ANTOHE FLORI N-MI HAI Edi t ura Sf nt ulIerarh Ni colae 2010 ISBN 978-606-8129-61-7 2 Cuvnt nainte LucrareatiinificdefaabordeazInegalitateamediilor,una dintre cele mai importante i mai cunoscute inegaliti din matematic. nconinutullucrriisuntprezentatediversedemonstraiiale acesteiinegaliti:prinmetodealgebrice,geometrice,utilizndnoiuni matematice precum inducia sau folosind arii. Cuajutorulinegalitiimediiloramconstruitctevainegalitin triunghi. nparteafinalalucrriisuntpusenevidenaplicaiile inegalitiimediilorianume:aplicaiindemonstrareaunorinegaliti algebrice, demonstrarea unor inegaliti geometrice, determinarea minimului sau maximului unei expresii algebrice i nu n ultimul rnd aplicaii n fizic. Autorul 3 Cuprins 1. Introducere.........................................................................................................4 2. Inegalitatea mediilor- demonstraie algebric...................................................6 3. O demonstraie geometric a inegalitii mediilor............................................84. Alt demonstraie geometric a inegalitii mediilor........................................9 5. O interpretare geometric a inegalitii mediilor.............................................11 6. O demonstraie prin inducie a inegalitii mediilor........................................14 7. O demonstraie a inegalitii mediiilor folosind arii........................................16 8. Inegaliti n triunghi construite cu inegalitatea mediilor................................18 9. Aplicaii n demonstrarea unor inegaliti algebrice.......................................20 10. Aplicaii n demonstrarea unor inegaliti geometrice..................................24 11. Aplicaii n determinarea maximului sau minimului.....................................26 12. Aplicaii n fizic...........................................................................................2713. Bibliografie............................................................................................28 4 1. I ntr oducer e Inegalitatea mediilor este una dintre cele mai importante inegaliti , fiind foarte desutilizat.AceastinegalitateesteatribuitmatematicianuluifrancezAugustin-Louis Cauchycare s-a remarcat n aproape toate ramurile matematicii. 1. Media aritmetic Fieaibdounumererealeipozitive.Mediaaritmeticalorestenumrulcarese obine mprind la 2 suma lor :.2b ama+=Generaliznd obinem c media aritmetic a n numere reale pozitive na a a ,..., ,2 1 se calculeaz dup formula:

na a a amna+ + + +=...3 2 1 adic mprind suma celor n numere la numrul lor. Observaie: Media aritmetic a n numere reale pozitive este mai mare dect cel mai mic dintre numere i este mai mare dect cel mai mare dintre ele. 2. Media geometric (media proporional) . Media geometric a dou numere reale pozitive se calculeaz dup formula : b a mg = Generalizndobinemcmediageometricannumererealepozitive na a a ,..., ,2 1se calculeaz dup formula: nn ga a a m = ...2 1 Exemple de medii geometrice ntlnite n geometrie: 1.ntr-untriunghidreptunghic,lungimeanlimiidinvrfulunghiuluidreptestemedie geometric (proporional) ntre lungimile proieciilor pe ipotenuz. 2.ntr-untriunghidreptunghic,lungimeauneicateteestemediegeometric(proporional) ntre lungimea ipotenuzei i proiecia catetei pe ipotenuz. 3.Media armonic. Media armonic a dou numere reale pozitive este:

b aabb amh+=+=21 12 Generalizndobinemcmediaarmonicannumererealepozitivena a a ,..., ,2 1seobine dup formula : 5 nha a anm1...1 12 1+ + +=Observaie: Media armonic este inversamediei aritmetice a inverselor celor n numere. 4. Media patratic. Media ptratic a numerelor pozitive a, b este numrul : 22 2b amp+= . Media ptratic are o interpretare geometric deosebit de interesant. DacconsidermAABCdreptunghic,cucateteledelungimiAC=aiBC=bevident ipotenuza AB va avea lungimea 2 2b a + . C A B D Construim un triunghi dreptunghic isoscel ADB , dreptunghic n D. Atunci AD=BD=22 2b a +. Decilungimeaptratuluinscrisncerculcircumscrisdreptunghiuluidedimensiunia,b reprezint media ptratic a numerelor a i b. Media ptratic a n numere reale pozitive na a a ,..., ,2 1 este dat de formula: na a amnp2 2221... + + += . 6 2. I negali tatea medi i lor-Prezentare, demonstrai e al gebr i c- ntretoateacestemediiprezentate,existurmtoarearelaie,cunoscutsub denumirea de inegalitatea mediilor: ) , max( ) , min( b a m m m m b ap a g hs s s s s, adic: ) , max(2 21 12) , min(2 2b ab a b aabb ab a s+s+s s+sEgalitatea se obine atunci cnd cele dou numere a i b sunt egale. Prin generalizare se obine: ) ,..., , max( ) ,... , min(2 1 2 1 n p a g h nx x x m m m m x x x s s s s s , adic: ) ,..., , max(... ......1...1 1) ,... , min(2 12 2221 2 12 12 12 1nn nnnnnx x xnx x xnx x xx x xx x xnx x xss+ +s+ + +s s+ + +sEgalitatea se obine pentru nx x x = = = ...2 1 n continuare vom demonstra inegalitatea mediilor pentru dou numere pe buci: Pentrunceputsdemonstrmprinmetodalgebricinegalitateadintremediaaritmetici media geometric , care este extrem de simpl. a)a gm m sDeci trebuie s demonstrm c: 2b aab+s . 0 ) ( 0 2 222> > + + s +s b a b ab a b a abb aab ,ceeaceesteevident, deci inegalitatea dintre media aritmetic i media geometric este demonstrat. Vom demonstra acum inegalitatea dintre media armonic i media geometric a dou numere: Avem de demonstrat :Folosindceeaceamdemonstratanterior a gm m s ,pentrunumere a1i b1obinem: abb ab a abb ab as+ + s +s 1 12 1 1 221 11 1(ceea ce trebuia demonstrat). Mai rmne s demostrm inegalitatea dintre media aritmetic i media ptratic , adic: 2 22 2b a b a +s+. 7 Pornim de la faptul c:0 ) (2> b a2 2 4) (2 2) (2 2 2 2 0 ) (2 2 2 2 2 22 22 2 2 2 2 2 2b a b a b a b a b ab ab ab a b a ab b a b a+s++>++> + + + > + > + > adic exact ce aveam de demonstrat. 8 3. O demonstraie geometric a inegaliti imedi i lor Fie 1d i 2ddou tangente paralele la cercul Cn puncteleA, respectivD. Dreapta 3deste tangent n punctulTla cerculCi intersecteaz dreptele 1di 2dnBi respectiv nC .LumpunctulM la mijloculluiBCiN piciorul perpendicularei din TpeAD. Astfelseformeaztrapezul dreptunghicABCD. Notm: ,, b DC a AB = = unde conform desenuluib a > . Avem a BT AB BT = = b CT DC CT = = b a BC + =

nlimeatrapezului ABCD este: ab b a b a EB BC h 2 ) ( ) (2 2 2 2= + = = . gm abhOT = = =2 amb aOM =+=2 hmb aMOOTTNMOOTOTTNTMO NOT =+= = = A A1 12~2 : NOT A TN catetOTipotenuz : TMO A OT catet OM ipotenuz Dacb a = , atunci n mod evident h g am m m = = . TN OT > )` OM OT < )` TN OT OM > > )` adic h g am m m > >9 4. Alt demonstrai e geometr ic a inegaliti imedi i lor Considerm un triunghi dreptunghic cu ipotenuza BC. Notm CD cu a i DB cu b. Construim nlimea din vrful unghiului drept , adic AD. (ADBC). timcntr-untriunghidreptunghicmedianadusdinvrfulunghiuluidreptare lungimea jumtate din lungimea ipotenuzei. Deci AM=2b a +. Aplicnd teorema nlimii rezult c AD= ab . Cum nlimea este ntotdeauna mai mic sau cel mult egal cumediana rezult:

2b aab+s Egalitatea se obine cnd a=b adic CD=DB , deci n cazul unui triunghi dreptunghic isoscel. Astfel am demonstrat inegalitatea dintre media geometric i media aritmetic. ConsidermacumuntriunghidreptunghicisoscelABC.Fixmunpunctpe ipotenuza BC pe care l notm cu P. Dorim s demonstrm c 22 22PC PBAP+= . nlimea din vrful dreptAD va fi n acest caz i median. n acest caz mediana AD=2PC PB +. Presupunem c CP>PD. PD=CP-CD=CP-2 2 2BP CP PB PCCPBC =+ = . Cu teorema lui Pitagora n triunghiul dreptunghic ADP obinem: 2 2 2AP PD AD = + 2 4) (4) (2 2 2 22PC PB PB PC PC PBAP+=++= . 10 EsteevidentfaptulcAD=2PC PB +estemaimicsaucelmultegalcu AP=22 2PC PB +. Deducemc: 2PC PB +s22 2PC PB +.EgalitateaseobinecndpunctulPeste mijlocul ipotenuzei BC. Am demonstrat astfel , n manier geometric inegalitatea dintre media aritmetic i media ptratic a dou numere. nfinalnepropunemsdemonstrminegalitateadintremediaarmonicimedia geometric. Pentruaceastaconsidermuntrapezdreptunghiccubazeledelungimiaib,iarnlimea AB= ab 2 .CerculdediametruABeste tangentlaturiiCDnpunctulT.FieMmijlocullui CD. MO va fi linie mijlocie , deci MO=2b a +. OT= ab , fiind raz a cercului de diametru AB. Ne intereseaz s calculm lungimea lui PT. Aplicnd teorema lui Pitagora n triunghiul dreptunghic OTM obinem: OT2+TM2=OM2TM2= = +4) (4) (2 2b aabb aTM=2b a Calculmnlimea din vrful drept al triunghiului dreptunghic OTM care este egal cu PO. Deci PO=b aab b ab ab aab+ =+) (22 AplicmacumntriunghiuldreptunghicTPOteoremaluiPitagorapentrua determina lungimea lui TP: PT2=OT2-PO2= +=+ 22 222) (4) () (b ab ab ab a abab PT=b ab aab1 12 2+=+. Evident PTb,ducemlinia mijlocie [MN] i paralele [EF] i [PQ] la bazele trapezului. [EF]mpartelatura[AD]nraportul bai[PQ]treceprinpunctulOdeinterseciea diagonalelor. n ACD : PQ || CD i folosind teorema lui Thales OCAOPDAP= . Dar AOB ~ COD i deci baDCABOCAO= = Din cele dou relaii rezult c: baDCABOCAOPDAP= = = Deoarece, ; 1baEDAEMDAM= =din inegalitile evidente babas s 1rezult PDAPEDAEMDAMs s12 Urmeazcpesegmentul[AD]existurmtoareleordineapunctelorA,M,E,P,D, adic: b1. Punem acum GaxGaxGaxnn = = = ,..., ,2211, nna a a G = ...2 1. 1 ...2 1= nx x xi decin x x xn > + + + ...2 1, adic : nGa a an>+ + + ...2 1 i deci nnna a ana a a >+ + +......2 12 1. 15 2. Demonstraia lui Jacobsthal. i aceast a doua demonstraie folosete tot inducia matematic. Pentru n=1 avem egalitate : ==nii nanA11i nnii na G[==1. Avem de demonstrat propoziia P(n) : n nG A >oricare ar fi neN , n>1. Punem P(n-1) adevrat i demonstrm c implicaia P(n-1) P(n) adevrat. Fie0 > z . Deoarece( ) ( ) 1 ... 2 1 13 2 2 + + + = + n z z z n nz zn n n avem : ( ) 1 > n nz zn , pentru. 0 > zPunem 1 =nnGGz i avem( ). 11 1 >||.|

\| nGGnGGnnnnn

Avem identitatea : ( )(((

||.|

\|+ = nnnnn nnGGGAnnGA1 11 11 , din care deducem : ( ) ( )((

+ > 1 11 11 1nGnGGAnnGAnnnn nn , care conduce la: ( ).11 1 > n n n nG AnnG A Deoarece01 1> n nG A , rezult n nG A >i deci P(n) este adevrat pentru orice neN ,1 > n 16 7. O demonstraie a inegaliti imedi i lorfolosi nd ar i i Construcie Se construiete trapezul dreptunghic ABCD, astfel nct: [AB] = a [CD] = b d(AB, CD) = [AD] = hmb aabh =+=2 Demonstraie: Fie MN||AB, MNtrece prin intersecia diagonalelor, O. CD ABONBCCN BNABONCDONBCCNACCOABONABC InBCBNBDBOCDONBCD In1 111::+= =+= + )`= = A= = A (1) CD ABOM Ana1 11log+=(2) Din (1) i (2) hmb aabb aMN =+=+= 21 12] [(3) Fie PQ||AB, (P mijlocul laturii AD). Aplicnd Th. Thales nABD A iBDC A rezult:2] [CD ABPQ+=amb aPQ =+= 2] [ (4) Punctul de intersecie al diagonalelor se gsete deasupra dreptei PQ, rezult: ] [ ] [ MN PQ >(5)

Din relaiile (3), (4) i (5) rezult: h am m > (6) Fie AEHDS= aria dreptunghiului AEHD. innd cont de relaia (3),atunci: 2h AEHDm AD MN AD AE S = = =(7) 17 2222) (g ABCDm abb ab aab CD AB ADS = =++=+= (8) Deoarece [BQ] [QC] (din construie) i [BN] < [NC], rezult: NCH BENS SA As (cu egalitate cnd [AB] [CD])(9) Aria trapezului ABCD mai poate fi scris i ca: NCH BEN AEHD ABCDS S S SA A+ = (10) Din (7), (8), (9) i (10) rezult: h g h gm m m m > >2 2 (11) Din relaia (6)' ) ( A - deasupra lui A, a.: amb aD A =+=2' (12) Din relaiile (4) i (12), rezult: g a g ag FA F A ABCD FA F A AFGD FA F A GD F A am m m mm S S S S S S D A PQ m> > + = + = + = = =2 22' ' ' ' ' ' ' '2' (13) Din relaiile (11) i (13), rezult: h g am m m > > q.e.d 18 8. Inegaliti n tr i unghiconstruite cu ajutorul inegaliti imedi i lor Vom ncerca s deducem cteva inegaliti n triunghi folosind inegalitatea mediilor. Msurile laturilor unui triunghi sunt exprimate prin numere reale pozitive precum i valorile funciilor trigonometrice ale unghiurilor ascuite. Folosind inegalitatea ma gm >avem: 1.Dac notm msurile laturilor unui triunghi cu a,b,c putem scrie:a+b 2 ; 2 ; 2 abb c bc c a ca > + > + > (1) Adunnd membru cu membru aceste inegaliti rezult: 2(a+b+c) 2( ) ab bc ca > + +de unde mprind cu 2 i nlocuind a+b+c=2p obinem inegalitatea: 2 . p ab bc ca > + +2.nmulindinegalitile(1) membru cu membru rezult: (a+b)(b+c)(c+a) >8abc care dup nlocuirile: a+b=2p-c , b+c=2p-a , c+a=2p-biabc=4RS (unde R este raza cercului circumscris triunghiului iSeste aria triunghiului) obinem: (2p-a)(2p-b)(2p-c) >32RS 3.Din 2 ( ), 2 ( ), 2 ( ) a b c a b c a b c b c a a b c c a b + + > + + + > + + + > +(2)prin adunare membru cu membru obinem:2( ) 2( ( ) ( ) ( )) a b c a b c b a c c a b + + > + + + + +dupcare obinem inegalitatea:2 (2 ) (2 ) (2 ) p a p a b p b c p c > + + . 4. nmulind membru cu membru inegalitile(2) obinem: (a+b+c)38 ( )( )( ) abc a b b c c a > + + +sau(2p)6>64abc(a+b)(b+c)(c+a)de unde nlocuind abc=4RS i S=rp (unde r este raza cercului nscris n triunghi)avem:64 ( )( )( ) p Rrp a b b c c a > + + +i n final:54 ( )( )( ) p Rra b b c c a > + + + . 5.Din2 , 2 , 2 ab c abcbc a abcca b abc + > + > + > adunnd membru cu membru avem: a+b+c+ab+bc+ca 6 abc >de unde: ( 1) ( 1) ( 1) 12 a b b c c a RS + + + + + > . 6.Din3 2 2 2 2 2 2 33 , 3 a b c abca b c a b c + + > + + > rezult prin nmulirea membru cu membru a inegalitilor: 2 2 2( )( ) 9 a b c a b c abc + + + + >de unde2 2 22 ( ) 36 p a b c Rrp + + >i n final:2 2 218 a b c Rr + + > . 7.Din33 a b b abc + + > i33a b c a b ch h h h h h + + > (unde, ,a b ch h hsunt inlimile triunghiului)prin nmulire membru cu membru rezult: (a+b+c)(a b ch h h + + )39a b cah bh ch >sau3 32 ( ) 9 8a b cp h h h S + + > pentruc 2a b cah bh ch S = = = i n final inegalitatea:9a b cSh h hp+ + > . 19 8. Din : 3 3 3 3 3 3sin 3 sin 3 2 , sin 3 sin 3 2 , sin 3 sin 3 2 a b C ab C Sb c A bc A Sc a B ca B S + + > = ++ > = + + > =prin adunare membru cu membru rezult: 2(a+b+c)+sinA+sinB+sinC39 2S > sau: 3sin sin sin 9 2 4 A B C S p + + > . Observaie:triunghiul ABC este ascuitunghic. Folosind inegalitatea:a hm m > avem: 9.2 2 2, ,2 2 2a b ab b c bc c a caa b b c c a+ + +> > >+ + + .Adunnd inegalitile rezult:a+b+c 2( )ab bc caa b b c c a> + ++ + + de unde: ab bc acpa b b c a c> + ++ + +. Folosind inegalitatea :p am m >avem: 10. 2 2 2 2 2 2, ,2 2 2 2 2 2a b a b b c b c a c a c + + + + + +> > > .Adunnd membru cu membru obinem:22 2 2 2 22 2 2a b b c c aa b c+ + ++ + > + +, de unde n final:2 2 2 2 2 22 2 a b b c c a p + + + + + > . 20 9. Aplicaii ale inegalitii mediilor n demonstrarea unor inegalitialgebr i ce 1. S se demonstreze cR c b a ca bc ab c b a e + + > + + , , ,2 2 2. Soluie: Din inegalitatea >+>+>+ >caa cbcc babb am mg p2222 22 22 2

Adunnd membru cu membru inegalitile de mai sus, obinem ca bc ab c b a ca bc abc b a+ + > + + + + >+ +2 2 22 2 222 2 2. 2. a).Demonstraic > +xx12 ,x >0 b).Demonstraic b aabba, , 2 > + >0 Soluie: a ).Cuinegalitateadintremedia aritmeticimediageometric: 2121= > +xxxxb). Putemluabax =na).Sauprocedmcanainte: 2 2 = > +abbaabba 3. S se demonstreze c :

245912070...9207125632< + + + + +Soluie : 21 Vom folosi inegalitatea mediilor : .2b ab a+s Deci vom avea : 21724 374 371221523 253 25621322 132 132=+s==+s==+s= 2191246 459146 45912070=+s= + + + + + < + + + + +21...21212121912070...9207125632245912070...9205632< + + + + 4. Artaicpentruoricenumere realestrictpozitivex,y,z, avem yzxyzxxzzyyx+ + > + +222222

Soluie : ninegalitatea : ,2 2 2ca bc ab c b a + + > + + lum: ,yxa = ,zyb = xzc = iobinem:yxxzxzzyzyyxxzzyyx + + > |.|

\|+ |.|

\|+||.|

\|2 22 sau .222222yzxyzxxzzyyx+ + > + + 5. Artaicpentruoricenumererealea,b,c>0avem ( )( )( ) abc a c c b b a 8 > + + +Soluie: Cuinegalitateadintremediaaritmeticimediageometric, 22

( )( )( )abc c b a ca bc ab ca bc aba c c b b a a c c b b a= = = >+++=+ + +2 2 22 2 2 8. 6. Demonstrai inegalitatea:

4024 20112013 20102010 2012 20101...3 1512 8131>+ + + + Soluie : Primul membru al inegalitii se mai scrie: 2010 2012 20101...3 5 312 4 2131+ +++211+s =kk k , (inegalitatea mediilor)orice k1, deci 12 1+>kk, atunci : ) 2 )( 1 (1) 1 (1) 2 )( 1 (2) 2 (1+ ++=+ +>+k k k k k k kk k k Pentruk=2, 121612 4 21 > Pentruk=3, 2011213 5 31 > ........................................... Pentruk=2010, 2012 201112011 201012010 2012 20101> Adunnd toate aceste inegaliti obinem : 2012 20111612010 2012 20101...3 5 312 4 21 >+ ++ Adunnd n ambii membri ai inegalitii 31, obinem : >+ +++2010 2012 20101...3 5 312 4 21314024 20112 2012 20112012 2011121 > >2013 2010 ) 3 2010 ( 2010 2 2 2010 3 2010 2 ) 2 2010 )( 1 2010 ( 2 2012 20112 = + = + + = + + = Deci : 2010 2012 20101...3 5 312 4 2131+ +++4024 20112013 2010> . 7. Artaicpentruoricenumererealea,b,c>0avem: ( ) 41 1> |.|

\|+ +b ab aSoluie: Prinnmulireaparantezelor, obinem 23 ( ) 4 2 2 21 1= + > |.|

\|+ + = |.|

\|+ +abbab ab a Altfel,dininegalitateadintre mediaarmoniciceaaritmetic.

21 12 b ab a+s+ Rezultimediat c ( ) 41 1> |.|

\|+ +b ab a . 8. Dac a,b,c,d eR+ i a+b+c+d=1005 artai c : 2010 ) ( ) ( ) ( ) ( s + + + + + + + + + + + c b a d b a d c a d c b d c b a . Soluie : a+b+c+d=1005 b+c+d=1005-a c+d+a=1005-b d+a+b=1005-c a+b+c=1005-d Avem de artat c: 2010 ) 1005 ( ) 1005 ( ) 1005 ( ) 1005 ( s + + + d d c c b b a a . Folosind inegalitatea mediilor obinem: 2100521005) 1005 (2100521005) 1005 (2100521005) 1005 (2100521005) 1005 (= +s = +s = +s = +s d dd dc cc cb bb ba aa a Deci: 2010 ) ( ) ( ) ( ) ( s + + + + + + + + + + + c b a d b a d c a d c b d c b a 24 A c b BC 10. Aplicaii ale inegalitii mediilor n demonstr ar eaunorinegalitigeometr i ce 1. Se consider triunghiul ABC cu AC = b i AB = c. S se arate c 22 2||.|

\| +sAc bSABC. Soluie : 2 2sin bc A bcSABCs=A(1) Din2222 2 8) (2 2|.|

\| +=+s |.|

\| +s sc b c b bc c bbc m ma g(2) Din (1) i (2) 22 2|.|

\| +s Ac bSABC. 2. Fie a, b, c msurile laturilor unui triunghi ABC. a) S se determine natura triunghiului ABC, dac are loc relaia:ca bc ab c b a + + = + +2 2 2 b) Dac c are valoare constant, iar expresia) )( ( b p a p are valoare maxim, s se demonstreze c triunghiul este isoscel. (S-a notat 2c b ap+ += - semiperimetrul triunghiului). Soluie: a)ca bc ab c b a + + = + +2 2 2c b a a c c b b a = = = + + 0 ) ( ) ( ) (2 2 2,deci triunghiul este echilateral. b)( ) | |2 2412 2) )( ( b a c bc b aac b ab p a p = |.|

\|+ +|.|

\|+ += expresia are valoarea maxim dac i numai dacb a = , triunghiul este isoscel. 3.a)S se demonstreze c dintre toate dreptunghiurile cu acelai perimetru, ptratul are aria maxim, b) S se demonstreze c dintre toate dreptunghiurile cu aceeai arie, ptratul are perimetrul minim, c) S se demonstreze c dintre toate paralelipipedele dreptunghice cu lungimea diagonalei constant, cubul are aria total maxim, Fie a lungimea ipotenuzei unui triunghi dreptunghic, iar S aria sa. S se demonstreze c dac Sas2, atunci triunghiul este isoscel. 25 Soluie: a)Fie a, b lungimile laturilor dreptunghiului i S aria sa. Avem=+s2b aab constant. 22|.|

\| +s =b aab S . Se obine 2max2|.|

\| +=b aSpentrub a = , dreptunghiul este ptrat. b) ab b a P 4 2 2 > + = S 4 = - constant, perimetrul este minim pentrub a = , dreptunghiul este ptrat. c) Fie a, b, c lungimile muchiilor paralelipipedului. Avem 2 2 2 2c b a d + + = . ) ( 2 ca bc ab At+ + = .Obinem 22d At s =constant. 2max2d At= .pentruc b a = = , paralelipipedul este cub. d) Fie b, c lungimile catetelor triunghiului.Sas2 s + s bc c b S a 2 42 2 2 0 ) (2s c b,c b =, triunghiul este isoscel. 26 11. Aplicaii ale inegalitii mediilor n deter mi nar ea maxi muluisau mi ni muluiuneiexpr esi ialgebr i ce 1. Numerele0 , > y xsatisfac relaia4 = + y xS se determine minimul i maximul expresiei y x1 1+,dac acestea exist. Soluie: Din11 1221 12> + =+s+ sy xy xy xm ma h , cu egalitate pentru2 = = y xRezultcexistminim,ianume11 1min =||.|

\|+y x,darnuexistmaximdeoarecesuma y x1 1+poate fi orict de mare, pentru x sau y foarte mic. 2. Aflai valoarea minim a expresiei: E(x)= e+ + +xxx x,2 320 12 92R+ Soluie: E(x)=2 3162 32 316 ) 2 3 (2++ + =+ + +xxxx Din82 3162 32 316) 2 3 (22 3162 3>++ + + + >++ + >xxxxxxm mg a Deci E(x) min 8 > E(x)=8. 27 12. Aplicaii ale inegaliti imedi i lorn fizic 1.Doumobileparcurgacelaidrum,primulcuvitezconstantv,celde-aldoilea parcurgnd2poriuniegalecuvitezelev1,v2,acrormediearitmeticestev.Caremobil parcurge drumul mai repede? Soluie: Notm distana cu D=2d, iar timpii de parcurgere cu t1(pentru primul mobil) i t2 (pentru al doilea mobil), 2 1 2 11422v vdv vdvDt+ =+= = , ||.|

\|+ = + =2 1 2 121 1v vdvdvdt Aplicm inegalitatea a hm m spentru v1 i v2i obinem: 21 122 12 1v vv v+s+ 2 12 1 2 1 2 1 2 11 1 4 1 1 4t tv vdv vdv v v vs ||.|

\|+ s+ + s+ n concluzie, mobilul care merge cu vitez constant ajunge la destinaie n cel mai scurt timp. 28 BIBLIOGRAFIE SELECTIV [1].M.Becheanu,B.EnescuInegalitielementareimaipuinelementare, Editura Gil. [2]. Buneag D. , Leonte A., Vladimirescu, I. Culegere de probleme pentru admiterea n nvmntul superior i perfecionarea profesorilor de matematic din nvmntul preuniversitar, Editura Sitech, Craiova, 1993. [3].CristescuGh.Dne,R-Matematic-aritmeticialgebr;manualopional pentru clasele V-VIII. [4]. Probleme de matematic traduse din revista KVANT Bucureti, 1983 ; [5].ColeciaGazeta Matematic- 1971-2005.