Bazele Reglarii Automate

Bazele reglarii automate

Bazele reglrii automate

1

1. Procese i sisteme

Procesul i sistemul, noiuni fundamentale n fizic, i gsesc o explicaie i ncadrare riguroas la nivelul termodinamicii, disciplin care se ocup cu studiul relaiilor dintre diversele forme ale energiei. De obicei, principiile termodinamicii sunt formulate referitor la

un anumit sistem (fizic) bine definit. Un sistem termodinamic este un ansamblu care poate

interaciona cu mediul nconjurtor cel puin pe dou ci, dintre care una trebuie s fie un transfer de cldur. Unui astfel de sistem i se poate delimita un interior, coninnd un numr oarecare de corpuri macroscopice cu o structur (fizic) continu, i un exterior. Starea unui astfel de sistem se descrie printr-un set de parametri (fizici) ce caracterizeaz situaia din interior i interaciunile cu exteriorul. Se numete proces fizic (macroscopie) tranziia unui sistem termodinamic dintr-o stare n alta.

ntr-un limbaj tehnic aplicativ prin noiunea de sistem (tehnic) se nelege un ansamblu de elemente componente fizico-tehnice, care acioneaz unele asupra altora ntr-un mod bine determinat (figura 1.1).

INTERIORUL

SISTEMULUI

Su S2

Su S1

Su S3

Ee1

Ee2

Ee3

SISTEM

MEDIU

EXTERIOR

Limita sistemului

cu exteriorul

E 11

E 13

E 12

E 21

E 23

E 22

E 31 E 32

E 34E 33

Fig. 1.1. Sistem (tehnic): Eij element constituant al sistemului; Su Sk - subsistemul k

Un exemplu de sistem (tehnic) este sistemul electroenergetic (SEE). Acesta este

constituit din elemente generatoare de energie electric, transformatoare, linii electrice, transport i echipamente de distribuie a energiei electrice. Aceste elemente sunt grupate zonal constituind subsistemele unui SEE. Referitor la un SEE dat, de exemplu SEE romnesc,

acestui SEE i se poate asocia un interior i un exterior, delimitarea dintre aceste zone, fcndu-se printr-o grani (figura 1.1 ; figura 1.2).

n acelai sens, procesul industrial, ca ansamblu de fenomene de natur complex, concepute, de regul, de ctre om cu o destinaie funcional precis, expliciteaz transformrile masice i / sau de energie i de informaii.

Vom asocia unui proces industrial o reprezentare de tipul celei din figura 1.3, n care

s-au notat prin Ei fluxurile de energie, materii prime, materiale i informaii (introduse) transmise procesului, respectiv prin Ee fluxurile de energie, materiale, produse finite sau

informaii extrase din proces.


2

. . . .

INTERIOR

MEDIUL EXTERIOR

Element din mediul

exteriorLimita sistemului fata

de mediul exterior

Su EE1Su EE2

Su EEi

Fig. 1.2. Sistem electroenergetic (SEE): Su EEi subsistemul electroenergetic i

a) b)

Fig. 1.3 Reprezentarea unui proces industrial sub form de schem bloc Sistem cu mai multe intrri i mai multe ieiri (MIMO);

Sistem cu o intrare i o ieire (SISO)

Mrimile fizice ce caracterizeaz fenomenele din sistemul tehnic le vom numi semnale. Variaia lor n timp conine pentru beneficiarul instalaiei o anumit semnificaie, deci ele sunt purttoare de informaii.

n aplicaiile industriale semnalele servesc pentru influenarea lui Ei i Ee. O clasificare a semnalelor ce cuprinde demersurile noastre teoretice ulterioare e dat n tabela 1.1 iar o clasificare a lor dup amplitudine i timp n tabela 1.2.

De o deosebit importan n abordarea sistemic a unui proces, att n faza de analiz, ct i n, faza de proiectare este stabilirea relaiilor funcionale ntre mrimile de intrare i cele de ieire, relaii ce permit descrierea comportrii sistemului n regim dinamic si staionar. Pentru procese (sisteme) fizice realizabile aceste relaionari se pot obine prin legi fizice sau de alt natur sau prin msuratori. Pe baza acestor elemente se determin modelul matematic al procesului. Acesta poate fi reprezentat de ecuaii algebrice, difereniale, liniare sau cu derivate pariale, logice sau cu diferene finite. Tipologia sistemelor liniare/neliniare, deterministe/stochastice, continue/discrete n timp, cu parametrii concentrai/parametrii distribuii, invariante/variabile n timp determin forma sub care se va exprima modelul matematic.

u

v

y x z

Proces industrial Ei Ee

v

y x z

Proces industrial

u

Ee Ei



3

Tabela 1.1 - Semnale test utilizate frecvent n automatic

Deterministe Stochastice

pot fi descrise analitic x=f(t)

caracterizeaz fenomenele reproductibile prin relaii analitice

1(t)

t

treapta

r(t)

t

rampa

(t)

t

impuls (Dirac)

450neperiodice

u(t)

t

periodic

armonic

nu pot fi descrise analitic

caracterizeaz fenomenele aleatoare descrise prin legi probabilistice

Tabela 1.2 - Tipuri de semnale

Timp (t)

Amplitudine (x)

Timp continuu Timp discret

Amplitudine

continu

A. Sisteme continue x

t

B. Sisteme cu eantionare x

t Amplitudine

discret

C. Sisteme tip releu x

t

D. Sisteme de reglare numerice x

t

Amplitudine

binar

E. Sisteme de comutare binare x

t

F. Sisteme de comand digitale x

t

u(t)

t


4

Pentru un sistem dinamic i un set de ntrebri B privitoare la comportarea acestuia, trebuie s se gseasc o reprezentare M care s poat s rspunda acestor ntrebari, atunci M este un model.

O formulare fcut dintr-un alt punct de vedere o gsim n [19]. Modelul este o reprezentare a aspectelor eseniale ale unui sistem existent (sau ale

unui sistem ce urmeaz a fi construit), care prezint cunostiinele asupra acestui sistem sub o forma utilizabil.

1.1. Descrierea sistemelor liniare continue n domeniul frecvenei. Funcia de

transfer. Interpretri ale noiunii de

funcie de transfer. Reprezentarea n

frecven.

n studiul proceselor (tehnice) se apeleaz de multe ori la utilizarea transformatei Laplace, o transformare de tip integral ce permite o rezolvare mai uoar a ecuaiei sau ecuaiilor difereniale liniare cu coeficieni constani ntr-o ecuaie sau sistem de ecuaii algebrice (figura 1.4).

Fig.1.4. Schema de rezolvare a ecuaiilor difereniale prin transformata Laplace

Se definete o transformat Laplace direct

0

( ) ( ) stF s f t e dt

L ( )f t

(1.1)

i o transformat Laplace invers

1( ) ( )

2

a j

st

a j

f t F s e dsj

L ( )F s

(1.2)

cu f(t) funcia original, F(s) funcia imaginar i s=+j variabila complex

n abordarea proceselor (tehnice) funcia original este n mod obinuit o funcie de

tipul tR . Variabila complex s pe de alt parte conine frecvena (pulsaia) , ceea ce ne permite s spunem c funcia imaginar F(s) este o funcie frecvenial. n acest mod

Ecuaii difereniale

Ecuaii algebrice Soluii

Soluii

Transformata

Laplace direct

L

Transformata

Laplace inversa

L-1

tR

sC



5

transformata Laplace direct, transform domeniul timp n domeniul frecven i aciunea se petrece invers n cazul transformatei Laplace inverse (figura 1.5)

Fig. 1.5. Legtura dintre domeniul timp i domeniul frecvenei

Procesele (tehnice) sunt studiate i printr-o alt transformat de tip integral, transformata Fourier:

( )F j F ( ) ( ) j tf t f t e dt

(1.3)

( )f t F -1 1

( ) ( )2

j tF j F j e d

(1.4)

Fcnd o comparaie ntre cele dou transformri se poate observa c transformata

Fourier a unei funcii f(t) se obine din imaginea Laplace a acesteia cu , 0s j .

( )F j fiind funcie complex se poate scrie: arg ( )( ) Re ( ) Im ( ) ( ) j F jF j F j j F j F j e (1.5)

unde ( )F j este spectrul Fourier (densitatea spectral a lui f(t) iar arg ( )F j

defazajul.

Domeniul imagine

sC

Funcia de transfer Repartiia poli-

zerouri

Locul rdcinilor

Domeniul timp

tR

Funcia treapt Funcia pondere Criterii integrale

Condiii ntre argumente

t

s 0

w 0

t 0

t

w

Domeniul frecven j

Reprez. n frecvena Diagrama Nyquist

Diagrame Bode

L-1 L

F -1 F

F js


6

Fiind dat sistemul x.

= Ax+bu+ ev

y = cT x

i aplicnd transformata Laplace cu condiia

x0=0 se obine:

sevAsIcsbuAsIcsy TT 11 (1.6)

Relaiile:

bAsIcsH T 1

(1.7)

i

eAsIcsH TV1

(1.8)

definesc funcia de transfer a sistemului la comand i respectiv, funcia de transfer a sistemului la perturbaie, mai precis forma primar a funciilor de transfer.

Relaiile (1.7) i (1.8) se pot scrie sub forma :

ss

sHs

ssH

V

VV

, (1.9)

cu detVs s sI A , Ts c sI A b

i TV s c sI A e

, unde

cu sI A

s-a notat matricea transpus a complemenilor algebrici.

Prin simplificare, din aceste forme primare (1.9) se obin formele ireductibile ale funciei de transfer care au avantajul evidenierii polilor i zerourilor:

,V

v

V

r s r sH s H s

p s p s (1.10)

Dac se nlocuiesc formele primare (formele ireductibile) (1.9) n (1.6), se obine ecuaia de stare parial:

svssussys v (1.11)

Se remarc c zerourile lui s sunt valorile proprii ale matricei A:

A s A Z

n consecin reprezentrile x.

= Ax+bu+ ev

y = cT x

i (1.11) sunt echivalente.

Din (1.6) se observ c:

y sH s

u s

pentru 0v s (1.12)

V

y sH s

v s pentru 0u s (1.13)

ceea ce ne permite s dm o definiie mai puin riguroas (dar operaional n majoritatea aplicaiilor tehnice) pentru funcia de transfer ca fiind raportul dintre transformata Laplace a mrimii de ieire i transformata Laplace a mrimii de intrare a sistemului, n condiii iniiale nule.

Relaiilor (1.10) precum i (1.12) i (1.13) li se pot asocia reprezentrile din figura 1.6.a i b, obinndu-se aa-numitele reprezentri intrare-ieire, respectiv de stare a unui sistem.



7

Fig. 1.6 Reprezentri ale sistemului: a) reprezentarea de stare confom cu relaiile (1.1); b)

reprezentarea intrare-ieire conform cu relaiile (1.3) i (1.4)

Din n

n

n

n

n

n

sasasaa

sbsbbsH

1

110

1

110

...

...

se obine c:

susbsbbsyssasaa nnnnn 11101110 ...... (1.14) ntruct gradul polinomului este nss din condiia de realizabilitate

fizic. Observaii:

i) Dac vom considera intrarea unui sistem H(s) un impuls Dirac, atunci se obine :

sHsHssHsy 1 (1.15) sau

1y t H s h s L (1.16) Relaia (1.16) definete rspunsul cauzal la impuls (impropriu numit i funcie

pondere).

Dei funcia Dirac nu exist practic, de fapt nici un sistem (tehnic) nu ar suporta o astfel de excitare pe intrare, aceast interpretare a funciei de transfer prin rspunsul cauzal la impuls sugereaz un oc foarte puternic i scurt ca durat.

ii) Relaia (1.12) sau (1.13) ne sugereaz o alt interpretare n sensul c funcia de transfer reprezint raportul transformatei Laplace a oricrei ieiri pe intrarea care a provocat aceasta ieire.

iii) Se poate demonstra c funcia de transfer msoar o amplificare a sistemului. ntr-

adevr, dac considerm un numar care nu este valoare proprie, deci A spectrul

matricei A sau 0det AI , se ia tetu i spunem c tbeAItx 1

.

Acest fapt este verificabil cu ecuaia de stare x Ax bu

, iar n aceste condiii

tuHbeAIctxcty tTT 1 (1.17)

Aceast interpretare a funciei de transfer poate fi evideniat n mod intuitiv pe un amplificator electronic (cu reacie rezistiv i impedana de intrare de asemenea rezistiv) a crui funcie de transfer coincide cu amplificarea circuitului.

Avnd n vedere c funcia de transfer reflect comportarea intrare-ieire a sistemului, ea poate fi calculat direct din ecuaiile difereniale ce caracterizeaz aceast comportare, deci pe baza definiiei mai puin riguroase.

Not: Vom face o notaie forat folosind pentru funcia imagine tot litera mic ca i

pentru funcia original, diferenierea fcndu-se dup variabila independent s, respectiv t.

u y

v

+

+

+

+

u y

v

s

s1

sV

sH

sHV

a) b)


8

1.2. Algebra schemelor bloc

Algebra schemelor bloc const dintr-un ansamblu de reguli de transfigurare sau simplificare a sistemelor cu bucle multiple reprezentate sub forma de scheme bloc.

Principalele reguli de transfigurare a schemelor bloc sunt date n tabela 1.3.

Tabela 1.3: Reguli principale ale algebrei schemelor bloc

Nr

crt

Regula Schema iniial Schema echivalent

1 Legarea n

serie

(cascad)

H1(s) H2(s) Hn(s)u1(s) u2(s)

y(s)

u1(s)y(s)

1

( ) ( )n

ech i

i

H s H s

2 Cuplarea n

derivaie (paralel

nainte)

H1(s)

H2(s)

Hn(s)

u(s) y(s)

+

(-)

+

(-)

+

(-)

u(s) y(s)

1

( ) ( )n

ech i

i

H s H s

3 Cuplarea n

bucl (paralel napoi)

H1(s)

H2(s)

u(s) y(s)

-

(+)

+

u(s) y(s)1

1 2

( )( )

1 ( ) ( )ech

H sH s

H s H s

4 Deplasarea

unui punct de

ramificaie pe direcia aciunii (spre ieire)

H1(s) H2(s)

u1(s) y1(s)

H3(s)

y2(s)

H1(s) H2(s)

u1(s) y1(s)

H3(s)

y2(s)

1/H2(s)

5 Deplasarea

unui punct de

sumare

contrar

direciei aciunii (spre intrare)

H1(s) H2(s)

u1(s) y(s)

H3(s)

u2(s)

+

-

H1(s) H2(s)

u1(s) y(s)

1/H1(s)

u2(s)

+

-

H3(s)

6 Rigidizarea

unei reacii elastice

H1(s)

H2(s)

u(s) y(s)

-+

H1(s) H2(s)

u(s) y(s)

1/H2(s)+

-

7 Sumarea

unor reacii multiple

H1(s)

H2(s)

u(s) y(s)

-

(+)

+

H2(s)

-

(+)

+

H1(s)

Hech(s)=H2(s)+H2(s)

u(s) y(s)

-

(+)

+



9

2. Rspunsul sistemelor la mrimi de intrare standard

2.1.1 Consideraii generale. Componenta

permanent i tranzitorie a rspunsului

unui sistem

n cele ce urmeaz vom pune n eviden unele particulariti ale componentei forate a rspunsului unui sistem la intrarea standard.

Prin intrare standard nelegem dou mari categorii de mrimi de intrare:

intrri polinomiale:

)(1)!1(

)( 11

tr

ttu

r

(2.1)

cu cazurile mai interesante r = 1, 2, 3 (figura 2.1)

intrri armonice:

u t t( ) cos( ) , (sau sin , j tt e ) (2.2)

1(t)

t

t

t t

2

2

t

1

a) b)c)

r = 1 r = 3r = 2

Fig. 2.1. Intrri standard:

a) treapt unitar; b) ramp unitar; c) parabol unitar

2.1.2 Rspunsul unui sistem la intrare polinomial

Fie

y s H s u s (2.3)

cu

r sH s

p s ireductibil.

Se face urmatoarea ipotez de lucru simplificatoare: p(0)0 i zerourile lui p(s) sunt

simple. Vom considera o intrare treapt unitar: 1

u ss

Dar din (2.3) rezult:

0

1

( ) ( )( ) ...

( )( )

n

n

ni

a ar s r sy s

sp s s s ps s p

(2.4)

cu


10

0

( )(0)(0),

(0) '( )

ii

i i

r pra H a

p p p p

(2.5)

sau

1

( ) (0) 1( ) 1( )in

p t

i

i

y t H t a e t

(2.6)

dac i numai dac sistemul este strict stabil, adic [ ( )]H s P i deci Re( ) 0ip

Se observ c dac t

( ) (0) ( ) ( )py t H t y t 1 (2.7)

n consecin, rspunsul sistemului, mai precis componenta lui forat, este constituit din doi termeni ce vor fi definii prin:

0; 0; 0f p t ly t y t y t y t x y (2.8)

yp - componenta permanent a rspunsului; yt - componenta tranzitorie a rspunsului. Observaii

1. Descompunerea l fy t y y este o descompunere general ce se obine n orice

condiii. Descompunerea p ty t y y nu este general; ea se obine dac

sistemul este strict stabil i intrarea este dat, cu x(0)=0 ( 0ly ).

2. n cazul particular al unui semnal treapt pe intrare, rspunsul sistemului se mai numete rspuns indicial.

3. Din relaia (2.7) se observ c, la semnal treapt pe intrare,

0 .p sy t H const y (2.9)

Aceast mrime, ys, definete regimul staionar. Regimul staionar este un caz particular de regim permanent i anume pentru intrare treapt.

n cazul general,

1 1

1 !

r

r

tu t u s

r s

(2.10)

i n aceleai ipoteze de lucru simplificatoare se obine:

0 1 111

....n

ir

r ri i

c ac cy s H s u s

s s s s p

10 ; 1,2, , 1 ; ; 1,2, ,

!

j i

j i

i i

r pc H j r a i n

j p p p

(2.11)

y t( ) = c0t r-1

r -1( )!+ c

1

t r-2

r -2( )!+ .....+ c

r-2

t

1!+ c

r-1

ypt( )

+ aiepit

i=1

n

ytt( )

(2.12)

Exemplificare

Dac r = 2, deci u(t) = t, rezult:

0( )p Iy t c t c



11

unde, n general, c1 < 0 (figura 2.2)

u(t)

c1

t

yp(t)

c0

Fig. 2.2. Componenta permanent a rspunsului unui sistem imita variaia mrimii de intrare

standard

Dac dorim ca y s coincid cu u, trebuie s avem grija ca c1 = 0 i c0 = 1. Observaie :

Din relaiile de mai sus (2.10) sau (2.11) i din exemplificarea pentru r = 2, se poate trage concluzia c regimul permanent este acel regim care imit comportarea mrimii de intrare standard.

2.1.3 Rspunsul unui sistem la intrare armonic

Fie o intrare armonic:

j tu t e cu 1

{ ( )} ( )u t u ss j

L (2.13)

Rezult rspunsul unui sistem H(s):

0 1

1

( ) 1( ) ( ) ( )

( )

( ) ... n

n

r sy s H s u s

p s s j

a aay s

s j s p s p

cu

0

( )( )

( )

r ja H j

p j

i

( ); 1,2,...,

( ) '( )

ii

i i

r pa i n

p j p p

S-a fcut ipoteza de lucru c H(j) este bine definit, adic p(j)0 i p(s) are toate rdcinile simple.

Atunci:

1

( ) ( ) ( ) ( )in

p tj t

i p t

i

y t H j e a e y t y t

(2.14)

unde H(j) este transformata Fourier a funciei de transfer a sistemului. Componenta permanent va fi:

( ) ( ) j tpy t H j e (2.15)

i ntruct arg( ( )) ( )( ) ( ) ( )j H j jH j H j e H e

atunci (3.26) se retranscrie sub forma:


12

[ ( )]( ) ( ) j tpy t H e (2.16)

Relaia (2.16) ce ne arat c, dac la intrare, se aplic un semnal armonic de pulsaie

, la ieire se obine un semnal de aceeai pulsaie, defazat cu i modificat n amplitudine cu H().

2.2 Funcia de transfer a unui sistem exprimat prin termeni tip. Rspunsul n timp a

termenilor tip. Tipul i ordinul funciei

de transfer. Repartiia poli zerourilor

funcie de transfer n planul s

Fie :

11 0 0 0

1 0 0

1 0

1...( )

( )( ) ( ... )

1

i

ni

n

n

q m mq jm i

bs

b s b s b b by sH s

u s s a s a s a a as s

a

i factoriznd polinoamele de la numrator i de la numitor n funcie de rdcinile simple sau complexe i de ordinul de multiplicitate, obinem:

2 2 '

1 1

2 2 '

1 1

( 1) ( 1)

( ) ( )

( 1) ( 1)

p t

i j j

r nq q

k ll

T s T s T sK K

H s G ss s

T s T s T s

(2.17)

Cu

K factorul de amplificare al sistemului; T constanta de timp. Se pun n eviden urmtorii termini tip:

Termen constant KH s K

Termen liber 1

;I DH s H s ss

Termen liniar 1

; 11

L LaH s H s TsTs

Termen cuadratic 2 2 '2 2 '1

; 11

Q QaH s H s T s T sT s T s

n tabela 2.1. se dau rspunsurile acestor termini tip la intrri standard treapt i ramp.



13

Tabela 2.1. Raspunsul n timp a termenilor tip

Nr

crt

Denumirea termenului

tip / Funcia de transfer

Rspunsul termenului 1(t) t

0 1 2 3

1.

Termen constant

( )KH s K

2.

Termen liber la

numrtor

( )DH s s

3.

Termen liber la numitor

1( )IH s

s

4.

Termen liniar la

numrtor

( ) 1LaH s sT

0 1 2 3

Termen liniar la

y u

K

1

y(t)

u(t)

t

y u y(t)

u(t)

t

y u

1

y(t)

u(t)

t

y u

1

u(t)

y(t)

t

y u

1

y(t)

u(t)

t

y u

u(t)

t

y(t)

y u

1

y(t)

u(t)

t t

y u

u(t)

y(t)


14

5.

numitor

1( )

1LH s

sT

6.

Termen cuadratic la

numrtor 2 2( ) 2 1QaH s T s Ts

7.

Termen cuadratic la

numitor

2 2

1( )

2 1QH s

T s Ts

Observaie:

1. Se definete tipul funciei de transfer prin numrul polilor n origine ai funciei de transfer.

2. Ordinul funciei de transfer este dat de ordinul ecuaiei difereniale din care s-a obinut prin trasformata Laplace funcia de transfer. Deci pentru sisteme fizic realizabile, m > n, ordinul coincide cu gradul polinomului de la numitorul funciei de transfer.

Factorizarea (2.17) este interesant prin faptul, c pune n eviden poziia zerourilor i polilor funciei de transfer n planul s - funcia de transfer nu conine timp mort ceea ce ne permite s facem aprecieri asupra comportrii dinamice a procesului (figura 2.3).

y u

k

1

y(t)

u(t)

t

u(t)

y(t)

t

y u y u

1 u(t)

t

y(t)

1

y u

y(t)

u(t)

t

y u

u(t)

t

y(t)

u(t)

y(t)

t

y u



15

j

Planul s

- Poli

- zerouri

Fig. 2.3. Repartiia poli zerouri pentru o funcie de transfer raional

Repartiia poli zerouri precum i factorul de amplificare K definete complet un sistem liniar invariant n timp fr timp mort.

2.3 Stabilitatea sistemelor liniare cu o intrare i o ieire

Se spune c un sistem fizic realizabil este stabil fa de o situaie de echilibru staionar, dac sub aciunea unei perturbaii exterioare (impuls Dirac) i prsete starea de echilibru stabil, tinznd s revin, dup un timp finit (i perturbaia a disparut), intr-o stare de echilibru staionar cu sau fr eroare staionar. Dac acest lucru nu este realizat, n sensul c mrimea de ieire are o variaie cu amplitudine din ce n ce mai mare n timp (oscilant sau aperodic), se spune ca sistemul este instabil.

Se introduc dou tipuri de stabilitate: - stabilitate intern (sau n sens Liapunov); - stabilitatea extern (sau de tip intrare mrginit - ieire mrginit BIBO).

Stabilitate intern

Un sistem (A,b,cT) este:

a) stabil (intern) dac 0M , astfel nct , 0Ate M t

b) asimptotic stabil (intern) dac 0Ate , cnd t

Se pot demonstra urmatoarele teoreme.


intern stabil, dac i numai dac valorile proprii ale matricei A are toate

Reli 0, iar acele valori proprii care au partea real nul trebuie s fie rdcini

simple ale polinomului minimal.

intern asimptotic stabil, dac i numai dac valorile proprii ale matricei A au

Re 0i , aceasta condiie fiind echivalent cu

A -C (2.13)

unde A este spectrul matricei A.


16

Stabilitate extern


a) stabil (extern) dac $M > 0 astfel nct ( ) , 0h t M t

b) strict stabil (extern) dac ( ) 0h t cnd t

Se pot demonstra urmatoarele teoreme.


extern stabil, dac i numai dac polii funciei de transfer au Re 0ip iar acei

poli care au partea real nul trebuie s fie poli simpli.

extern strict stabil, dac i numai dac polii funciei de transfer au Re 0ip ,

aceast condiie fiind echivalent cu:

H s CP (2.14)

Se observ imediat ca stabilitatea intern implic pe cea extern

( )A C ( )H s CP (2.15)

Reciproca nu este adevarat (cu excepia cazului cnd forma primara a lui H(s) este introductibil, fapt ce determin transformarea incluziunii n egalitate).

Se pune problema cum se poate aprecia stabilitatea fr a calcula efectiv rdcinile polinomului caracteristic? Rspunsul la aceasta ntrebare este dat de criteriul Routh - Hurwitz.

Fie polinomul caracteristic:

10 1 .....n n

A ns c s c s c

complet i cu toi coeficienii pozitivi.

Condiia necesar i suficient ca radacinile lui A s s aib partea real strict negativ este ca toi determinanii principali ai matricei Hurwitz s fie strict pozitivi:

1 3 5

0 2 4

1 1

1 3

1 3

0 2 2

0 2

1

0

00

0 00

0 0 0

0

n

n

c c c

c c cH c

c cH c c

c c Hc c

c



17

3 Sisteme de reglare automata

3.1 Structura unui sistem de reglare automat SRA). Funcia de transfer

reprezentativ. Problema reglrii

Artm n primul capitol, c un sistem de reglare automat (SRA) poate fi reprezentat prin schema bloc din figura 3.1.

RA EE P Tyr u m z

+

++

v

y

Fig. 3.1. Principalele subsisteme ale unui sistem de reglare automat.

Sistemul de reglare automat (SRA) este un sistem n conexiune invers care i

decide comportamentul fa de mrimile externe (exogene) pe baza mrimii de eroare, , generate n mod automat, cu scopul expres al anulrii acesteia. Acest lucru presupune cunoaterea a-prioric a modelului mrimilor externe, deci prezena n sistem a unei copii sub forma modelului intern.

Spre deosebire de SRA care i expliciteaz funcionalitatea prin anularea mrimii de eroare, sistemele de conducere prezint funcii multiple i mai complexe, inclusiv cea de reglare automat. Aceste funcii sunt organizate ntr-o anumit ierarhie, n care funcia de reglare se afl plasat la primul nivel, lnga proces, pe nivelele superioare aflndu-se funcii, precum cele de: identificare, optimizare, etc.

SRA se pot clasifica dup obiectivul final al funciei de reglare n:

sisteme de urmrire (servosisteme): funcia de reglare are ca efect urmrirea ct mai fidel de ctre mrimea de calitate z (sau mrimea reglat y), a unei mrimi externe, yr, mrimea de referin ;

sisteme de rejecie a perturbaiilor (sisteme cu referin fix): funcia de reglare are ca efect final meninerea constant la o valoare prescris a lui z(sau y), independent de perturbaia v.

ndeplinirea funciei de reglare nu se face numai pe seama mrimii de eroare, dar cnd este posibil, i pe baza msurrii directe a perturbaiilor, dac acest lucru este posibil. Elaborarea comenzii n aceast variant este interesant, n special, n rejecia perturbaiilor, n aa numita reglare cu aciune direct (feedforward).

Problema reglrii

Fie sistemul:

xczy

evbuAxx

T

(3.1)

cu H(s) funcia de transfer la comand i Hv(s) funcia de transfer la perturbaie. Specificm clasa mrimilor perturbatoare v i a celor de referin yr prin elementele

acestor clase:


18

1 2

1 2, r

a s a sv s y s

s s

(3.2)

cu a1(s) i a2(s) polinoame cu 1 1 2 2,a s a s .

r V Y E reprezint clasa mrimilor externe (exogene), asupra acestora fcndu-se

ipoteza de persistena, adic 0lim;0lim

tytv rtt

Se introduce mrimea de eroare

s ry y (3.3)

unde y este acum mrimea reglat.

Se definete compensatorul dup eroare prin:

c cp s u s r s s (3.4)

Problema reglrii const n determinarea compensatorului dup eroare (3.4) a polinoamelor pc(s) i rc(s) astfel nct sistemul rezultant (3.1) + (3.3) + (3.4) cu structura n circuit nchis (figura 3.2.) s posede simultan urmtoarele dou proprieti:

(S) proprietatea de stabilitate a buclei de reglare;

(R) proprietatea de reglare, adic 0lim t

t pentru ,ry v E

Problema reglrii poate fi reformulat i n termenii funciei de transfer: H(s) procesul (partea fixat) i Hc(s) compensatorul dup eroare.

Problematica general a SRA const deci n construirea unui compensator care s fie simultan stabilizator i regulator, deci care s confere sistemului n bucla nchisa proprietaile (S) i (R).

n aplicaiile concrete se impun SRA proprieti suplimentare celor fundamentale, proprieti suplimentare ce expliciteaz aa numita calitate a procesului de reglare automat. Aceast calitate este descris printr-o clas de indici sintetici ce caracterizeaz performanele SRA.

Definirea indicilor de calitate, deci a performanelor, i aprecierea lor ntr-o manier inginereasc reprezint obiectul analizei SRA. Metodologiile de analiz convenionale fac apel la comportamentul intrare/ieire al SRA, deci la structura din figura 3.2.

+Hc (s) H(s)

Hr (s)

+

u yyr

v

SC P

.

Fig.3.2. Schema funcional bloc a unui SRA

Sunt puse n eviden urmtoarele subsisteme ale unui SRA: SC - compensatorul dup eroare, P - procesul (constituit din element de execuie, procesul propriu-zis i traductor).

Reamintim de asemeni, c mrimile reprezentative ale unui SRA vor fi n consecint: - eroarea, u - comand, m - mrimea de execuie, z - mrime de calitate, y - mrimea msurat.

Se introduc urmtoarele funcii de transfer reprezentative:



19

- funcia de transfer n circuit deschis:

sHsHs

sysH cb

(3.5)

- funcia de transfer n circuit nchis

0 1

b

r b

y s H sH s

y s H s

(3.6)

- funcia de transfer a erorii

1

1r b

sH s

y s H s

(3.7)

- funcia de transfer a perturbaiei

1

1p v

b

y sH s H s

v s H s

(3.8)

3.2 Analiza SRA

3.2.1 Consideraii generale

Se fac ipotezele:

0v s

s

sasyr , cu meniunea c E const din funcii treapt, ramp, etc. pe canalul

mrimii de referin.

Analiza SRA const n aprecierea ntr-o manier inginereasc a urmtoarelor performane:

stabilitatea (asimptotic intern) a SRA- (S);

performanele regimului dinamic (tranzitoriu);

precizia SRA- (R);

performanele regimului staionar. Aprecierea acestor performane pentru sistemul n circuit nchis se face pe baza

specificaiilor sistemului n circuit deschis, adic ale lui Hb(s).

3.2.2 Analiza stabilitaii

Stabilitatea fiind un indice global de calitate, care caracterizeaz n sensul cel mai larg performanele unui sistem, trebuie testat nainte de a aprecia orice alt indiciu de calitate.

Analiza stabilitii const n verificarea incluziunii pentru sistemele netede. Aprecierea stabilitaii se poate face direct prin criteriul Routh-Hurwitz sau apelnd la

analiza prin pulsaie (frecven) prin criteriile Nyquist i Bode.

i) Criteriul de stabilitate Nyquist

Criteriul pornete de la observaia c 0 1 bA H s H s CP Z

i deci

un sistem cu reacie este asimptotic stabil (intern), dac i numai dac, n C se gsesc cel

mult polii raionalei sHb1 .


20

Acest lucru se poate constata inspectnd semiplanul stng a variabilei s ce a fost nchis

printr-un contur Nyquist (axa imaginar i un cerc de raz infinit mare). Cnd acest contur este parcurs n sens pozitiv, n planul funciei, funcia de transfer H(s) descrie locul de transfer. n raport cu punctul (-1, j0) din planul funciei, locul de transfer devine hodograful

ecuaiei caracteristice 1 ( ) 0bH s .

Criteriul Nyquist generalizat precizeaz: Condiia necesar i suficienta ca un SRA s fie stabil este ca locul de transfer a lui

Hb(s) s nconjoare punctul critic (-1, j0) n sens antiorar de un numar de ori p, reprezentnd

polii lui 1+Hb (s) aflai n semiplanul drept al planului s, cnd , . Dac sistemul este stabil n circuit deschis, se poate aplica criteriul Nyquist

simplificat (practic):

Condiia necesar i suficient ca un SRA s fie stabil este ca locul de transfer a lui

Hb(s) s nu nconjoare punctul critic (-1, j0) cnd ,, sau Condiia necesar i suficient ca un SRA s fie stabil este ca hodograful lui Hb(s) s

taie axa real, n sensul cresctor al pulsaiilor ,0 , la dreapta punctului critic (-1,j0) (figura 3.3.a) sau s taie axa real la stnga punctului critic (-1,j0) cnd (0, ) (regula

mrimii stngii).

o ooo

o

o

o

-1

+1

1M2M

inst

abil

sta

bil

o

-1

01

02

1t1 1( )tH j

2 1( )tH j

2t

1

Im ( )bj H j

Re ( )bH j

12

0

0

oo o1t

2t

+

-

0

- 180001

02

2,1

( )b dBH j

( )

1t

2 0dBm

1 0dBm

a) b)

Fig.3.3. Rezerva de stabilitate

a) locul de transfer; b) caracteristicile semilogaritmice de frecven

ii) Criteriul de stabilitate Bode Utiliznd caracteristicile semilogaritmice de frecven, stabilitatea se poate aprecia

prin dou mrimi:

marginea (ctigul) de amplitudine



21

1, dB b

dB

b

m m H jH j

(3.9)

marginea (ctigul) de faz

0180 t (3.10)

unde t este pulsaia de tiere 1H j iar pulsaia la care sistemul are o faz egal cu (figura 3.3.b).

Criteriul lui Bode precizeaz: Condiia necesar i suficient ca un SRA s fie stabil este ca marginea de

amplitudine i marginea de faz s fie pozitive n situaia n care caracteristicile semilogaritmice de frecven ale sistemului deschis sunt monoton descrescatoare.

Se observ c la sistemele stabile t

Practica arat c stabilitatea intern se asigur pentru 10 20m dB i 0 030 60

3.2.3 Performanele regimului dinamic

Performanele regimului dinamic sunt descrise prin indici sintetici de calitate ce caracterizeaz rspunsul indicial al sistemului (figura 3.4).

y

yr

ys

yr = y

ttt

t

T*

1 2maxy

sy

s

Fig.3.4. Performanele regimului dinamic

Aceste performane sunt urmatoarele:

- suprareglajul (supraurmrirea) definit prin

max1

s

s

y y

y

(3.11)

unde ys reprezint valoarea staionar a mrimii de ieire, iar ymax reprezint valoarea primului maxim. Relaia (3.11) poate fi exprimat i n procente.

- timpul primului maxim t , sau de atingere a abaterii maxime a mrimii de iesire n regim tranzitoriu;


22

- durata regimului tranzitoriu tt definit prin timpul ce se scurge din momentul aplicrii excitaiei pe canalul de referin i pn cnd ieirea intr ntr-o band de

2 5 % sy :

tss ttpentruyyty 02,0 (3.12)

- indicele de oscilaie reprezint variaia relativ a amplitudinilor a dou depiri

succesive de acelasi semn a valorii de regim staionar.

ys

1-s

2

s1

=1-s

2

s1

=1-d (3.13)

unde este decrementul: - perioada oscilaiilor T* pentru regimul oscilant amortizat; - numrul de oscilaii N dac rspunsul traverseaz de un numr finit de ori

componenta staionar.

Pe lng aceti indici de calitate principali se mai pot definii i alii, cum ar fi: - timpul de stabilire: momentul n care se atinge pentru prima dat valoarea staionar

a ieirii. - timpul de cretere: valoarea subtangentei dus la y(t) la 0,5 ys, tangenta fiind

limitat de axa t i de ys.

3.2.4 Precizia SRA

Un SRA se numete precis relativ la mrimea de referin

1( ) , 1ry s

s

(3.14)

dac pentru yr de tipul menionat mai sus i pentru v(t)=0 avem

limt

e t( ) = 0 Dac un sistem are funcia de transfer n circuit deschis

Hb(s) =

K

srG(s)

cu G(0)=1, i q - tipul funciei de transfer, atunci evalund relaia (3.14) obinem:

0 0 0

1

0

1 1lim lim lim lim

1

1lim

rt s s s

q

q

qs

t s s sy s H s sKs

G ss

ss KG s

(3.15)

Pentru ca aceast limit s tind catre zero este necesar ca q-+11 sau q.

Un sistem neted de reglare automat este precis la o referin 1

, 1ry ss

dac i numai dac funcia de transfer a sistemului n circuit deschis Hb(s) este de un tip cel

puin egal sau mai mare dect sau, ceea ce este echivalent, dac i numai dac funcia de

transfer a erorii sH are n origine un zero cu ordinul de multiplicitate . Rezult c pentru ca un SRA s fie precis, ndeplinirea n fond a condiiei (R), SRA

trebuie s ncorporeze o copie a modelului mrimilor exogene (externe) sub forma modelului intern.



23

Observaie:

Fenomenul de reglare conine dou elemente obligatorii: conexiunea invers i modelul intern.

3.2.5 Performanele regimului staionar al erorii

Calitatea regimului staionar este apreciat prin eroarea staionar:

sHsyssst rsst

s 00

limlimlim

(3.16)

S presupunem c sistemul este precis la 1

ry ss

.

Ne intereseaz s evalum (3.16) pentru 11

ry ss

10

1 1 1lim

1s

ss

Ks KG s

s

(3.17)

Situaia este ilustrat n figura 3.5. Se observ c s coincide cu componena permanent a erorii.

Eroarea staionar este invers proporional cu factorul de amplificare a sistemului n circuit deschis, atunci cnd sistemul nu mai este precis.

1

yr(t)y(t)yr= y

ta )

yr(t)

y(t)

yr= y

tb )

1s

K

Fig.3.5. Evaluarea s la un 11

( )ry ss

daca SRA este precis la 1

ry ss

Observaie:

Condiia de satisfacere a performanei staionare pe baza relaiei (3.17) este n contradicie cu ndeplinirea condiiei de stabilitate.


24

Se definesc urmatorii coeficieni ai erorii staionare:

coeficientul erorii de poziie 0

limp bs

K H s

coeficientul erorii de vitez 0

limv bs

K sH s

coeficientul erorii de acceleraie 20

lima bs

K s H s

n tabela 3.1. se d o evaluare a erorii staionare pentru principalele tipuri de Hb(s) i intrri standard.

Tabela 3.1. Eroarea staionar a unui SRA la principalele intrri standard n funcie de tipul lui Hb(s)

( )ry s

Tip q

1

s

3

1

s

3

1

s

0 1/(1 )pK

1 0 1/ vK

2 0 0 1/ aK



25

4. Regulatoare

4.1 Rolul i locul regulatorului automat ntr-un

SRA. Clasificri.

Regulatorul automat (RA) este un subsistem al SRA care are rolul de a elabora legea

de comand pe baza mrimii de eroare cu scopul final de a o anula, cu alte cuvinte, de a ndeplini condiia de reglare (figura 4.1).

RA PROCES

+

_

ECyr

o

o

A

B

u

y++

vCalea directa

Calea inversa Fig. 4.1. Rolul i locul RA ntr-un SRA

Cele mai importante criterii pentru clasificarea regulatoarelor automate sunt date n

figura 4.2:

Regulatoare automate dupa:

tipul actiunii agentul purtator de semnalsursa de energie externacaracteristicile constructive

unif

icat

e

cu

acti

une

con

tinu

a

dis

cret

e

spec

iali

zate

dir

ecte

indir

ecte

elec

tronic

e

pneu

mat

ice

hid

rauli

ce

lini

are:

P,I

,PI,

PD

,PID

nel

inia

re:bip

ozi

tional

e,

trip

ozi

tional

e

cu

impuls

uri

le m

odula

te

num

eric

e

Fig.4.2. Criterii de clasificare pentru RA

Dup sursa de energie exterioar solicitat de regulatoare, RA se clasific n: - regulatoare directe, atunci cnd nu este necesar o surs de energie exterioar,

transmiterea semnalului realizndu-se pe seama energiei din proces preluat de traductorul de reacie, i

- regulatoare indirecte care folosesc o surs de energie exterioar. Regulatoarele indirecte realizeaz performane de reglare superioare celor directe.


26

Dup viteza de rspuns a procesului condus exist: - regulatoare pentru procese rapide, folosite pentru reglarea mrimilor din instalaii

tehnologice care au constante de timp mici (de ordinul secundelor)

- regulatoare pentru procese lente, pentru conducerea instalaiilor tehnologice cu constante mai mari de 10

Dup structura constructiv, regulatoarele se clasific n: - regulatoare specializate sunt destinate n exclusivitate reglrii unei singure mrimi

specifice dintr-o instalaie tehnologic, avnd o construcie specific. - regulatoare unificate, la care att mrimile de intrare ct i mrimea de ieire u au

aceeai natur fizic i aceeai gam de variaie. Semnalele se numesc unificate, putnd fi de tipul : 0,2 0,1 daN/cm2, 2 10 mA c.c., 1 5 mA c.c., 0 0,5 V c.a., pentru procese lente, i - 10+10 V c.c., -5 +5 mA c.c., pentru procese rapide. Regulatoarele unificate au avantajul tipizrii, al interschimbabilitii (elementele componente pot fi conectate n mod diferit) i permit reglarea mrimilor de natur fizic diferit;

Observaie: SRA unificate se bucur de o larg aplicabilitate n practica

inginereasc. ntradevr, complexitatea i natura proceselor industriale fiind foarte diferit,

versiunile de dispozitive de automatizri ar putea fi foarte larg. O producie mare i ieftin de elemente de automatizare nu este posibil dect prin

introducerea unor elemente unificate, care interconectate s permit realizarea unui evantai larg de structuri de reglare.

Utilizarea unor astfel de structuri de reglare permite i o proiectare uoar i un montaj rapid, proiectantul avnd doar rolul de a calcula un numr restrns de parametri i de a alege echipamentul de reglare i de a acorda RA.

i) Dup tipul aciunii realizate, regulatoarele se clasific n: - regulatoare cu aciune continu, la care eroarea i comanda u variaz continuu n

timp. n funcie de legea de dependen ntre intrare i ieire, regulatoarele pot fi liniare, sau neliniare. Regulatoarele continue liniare sunt de tipul P, PI, PID, etc., i cele neliniare pot fi bipoziionale sau tripoziionale;

- regulatoare cu aciune discret sunt acele regulatoare automate la care mrimea de ieire u este format ntr-o succesiune de impulsuri, mrimea de intrare (eroarea) fiind o mrime continu. Impulsurile de la ieirea blocului de reglare discret pot fi modulate n amplitudine sau durat sau codificate, n acest caz regulatorul discret fiind de tip numeric.

ii) Dup agentul purttor de energie, exist regulatoare: - electronice, la care mrimile de intrare i de ieire sunt de natur electric (cureni sau

tensiuni);

- pneumatice, u i sunt presiuni de aer; - hidraulice, la care intrarea este o deplasare iar ieirea u este presiunea unui lichid.

iii) Dup sensul mrimii de comand u n raport cu parametrul reglat y:

- cu aciune direct : uy ; - cu aciune indirect : uy .



27

4.2 Elementele caracterizante ale unui RA

Elementele care caracterizeaz un regulator automat i pe baza crora se pot compara ntre ele diferitele regulatoare, n scopul alegerii celui mai adecvat tip, sunt urmtoarele:

natura fizic a mrimii de intrare i ieire;

mediul n care vor lucra regulatoarele;

gradul de complexitate al procesului i performanele ce se impun mrimii reglate. n general, pentru majoritatea proceselor, legile de reglare P, PI, PD sau PID sunt

satisfctoare, dar exist procese la care se impun, datorit strategiilor complexe de conducere, regulatoare cu structuri speciale, cum ar fi cele de tip extremal, adaptiv etc.

Astfel de structuri se realizeaz, ns, de cele mai multe ori, cu structuri numerice;

posibilitile de integrare n sisteme numerice complexe de conducere (calculatoare de proces);

parametrii legii de reglare : constanta de timp de integrare TI, constante de timp de derivare TD, banda de proporionalitate BP ;

transferul funcionrii automat-manual i invers, fr oc i fr echilibrare prealabil;

viteza de rspuns a procesului automatizat (proces rapid sau lent);

numrul de elemente de execuie ce pot fi comandate simultan, n paralel, de ctre un regulator;

tipul elementului de acionare;

tipul organului de reglare (normal nchis sau normal deschis);

caracteristica static a organului de reglare;

realizarea siguranei n funcionare a procesului la ntreruperea semnalelor de msur i de comand. Problema alegerii tipului de regulator automat fiind o problem important, asupra ei

vom reveni ntr-un paragraf ulterior.

4.2.3. Regulatoare continue

i) Regulatoare continue liniare

a. Regulatoare liniare standard

Realizarea tehnic a unui regulator urmrete elaborarea mrimii de eroare, ca i prelucrarea mai departe a acesteia pentru obinerea mrimii de comand u(t) de la ieirea regulatorului sau direct a mrimii de execuie m(t), dac regulatorul i elementul de execuie formeaz un singur echipament.

Tipurile de regulatoare cele mai utilizate astzi n industrie sunt regulatoare standard, a cror comportare se poate explica prin cele trei forme de baz idealizate ale elementelor P, I i D. Regulatorul standard cel mai important i cel mai complex are o comportare PID. Modul de aciune al unui regulator PID poate fi explicat printr-o schem de conectare n paralel a cte unui element P, I i D (figura 4.3).

s

KI

RK

sKD

sTI

1

sTD

RK

+

++

uSAU

++

u+

Fig. 4.3. Scheme bloc echivalente pentru un regulator PID


28

Din aceast reprezentare rezult c funcia de transfer pentru un regulator PID are expresia:

Introducem mrimile KR = Kp factorul de amplificare al RA;

sKs

KK

s

susH D

IpR

)(

(4.1)

I

p

IK

KT timpul de integrare sau timpul de ntrziere;

p

DD

K

KT - timpul de derivare sau timpul de anticipare.

Prin introducerea factorului de amplificare KR, o mrime adimensional, i a celor dou constante de timp TI i TD, espresia (4.1) capt o alt form:

sT

sTKsH D

I

RR

11

(4.2)

Aceste trei mrimi KR, TI si TD sunt n mod obinuit ajustabile ntr-un domeniu determinat: ele sunt desemnate de aceea ca parametrii de acord (ajustabili) ai regulatorului.

Prin alegerea corespunztoare a valorii parametrilor de acord se poate realiza adaptarea unui regulator la procesul condus, astfel nct s rezulte cea mai bun comportare a buclei de reglare. Din (4.2) rezult c evoluia n timp a mrimii de comand este urmtoarea:

t

DR

I

RR

dt

tdTKd

T

KtKtu

0

(4.3)

Prin aceast expresie putem evalua modificarea lui u(t) la un salt sub form de treapt:

t 1 )(t , deci rspunsul indicial al regulatorului PID (figura 4.4).

Componenta I

Componenta P

Componenta D

-TI t

a)

0

KR(1-TD)

KR

u(t)

Componenta I

Componenta P

Componenta D

-TI t

b)

0

KR

KR(1-TD/T)

u(t)

T

0 t

KR

u(t)

c)

0 td)TI

u(t)

KR

0 te)

u(t)

KR(1-TD)

KR

KR(1-TD/T)

0 tT

u(t)

KR

f)

.



29

Fig.4.4. Raspunsul indicial a)ideal; b)real al uni RA de tip PID.

Rspunsul indicial pentru un RA de tip c) P, d) PI, e) PD (ideal) i f) PDT1 (PD real)

Saltul realizat n rspunsul regulatorului se datorete componentei D din legea de reglare PID. Comportarea D ideal ns nu poate fi realizat practic. n cazul regulatorului ideal, comportarea D prezint o ntrziere, astfel c n loc de elementul D din schema bloc din figura 4.3 trebuie s se considere c avem un element DT1 (derivat cu ntrziere de ordinul unu), cu funcia de transfer

Ts

TsKsH DD

1

(4.4)

Cu aceasta funcia de transfer a unui regulator PID real sau mai precis a unui regulator PIDT1, este

Ts

TsK

s

KKsH D

IpR

1

(4.5)

sau introducnd parametrii de acord IRIpR KKTKK /, si RDD KTKT /

obinem

Ts

sT

sTKsH D

I

RR1

11

(4.6)

Raspunsul indicial al unui regulator de tip PIDT1 este reprezentat in figura 4.4 a.

Menionm urmatoarele cazuri particulare pentru un regulator PID: a) TD =0 corespunde unui regulator PI cu funcia de transfer

;1

1

sTKsH

I

RR

(4.7)

b) IT corespunde unui regulator PD cu funcia de transfer

sTKsH DRR 1 (4.8)

respectiv unui regulator PDT1, cu funcia de transfer

;1

1

Ts

sTKsH DRR

(4.9)

Pentru TD = 0 si IT obinem un regulator P cu funcia de transfer

.RR KsH (4.10)

Rspunsurile indiciale ale acestor tipuri de regulatoare sunt reprezentate n fig.4.4 c, d, e, f. Pe lng tipurile de regulatoare mai sus tratate ce se obin dintr-un regulator PID

(regulator ideal) prin alegerea corespunztoare a parametrilor de acord , adesea se utilizeaz un regulator I pur a crui funcie de transfer este:

sT

K

sKsH

I

RIR

1

(4.11)

Reamintim c elementul D nu poate fi utilizat izolat, ci n combinaie cu elementele P la regulatoarele PD si PID.

Observaii:


30

1. Menionm c RA continue liniare realizeaz o dependen intrare - ieire de tip continuu, cea mai complicat expresia; legii de reglare ideal fiind legea PID:

1 ( )

( ) ( )R DI

d tu t K t t dt T

T dt

P I D

(4.12)

Din relaia de mai sus putem s definim parametrii legii de reglare (comand), care sunt n acelasi timp i parametrii pentru regulator:

KR factorul de amplificare exprimat prin banda de proporionalitate BP.

RR kukBP

100100%

(4.13)

unde si u sunt domeniul de variaie a lui si u. Pentru regulatoarele unificate avem u .

Banda de proporionalitate BP poate fi definit ca variaie procentual a mrimii de intrare necesar pentru a produce o variaie de 100% a mrimii de ieire a regulatorului.

TI constant de timp de integrare care definete componenta integral i care are semnificaia timpului n secunde sau minute necesar integratorului pentru a dubla rspunsul proporional original corespunztor unei perturbaii a procesului sau ceea ce este echivalent, numrul de secunde (minute) necesar pentru repetarea rspunsului proporional (MPR: minute pn la repetare, revenire sau egalare). MPR este echivalent cu TI.

Unii fabricani de aparatur msoar comportarea integral prin viteza de integrare (rata de integrare sau revenire/minut) RPM, cu observaia c, RPM = 1/MPR (figura 4.5).

t (min)

4%

t (min)

0 21

5

10

15

%

%

% 80%

1, 25

4 1, 25 5%

1min(1 )

1/1 1

R

I

BP

K

u

T MPR

RPM

Fig.4.5. Interpretarea fizic a constantei de integrare TI

TD constanta de timp de derivare: interpretarea fizic a cestei constante este ca rspunsul reglajului derivativ va fi egal cu cel al reglajului proporional ce va apare dupa un timp TD minute (secunde) i se va aplica imediat la ieire (real dup o mic ntrziare) (figura 4.5).



31

t

%

0 1 2 3 4

5

10

t0 1 2 3 4

5

10

%

% 100%

1

2min

R

D

BP

K

T

Fig.4.6. Interpretarea fizic a constantei de derivare TD

Un regulator automat este constituit din mai multe subsisteme, principale fiind elementul de

comparaie i subsistemul care relizeaz legea de reglare.

Comparatorul cel mai simplu al unui regulator este dat n figura 4.6.a, mrimile de comparaie fiind semnale n curent. Aceste semnale sunt convertite n tensiuni. Comparatorul permite determinarea mrimii i sensului erorii: n fig.4.7 se d o

schem mai complet care cuprinde i un comutator al modului de aciune direct sau invers CD/I. Alegearea tipului de aciune este dictat, n general, de tipul organului de reglare.

.

+

-

250 R1

250 R2

4 20 mA

4 20 mA

x

y

+

-

uyr

uy

o

o

o

1

2

o

o

o

1

2

CD/I

u

a) b)

Fig.4.7. Element de comparaie element de comparaie simplu; b) element de comparaie i comutator al aciunii direct-invers

Blocul de reglare este realizat cu ajutorul unui amplificator, de obicei amplificator operaional, prevzut cu circuite specifice pe reacie i intrare pentru a se realiza legea de comand dorit.

Rspunsurile indiciale ideale i reale ale regulatoarelor de tip P, PI, PD, si PID sunt date n tabela nr.4.1

Tabela 4.1 : Raspunsurile indiciale ale regulatoarelor continue liniare

Legea de comand ideal Rspunsul ideal Rspunsul real

P

(t) ( ) ( )Ru t K t

u(t)

t

KR

.

t

u(t)

KR

.


32

PI

1( ) ( ) ( )R

i

u t K t t dtT

u(t)

t

R

i

Karc tg

T

KR

.

u(t)

t

KR

.

PD

( )

( ) ( )R Dd t

u t K t Tdt

t

KR

u(t)

. t

u(t)

.

PID

1 ( )( ) ( ) ( ) D

i

d tu t t t dt T

T dt

t

u(t)

.

t

u(t)

.

2. Considerm pentru simplicitate un RA de tip P. Din relaia

tKtu R (4.14) rezult c dac yr = y atunci .0 ntr-un sistem dinamic parametrul reglat nu poate atinge valoarea zero i de aceea

relaia (4.14) se complecteaz cu un termen de polarizare care produce o anumit valoare

pentru semnalul de comand, chiar dac .0

btKtu R (4.15) Termenul de polarizare se ia frecvent egal cu 50% din mrimea de comand. Deci,

mrimea de comand la un regulator P trebuie s fie egal cu 50% atunci cnd ryy

independent de amplificarea regulatorului.

3. Prezena componentei I conduce la o valoare a comenzii care va iei din plaja de reglaj, aprnd aa-numitul fenomen de saturaie. Pentru a evita saturaia este nevoie ca y s-i schimbe sensul de variaie nainte ca u s nceap s varieze spre plaja de reglare. Este necesar s se ia o serie de msuri de antisaturare deoarece o funcionare n aceste condiii este similar cu funcionarea bipozitional. Msura cea mai simpl este alegerea corespunzatoare a constantei TI.

Bazele Reglarii Automate

Documents

Transcript of Bazele Reglarii Automate