Cap. 3. Acordarea optimă a regulatoarelor utilizând criterii de modul

3.1. Metode de optimizare a parametrilor regulatoarelor

În vederea evitării dificultăţilor legate de proiectarea prin metoda indicatorilor de performanţă şi metodele de alocare – cu incertitudini legate de alegerea celei mai bune soluţii – în literatură au fost dezvoltate numeroase metode de acordare optimă a parametrilor în conformitate cu un anumit criteriu. Ele se bazează pe utilizarea unor indicatori sintetici care surprind calitatea unui SRA într-o formulare sintetică. Conceptual metodele de optimizare sunt relativ simple: pentru structura de sistem de reglare cu regulatorul având parametrii grupaţi în vectorul p , se pune problema determinării setului de parametri care satisfac un criteriu de optim. Probemele care se pun sunt următoarele:

optp

- algerea criteriului de optim şi a unui indicator, care să satisfacă performanţele dorite pentru sistemul de reglare;

- tratarea restricţiilor suplimentare. Criteriile de optim pot fi definite in domeniul timp sau in domeniul pulsaţie.

A. Optimizarea în domeniul timp. Proiectarea optimă în domeniul timp are ca obiectiv găsirea celui mai bun regulator dintr-un anumit punct de vedere, fixat prin intermediul unui indicator de calitate integral cu următoarea formă generală a problemei de optimizare associate [3] – [16]:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

ς== ∫ tttFIft

topt d)),),((minarg

0

ppp

, (3.1-1)

în care reprezintă o funcţie vectorială de variabilele )),,(( ttF pς )(tς şi . Evoluţia variabilei p )(tς caracterizează “calitatea sistemului”. Intervalul reprezintă orizontul de timp de observare a

sistemului; în particular, limitele şi pot fi

],[ 0 ftt

0t ft 00 =t respectiv ∞=ft .

În acceptarea unui anumit criteriu integral şi a unui anumit indicator integral (cu o anumită structură a integralei) trebuie stabilită (indirect) o legătură între expresia integralei, minimul acesteia şi calitatea SRA; această legatură este reflectată de regulă:

- prin intermediul indicatorilor empirici cunoscuţi σ1, tr, t1, … sau

- prin intermediul unor indicatori “energetici” (de exemplu, consum energetic minim).

Utilizarea indicatorilor integrali într-o aplicaţie de conducere, presupune parcurgerea următoarelor două etape [12], [24]:

(1) Etapa de analiză a eficienţei indicatorului în caracterizarea calităţii SRA: - alegerea formei particulare pentru funcţionala )),,(( ttF pς ; evaluarea expresiei este

uşoară doar pentru anumiţi indicatori integrali, - alegerea variabilelor din componenţa funcţionalei, )(tς - alegerea formei particulare de variaţie a mărimii de intrare care determină traiectoria şi

în raport cu care se efectuează analiza (proiectarea) SRA, - precizarea corespondenţei dintre valorile indicatorului integral şi “calitatea SRA”. (2) Etapa de sinteză a SRA. Aceasta etapă este legată de proiectarea algoritmică a RG: - minimizarea indicatorului în raport cu unul sau mai mulţi parametri ai RG,

1

Acordarea optimă a regulatoarelor utilizând criterii de modul

2

- calculul valorii minime a acestuia; valoarea minimului nu este însă esenţială.

În cazul utilizării unui regulator PI, valorile optime ale parametrilor, , care asigură minimizarea integralei, se obţin rezolvând ecuaţiile de optimizare parametrică (3.1-2):

, optioptr Tk

0* =∂∂

rkI , 0* =

∂∂

iTI , (3.1-2)

cu soluţia optimală . , optioptr Tk

Alegerea unui anumit criteriu respectiv a unui anume indicator integral se face în acord cu particularităţile sistemului, natura semnalelor exterioare prin care se probează indicatorul şi cu metoda de evaluare a indicatorului. B. Optimizarea în domeniul pulsaţie. Cerinţele de bază ale optimizării pot fi formulate in domeniul pulsaţie sub forma condiţiilor (3.1-3) şi (3.1-4) [1], [5], [12], [18]:

1)()( ≈ω=ω jHM rr , pentru valori 0≥ω cât mai mari, (3.1-3)

0)()( 2,12,1 ≈ω=ω jHM vvvv pentru valori 0≥ω cât mai mari. (3.1-4)

Condiţiile generale de optim în modul au fost formulate de către Whiteley (Modulus Optimum (MO) conditions, [5], [15]) sub forma:

1)0( =rM (1) 0)(

0

=ω

ω

=ω

ν

ν

dMd r (2) (3.1-5)

0)0(2,1 =vvM (1) 0)(

0

2,1 =ω

ω

=ω

ν

ν

d

Md vv (2) (3.1-6)

Metodele de acordare care derivă din caracteristicile de amplitudine (modul) – pulsaţie sunt denumite metode de Optim in Modul (MO-m) [26]. Pentru sistemele de reglare după ieşire două din aceste criterii (metode) sunt reţinute în literatura ca remarcabile:

- Criteriul/metoda modulului optim (MO-m - modulus optimum method), [18], [3], prezentat în paragraful 3.1.

- Criteriul/metoda optimului simetric (SO-m - Symmetrical Optimum Method, [3], [19] prezentat în paragraful 3.2. Tot în acest paragraf sunt prezentate şi două extensii ale metodei, obţinute prin parametrizare.

Ambele metode sunt bazate pe condiţii de optim impuse în caracteristica modul-pulsaţie a sistemului închis.

3.2. Metoda (criteriul) modulului optim Acordarea parametrilor regulatoarelor bazată pe MO-m are la bază condiţiile de optim (3.1-5) şi (3.1-6) reformulate sub forma relaţiilor (3.2-1) (a)-(c):

(c)0)()(:0)(

(b)0)()(:0)(

(a)1)()(:1)(

222

111

=ω=ω=

=ω=ω=

=ω=ω=

dvv

dvv

rrr

MjHsH

MjHsH

MjHsH

(3.2-1)

pentru valori ω cât mai mari. Metoda a fost dezvoltată sub numeroase variante de aplicare.

O variantă pragmatică, cea mai răspândită, se datorează lui Kessler [18], [2]. Cazurile de aplicare a variantei date de Kessler sunt sintetizate în tabelul 3.2-1. În principiu, la o formă bine precizată a modelului de proces se ataşează un anumit tip de regulator (tipizat).

Tabelul 3.2-1. Cazuri de aplicare a criteriului modulului optim (MO-m), varianta Kessler.

Regulator Notaţii

Cazul

Proces, )(sH P

Tip )(sH R

0 1 2 3 4

1

Σ+ sTk p

1

I

skr

MO-1.1

2

( )( )111 sTsTk p

++ Σ

PI

( )

1

,1

TT

sTs

k

r

rr

=

+

MO-2.1

3 ( )( )( )

Σ

Σ

>>+++

TTTsTsTsT

k p

21

21 111 PID ( )(

21 ';

'11

TTTT

sTsTsk )

rr

rrr

==

++

MO-3.1

4

( )Σ+ sTsk p

1

P ck

MO-1.2

5

( )( ) 2.0/,11 1

1

<++ Σ

Σ

TTsTsTs

k p

PDT1 ( )

10/;

11

1 ≈=

++

fdd

f

dr

TTTT

sTsTk

MO-2.2

6

( )( )2.0/,

)1(11

121

21

<>>+++

ΣΣ

Σ

TTTTTsTsTsTs

k p

PD2T2 ( )( )

( )( )

MO-3.2

20...10/;

20...10/;

1111

2222

1111

21

21

≈=

≈=

+++ +

fdd

fdd

ff

ddr

TTTT

TTTT

sTsTsTsTk

Observaţii: 1. În tabel cu s-a notat constanta de timp mică sau echivalentul constantelor de timp mici, rezultată din aplicarea teoremei constantelor de timp mici.

ΣT

2. În cazul variantelor 4, 5 şi 6 componenta I este adusă de proces.

A. Prezentarea criteriului. Acceptând că: - parametrii procesului sunt bine cunoscuţi, - combinaţiile de proces-regulator din tabelul 3.2-1 şi - aplicarea tehnicii compensării constantelor de timp mari ale procesului de către constantele

de timp aduse de regulator (compensarea poli-zerouri), f.d.t. ale sistemului deschis şi sistemului închis obţin (pentru toate cazurile menţionate) formele (3.2-2) şi respectiv (3.2-3):

( )Σ+==

sTskk

sHsHsH prPR 1

)()()(0 , (3.2-2)

012

2

02)(

asasaa

kksTskk

sHpc

prr ++

=++

=Σ

, (3.2-3)

în care:

3

Acordarea optimă a regulatoarelor utilizând criterii de modul

4

pr kkaaTa === Σ 012 ,1, . (3.2-4)

Condiţia de optim este impusă în modulul caracteristicii de pulsaţie )( ωjH r :

( ) 422

22120

20

20

2)(

ω+ω−−=ω

aaaaaa

jH r (3.2-5)

sub forma relaţiei (3.2-6): 21202 aaa = 1. (3.2-6) ⇒ 2 =ΣTkk pr

Relaţia (3.2-6) permite calculul parametrului necunoscut, (ceilalti parametri ai regulatorului au fost fixaţi din condiţia de compensare poli-zerouri):

rk

Σ

=Tk

kp

r 21 . (3.2-7)

Înlocuind în (3.2-2) şi (3.2-3) se obţin formele optimizate ale f.d.t. şi , marcate cu indicele inferior “opt”:

)(0 sH )(sH r

( )ΣΣ +=

sTTsH opt 12

1)(0 , (3.2-8)

2 20

20

20

2211)(,

2)(

sTsTsH

sssH optroptr

ΣΣ ++=

+ζω+ωω

= . (3.2-9)

valoarea coeficientului de amortizare fiind 707.02/2 ==ζ ; polii sistemului deschis şi închis sunt:

Σ

−==T

pp 1,0 21 , ΣΣ

±−=T

jT

p21

21*

2,1 . (3.2-10)

B. Performanţele realizate. Eficienţa metodei. În baza relaţiilor (3.2-8), (3.2-9) se pot stabili performanţele realizate de către SRA:

• În domeniul timp: - în raport cu referinţa: %3.41 =σ ; Σ= Ttr 4.8 ; Σ= Tt 7.41 (3.2-11)

- în raport cu perturbaţia: valoarea statismului )(02,1/

ctrrn vy==∞∞=γ depinde de tipul

perturbaţiei şi de plasarea ei în raport cu componenta integratoare: - MO-1.1, MO-2.1, MO-3.1: 0=nγ ; - MO-1.2, MO-2.2, MO-3.2: v1: 0=nγ ; (3.2-12)

v2: 0≠nγ .

• În domeniul pulsaţie: - rezerva de fază şi pulsaţia de tăiere ; )3/(60 π==ϕ o

r Σ≈ω Tt 2/1 ;- valoarea maximă a modulului caracteristicii de pulsaţie (c.d.p.) a sistemului închis: 1 pentru |)(|max =ω= jHM rp )0( →ω (3.2-13)

- valoarea maximă a funcţiei de sensibilitate şi inversa acesteia, : SoptM 1−SoptM

Σ≈ω=ω= TjSM optSopt /9.0pentru272.1)(max şi ; 786.01 =−SoptM

Aceste valori sunt în domeniul recomandat în literatură: 22.1 << SoptM [3]. Performanţele sunt sintetizate şi prin graficele din fig.3.2-1 (pentru distincţie, s-au notat polii sistemului deschis cu

şi polii sistemului închis cu ). , 21 pp , *2

*1 pp

Fig.3.2-1. Performanţele sistemului de reglare.

La rejecţia perturbaţiei externe regimul tranzitoriu depinde de locul de acţiune a perturbaţiei, fiecare caz trebuind să fie tratat separat [12], [21], [24]. Această comportare este datorată formelor diferite ale f.d.t. în raport cu perturturbaţia de tip sarcina şi plasării diferite a constantelor de timp mari ale procesului. Introducând parametrul m=TΣ/T1, în fig.3.2-2 sunt prezentate răspunsurile la perturbaţie sarcină de tip treaptă pentru diferite valori m∈0.05, 0.1, 0.15, 0.2, 0.25, 0.3, … , 0.5 [21]. Prin creşterea “părţii dominante a procesului” (pentru raport T1/TΣ din ce in ce mai mare, respectiv, valori m din ce în ce mai reduse) timpul de reglare în raport cu perturbaţia de tip sarcină creşte semnificativ. Efectul poate fi redus prin utilizarea unor metode alternative de optimizare, a unor structuri de reglare mixte care să combine avantajele reglajului PID şi ale structurilor de reglare mai complexe (reglarea în cascadă, IMC control etc.). Etapele aplicării metodei de proiectare după CM.

• Se pleacă de la posibilitatea aducerii HP(s) la una din formele relativ simple (benchmark) menţionate în tabelul 6.2.1 situatiile marcate cu 1-a … 1-c; performanţele impuse trebuie sa fie de forma σ1=4.3% respectiv trimp, , γn= 0;

• Valoarea lui trimp va fixa /impune valoarea maximă acceptata pentru T respectiv TΣ şi anume

rimprimp tT

tT ⋅=== ∑ 118.0

4.8 ;

• Ca rezultat al calculului anterior se stabileşte valoarea lui T (TΣ) si corespunzator forma definitivă pentru HP(s); prin aceasta se fixeaza valorile lui T1, T2, T = TΣ (TΣ reprezentand suma constantelor de timp rămase (constante de timp mici));

• În funcţie de performaţele impuse, forma fixată a lui HP(s) şi locul de acţiune al perturbaţiei se încadrează proiectarea într-unul din cazurile menţionate 1.a (CM-1), 1.b (CM-2), 1.c (CM-3), respectiv ca extensie cazurile 2.a, 2.b, 2.c;

• Se detemină tipul de RG de utilizat şi se calculează parametrii de acordare ai RG; • Datorită aproximaţiilor făcute prin aplicarea teoremei constantelor de timp mici (TΣ este

suma constantelor de timp mici) se impune: - verificarea stabilităţii sistemului, - simularea pe calculator numeric a comportării SRA;

5

Acordarea optimă a regulatoarelor utilizând criterii de modul

6

in cazul ambelor verificari, pentru PC condus se vor utiliza MM cat mai detaliate. • Daca a.r. se implementeaza in varianta CvC atunci la simularea comportarii SRA a.r se va

implementa ca RG- cu timp discret urmat de un ER si apoi de PC continuu. Observatii. 1. Aplicarea criteriului presupune că parametrii procesului sunt cu valori bine cunoscute şi constanţi (invarianti in timp). Daca modificarile parametrilor au loc intr-un domeniu relative restrans (de exemplu + 15 %) atunci datorita robustetii RG (rezerva de faza a SRA este mare, φr ≈ 600) modificarile in comportarea SRA pot sa nu fie esentiale. Dacă situaţia nu este aceasta atunci se recurge la realizarea unui SRA la care parametrii RG se acordează în permanenţă în funcţie de modificările parametrilor procesului. 2. In acest caz procesul se identifică (reidentifică) periodic iar parametrii RG se modifică în funcţie de rezultatul identificării. Implementarea avantajoasă a soluţiei se face în varianta unui a.r.n.-CvC (a se vedea fig.f.2-a).

Fig.3.2-a SRA cu acordarea paremetrilor RG

Relativ la schema prezentată se mai pot face câteva precizări: daca identificarea procesului se face sub forma unei ecuaţii cu timp discret de formă impusă atunci

parametrii continuali ai procesului se pot determina relativ uşor; orice schimbare a perioadei de eşantionare conduce la schimbarea relaţiilor de calcul a coeficientilor

a.r.n.; schimbările în algoritmul de reglare (valorile parametrilor sau/şi perioadei de eşantionare) implică:

- recalcularea coeficienţilor ecuaţiei cu timp discret, - recalcularea condiţiilor iniţiale pentru noul algoritm.

Aplicatia 1. Se considera sistemul de reglare a turatiei unui m.c.c. cu schema principiala data in fig.3.2-b. In urma identificarii experimentale PC (elemental de executie (punte cu tranzistoare), procesul propriuzis (m.c.c. si sistemul actionat) si elemental de masura (tahogenerator + convertor de semnal) poate fi caracterizat de un model de tip PT2 cu f.d.t.: 1 1 HP(s) = ————.———— si y(t) = kMωω(t) cu kMω= 0,01 V/rad/sec. (1+0,05s) (1+0,12s) Se accepta ca perturbatia actioneaza in punctul indicat (la mijlocul procesului). Pentru reglarea turatiei se impun urmatoarele performante: σ1=4.3% , trimp < 0,5 sec., γn= 0.

Se cere:

(1) Sa se proiecteze algoritmic a.r. continual care sa asigure performantele impuse; Sa se proiecteze o varianta de RG-continual in realizare FA cu AO.

(2) Sa se determine VRSC e∞ ,u∞ ,m∞ ,y∞ , ω∞ , in care m(t) marimea intermediara din amonte de perturbatia ms ) pentru w∞ = 3 si ms∞ = 3.

(3) Sa se construiasca CS de prescriere si CS de sarcina pentru Dw=0 , 5 si la w∞ =3 , Dy = 0 , 5.

(4) Sa se discretizeze l.d.r. continuala (a.r.C) printr-o metooda agreata si sa se intocmeasca programul de reglare in pseudo-cod.

Fig3.2-b. Schema principiala pentru un SRA de reglare a turatiei unui m.c.c.

Solutie: (1). Din valoarea lui tr se poate calcula constanta de timp care mai poate fi considerata mica:

12,005,0sec059,05,0118.04,85,0

4.8 1 ==⇒=⋅==≤ ∑∑ TTt

T rimp

Avand impus si statimul nul, γn=0 se aplica criteriul CM-2 si se utilizeaza un RG de tip PI cu f.d.t.

)1()( rr

R sTs

ksH +=

Parametrii RG se calculeaza cu relatiile: Tr=0,12 compensarea constantei de timp mari a PC;

kr= 1/(2 kP TΣ)= 1/(2. 1. 0,05)= 10 sau kR = kr Tr = 1,2 . In figura 3.2.3 sunt prezentate doua realizări compacte ale RG-PI, care necesita atasarea elementului de comparatie.

. Fig. 3.2-c. Doua realizări compacte ale RG-PI (cap.3)(se va atasa si elementul de comparatie

Relatii pentru calculul elementelor de circuit: Tr= R1 C1 kR= R1/Ro sau kr= 1/(R0C1)

Alegând: R1= 1MΩ se obtine Ro =0,833 MΩ si C1=0,12 μF.

(2) In prezenta RG-PI conditia de baza in RSC devine e∞ = 0. In continuare un calcul relativ simplu (cap.3) conduce la:

y∞ = w∞ = 3; ω∞ = 1/(0,01). 3 = 300 rad/sec; – ms∞ + m∞ = 3 => m∞= 6; u∞ = 6.

(3) Sistemul fiind astatic, caracteristicile statice se construiesc simplu (cap.5)

y∞ = w∞ – 0. ms∞ => y∞ = w∞ CS de prescriere

y0 = w0 y∞ = y0 – 0. ms∞ CS de sarcina.

(4) Pentru a.r.n. CvC se foloseste realizarea din figura (cap.4) Prin discretizare se obţine:

7

Acordarea optimă a regulatoarelor utilizând criterii de modul

8

| q0 + q1z-1

HR(z) = HR(s) | = ————— , | 2 z–1 1 + p1z-1

|s= — ——— | Te z+1

kr+sTr kr HR(s)= ———— cu b0= kr , b1= Tr kr a0= 0 si a1= 1 , 0 + s si in final, a.r.n. obţine forma:

uk = – p1uk-1+q0ek+q1ek-1 , (c) în care:

q1 = – (2b1–b0Te)/(2a1+a0Te) , p1 = (2a1–a0Te)/(2a1+a0Te) . q0 = (2b1+b0Te)/(2a1+a0Te) , p0 = 1 (d)

(calculul coeficientilor se lasa pe seama cititorului).

Schema bloc informaţională aferentă a.r.n. este prezentată în fig.3.2-d. În schemă au fost introduse şi variabilele auxiliare ek

* = x2k şi ek-1* = x1k (aceste mărimi au calitatea de variabile de stare).

Fig.3.2-d.. Schema bloc informaţională aferentă a.r.n.

Programul de implementare a a.r.n. scris în pseudocod este bazat pe structura informaţională din figura şi are următoarea exprimare: --------------------------------- t = tk – activare program de reglare;

Citeşte wk, yk; Calculează: ek = wk – yk;

dacă k = 0 atunci x1k = x10 – prima iniţializare;

altfel x1k = x2k – reiniţializare; Calculează x2k = ek – p1x1k;

uk = q1x1k + q0x2k; Transmite ukProgram terminat

---------------------------------- Remarcă: Instrucţiunea de reiniţializare x1k = x2k poate fi mutată şi la finalul programului, reducându-se timpul necesar executării a.r. propriu-zis.

Aplicaţia2. Se consideră procesul condus “generator de current continuu” cu ieşirea tensiunea la borne, uG, şi perturbaţia v; schema bloc informaţională este prezentată în fig.3.2-3 (a). Să se proiecteze algoritmic şi dimensional constructiv RG care poate asigura SRA următoarele performanţe impuse: %3.41 =σ , tr < 2 sec, γn = 0.

Soluţie: F.d.t. detaliată a procesului are forma:

sP e

ssssH 01.0

)21)(15.01)(01.01(8.1)( −

+++= .

Din relatia (3.2-11) se obţine:

sec 236.02118.0max =⋅<ΣT .

Se aplică teorema constantelor de timp mici (timpul mort foarte mic poate fi echivalat cu o constantă de timp de temporizare de valoare 0.01) şi rezultă:

max236.0017.015.001.001.0 ΣΣ =<=++= TT .

Fig.3.2-2. Răspunsul sistemului la referinţă treaptă urmată de variaţia treaptă a perturbaţiei de tip sarcină

pentru parametrul m∈0.05, 0.1, 0.15, ... 0.5.

Fig.3.2-3. Schema bloc aferenta procesului (a); realizarea prin FA cu AO a regulatorului (b).

În consecinţă f.d.t. se aduce la forma: )(sH P

( )( ) sec 2 sec, 017.015.001.001.0 ,8.1 ,11

)( 11

==++==++

= ΣΣ

TTksTsT

ksH p

pP .

Proiectarea se încadează în cazul 2; regulatorul ales este de tip PI, cu parametrii:

7.12

1≈=

ΣTkk

Pr şi respectiv sec 21 == TTi 4.3≈= irR Tkk .

Schema electronică simplificată aferentă regulatorului este prezentată în fig.3.2-3 (b); elementele de circuit pot lua (de exemplu) următoarele valori: C1 = 10 μF - se alege, Ti = R1C1 = 2 ⇒ R1 = 0.5 MΩ, kR = R1 /R0 = 3.46 ⇒ R0 = 0.144 MΩ.

9

Acordarea optimă a regulatoarelor utilizând criterii de modul

10

)

3.3. Metoda (criteriul) optimului simetric

Metoda a fost introdusă de C. Kessler [19], [12], [2] şi este aplicată în diverse variante. Ideea de bază constă în realizarea în f.d.t. a sistemului deschis a unui pol in origine de ordinul 2 care să asigure eroarea de reglare nulă în raport cu variaţii rampă ale intrării.

)(0 sH0)(e =∞

A. Prezentarea criteriului. O versiune pragmatică a metodei este prezentată în lucrările [2], [6], [7] şi este aplicată pentru situaţiile în care procesul conţine o componentă integratoare:

( )( )( 21 111)(

sTsTsTsk

sH pP +++

=Σ

. (3.3-1)

Forma este particularizabilă la una din situaţiile din tabelul 3.3-1. În principiu, la o formă bine precizata a modelului de proces se ataşează un anumit tip de regulator. Pentru f.d.t. particularizate, în coloanele 2 şi 3 sunt evidenţiate regulatoarele de utilizat şi expresiile f.d.t.. Pentru toate cazurile, aplicând şi principiul compensării constantelor de timp mari ale procesului, f.d.t. a sistemului deschs devine:

Tabelul 3.3-1. Cazuri de aplicare a criteriului optimului simetric (SO-m).

Regulator Cazul

Proces, )(sH P Tip )(sH R

Notaţii

0 1 2 3 4

1 ( )Σ+ sTs

k p

1

PI ( )rr sT

sk

+1 SO-1

2

( )( )1

1

2.011TT

sTsTsk p

<++

Σ

Σ

PID(T1) ( )( ) 1','11 TTsTsTs

krrr

r =++

( ) ( )( )

)20...10(/';'

1'1

1

1 ≈=

++

+

fcr

f

rr

r

TTTT

sTsT

sTs

k

SO-2

3

( )( )121

21

2.0,)1(11TTTTT

sTsTsTsk p

<>>+++

ΣΣ

Σ

PID2T2 ( ) ( )( )

( )( )

)20...10(/;

)20...10('/';'1'11'1

1

2

2

≈=

≈=

++++

+

fdd

frr

ff

drr

r

TTTT

TTTTsTsTsTsT

sTs

k

SO-3

( )

( ) . ,1

1)( 20 Σ

Σ

>+

+= TT

sTssTkk

sH rrpr (3.3-2)

Datorită polului în origine dublu creat, f.d.t. a sistemului închis obţine forma:

012

23

3

0123)(

asasasabsb

kksTkksTskksTkk

sHprrpr

prrprr +++

+=

+++

+=

Σ

, (3.3-3)

cu:

00 ab = , , 11 ab = Σ==== TaaTkkakka rprpr 3210 ,1,, . (3.3-4)

În caracteristica modul-pulsaţie:

623

42231

22120

20

221

20

)2()2()(

ω+ω−−ω−−ω+

=ωaaaaaaaa

aajH r (3.3-5)

se pot evidenţia condiţiile de optim [19], [5], [12], [24]: 2231

2120 2,2 aaaaaa == . (3.3-6)

Aplicând condiţiile de optim (3.3-6), se pot determina expresiile f.d.t. optimizate pentru sistemul deschis, , sistemul închis, şi funcţia de sensibilitate : )(0 sH opt )( sH optr )(sSopt

( )ΣΣ

Σ

++

=sTsTsT

sH opt 18)41(

)( 220 cu 20 81

Σ

==T

kkk pr , (3.3-7)

( )( )22 4212141

)(sTsTsT

sTsH optr

ΣΣΣ

Σ

++++

= cu [ ][ ] 623

22

08141)(

ωωω

Σ

Σ

+

+=

TTjH r , (3.3-8)

( )3322

22

884118

)(sTsTsT

sTsTsSopt

ΣΣΣ

ΣΣ

++++

= . (3.3-9)

Parametrizarea condiţiilor (3.3-5) permite generalizarea suboptimala a metodei [21], [25]. În baza relaţiei (3.3-7) se determină expresia parametrilor regulatorului:

- cazul SO-1 - regulator PI:

( ) ΣΣ

===+= TTTkT

kksT

sk

sH rpi

Rrr

rR 4,

811)( 2

; (3.3-10)

- cazul SO-2 - regulator PID:

1'

2 ,4,8

1)'1)(1()( TTTTTk

ksTsTsksH rr

prrr

rR ===++= Σ

Σ

; (3.3-11)

- cazul SO-3: regulator PID2-T1:

( )( ) ( )( )f

drr

rR sT

sTsTsTsksH

++

++=11'11)( , (3.3-12)

10/,,,4,8

121

'2 ≈==== Σ

Σfddrr

pr TTTTTTTT

Tkk .

B. Performanţe realizate. Eficienţa metodei. În fig.3.3-1 sunt sintetizate informaţii referitoare la performanţele realizate de SRA cu regulatorul acordat după SO-m (kp=1 şi TΣ =1) [21], [25]:

• În domeniul pulsaţie, fig.3.3-1 (a)-(c): - Diagramele Bode )(lg)( 10 ω=ω fjH

dBşi )(lg))(arg( 20 ω=ω fjH ; rezerva de fază:

(valoare maximă) pentru pulsaţia de tăiere ,36o≈rmϕ )2/(1 Σ≈ω Tt ; (3.3-13)

- Modulul complementarei funcţiei de sensibilitate, )()( ω=ω jHM optrP cu valoarea maximă:

pentru 682.1)(max =ωPM Σ=ω T/414.0 ; (3.3-14)

11

Acordarea optimă a regulatoarelor utilizând criterii de modul

12

- Diagrama Nyquist ))(( 0 ω+ jHh opt pentru 0>ω . Valoarea maximă a funcţiei de sensibilitate:

682.1)(max =ω= jSM optSopt pentru 6.0≈ω şi (3.3-15) 6.01 ≈−SoptM

(în domeniul recomandat 22.1 << SM ). • În domeniul timp:

- în raport cu referinţa (fig.3.3-1) (d)): , , %0.43,1 ≈σ r Σ= Tt rr 5.16, Σ= Tt r 1.3,1 . (3.3-16)

Simetria caracteristicii argument-pulsaţie a dat denumirea metodei; caracteristica modul-pulsaţie are o alură antisimetrică.

(a) (b)

(c) (d) Fig.3.3-1. Diagrame de performanţă pentru criteriul SO-m.

Observaţii: 1. Caracterul puternic oscilant al SRA se datorează polilor complex conjugaţi şi zeroului :

2,1p

1z

ΣΣΣΣ

−=−=±−=T

zT

pT

jT

p41,

21,

43

41

132,1 . (3.3-17)

2. Suprareglajul de 43% în raport cu referinţa poate fi redus prin folosirea unor filtre de referinţă adecvate:

- varianta (1): filtru PT1, cu care se compensează zeroul , (3.3-18) (a), 1z- varianta a (2)-a: filtru PD2T2 cu care compensează polii complex conjugaţi şi

zeroul , (3.3-18) (b): 2,1p

1z

sTsFr

Σ+=

411)(0 (a),

)1)(41(421

)(22

0 ssTsTsTsT

sFf

r ++++

=Σ

ΣΣ (b). (3.3-18)

Efectul celor două filtre este ilustrat în fig.3.3-2 prin alura răspunsului la referinţă treaptă [21].

Fig.3.3-2. Efectul filtrului de referinţă în performanţele în raport cu referinţa.

• În raport cu perturbaţiile externe comportarea trebuie tratată separat pentru cele două tipuri de perturbaţii v1 şi v2 şi pentru cele trei cazuri enumerate în tabelul 3.3-1. În cazul perturbaţiilor de tip sarcină, fig.3.3-3: - pentru cazul SO-1 efectul este relativ rapid anhilat; - pentru cazurile SO-2 si SO-3, prezenţa factorilor

)1(

1

1sT+ şi respectiv

)1)(1(1

21 sTsT ++ .

în f.d.t. în raport cu perturbaţia conduce la creşterea timpului de reglare tr(d2).

C. Utilizarea regulatoarelor cu structură neomogenă în raport cu cele două intrări. Zeroul (şi efectele aferente) poate fi evitat dacă RG-PI, respectiv PID se realizează astfel

încât anumite componente ale RG să se manifeste selectiv, doar în raport cu canalul de reacţie, fig.3.3-4, în care blocurile 1, 2 şi 3 asigură următoarele prelucrări informaţionale:

)4/(11 Σ−= Tz*

• În cazul utilizarii unui regulator PI (I) cu structura neomogenă, fig. 3.3-4, în raport cu referinţa regulatorul asigură o comportare de tip I iar in raport cu prturbaţia o comportare de tip PI:

-- blocul 1 este de tip I cu f.d.t. i

R sTsH 1)(1 = (a)

-- blocul 2 este de tip P cu f.d.t. 1)(2 =sH R (b) (3.3-19)

- blocul 3 este de tip P cu f.d.t. RR ksH =)(2 (c)

În ansamblu pentru cele două f.d.t. ale RG rezultă următoarele expresii:

13

Acordarea optimă a regulatoarelor utilizând criterii de modul

14

- în raport cu referinţa, r~ , RG de tip I: i

RRr sT

ksH =)( şi iRr Tkk /= (3.3-20)

- în raport cu măsura, y, RG de tip I: )1()( ii

RRy sT

sTk

sH += (3.3-21)

şi , . iRr Tkk /= ir TT =

Fig.3.3-3. Răspunsul SRA la perturbaţie de tip sarcină, v2: cazurile SO-1, SO-2, SO-3.

Fig.3.3-4. Utilizarea RG cu comportare neomogenă în raport cu cele două intrări.

• În cazul utilizării unui regulator PID (PI) cu structură neomogenă, în raport cu referinţa regulatorul asigură o comportare de tip PI iar în raport cu prturbaţia o comportare de tip PID:

- blocul 1 este de tip PI cu f.d.t. )11()(1i

R sTsH += (a)

- blocul 2 este de tip D (DT1) cu f.d.t. dR sTsH =)(2 (b) (3.3-22)

- blocul 3 este de tip P cu f.d.t. RR ksH =)(2 (c)

În ansamblu cele două f.d.t. ale RG sunt:

- în raport cu referinţa, r~ , RG de tip PI: )1()( ii

RrR sT

sTksH += şi iRr Tkk /= ,(a) (3.3-23)

- în raport cu măsura, y, RG de tip PID: )1()( 2dii

i

RRy TTssT

sTk

sH ++= . (b)

3.4. Metoda (criteriul) optimului simetric extins (ESO-m)

Metoda optimului simetric extins, în continuare cu prescurtarea ESO-m (Extended Symmetrical Optimum method,) a fost introdusă în [25], [21] pentru cazurile în care procesul poate fi caracterizat prin modele matematice de tip benchmark cu componentă integratoare, tabelul 3.4-1. Aplicarea metodei asigură următoarele facilităţi: - posibilitatea utilizării unor relaţii de acordare bine precizate, legate de valorile parametrilor

procesului (nu neapărat cunoscute exact) şi în concordanţă cu performaţele dorite pentru comportarea sistemului de reglare;

- posibilitatea creşterii controlate a rezervei de fază, a reducerii sensibilităţii SRA la variaţia parmetrilor procesului;

- posibilitatea utilizării regulatoarelor cu structura omogenă sau neomogenă în raport cu cele două intrări;

- posibilitatea utilizării unor filtre de referinţă bine definite în vederea îmbunătăţirii comportării în raport cu referinţa.

A. Prezentarea metodei. Metoda are la bază parametrizarea relaţiilor de optim (3.4-1) sub forma: 2231

2/12120

2/1 , aaaaaa =β=β , (3.4-1)

în care β este un parametru a cărei valoare poate fi aleasă de către proiectant. Pentru β=4 se obţin situaţiile specifice SO-m. Creşterea valorii lui β abate caracteristica de pulsaţie de la alura „optimă” (paragraful 3.4), dar – în compensaţie – asigură creşterea rezervei de fază şi a robusteţii SRA.

Pentru cazurile marcate în tabelul 3.3-1 se pot determina expresiile f.d.t. aferente sistemului deschis şi sistemului închis:

( )( )Σ+

+=

sTssTkk

sH rpr

11

)( 20 , 01

22

33

01)(asasasa

bsbsH r ++++

= , (3.4-2)

coefiienţii având expresii specifice (se remarcă prezenţa polului în origine de ordinul 2). μν ba ,Aplicând relaţiile de optim (3.4-2), se pot calcula expresiile f.d.t. “optimizate” pentru sistemul deschis, , sistemul închis, şi funcţia de sensibilitate : )(0 sH opt )( sH optr )(sSopt

( )ΣΣ

Σ

+ββ+

=sTsT

sTsH opt 1)1()( 222/30 cu 22/30

1

Σβ==

Tkkk pr , (3.4-3)

( )( )222/12/1 )(111

)(sTsTsT

sTsH optr

ΣΣΣ

Σ

β+β−β+β+β+

= , (3.4-4)

( )( )( )222/12/1

222/3

)(111

)(sTsTsT

sTsTsSopt

ΣΣΣ

ΣΣ

β+β−β+β++β

= . (3.4-5)

În baza relaţiei (3.4-3) se pot determina expresiile parametrilor regulatorului: - cazul ESO-1 - regulator PI:

( )rr

R sTs

ksH += 1)( ,

ΣΣ

β=β

= TTTk

k rp

r ,122/3

, (3.4-6)

- cazul ESO-2 - regulator PID:

)'1)(1()( rrr

R sTsTs

ksH ++= , 1

'22/3 ,,1 TTTT

Tkk rr

pr =β=

β= Σ

Σ

, (3.4-7)

- cazul ESO-3: regulator PID extins (PID2-T1:

15

Acordarea optimă a regulatoarelor utilizând criterii de modul

16

( )( )( )( )f

drr

rR sT

sTsTsTsksH

++

++=11'11)( cu

10/,,,,1221

'22/3 ≈==β=

β= Σ

Σfdrr

pr TTTTTTTT

Tkk . (3.4-8)

B. Performanţe realizabile. Eficienţa metodei. • În domeniul timp. În fig.3.4-1 sunt sintetizate informaţii referitoare la performanţele realizate de SRA cu regulatorul acordat după ESO-m: σ1,r – suprareglajul, – timpul de reglare,

– timpul de primă reglare şi rezerva de fază φΣ= Ttt rrrr /ˆ

,,

Σ= Ttt rr /ˆ,1,1 r pentru kp=1 şi TΣ=1 (echivalent cu

reprezentarea în valori raportate la valoarea lui ). În fig.3.4-2 sunt prezentate alurile răspunsului la referinţă treaptă y(t) şi evoluţia erorii de reglare ε(t) în aceste cazuri. La creşterea valorii lui β se asigură reducerea suprareglajului. Valorile recomandate pentru β sunt în intervalul [4, 16]; valori β > 16 conduc la o rezervă de fază nejustificat de mare.

ΣT

• În domeniul pulsaţie: - Diagramele Bode )ω=ω (lgf)( 10 dBopt jH şi )ω=ω (lgf))(arg( 20 jH opt sunt date în fig.3.4-3

pentru β∈4, 9, 16; rezerva de fază are expresia: )()())(arg( 0max tttoptrr TarctgTarctgjH ω−ωβ=π+ω=ϕ=ϕ ΣΣ . (3.4-9)

Fig.3.4-1. Indicatori de calitate empirici σ1,r [%], , în funcţie de β. Σ= Ttt rrrr /ˆ

,, Σ= Ttt rr /ˆ,1,1

Fig.3.4-2. Alurile răspunsului la referinţă treaptă y(t) (a) şi evoluţia erorii de reglare ε(t) (b), β parametru.

Pentru Σβ

=ωTt

1 rezultă: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

β−β

=ϕ2

1arctgr ; (3.4-10)

graficul rezervei de fază este prezentat in fig.3.4-4, cu β parametru.

Fig.3.4-3. Diagramele Bode pentru β∈4, 9, 16. Fig.3.4-4. Graficul rezervei de fază în funcţie de parametrul β.

Diagramele Nyquist pentru β∈4, 9, 16 şi cele trei cercuri sunt ilustrate fig.3.4-5 (a), (b),

(c). Se evidenţiază creşterea razei , ceea ce evidenţiază creşterea robusteţii SRA odată cu creşterea valorii lui β. Relaţia (3.4-10) poate fi utilizată pentru calculul valorii β necesare pentru atingerea unei rezerve de fază dorite. Se remarcă şi faptul că simetria caracteristicii fază pulsaţie este menţinută.

)(β= fM Sopt

1−SoptM

- Carcteristicile modulului funcţiei de sensibilitate complementară, fig.3.4-6 (a)-(c), )()(max)( β=ω=β fjHM optrp , care ilustrează creşterea robusteţii sistemului.

Fig.3.4-5. Diagrame Nyquist şi cercurile . Fig.3.4-6. Graficul modulului funcţiei de sensibilitate

1−SoptM pentru β∈4, 9, 16 complementară pentru β∈4, 9, 16. Rezultate: Mpmax(β=4) ≈ 1.6823, Mpmax(β=9) ≈ 1.2990, Mpmax(β=16) ≈ 1.1978.

Îmbunătăţirea performanţelor în raport cu referinţa se asigură pe două cai:

• Prin utilizarea unor filtre de referinţă corespunzător dimensionate comportarea în raport cu referinţa poate fi îmbunătăţită. Sunt recomandate două astfel de filtre:

)(sFr

- varianta (1): filtru PT1, cu care se compensează zeroul : 1z

sTsFr

Σβ+=

11)( şi

])(1)[1(1)()()(~

222/12/1 sTsTsTsHsFsH optrrr

ΣΣΣ β+β−β+β+== ; (3.4-11)

- varianta a (2)-a: filtru PD2T2 cu care se compensează polii complex conjugaţi şi zeroul : 2,1p 1z

17

Acordarea optimă a regulatoarelor utilizând criterii de modul

18

)1)(1()(1

)(222/1

ssTsTsTsT

sFf

r +β+β+β−β+

=Σ

ΣΣ şi )1)(1(

1)(~

fr sTsT

sH+β+

=Σ

. (3.4-12)

• Utilizarea regulatoarelor cu structură neomogenă. Acest mod de abordare a corecţiei constituie un prim pas la trecerea la regulatoarele cu două grade de libertate (2-DOF) în varianta tipizată PI sau PID [21]. În acest caz componenta derivativă este creată paralel cu componenta integratoare şi numai în raport cu rmărimea de reacţie. Aplicaţia 3. Se consideră PC sistem de actionare caracterizat prin f.d.t.

)1,01(1)(0 ss

sH+

= . (a)

Se cere: 1. Să se proiecteze RG astfel ca SRA să asigure următoarele performanţe: γn=0, σ1≈43%, tr<2,5 sec.. 2. Să se implementeze solutia de RG in varianta FA cu AO si in varianta numerica (inclusiv program in pseudo cod). 3. Să se analizeze solutii posibile de reducere a suprareglajului SRA: - fara si cu cresterea rezervei de faza a sistemului. Soluţie: (1). Forma f.d.t. şi performanţele impuse indică necesitatea utilizării CS în proiectarea RG: - Din conditia tr =16,5 TΣ rezlta TΣ-max < 0,15 sec; - Din (a) se citeste: kp=1 , TΣ=0,1 → RG – de utilizat este de tip PI ; - În baza rel. (6.2.45) se calculează kr, Tr:

5,128

12 ==

ΣTkk

pr ; Tr=4TΣ=0,4 ; kR=krTr=12,5⋅0,4=5.

(2) Realizare FA cu AO a RG: - schema este prezentata in fig.6.2.30. Se alege R0=0,2 M şi rezultă kR=R1/R0 R1=5⋅0,2=1 M, Tr=R1⋅C1 C1=0,4⋅1⋅10-6=0,4 μF.

Fig.3.3-a Schema FA cu AO a RG

Discretizarea l.d.r. continuale: se apelează MD-A la o perioadă de eşantionare Te=0,05 sec. Corespunzator se obtine:

1

101

111

)4.01(5.12)()(1

1−

−

−= −

+=+==

−

−

zzqq

ss

zHzHzz

TsRR

e

1011 −− ++= kkkk eqequu K Determinarea parametrilor q0, q1şi scrierea programului în pseudolimbaj rămâne pe seama cititorului.

(3) Performanţele SRA cu RG astfel calculat σ1, ϕrpot fi dezavantajoase. Pentru reducerea suprareglajului se pot apela următoarele căi: (a) Utilizarea unui filtru de referinţă tip PT1:

sec4,01

1=

+= fw

fwFw Tcu

sTH

Realizarea filtrului: - cuadripol pe intrare. MRR 1,02/0

,0 == , FCRC μ16sec4,04/ ,

0,0

,0 =⇒= MR 1,0,

0 =

(b) Utilizarea unui filtru de referinţă tip PT1⎟⎟ DT1:

Σ

Σ

ΣΣΣ

ΣΣ

++

+=

++++

=sT

sTsTsTsT

sTsTH Fw 141

1)1)(41(

421 22

Realizarea filtrului: cuadripol pe intrare cu MRR 1,02/0

,0 == , FCRC μ16sec1,044/ ,

0,0

,0 =⇒⋅=

sec1,0,,0

,,0 =CR ⇒ . MR 1,,

0 = FC μ1,0,,0 =

Cele două filtre au următoarele efecte: (a) σ1≈8,1%, tr≈1.33 sec ϕr − nu este afectat (ϕr≈36°) (b) σ1≈0%, tr≈9,2⋅0,1≈9,2 sec (negativ) (c) Proiectarea RG – după varianta extinsă ESO: devine interesantă idea măririi rezervei de fază. Acceptând

ϕrd≈55°, rezultă β≈9, figura explicativă 3.3-b1 (caracteristicile ESO, (b)). Corespunzător:

Fig.3.3-b. Utilizarea diagramelor de performanta in cazul metodei ESO

parametrii RG devin: 7,311,027

112223 ≈

⋅⋅==

Σ pr kT

kβ

Tr=βTΣ=0,9 sec.

Se recalculează varianta analogică (R1, C1, R0 – se lasă pe seama cititorului). Indicatorii de performanţă realizabili (scontaţi) (se citesc din grafic)

%25s1 ≈σ , sec22t22t rs ≈⇒≈

(d) Utilizarea unui regulator cu comportare neomogenă în raport cu cele două intrări. Şi în acest caz trebuie definit un indicator principal (MS-ESO (a)). Fie de exemplu ϕrd≈60° (curba ϕra); Corespunzător se obţine β≈9 şi se pot determina toate elementele de la punctul anterior (atenţie, RG este cu comportare neomogenă I, respectiv PI.).

D. Dubla parameterizare a metodei optimului simetric: metoda 2p-SO-m. (Extension through a double parameterization of the Symmetrical (Optimum) method, 2p-SO-m) [27], [21]. Metoda este o extensie a criteriului SO-m ce oferă o alternativă foarte bună pentru îmbunătăţirea comportării sistemului în raport cu perturbaţia pentru cazul în care f.d.t. a procesului are forma:

msT

k

PP e

ssssTsTk

sH −

τ+τ+τ+++=

)1)...(1)(1)(1)(1()(

2121

. (3.4-15)

În situaţia în care constantele de timp k,1, =ντν , împreună cu timpul mort Tm sunt toate suficient de mici, atunci se poate utiliza aproximarea (teorema constantelor de timp mici):

19

Acordarea optimă a regulatoarelor utilizând criterii de modul

20

( )( ) m

kpP TTTTT

sTsTsTk

sH +τ=>>>+++

= ∑=ν

νΣΣΣ 1

2121

,,)1(11

)( ; (3.4-16)

dacă şi , rezultă: 12 TT << m

kTTT ++τ= ∑

=ννΣ 2

1

( )( ) ΣΣ

>>++

= TTsTsT

ksH p

P 11

,11

)( . . (3.4-17)

Metoda are la bază dubla parameterizare a relaţiilor de proiectare specifice SO-m: (1) În condiţiile în care are una din formele (3.2-32) sau (3.2-33) şi )(sH P 1/ 1 <<Σ TT , se introduce o primă parametrizare:

, (3.4-18) 1/TTm Σ=

prezentând interes numai situaţiile m<<1. (2) Relaţiile de optim specifice criteriului optimului simetric se generalizează în maniera specifică metodei ESO-m:

. (3.4-19) 2231

2/12120

2/1 , aaaaaa =β=β

Aplicarea metodei asigură următoarele facilităţi: - posibilitatea utilizării unor relaţii de acordare bine precizate, legate de valorile parametrilor

procesului (nu neapărat cunoscute exact) şi în concordanţă cu performaţele dorite pentru comportarea sistemului de reglare;

- posibilitatea modificării controlate a rezervei de fază a reducerii sensibilităţii SRA la variaţa parametrilor procesului;

- posibilitatea utilizăii regulatoarelor cu structura omogenăsau neomogenăin raport cu cele două intrări;

- posibilitatea utilizării unor filtre de referinţă bine definite în vederea îmbunătăţirii comportăarii în raport cu referinţa;

- posibilitatea obţinerii unei comportări mai bune în raport cu perturbaţia, comparativ cu alte metode de proiectare frecvent recomandate şi utilizate.

E. Sinteză asupra etapelor de aplicare a criteriului ESO (în particular SO) si 2p-SO-m.

• Se pleacă de la:

a. Posibilitatea aducerii f.d.t. HP(s) la una din formele indicate şi evaluarea gradul de cunoaştere a parametrilor procesului si a gradului de invarianta a lor.

b. Performanţele impuse fără / cu Fw pentru diferite valori ale lui β, eventual RG cu prelucrare neomogenă a informaţiei.

• Dependent de rezultatul analizei se încadrează situaţia de proiectare (variantele extinse ESO-sau 2p-SO) si se alege valoarea lui β.

• Se calculează parametrii RG.

• Se simulează comportarea SRA utilizând pentru PC modelul matematic cât mai detaliat cunoscut.

• Se validează soluţia adoptată.