haimovici2015
-
Upload
roxana-elena-damoc -
Category
Documents
-
view
216 -
download
1
description
Transcript of haimovici2015
Liceul Teoretic ,, Vasile Alecsandri”
Săbăoani-Neamţ
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ
,,ADOLF HAIMOVICI”
Faza locală-30 ianuarie 2015
Profil real, specializarea ştiinte ale naturii
Clasa a X-a
1. Să se rezolve ecuațiile:
a) √ x+3x+4
+6√ x+4x+3
−5=0 ; b)
√ x+3√x+4
+6 √x+4√ x+3
−5=0
2. Demonstrați că expresia
E=xloga
yz⋅y
logazx ¿ z
logaxy
este constantă pentru toate valorile admisibile ale lui a, x, y si z.
3. Se consideră mulțimea A={ z∈C||z|=1 } .
a) Arătați că ( 1
2−√3
2i)
2013
∈ A.
b) Arătați că pentru orice z1 , z2∈ A , avem z1 . z2∈ A .
c) Determinați z1, z2, z3∈ A astfel încât z1+z2+z3=3 .
4. În urma unei cercetări, s-a stabilit că solubilitatea în apă a unei substanțe s în raport cu
temperatura (măsură în grade Celsius) este dată de o formulă de forma
S( t )=at2+bt+c , a, b, c (0Є ,∞), iar t≥10 (grade Celsius). Experimental, s-au determinat
valorile solubilității în câteva temperaturi, anume : S1=10, S2=15, S3=25, pentru
temperaturile t1=20, t2=25, t3=30. (Solubilitatea S este exprimată în grame substanță s la 100
g apă.)
a) Găsiți valoarea solubilității substanței date s la temperatura de 50o.
b) Arătați că există doua temperaturi diferite la care solubilitatea substanței s este
aceeași.
Notă: Toate subiectele sunt obligatorii.
Fiecare subiect are 7 puncte
Timp efectiv de lucru: 3 ore.
BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE
1. a) xϵ(-∞,-4)⋃(-3,∞) ......................................................................................................1p
Rezolvarea ecuației t2-5t+6=0, unde t=√ x+3
x+4 …………………………….………2p
Determinarea soluțiilor …………………………………………………………………2p
b) xϵ(-3,∞) ...................................................................................................................1p
Ecuația nu are soluții .................................................................................................1p
2.E=( y
z )loga x
⋅( zx )
loga y
¿( xy )
loga z
…………………………………………………………3p
E= yloga x
zlog
ax ¿ z
loga y
xlog
ay ¿ x
logaz
ylog
az
…………………………………………………………...……2p
E=1 ……………………………………………………………………………………2p
3. a) Se arată că modulul este 1 ……………………………………………………….……2p
b ) |z1 z2|=|z1|⋅|z2|=1⇒|z1⋅z2|∈ A
………………………………………………….…..2p
c) zk=costk+isintk , kϵ{1,2,3},Rezulta cost1+cost2+cost3=3………… ……………………1p
-1≤costk≤1;Rezulta cost1=cost2=cost3=1, de unde z1=z2=z3=1……………………….2p
4. a)S(20)=10; S(25)=15 ; S(30)=25 ……………………………………………………..…1p
Determinarea S(t) =0,1t2-3,5t+40 în condițiile date …....................................................3p
Găsirea solubilității la 50o, S(50) =115………………………………………….…………1p
b ) S(t) este o functie de gradul al doilea care admite un punct de minim tmin=17,5………1p
In punctele tmin-to si tmin+to functia ia aceeasi valoare. De exemplu, pentru to=7,5 ,
adica la temperaturile de 10o,respectiv 25o, solubilitatea este 15………………………1p