Conducerea proceselor cu timp mort utilizând scheme de reglare cu predictor Smith

1

5. Conducerea proceselor cu timp mort utilizând scheme de reglare cu predictor Smith

Conducerea proceselor cu timp mort prezintă inconvenientul major că efectele modificării comenzii u(t) sunt resimţite în mărimea de ieşire y(t) sau z(t) numai după trecerea timpului egal cu valoarea timpului mort Tm; modificările întârziate ale ieşirii sunt resimţite întârziat în eroarea de reglare ε(t), ceea ce conduce la înrăutăţirea condiţiilor de stabilitate ale sistemului. Din acest motiv proiectarea acestor structuri este adeseori supusă unor tehnici aparte.

Structurile de reglare eficiente în acest sens este constituite de cele bazate pe model intern (Internal Model-based Control structure, IMC). Acestea sunt utilizabile eficient atât în cazul regulatoarelor cu un singur grad de libertate (1 DOF) cât şi în cazul regulatoarelor cu două grade de libertate (2 DOF). Structura de reglare cu predictor Smith (după ieşire) poate fi considerată ca şi un caz particular al conducerii IMC.

5.1. Scheme de reglare cu predictor Smith. Cazul continuu A. Structura unui SRA cu predictor Smith. Structura de SRA cu predictor Smith este prezentată în fig5.1-1 (a) şi (b). Utilizarea schemelor de reglare cu predictor Smith prezintă avantajul “scoaterii timpului mort în afara buclei de reglare”. În acest scop se utilizează blocul CR cu f.d.t. HC(s), care poartă denumirea de compensator în reacţie sau predictor Smith.

Fig.5.1-1. Structura unui SRA cu predictor Smith: structura de bază (a), structura reconfigurată (b).

Pentru evidenţierea efectului compensatorului şi calculul f.d.t. aferente, HC(s), se pleacă de la explicitatea schemei din fig.5.1-1 (b). În prealabil, în f.d.t. se separă partea cu timp mort (T

)(sH P

m) şi partea raţională : )(' sH P

)()()()( '' sHsHesHsHm

mTP

TsPP ⋅== ⋅− , . (5.1-1) m

m

sTT esH −=)(

În baza schemei bloc din fig.5.1-1 (b) se explicitează f.d.t. a sistemului deschis şi f.d.t a sistemului închis :

)(0 sH)(sH r

Conducerea proceselor cu timp mort utilizând scheme de reglare cu predictor Smith

2

mTsP

CR

R esHsHsH

sHsH ⋅−⋅+

= )()()(1

)()( '0 , (5.1-2)

)()]()()()[(1

)()(1

)()( '

0

'

0

0 sHsHsHsHsH

sHHsH

sHsH

m

m

TTPR

PRr ++

=+

= . (5.1-3)

Alegând compensatorul CR astfel ca să fie îndeplinită condiţia (5.1-4): )()()()( '' sHsHsHsH PTPC m

=+ , (5.1-4)

se obţine forma (5.1-5) a f.d.t. : )(sH r

mTs

PR

PRr e

sHsHsHsH

sH ⋅⋅+

=)()(1

)()()( '

'

. (5.1-5)

F.d.t. (5.1-5) caracterizează sistemulcu timpul mort scos în afara buclei, fig.5.1-2.

Fig.5.1-2. Structura de SRA cu predictor Smith modificată (de calcul).

În acest context se pot formula următoarele observaţii:

• Sub rezerva realizării exacte a condiţiei (5.1-4), din relaţia (5.1-5) rezultă că în relaţia proprietăţile buclei nu sunt afectate de timpul mort; în consecinţă RG propriu-zis se

poate proiecta ca şi cum procesul nu ar conţine timp mort.

'yr →

• Între intrarea r şi iesirea y timpul mort se manifestă ca şi cum ar fi situat in afara buclei, deci efectul lui poate fi anticipat.

• Parametrii compensatorului depind exclusiv de parametrii procesului. Într-adevăr, din relaţia (5.1-4) rezultă:

]1)[()()()( '' mTsPPPC esHsHsHsH ⋅−−=−= . (5.1-6)

În acord cu relaţia (5.1-6), schema bloc a SRA se poate rearanja la forma din fig.5.1-3.

Fig.5.1-3. Schema bloc rearanjată aferentă SRA cu predictor Smith.

B. Etapele proiectării SRA cu RG convenţional şi compensator Smith în cazul continuu. Etapele proiectării sunt următoarele: • Se pleacă de la f.d.t. a PC, care se presupune bine cunoscută şi separabilă în forma:

. (5.1-7) mTsPP esHsH ⋅−= )()( '

Conducerea proceselor cu timp mort utilizând scheme de reglare cu predictor Smith

3

• Se proiectează regulatorul principal HR(s) cu referire la (partea fără timp mort a procesului); în acest sens se poate apela oricare metodă de proiectare cunoscută.

)(' sH P

• Se proiectează componentele compensatorului în reacţie (CR), fig.5.1-1 (b).

C. Implementarea compensatorului în varianta continuă. Proiectarea continuă conduce nemijlocit la o primă posibilitate de implementare în variantă analogică a regulatorului cu compensator Smith. Această implementare se loveşte de dificultatea realizării timpului mort Tm. Cea mai convenabilă realizare a timpului mort o constituie o realizare Pàde de forma aproximantului Pàde de ordinl (1+1):

2/12/1

m

mTs

TsTs

e m

⋅+⋅−

≈⋅− . (a) (5.1-8)

Corespunzător (5.1-6) se rescrie în forma:

2/12/

)(2/12/1

1)()( ''

m

mP

m

mPC Ts

TssH

TsTs

sHsH⋅+

⋅⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅−

−⋅= . (b) (5.1-8)

Caracterul derivativ al reacţiei realizate de compensator (modulul (CR)) va menţine în RSC caracterul regulatorului de bază, HR(s). Acest lucru se poate demonstra în două moduri: • In baza relaţiei (5.1-8) rezultă imediat:

01)(lim )()()(0

=⋅⋅=⇒⋅= ∞→∞ us

sHsususHsu CscCc . (5.1-9)

• În baza schemei bloc din fig.5.1-1 (b), acceptând (pentru exemplificare) faptul că: - procesul este de tip PT2-Tm, - regulatorul este de tip PI şi s-a aplicat principiul compensării constantei de timp mari:

mTsPP e

sTsTksH ⋅−⋅

++=

)1)(1()(

21

şi )1()( rr

R sTs

ksH += , 1TTr = . (5.1-10)

Atunci, în baza relaţiei (5.1-8) se obţine:

)2/1)(1)(1(

)(21 m

mPC sTsTsT

TsksH

+++⋅⋅

= ,

adică modulul CR are caracter derivativ, anticipativ dar şi cu efect tranzitoriu, respective f.d.t. a regulatorului extins (RE), : )(sH RE

2/1)1)(1()1(1

)1(

)()(1)(

)(

21 m

mprr

r

rr

CR

RRE

sTTks

sTsTksT

sk

sTs

k

sHsHsH

sH

+

⋅⋅

++++

+=

⋅+=

şi în final:

mPrm

mr

rRE TkksTsT

sTsTsTsksH

+++++

+=)2/1)(1(

)2/1)(1()1()(2

2 . (5.1-11)

Prin relaţia (5.1-11) se evidenţiază faptul că RE îşi menţine caracterul PI dar este extins cu un filtru PD2-T2. În continuare se pot calcula succesiv f.d.t. , şi apoi analiza toate proprietăţile SRA.

)(0 sH )(sH r

Conducerea proceselor cu timp mort utilizând scheme de reglare cu predictor Smith

4

D. Avantajele şi dezavantajele reglării cu utilizarea predictorului Smith. Acestea pot fi grupate după cum urmează în avantaje (A) şi dezavantaje (D):

- procesul de reglare este îmbunătăţit (A), - simplitatea proiectării structurii şi implementării soluţiei (A), - realizarea analogică a RE, a blocului cu timp mort este greoaie (numai aproximativă); ea

devine cu atât mai puţin eficientă cu cât procesul este mai complex (D), - sensibilitate relativ mare la necunoaşterea exactă a parametrilor procesului / realizarea

aproximativă a parametrilor regulatorului (D).

Regulatoarele de bază recomandate sunt cele clasice, de tip PI sau PID.

Exemplul de proiectare 1: Se consideră PC cu f.d.t. de forma: )(sH P

sP e

sssH 10

)51)(101(1)( −⋅

++= cu

)5)(`101(1)('

sssH P ++

= şi . sT esH

m

10)( −=

Să se proiecteze regulatorul extins, RE, astfel încât: - timpul mort să fie scos în afara buclei; - bucla de reglare compensată să aibă rezerva de fază φr ≈45o.

Soluţie: Timpul mort foarte mare (Tm ≈ T1) nu permite aplicare teoremei constantelor de timp mici şi poate avantaja utilizarea unui SRA cu predictor Smith.

1. Calculul RG de bază. Cu referire la f.d.t. se alege un RG-PI cu f.d.t.: )(' sH P

)1()( rr

R Tss

ksH ⋅+⋅=

şi corespunzător se obţine:

srr esss

TsksH 10

0 )51)(101()1(

)( −⋅++

⋅+= .

Aplicând principiul compensării rezultă: .sec101 == TTr

sr ess

ksH 10

0 )51()( −⋅

+⋅= cu

)51()('

0 ssk

sH r

+⋅= şi . m

m

TsT esH ⋅−=)(

Pentru partea „fără timp mort” a procesului se poate scrie:

ω−π

−=ω 5arctg2

)(/ '0 jH şi

4)(/ '

0π

=π+ω=ϕ tr jH .

Rezultă:

1'0 sec2,0

51

45arctg

45arctg

2)(/ −==ω⇔

π=ω⇔

π=ω−

π=π+ω=ϕ ttttr jH .

În fine, din condiţia de modul, 1)('0 =ωtjH , se obţine:

1251 2 =ω+ω t

t

rk , de unde )101(5

2)(;10/22 ss

sHk Rr +== .

2. Calculul compensatorului în reacţie (CR). Se apelează relaţia (5.1-8) şi se obţine:

Conducerea proceselor cu timp mort utilizând scheme de reglare cu predictor Smith

5

)51(

10)51)(101(

1)(s

sss

sH C +⋅

++= .

5.2. Implementarea numerică a regulatorului cu predictor Smith La implementarea numerică a predictorului Smith, fig.5.2-1 (a), pot fi eliminate dificultăţile de realizare a timpului mort. Fie procesul condus continuu cu f.d.t.:

mm sTsTPeP e

sAsBesHsH −− ⋅==)()()()( . (5.2-1)

Alegând Tm/Te = d – întreg, întârzierea unui semnal cu d perioade de eşantionare este uşor realizabilă numeric conform relaţiei (5.2-2):

)()()( tuqdTtuTtu dem

−=−=− , (5.2-2)

în care este operatorul de întârziere din domeniul timp, corespondentul lui din domeniul operaţional.

1−q 1−z

Utilizând etapele de dezvoltare a predictorului Smith continuu şi implementarea discretă a algoritmului de reglare (varianta CvC) a blocului CR (inclusiv a întârzierii pure) se obţine schema aferentă unui SRA cu predictor Smith continuu implementat în timp discret, fig.5.2-1 (b).

Fie corespondentul discret al f.d.t. de forma: )(zH P )(sH P

)()()(

zAzBzH P = (5.2-3)

. Fig.5.2-1. Schema unui SRA cu timp discret cu predictor Smith discret.

şi forma discretizată (CcC) a regulatorului:

)()()(

zPzQzH R = , (5.2-4)

cu polinoamele având următoarele grade: nnzA A ==)( grad , mnzB B ==)( grad , , . Atunci f.d.t. aferentă a.r.n. cu predictor Smith discret se poate

explicita sub forma: QnzQ =)( grad PnzP =)( grad

).()()()()

)()(

)()()1(1(

,)()()1(1

)()()()(

zzPzQzu

zPzQ

zAzBz

zHzHzzH

zzuzH

d

RPd

RRpS

ε=⋅−+

−+=

ε=

−

−

(5.2-5)

Conducerea proceselor cu timp mort utilizând scheme de reglare cu predictor Smith

6

Relaţia (5.2-5) se poate rescrie în forma:

)()()()()()()()]()()()([ 11111111 zzQzAzuzQzBzzuzQzBzPzA d ε=−+ −−−−−−−−− . (5.2-6)

Relaţia (5.2-6) poate servi la explicitarea legii de reglare.

Exemplul de proiectare 2: Fie procesul continuu şi regulatorul PI de la exemplul de proiectare 1. F.d.t. cu timp discret aferente procesului şi regulatorului se pot calcula cu relaţiile cunoscute:

(a) pentru proces, realizare invariantă la semnal treaptă:

ddP z

zazaazbzbz

zAzBzH −

−−

−−−

+++

== 22

110

22

11

)()()( cu em TTd /= , 10 =a ; (5.2-7)

(b) pentru regulator, discretizare printr-o metodă clasică:

)()(

1)( 1

1

110

zPzQ

zpzqq

zH R =++

= −

−

cu 11 −=p . (5.2-8)

Fie . În acord cu relaţiile (5.2-4) şi (5.2-6), regulatorul numeric extins cu predictor Smith se poate explicita în forma:

5=d

)(1

)(11

)1(1 11

1`10

11

110

22

11

22

115 z

zpzqq

zuzpzqq

zazazbzbz ε

++

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

⋅++

+−+ −

−

−

−

−−

−−− ⇔

. ⇔)())(1()())((

)()])(()1)(1[(1

102

21

151

102

21

1

110

22

11

11

22

11

zzqqzazazuzzqqzbzb

zuzqqzbzbzpzaza

ε+++=++−

−++++++−−−−−−−

−−−−−−

Efectuând produsele din ultima egalitate se obţine:

, 3

32

21

10

88

77

66

33

22

11

)()()()(

)()()()()()()(−−−

−−−−−−

ε+ε+ε+ε=

=++++++

zzqzzqzzqzq

zzufzzufzzufzzufzzufzzufzu

de unde se poate explicita a.r.n. cu predictor Smith:

3322110

887766332211

−−−

−−−−−−

ε+ε+ε+ε++−−−−−−=

kkkk

kkkkkkk

qqqqufufufufufufu

. (5.2-9)