47019031 Structuri Algebrice Si Aplicatii

download 47019031 Structuri Algebrice Si Aplicatii

of 150

  • date post

    31-Dec-2014
  • Category

    Documents

  • view

    67
  • download

    10

Embed Size (px)

Transcript of 47019031 Structuri Algebrice Si Aplicatii

Aurelian Claudiu VOLF

Structuri algebrice i aplicaii

Universitatea Al. I Cuza Iai2004(ultima modificare: 22 februarie 2007 )

CuprinsCuprins ................................................................................................................................. 2 Ctre cititor .......................................................................................................................... 4 Prefa .................................................................................................................................. 5 I. Logic, mulimi, axiome .................................................................................................. 8I.1. Limbaj formal, logic ............................................................................................................ 10 I.2. Axiomatica mulimilor .......................................................................................................... 15 I.3. Clase, relaii, funcii .............................................................................................................. 18 I.4. Ordinale, axioma infinitii i mulimea numerelor naturale................................................. 27 I.5. Comentarii i completri privind axiomatica mulimilor ...................................................... 36 Exerciii........................................................................................................................................ 40

II. Mulimi factor i construcii de structuri numerice fundamentale ......................... 42II.1. Relaii de echivalen i mulimi factor................................................................................ 42 II.2. Inelul numerelor ntregi........................................................................................................ 44 II.3. Corpul numerelor raionale. Inele i corpuri de fracii ......................................................... 46 Exerciii........................................................................................................................................ 51 II.4. Inele de clase de resturi Zn, inele factor ............................................................................... 52 II.5. Corpul numerelor reale......................................................................................................... 59 Exerciii........................................................................................................................................ 66

III. Polinoame, corpul complex i extinderi de corpuri ................................................. 68III.1 Algebre. Algebre monoidale i algebre polinomiale ........................................................... 69

3III.2 Corpul numerelor complexe construit ca inel factor............................................................ 78 III.3 Corpuri finite i criptografie ................................................................................................ 85 Exerciii........................................................................................................................................ 90 III.4 Polinoame simetrice............................................................................................................. 91

IV. Aritmetic n inele i aplicaii .................................................................................... 96IV.1 Divizibilitate ........................................................................................................................ 96 IV.2 Algoritmul lui Euclid, teorema fundamental a aritmeticii ............................................... 101 IV.3 Ireductibilitate n inele polinomiale................................................................................... 108 Exerciii...................................................................................................................................... 115

V. Spaii liniare, matrice i aplicaii............................................................................... 120V.1 Algebre de matrice .............................................................................................................. 120 V.2 Coduri liniare corectoare de erori ....................................................................................... 122 Exerciii...................................................................................................................................... 134

VI. Aciuni ale grupurilor............................................................................................... 136VI.1. Aciuni ale grupurilor pe mulimi ..................................................................................... 136 Exerciii...................................................................................................................................... 142

Index ................................................................................................................................. 143 Bibliografie....................................................................................................................... 148

Ctre cititorAcest curs poate fi citit de un absolvent al anului I al Facultii de Matematic. Snt presupuse cunoscute: noiuni generale despre structuri algebrice (monoid, grup, inel, corp), construcia grupului factor, a inelului factor, noiuni de baz despre spaii vectoriale, matrice, polinoame, noiuni elementare despre grupurile de permutri, aritmetica elementar a cardinalelor. Exist un numr relativ mare de cri i cursuri n literatura matematic romneasc n care se trateaz aceste lucruri. Unele direcii de aprofundare snt indicate prin referine bibliografice. Parcurgerea unui text matematic este un proces activ prin excelen. n primul rnd, toate definiiile nou introduse trebuie sa capete rapid un suport intuitiv i s fie legate de noiunile deja cunoscute prin cutarea de exemple (i contraexemple) de obiecte care s satisfac definiiile. n plus, cititorul trebuie s verifice pe cazuri concrete i s demonstreze afirmaiile din text. n particular, toate apariiile unor fraze de tipul se verific uor c , evident, , snt o invitaie la demonstrarea efectiv a afirmaiilor respective. Aceste exerciii intelectuale snt un pas indispensabil spre asimilarea conceptelor i tehnicilor introduse i, totodat, o verificare a nelegerii de ctre cititor a textului. Paragrafele care au o bar la stnga snt foarte importante pentru nelegerea textului. Dac merit reinut doar o singur fraz dintr-o anumit seciune, aceasta ar trebui s fie fraza marcat n acest mod. Peste tot, n text: - | A | desemneaz cardinalul mulimii A (numrul elementelor lui A, dac A este finit). - x := y nseamn x este egal prin definiie cu y (unde y este deja definit) sau notm pe y cu x. - marcheaz sfritul sau absena unei demonstraii.

4

PrefaMatematica are o reputaie de disciplin arid, abstract, greu de asimilat, cu aplicabilitate restrns. De multe ori, cei care o studiaz de voie sau de nevoie (i) pun ntrebri de genul la ce folosesc toate aceste definiii, notaii, axiome, teoreme, ?. Dintre ramurile matematicii, algebra exceleaz n aceast direcie, n special algebra abstract (sau axiomatic, sau nc modern), care se ocup de structurile algebrice. De unde provine aceast reputaie? Convingerea noastr este c ea se formeaz din experiena contactelor cu algebra din cursul gimnaziului i liceului. Adesea, nsui profesorul de matematic nu este foarte convins de utilitatea studiului anumitor noiuni i, n consecin, transmite elevilor doar o imagine formal i seac, din care motivaiile, exemplele i aplicaiile snt neglijate sau absente cu totul (uneori este de vin volumul mare de cunotine ce trebuie predat). Doar o cunoatere aprofundat a conceptelor, care nu are cum s fie cantonat la nivelul unui manual de liceu, poate duce la conceperea unor lecii atractive, n care noiunile nu snt introduse n mod artificial, ci snt nsoite permanent de exemple i aplicaii. Unul din scopurile rndurilor ce urmeaz este de a aduce argumente n sprijinul ideii c structurile algebrice, departe de a fi creaii teoretice i auto-suficiente, au aprut n mod natural, au un rol determinant n fundamentarea, simplificarea i unificarea matematicii i au aplicaii consistente n practic i n matematica nsi. Un alt scop al lucrrii este de a oferi profesorilor de matematic un material care s arate c algebra este apropiat de realitate i s i conving de frumuseea i aplicabilitatea ei. De aceea, s-a avut n vedere i latura didactic, punndu-se accentul pe noiunile care au legtur direct cu matematica studiat n nvmntul preuniversitar. Lucrarea se adreseaz studenilor Facultilor de Matematic, profesorilor de matematic i, n general, oricrui cititor interesat de algebr. Titlul acestei lucrri face referire la Algebr. Ce este ns algebra? ncercm s dm un rspuns la aceast ntrebare, dup o argumentaie a lui I.R. Shafarevich (KOSTRIKIN, SHAFAREVICH [1990]), care reia o idee a lui Hermann Weyl 1.1

Matematician german (1885-1955).

5

6

Prefa

n procesul de cunoatere a lumii fizice snt eseniale procedee de msurare i de structurare, care permit ca impresiile subiective ale indivizilor umani s fie traduse n entiti obiective, cel mai adesea n numere. Aceste entiti, cu toate c nu redau integral experiena subiectiv, pot fi pstrate i transmise nealterate. Mai mult, cu rezultatele msurtorilor se pot face diverse operaii (mai general, se pot structura), n scopul extragerii de noi informaii, de a face predicii etc. Spre exemplu, structura matematic N a numerelor naturale este adecvat msurrii mrimii mulimilor finite (fcnd abstracie de natura elementelor lor). Numerele raionale2 au fost construite din motive evidente de msurare a diverselor mrimi fracionare, dar s-au dovedit incapabile de a msura obiecte geometrice simple, cum este diagonala unui ptrat de latur 1. Astfel a aprut necesitatea construcie