eR

ed

e

iRR (7.2-17)

sau 1

22

110

R z1zqzqq

)z(H−

−−

−++

= în care:

4


e

dR2

e

dR1

e

d

i

er0 T

Tkq,

TT2

1kq,TT

TT

1kq =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++= (7.2-18)

Tabelul 7.3. Funcţii de transfer in timp discret aferente proceselor cu timp continuu, cu luarea în considerare a elementului de reţinere.

Nr. crt.

Denumire F.t. în s )(sH P

F.t. în z

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=s

sHZ

zzzH P

EP)(1)(

1 Element de transfer de tip proporţional, ET-P Pk Pk

2 Element de transfer cu timp mort, ET-Tm

msTP ek −⋅ * , , NdTdTzk em

dP ∈⋅=⋅ −

3 Element de transfer de tip integrator, ET-I

sTsk

iP

iP 1 , 1

1 ,1 −

⋅− zT

Tz

Tk

iP

eeiP

4 Element de transfer de tip dublu integrator, ET-I2 222

2 1 ,sTs

k

iP

iP 22

2

2

22

)1(2)1(

,)1(2

)1(−

+

−

+

zTzT

zzTk

iP

eeiP

5 Element de transfer de tip integrator cu temporizare de ordinul întâi, ET-IT1

sTsTk

iPP

P 11

⋅+

))(1()(

/ Pe TTiP

PP

ezzzB

TTk

−−−⋅ cu

))1/(

1)1/()(/

/

Pe

Pe

TTPe

TTPe

eTT

zeTTzB−

−

+−

−++−=

6 Element de transfer de tip proporţional cu temporizare de ordinul întâi, ET-PT1

P

P

Tsk

⋅+1 Pe

Pe

TT

TT

P ezek /

/1−

−

−−

7 Element de transfer de tip proporţional cu temporizare de ordinul întâi cu timp mort, ET-PT1Tm

msT

P

P eTs

k −⋅⋅+1

NddTT

zezek

em

dTT

TT

P Pe

Pe

∈=

⋅−− −

−

−

,

,1/

/

8 Element de transfer de tip proporţional-derivativ cu temporizare de ordinul întâi, ET-PDT1

2

1

11

TsTs

k P ⋅+⋅+

2

2

/

/2121 )/1()/(

TT

TT

Pe

e

ezeTTzTT

k−

−

−

−−+

5


Fig.7.2-2. Transformarile conforme realizate de diferitele metode de aproximare

Observaţie: Pentru a se evita menţinerea timp indelungat în limitare (saturaţie) a ieşirii a.r.n. sau – dupa caz – a elementului de executie (parte a PC), in practica, în raport cu componenta I din cadrul a.r.n. se realizeaza măsura anti-windup-reset (AWR).

Se poate intocmi o schema informationala a a.r.n. cu masura AWR inclusa.

Exemplul 7.2.3: Discretizarea l.d.r. PID-T1 (continuale) în varianta paralel, utilizând metoda invarianţei răspunsului indicial:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+++=

1TsTs

Ts11k)s(H

f

d

iRR (7.2-19)

Atunci:

{ }eTkt

1d )t(uZ)z1()z(H

=σ−−= cu

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧= −

σ )s(Hs1L)t(u R

1 (7.2-20)

Răspunsul indicial al l.d.r. are expresia: fT/t

e

dR

iRR e

TT

ktT1kku −

σ ++= (7.2-21)

{ }fee T/T1

f

dR1

1

i

eR1RTkt ez1

1TT

k)z1(

zTT

kz1

1k)t(uZ−−−

−

−=σ−

+−

+−

= (7.2-22)

Înlocuind în (7.2-16) se obţine:

22

11

22

110

R zpzp1zqzqq

)z(H−−

−−

++++

= in care: (7.2-23)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= −

f

d

i

eT/tR1

f

dR0 T

T2

TT

e1kq,TT

21kq f (7.2-24)

fff T/t2

T/t10

f

d

i

eT/tR2 ep,)e1(p,1p;

TT

TT1ekq −−− =+−==

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= (7.2-25)

6


Se poate intocmi schema informaţională a a.r.n. PID-T1 cu măsură AWR inclusa.

7.3.Aspecte ale implementării numerice „cvasicontinuale” a algoritmilor de reglare continuali

În cazurile în care legea de reglare urmează a fi implementata ca soluţie numerică “cvasicontinuală” (CvC) obtinuta prin discretizarea legii de reglare continuale, se ridică mai multe aspecte:

- alegerea perioadei de eşantionare, - luarea în seamă a elementului de reţinere, - efectul „timpului de calcul propriu” al a.r.n. .

Chiar si tratarea succinta a aspectelor se dovedeste strict necesara pentru practica.

(a) Puncte de vedere în alegerea perioadei de eşantionare Te.. La alegerea perioadei de eşantionare trebuie luate in considerare mai multe aspecte:

- Dinamica procesului condus, - Calitatea procesului de reglare.

Dinamica procesului condus sau al unor subsisteme din cadrul acestuia: principial, cu cât procesul este mai lent cu atât Te poate fi mai mare. De exemplu: - In cazul proceselor aperiodice cu autostabilizare, perioada de esantionare Te se poate alege pe

baza parametrilor ce caracterizeaza raspunsul indicial: Tm – timpul mort, T – constanta de timp, T95 – timpul de crestere, fig.7.3-1:

⋅≤ )8...5/(TT 95e sau (7.3-1)

dacă: 0,1 ≤ TT)3.0...2.0(Te ≈ m/T ≤ 1

dacă: 1 ≤ Tme T)3.0...2.0(T ≈ m/T ≤ 10

- Inertia elementului de executie (EE) caracterizata de constanta de timp TE : pentru a nu supune EE unor acţiuni mult prea frecvente, Te se alege astfel ca la o valoare actuala a comenzii uk EE să răspundă complet”, fig 7.3-1 (a).

. (7.3-2) Ee TT ⋅≥ )4...3(

- Dinamica elementului de măsură trebuie sa fie neglijabila in raport cu valoarea lui Te

Fig.7.3-7. Parametri care pot caracteriza raspunsul la semnal treapta al unui proces aperiodic cu

autostabilizare (a); raspunsul EE raportat la perioada de esantionare (b)

- Volumul de calcul solicitat de realizarea numerică a tuturor sarcinilor de conducere (mai multe bucle de reglare, funcţii suplimentare s.a): perioada de esantionare trebuie se fie superioara timpului solcitat de indeplinirea acestor sarcini;

7


- Spectrul semnalelor perturbatoare care acţionează asupra procesului: din considerente de conducere este de dorit ca semnalale perturbatoare de pulsaţie ridicată să fie prefiltrate (analogic sau numeric); dacă aspectul semnalelor perturbatoare se situează în domeniul pulsaţiilpr medii ale SRA (H0(jω)) problema filtrării semnalelor măsurate nu mai poate fi tratata echivoc, fiind necesara luarea in considerare si a altor puncte de vedere;

- Daca proprietatile SRA sunt caracterizate în domeniul pulsaţiei atunci pulsaţia de tăiere a sistemului deschis, ωt este un indicator esential relativ la proprietatile acestuia; daca implementarea l.d.r. este in varianta CvC pulsaţia de eşantionare ωe trebuie corelată cu această pulsaţie (in baza teoremei eşantionării):

Te ≈ (0.2 ... 0.3)/ωt (7.3-3)

- Prezenţa ER influenţează în negativ rezerva de fază a sistemului. Acceptând ca rezonabilă o înrăutăţire a rezervei de fază datorată ER de 50 - 100 atunci în baza caracteristicilor de pulsatie ale sistemului deschis rezultă:

[ ] ( 51,0...17,0180

15...5T 000

et ≈ )π⋅≈ω (7.3-4)

Ca si regulă empirică sumatoare se poate accepta ca alegerea perioadei de esantionare sa fie de ordinul de marime:

teet

2,0T2,0Tω

≈→≈ω . (7.3-5)

(b) Luarea înconsiderare a efectelor elementului de reţinere (ER). De prezenţa ER se poate ţine seama şi prin aproximarea comparării acestuia printr-un element de tip PT7. Plecand de la f.t. a ES+ER si utilizand un aproximant Pàde ord.1 (+1)

se1)s(H

esT

ER

−−=

2/sT12/sT1

ee

esT

+−

≈− (7.3-6)

prin inlocuire pentru valori Te suficient de mici, atunci se poate accepta ca:

2/sT1T

)s(He

eER +

≈ (7.3-7)

Luarea în considerare a aproximării (7.3-9) conduce la înrăutăţirea rezervei de fază a SRA cu acelaşi ordin de mărime ca şi cazul prezentat anterior. Reducerea perioadei de eşantionare este însoţită de două efecte: - efectul favorabil: reducerea scăderii rezervei de fază a SRA (datorată ER), - efectul nefavorabil: cerinţa creşterii preciziei de implementare a coeficienţilor ce caracterizează

a.r.n.;

(c) Efectul „timpului de calcul propriu” al a.r.n.. În fig.7.3-4 este prezentată diagrama care evidentiaza modul de utilizare a perioadei de eşantionare Te. Timpul de calcul al a.r.n. Δtc=τc se manifestă ca un „timp mort” e-s τc

aproximabil ca un element de tip intarziere de ord.1 (PT1):

c

s

s11e c

τ+≈τ− (7.3-8)

Dependent de valoarea lui Δtc , dacă: τc< 0,7.Te se poate considera ca Δtc ≈ 0 τc > 0,85.Te se poate considera Δtc ≈ Te 0,7.Te < τc < 0,85.Te se poate accepta aproximarea de tip PT7. Ca rezultat, τc va fi tratat ca si o constană de timp mică ce poate fi inclus în suma constantelor de

timp miciTΣ: T∑ = ∑ (constante de timp mici). (7.3-9)

8


Fig.7.3-4. Gestionarea perioadei de esantionare Te corelat cu timpul de calcul al a.r.n.

Pentru exemplificare, in tabelul 7.3-1 sunt sintetizate câteva puncte de vedere în alegerea perioadei de eşantionate Te in cazul proceselor lente.

Tabelul 7.3-1 Puncte de vedere in alegerea perioadei de esantionare Punctul de vedere Relatia de calcul Observatii

Comportare apropiată de cea a conducerii continuale

tr,CvC ≈ 1,15 tr,C

Te ≈ (1,2 … 0,3) T dacă: 0,1 ≤ Tm/T ≤ 1 Te ≈ (0,3 … 0,2) Tm dacă: 1 ≤ Tm/T ≤ 10

a se vedea fig.7.3-1

Conducerea PC cu timp mort mare

Te ≈ (1/8 … 1/16) Tech sau: Te ≈ (1/4 … 1/8) Tm

a se vedea fig.7.3-1 Tech ≈ Tm + T

Eliminarea perturbaţiilor caracterizate de pulsaţii ω>ωb

Te ≈ π/ωb ωb – defineste largimea de bandă a SRA

Conducerea şi concomitent estimarea parametrilor

Te ≈ (1/6 … 1/12) T95 a se vedea fig.7.3-1

7.4. Proiectarea a.r.n.. Cazuri de proiectare

A. Condiţii generale şi relaţii generale. Pentru structura de SRA dupa iesire, fig.7.4-1, cerintele de conducere revin la îndeplinirea condiţiei:

)t(v0)t(w1)t(y ⋅+⋅= (7.4-1)

În timp discret se poate scrie : - in raport cu referinta:

)z(H)z(H1)z(H)z(H

)z(HpR

pRw ⋅+

⋅= cu

)z(A)z(B)s(H

s1Z

z1z)z(H pp =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ⋅

−= (7.4-2)

- in raport cu perturbatia de tip sarcina v2 (pe intrarea procesului):

)()(1)(

)(2 zHzHzH

zHpR

pv ⋅+

= (7.4-3)

Respectarea condiţia (7.4-1) ar reveni la respectarea următoarelor „condiţii ideale”:

1)z(w)z(y)z(H)t(w1)t(y w ==⇔⋅=

Δ

(a) (7.4-4)

0)z(v)z(y)z(H)t(v0)t(y v ==⇔⋅=

Δ

(b)

Daca se impun simultan condiţiile de proiectare atât asupra formei lui Hw(z) cat si asupra formei lui Hv2(z), atunci rezulta „două regulatoare” distincte:

)z(H1)z(H

)z(H1)z(H

w

w

PRw −

= (a) , )z(H)z(H)z(H)z(H)z(H

2vP

2vPRv

−= (b) (7.4-5)

Respectarea unor cerinţe de forma (a) respectiv (b) in relaţiile (7.4-5) (a) şi (b) conduc la:

9


∞→∞→ )(,)( zHzH RvRw (7.4-6) adică la forme fizic nerealizabile ale a.r.n..

Fig.7.4-1. Structura SRA dupa iesire (a) si procesul condus (detaliat) (b)

Rezultă ca necesara impunerea unor condiţii de proiectare mai puţin restrictive, care să asigure doar realizarea cu aproximatie a condiţiilor (7.4-1), (7.4-4).

Dacă s-ar impune o condiţie mai puţin restrictivă de forma:

Hw(1) = kw < 1 atunci: )()(

1)(1)(

zBzA

kk

zHzH

w

w

PR ⋅=

−⋅= α (7.4-7)

Dar, întrucât în cazul proceselor reale:

grad A(z) = nA si grad B(z) = mB şi mB BB < nA (7.4-8)

rezultă imediat că:

)()()(

zPzQzH R = cu grad Q(z) =mQ = nA > grad P(z) = nP =mB (7.4-9) B

)

condiţie de asemeni nerealizabilă. Consecinţă: In vederea realizabilitatii regulatorului proiectarea în baza unor relattii de tipul (7.4-5) impune condiţii suplimentare „mai restrictive”.

Exemplul 7.4.7. Pentru cazul continual, al PC de ordin 2.

( ) ( ∑+⋅+=

sTsTksH P

P 11)(

1

(7.4-10)

Dacă se impune Hw(s) de forma (PT2):

22w sTTs211)s(H

+ξ+= cu 707,0siT2T =ξ= Σ

atunci în baza relaţiei (7.4-5) (a) rezultă:

( ) ( )

22

21

22111

2211

11)(1

)()(

1)(

sTsT

sTTk

sTsTsH

sHsH

sHPw

w

PR

ΣΣ

ΣΣΣ

++−

++⋅

+⋅+=

−⋅=

si in final se obtine pentru f.t. a regulatorului si pentru parametrii acestuia:

( ) ( )rr

1P

R sT1s

ksT1

sTk21)s(H +⋅=+⋅=

Σ

cu 1rP

r TT,Tk2

1k ==Σ

(7.4-11)

(a) Proiectarea a.r.n. prin „metoda alocării polilor SRA”. Se consideră structura de SRA dupa iesire şi RG proiectat în raport cu referinţa:

10


p

p

q

q

nn

11

nn

110

w

w

PR zp...zp1

zq...zqq

)z(P)z(Q

)z(H1)z(H

)z(H1)z(H −−

−−

⋅++⋅+

⋅++⋅+==

−⋅=

dn

n1

1

nn

11

P zza...za1

zb...zb)z(A)z(B)z(H

A

A

B

B −−−

−−

⋅⋅++⋅+

⋅++⋅==

0dnnn BA

≥==

(7.4-12)

)z(H)z(H1

)z(H)z(H)z(A)z(B)z(H

PR

PR

w

ww +

== )z(H)z(H1)z(A PRw +=

Proprietăţile SRA pot fi impuse prin alocarea polilor Hw(z).

Zerourile PC se reproduc in structura SRA si vor influenţa comportarea sistemului; in acest sens se va căuta ca această influenţă să fie minimă respectiv redusa la minim prin proiecatre.

În cel mai general caz, se recomanda ca polinomul caracteristic al SRA sa se compuna din: − o pereche de poli complex conjugaţi dominanti care din cazul continual:

0c2

2w s2s)s(A ω+ξω+= revin pentru cazul discret:

cu (7.4-13) 2z12

2w z)z(A α+α+=

[ ] e0e0 T22

2e0

T1 e,1Tcose2 ξω−ξω− =αξ−⋅ω⋅−=α

− poli aferenţi unor componente dominante reale, situate pe semiaxa reală a cercului de rază unitară intre punctele 0 < α <1:

Aw1(z) = z – α cu (7.4-14) .10,e 0e T/T <α<=α −

În ansamblu polinomul caracteristic al sistemului va fi:

∏= =

α−α+α+==n

3i

n

3ii01

2i,1w2ww

w

)z()zz()z(A)z(A)z(A ∏ (7.4-15)

sau: (7.4-16) w

w

nn

11

1w z...z1)z(A −−− β++β+=

Pentru determinarea parametrilor RG se calculează polinomul caracteristic al SRA pe baza relaţiilor:

w

w

nn

11

1)2(w

d11111P

1R

)1(w

z...z1)z(A

z)z(B)z(Q)z(A)z(P)z(H)z(H1)z(A−−−

−−−−−−−

β++β+=

+=+= (7.4-17)

(ultima exprimare a polinomului este cea obţinută prin alocarea polilor, (7.4-16)).

In consecinta, se poate explicita în forma (cu conditia n)z(A )1(w A = nB = n): B

dnn

11

nn

110

nn

11

nn

11

)1(w

z)zb...zb()zq...zqq(

)za...za1()zp...zp1()z(AA

A

Q

Q

A

A

p

P

−−−−−

−−−−

++⋅+++

++++⋅++= (7.4-18)

cu gradul polinomului caracteristic al SRA:

nw = nw0 = max(nP + nA, nQ +nA + d) (7.4-19)

Realizarea condiţiei de „eroare de reglare nulă” în regim stationar constant (RSC) impune:

Hw(1) = 1 sau P(1) = 0 (relativ la a.r.) (7.4-20)

echivalent cu

P(1)A(1) = 0

respectiv: (7.4-21) ∑=

−=+++−=p

P

n

1in21i 1p...pp,1p

11


Din egalarea coeficienţilor celor două explicitări ale polinomului caracteristic rezultă nw+1 ecuaţii. Pentru a se obţine o soluţie unica pentru cei (nP+nQ+1) parametrii ai a.r.n. (7.4-12) {q0, q1, …, qnQ; p1,…pnP} se impune egalitatea:

nw + 1 = nP + nQ + 1 (7.4-22)

Din relaţia (7.4-22) rezultă următoarele cazuri posibile:

(1) : nP > nQ +d când nw = nP +nA

şi din relaţia (7.4-22) rezultă:

nP ≤ nQ + d si deci np ≥ nA + d (7.4-23)

(2) : nP ≤ nQ + d cand nw = nQ + d + nA

si din (12.42) rezulta:

nP = nA + d si deci nQ ≥ d (7.4-24)

Dacă se aleg cele mai mici grade pentru polinoamele P(z-1) şi Q(z-1) se obţine:

nQ = nA , nP = nA + q (7.4-25)

Considerând condiţiile (7.4-25) indeplinite, rezultă că pentru determinarea parametrilor a.r.n. trebuie rezolvată ecuaţia diofantică:

)()()()()( 1)2(1111 −−−−−− =+ zAzzBzQzAzP wd (7.4-26)

Ţinând seama şi de condiţia (7.4-21), ecuaţia (7.4-26) se explicitează în forma matriceală (7.4-27):

R θR= β . (7.4-27)

Daca matricea R este nesingulară vectorul parametrilor θR se calculează cu relaţia:

θR= R -1β

Relatia (7.4-27) poate fi scrisa sub forma explicitata (7.4-28):

β=θ⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−β

β−β

−β

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

+

++

++

−

−

−−

R

dn2

1n

nn

11

n

0

1n

2

1

1ndn

nn

1n

1nn

2

1

12

1

1nn

2n1nn

12

1

R

1

a

a

q

qp

pp

0001111

b00a001

bb00bb

aa

0bb00b

0aa00aaa

0

00

0

00

d

0

00

01aa011a0001

M

M

M

M

M

M

M

M

MM

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

444 3444 21K

M

M

444 3444 21K

KKKKKKKKMKKKKKKKKK

KMK

KKKKKKKKMKKKKKKKKKK

KM

K

KKKKKKKKKMKKKKKKKKK

KKKK

K

K

M

M

K

K

KKKKKKKKMKKKKKKKKK

K

K

K

K

K

KK

M

M

M

M

K

K

K

(7.4-28)

12


Exemplul 7.4.2: Daca pentru f.t. Hw(z) polii se aloca sub forma specifică unui sistem discret de ordinul 2:

))(()(

)(21

10

pzpzzzk

zH w −−−

= (7.4-29)

si dacă se impune condiţia de eroare de reglare nulă, Hw(1) = 1 , atunci rezultă:

)1()1)(1(

1)())((

1

21

1

210 z

ppzzz

pzpzk−

−−=

=−−−

= (7.4-30)

Punctele critice {p1, p2, z1} se pot impune pe baza cerinţei de realizare a unor indicarori de performanţă locali {σ1, tr max , …}.

În continuare se verifică condiţia relativă la excesul poli–zerouri ale SRA şi ale procesului ( ) ( )

Pw HzPHzP nnnn −≥− (7.4-31)

Dacă f.t. (7.4-29) nu satisface condiţia (7.4-31), in f.t. Hw(z) se adaugă poli suplimentari astfel plasaţi încât aceştia să nu influenţeze semnificativ comportarea SRA. Având f.t. Hw(z) fixată se poate calcula f.t. a sistemului deschis H0(z) respectiv f.t. a regulatorului:

)z(H1)z(H)z(H

w

w0 −

= cu )z(H)z(H)z(H PR0 = (7.4-32)

)z(H)z(H

1)z(H 0P

R ⋅= (7.4-33)

In final este utila sintetizarea etapelor proiectării prin alocarea polilor:

- Se alege/construieşte Hw(z) de forma (7.4-29) pe baza acceptării unor performanţe prealabile; la nevoie se introduc poli şi zerouri până la atingerea obiectivelor impuse.

- Se verifică condiţia de realizabilitate fizică (7.4-31); dacă condiţia nu este satisfăcută se reia procesul de introducere a noi poli şi zerouri.

- Folosind şi relaţia (7.4-32), cu relaţia (7.4-33) se calculează f.t. a regulatorului, HR(z).

Aplicaţia 7.4.1: Se consideră tunelul de încălzire cu reglarea temperaturii aerului insuflat din fig.7.4-2. MM aferent părţii fixe se determină prin identificare experimentală prin metoda răspunsului la semnal treaptă, sub forma (7.4-34):

s10

cP e

s5012

)s(u)s(u

)s(u)s(y)s(H −θ

Δ

⋅+

=== (7.4-34)

Se doreste proiectarea a.r.n. care să asigure următoarele performanţe impuse: σ1≤5% , tr≤10 sec.

Fig.7.4-2. Tunel de încălzire cu reglarea temperaturii aerului insuflat

Soluţie: Pe baza f.t. (7.4-34) rezultă: kp = 2, T= 50 sec., Tm= 10 sec. şi ρ= Tm/T= 0,2. În baza informaţiilor din tabelul 7.3-1 se alege:

13


eche T161...

81T ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∈ cu Tech = Tm + T = 10 + 50 = 60 sec.,

rezulta: Te = (3,75 … 7) sec. Se alege Te = 5sec. şi rezulta Tm/Te = 2 (d=2) .

Pentru simplificarea calculelor, pentru discretizarea f.t. (7.4-34) se va apela metoda dreptunghiurilor avansată. Ca urmare, pentru partea fără timp mort se obtine:

kkkT uyysussy e 2)(

550)(2)150)(( 1

5 =−⎯⎯ →⎯=+ += ;

Tinând seama de timpul mort al PC, se obţine:

.1;2;9,0;1;2,09,01

2,0)( 1012

1

1

==−===−

= −−

−

ndaabcuzz

zzH P

Construcţia polinomului caracteristic discret. Din conditiile continuale impuse .sec10t,707,0%5 r1 <≈ξ→<σ rezulta:

56,0707,010

41040

0

=⋅

≥ω≤ξω

cu 4,0j4,0,p c2c1 +−≈

Polii discreti ai sistemului sunt usor calculabili cu relatia: [ ])Tsin(j)Tcos(eez eses

TTp2,1

ese2,1 ω±ω== σ− .

Polinomul caracteristic în timp discret se poate scrie sub forma: 21

20 )( αα ++= zzzAw în care:

02,0,27,01cos2 00 22

201 ≈=α−≈⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ξ−⋅ω⋅=α ξω−ξω− ee T

eT eTe

Condiţia de realizabilitate a a.r.n. solocită realizarea urmatoarelor conditii:

3n,1nqnn,nn

dnnn)dnnQ;nnmax(n

PQAPAQ

AQwAAPw

==⇒+==

++=→+++=

Se impune introducerea a doi poli suplimentari continuali

p3c ≈ -0,8 şi p4c ≈ -0,9 cu echivalentele discrete

01,0epsi018,0ep ee T9,0d4

T8,0d3 ≈=≈= −− .

În acest context polinomul caracteristic al sistemului, Aw(z), devine:

43211)2(w

2)2(w

z000036,0z001,0z029,0z298,01)z(A

)02,0z27,0z)(01,0z)(018,0z()z(A−−−−− +−+−=

+−−−=

in care:

( ) 000036,0,001,0,029,0,298,0,1 43210 =β−=β=β−=β=β

Fixarea structurii a.r.n. (relaţia (12.48)):

31

1)(

3211

33

22

11

110

==

++++

=

=+=+===

−−−

−

P

QR

APAQ

nn

zpzpzpzqq

zH

dnnnn

Explicitarea celor două expresii ale polinomului caracteristic

2110

11

11

33

22

11

)1(w

44

33

22

11

)2(w

z)zqq(zb)za1)(zpzpzp1()z(A

zzzz1)z(A−−−−−−−

−−−−

++++++=

β+β+β+β+=

14


Din egalarea coeficienţilor de acelaşi grad in z-υ se obtine:

11314013213

2112111

11

qbpaqbppaapapa

+=++=+=+=

=

ββββ

Se verifica condiţia de eroare de reglare nulă

1ppp0ppp1 321321 −=++→=+++

Aceste condiţionări pot fi rescrise sub forma matricială (7.4-27) :

β=θ=>

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−βββ−β

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

R

1

a

qqppp

00111b1a000b1a00001a00001

4

3

2

11

1

0

3

2

1

11

11

1 .

Inlocuind valorile numerie:

a1= - 0,9, b1= 0,2

se explicitează matricile R şiβ :

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=β

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

1000036,0

001,0029,0602,0

,

001112,019,000

02,019,0000019,000001

R

Din rezolvarea ecuaţia (7.4-28) se obţine:

1728,2p5708,0p602,0p7775,9q4275,13q

321

10

−===−==

respectiv se poate explicita f.t. a regulatorului:

321R z1728,2z5708,0z602,017775,94275,13)z(H −−− −++

−= .

7.5. Proiectarea a.r.n. prin metoda “răspunsului în timp finit” (deat-beat (DB), endliche Einstellzeit). Proiectarea dead-beat (DB) (in limba romana cu raspuns in timp finit, in limba germana endliche Einstellzeit) este o metodă specifică de proiectare a a.r.n.; varianta de baza a metodei a fost introdusa de Jury.

(a). Esenţa metodei de proiectare DB. Esenta metodei poate fi formulată prin următoarele: se doreşte (impune) ca după un interval de timp finit tn, tn=nTe în răspunsul SRA să se instaleze condiţia:

yk=wk k≥n, yk=y(tk)=y(kTe) (7.5-1)

valabilă în momentele de eşantionare, fig.7.5-7. Este important de mentionat faptul ca metoda nu garantează comportarea SRA între momentele de eşantionare ci doar in momentele de esantionare. Secvenţa de ieşire y* a SRA este:

y*:={y0, y1, …, yn, yn+1,…} cu yn= yn+1= yn+2=… =1 (a) (7.5-2) adică, după un interval de timp finit eroarea de reglare ek=wk-yk , devine nulă (fig.6.7-c), adica:

15


en = en+1=…= 0. (b) (7.5-2)

(b) Condiţionări generale. F.t. ale PC şi RG se scriu în variantele de mai jos:

nn

nn

R zpzpzqzqq

zPzQzH −−

−−

−

−−

++++++

== *1*1

*1*1

*0

1

11

1)(*)(*)(

K

K (7.5-3)

)1(Hk,zazaza1

zbzbzb)z(A)z(B)z(H Ppn

n2

21

1

mm

22

11

1

11

P =++++

+++==

−−−

−−−

−

−−

K

K(7.5-4)

Fig.7.5-7. Răspunsul SRA la variatie treapta (a) a referintei, y(t) (b) si a erorii de reglare e(t)

(pentru generalitate se va considera m=n)

0a1sia1

baaa1

bbb)1(Hk

n

1n21

n21pP ≠+

+=

+++++++

== ∑∑∑

νν

μ

K

K

Structura SRA cu timp discret este prezentata in fig.7.5-2; in baza ei se pot explicita:

Fig.7.5-2. Structura SRA cu timp discret

)(*)()(*)()(*)(

)()(1)()()( 1111

11

11

111

−−−−

−−

−−

−−−

+=

+=

zBzQzAzPzBzQ

zHzHzHzHzH

PR

PRw (7.5-5)(a)

respectiv 111

11)()( −

−−

−⋅=

zzHzy w

)(*)()(*)()(*)(

)()(11)( 1111

11

111

−−−−

−−

−−−

+=

+=

zBzQzAzPzAzP

zHzHzH

PRe (7.5-5)(b)

respectiv 1

11

11)()( −

−−

−⋅=

zzHze e

16


)(*)()(*)()(*)(

)()(1)()( 1111

11

11

11

−−−−

−−

−−

−−

+=

+=

zBzQzAzPzAzQ

zHzHzHzH

PR

Ru (7.5-5)(c)

respectiv 111)()( −−

⋅=z

zHzu u

Faptul că se impune condiţia (7.5-2) face ca: Z{ek}=Pe(z-1) ,

unde Pe(z-1) este unpolinom de grad finit în z-1 de forma:

11P

1R

11P

1R

1P

1R1

e z11

)z(H)z(H11

z11

)z(H)z(H1)z(H)z(H

1)z(P−−−−−−

−−−

−+=

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−= (7.5-6)

In baza relatiei (7.5-6) se poate explicita:

)()1)((1)()(1

)()( 11111

11−−−

−−

−−

=−−=+

zKzzPzHzH

zHzHe

PR

PR (7.5-7)

in care: K(z-1) – este un polinom de grad finit.

Din rel.(7.5-5) (c) rezultă de asemeni:

)()()(1

)()( 111

11 −

−−

−− =

+= zM

zHzHzHzH

PR

Ru (7.5-8)

in care: M(z-1) – este un polinom de grad finit.

Din relatiile (7.5-6) – (7.5-.8) se poate scrie:

)()()()()(

)()(1)( 1

1

111

11

1−

−

−−−

−−

−

==⋅+

zKzAzBzMzH

zHzHzH

PPR

R

si rezultă in continuare:

)()(

)()(

1

1

1

1

−

−

−

−

=zMzK

zAzB

(7.5-9)

Relatia (7.5-9) poate fi interpretata dupa cum urmeaza: pentru orice polinom de grad finit L(z-1) este asigurată condiţia:

)()(

)()(

)()(

1

1

1

1

1

1

−

−

−

−

−

−

=⋅zMzK

zLzL

zAzB

, de unde (7.5-10) )()()()()()(

111

111

−−−

−−−

⋅=

⋅=

zLzAzMzLzBzK

Din condiţia de RSC relativa la eroarea de reglare e∞=0, rezultă y∞=1, ceea ce este echivalent cu K(1)=1, adică

)1(1)1(

BL = (7.5-11)

Din relaţia (7.5-8), prin inversare se poate determina f.t. a regulatorului:

)()(1)()(

)()()()(1

)()()()(1

)()( 11

11

1

111

11

11

11

−−

−−

−

−−−

−−

−−

−−

⋅−⋅

=⋅⋅−

⋅=

−=

zLzBzLzA

zAzBzLzA

zLzAzMzH

zMzHP

R (7.5-12)

Relaţia (7.5-12) evidentiaza faptul că regulatorul astfel obţinut – denumit regulator dead-beat (Jury), prescurtat RG–DB – se bazează pe o compensare poli-zerouri exactă. Acest lucru are următoarele implicaţii: (1) Compensarea polilor prin zerouri este posibilă numai pentru polii stabili, aflaţi în semiplanul

stâng (polii continuali), respectiv situaţi în interiorul cercului de rază unitate(polii discreti), fig.7.5-3.

17


(2) Datorită modelării adeseori incompletă a PC sau modificarii parametrilor acestuia in timpul functionarii, f.t. HP(z) nu reflecta cu exactitate procesul real, chiar daca acesta este legat de punctul de funcţionare (de liniarizare); corespunzător nici răspunsul care rezultă nu va fi realmente în timp finit (răspuns în timp finit = finite impulse response, endliche Eistellzeit).

(3) Datorită aspectului evidentiat anterior, aplicarea metodei în cazul proceselor oscilante este doar arareori recomandată.

(4) Întrucât în relaţia (7.5-12) parametrii care stau la dispozitia proiectantului sunt polinomul L(z-1) şi perioada de eşantionare Te, succesul aplicării metodei depinde de alegerea acestora.

(5) Fiind vorba de raspuns in timp finit (un numar dat de perioade de esantionare, dimensionarea elementului de executie joaca un rol determinant, acesta trebuind sa poata asigura energia solicitata de trecerea procesului (sistemului) de la un regim de functionare la altul.

Fig.7.5-3. Corespondenta dintre polii continuali si polii discreti

(c) Variante de proiectare DB. Există mai multe variante de aplicare a metodei de proiectare DB, in continuare prezentandu-se cateva din ele.

Varianta I. Are la bază relaţia: )(/)()( 1*1*1 −−− = zPzQzH R

Condiţiile generale in care se determina a.r.n. sunt urmatoarele: – proiectarea se realizează în raport cu o variaţie treaptă a referinţei w(t): w*={1, 1,..., 1,...}. – după intervalul de timp t=tn=nTe se impune asigurarea condiţiilor:

0e,wy iii == pentru i ≥ n , n – ordinul procesului; (7.5-13) Condiţia (7.5-13) impune ca a.r.n. sa conţina o componenta integratoare:

111

1)( −−

=−

=zz

ztw – secvenţa treaptă a referinţei; (7.5-14)

– se impune răspunsul indicial de forma (secvenţa raspuns la semnal treapta): y*={0,y1, y2,...,yn-1, 1, 1,...} cu y0=0 si yn=1 cu expresia operaţională:

∑∞

=

−−−−

−− ++++=ni

inn zzyzyzyzy )1(

12

21

1)( K sau (7.5-15)

444 3444 21 KK

∑

+−−−−−

−−

∞

=

−

+⋅+⋅++++=

ni

iz

nnnn zzzyzyzyzy )1()1(

12

21

1 11)(

Din relaţia:

11

w11

w z11)z(H)z(w)z(H)z(y −

−−−

−=⋅= (7.5-16)

rezultă:

18


( 1

1i

i)1n(1n

11

1w z1zzyzy

)z(w)z(y)z(H −

∞

=

−−−−

−Δ=

− −⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++= ∑K )

( ) ( ) ]zzzzyyzyyzy[)z(H

0

ni

i1

1ni

in1nn

212

11

1w

444 3444 21K

=

∞

=

−−∞

+=

−−−

−−− ∑∑ −+−+−+=

( ) ( ) ( ) ( ) nn

nnnw zyzyyzyyzyzH −

−−−

−−−− −+−++−+= 1

11

21

211

1 1)( K (7.5-17)

Notând in continuare

1

211

122

11

1 −

−−−

−=−=

−==

nn

nnn

ypyyp

yypyp

LLL cu proprietatea (7.5-18) ∑=

=n

iip

11

se obţine: )()( 1)1(

12

21

11 −−−−

−−−− =++++= zPzpzpzpzpzH n

nn

nw K (7.5-19) Observaţie: f.t. Hw(z) se poate rescrie în forma:

( ) nn

n

n

nn

nw zpzpzp

zzzpzpzH K

K++

=⋅++=−−

−−−2

21

111

1)( (7.5-20)

din care rezulta imediat că polinomul caracteristic al SRA este de forma: n

w zz =Δ )( , adica sistemul este caracterizat de un pol în origine de ordin de multiplicitate n .

• Explicitarea mărimii de comandă u(z). După instaurarea regimului permanetizat (i ≥ n) se obtine: yi=yn=1, dar şi ui= un= const.

( ) ( ) KK ++++++= +−+−−−− 2111

00)( nnn

nn

n zuzuzuzuzuzu sau

( ) ∑∞

=

−−−−

− ++++=ni

in

nn zuzuzuuzu 1

11

10)( K . (7.5-21)

Dar

11P

1w

11

P1

R

1R

z11

)z(H1)z(H)z(w

)z(H)z(H1)z(H

)z(u−−

−−−−

−

−⋅=

+= (7.5-22)

si in consecinta rezultă:

( )1110 1

)()( −

∞

=

−−Δ= −⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+++= ∑ zzuzuu

zwzuH

ni

inu K

( ) ( ) ( ) ( ) nnn

nnnu zuuzuuzuuuzH −

−−−

−−− −+−++−+= 1

121

1010)( K

( ) )()( 111

110

−−−−−

− =++++= zQzqzqzqqzH nn

nnu K (7.5-23)

În continuare in baza relaţiei (7.5-5) rezultă:

)z(H)z(H)z(H:undede

)z(H)z(H)z(H)z(H)z(H1

)z(H)z(H

1u

1w1

P

1P

1u

1P1

P1

R

1R

w

−

−−

−−−−−

−

=

=+

=

Utilizând mai departe relaţiile (7.5-4), (7.5-19) şi (7.5-23) se obţine:

nn

nn

nn

nn

zqzqzqqzpzpzp

zazazazbzbzb

−−−

−−−

−−−

−−−

+++++++

=++++

+++K

K

K

K2

21

10

22

11

22

11

22

11

1 sau (7.5-24)

19


nn

nn

nn

nn

oP zazaza

zbzbzb

zqqz

qqz

qq

zqpz

qpz

qp

zH −−−

−−−

−−−

−−−

+++++++

=++++

+++=

K

K

K

K

22

11

22

11

0

2

0

21

0

1

0

2

0

211

11)(

• Determinarea parametrilor regulatorului. Din condiţia (7.5-18) se obtine:

∑=

=n

iip

11 ⇒ ∑

= =

==n

i

n

ii

i bqq

p1 100

1 ∑ sau

∑=

= n

iib

q

1

01

ii b

qp

=0

⇒ 0qbp ii = , respectiv ii a

qq

=0

⇒ 0qaq ii = .

Sintetizând, se pot explicita relatiile care sustin calculul coeficientilor RG-DB:

∑=

= n

iib

q

1

01

, 0qaq ii = , 0qbp ii = (7.5-25)

Acestia sunt chiar coeficientii care caracterizeaza a.r.n.. Din (7.5-19), (7.5-24) rezulta:

( ))()()( 1

zwzyzPzH w

Δ=

−= , ( )( )1

1

)( −

−

=zQzPzH p

( )( )

( )( )

( )( )1

1

1

1

1

1

w

w

pw zP1

zQzP1

zPzPzQ

)z(H1)z(H

)z(H1

)z(e)z(u

)z(H−

−

−

−

−

−Δ= −

=−

=−

= (7.5-26)

de unde se obtine:

nn

nn

R zpzpzpzqzqzqqzH −−−

−−−

−−−−++++

=K

K2

21

1

22

110

1)( (7.5-27)

Rezulta răspunsul sistemului în momentele de eşantionare: y*={y0, y1, y2,…, zn, zn+1,…} cu yi=1, i ≥ n ,

( ) ( ) )()()()(1 0

22

11

1 zwzqbzwzpzpzpzwzPzy i

n

i

inn

−

=

−−−− ∑ ⋅=+++== K

• Explicitarea evoluţiei comenzii.din relaţiile (7.5-5)(c), (7.5-23), (7.5-25) se obţine

( ) ∑=

−− ⋅===n

i

iiu z

qqzwzQzwzHzu

0 0

1 )()()()( . (7.5-28)

Alte probleme care pot constitui obiectul unor studii de detaliu ale conducerii DB se refera la: a. Studiul influenţei reprezentarii inexacte a coeficienţilor aν şi bμ (modelare inexactă) sau a

modelarii incomplete a PC asupra comportării SRA cu regulatorul corect proiectat; b. Studiul influenţei perioadei de eşantionare Te asupra comportării SRA; c. Studiul comportari sistemului sub acţiunea perturbaţiilor externe sau interne; d. Studiul evoluţiei SRA la variaţii oarecari ale referintei w(t). Observaţie: Între parametrii { }** q,p μν şi { }μν q,p se pot explicita relaţiile de legătură:

npp ,1* =−= ννν ; nqq ,0* =−= μμμ (7.5-29)

Aplicaţia 6.1: Proiectarea deat-beat a RG pentru conducerea unui proces PT1 cu f.t. continuala:

)1()(

sTk

sH pP +

= , n=7.

Soluţie. Ordinul procesului n = 1 va determina nR = n = 7. 20


11

11P za1

b)z(H

−−

+= cu ( )T/T

P1ee1kb −−= si T/T

1eea −=

Corespunzător se obţine f.t. a regulatorului:

1bqp,ba

aqq,b1q

,zp1zqq

)z(P1)z(Q

)z(H

1011

1101

10

11

110

1

1

R

=====

−+

=−

=−

−

−

−

care se poate rescrie sub forma:

( ) 1

1T/T

T/Tp

R1

11

1R z1

ze1e1k1)z(H,

z1za1

b1)z(H

e

e −

−−

−−

−

−−

⋅−

=−

+⋅=

Varianta a II-a. Proiectarea a.r.n. DB cu impunerea primei valori a comenzii u0. În cazul în care se doreşte ca a.r.n. DB să satisfacă anumite condiţii suplimentare este necesară creşterea numărului de paşi ai răspunsului sistemului. Astfel, pentru m – condiţii suplimentare, timpul de stabilizare a răspunsului sistemului va creste la : tr=nTe+mTe. Dacă condiţia suplimentara introdusa este prima (prima si a doua) valoare a comenzii u0 (respectiv u0 , u1 ), atunci m=1 (respectiv m=2). O astfel de situaţie corespunde unor condiţii tehnice reale care pot fi impuse derularii procesuluisi - de exemplu, pornirea unui sistem de acţionare cu limitarea primei valori a comenzii - şi este ilustrată în figura 7.5-4: - u0 - valoare impusă, - u1, u2, ... - valori care rezultă.

Condiţionarea evoluţiei comenzii se va repercuta şi asupra evoluţiei ieşirii y(z), (relaţia (7.5-24) extinsă):

)z(u)z(Q)z(P)z(y 1

1

−

−

= sau (7.5-30)

)z(uzqzqzqq

zpzpzpzp)z(y

)mn(mn

nn

110

)mn(mn

)1n(1n

nn

11

+−+

−−

+−+

+−+

−−

++++++++++

=KK

KK

Relatia (7.5-30) poate fi rescrisa in forma:

)z(A)z(B)z(H

)z(R)z(R

)z('Q)z('P

)z(Q)z(P

)z(u)z(y

p

)2(

1

1

)1(

1

1

1

1

=⋅== Δ=−

−

−

−

−

−

32143421

in care,

Fig.7.5-7.4. Raspunsul sistemului cu impunerea primei valor a comenzii u0

termenul (1) – corespunde situaţiei fără condiţionarea suplimentară iar

21


termenul al (2) - lea corespunde condiţionării suplimentare cu gradul polinomului m=grad R(z).

Pentru m=1 → R(z-1) = r0+z-1 ,

si corespunzator:

10

10

n

0

n1

0

1

n

0

n1

0

1

P

10

10

nn

22

11

00

nn

22

11

P

zrzr

z'q'qz

'q'q1

z'q'pz

'q'p

)z(H

zrzr

z'qz'qz'qz'qz'pz'pz'p)z(H

−

−

−−

−−

−

−

−−−

−−−

++

⋅+++

++=

=++

⋅++++

+++=

K

K

K

K

(7.5-31)

respectiv: nn

nn

P zazazbzbzH −−

−−

+++++

=K

K1

1

11

1)( (7.5-32)

Echivalenţa parţială a coeficienţilor între (7.5-31) şi (7.5-32) rezulta sub forma:

nicubqpaqq iiii ,1'','' 00 === . (7.5-33) Relaţia (7.5-31) se explicitează în continuare sub forma:

)1(10

101000

)1(10

2120

110

1

1

1

1

')''()''('')''()''('

)()(

)(')('

+−−−

−

+−−−

−−

−

−

−

−

++++++++++++

=⋅ nn

nnn

nn

nnn

zqzqqrzqqrqrzpzpprzpprzpr

zRzR

zQzP

K

K

(7.5-34) • Echivalarea coeficienţilor. Notând:

)1(1

110

)1(1

22

11

1

1

)()(

+−+

−−

+−+

−−−

−

−

++++++++

= nn

nn

nn

nn

zqzqzqqzpzpzpzp

zQzP

K

K , (7.5-35)

rezulta următoarea echivalare a coeficienţilor: ( ) n1n1ii0i101 'pp,n,,3,2i'p'prp,'prp ==+== +− K

000 'qrq = şi - valoare impusă prin proiectare, 00 uq = ( ) n1n1ii0i 'qq,n,,3,2i'q'qrq ==+= +− K (7.5-36)

• Stabilirea relaţiilor pentru calculul coeficienţilor - valoarea este fixată prin proiectare 00 uq =- rezultă 000 'qrq =- condiţie suplimentară: impunerea componentei I in structura regulatorului:

∑+

=

=1n

1ii 1p

Corespunzător, din relaţiile (7.5-36) şi (7.5-33) se obţine:

1b'qbqp

b'qb'qrp'pr'p'prp

n

1ii0

n

1ii0

1n

1ii

n

1ii0

n

1ii00

n

1ii

n

1ii0

1n

2i1i

n

1ii0

1n

1ii

=+=

+=+=+=

∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑

==

+

=

====

+

=−

=

+

= (7.5-37)

dar 000 'qrq =şi in aceste conditii din ultima relaţie rezultă:

∑=

+−= n

iib

qq

1

001' şi

∑=

+−−== n

iibq

qqqr

10

0

0

00 '

(7.5-38)

22


• Algoritmizarea calculului a.r.n. DB cu impunerea primei valori a comenzii u0 (a.r.n. DB+1). Procesul se consideră cunoscut prin f.t. HP(z):

nn

nn

PP zazazbzbzbsH

szzzH Z −−

−−−

++++++

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

=K

K1

1

22

11

1)(11)(

- Se impune prima valoarea a comenzii: u0=q0. - Se calculează coeficienţii a.r.n. DB+1 (m=1):

( )∑

=

−− +−=

n

1ii

1i1ii0i

b

aaaqq pentru n,1i = şi a0=1

∑=

+ +−=n

1ii

n0n1n

b

aqaq (a) (7.5-39)

respectiv:

( )∑

=

−− +−=

n

1ii

1i1ii0i

b

bbbqp pentru n,1i = şi b0=0

∑=

+ +−=n

1ii

n0n1n

b

bqbp (b) (7.5-39)

- Se explicitează f.t. a regulatorului DB+1 ( )

( ) )1n(1n

11

)1n(1n

110

1

1

R zpzp1zqzqq

zP1zQ)z(H +−

+−

+−+

−

−

−

−−−+++

=−

=K

K (7.5-40)

În final se pot explicita f.t. Hw(z) şi expresiile y(z) şi u(z):

( ) ( ) 111

22

11

1 )()()()( ++−

+−−−− =Δ++++=== n

wn

nn

nw zzcuzpzpzpzpzPzwzyzH K (7.5-41)

( )( ) )z(wzpzpzp)z(y 1n1n

22

11

+−+

−− +++= K ( )( ) )z(wzqzqzqq)z(w)z(Q)z(u 1n

1n2

21

10+−

+−− ++++== K

Aplicaţia 6.2: Să se proiecteze a.r.n. DB+1 pentru un proces de tip PT1, in situatia in care se impune prima valorare a comenzii, u0.

)sT1(k

)s(H pP +

= , n=7.

Soluţie: Se calculează f.t. HP(z) T/T

1T/T

p11

1

11

PP

e

e

ea)e1(kbcu

za1zb)s(H

s1

z1z)z(H Z

−

−−

− −=−=+

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

=

22

11

22

110

R zpzp1zqzqq

)z(H−−

−−

−−++

= în care:

q0=u0.

( ) ( )[ ]( )T/T

p

2T/Tp0

1

0101 e

e

e1k11eku

ba

1auq−

−

−

+−=+−=

23


( ) ( )( ) ( )( )T/T

p0T/Tp

T/T

1

101

1

1102

e

e

e

eku1e1k

eb

bu1abaauq −

−

−

−−−

−=−

=+−=

p0=1 ( )T/T

p0101ee1kubup −−==

( )T/Tp0102

ee1ku11bup −−−=+−= In final, a.r.n.–DB+1 se poate explicita sub forma urmatoarei ecuaţii recurente:

2k21k1k02k21k1k eqeqequpupu −−−− ++++= .

Varianta a III-a de proiectare a unui DB: proiectarea după Dahlin, varianta I-a. Metoda se aplică pentru situaţiile în care procesul are răspuns indicial aperiodic, care este aproximat prin raspunsul unui ET tip PT7-Tm , fig.7.5-5, cu f.t.:

Fig.7.5-5. Aproximarea raspunsului aperiodic prin raspunsul unui ET tip PT7-Tm

msTpP e

sT1k

)s(H~ −

+= ,

∞

∞Δ= u

yk p (7.5-42)

F.t. care se impune pentru SRA este tot de forma PT7-Tm: ms

w es1

1)s(H τ−

τ+= (7.5-43)

cu raspunsul indicial:

∞⋅= ws1)s(H)s(y w

cu 1w =∞

Perioada de eşantionare se alege astfel ca:

dT

,fTT

e

m

e

m =τ

= .

In particular, valoarea lui τm poate fi aleasa egala cu Tm. Imaginile operaţionale ale lui Hp(z) şi Hw(z) rezultă:

( ) f11T/T

T/Tp

p zze1

e1k)z(H

e

e

−−−−

−

−

−= respectiv d1

1T/T

T/T

w zze1

e1)z(He

e−−

−−

−

−−

=

In continuare a.r.n.-DB se calculează direct prin inlocuire:

)z(H1

)z(H)z(H

1)z(Hw

w

PR −

⋅= ;

( )( )

( ) d1/T1/T

d1/T

f1T/Tp

1T/T

R ze1ze1ze1

ze1kze1)z(H

ee

e

e

e

−−τ−−τ−

−−τ−

−−−

−−

−−−−

⋅⋅−

−= (7.5-44)

24


Aplicaţia 6.3. Un proces lent (proces de încălzire intr-o incinta) a fost identificat prin metoda răspunsului la semnal treaptă ca având f.t. de aproximare (PT7-Tm):

2T5Te

s511)s(H ms2

P=

=+= − şi kp=7.

Pentru comportarea sistemului se impune Hw(s) de forma similara (PT7-Tm): s2

w es51

1)s(H −

+= .

Solutie: Proiectarea a.r.n. DB după Dahlin se derulează în următoarele etape:

- se alege Te=1 sec. si rezulta d=f=2:

- se calculează HP(z) şi Hw(z): 2

1

1

w2

1

1

p zz7788,01

z22119,0)z(Hzz81873,01

z18126,0)z(H −−

−−

−

−

−=

−=

Înlocuind în (7.5-44) se obţine:

31

1

w

w

PR z22119,0z7788,01

z9989,022,1)z(H1

)z(H)z(H

1)z(H −−

−

−−−

==−

⋅= K

respectiv ecuaţia recurentă ce caracterizeaza a.r.n. DB:

131 9989,022,122119,07788,0 −−− −++= kkkkk eeuuu

Varianta a IV-a de proiectare a unui DB: proiectare după Dahlin, varianta a II-a, modificată. Particularitatea metodei constă în maniera de discretizare a algoritmului.

Dacă se cunoaşte HP(s) sub forma unui model PT7-Tm , atunci pentru sistemul de reglare, Hw(s), se impune tot forma de model PT7-Tm,

msTpP e

sTk

sH −

+=

1)( şi ms

w es

sH τ

τ−

+=

11)( (a)

cu particularitatea τm=Tm (nu absolut necesară); atunci a.r.n. DB se calculează în următorii paşi:

- Se calculează un RG – continual cu răspunsul impus:

( ) )()(

111

)(1)(

)(1)(

sesu

essT

ksHsH

sHsH

msTpw

w

PR

Δ=−−+

+⋅=

−⋅=

τ (b)

- Expresia comenzii u(s) se transcrie în forma uşor discretizabilă:

( )( ) ( ) )s(esT1k1)s(ue1s

p

sTm +=−+τ − (c)

- Relaţia (c) se discretizează prin metoda dreptunghiurilor intarziata, pentru care:

1

1

e zz1

T1s

−

−−⋅= : )z(e

zz1

TT1

k1)z(uz1

zz1

T 1

1

ep

d1

1

e⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

−⋅

τ−

−−

−

−

- Se reordonează rezultatul la forma uzuala a f.t. HR(z):

d1e1e

1

eepR

zT

zT

11

zTT1

TT

k1

)z(H−−−

−

τ−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛τ

−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

=

- Se explicitează a.r.n.

1kep

kep

d1ke

1ke

k eTT1

k1e

TT

k1u

Tu

T1u −−−− ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⋅+

τ−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛τ

−=

Alegerea perioadei de esantionare. Constituie una din problemele de actualitate in dezvoltarea solutiilor de conducere dead-beat.

25


Pentru formarea imaginii asupra alegerii perioadei de esantionare intr-o prima etapa se considera varianta a I-a (varianta de baza) a acesteia. In baza relatiilor (7.5-23) si (7.5-25) rezulta ca prima valoare a comenzii este invers proportionala cu suma coeficientilor numaratorului f.t. a procesului:

∑=μ

μ

m

1b :

∑=μ

μ

== m

1

00

b

1uq (7.5-45)

Din punct de vedere fizic, o valoare u0 mare solicita:

- un element de executie astfel dimensionat incat sa permita transferul de energie catre proces - ca procesul sa poata absorbi aceasta energie.

Pe de alta parte se cunoaste faptul ca, prin discretizarea MM aferent procesului continual bazat pe relatia (2-5):

)z(A)z(B

s1)s(HLZ)z1(

a

b)z(H)z(H 11

n

0i

m

1i

PEP =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−== −−

=ν

=μ

∑

∑ (2-5)

la cresterea perioadei de esantionare Te in valorile coeficientilor MM discret se manifesta urmatoarele trenduri:

- creste ∑ μb ∑ ν+ a1 -scade (7.5-46)

Rezulta ca reducerea excesiva a lui Te ar determina cresterea valorii lui u0 .

Relativ la algerea perioadei de esantionare in [6] se fac urmatoarele recomandari:

∑ ν⋅≥ T36.0Te sau 95e T18.0T ⋅≥ (7.5-47)

in care, T95 este timpul de crestere al procesului.

In cazul in care se impune prima valoare a comenzii (varianta a II-a), atunci, in acord cu relatiile (7.5-36) si (7.5-39) (a) se poate scrie:

si 00 qu =

∑=μ

μ

+=+= m

1

0101i

b

1uaqqu

La alegerea rezonabila a valoarii lui u0 perioada de esantionare pentru aceasta varianta a proiectarii, perioada de esantionare poate fi aleasa de valoare mai redusa. In acest context in [6] se fac urmatoarele recomandari:

∑ ν⋅≥ T22.0Te sau 95e T11.0T ⋅≥ , (7.5-47)

în care T95 este timpul de creştere al procesului.

Bibliobrafie

[1] Åstrom, K.J., Hägglund, T. PID Controllers. Theory, Design and Tuning Research Triangle Park, North Carolina, 1995

[2] Föllinger, O. Regelungstechnik, Elitera Verlag, Berlin, 1972 (also later editions) [3] Åstrom, K.J., Wittenmark, B. Computer-Controlled Systems. Theory and Design (Third Edition)

Prentice Hall 1997 [4] Călin., S. Regulatoare automate, EDP Bucuresti, 1976

26


27

[5] Åstrom, K.J., Hägglund, T. Benchmark Systems for PID Control, IFAC workshop on Digital Control, Terrassa, Spain, 5-7 April 2000, pp.187-182

[6] Isermann, R. Digital Control systems, vol.I: Fundamentals, Deterministic Control. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New Yok, 1989

[7] O’Dwyer, A. A Summary of PI and PID Controller Tuning Rules for Processes with Time delay, Part 1 and Part 2 IFAC workshop on Digital Control, Terrassa, Spain, 5-7 April 2000, pp.175-180 , 242-247

[8] Goodwin, G.C., Graebe, S.F., Salgado, M.E. Control System Design, Prentice Hall, 2001 [9] Lantos, B. Irányítási rendszerek elmélete és tervezése, Akadémia Kiadó, Budapest, 2001 [10] Lutz, H., Wendt, W. Taschenbuch der Regelungstechnik. Libri Verlag, 1998 [11] Preitl, S., Precup R.-E. Introducere în Ingineria Reglării Automate, Editura „Orizonturi

Universitare”, Timişoara, 2003 [12] Precup, R.-E., Preitl St. Development of some Fuzzy Controllers with non-homogenous Dynamics

with respect to the input channels meant for a class of Systems, Proceedings of ECC’99 European Control Conference, Karlsruhe, (Germany), 1999, sess. BP-15 “Computational Intelligence”, paper F56, 6 pp

[13] Lazar, C. Pastravanu, O., Poli, E., Schönberger, F.: Conducerea asistata de calculator a proceselor tehnice. Proiectarea si implementarea algoritmilor de reglare numerica. Editura Matrix Rom, Bucuresti, 1996

[14] Åstrom, K.J., Panagopoulos, H., Hägglund, T. Design of PI Controllers based on Non-Convex Optimization, Automatica, vol.34, 1998, No.5 pp.585-601

[15] Preitl, Zs. Metode de proiectare a sistemelor de reglare automata bazate pe comportarea in raport cu perturbatia utilizand regulatoare PID si 2DOF (RST), (Control structures development for to Improve Disturbance Rejection using PID and 2DOF (RST) controllers), Referat de doctorat, U.P.Timişoara, 2005

Ingineria reglarii automate (5).pdf

Documents

Transcript of Ingineria reglarii automate (5).pdf