IIIsem 2 M.Alexe

8/4/2019 IIIsem 2 M.Alexe

1/131

1

Recapitulare Anul III sem I 2009-20010

ELEMENTE DE REZISTENTA MATERIALELOR

Mecanica clasic, cunoscuti ca mecanica newtonian, este fizica forelor ce acioneaz asupracorpurilor. Este adesea numiti mecanica newtoniandupIsaac Newtoni legile micrii elaborate deel. Mecanica clasic este subdivizat n static, care studiaz obiectele n echilibru, dinamic, carestudiaz

for

ele ce ac

ioneaz

asupra obiectelor n mi

care

i cinematic

, care studiaz

mi

carea

corpurilor, dar fr a pune accent pe cauzele care produc aceste micri.

Rezistena materialelor este una din disciplinele de baz n pregtirea inginerului pentru ca earspunde unor probleme concrete, de mare importan practic, privind sigurana n exploatare aelementelor componente ale mainilor i instalaiilor. Problemele rezistenei materialelor pot fi grupate n2 mari categorii:

- probleme de dimensionare (constau n stabilirea dimensiunilor minime i materialelor din careurmeaz a fi realizate diferite piese astfel nct sub aciunea forelor s se asigure rezistena, rigiditatea istabilirea construciei din care fac parte.)

- probleme de verificare (constau n a determina dac o pies dintr-un anumit material cu

dimensiunile cunoscute respect sau nu, sub aciunea forelor, condiiile de rezisten, stabilitate irigiditate.)

I. ACIUNI I NCRCRI

Aciunile oamenilor i naturii se manifest asupra construciilor prin ncrcri. ncrcrile seconcretizeaz pentru elementele construciei n solicitri care produc eforturi, care la rndul lor se potdescompune n eforturi unitare.

Condiia pentru ca o construcie s rmn ntreag este ca eforturile unitare, rezultate ca urmarea aciunilor, s fie mai mici dect eforturile unitare capabile. Aceast abordare este simplist, dar poate ficonsiderat sugestivi aproape adevrat.

I.1. Aciuni

Se numete aciune orice cauz capabil de a genera ntr-o construcie stri de solicitare mecanic(eforturi i / sau deplasri). Aciunile sunt reprezentate n calcule prin ncrcri n cadrul crora suntdefinite sisteme de forte, deplasri impuse i deformaii mpiedicate.

Aciunile sunt reprezentate n calcule prin ncrcri.

I.1.1. Durata de manifestare a ncrcrii / aciunii;- ncrcri permanente;- ncrcri temporare:

de lung durat (cvasi-permanente);de scurt durat (variabile); zpada, vntul, variaiile de temperatur climatic

- ncrcri excepionale; aciunea seismic cu intensitatea de proiectare (cutremurul "decalcul");

I.1.2. Distribuia n spaiu a ncrcrii / aciunii;- ncrcri concentrate;- ncrcri distribuite.

I.1.3. Dup modul de variaie pe intervale scurte de timp:- ncrcri / aciuni statice: care nu produc acceleraii semnificative ale construciei sau ale

prilor componente; eforturile i deformaiile corespunztoare au variaii neglijabile, pe intervale scurtede timp;


2/131

2

- ncrcri / aciuni dinamice: care produc acceleraii semnificative ale construciei sau aleparilor componente i dau natere la fore de inerie care nu pot fi neglijate n raport cu intensitile altortipuri de ncrcri.

I.1.4. Modul de aplicare pe construcie;- aciunile directe - se aplic direct asupra construciei- aciunile indirecte - se aplic indirect asupra construciei- variaii climatice de temperatur, diurne sau sezoniere;

- tasri difereniate ale terenului de fundare;- micri seismice ale terenului, etc ;- proprietile specifice ale materialelor din care este realizat construcia (proprieti

reologice, cum sunt contracia i curgerea lent, pentru structurile din beton armat sau din betonprecomprimat).

I.2. Clasificarea ncrcrilor

Aciunile luate n considerare n calculul construciilor, n conformitate cu STAS 10101/0-75, seclasific dup criteriul frecvenei cu care intervin la anumite intensiti, n:

aciuni permanente;

aciuni cvasi-permanente;aciuni temporare;aciuni excepionale.

Aciuni permanente (P). Aciunile permanente se aplic practic cu aceeai intensitate pe toat durataexploatrii construciei. In cadrul aciunilor permanente intervin:

greutatea proprie a elementului care se dimensioneaz;greutatea tuturor elementelor susinute de elementul n cauz.STAS 10101/1-75

Aciuni temporare (T). Aciunile temporare variaz ca intensitate n timp i n anumite intervale potchiar s lipseasc.

Dup durata de solicitare, aciunile temporare se mpart n:1)Aciuni temporare de lung durat, numite i cvasipermanente (C), ca de exemplu:- greutatea utilajului specific exploatrii (maini-unelte, rezervoare, maini de ridicat fixe etc.) ;- greutatea coninutului n rezervoare, silozuri, conducte i presiunile pe pereii acestor

construcii ;- ncrcrile pe planee n ncperile de depozitare, arhive etc.;- greutatea depunerilor de praf industrial;- variaiile de temperatur tehnologic;- tasrile neuniforme i deplasrile fundaiilor.

2)Aciuni temporare de scurt durat (V), ca de exemplu:- ncrcri distribuite sau concentrate din ncrcare cu oameni pe acoperi, planee, scri etc.;- ncrcri din convoaie de fore (poduri de cale ferat, poduri de osea) ;- ncrcri datorit mijloacelor de ridicare i transport cum sunt podurile rulante, grinzile rulante etc;- ncrcrile normate aduse de poduri;- ncrcri din zpadi eventual chiciur;- ncrcri din vnt;- ncrcri din variaii de temperatur;- ncrcri care pot s apar n timpul montajului i transportului.

Aciuni excepionale (E). Aciunile excepionale pot aprea n timpul execuiei sau exploatrii

construciei n cazuri foarte rare la valorile normate. n aceast categorie sunt cuprinse:- ncrcarea seismic;- ncrcri cu caracter de oc;- ncrcri datorit ruperii unor elemente ale construciei;


3/131

3

- ncrcri datorit unor inundaii catastrofale.Valoarea normat a acestor aciuni este precizat prin normative speciale.

Tabelul I.1.Construcii civile, industriale i agricole Coeficienii aciunilor

ExtrasConform : STAS

10101/0A-77

ncrcarea are efect1 Tipul aciunilor i ncrcrilor

Defavorabiln Favorabilnd2 Beton simplu sau armat cu

>18kN/m3MetalLemn

1,1 0,9

3

Aciuni permanente (P)

Beton uor simplu sau armat cu < 18kN/m3

Zidrie din crmid

1,2 0,9

4 Industrializate 1,2 0,9

5

Greutatea elementelor de izolare egalizare ifinisaj (tencuieli, ape, pardoseli etc.)executate n condiii : De antier,

cu mijloace tradiionale1,3 0,8

6 Fora de precomprimare la construcii din oel pretensionate 1,1 0,9

7 Greutatea i mpingerea pmnturilor i a umpluturilor 1,2 0,8

8 Aciuni temporare cvasi-permanente (C)Greutatea utilajului specific exploatrii construciilor: maini-unelte, motoare,rezervoare, transportoare cu band, recipiente, maini de ridicat fixe etc.

1,2

9

10

Greutatea coninutului din rezervoare, recipiente,silozuri etc.

Lichid

Suspensii, lamuri,materiale pulverulente

1,1

1,2

11

12

Greutatea coninutului conductelor LichidSuspensii, lamuri,materiale pulverulente

1,0

1,1

13 Presiunea gazelor,lichidelor sau materialelor pulverulente pe pereii construciilor,presiunea dinamic a aerului datorita ventilrii etc.

1,2

14 Pn la 2 kN/ma(inclusiv)

1,4

15 ntre 2 i 5 kN/m3 1,3 -

16

ncrcri pe planee din ncperile de depozitare,depozite de cri, arhive, biblioteci, ncrcrilecldirilor de locuit i social-culturale, unde predomingreutatea utilajului (etaje tehnice, laboratoare etc.) cuintensiti normate (conform STAS 10101/2A1-75) de: Egale cu 5 kN/m3 sau

mai mari1,2 -

17 Greutatea depunerilor de praf industrial 1,4 -

18 Greutatea stratului de ap pe planeele orizontale destinate a fi acoperite cu apimpingerea apei pe pereii laterali ai unor recipiente destinate acumulrii apei 1,2

19 Variaiile de temperatur tehnologic 1,2 -

20 Tasri i deplasri neuniforme ale fundaiilor 1,2 -

22 Aciuni temporare variabile (V) ncrcri distribuite n lungul unei linii labalustrade, perei despritori etc, orientate pe direcie orizontal sau vertical

1,2 0

23 ncrcri aprute n timpul execuiei, transportului i montajului elementelor deconstrucie etc.

1,2 0

24 ncrcri generate de utilaje n timpul punerii n funciune sau n timpul ncercrii 1,2 0

25 ncrcri datorit unor mijloace uoare de ridicare i transport ou cale fix(monoine)

1,2 0,4


4/131

4

26 ncrcri datorit podurilor rulante(conform STAS 10101/2A2-75) 1

ncrcri verticalepentru podurile rulantedin grupa defunc ionare

IIIIII i IVV

1,2 0,40,60,81,0

27 ncrcri orizontale 1,3 0

28

29

Curente, situate nzonele

A, B

C,D,E

1,2 0,4

0,629

31

ncrcri din vnt, conform STAS10101/20-75, pentru construcii

Deosebit de sensibile la

vnt (uoare, zvelte)situate in zonele

A, B

C,D,E

1,3 0,4

0,632 A,B,C 1,4 0,4

33 D 1,6 0,4

34

ncrcri din zpad,conform STAS 10101/21-752pentru construcii situate n zonele :

E 1,6 0,6

35 ncrcri datorit chiciurii 1,3 0,4

36 Variaii de temperatur exterioarSTAS 10101/23A-75)

1,2 0,6

37 Aciuni excepionale (E) pentru toate ncrcrile excepionale 1,0 01 ncrcrile din vnt corespunztoare situaiei de rezonanse considerncrcri excepionale.2 Cnd coeficientul de aglomerare Cz > 2 se fac douverificri:

cu cz=2, ca ncrcare temporarde scurt durat(T):cu cz>2 ca ncrcare excepional

I.3. Gruparea aciunilor

Elementele i structurile construciilor sunt de regul solicitate n acelai timp de mai multecategorii de aciuni. Calculele n stadiile limit trebuie s ia n considerare att probabilitatea variabilitiivalorilor normate ale diferitelor aciuni ct i combinaiile defavorabile i practic posibile ale diferiteloraciuni.

De variabilitatea valorilor normate ale ncrcrilor se ine seama prin coeficienii aciunilor.Starea de eforturi si de deformaii a unei construcii este rezultatul suprapunerii mai multor tipuri deaciuni, aceste aciuni se grupeaz in funcie de posibilitatea lor de apariie simultan n dou tipuri degrupri de ncrcri. In cadrul unei grupri fiecare aciune sufer corecii.

- Gruparea fundamental. Aceasta grupare este format din ncrcri permanente, cvasi -permanente si variabile.

- Gruparea special. Aceasta grupare este format din ncrcri permanente, cvasi-permanente, variabile si excepionale.


5/131

5

Grupri de aciStrile limit la care se face verificarea

Grupri fundamentale

1De rezisteni

stabilitateniPi + niCi+ ng

d

in Vi

1

2

Stri limit ultime

De oboseal

Pentru eforturi maxime 2

Pi + Ci+ d

in V "

i+ Vob max

Pentru eforturi minimePi + Ci+

d

in V "

i+ Vob min

3Verificri sub efectulncrcrilor totale de

exploatarePi + Ci+ ngVi

1

4

Stri limit aleexploatrii normale Verificri sub efectul

ncrcrilor de lungdurat ale ncrcrilor

Pi + Ci+ d

in Vi

nfundamverific

1 Coeficientul de grupare are valorile: ng= l,0 n cazul unei singure ncrcri temporare variabile V

ng= 0,9 n cazul a dou sau trei ncrcri V ;ng= 0,8 n cazul a patru sau mai multe ncrcri V.

n cazul verificrii strii limit a exploatrii normale sub efectul ncrcrilor totale se consider ce

2 Cu V "i

s-au notat ncrcrile variabile care nu produc oboseala, iar cu Vob ncrcarea care produce

Vobmosi Vohmin reprezint intensitile maxime i minime care determin caracteristicile ciclului de solic

3 Gruprile speciale intervin rar, iar la alctuirea lor se va consulta STAS 10101/0A-77.


6/131

6

II. METODE PENTRU CALCULUL CONSTRUCIILOR

II.1. Metode deterministe

Factorii principali ai siguranei care intervin n calculele efectuate conform principiilor metodelordeterministe se stabilesc empiric i se consider mrimi certe. Metodele deterministe sunt metodarezistenelor admisibile i metoda de calcul la rupere.

Metoda rezistenelor admisibile st la baza elaborrii STAS 763/1-7 i are la baz urmtoarele

ipoteze fundamentale cunoscute din rezistena materialelor:- materialele de construcie se comport elastic n exploatare;- seciunile normale pe axa elementelor nainte de deformare, rmn plane i dup deformare

(ipoteza lui Bernoulli);- eforturile unitare sunt proporionale cu deformaiile (legea lui Hooke).Principiul de calcul const n compararea eforturilor unitare normale i tangeniale maxime max,

max care se dezvolt n seciunile cele mai solicitate ale elementelor de construcie, cu valorile admisibileale rezistenelor normale a, respectiv tangeniale a.

Rezistenele admisibile a, a reprezint o fraciune din rezistena limit a materialului la care seproduce distrugerea acestuia i se obin prin mprirea rezistenelor limitlim, lim la un coeficient desiguran unic, c.

Pentru gruprile de ncrcri, valorile rezistenelor admisibile i ale coeficienilor de sigurancorespunztori sunt diferite. Cu ct probabilitatea aciunii simultane a ncrcrilor ce compun gruparea de

ncrcri considerate este mai mic, cu att coeficienii de siguran se reduc, apropiindu-se de unitate, iarrezistenele admisibile cresc, apropiindu-se de rezistena limit.

Calculul prin metoda rezistenelor admisibile este nc folosit pentru proiectarea construciilor dinlemn i parial a celor metalice.

Rezistenele admisibile a, a reprezint o fraciune din rezistena limit a materialului la care seproduce curgereai se obin prin mprirea rezistenelor limitc, c la un coeficient de siguranunic,c:

Pe lng lemn i metal, materiale cu caliti elastice, n construcii se folosesc pe scara largmateriale care nu se comport elastic sub sarcinile de exploatare, cum sunt zidria i betonul armat.Neglijarea proprietilor plastice ale materialelor i valoarea convenional a coeficienilor de siguranfac ca metoda rezistenelor admisibile s reprezinte o etap depit n calcului construciilor. Abaterile cepot s apar ntre comportarea real a structurii n exploatare i schema luata n calcul depind de omulime de parametri care necesit un studiu sistematic i dezvoltarea unor alte metode de calcul.

Metoda de calcul la rupere are n vedere stadiul de rupere al sec iunilor ca stadiu de calcul.Eforturile din elementele de construcie se determin dup metodele staticii construciilor, aplicatecorpurilor omogene.

Principiul metodei const n compararea efortului maxim care se dezvolt n seciunea cea maisolicitata unui element de construcie cu efortul de rupere, mprit la un coeficient de siguranunic,cr:

Metodaine seama de comportarea real

a materialelor n stadiul de rupere (redistribuirea

eforturilor n urma deformaiilor plastice), dar menine coeficientul de siguran unic cu valoriconvenionale, fr un studiu sistematic al parametrilor care influeneaz sigurana structurii.

n cadrul metodelor deterministe, coeficientul unic de siguranine cont de:- Abateri ale mrimii solicitrilor fa de valorile prescrise n norme;- Abateri dimensionale ale elementelor constructive;- Abateri ale valorii caracteristicilor mecanice ale materialului;- Abateri ale comportrii reale fa de modelul matematic considerat.

II.1.1. Verificarea siguranei construciilor dup metoda rezistenelor admisibilecondiiile capacitii portante de exploatare se refer la:

verificri de rezisten;verificri de stabilitate;verificri la oboseal, n cazul ncrcrilor repetate.

Tabelul I.3.


7/131

7

Coeficieni de siguran Conform STAS 1911-75

Valorile coeficienilor de siguranGruparea de aciuni

C11 c2

2

IIIIII

1,501,351,20

1/0,751/0,801/0,85

1 Coeficientul de siguran c1 servete la determinarea rezistenei admisibile pentru elementelaminate din oel supuse la solicitri statice; a = c/c1

2 Coeficientul c2 servete la determinarea rezistentei admisibile la eforturi de comparaie ; echivalent= c/c2

condiiile de rigiditate. Pentru a exclude posibilitatea de apariie a unor deformaii la transport,montaj, vibraii n exploatare, deformaii exagerate sub ncrcri, elementele de construcii trebuie ssatisfac :

n cazul elementelor solicitate axialmax < a

unde : max este coeficientul de zveltee maxim;a coeficientul de zveltee admisibil, n funcie de destinaia elementului, importana lui i de

natura solicitrii (ntindere, compresiune n regim static sau dinamic).n cazul elementelor solicitate la ncovoiere

fmax < faunde : fmax este sgeata maxim a grinzii calculat din ncrcarea normat fr coeficieni dinamici ;

fa sgeata admisibil stabilit n funcie de destinaia i importana elementului.

II.1.2. Verificarea siguranei construciilor dup metoda calculului la rupere

Nr r

r

c

N; Mr

r

r

c

M; Tr

r

r

c

T;

unde: Nmax , Mmax , Tmax eforturi maxime n seciunea cea mai solicitat;Nr , Mr , Tr eforturi de rupere;cr coeficientul de siguran unic.

II.2. Metoda semiprobabilistic a strilor limit

n opoziie cu metodele deterministe de calcul, metoda semiprobabilistic a strilor limit secaracterizeaz prin dou trsturi eseniale:

- se consider n mod sistematic diferitele stri limit posibile pentru o construcie dat;- se consider n mod independent variabilitatea diferiilor factori care afecteaz sigurana

construciilor, stabilindu-se n consecin datele cantitative care determin nivelul de asigurare alconstruciilor.

Prin stare limit se nelege o stare a crei atingere implic pierderea reversibil sau ireversibil acapacitii unei construcii de a satisface condiiile necesare exploatrii, sau implic apariia unor pericolepentru viaa sau sntatea oamenilor.

Verificarea siguranei construciilor prin metoda de calcul a strilor limit const n comparareavalorilor aciunilor cu valorile aciunilor corespunztoare apariiei diferitelor stri limit. n funcie denatura strii limita considerate, criteriul de comparaie poate fi constituit de diferii parametri, i anume:

- compararea ncrcrilor aplicate unui element de construcie sau unei structuri cu ncrcrilecapabile (cazul cnd se admite redistribuirea plastic a eforturilor pe ntreaga structur sau cnd se fac

verificri de stabilitate a poziiei);- compararea eforturilor sau sistemelor de eforturi din seciunile cele mai solicitate cu capacitileportante ale seciunilor (cazurile n care se admite numai redistribuirea plastic a eforturilor pe seciune);

- compararea eforturilor unitare din punctele cele mai solicitate cu rezistentele materialelor de


8/131

8

construcie (cazurile n care se admite redistribuirea plastic a eforturilor unitare pe seciune);- compararea deformaiilor elementelor de construcie cu deformaiile capabile a cror depire

implic ruperea elementelor;- compararea deplasrilor sau deformaiilor statice sau a amplitudinilor deplasrilor dinamice cu

valorile limit omoloage, n cazul verificrii unor condiii de exploatare;- compararea deschiderii fisurilor cu deschiderile limit, n cazul unor verificri specifice

elementelor din beton.

II.2.1. Stri limit ultimedefinite ca stri ce corespund epuizrii capacitii portante sau unei altepierderi ireversibile a calitilor necesare exploatrii construciei. n aceast categorie, n cazulconstruciilor din oel intr:

deformaiile plastice remanente excesive ale elementelor solicitate la ntindere sau ncovoiere;ruperile elementelor datorate fenomenului de oboseal sau ruperile cu caracter fragil;pierderea general sau local a stabilitii elementelor;pierderea stabilitii formei sau a poziiei structurii n ansamblul sau (rsturnare, lunecare).

II.2.2. Stri limit ale exploatrii normale definite ca stri limit ce corespund capacitii deasigurare a unei exploatri normale a construciei. n aceast categorie, n cazul construciilor din oel,

intr deplasrile statice sau dinamice excesive.Principalele fenomene care pot duce la apariia strilor limit de exploatare normal sunt

urmtoarele:- deplasrile statice sau dinamice excesive;- fisurile care depesc valorile din exploatarea normal.

Calculul de dimensionare a elementelor de construcii i a structurilor cu metoda strilor limit areca scop final obinerea unei asigurri suficiente, innd seama i de importana funcional a acestora,pentru evitarea situaiei n care construcia ajunge ntr-una din cele dou stri limit. n plus, aceastasigurare este n mod important condiionat i de alctuirea constructiv, de calitatea materialelorfolosite precum i de respectarea unor condiii de exploatare admise la proiectare.

Mrimile care intervin n calcule (aciuni, rezistene, module de elasticitate) sunt reprezentate prinvalorile lor normate i valorile lor de calcul.

Valorile normate sunt precizate prin valori de referin stabilite prin standarde.Valorile normate ale rezistenelor materialelor reprezint valori caracteristice normate, adic valori

cu asigurare de minimum 0,95 n condiiile unei caliti a materialelor care corespund standardelor saunormelor referitoare la aceste materiale.

Valorile normate ale modulurilor de elasticitate i ale caracteristicilor reologice ale materialelor, cai cele ale pmntului (unghi de frecare intern, caracteristici de coeziune, modului de deformare etc), sestabilesc, de regul, ca valori medii statistice.

Valorile de calcul se obin prin nmulirea valorilor normate cu coeficieni, n general supraunitari,pentru ac

iuni

i subunitari pentru rezisten

e, astfel ca n calcule s

fie acoperite abaterile n sens

defavorabil ale valorilor normate.Valorile de calcul de baz ale rezistenelor (rezistenele de calcul de baz ale materialelor) se

determin prin aplicarea unui coeficient de siguran, pentru material, prin care se ine seama dedepirile n sens defavorabil ale valorilor normate ale rezistenelor datorit variabilitii statistice acalitii materialelor i, n anumite limite, a caracteristicilor geometrice ale elementelor de construcie.Acest coeficient se stabilete pentru fiecare material i calcul de specialitate i, de regul, are rolul de areduce valorile normate. n cazuri deosebite, n care valorile ridicate ale rezistenelor n anumite zone aleconstruciei sunt defavorabile pentru comportarea n ansamblu, coeficientul de siguran pentru materialeste supraunitar.

Valorile de calcul de baz ale rezistenelor i capacitilor portante ale seciunilor se afecteaz, de la

caz la caz, cu un coeficient al condiiilor de lucru pentru material, respectiv pentru element, prin care secorecteaz simplificrile introduse n schemele de admise de calcul.


9/131

9

II.2.3. Verificarea siguranei construciilor dup metoda strilor limit

n domeniul construciilor din oel se utilizeaz de regul unul din urmtoarele criterii privindverificarea siguranei dup starea limit ultim:

-de rezisteni stabilitateCompararea eforturilor unitare efective din punctele cele mai solicitate cu rezistenele de calcul R,

=F

N=

F

Nn ii mR

n care : N este solicitarea de calcul (N, M, T, Mr etc.) ;Ni solicitarea n seciunea n care se face verificarea din ncrcarea normal i ;ni coeficientul ncrcrii normate i ;F caracteristica geometric a seciunii (An, min, A, Ai, Wn, WP etc.) care intervine n formula de

verificare n funcie de felul solicitrii.m coeficientul condiiilor de lucru, care n general are valoarea 1,0 exceptnd urmtoarele cazuri

:m 1,25 n cazul grinzilor cu inim plin continue, ale cilor de rulare, cnd se verificech,

n seciunea de reazem ;m = 1,15 pentru alte seciuni de pe grinda caii de rulare, cnd 0i m = l,0 cnd l =0;m = 0,70 pentru elemente alctuite dintr-o singur cornier prins pe o singur arip;m = 0,90 pentru elemente formate dintr-o singur cornier cu aripi inegale prins pe aripa mai

lat;R este rezistena de calcul a oelului folosit.

n tabelul urmtor se dau rezistenele de calcul pentru diverse mrci de oel laminat.

Tabelul I.4.

Construcii civile,industriale i agricole

Rezistene de calcul R (daN/mm2) pentru oel laminat marcaConform : STAS 10108/0-78

SolicitareaSimbol Coeficien-

tul aplicatfa de R O

LT35

OL37

ORGA37

OLT45

OL44

OCS44

OL52

OCS52

ORGA52

OGS55

OCS58

ntindere, compresiune,ncovoiere

R 1,0 20 21 23 25 30 34 37

Forfecare R, 0,6 12 13 14 15 18 21 22

Presiune local la un cilindrurezemat pe un plan/ determi-

nat cu formula lui Hertz)Ri 4,0 80 84 92 100 120 136 150

Idem, determinat pe planuldiametral al cilindrului

Ra 0,04 0,80 0,8 S 0,92 1,00 1,20 1,36 1,50

Rezistene de calcul pentru profile i table laminate cu grosimea t 16 mm

Tabelul I.5.

ntindere,compresiune, ncovoiere

R 1,0 21 22 24 26 31,5 36 39

Forfecare Rj 0,6 12,5 13,0 14,5 15,5 19,0 21,5 23,5


10/131

10

Rezistenele de calcul sunt cele din tabel pentru prima treapt i a doua treapt de grosimea40mm. Pentru treapta a treia de grosime, cu a > 40 mm, rezistenta de calcul se obine prin mprirealimitei de curgere respectivla valorile coeficientului m

m = 1.10 pentru mrcile OL 34; OLT 35; OL 37; ORCA 37 ; OLT 45 ;m = l,12 pentru mrcile OL 44; OGS 44;m =1,15 pentru OL 52 ; ORCA 52 ; OCS 52 ym=l,20 pentru OCS 55 i OGS 58

Modificri introduse dupredactarea finala standardului STAS 10108/0.

- Compararea eforturilor sau sistemelor de eforturi din seciunile cele mai solicitate cu capacitateaportant a seciunilor

N = ni Ni RF

n care: N este solicitarea de calcul (N, M, T, Mr etc.) ;Ni solicitarea n seciunea n care se face verificarea din ncrcarea normal i ;ni coeficientul ncrcrii normate i ;F caracteristica geometric a seciunii (An, min, A, Ai, Wn, WP etc.) care intervine n formula de

verificare n funcie de felul solicitrii.R este rezistena de calcul a oelului folosit.

Acest criteriu de verificare intervine atunci cnd se conteaz n starea limit pe redistribuireaplastica a eforturilor unitare pe seciune (dimensionarea n stadiul plastic a seciunilor, n stadiul limitultim).

- Compararea ncrcrilor aplicate unui element de construcie sau unei structuri cu ncrcrilecapabile:

nq = ni pi qcap

Acest criteriu de verificare intervine atunci cnd se admite redistribuirea plastic a eforturilor pentreaga structur. (Conducerea n starea limit ultim a calculului static n stadiul plastic).

- de oboseal. Elementele de construcii metalice supuse la solicitri repetate se pot rupe n timpulexploatrii la valori ale eforturilor unitare mai mici dect rezistenele de rupere corespunztoaresolicitrilor statice, ca urmare a fenomenului de oboseal.

n cazul ncrcrilor repetate, verificarea la oboseal se face cu relaiile de la pct. 2.2.3.1 cudeosebirea ca termenul de comparaie, din membru al doilea, este de forma:

=F

N=

F

Nn ii R

unde : R este rezistena de calcul a oelului ; coeficientul de oboseala care se determin cu relaiile :

=ba

a

cnd efortul unitar maxim n valoare absolut este de ntindere

=ab

a

cnd efortul unitar maxim este de compresiune.

Coeficientul de oboseal se limiteaz la valoarea l ( l). Coeficienii a, b, c, se determin nfuncie de numrul ciclurilor ncrcrilor variabile i repetate care apar pe durata de exploatare aelementului sau a structurii de oel, de marca oelului folosit i de grupa de importan care caracterizeaz

elementul sau mbinarea care se verific.Coeficientul de asimetrie a ciclului, p, se calculeaz, dup caz, cu una din relaiile


11/131

11

=max

min

Calculul construciilor din oel, dup normele n vigoare n Romnia, se face n stadiul elastic. Lagrinzile continue cu deschideri identice sau la care deschiderile nu difer ntre ele cu mai mult de 20%,

ncrcate static cu ncrcri uniform repartizate i asigurate contra pierderii stabilitii generale, calcululstatic poate fi condus cu luarea n considerare a comportrii elastico-plastice a materialului.

Dimensionarea elementelor de construcii din oel, n cazul construciilor civile, industriale iagricole, se face cu metoda strilor limit (M.St.L.), oficializat n Romnia prin STAS 10108/0-78.

Un element de construcie se consider dimensionat corespunztor, indiferent de metoda de calculfolosit, dac satisface n limitele prescrise toate cele trei condiii de dimensionare, i anume :

1) n cazul metodei strilor limit.strile limit ultime ;strile limit ale exploatrii normale;condiiile constructive.

2)n cazul metodei rezistenelor admisibile.condiiile capacitii portante de exploatare;condiiile de rigiditate;

condiiile constructive.Trebuie subliniat ca ordinea verificrilor nu trebuie n mod neaprat s fie cea prezentat mai nainte. Astfel, de cele mai multe ori, condiiile constructive se verific odat cu alegerea elementelorcomponente ale seciunii.

III. CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SUPRAFEELOR PLANE

Bare comprimate

La aceeai stabilitate la flambaj consum diferit de material n funcie de form.

Bare ncovoiateLa aceeai rigiditate consum diferit de material n funcie de form.

Bare ncovoiate


12/131

12

La aceeai consum de material rigiditi diferite n funcie de form.

Bare ncovoiateEficiena consumului de material este dat de raportul ntre modulul de rezisten W i aria seciuniielementului A.

Bare ncovoiateEficientizarea consumului de material se poate face prin schimbarea formei seciunii. Aceasta se poateface astfel nct materialul s se ndeprteze de o parte i de alta a axei pe care acioneaz momentul.Condiia ca seciunea s lucreze unitar este ca zona median (talpa) s nu permit alunecare relativ acelor dou tlpi.

III.1 Definiii

Pentru a defini o seciune, complet, cunoaterea ariei i a centrului de greutate nu sunt suficiente.Determinarea eforturilor, tensiunilor i deformaiilor impune cunoaterea exact a poziiei fiecruielement de suprafa fa de axele pe care se manifest eforturile secionale.


13/131

13

III.1.1. Aria suprafeei.

A= A

dA (m2)

III.1.2. Poziia centrului de greutate

YG=A

Sz (m) YG=( )

i

ii

A

yA

ZG=A

Sy(m) ZG=

( )

i

ii

A

zA

III.1.3. Moment static

III.1.3.1. Moment static fa de o dreaptS=

dA (m3)

III.1.3.2. Moment static fa axele OY i OzSz=

A

ydA (m3)

Sy= A

zdA (m3)

III.1.4. Moment de inerie

III.1.4.1. Moment inerie axial

I=

dA2 (m4)

Iz=

dAy 2 (m4)

Iy=

dAz 2 (m4)

III.1.4.2. Moment inerie polar


14/131

14

I0= Ip=

dAr 2 =

+ dA)zy( 22 = Iy + Iz (m4)

III.1.4.1. Moment inerie centrifugal

Iyz=

yzdA (m4)

III.1.5. Raz de giraie

iz=A

I z (m)

iy=A

I y(m)

III.1.6. Modul de rezisten axial

Wz=max

z

y

I(m3)

WY=

max

y

z

I(m3)

III.1.7. Modul de rezisten polar

Wp=max

p

r

I(m3)

III.2. Variaia momentelor de inerie n raport cu translaia axelor

Dac avem o seciune "S" i un sistem de axe YOX fa de care cunoatem momentele de inerie,atunci putem afla momentele de inerie ale seciunii "S" i fa de un alt sistem dac se cunoate distana

pe "x" i pe "y" ntre cele dou sisteme.


15/131

15

Z1= Z - a

Y1= Y - b

IZ1= A

21 dAy =

A

2 dA)by( = A

2dAy - 2b A

dAy +b2 A

dA

IZ1=IZ 2bSZ + b2A

Analog IY1=IY 2aSY + a2A

Iz1Y1=IYZ aSz - bSY + abA

Dac primul sistem de axe trece prin centrul de greutate al seciunii, momentul static n raport cu centrulde greutate este nul i relaiile devin:

IZ1=IZ + b2A

IY1=IY + a2A

Iz1Y1=IYZ + abA

III.3. Cazuri particulare

6.3.1. Seciune dreptunghiular

Iz=

dAy 2 = 2/h

2/h

2bdyy = 2 2/h

0

2bdyy =12

bh 3

Iz=12

bh 3

V.3.2. Seciune circular

Iz= Iz=64d

4

V.3.2. Seciune inelar

Iz= Iz=64

)dD( 44

III.4. Variaia momentelor de inerie n raport rotirea axelor

Dac avem o seciune "S" i un sistem de axe YOX fa de care cunoatem momentele de inerie,

atunci putem afla momentele de inerie ale seciunii "S" i fa de un alt sistem dac se cunoate unghiulde rotire ntre cele dou sisteme.


16/131

16

IZ1=2

II yz ++

2

II yz cos2 - Iyzsin2

Iy1=2

II yz +-

2

II yz cos2 + Iyzsin2

Iyz =

2

II yz sin2 + Iyzcos2

III.5. Momente de inerie principale

tg2 = -IyIz

I2 zy

I1,2 = 2

II yz + 2

12xy2yz I4)II( +

Iz1y1 =2

II 21

III.6. Caracteristicile geometrice ale seciunilor plane compuse

n cazul seciunilor plane compuse, pentru determinarea caracteristicilor geometrice, seprocedeaz astfel:

1) Se descompune figura (seciunea) dat n figuri simple.2) Se alege un sistem de axe convenabil.3) n raport cu acest sistem se determin coordonatele zGI, yGI, ale centrelor de greutate G, ale figurilorsimple componente.4) Se calculeaz coordonatele zG i yG ale centrului de greutate G al figurii cu formulele:

YG=( )

i

ii

A

yA

ZG=( )

i

ii

A

zA

5) Se figureaz sistemul central de axe yG ;zG6) Se calculeaz momentele de inerie ale seciunii compuse ca fiind sume algebrice ale momentului deinerie ale figurilor componente.7) Se calculeaz modulurile de rezisten ale figurii compuse folosind relaiile de definiie:


17/131

17

Wz=max

z

y

IWY=

max

y

z

I

8) Se calculeaz razele de inerie cu relaiile din definiie.

iz=A

I z (m) iy=A

I y(m)

9) Caracteristicile geometrice ale seciunii compuse date n raport cu orice alt sistem de axe translatat fa

de sistemul central de axe se calculeaz aplicnd formulele lui Steiner relativ la ntreaga figur.IV. PRINCIPII I LEGI ALE MECANICII

Au fost enunate de ctre fizicianul Isaac Newton n cartea sa: Principiile matematice alefilozofiei naturii n anul 1867 i au constituit trecerea fizicii din domeniul filozofiei n domeniul tiinei(Fizica a devenit tiina) de aceea Newton este denumit Prinul tiinei.

Principiul 1 (al ineriei) este un principiu ideal, deoarece nu se poate verifica la nivelul uneiplanete (explicaia va fi dat de Principiul 2).

Ineria este proprietatea corpurilor de a-i menine starea de repaus sau micare uniformrectilinie.

Obs: Masa este o msura a ineriei corpurilor:Masa mare = inerie mareEnun: Un corp i menine starea de micare rectilinie uniforma sau de repaus atta timp ct

asupra lui nu acioneaz un alt corp care s-i modifice starea.

Principiul 2 (fundamental sau al forei)Orice proces n natura are loc n urma unei aciuni.Fora este mrimea fizic vectoriala care caracterizeaz o aciune.Principiul 2 definete fora printr-o formul cu caracter general. Cazul particular n care fora este

constant n timp a fost dedus din forma generala determinat de Netwon pe baza calculului diferenial.Deducerea intuitiva a relaiei forei constante:

Enun: Fora care acioneaz asupra unui corp este egal cu produsul dintre masa corpului iacceleraia imprimat, iar vectorul fora are aceeai orientare cu vectorul acceleraie.

[ ] [ ] [ ]

2111

s

mkgN

amF

=

=r

r

Netwonul este fora care acionnd asupra unui corp de 1 kg i imprim acestuia o acceleraie de

21

s

m.

Exemplu de for:Greutatea (fora de atracie gravitaional).

[ ] NG 1=

unde: )10(10

;10;8,9 22 micmaiorideg

gs

mg

s

mg pamantlunaecuatorpamant =

Greutatea este o mrime vectorial, mai exact este o for iar masa este o mrime scalari fundamental.g - acceleraie gravitaionali este o constant pentru o anumit planeti un loc pe acea planet.

- forma general a forei dat de principiul 2.

Principiul 3 (principiul aciunii i reaciunii)Reaciunea = rspuns la aciune.

gmGr

r

=

t

p

Fm

=

r


18/131

18

Enun: Daca un corp acioneaz asupra altui corp cu o fora numita aciune, cel de al doilea corp vaaciona asupra primului cu o for egal-n modul dar de sens opus numit reaciune.

Principiul 4 (principiul suprapunerii forelor)

Enun: Dac dou sau mai multe fore acioneaz simultan asupra unui corp, fiecare for producepropria sa acceleraie, acceleraia rezultant se obine prin nsumarea vectorial a acceleraiilor pariale.

LEGEA LUI HOOKE

Deformaia apare instantaneu i variaz linear cu efortul unitar conform legii lui Hooke.

= E

Figura V.1 Curba caracteristic

Tensiunea sau efortul unitar este egal cu modulul de elasticitate longitudinal nmulit cu alungirearelativ. Legea lui Hooke funcioneaz numai n zona de proporionalitate, zona ngroat a curbeicaracteristice

0l

lE

S

F =

= G

- eforturile unitare normale (N/mm2, N/m2; daN/cm2) - eforturile unitare tangeniale - deformaia specific longitudinal

- deformaia specific unghiular (tangenial)E - modulul de elasticitate longitudinal (modulul lui Young) i reprezint tangenta unghiuluicurbei caracteristice cu abscisa. E este constant de material.

E = tg

G modulul de elasticitate tangenial. G =)1(2

E

+

Modulul de elasticitate este efortul necesar producerii unei deformaii egale cu unitatea.

Coeficientul Poisson () este raportul dintre deformaia (contracia) transversal i deformaia(alungirea) longitudinal

.

actiunereactiune FFrr

=


19/131

19

=alalongitudindeformatia

rsalatransvervedeformatia

Modulurile de elasticitate (E, G) si coeficientul Poisson reprezint caracteristicile elastice alematerialelor, avnd valori specifice fiecrui material.

MaterialE

(daN/cm

2

)

G (daN/cm2)

(grad

-1

)Oel tenace (2,00-2,15)106 (7,8-8,5)105 0,24-0,28 12 10-6Oel casant (2,00-2,2)106 8,5 105 0,25-0,29 11,72 10-6duraluminiu (0,70-0,23)106 4,5 106 0,23-0,29 23,5 10-6Beton simplu (0,15-0,49)105 0,16-0,18 (8,8-10) 10-6Beton armat (0,18-0,43)105 10 10-6

Lemn (9-14)104 (4,5-6,5)103 (4-6) 10-6Lemn (0,4-1,0)104 (4,5-6,5)103 12 10-6

Sticl (50-60)104 (21-23)103 0,24-0,27 (1-8) 10-6Cauciuc 0,008104 (7-21)103 0,47Ghea 0,1106 0,28105

Pentru a demonstra legea lui Hooke se compar alungirea unor bare cu aceeai seciune, lungimidiferite i supuse aceleiai fore de ntindere. Se observ c bara mai lung va prezenta o alungire maimare, deci alungirea variaz direct proporional cu lungimea iniial.

l ~ l0Dac se compar alungirea unor bare cu aceeai lungime, seciuni diferite i supuse aceleiai fore

de ntindere, se observ c bara cu seciune mai mic va prezenta o alungire mai mare, deci alungireavariaz invers proporional cu seciunea.

l ~S

1

Dac se compar alungirea unor bare cu aceleai lungimi, aceleai seciuni i supuse la forediferite de ntindere, se observ c bara supus unei fore mai mari prezent o alungire mai mare, decialungirea variaz direct proporional cu fora aplicat.


20/131

20

l ~ F

l ~S

lF 0 l = ES

lF 0

0ll

ESF =

FORMULA LUI NAVIERVom studia o grind deformat la ncovoiere.n tot acest studiu vom admite urmtoarele ipoteze:- Seciunile plane nainte de ncovoiere rmn plane i dup ncovoiere- Fibrele longitudinale sunt numai ntinse sau numai comprimate i nu apas una asupra alteia n

sens lateral- La ncovoiere relaiile dintre tensiuni i deformaii sunt aceleai ca la solicitrile de ntindere

sau de compresiune simpl.Considerm, din piesa ncovoiat, dou seciuni situate la distana l.

AB = CD = (+y)

=AB

ABCD =

y

y

=

1(1)

Legea lui Hooke = ECa s se poat determina alungirea sau scurtarea oricreifibre, trebuie s se cunoasc poziia axei neutre i raza de

curbur. Pentru aceasta se vor scrie cele dou relaii deechilibru ale seciunii:


21/131

21

M z= dAyA = dAyE

A = dAyE

A = dAy

yE

A

= dAy

E

A

2

dAyA

2 = IZ

Mz=

EIZ

1=

z

z

EI

M

= E =

Ey

1=

yE

=

z

z

EI

M

Formula lui Juravski

xy =

zbI

SzT

unde: T

z

fora tietoare pe OZS momentul static al suprafeei care tinde s alunece, calculat n raport cu axa OZ.

CAP.V FORE I MOMENTE

V.1 ForeV.1.1. Noiuni generale.

Fora mrime vectorial care msoar interaciunea ntre dou corpuri sau ntre un corp i un

cmp de fore. Forele se pot clasifica dup numeroase criterii, cele mai importante fiind:- natura lor;fore exterioare;fore de legtura (legturi cu mediul);fore interioare (legturi ntre componentele ansamblului);

- modul de aplicare;fore concentrate;fore uniform distribuite;

liniare;de suprafaa;

fore neuniform distribuite;

liniare;de suprafaa;

fore masice;- valoarea intensitii;

fore constante - statice;fore variabile dinamice.

Forele sunt mrimi vectoriale, deci vor fi caracterizate prin:

mrime (modul sau intensitate);

punct de aplicare;

direcie; sens.

= yI

M

z

z


22/131

22

Conform Principiului II al Mecanicii formulat de Newton For este proporional cu produsuldintre masi vectorul acceleraie.

am.ctF =

[ ] [ ] [ ]SISISI amF = = 2s1

m1kg1 = 1N.

Newton - unitatea de msur a forei, n sistemul internaional, ce reprezint fora care produce oacceleraie de 1m/s2 unui corp aflat n repaus.

*1daN=10N

*1kgf = 1daN = 10N

*1Tf = 1000kgf

*1kN = 100daN = 1000N

*1Tf = 10kN = 1000daN = 10000N

*Fore distribuite pe elemente de tip bar q N/ml, daN/ml, kgf/ml, etc.

*Fore distribuite pe elemente de tip placa q N/m2, daN/m2, kgf/m2, etc.

FOR A PRODUCE DEPLASAREA

V.1.2. Rezultanta forelor

Rezultanta forelor reprezint suma vectorial a forelor care acioneaz simultan asupra unui corp.nsumarea vectorial se poate face grafic, prin metoda paralelogramului sau metoda poligonului nchissau analitic.

Figura IV.1. Adunarea a doi vectori

IV.2. Compunerea forelor

21 FFRrrr

+=

Din teorema lui Pitagora generalizat

R2 = 21F +22F + 2F1F2 cos


23/131

23

V.1.3. Descompunerea forelor dup dou direcii date

Pe fiecare fa a seciunii, efortul total poate fi descompus n patru componente n planul seciuniitransversale sau normale pe acest plan, dou date de rezultanta R i dou date de momentul rezultant M.Aceste componente, numite eforturi secionale sau simplu eforturi, sunt:

For axialN, vector normal pe planul seciunii;For tietoareT, vector situat n planul seciunii;Moment ncovoietorM, vector situat n planul seciunii;Moment de torsiune Mt, vector normal pe planul seciunii.

V.2 Momente noiuni generale

V.2.1. PrghiaPrghia este o bar rigid care se sprijin pe un punct de articulaie fix si asupra creia se exercit

o for activ si o for rezistent; bar (de lemn sau de fier) care servete la ridicarea sau la micarea uneigreuti.

a) Prghiile: sunt de dou feluri: De gradul I: cu axul de oscilaie la mijloc, forele (activ i rezistent) fiind

aplicate n acelai sens, la dreapta i la stnga axului de oscilaie. Foarfecele,Balansoarele

De gradul II: cu axul de oscilaie la o extremitate, iar forele, de sensuri opuse,aplicate de aceeai parte a axului (la celalalt capt se afl punctul de aplicaie alforei active).Cletele de spart nuci, Roaba, Pedala de frn

De gradul III: cu axul de oscilaie la o extremitate, iar forele, de sensuri opuse,aplicate de aceeai parte a axului (la celalalt capt se afl punctul de aplicaie alforei rezistente). Capsatorul, Penseta

n timpuri strvechi oameni au descoperit ca pot muta, mai uor, anumite greuti cu ajutorul uneiprjini, n modul prezentat n figurile urmtoare:

Prin folosirea unui reazem sub prjin (conform figurii de mai jos), omul a observat c poateridica sarcini mai mari. Astfel, a luat natere prghia de ordinul I. Explicaia const n sensul favorabil deaplicare a forei omului (alturi de fora muscular intervine n sens favorabil i masa).

F1 = F sin F2 = F cos


24/131

24

IV.4. Tipuri de prghii

Prjina rezemat pe pmnt i greutatea sarcinii rezemat pe prjin la o foarte mic distan dereazem(bra de prghie mic). Astfel, a luat natere prghia de ordinul II. Fora util aplicat este numai oparte din fora aplicat de om i are sensul de jos n sus (sens defavorabil).

Prghia funcioneaz conform legii prghiei.

IV.5. Prghie.V.2.2. Momentul forei n raport cu un punct

Momentul forei n raport cu un punct (pol) este definit prin produsul vectorial dintre vectorul depoziie al forei fa de pol i vectorul for.

FrMr

r

r

= M = r F sin = b F

b este braul forei fa de punctul O i reprezint distana de la punct la dreapta suport a forei.[ ]SIM = N m

FR

b

b

R

F=


25/131

25

IV.6. Momentul foreiSuma vectorial a momentelor forelor concurente n raport cu un pol este egal cu

momentul rezultantei acestor fore n raport cu acelai pol (teorema lui Varignon).

V.2.3. Cuplu de fore

Cuplul de fore este un sistem de dou fore paralele, de sens contrar, egale n modul i desuporturi diferite, aplicate aceluiai corp.

IV.7. Momentul cuplului de fore

Momentul unui cuplu de fore este acelai n raport cu orice punct din spaiu, fiind o proprietateintrinsec a cuplului de fore.

IV.8. Cuplul de fore

V.2.4. Momentul forei n raport cu o ax

Momentul unei fore F n raport cu o ax este egal cu produsul dintre componenta transversala aforei F i braul su b pn la ax, n planul perpendicular pe ax ( ), prevzut cu semnul plus sauminus, dup cum rotaia produs corespunde sau nu (dup regula burghiului) sensului pozitiv al axei:Mi =bF

2211 FrFrMr

r

r

r

r

+= = F)rr( 21r

rr

= Fr0r

r

=Mr

Fr0r

r

M = F r0 sin = Fb


26/131

26

IV.9. Momentul unei fore oarecare MOMENTUL PRODUCE ROTIRE

VI. EFORTURI SECIONALE I TENSIUNI

Deoarece eforturile dintr-o seciune echilibreaz forele exterioare din stnga sau din dreaptaseciunii ele pot fi calculate utiliznd aceast condiie de echilibru i anume:

Fora axialN este egal cu suma proieciilor pe normala la seciune a tuturor forelor situate lastnga sau la dreapta seciunii;

Fora tietoare T este egal cu suma proieciilor pe planul seciunii a tuturor forelor situate lastnga sau la dreapta seciunii;

Momentul ncovoietor M, este egal cu suma momentelor proiectate pe planul seciunii a tuturorforelor situate la stnga sau la dreapta seciunii;

Momentul de torsiune Mt, este egal cu suma momentelor n raport cu normala la seciune a tuturorforelor situate la stnga sau la dreapta seciunii.

O bar este supus unei solicitri simple, atunci cnd n seciunile sale transversale apare numaiun singur tip de efort secional. Dac n seciunea barei apar dou sau mai multe eforturi se spune c baraeste supus la solicitri complexe.

Efortul secionalFora axial NFora tietoare TMomentul ncovoietor MMomentul de torsiune MtSolicitareantindere (+N) sau compresiune (-N)ForfecarencovoiereTorsiune (rsucire)


27/131

27

Figura III.1 Descompunerea efortului secional total

Prin tensiune (sau efort unitar) se nelege intensitatea forelor interioare pe unitatea de suprafa.Tensiunile au semnificaie de fore uniform distribuite pe unitatea de suprafa, motiv pentru care au caunitate de msur N/m2 cu multiplii i submultiplii si.

Vectorul tensiune t se poate descompune n dou componente:-o tensiune normal, vector normal pe planul seciunii;-o tensiune tangenial, vector situat n planul seciunii.

Tensiunea se afl in planul seciunii adic in planul yOz. Acest efort unitar tangenial se poatedescompune dup paralele la axele Oz si Oy. Astfel rezultxy si xz.

xy efort unitar tangenialx ne arat normala la planul n care se afl efortul;y ne arat c efortul este paralel cu axa Oy.

Figura III.2 Descompunerea efortului unitar total

Dac avem o seciune oarecare A, solicitat de o for oarecare R, se pot scrie urmtoarele relaiintre eforturile secionale i eforturile unitare.

Nx= x dA for axialTy= xy dA for tietoareTz= xz dA for tietoareMx=

(

xy z -

xz y)dA moment de torsiuneMy= x z dA moment de ncovoiereMz= x y dA moment de ncovoiere


28/131

28

Figura III.3 Relaia efortului secional - efort unitarUnde: A este aria seciunii transversale.Regsim astfel semnificaia eforturilor secionale ca rezultante ale tensiunilor interne aprute n

corp ca urmare a solicitrilor exterioare.

Legea dualitii tensiunilor tangeniale ne arat c pe dou planuri perpendiculare tensiunile

tangeniale sunt egale ntre ele xy = yx i sunt fie convergente fie divergente pe linia de separare aplanurilor respective.

CAP.VI DEFORMAII

Sub aciunea forelor exterioare corpurile se deformeaz, adic apar modificri ale distanelorrelative dintre unele puncte.

Un cub elementar cu laturile dx, dy, dz, decupat dintr-un corp supus unui sistem oarecare de foreexterioare, poate suferi dou tipuri de deformaii elementare:

deformaii liniare, caracterizate de alungirea specific i definit ca raportul dintre

modificarea distanei i distana iniial:

x =dx

)dx( ; y =

dy

)dy(; z =

dz

)dz(

deformaii unghiulare, de form, caracterizate de lunecarea specific definit demodificarea unghiurilor paralelipipedului :

xy= arctgAD

'AA=

AD

'AA

VI.1. Deformaii elastice

Elasticitatea apare la structurile cristaline i este caracterizat de proporionalitatea sa cu mrimeaforei care o produce. Deformaia elastic este reversibil, disprnd odat ncetarea solicitrii (forei).

n deformaia elastic, lucrul mecanic se consum, pentru modificarea distanei dintre particulelecomponente, a unghiurilor dintre planurile reticulare din cristale i a forelor de coeziune. Sub aciuneaforelor exterioare n material apar tensiuni interne (fore de rezisten) ce se opun deformaiilor.Comportarea elastic a unui material se manifest pn cnd efortul unitar atinge limita de elasticitate,care reprezint tensiunea maxim la care nu se manifest nc deformaiile plastice (deformaiiremanente). Deformaia elastic are un caracter temporar i se manifest prin modificarea dimensiuniii/sau formei.

VI.2. Deformaii plasticePlasticitatea apare la solicitri ale cror valori se situeaz peste limite de elasticitate i se

caracterizeaz prin ireversibilitatea deformaiilor.


29/131

29

n deformaia plastic, lucrul mecanic se consum, prin alunecare sau prin maclare. Alunecareaare loc prin deplasarea relativa a unor zone una fa de alta. Maclarea este o deformaie a unei pri dinmaterial, parte ce capt o alt orientare.

Deformaia plastic nu variaz linear cu efortul unitar i nu se supune legii lui Hooke.

VI.3. Curbe caracteristice

Curbe caracteristice reale i schematizate

Fiecrui material i se poate trasa o curb caracteristic de variaie a deformaiei cu efortul.n funcie de modul de deformare i rupere sub solicitri, materialele se pot mpri n:- Materiale casante sau fragile. Sunt materialele la care ruperea se produce brusc, fr avertizare,

la solicitri puin peste limita de proporionalitate.Exemplu de materiale casante - oeluri cu procent mare de carbon, betonul, piatra natural, sticla.

Figura III.4 Curba caracteristic pentru un material casant

- Materiale tenace sau ductile. Sunt materialele care prezint palier de curgere, rupereaproducndu-se lent, cu avertizare. Curba caracteristic prezint mai multe zone distincte.

* OA - zona de proporionalitate. n aceast zon curba caracteristic este o linie dreapt i naceast zon se aplic legea lui Hooke. Zona de proporionalitate se termin n punctul A la un efortunitar numit limit de proprietate.

* OB - zona de elasticitate. n aceast zon deformaiile sunt de tip elastic, adic elementul revinela dimensiunile iniiale la ncetarea solicitrii. Zona de elasticitate se termin n punctul B la un efortunitar numit limit de elasticitate.

* C - punct n care ncepe curgerea. n acest punct efortul unitar a ajuns la limita de curgere.* CD - palier de curgere. n aceast zon elementul sufer deformaii sub efort constant,

deformaii plastice, remanente.* DE - zon de consolidare. n aceast zon datorit blocrii dislocaiilor elementul sufer

consolidare fiind capabil s preia eforturi mai mari dect efortul de curgere.* EF - zona de rupere. La atingerea rezistenei de rupere, elementul sufer o reducere a seciunii

(gtuire) ce se dezvolt rapid ducnd la rupere la efort mai mic dect efortul de rupere.Exemplu de materiale tenace - oeluri cu procent mic de carbon, aluminiu, plumb, cauciuc, unele

mase plastice.


30/131

30

Figura III.5 Curba caracteristic pentru material ductil

- Materiale plastice. Sunt materialele care solicitate la un efort unitar mai mare dect o anumitvaloare, deformaiile cresc foarte mult la o cretere foarte mic a eforturilor, proces ce se desfoar pnla rupere.

Exemplul de materiale plastice unele mase plastice, argila n anumite condiii de umiditate.

Figura III.6 Curba caracteristic pentru material plastic

Este prezentat curba tipic tensiune nominala deformaie convenionala observat printr-untest simplu la ntindere a unui material. Relaia tensiune-deformaie nceteaz a mai fi liniar la o valoarecert. Aceasta stare limita se numete limita de proporionalitate p . Caracterul de deformare amaterialelor pn la limita de proporionalitate este ntotdeauna liniar, independent de condiia de

ncrcare sau de descrcare. Limita la care deformaia revine ntotdeauna complet la starea iniial, dup odescrcare, se numete limit elastic e . ntruct limita de proporionalitate este n general foarteaproape de limita elastic

, n dezvoltarea teoretic

a plasticit

ii metalelor este convenabil sa se trateze

limita de proporionalitate ca limit elastic.Odat ce s-a efectuat o ncrcare peste limita elastic, o parte din deformaie rmne, chiar i dup

reducerea ncrcrii la zero. Deformaia reversibil se numete deformaie elastic e , n timp cedeformaia ireversibil sau permanent se numete deformaie inelastic. O parte din deformaiainelastic se va restabili cu timpul. Acest fenomen este cunoscut sub numele de efect elastic ntrziat.Partea rmas din deformaia inelastic se numete deformaie permanentsau deformaie rezidual. ngeneral, efectul elastic ntrziat poate fi neglijat i astfel deformaia inelastic poate fi consideratpermanenti se numete deformaie plastic p . Starea limit la care deformaia plastic este vizibil senumetepunct de curgere.

Sunt foarte multe cazurile cnd elemente de construcie sau chiar construcii ntregi, ajung sau sunt

prevzute s suporte solicitri ce depesc limita de elasticitate a materialului. Deformaiile n acest cazintr n domeniul plastic i cresc mult mai repede dect tensiunile. Ca s se poat studia deformareastructurilor dincolo de limita de elasticitate, este necesar s se cunoasc comportarea materialului ndomeniul plastic. Dup cum se tie, proprietile materialelor se definesc n primul rnd cu ajutorul curbei


31/131

31

caracteristice, al crei aspect pentru oel este n general de forma prezentat n figura III.5. Pentruuurarea studiilor se admite ns uneori, c partea din curba caracteristic de dup limita de curgere c, sse asimileze cu o dreapt. Pn la limita de curgere, modulul de elasticitate longitudinal se considerconstant E = tg, iar dincolo de c modulul de elasticitate longitudinal se consider constant Ep = tgp.Noul modul de elasticitate Ep ar constitui prin analogie, un modul de plasticitate al materialului, mult maimic dect modulul de elasticitate E. Urmnd aceasta idee i cum aproape ntotdeauna Ep are valori foartemici, s-a ajuns s se adopte, pentru studiile din zona plastic, o curb caracteristic propus dePRANDTL i care-i poart numele, ca n figura III.7. Dup cum se vede n zona plastic prezint o

paralela la axa Oz i corespunde unui material perfect plastic, care respecta legea lui Hooke pn la limitade curgere iar dup aceast valoare ncepe s capete deformaii continue sub efort constant (Ep = 0) att lantindere ct i la compresiune.

Curba lui PRANDTL este folosit n aplicaii, pentru c simplific multe calcule i duce larezultate satisfctoare n raport cu realitile din construcii.

Figura III.7 Curba caracteristic simplificat

CAP.VII. SOLICITRI SIMPLE. NOIUNI GENERALE

VII.1. Forte axialeVII.1.1. CompresiuneCompresiunea este solicitarea mecanic rezultat din aciunea simultan asupra unui corp a dou

fore egale, convergente pe aceeai direcie.Efectul compresiunii este micorarea corpului pe direcia de aciune a forelor.Dac se consider dou seciuni transversale ale unui corp supus la compresiune, acestea au

tendina de a se apropia.


32/131

32

Figura III.8 Compresiunea

x0>x1 ; l = l2-l1.

Figura III.9 Eforturi i deformaii la compresiune

VII.1.2. ntindere

ntinderea este solicitarea mecanic rezultat din aciunea simultan asupra unui corp a dou foreegale, divergente pe aceeai direcie.

Efectul ntinderii este alungirea corpului pe direcia de aciune a forelor.Dac se consider dou seciuni transversale ale unui corp supus la ntindere, acestea au tendina

de a se ndeprta.


33/131

33

Figura III.10 ntindere

x2>x0 ; l2= l+l0.

Figura III.11 Eforturi i deformaii la ntindere

VII.2. ncovoiere

ncovoierea este solicitarea mecanic rezultat din aciunea asupra unui corp, a unei fore,perpendicular pe axa unei bare sprijinit la ambele capete sau ncastrat la un capt.

Efectul ncovoierii este curbarea elementului. Analiznd elementul n seciune se constat c apareforturi de ntindere n partea convex, eforturi nule n axa neutr i eforturi de compresiune n parteaconcav.

Dac se consider dou seciuni transversale ale unui corp supus la ncovoiere, acestea au tendinade a se roti fa de un pol rmnnd perpendiculare pe axa neutr (axa neutr se deformeaz dar rmnecu lungime constant).


34/131

34

Figura III.14 ncovoiere

X1>X0 >X2Ipoteze Bernoulli:- bare drepte cu seciunea constant;- materiale omogene i izotrope;- funcioneaz legea lui Hooke;- seciunile transversale plane i perpendiculare pe axa neutr rmn plane i perpendiculare

pe axa neutri dup ncovoiere.

Figura III.15 Eforturi i deformaii la ncovoiere

VII.3. Fore tietoare

Tietoarea este solicitarea mecanic rezultat din aciunea simultan asupra unui corp a dou forecare se apropie una fa de alta i care au ca drepte suport dou drepte paralele foarte apropiate.

Efectul tietoarei este fragmentarea corpului n dou pri care sunt mpinse n pri opuse.Fragmentarea se produce daca se depete rezistena la forfecare a materialului din care este realizatcorpul. Planul de forfecare se gsete ntr-o seciune aflat ntre dreptele suport ale forelor.

Dac se consider dou seciuni transversale ale unui corp supus la forfecare, acestea au tendinade a luneca una peste alta.


35/131

35

Figura III.12 Forfecare

Figura III.13 Eforturi la forfecare

VII.4. Rsucire - Torsiune

Torsiunea este solicitarea mecanic rezultat din aciunea asupra unui corp, a unui sistem de foreexterioare ce se reduce la un moment al crui vector este dirijat pe axul longitudinal al corpului.

Efectul torsiunii este rsucirea elementului.Dac se consider dou seciuni transversale ale unui corp supus la torsiune, acestea au tendina de

a se roti una fa de alta, rmnnd paralele ntre ele i perpendiculare pe axa neutr (axa neutr se nu sedeformeazi rmne cu lungime constant).

Figura IV.16 Torsiunea


36/131

36

Figura IV.17 Distribuia eforturilor unitare tangeniale rezultate din torsiune

VIII. Echilibrul

Echilibrul de translaie i de rotaie al unui solid rigid. Un solid rigid, sub aciunea unui sistem defore, poate efectua o micare de translaie sau o micare de rotaie. Deci, n acest caz sunt necesare doucondiii de echilibru pe care le vom studia n cele ce urmeaz.

1. Un corp solid este n echilibru de translaie, n raport cu un sistem de referin inerial, dac esten repaus (echilibru static) sau cnd se afl n micare rectilinie i uniform (echilibru dinamic). Putemtransforma orice caz de echilibru dinamic n echilibru static, plasnd solidul ntr-un sistem de referinconvenabil ales.

Solidul rigid este n echilibru de translaie cnd rezultanta sistemului de fore care acioneaz

asupra lui este zero.Condiie de echilibru de translaie exprimat prin relaia urmtoare:

0FFFFR ni21 =+++++=rrrrr

Relaia exprim prima condiie de echilibru.Proiectnd ecuaia vectorial anterioar pe dou axe perpendiculare Ox i Oy, obinem:

0FFFFR nxixx2x1x =+++++=rrrrr

0FFFFR nyiyy2y1y =+++++=rrrrr

Deci, pentru ca un sistem de fore aplicate unui solid rigid s fie n echilibru de translaie (ntr-un plan),este necesar i suficient ca suma componentelor forelor pe dou axe perpendiculare Ox i Oy s fie nul.


37/131

37

2. Efectul de rotaie produs de o for asupra unui solid este msurat prin momentul forei n raportcu un punct sau cu o ax.

Solidul rigid este n echilibru de rotaie cnd se aib n repaus sau cnd se rotete uniform n jurulunei axe. Pentru a fi ndeplinite aceste condiii este necesar i suficient ca momentul rezultant al foreloraplicate solidului s fie nul.

0MMMMM ni21 =+++++=rrrrr

Aceast relaia exprim a doua condiie de echilibru, numiti condiia de echilibru de rotaie.Spunem despre un corp c este n echilibru dac sunt satisfcute simultan ambele relaii:

0R =r

0M =r

Tipuri de echilibru

Figura VII.1. Tipuri de echilibru

Dac asupra unui corp aflat n echilibru acionm cu o for perturbatoare care ndeprteaz puincorpul de poziia de echilibru static iniial, pot interveni trei situaii:

a) echilibru stabil corpul se ndeprteaz de poziia iniial mutndu-se ntr-o nou poziie deechilibru

b) echilibru instabil corpul se ndeprteaz de poziia iniial, asupra lui acionnd o forrezultant care ndeprteazi mai mult corpul de poziia de echilibru

c) echilibru indiferent corpul se ndeprteaz de poziia iniial, asupra lui acionnd o forrezultant care readuce corpul de poziia de echilibru iniial.

Numrul de grade de libertate a unui corp n spaiu este de 6, translaie pe axa OX, translaie peaxa OY, translaie pe axa OZ, rotaie pe axa OX, rotaie pe axa OY i rotaie pa axa OZ. Numrul degrade de libertate a unui corp n plan este de 6, translaie pe axa OX, translaie pe axa OY i rotaie pa axaOZ.

Pentru ca un corp s fie n echilibru trebuie s aib un numr minim de legturi egal cu numrul degrade de libertate. Deci un corp este n echilibru n spaiu dac are 6 legturi i este n echilibru n plandac are 3 legturi.

Un sistem de n corpuri este n echilibru n spaiu dac are minim 6n legturi sau 3n legturi pentruechilibru n plan. Aceste legturi pot fi legturi interioare (ntre corpurile sistemului) sau/i exterioare(ntre corpurile sistemului

i alte corpuri care nu fac parte din sistem-mediu nconjur

tor).

Spunem despre un sistem plan de corpuri c este:


38/131

38

- static determinat dac suma numrul de legturi interioare (rezemri) i interioare este strictegal cu 3n. Sistemul poate fi rezolvat prin simple ecuaii de fore i momente;

3n = l+runde: l - numrul de legturi interioare

r - numrul de legturi exterioarec - numrul de corpuri.

- static nedeterminatdac suma numrului de legturi exterioare (rezemri) i interioare este mai

mare dect 3n. Sistemul nu poate fi rezolvat prin simple ecuaii de fore i momente;3n l+r

- mecanism dac suma numrului de legturi exterioare (rezemri) i interioare este mai mic dectcu 3n. Sistemul nu este stabil.

3n l+r

Legturile structurilor cu mediul nconjurtor sunt numite generic reazeme. n schema static decalcul, reazemele se nlocuiesc cu forele care apar n aceste legturi cu mediul nconjurtor, fore cepoart numele generic de reaciuni.

Pentru legturile cu mediul exterior n plan exist trei tipuri de reazeme:Reazemul simplu. mpiedic numai deplasarea pe direcia perpendicular reazemului,

deci n reazemul simplu apare o singur reaciune pe direcia mpiedicat (de regul vertical V).Articulaia permite numai rotirea n jurul punctului de articulaie i mpiedic deplasrile

elementului structural n planul n care este coninut. Prin urmare, ntr-o articulaie apar dou reaciuni pedou direcii perpendiculare (de regul, orizontal H i vertical V)

ncastrarea nu permite nici deplasri i nici rotiri, deci ntr-o ncastrare apar doureaciuni tip for; una orizontal H i alta vertical V (ca urmare a mpiedicrii deplasrilor n plan) i oreaciune tip moment M (ca urmare a mpiedicrii rotirii).

Figura VII.2. Tipuri de reazeme

CAP.IX. PIESE CU SECIUNI NEOMOGENE

Sunt cazuri cnd eforturile axiale nu pot fi determinate cu ajutorul ecuaiilor de echilibru alestaticii. Pentru determinarea acestor eforturi este nevoie s se ia n considerare i modul n care seproduc deformaiile. Astfel se obin ecuaii suplimentare folosind legtura dintre deformaii itensiuni. Problemele de felul acesta se numesc static nedeterminate, iar sistemele respective de fore ireaciuni sunt sisteme static nedeterminate.

Un astfel de caz este cel al pieselor formate din mai multe materiale, numite n mod curentpiese cu seciuni neomogene:

piesele din betoni o

el (beton armat);

din lemn i metal;din oeluri de caliti diferite.


39/131

39

Fie o pies a crei seciune A este compus din seciunile A1,A2, ., An ale celor n materialediferite din care este alctuit piesa i notam modulurile de elasticitate longitudinal ale acestormateriale cu E1, E2,...,En. Considerm c piesa este solicitat axial de o for N, i vrem s aflm cumse distribuie fora axial N la fiecare seciune An ce compune bara i tensiunile unitare corespunztoare n.Dac ncercm s rezolvm problema statica nu avem la dispoziie dect o ecuaie cu n necunoscute

N =N1 + N2 + ... + Nn=1A1 + 2A2 + ... + iAi + ... + n,An (1)

Pentru a gsi nc (n1) ecuaii necesare, considernd valabile ipotezele lui Bernoulli (seciuniletransversale plane i normale pe axa nainte de deformare, rmn tot astfel i dup deformare) de underezult ca alungirile (scurtrile) specifice trebuie s fie aceleai pentru fibrele tuturor materialelor dinpies, rezult :

= 1 = 2 == i = n ; =i

i

E

(2)

iE1 =

2

2

E

=.=

i

i

E

=.=

n

n

E

= (3)

Din expresiile (1), (2) i (3), putem afla att tensiunile unitare 1,2,.,i ,..,n ct i eforturileN1, N2,...Ni, ....., Nn.

Pentru aflarea eforturilor unitare nmulim rapoartele (3) la numrtor i la numitor, cu aria seciuniirespective A1, A2 Ai. An, i adunndu-le, se obine:

=1

1

E

=

2

2

E

=.=

n

n

E

=

1

11

AE

A

i

=

22

22

AE

A=.=

nn

nn

AE

A=

ii

n

l

ii

n

i

AE

A

=

ii

n

lAE

N

(4)

i

i

E

=

ii

n

lAE

N

i =

ii

n

l

i

AE

NE

(5)

Astfel, cunoscnd tensiunea unitar din fiecare material se poate calcula efortul ce revine fiecruia:

Ni = iAi Ni =ii

n

l

ii

AE

ANE

(6)

Verificarea rezistenei unei bare neomogene presupune determinarea efortului unitar n fiecarematerial (1, 2,, i, ,n) i compararea acestor valori cu rezistenele admisibile respective (l adm, 2adm, ,i adm, ,n adm).

Pentru exemplificare vom considera un stlp din beton armat comprimat centric cu fora N. Dacnotm seciunea transversal a stlpului cu A, seciunea de beton cu Abi cu Aa seciunea de armturi,putem scrie:

A = Ab + Aa (7)

Notm cu Eb i Ea modulul de elasticitate longitudinal a betonului respectiv modulul de elasticitatelongitudinal a armturii.

Conform relaia (5) putem afla eforturile unitare:

b =aabb

b

AEAE

NE

+

a =aabb

a

AEAE

NE

+

(8)

n relaia (8), dac nlocuim raportulb

a

E

Ecu n, rezult eforturile unitare n beton, respectiv n armtur:


40/131

40

b =aabb

b

AEAE

NE

+=

ab

ab AE

EA

N

+

=ab nAA

N

+(9)

similar putem scrie: a =aabb

a

AEAE

NE

+=

ab

ab AE

EA

Nn

+

=

ab nAA

Nn

+

= nb

Pentru verificarea rezistenei unei bare neomogene realizate din beton armat aceste valori se verific

astfel: bb admaaadm

Din relaia (9) putem afla eforturile din beton i din armtur:

Nb =aabb

bb

AEAE

ANE

+=

ab

b

nAA

NA

+(10)

Na =aabb

aa

AEAE

ANE

+=

ab

a

nAA

NA

+

Din legea lui Hooke i relaia (8) putem determina scurtarea specifici scurtarea total: =

b

b

E

=

a

a

E

=

aabb AEAE

N

+(11)

l = l =aabb AEAE

Nl

+(12)

CAP. X. TENSIUNEA DETERMINAT DE VARIAIILE DE TEMPERATUR

Presupunem o bara de lungime l, a crei temperatur variaz de la t0 la t1 grade Celsius i dacmaterialul are coeficientul de dilatare termic, bara se dilat conform relaiei urmtoare:

l = l(tt0)

Din relaia aceasta se vede ca daca tt0 = 1, atunci este lungirea specific corespunztoarevariaiei de temperatur de un grad.

Cnd dilatarea barei este mpiedicat, n bar se produc tensiuni corespunztoare unor eforturide compresiune axial N, echivalente cu cele ce s-ar produce ntr-o bar dilatat liber cu l, dac ar ficomprimat aa fel ca s fie readus la lungimea ei iniial, adic ar fi fcut s se scurteze cu acelai l.Dac nu este depit limita de proporionalitate a materialului, conform cu legea lui Hooke:

l = l(tt0) =E

l

E = = l(tt0)

= El(tt0)

n sistemele de bare static determinate, dilatarea fiecrei bare este liber, aa c n acestea nu pots apar tensiuni datorate variaiilor de temperatur. La sistemele static nedeterminate ns, deformaiilefiind mpiedicate prin legturile suplimentare, variaiile de temperatur provoac eforturi axiale de

ntinderi sau de compresiuni i deci tensiuni corespunztoare. Aceste tensiuni pot fi uneori foarteimportante; ca s se evite efectele duntoare ale unor asemenea dilatri sau contractri mpiedicate, laconstruciile mari se prevd ntreruperi ale structurii, denumite rosturi de dilataie. Rosturile permitdilatri libere pe tronsoane; aceste rosturi sunt indispensabile acolo unde elementele sunt supuse lavariaii mari de temperatur (nsorire, apropiere de surse de cldur).


41/131

41

CAP. XI. CALCULUL LA SOLICITRI SIMPLE

XI.1 ntindere compresiune centric

Cnd o for exterioar F are ca suport axa barei solicitarea este numit solicitare axial. Carspuns la aciunea exterioar n bar apar tensiuni paralele cu axa barei numite tensiuni axiale,tensiuni de tip "", normale pe seciunea transversal a barei. Rezultanta acestor tensiuni pe oseciune transversal de arie "A" este efortul axial:

Nx = dAA

x

Cu excepia unei zone reduse n apropierea punctului de aplicaie al forei exterioare se admite ctensiunile aprute ntr-o seciune transversal a barei sunt uniform repartizate, astfel ca efortul axialrezult din:

N = A

tensiunile axiale devin: N =A

[N/m

2]

Aceast relaie se folosete pentru rezolvarea celor trei probleme ale rezistenei materialelor:- Verificarea: se cunosc forele care solicit bara, seciunea ei i materialul din care este

confecionat i se verific ca tensiunile efective s nu depeasc o anumit limit rezistenaadmisibil "adm" adic tensiunea maxim pe care o poate prelua materialul respectiv:

ef =A

Nadm [N/m

2]

- Dimensionarea: se cunosc forele care solicit bari materialul din care este confecionat i sedetermin mrimea necesar a seciunii transversale :

Anec =adm

N

[m

2]

- Determinarea forei capabile: se cunosc dimensiunile geometrice i materialul i se determin


42/131

42

efortul capabil de a fi suportat de bar :

Ncap = Aadm [N] (3.5)

- Determinarea deformaiei specifice: Deformaiile specifice produse ntr-o bar dreapt de un efort dentindere sau compresiune sunt prin definiie raportul dintre alungirea li lungimea iniial l0:

=

0l

l

Din legea lui Hooke de legtur ntre tensiuni i deformaii rezult =EA

N,

Produsul EA reprezint o caracteristic legat de geometria barei i de proprietile mecanice alematerialului i este denumit rigiditate la ntindere (compresiune).

XI.2 Forfecarea

Dac o bar este solicitat de dou fore egale i de sens contrar, normale pe axi cu punte deaplicare apropiate, se spune c bara este solicitat la forfecare (sau tiere). In practic, forfecarea, este

nsoit

de ncovoiere datorit

distanei "d" dintre for

ele cuplului. Ins

n cazul n care distan

a "d"este

mic se poate neglija aportul dat de ncovoiere iar tensiunile tangeniale date de forele tietoare "T"se

consider uniform distribuite pe seciunea barei (ipotez corect cnd seciunile sunt reduse): =A

T

[N/m2]

Verificare:

ef=AT adm [N/m2] "adm"este rezistena admisibil la forfecare : adm = (0.6 0.8)a

Dimensionare:

A =adm

T

[m2]

Determinarea forei tietoare capabile:Tcap= Aadm [N]

Determinarea deformaiei specifice:=G [N/m2]


43/131

43

=G

=

AG

T

Produsul GA reprezint o caracteristic legat de geometria barei i de proprietile mecanice alematerialului i este denumit rigiditate la forfecare.

XI.3. ncovoierea pur

n cazul n care singurul efort secional dintr-o bar (sau o poriune a barei) este momentul ncovoietorM z solicitarea este numit ncovoiere pur. ncovoierea pur este foarte rar ntlnit, de obiceincovoierea este ntlnit alturi de forfecare i / sau for axial.

n acest caz, dou seciuni plane aflate anterior deformrii la distana dx se rotesc una fa de alta,rotirea avnd loc n jurul unei axe perpendiculare pe planul de ncovoiere

Grind dreapt solicitat la ncovoiere pur nainte de ncovoiere dup ncovoiere


44/131

44

n urma ncovoierii grinda se va deforma i vor exista fibre comprimate i fibre alungite. n cazulprezentat fibra ntinsa se afla jos iar fibra comprimat sus. Din aceste observaii rezult c existsuprafee n care fibrele rmn nedeformate, numitsuprafa neutr. Intersecia suprafeei neutre cuseciunea transversal este numit axa neutr a seciunii, iar intersecia axelor neutre cu planul de

ncovoiere reprezintaxa medie deformatTensiunea dintr-o fibr longitudinal situat la distana y de axa neutr este dat de formula lui

NAVIER.

= z

z

I

M

y

Rezult c tensiunea maximmax apare n fibrele cele mai deprtate de axa neutr

max=z

z

I

Mymax

Dac notm Wz=max

y

z

Irezult max=

z

z

W

M

"W"este modulul de rezisten la ncovoiere.Modulul de rezisten la ncovoiere pentru seciuni dreptunghiulare este

W=12

bh2

Seciune circular Wz= Wz=32

d3

Seciune inelar Wz= Wz=32D

)dD( 44

Deformaia de ncovoiere, rotirea specific "", se poate obine aa cum am artat anterior dinformula lui Navier i legea lui Hooke.

y

=

1=

Legea lui Hooke = E

Mz= dAyA

2

= dAy

E

A

2

= dAy

E

A

2

dAyA

2 = IZ

Mz=

EIZ

1=

z

z

EI

M =

1=

z

z

EI

M

Produsul EI este numit rigiditate la ncovoiere.

- Verificare :

max=z

z

IM ymax adm

- Dimensionare :


45/131

45

W nec=z

zM

- Determinarea momentului ncovoietor capabil :M cap= Wzadm

- Determinarea rotirii specifice :

= EI

M

XI.4 Torsiunea barelor circulare

Dac considerm o poriune "dx" dintr-o bar, cu raza "r", solicitat la torsiune putem scrie:

tg =dx

nn ,

tg (d) d =r

nn ,

dx = r d

= rdx

d= r

unde: este rsucirea specific (unghiul cu care se rotesc dou seciuni situate la o distan egal cuunitatea).

este lunecarea specific

legea lui Hooke = G = Gr [N/m2]

Din considerente de echilibru, momentul de torsiune Mt trebuie s fie egal cu suma momentelortensiunilor tangeniale n raport cu centrul seciunii O :


46/131

46

Mt = A

rdA

Mt = A

2dArG = G A

2dAr = GIp

A

2dAr = Ip momentul polar al seciunii

G = p

t

I

M

= G = Gr =p

t

I

rM

valoarea maximmax =p

t

I

RM=

p

t

W

M

Wp =R

Ipmomentul de rezisten polar

Pentru seciunile circulareIp =

4

32

[ ]4m

Wp =3

16

[ ]3m

- Verificarea:

max=p

t

W

M adm [N/m

2]

- Dimensionarea :

W nec=adm

tM

[ ]3m

- Determinarea momentului de torsiune capabil :Mt cap = Wp adm [Nm]

- Determinarea rsucirii specifice :

=p

t

IG

M

[rad/m]

Produsul GIp poart numele de rigiditate la torsiune.

CAP. XII. SOLICITRI COMPUSE

n practic, un element este solicitat foarte rar la o solicitare simpl. De cele mai multe orielementele sunt supuse solicitrilor complexe, formate prin combinarea celor patru tipuri de solicitrisimple (axiale, forfecare, torsiune, ncovoiere). Cele mai ntlnite i mai importante solicitri compusesunt - ncovoiere cu for axiali ncovoiere cu for tietoare. Aceste dou combinaii dimensioneazde cele mai multe ori elementele structurale.

Utiliznd principiul suprapunerii forelor i a efectelor, n elasticitatea liniar, putem spune c -efectul solicitrii compuse poate fi determinat prin nsumarea efectelor date de solicitrile simplecomponente.

n cazul unei solicitri compuse formate din solicitri simple care dau pe seciune acelai tip de


47/131

47

tensiuni nsumarea se rezum la o suma algebric a tensiunilor. Este cazul ncovoierii cu for axialcnd pe seciune apar numai tensiuni normale de tip .

n cazul unei solicitri compuse formate din solicitri simple care dau pe seciune att tensiuninormale ct i tensiuni tangeniale efectele combinate apar pe anumite direcii i au un moddeosebit de nsumare. Este cazul ncovoierii cu for tietoare unde trebuie nsumate tensiuni normaledate de momentul ncovoietor cu tensiuni tangeniale date de fora tietoare.

XII.1 ncovoiere cu for axial

Aceast solicitare produce numai tensiuni normale , rezultate din nsumarea tensiunilor normaledate de momentele ncovoietoare cu tensiunile normale provocate de forele axiale.

Aceste solicitri mai sunt denumite i solicitri de ntindere sau compresiune excentricdeoarece sunt provocate de aplicarea forei axiale ntr-un punct situat la o distan de centrul de greutateale seciunii transversale.

Presupunem situaia n care un stlp dintr-un material omogen, cu seciune transversaldreptunghiular, este solicitat de o for axial "N" paralel cu axa barei, coninut ntr-un plan desimetrie la distan "e" de axa Ox . Reducnd fora axial "N"n centrul de greutate al seciunii, efectulei este nlocuit prin suprapunerea efectelor unei fore axiale "N"i a unui moment ncovoietorM = N e.

= N+M = +A

N

z

z

I

My = y

I

eN

A

N

z

+ =

+ 2

zi

ye1

A

N

Iy = Aiz2 ( iz este raza de giraie, o msur a mprtierii materialului fa de axa respectiv).

Axa neutr este axa ce conine toate punctele cu efort unitar 0. Poziia axei neutre se poate obineimpunnd condiia = 0, deoarece tensiunile din axa neutr sunt nule.

+ 2

ziye1 = 0 y0 = - e

i2

z

Deci, poziia axei neutre este opus excentricitii i invers proporional cu mrimea


48/131

48

excentricitii.Pentru materialele care nu rezist bine la ntindere este important ca axa neutr s fie situat n

afara seciunii astfel ca seciunea s fie solicitat numai la compresiune. Apariia tensiunilor de ntindereprezint o importan deosebita n cazul materialelor care nu pot prelua asemenea tensiuni, cum estecazul betonului.

Poziia limit a axei neutre pentru a nu apare ntinderi n seciune este tangenta la conturulseciunii transversale. Astfel, pentru o seciune dreptunghiular cu:

2

zi = A

Iz= 12

h 2

y0 = 2

h

+ 2

zi

ye1 = 0 y0 = -

e

i2z ey max =

6

h

Analog ez max =6

b

ez max , ey max excentricitile maxime de aplicare a forelor care nu produc ntinderi.

Smbure central

Sunt foarte multe cazuri n construcii cnd poate s intereseze ca o piesa solicitat de o sarcinaxial excentric, s nu aib pe seciunile ei dect un singur fel de tensiuni: sau numai ntinderi, saunumai compresiuni. Pentru aceasta trebuie ca axa neutra s nu taie seciunea, adic s se situeze n afaraacesteia, sau, cel mult, la limita, s fie tangenta la conturul seciunii.

Pentru ca o tangent s fie axa neutr, trebuie ca sarcina excentric, corespunztoare acesteia, sfie aplicat ntr-un anumit punct a de pe seciune. De asemenea, oricror altor, tangente care nu taieseciunea, le corespunde cte un punct a a1,...an etc. n care trebuie s se gseasc aplicat o sarcinexcentric pentru ca ele s fie axe neutre. Dac se unesc toate punctele ca a, a1 an, se obine, o curb

nchis; ea este denumit limita smburelui central i constituie locul geometric al punctelor de aplicaie asarcinilor excentrice crora le corespund axe neutre tangente la conturul seciunii. Suprafaa cuprins ininteriorul acestei curbe nchise este ceea ce se numete smburele central al seciunii respective.

XII.2 ncovoiere cu for tietoare

n general, n orice bar supus la ncovoiere, n afar de tensiunile normale de compresiune sauntindere produse de momentul ncovoietorM, apar i tensiuni tangeniale produse de fora tietoare T.Tensiunile normale datorate momentului ncovoietorMsunt date de formula lui Navier i au o distribuieliniar.


49/131

49

x=z

z

I

My

Tensiunile tangeniale date de fora tietoare T sunt date de formula lui Juravski

xy =

zbI

SzT=

zI2

T

2

2

y4

h

unde:- T este fora tietoare din seciunea transversal,- by este limea seciunii transversale la distana y de axa neutr,- Iz este momentul de inerie al ntregii seciuni fa de axa neutr,- Sy este momentul static al suprafeei A cuprins ntre cota y i marginea seciunii (cota h/2).Conform definiiei, momentul static este egal cu aria suprafeei A nmulit cu distana de la centrul degreutate al acestei suprafee la axa neutr yg.

Din relaia anterioar se observ c eforturile tangeniale sunt maxime n centrul seciunii, nule lafibrele exterioare i au o distribuie parabolic.

n zonele n care sunt prezente att tensiuni normale ct i tensiuni tangeniale , materialul estesupus unei solicitri complexe iar efectele maxime sunt produse pe direciile principale 1 i 2 de ctretensiuni principale 1i 2.

tg 21,2 =

2

1,2 =22

2

1

2+

Si aceast solicitare prezint importan pentru betonul armat deoarece tensiunile principale de

ntindere apar pe direcii principale rotite cu un unghi de 450 fa de axa barei iar aceste tensiuniprincipale nu pot fi suportate de beton i trebuie preluate cu bare de armtur.

echivalent =22 3 + 1,1R


50/131


51/131

51

C) SCHEMA STATIC A STRUCTURILOR1) Elemente liniare

- rezemri pe dou laturielemente principale transversale

elemente principale longitudinaleelemente principale transversale i longitudinale- rezemri pe patru laturi

Reele de elemente transversale i longitudinale2) Subansambluri spaiale3) Ansambluri spaiale

D)MATERIALE FOLOSITE1) Beton armat2) Beton precompimat

3) Metal4) Lemn5) Alte materiale

Pot fi realizate unitar dint-un singur matrial sau mixt, din dousau mai multe materiale

E) ACIUNI1) Greutate proprie2) Sarcini utile3) Climatice

- vnt

- zpad4) Seism

F) ROSTURIDistana ntre rosturi de dilatare

- la constr. metalice 100-120m- la constr. b.a. 40-60m

La construciile realizate ca ansamblu structural nu se fac rosturi

G)FUNCIUNIIndustriale HALComercial SAL sau DEPOZITSport SALCultural SAL


52/131

52

MBINRI DEMONTABIL

Prindere mbinare prin care se realiyeaz fixarea unor piese se altelenndiri -mbinri prin care se obin piese cu lungime mai mare din piese cu lungime mai

mic (nndirea panelor continue, nndirea grinzilor cilor de rulare etc.).mbinri de asamblare -mbinri prin care se realizeaz o pies din mai multe profile

laminate

mbinrile, n funcie de locul lor de execuie, se clasific n mbinri de antier i mbinride uzin; asemenea mbinri sunt impuse de lungimile maxime de transport, respectiv lungimilede livrare ale laminatelor.

A)Alegerea diametrului tijei

2,0t5d = d diametrul urubt grosimea minim a pachetuluiB)Verificarea la forfecare

af

2

fef 4

dnN

=

nf numrul seciunilor de forfecare

C)Verificarea la presiune pe gaur

agcg )t(dN =

D)Verificarea la ntindere

ai

2

ci 4

dN

=


53/131

53

Eclise- trebuie s ndeplineasc urmtoarele condiii

iee Aht2A >=

iee W

6

ht2W >=

Determinarea efortului n surubul cel mai solicitat

n

HNH =

n

TNT =

n numrul de uruburi

)yx(

yMN

2i

2i

maxmaxM

+

=

2

MH

2

T

max

rez )NN()N(N ++=

Verificarea de rezisten

)N,Nmin(N cgefmaxrez

Cosiderm curubul aflat la distana unitar se ncarc cu efortul N1.rezult c efortulntr-unurub aflat la distana ri ae ncarc cu Nni = Niri

Codiia de echilibru

==n

i

2iiii

n

irNrNM


54/131

54

=

n

i

2i

1

r

MN

=

n

i

2i

ini

r

rMN

Determinarea efortului n surubul cel mai solicitat

n

HNH =

2i

maxmaxM y

yMN

=

maxMH

maxrez NNN +=

Verificarea de rezisten

cirez NN


55/131

55

Determinarea ef

IIIsem 2 M.Alexe

Documents

Transcript of IIIsem 2 M.Alexe