Logica fuzzy si aplicatii 3

download Logica fuzzy si aplicatii 3

of 48

Transcript of Logica fuzzy si aplicatii 3

  • 7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii 3

    1/48

    Extensii. Principiul extensieiCapitolul 3

    Doru Todinca

    Departamentul CalculatoareUPT

    http://find/http://goback/
  • 7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii 3

    2/48

    Cuprins

    Extensii ale multimilor fuzzy si ale operatiilor cu multimi fuzzyExtensii ale multimilor fuzzyExtensii ale operatiilor cu multimi fuzzyCriterii de alegere a operatorilor

    Principiul extensieiIntroducerePrincipiul extensiei

    Aplicatii ale principiului extensieiOperatii cu multimi fuzzy de ordinul 2

    http://find/http://goback/
  • 7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii 3

    3/48

    Cuprins

    Extensii ale multimilor fuzzy si ale operatiilor cu multimi fuzzyExtensii ale multimilor fuzzyExtensii ale operatiilor cu multimi fuzzyCriterii de alegere a operatorilor

    Principiul extensieiIntroducerePrincipiul extensiei

    Aplicatii ale principiului extensieiOperatii cu multimi fuzzy de ordinul 2

    http://find/http://goback/
  • 7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii 3

    4/48

    Cuprins

    Extensii ale multimilor fuzzy si ale operatiilor cu multimi fuzzyExtensii ale multimilor fuzzyExtensii ale operatiilor cu multimi fuzzyCriterii de alegere a operatorilor

    Principiul extensieiIntroducerePrincipiul extensiei

    Aplicatii ale principiului extensieiOperatii cu multimi fuzzy de ordinul 2

    http://find/
  • 7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii 3

    5/48

    Extensii ale MF. MF de ordinul m

    1. Multimi fuzzy de ordinul m, cu m2 Definitia prezentata in capitolul anterior pentru multimi fuzzy

    se refera la multimi fuzzy de ordinul 1 Definitie: se defineste o MF de ordinul 2 ca fiind o multime

    fuzzy a carei functie de apartenenta este o multimie fuzzy de

    ordinul 1. Definitie: similar se defineste o multime fuzzy de ordinul m,

    m2, ca fiind o multime fuzzy a carei functie de apartenentaeste o multime fuzzy de ordinul m 1.

    In practica nu se folosesc MF de ordin mai mare decit 2 sau 3.

    Operatiile cu MF de ordin mai mare sau egal cu 2 se pot definifolosind principiul extensiei. Chiar si pt MF de ordinul 2, operatiile de reuniune, intersectie,

    complement, etc, implica foarte multe calcule

    http://find/
  • 7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii 3

    6/48

    Extensii ale MF

    2. L-fuzzy sets: multimi fuzzy la care intervalul de numere reale[0, 1] este extins la o multime L numita POS (partially

    ordered set) -multime partial ordonata: intervalul [0, 1] este o multime partial ordonata

    3. B-fuzzy sets: similar cu L-fuzzy sets, dar B este o algebraBoole

    4. MF probabilistice (Probabilistic sets (Hirota))

    Sunt MF avind functia de apartenenta A(x, ) Pentru un x fixat se obtine o variabila aleatoare, avind valoare

    medie si dispersie Valoarea medie a multimii fuzzy probabilistice este o multime

    fuzzy obisnuita Combinatia dintre probabilitati si fuzzy poate fi folosita de

    exemplu pt calculul fiabilitatii unor sisteme foarte complexe(gen instalatii nucleare, in aviatie, etc)

    MF modeleaza mai bine comportamentul uman (de ex aparitiade erori umane in operarea sistemului complex), iar

    probabilitatile modeleaza defectarea echipamentelor

    http://find/
  • 7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii 3

    7/48

    Extensii ale MF: IFS Intuitionistic Fuzzy Sets

    5. Se defineste o multime fuzzy intuitionistica (IFS) in universuldiscursului X ca fiind tripletul:

    A= {(x, A(x), A(x))|xX}

    A(x), A(x) :X [0, 1], 0 A(x) + A(x)1

    A(x) se numeste gradul de apartenenta a lui x laA

    A(x) se numeste gradul de neapartenenta a lui x laA

    Pentru multimi fuzzy clasice are loc A(x) = 1 A(x) Similar cu MF clasice, si IFS pot fi extinse la L IFS sau

    B IFS !! IFS au fost propuse de cercetatorii Atanasov si Stoeva Pentru IFS se pot defini operatiile de reuniune, intersectie si

    complement

    http://find/http://goback/
  • 7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii 3

    8/48

    Operatii cu MF intuitionistice

    Prezentam operatiile cu IFS dupa [Ata86], [DBR01]

    1. A B iff ()xX are loc A

    (x)B

    (x) si A

    (x) B

    (x)

    2. A= B iffA B si B A.Echivalent A= B iff ()xX are loc

    A(x) =

    B(x) si

    A(x) = B(x)

    3. A= {(x, A

    (x), A

    (x))|xX}

    4. A B={(x, max{A(x), B(x)}, min{A(x), B(x)})|xX}

    5. A B={(x, min{A(x), B(x)}, max{A(x), B(x)})|xX}

    6. A+B={(x, A(x) + B(x) A(x) B(x), A(x) B(x))|xX}

    7. AB={(x, A(x)B(x), A(x)+B(x)A(x)B(x))|xX}

    http://find/
  • 7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii 3

    9/48

    Cuprins

    Extensii ale multimilor fuzzy si ale operatiilor cu multimi fuzzyExtensii ale multimilor fuzzyExtensii ale operatiilor cu multimi fuzzyCriterii de alegere a operatorilor

    Principiul extensieiIntroducerePrincipiul extensiei

    Aplicatii ale principiului extensieiOperatii cu multimi fuzzy de ordinul 2

    http://find/
  • 7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii 3

    10/48

    Extensii ale operatiilor cu multimi fuzzy

    1. Produs cartezian: Fiind date multimile fuzzy A1, . . . ,An inuniversurile discursuluiX1, . . . , Xn, produsul cartezian al

    acestor multimi fuzzy este o multime fuzzy in spatiul produsX1 . . . Xn avand functia de apartenenta

    A1...An(x) =mini[Ai(xi)]

    , unde x= (x1, . . . , xn), xi Xi Exemplu de produs cartezian pentru n= 2

    2. Puterea a m-a a unei mutlimi fuzzyA: in universul discursuluiXeste multimea fuzzy avind functia de apartenenta

    Am(x) = [A(x)]m

    , unde xX

    3. Operatiile de intersectie si reuniune fuzzy sunt extinse de catre

    t-normesi s-norme, numite si t-conorme.

    http://find/
  • 7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii 3

    11/48

    t-norme: definitii

    DefinitionOt-norma este o functie de doua variabile t : [0, 1] [0, 1][0, 1]avind proprietatile:

    1. t(0, 0) = 0,t(1, A(x)) =t(A(x), 1) = A(x), () xX, adica

    () A(x)[0, 1]2. monotonie:

    t(A(x), B(x))t(C(x), D(x))daca

    A(x)

    C(x) si

    B(x)

    D(x)

    3. comutativitate:t(

    A(x),

    B(x)) =t(

    B(x),

    A(x))

    4. asociativitate:t(A(x), t(B(x), C(x))) =t(t(A(x), B(x)), C(x))

    http://find/
  • 7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii 3

    12/48

    s-norme: definitii

    DefinitionOs-norma (t-conorma) este o functie de doua variabiles : [0, 1] [0, 1][0, 1] avind proprietatile:

    1. s(1, 1) = 1,s(0, A(x)) =s(A(x), 0) = A(x), () xX, adica

    () A(x)[0, 1]2. monotonie:

    s(A(x), B(x))s(C(x), D(x))daca

    A(x)

    C(x) si

    B(x)

    D(x)

    3. comutativitate:s(

    A(x),

    B(x)) =s(

    B(x),

    A(x))

    4. asociativitate:s(A(x), s(B(x), C(x))) =s(s(A(x), B(x)), C(x))

    http://find/
  • 7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii 3

    13/48

    s-norme si t-norme

    Relatia dintre t-norme si s-norme respecta legile lui De

    Morgan, adica A B=A B:

    t(A(x), B(x)) = 1 s(1 A(x), 1 B(x)) Pe baza acestei relatii se poate genera o t-norma pornind de

    la o s-norma si reciproc

    Vom da citeva exemple de perechi de t-norme si s-norme

    http://find/
  • 7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii 3

    14/48

    Perechi de t-norme si s-norme

    1. Produs drastic, suma drastica:

    tw(1(x), 2(x)) =

    1(x) daca 2(x) = 1

    2(x) daca 1(x) = 1

    0, daca 0 1(x), 2(x)

  • 7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii 3

    15/48

    Perechi de t-norme si s-norme

    2. diferenta si suma marginite (bounded difference, bounded

    sum):t1(1(x), 2(x)) = max{0, 1(x) + 2(x) 1}s1(1(x), 2(x)) = min{1, 1(x) + 2(x)}

    3. produs si suma Einstein (Einstein product, Einstein sum):

    t1.5(1(x), 2(x)) = 1(x) 2(x)

    2 [1(x) + 2(x) 1(x) 2(x)]

    s1.5(1(x), 2(x)) = 1(x) + 2(x)

    1 +

    1(x)

    2(x)4. produs si suma algebrice (algebraic product and sum):

    t2(1(x), 2(x)) = 1(x) 2(x)s2(1(x), 2(x)) = 1(x) + 2(x) 1(x) 2(x)

    http://goforward/http://find/http://goback/
  • 7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii 3

    16/48

    Perechi de t-norme si s-norme

    5. produs si suma Hamacher (Hamacher product and sum):

    t2.5(1(x), 2(x)) =

    1(x)2(x)

    1(x)+2(x)1(x)2(x), daca 1, 2= 0

    0, daca 1= 2 = 0

    s2.5(1(x), 2(x)) =

    1(x)+2(x)21(x)2(x)

    11(x)2(x) , daca 1, 2= 1

    1, daca 1= 2 = 1

    6. minim si maxim:

    t3(1(x), 2(x)) = min{1(x), 2(x)}s3(1(x), 2(x)) = max{1(x), 2(x)}

    http://find/
  • 7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii 3

    17/48

    t-norme si s-normeIntre operatorii prezentati exista urmatoarea ordonare:

    tw t1t1.5t2t2.5t3

    s3s2.5s2s1.5s1sw

    Mai general, Dubois si Prade au aratat ca orice t-norma estemarginita inferior de produsul drastic si superior de minim si orice

    s-norma este marginita inferior de maxim si superior de sumadrastica.

    Adica, pentru orice t-norma tsi orice s-norma sau loc relatiile:

    tw(A(x), B(x))t(A(x), B(x))min{A(x), B(x)}, xX

    max{

    A

    (x), B

    (x)}

    s(A

    (x), B

    (x))

    sw

    (A

    (x), B

    (x)), x

    X

    O

    http://find/
  • 7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii 3

    18/48

    Operatori parametrizati de intersectie si reuniune: propusi

    de Hamacher

    Hamacher a propus urmatorii operatori pentru intersectie sireuniune:

    AB(x) =

    A

    (x) B

    (x)

    + (1 ) (A(x) + B(x) A(x) B(x))

    , 0

    AB(x) =( 1) A(x) B(x) + A(x) + B(x)

    1 + A(x) B(x) ,

    1

    Pentru = 0 si =1 se obtin produsul si suma Hamacher,iar pentru = 1 si = 0 se obtin produsul si suma algebrica

    Operatorii lui Hamacher satisfac un sistem de axiome usordiferit de axiomele lui Bellman si Giertz

    O i i i d i i i i i

    http://find/
  • 7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii 3

    19/48

    Operatori parametrizati de intersectie si reuniune: propusi

    de Yager

    Yager a propus urmatorii operatori cu parametru pentruintersectia si reuniunea a doua MF:

    AB(x) = 1min{1, [(1A(x))p+(1B(x))

    p]1/p}, p1

    AB(x) = min{1, [(A(x))p

    + (B(x))p

    ]1/p

    }, p1 Pentru p= 1 se obtin diferenta si suma marginite (bounded),

    iar pentru p , operatorii lui Yager tind la minimum sirespectivmaximum

    Operatorii lui Yager satisfac legile lui De Morgan, suntcomutativi si asociativi pentru toate valorile lui p, momotonnedescrescatori in (x) si includ cazurile clasice din logicaduala (clasica)

    Cei doi operatori ai lui Yager nu sunt distributivi

    O i bi i ( i )

    http://find/
  • 7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii 3

    20/48

    Operatori combinati (averaging operators)

    In teoria luarii deciziilor (decision makingsau multi-criteria

    decision theory) se doreste de multe ori sa se realizezecompromisuri intre obiective contradictorii (conflicting goals)

    Astfel, solutia obtinuta se situaeaza intre cea mai optimista(lower bound) si cea mai pesimista (upper bound) valoare

    Acesti operatori se numesc averaging operators(operatoricombinati sau mediati)

    Exemple de astfel de operatori: fuzzy and si fuzzy or,definiti astfel:and

    (A(x), B(x)) =

    min{A(x), B(x)} + (1)(A(x)+B(x))

    2 , xX, [0, 1] or(A(x), B(x)) =

    max{A(x), B(x)} + (1)(

    A(x)+

    B(x))

    2 , xX, [0, 1]

    O t i bi ti ( i t )

    http://find/
  • 7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii 3

    21/48

    Operatori combinati (averaging operators)

    Operatorii fuzzy and si fuzzy or combina minimul,

    respectiv maximul, cu media aritmetica Astfel se realizeaza compensarea valorilor functiilor de

    apartenenta pt multimi agregate

    Zimmermann afirma ca acesti operatori dau rezultate bune

    pentru anumite aplicatii (cu date empirice) ([Zim91], p 36) Exista si alti operatori combinati (avergaing operators) !

    Zimmermann a propus si un averaging operator parametrizat,numit compensatory and, pentru m multimi fuzzy:

    Ai,comp= (

    mi=1

    i(x))(1) (1

    mi=1

    (1 i(x)))

    , xX, 0 1

    O t i bi ti ( i t )

    http://find/
  • 7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii 3

    22/48

    Operatori combinati (averaging operators)

    Se poate realiza agregarea a doua MF, A si Bprintr-o

    combinatie convexa de minim si maxim:1(A(x), B(x)) =

    min{A(x), B(x)} + (1 ) max{A(x), B(x)},[0, 1]

    In loc de min ai max se pot folosi produs algebric si sumaalgebrica

    Zimmermann si Zysno sustin ca operatorul compensatoryand e mai potrivit decit alti operatori de acest gen inprobleme ce implica luarea deciziilor de catre oameni (human

    decision making,[Zim91], p38)

    Se pune atunci intrebarea: ce operatori sa utilizam ?

    Prezentam criterii de alegere a operatorilor

    C i s

    http://find/
  • 7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii 3

    23/48

    Cuprins

    Extensii ale multimilor fuzzy si ale operatiilor cu multimi fuzzyExtensii ale multimilor fuzzyExtensii ale operatiilor cu multimi fuzzyCriterii de alegere a operatorilor

    Principiul extensieiIntroducerePrincipiul extensiei

    Aplicatii ale principiului extensieiOperatii cu multimi fuzzy de ordinul 2

    Criterii de alegere a operatorilor

    http://find/
  • 7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii 3

    24/48

    Criterii de alegere a operatorilor

    1. Putere axiomatica: daca toate celelalte caracteristici sunt la

    fel, se prefera operatorul care satisface setul de axiome cel maiputin limitativ

    2. Potrivire empirica: e important ca operatorii alesi sa sepotriveasca domeniului unde sunt utilizati. Acest lucru sepoate verifica doar prin teste empirice.

    3. Adaptabilitatea: daca se doreste ca un numar mic de operatorisa poata fi utilizati in domenii sau circumstante diferite,atunci se recomanda utilizarea operatorilor parametrizati(Yager, Hamacher). Evident, acesti operatori nu sunt eficienti

    dpdv computational (ei necesita de obicei calcule complexe)4. Eficienta computationala: e evident ca operatorii maxsi min

    implica mult mai putine calcule decit operatorii parametrizati.Ei vor fi preferati daca se doreste o efiicenta de calcul ridicata.

    Criterii de alegere a operatorilor

    http://find/
  • 7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii 3

    25/48

    Criterii de alegere a operatorilor

    5. Compensare: Compensarea se defineste astfel:

    fiind datk[0, 1], daca t(A(x), B(x)) =k, operatorul tare proprietatea de compensare daca modificind A(x), sepoate obtine t(A(xk), B(xk)) =kpentru alt B(x).

    Exemplu:Daca

    A

    = 0.2 si B

    = 0.3, daca operatorul teste min, obtinemt(

    A(x),

    B(x)) = min(0.2, 0.3) = 0.2 (deci k= 0.2)

    Daca facem A

    = 0.1, indiferent cit ar fi B

    (x), nu putem obtinemin(

    A(x),

    B(x)) = 0.2 deoarece min(0.1,

    B(x))0.1, deci

    operatorul min nu are proprietatea de compensare.

    Daca operatorul teste produsul algebric, atunci obtinem:0.2 0.3 = 0.06, deci k= 0.06 si daca facem A(x) = 0.1, avem0.1 B(x) = 0.06 = B(x) =

    0.060.1 = 0.6, deci operatorul

    produs algebric are proprietatea de compensare.

    Criterii de alegere a operatorilor

    http://find/
  • 7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii 3

    26/48

    Criterii de alegere a operatorilor

    In general, daca avem o problema la care constringerile detimp sunt importante, primeaza criteriul eficienteicomputationale, deoarece dorim sa avem rezultatul operatiilorfuzzy in timp real.

    Daca, in schimb, rezolvam o problema complexa, de genul

    unui sistem expert pentru diagnostic medical, atunci fineteaoperatorului e mai importanta decit obtinerea rapida arezultatului.

    Mai pot fi luate in considerare si alte criterii, in afara de cele

    enumerate mai inainte, de ex potrivire tehnologica: dacaoperatiile fuzzy se implementeaza in hardware, anumitioperatori pot fi mai usor implementati in anumite tehnologii.

    Cuprins

    http://find/
  • 7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii 3

    27/48

    Cuprins

    Extensii ale multimilor fuzzy si ale operatiilor cu multimi fuzzyExtensii ale multimilor fuzzyExtensii ale operatiilor cu multimi fuzzyCriterii de alegere a operatorilor

    Principiul extensieiIntroducerePrincipiul extensiei

    Aplicatii ale principiului extensieiOperatii cu multimi fuzzy de ordinul 2

    Cuprins

    http://goforward/http://find/http://goback/
  • 7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii 3

    28/48

    Cuprins

    Extensii ale multimilor fuzzy si ale operatiilor cu multimi fuzzyExtensii ale multimilor fuzzyExtensii ale operatiilor cu multimi fuzzyCriterii de alegere a operatorilor

    Principiul extensieiIntroducerePrincipiul extensiei

    Aplicatii ale principiului extensieiOperatii cu multimi fuzzy de ordinul 2

    Importanta principiului extensiei

    http://find/
  • 7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii 3

    29/48

    Importanta principiului extensiei

    In forma sa generala a fost formulat de Zadeh in 1973

    Are o importanta deosebita deoarece permite ca diferite teoriisau domenii matematice si ne-matematice sa fie extinse prin

    logica fuzzy (fuzzificate) Astfel, exista numere fuzzy, aritmetica fuzzy, analiza

    matematica fuzzy, dar si coduri fuzzy, automate fuzzy,bistabile fuzzy, etc

    Functii

    http://find/
  • 7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii 3

    30/48

    Functii

    Reamintim ca o functie feste o aplicatief :X Y careasociaza fiecarui xXun unic yY.

    Adica, ()xX () un unic yY astfel incit y=f(x),numit imaginea lui xprin functia f.

    Aceasta inseamna ca:

    1. Nici un xXnu are doua sau mai multe imagini, de exempluy1 si y2

    2. Nici un x din Xnu are 0 (zero) imagini prin functia f.

    DESEN !!!!

    Functii

    http://find/
  • 7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii 3

    31/48

    Functii O functie este injectiva, daca () x1, x2X cu x1=x2, are

    loc f(x1)=f(x2) (fiecare y din Yeste imaginea cel mult a

    unui x din X) O functie este surjectiva, daca ()yY ()xX astfel incit

    y=f(x) (fiecare y din Yeste imaginea cel putin a unuix dinX)

    O functie este bijectiva daca si numai daca ea este atita

    injectiva, cit si surjectiva (fiecare y din Y este imaginea unuisingur x din X)

    Cu alte cuvinte, fiecarui x din X ii corespunde un unic y dinY, sau intre multimile X si Y se poate stabili ocorespondenta unu la unu.

    O functie este inversabila dsnd ea este este bijectiva. Inversa unei functii f se noteaza cu f1: f1 :Y X astfel

    incit x=f1(y) In cele ce urmeaza vom face un abuz de notatie, adica vom

    nota x=f1(y) chiar daca functia f nuesteinversabila.

    Cuprins

    http://find/
  • 7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii 3

    32/48

    Cuprins

    Extensii ale multimilor fuzzy si ale operatiilor cu multimi fuzzyExtensii ale multimilor fuzzyExtensii ale operatiilor cu multimi fuzzyCriterii de alegere a operatorilor

    Principiul extensieiIntroducerePrincipiul extensiei

    Aplicatii ale principiului extensieiOperatii cu multimi fuzzy de ordinul 2

    Principiul extensiei in forma restrinsa

    http://find/
  • 7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii 3

    33/48

    p

    Definitie: Fie X, Y, universuri ale discursului, AX o multimefuzzy in X si fie o functie f :X Y astfel incit y=f(x).Principiul extensiei permite definirea unei multimi fuzzy BY,B={(y,

    B

    (y)) | y=f(x), xX} astfel:

    B(x) =

    supxf1(y)

    A(x), daca () f1(y)

    0, in caz contrar

    Explicatii

    http://find/
  • 7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii 3

    34/48

    p

    Daca avem o multime fuzzy AX si o functie f :X Y,

    principiul extensiei ne spune cum se determina multimea fuzzyBYcare este imaginea multimii A prin functia f. Aparurmatoarele situatii:

    Daca un element yY este imaginea unui singurelementxX, atunci e normal sa consideram B(y) = A(x)

    Daca un element yY nu este imaginea niciunuielementxX, atunci e normal sa consideram ca B(y) = 0

    Daca un element yYeste imaginea mai multor elementxX (de exemplu xi, xj, . . . , xk), atunci gradul de

    apartenenta al lui y la Bva fi valoarea maxima a gradelor deapartenenta ale elementelor xi, xj, . . . , xk la A

    In formula, prin xf1(y) se noteaza acele elemente x din X acaror imagine prin functia f este y din Y, adica y=f(x).

    Principiul extensiei in forma generala

    http://find/
  • 7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii 3

    35/48

    p g

    Definitie: Fie X =X1 X2 . . . Xn produsul cartezian al

    universurilor discursuluiXi, i= 1, . . . , n, fie AiXimultimi fuzzysi fie o functief :X Yastfel incity=f(x1, x2, . . . , xn),xi Xi,i= 1, . . . , n, iar Yeste de asemenea un univers al discutsului.Principiul extensiei permite definirea unei multimi fuzzy BY,B={(y,

    B

    (y)) | y=f(x1, x2, . . . , xn), (x1, x2, . . . , xn)X}astfel:

    B

    (x) = sup

    xf1(y)

    min(A1 (x1), . . . , An(xn)), daca () f1(y)

    0, daca nu existaf1(y)

    unde x= (x1, x2, . . . , xn)

    Explicatii

    http://find/
  • 7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii 3

    36/48

    p

    In forma generala, universul discursului Xeste produsulcartezian al universurilor discursului X1, X2, . . . Xn, iarmultimea fuzzy A este produsul cartezian al multimilor fuzzyA

    1,A

    2, . . . ,A

    n, adica A=A

    1A

    2 . . . A

    n Conform formulei produsului cartezian, rezulta ca

    A(x) = min(A1 (x1), . . . , An(xn)), unde x= (x1, x2, . . . , xn)

    Evident, principiul extensiei in forma restrinsa se obtine dinforma generala pentru n= 1.

    Cuprins

    http://find/
  • 7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii 3

    37/48

    Extensii ale multimilor fuzzy si ale operatiilor cu multimi fuzzyExtensii ale multimilor fuzzyExtensii ale operatiilor cu multimi fuzzyCriterii de alegere a operatorilor

    Principiul extensieiIntroducerePrincipiul extensiei

    Aplicatii ale principiului extensieiOperatii cu multimi fuzzy de ordinul 2

    Aplicatii ale principiului extensiei in forma restrinsa

    http://find/
  • 7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii 3

    38/48

    Fie X =Y = Z, multimea numerelor intregi, fie A Z,A={(2, 0.3), (1, 0.5), (0, 0.8), (1, 1), (2, 0.7), (3, 0.1)} si fie

    functia f : Z Z, f(x) =x2. Se cere multimea fuzzy B Z cuB=f(A) (adica Beste imaginea multimii A prin functia f).

    B(0) = A(0) = 0.8 si B(9) = A(3) = 0.1

    B(1) = supxf1(1)(A(x)) = sup(A(1), A(1))

    = sup(0.5, 1) = 1

    B(4) = supxf1(4)(A(x)) = sup(A(2), A(2))

    = sup(0.3, 0.7) = 0.7

    Daca luam in considerare ca apartinind multimii B toatenumerele intregi intre 0 si 9, atunci avem:

    B

    (2) = B

    (3)= B(5) = B(6) = B(7) = B(8) = 0 deoarece 2, 3, 5, 6, 7

    si 8 nu sunt imaginea niciunui element din A prin functia f.

    Deci, B={(0, 0.8)(1, 1), (2, 0), (3, 0), (4, 0.7), (5, 0),(6, 0), (7, 0), (8, 0), (9, 0.1)}

    Aplicatii ale principiului extensiei: adunarea a doua numere

    http://find/
  • 7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii 3

    39/48

    fuzzy discreteFie X1 =X2 =Y = Z si fie multimile fuzzy A1X1 aproximativ 2

    si A2X2 aproximativ 6date de:A1 ={(1, 0.2), (2, 1), (3, 0.5), (4, 0.1)},

    A2 ={(5, 0.2), (6, 1), (7, 0.5), (8, 0.1)}.Se cere multimea fuzzy BY data de B=A1 A2, undesimbolulreprezinta adunarea numerelor fuzzy, care este definita

    astfel:B(y) = sup

    y=x1+x2(min(A1 (x1), A2 (x2)))

    Raspuns:B={(6, 0.2), (7, 0.2), (8, 1), (9, 0.5), (10, 0.5), (11, 0.1), (12, 0.1)}

    Se observa ca se obtine numarul aproximativ 8, asa cum erade asteptat, dar ca latimea sumei (gradul de imprecizie)este mai mare decit gradul de imprecizie al termenilor.

    Despre numere fuzzy in general se va discuta intr-un capitol

    ulterior.

    Adunarea a doua numere fuzzy discrete

    http://find/
  • 7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii 3

    40/48

    Exemplu: calculul lui B(9):

    Pornim de la y=x1+x2 care, pt y= 9, devine: 9 = 1 + 8 9 = 2 + 7 9 = 3 + 6 9 = 4 + 5

    Inlocuind in formula

    B(y) = supy=x1+x2 {min(A1 (x1), A2 (x2))} obtinem:

    B(9) =sup9=x1+x2 {min(A1 (1), A2 (8))), min(A1 (2), A2 (7))),

    min(A1 (3), A2 (6))), min(A1 (4), A2 (5)))}=sup{min(0.2, 0.1), min(1, 0.5), min(0.5, 1), min(0.1, 0.2)}=sup(0.1, 0.5, 0.5, 0.1) = 0.5

    Cuprins

    http://find/
  • 7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii 3

    41/48

    Extensii ale multimilor fuzzy si ale operatiilor cu multimi fuzzyExtensii ale multimilor fuzzyExtensii ale operatiilor cu multimi fuzzyCriterii de alegere a operatorilor

    Principiul extensieiIntroducerePrincipiul extensiei

    Aplicatii ale principiului extensieiOperatii cu multimi fuzzy de ordinul 2

    Operatii cu multimi fuzzy de ordinul 2

    http://find/
  • 7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii 3

    42/48

    Operatiile de reuniune, intersectie si complement pt MF deordinul 2 se pot defini doarfolosind principiul extensiei !

    Vom discuta doar cazul unor MF de ordinul 2 avand domeniidiscrete

    Fie doua multimi fuzzy de ordinul 2 definite prin:A= {(x,

    A(x))} si B={(x,

    B(x))}, unde:

    A

    (x) ={(ui, ui(x)) | xX, ui, ui(x)[0, 1]}

    B(x) ={(vj, vj(x)) | xX, vj, vj(x)[0, 1]}

    Operatii cu multimi fuzzy de ordinul 2: Reuniune

    http://find/
  • 7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii 3

    43/48

    DefinitionPentru multimile fuzzy de ordinul 2 definite anterior, functia deapartenenta a reuniunii lor se defineste astfel:AB(x) = A(x) B(x) =

    ={(w, AB(w)) | w= max{ui, vj}, ui, vj[0, 1]}

    undeAB(w) = sup

    w=max{ui,vj}min{ui(x), vj(x)}

    Operatii cu multimi fuzzy de ordinul 2: Intersectie si

    http://find/
  • 7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii 3

    44/48

    complement

    DefinitionPentru multimile fuzzy de ordinul 2 definite anterior, functia deapartenenta a intersectiei lor se defineste astfel:AB(x) = A(x) B(x) =

    ={(w, AB(w)) | w= min{ui, vj}, ui, vj[0, 1]}

    undeAB(w) = sup

    w=min{ui,vj}min{ui(x), vj(x)}

    DefinitionComplementul lui A se defineste prin:CA(x) ={[(1 ui), A(ui)]}

    Operatii cu multimi fuzzy de ordinul 2: exemplu

    http://find/
  • 7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii 3

    45/48

    Fie X = 1, 2, . . . , 10 universul discursului

    si fie multimle fuzzy A= intregi mici (small integers) si B=intregi apropiati de 4 (integers close to 4) definite prin:

    A= {(x, A(x))},B={(x, B(x))}

    unde, pentru x= 3 avem:A

    (3) ={(ui, ui(3)) | i = 1, . . . , 3}={(.8, 1), (.7, .5), (.6, .4)}B

    (3) ={(vj, vj(3)) |j= 1, . . . , 3} ={(1, 1), (.8, .5), (.7, .3)}

    Sa se calculeze AB(3)

    Operatii cu multimi fuzzy de ordinul 2: exemplu

    http://find/
  • 7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii 3

    46/48

    ui vj w= min{ui, vj} ui(3) vj(3) min{ui(3), vj(3)}

    .8 1 .8 1 1 1

    .8 .8 .8 1 .5 .5

    .8 .7 .7 1 .3 .3.7 1 .7 .5 1 .5

    .7 .8 .7 .5 .5 .5

    .7 .7 .7 .5 .3 .3

    .6 1 .6 .4 1 .4

    .6 .8 .6 .4 .5 .4

    .6 .7 .6 .4 .3 .3

    Tabelul 1 : Exemplu de intersectie de MF de ordinul 2

    Operatii cu multimi fuzzy de ordinul 2: exemplu

    http://find/
  • 7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii 3

    47/48

    Mai departe trebuie sa calculam supremum dintre toate gradele deapartenenta ale tuturor perechilor (ui, vj) care il au pewca minim:

    sup.8=min{ui,vj}

    {1, .5}= 1

    sup.7=min{ui,vj}

    {.3, .5, .5, .3}= .5

    sup.6=min{ui,vj}

    {.4, .4, .3}= .4

    Deci, functia de apartenenta a intersectiei multimilor fuzzy A si B

    pt x= 3 este:

    AB(3) ={(.8, 1), (.7, .5), (.6, .4)}

    Krassimir T Atanassov.Intuitionistic fuzzy sets.

    http://find/
  • 7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii 3

    48/48

    yFuzzy sets and Systems, 20(1):8796, 1986.

    Supriya Kumar De, Ranjit Biswas, and Akhil Ranjan Roy.

    An application of intuitionistic fuzzy sets in medical diagnosis.Fuzzy Sets and Systems, 117(2):209213, 2001.

    H.-J. Zimmermann.Fuzzy Set Theory and Its Applications, Second, Revised

    Edition.Kluwer Academic Publishers, 1991.

    http://find/