Grupa 1Grupa 1

Acest proiect a fost realizat deAcest proiect a fost realizat de::

Bercea MihaelaBercea Mihaela

Gazdac AndreeaGazdac Andreea

Bodea CalinBodea Calin

Oltean FlorinOltean Florin

Turc MihaiTurc Mihai

Formule de calcul prescurtatFormule de calcul prescurtat

Patratul sumei a doua numere reale Patratul sumei a doua numere reale este egal cu patratul primului termen este egal cu patratul primului termen al sumei adunat cu de doua ori al sumei adunat cu de doua ori produsul celor doi termeni adunat cu produsul celor doi termeni adunat cu patratul celui de-al doilea termen.patratul celui de-al doilea termen.

(A+B)(A+B)²²=A=A²²+2AB+B+2AB+B²²

Patratul sumei de doi termeniPatratul sumei de doi termeni (a+b)(a+b)²=a²+2ab+b²²=a²+2ab+b²

Demonstratia algebrica:Demonstratia algebrica:

(a+b)(a+b)²=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=²=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=

=a²+ab+ba+b²=a²+2ab+b²=a²+ab+ba+b²=a²+2ab+b²

comutativitatea inmultirii

produsul dintre doua sume algebrice

def. puterii

Demonstratia Demonstratia geometrica:geometrica:

Patratul ABCD din figura de mai Patratul ABCD din figura de mai jos are latura egala cu a+b si jos are latura egala cu a+b si atunci aria sa este (a+b)atunci aria sa este (a+b)². Dar ². Dar aria patratului este egala si cu aria patratului este egala si cu suma ariilorsuma ariilor figurilor ce il figurilor ce il compun: patratul de latura compun: patratul de latura a,care are aria egala cu aa,care are aria egala cu a²;²; patratul de latura b, care are patratul de latura b, care are aria egala cu baria egala cu b² si cele doua ² si cele doua dreptunghiuri de dimensiuni a dreptunghiuri de dimensiuni a si b, care au aria egala cu ab.si b, care au aria egala cu ab.

Asadar:Asadar:

(a+b)²=a²+ab+ab+b²=a²+(a+b)²=a²+ab+ab+b²=a²+2ab+b²2ab+b²

a²a² abab

aa

bb

abab b²b²

A a b B

D a b C

ExempleExemple

(√3+√2)(√3+√2)²²=(√3)=(√3)²²+(√2)+(√2)²²+2+2· · √3 √3 · · √2=3+2+2√6=5+2√6√2=3+2+2√6=5+2√6

(4+3)(4+3)²²=4=4²²+2+2··44··3+33+3²² (13+5)²=13²+2·13·5+5²(13+5)²=13²+2·13·5+5² (5+20)²=5²+2·5·20+20²(5+20)²=5²+2·5·20+20² ((√√8+8+√√3)²=3)²=√√8²+2·8²+2·√√8·8·√√3+3+√√3²3² ((√√9+9+√√7)²= 7)²= √√9²+2·9²+2·√√9·9·√√7+7+√√7²7²

2. Patratul diferentei de doi termeni2. Patratul diferentei de doi termeni (a-b) (a-b)²=a²-2ab+b²²=a²-2ab+b²

Demonstratia algebrica:Demonstratia algebrica:

(a-b)(a-b)²=(a-b)(a-b)=a(a-b)-b(a-b)=²=(a-b)(a-b)=a(a-b)-b(a-b)=

=a²-ab-ba+b²=a²-2ab+b²=a²-ab-ba+b²=a²-2ab+b²

produsul a doua sume algebrice

comutativitatea inmultirii si regula semnelor

def. puterii

Demonstratia Demonstratia geometrica:geometrica:

Patratul ABCD din figura de mai jos Patratul ABCD din figura de mai jos are latura egala cu a. Pe latura AB are latura egala cu a. Pe latura AB lumam punctul M a.lumam punctul M a.î. MB sa fie î. MB sa fie egal cu b, deci AM egal cu (a-b).egal cu b, deci AM egal cu (a-b).

Construim in interiorul patratului Construim in interiorul patratului ABCD patratul AMRQ de latura (a-ABCD patratul AMRQ de latura (a-b) si obtinem ca aria lui ABCD b) si obtinem ca aria lui ABCD este egala cu suma dintre aria lui este egala cu suma dintre aria lui AMRQ si ariile dreptunghiurilor AMRQ si ariile dreptunghiurilor QDCP si MBCN-ambele de QDCP si MBCN-ambele de dimensiuni a si b, si sa scadem dimensiuni a si b, si sa scadem aria patratului RPCN de latura b aria patratului RPCN de latura b pentru ca el este parte si din pentru ca el este parte si din MBCN si din QDCP.MBCN si din QDCP.

Asadar: a²=(a-b)²+ab+ab-b² , de Asadar: a²=(a-b)²+ab+ab-b² , de unde se obtinem simplu:unde se obtinem simplu:

(a-b)²=a²-2ab+b²(a-b)²=a²-2ab+b²

RR PP

PP

bb

bbbb

QQ

D (a-b) N b C

A (a-b) M b B

ExempleExemple

(x-y)(x-y)²²=x=x²²+(-y)+(-y)²²+2+2··xx··(-y)=x(-y)=x²²+y+y²²-2xy-2xy (2-3)²=2²-2·2·3+3²(2-3)²=2²-2·2·3+3² (10-7)²=10²-2·10·7+7²(10-7)²=10²-2·10·7+7² (15-4)²=15²-2·15·4+4²(15-4)²=15²-2·15·4+4² (3a-1b)²=3a²-2·3a·1b+1b²(3a-1b)²=3a²-2·3a·1b+1b² (9a-5b)²=9a²-2·9a·5b+5b²(9a-5b)²=9a²-2·9a·5b+5b²

3. Produsul sumei cu diferenta 3. Produsul sumei cu diferenta acelorasi termeni:acelorasi termeni: (a+b)(a-b)=a (a+b)(a-b)=a²-b²²-b²

Demonstratia algebrica:Demonstratia algebrica:

(a+b)(a-b)=a(a-b)+b(a-b)(a+b)(a-b)=a(a-b)+b(a-b)

=a=a²-ab+ba-b²²-ab+ba-b²

=a²-b²=a²-b² a doua sume algebrice

Reducerea termenilor opusi

ExempleExemple

((√√2+1)(2+1)(√√2-1)=(2-1)=(√√2)²-1=2-1=12)²-1=2-1=1 (5+3)(5-3)=5²-3²(5+3)(5-3)=5²-3² (3+1)(3-1)=3²-1(3+1)(3-1)=3²-1 (9+3)(9-3)=9²-3²(9+3)(9-3)=9²-3² ((√√5+3)(5+3)(√√5-3)=(5-3)=(√√5)²-3²5)²-3² ((√√4+4+√√4)(4)(√√4-4-√√4)=(4)=(√√4)²-(4)²-(√√4)²4)²