Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010

8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010

1/74

Prof. univ. dr. ing. Ghiu Dumitru

Geodezie

fizic

Universitatea "Transilvania" din Braov


2/74

2010

Introducere

Manualul de fa reprezint cursul universitar pe care urmeaz s-l predau ncepnd cu anul

universitar 2011-2012 la Universitatea Transilvania din Braov.!ursul de fa este o adaptare a

manualului universitar Geodezie i gravimetrie geodezic, pulicat de autor n anul 1#$% laEditura

Didactic& 'ucrarea poate fi util i altor studeni care audiaz prele(eri de Geodezie fizic, precum i

specialiilor interesai n acest domeniu&

)olumul de pa(ini al manualului este n concordan cu numrul de ore prevzute n viitorul

plan de nvmnt* ceea ce a impus o anumit selecie a prolematicii aordate& +in acest motiv* n

manual nu au fost cuprinse unele proleme mai deoseite de (eodezie fizic ,dezvoltri n serii

elipsoidale* determinarea practic a (eoidului &a&* situaii n care s-au fcut trimiteri la lucrri de

specialitate mai e.tinse&

+in acelai motiv* la te.tul propriu / zis al manualului s-au adu(at un numr de Anexen care

sunt e.puse* la un nivel accesiil studenilor* noiuni de Alger sau Analiz matematic, folosite

frecvent n manual&

!unotinele cptate de ctre studeni dup audierea prele(erilor i efectuarea lucrrilor

practice* vor fi utile la nele(erea coninutului i altor discipline din planul de nvmnt cum ar fi

Geodezia matematic, !roiec"ii cartografice .a. Manualul cuprinde e.emple numerice i aplicaii* care

au rolul de a completa i clarifica cunotinele de natur teoretic&

in s aduc mulumiri deoseite +oamnei prof&Monica etrule ,Mota* care a rspuns pozitiv

solicitrii mele de a prelua redactarea desenelor din manual&

'ucrarea a fost scris la 3tutt(art* n perioada de documentare din vara anului 200#* finanate de

#unda"ia Alexander von $umoldt din Germania* creia i aduc calde mulumiri i pe aceast cale&

Autorul

%tuttgart, &n vara anului '(()

2


3/74

Geodezia este tiina msurrii

i reprezentrii suprafeei

Pmntului

(F. R. Helmert 1880

GEODEZIE DEFINIIE, OBIECT, SCURT PRIVIRE ISTORIC

+efiniia dat (eodeziei de F. R. Helmertmerit toat atenia* nu numai pentru vec4imea sa ct

mai ales pentru calitile sale* de (eneralizare i de e.primare simpl* dar edificatoare* a oiectului de

studiu al (eodeziei& +e menionat c definiia lui Helmert este discutat* c4iar disputat* n multe

cercuri de specialitate* dar acceptat* pn la urm* aproape fr e.cepii& Tendinele de modificare

e.istente n trecut* ca i n prezent* a acestei definiii* au ntrunit la fel de multe contraar(umente* astfel

nct propunerile respective au fost retrase& 5n prezent* astfel de 6completri7* se refer la necesitatea de

a cuprinde n definiia (eodeziei i preocupri caracteristice* prin amploarea lor* pentru ultimele decenii*

cum ar fi

- determinarea potenialului (ravitii8

- urmrirea variaiei n timp a parametrilor definitorii pentru forma i dimensiunile mntului8

- determinarea deplasrilor recente ale scoarei terestre i* implicit* variaia n timp a poziiei

punctelor (eodezice8

- carto(rafierea automat &a&m&d&

+ar* dup o analiz mai atent* de coninut* se constat c definiia dat de Helmertnu e.clude

aceste aspecte* i nici altele* de acelai ordin& +esi(ur* evoluia (eodeziei n decursul unui secol i* mai

cu seam* n epoca modern* este de necontestat* att prin perfecionrile survenite n dezvoltarea

aparaturii i te4nolo(iilor proprii sau din domeniul prelucrrii datelor ct i prin le(turile din ce n ce

mai comple.e* de natur interdisciplinar* cu multe alte ramuri ale tiinei i te4nicii& +ar* n ultim

analiz* acestea nu au modificat oiectul de studiu al (eodeziei* precizat prin definiia lui Helmert* ci au

reprezentat ntotdeauna noi posiiliti* mai profunde i de multe ori de randament superior* de aordare

%


4/74

i rezolvare a prolematicii comple.e reprezentate de msurarea i re*rezentarea su*rafe"ei

!m+ntului&

Tratarea prolematicii (eodeziei n ansamlul su este realizat n conte.t cu alte discipline din

planul de nvmnt al specializrii de cadastru i msurtori terestre* cum ar fi msurtori geodezice

*rin unde* cartografia matematic &a&* fiecrei discipline revenindu-i* prin pro(ramele analitice

corespondente* roluri ine determinate n ceea ce priveste oiectul de studiu i metodele de rezolvare aprolemelor aordate&

%intetiz+nd* putem afirma c din multitudinea prolemelor tiinifice i te4nice pe care le are de

rezolvat (eodezia* cursul care va fi predat pe parcursul a trei semestre va trata doar unele aspecte* i

anume

- elementele de definire a formei i dimensiunilor mntului8

- (eodezia matematic8

- crearea reelelor (eodezice de stat i de ndesire&

+e semnalat c* nu de puine ori* una dintre prolemele fundamentale ale (eodeziei* i anume

cea le(at de determinarea formei i dimensiunilor !m+ntului* a fost prezentat ca defini"ie a

(eodeziei* ceea ce evident este (reit* deoarece limiteaz domeniul i oiectul de studiu al acestei tiine&

!u alte cuvinte* prin (eodezie nu putem nele(e numai acest aspect* dei este fundamental&&

9ezolvarea prolemei fundamentale a (eodeziei* i anume determinarea formei i

dimensiunilor mntului* se poate realiza* n principiu* prin urmtoarele metode

- metode geometrice* care au constat la nceput din msurtori de arce de meridian i de

paralel* otinute n reele de trian(ulaie n scopul deducerii parametrilor de az care

definesc suprafaa de referin8

- metode dinamice,fizice8

- metode astronomogeodezice i cu sateli"i artificiali ai !m+ntului.

:stfel de lucrri comple.e presupun nele(eri i cooperri internaionale care sunt coordonate

de Uniunea Interna"ional de Geodezie i GeofizicUIGG* care are reuniuni din patru n patru ani&

Uniunea cuprinde asociaii care au ca oiect planeta!m+nt

- Asocia"ia Interna"ional de Geodezie AIG* ,care studiaz metodele de msurare ireprezentare a suprafeei mntului / care este prima asociaie fondat8

- Asocia"ia Interna"ional de Geofizic,care analizeaz structura straturilor interioare ale

mntului i* implicit* resursele naturale8

- Asocia"ia Interna"ional de -ulcanologie8

- Asocia"ia Interna"ional de ceanografie/

;


5/74

- Asociatia Internationala de %eismologie/

- &a&

5n sperana c oiectul de studiu al (eodeziei* n ansamlul su* a fost suficient de clar definit*

fiind marcat n acelai timp i poziia manualului n acest ansamlu* considerm ca este instructiv s

prezentm unele momente din evolutia cunotin"elor referitoare la forma i dimensiunile !m+ntului* pe

de o parte* precum i la evoluia crerii reelelor (eodezice n (eneral i pe teritoriul patriei noastre nspecial* pe de alt parte&

rimele afirmaii scrise n le(tur cu forma mntului ,ima(inat ca un disc sunt le(ate de

istoria Mes!t"m#e# ,sec&


6/74

P#"r%& :cesta determin* pe aza oservaiilor ntr-o reea de trian(ulaie desfurat n meridianul

P"r#s(l(#, ntre M"l-#s#&e i Am#e&s* lun(imea sfertului de meridian ca fiind 1000# Dm& :cest

rezultat este considerat ca *rima determinare din istoria geodeziei, care *oate fi com*arat cu

rezultatele actuale, datorit *reciziei de msurare i metodelor folosite

D#s!(t" Net& C"ss#

5n anul 1>$@* Net& fundamenteaz teoria sa asupra atrac"iei universale pe aza creiadeduce c forma mntului este reprezentat de un elipsoid* cu turtire la poli ,turtirea f estimat n

lucrrile sale ar fi e(al cu 12%1&

a

"af

=

5n sc4im* msurtorile efectuate de +. D. C"ss#,1>$%-1@1$ conduc la un rezultat surpriz

pentru lumea tiinific de atunci mntul avea forma unui elipsoid* ns cu turtirea la ecuator* adic

cu turtirea ne(ativa f F / 1#?&

:ceste rezultate se datorau erorilor sistematice de msurare i imperfeciunii metodelor de

prelucrare a oservaiilor effectuate&

>

a

a


7/74

+isputa a fost clarificat mult mai trziu* prin efectuarea unor noi msurtori* ntreprinse la

nsrcinarea Academiei de tiin"e din P"r#s n cadrul urmtoarelor dou mari e.pediii astronomo-

(eodezice

- Per( ,1@%?-1@;; / emisfera sudic8

/ 0"!",1@%>-1@%@ / emisfera nordic&

Urmarea acestor e.pediii a fost confirmarea afirmaiilor lui Net&* turtirea la polideterminat atunci avnd valoarea 1210&

Msurtorile (raduale au continuat i n secolele & )aloarea merit o atenie deoseit fiind e.trem de apropiat de valoarea

recomandat n anul 1#$0 de AIG,12#$*2>* dovedind o te4nic de msurare i de prelucrare cu totul

remarcaile pentru acea vreme&

5ncepnd cu anul 1#?@* n (eodezie se folosesc rezultatele oinute cu autorul sateliilor

artificiali (eodezici ai mntului pentru determinarea formei i dimensiunilor planetei noastre&

5n ara noastr* nceputul utilizrii trian(ulaiei este le(at de desfurarea lucrrilor de ntocmire

a 4rilor diverselor re(iuni ale rii& Gste de remarcat faptul c nvmntul (eodezic referitor la

aceast metod a premers acestor lucrri* putndu-se meniona n acest sens leciile deg1eodeziede la

coala lui G$. As"$#,1$1% i cea a lui G$. 0"3"r,1$1$&5n Tr"&s#l-"" i n "r" Rm2&e"s4* primele lucrri de trian(ulaie s-au desfurat la

milocul secolului al


8/74

120000 i pentru celelalte re(iuni ale rii a fost oiectivul principal , Ml%-"ntre anii 1$@%-1$#%*

D5r'e"1$$0-1$$;* M(&te" %e Est1$#%-1$##&

Gste de menionat c ara noastr fcea parte din anul 1$>1 din Asocia"ia Euro*ean *entru

msurtori graduale* precursoare a actualeiAsocia"ii Interna"ionale de Geodezie* su impulsul creia s-

au desfurat primele lucrri de trian(ulaie la milocul secolului al @ n

Tr"&s#l-"" i "r" Rm2&e"s4* terminate cu rezultate remarcaile pentru acea vreme&lanul unei trian(ulaii moderne pentru ntrea(a ar este conceput n 1#%0* prevzndu-se

printre altele trecerea la elipsoidul internaional H"61r%,1#0#* proiecia stereo(rafic* desfurarea

reelei de trian(ulaie n lun(ul meridianelor i paralelelor& 5n acelai sens treuie menionat reeaua de

nivelment realizat dup primul rzoi mondial i compensat ri(uros n anul 1#%%&

+up anul 1#?1 se poate vori de o nou perioad n dezvoltarea (eodeziei romnesti& 5n acest

an s-a adoptat elipsoidul 7r"s-s8#,1#;2 i sistemul de proiecie G"(ss/7r9'er* crendu-se o nou

reea de trian(ulaie de stat de ordinul =-=) i o reea de ridicare de ordinul )& 9eeaua de trrian(ulaie

astronomo-(eodezic* primordial* a rii a fost continuu muntit prin efectuarea unor msurtori

(eodezice* astronomice* (ravimetrice de mare precizie* potrivit principiilor moderne de msurare i

compensare a vastelor reele de trian(ulaie& 5n aceeai perioad de timp ,1#??-1#>$ s-a creat reeaua

modern de nivelment (eodezic din ara noastr& !oordonatorul i realizatorul principal al acestor ample

lucrari a fostDirec"ia To*ografic 2ilitar& Un rol important n dezvoltarea (eodeziei contemporane

romneti revine* de asemenea* Institutului de Geodezie, #otogrammetrie, 3artografie i rganizarea

Teritoriului* nfiinat n anul 1#?$&

+ei nu are le(atur direct cu disciplina geodezie* apreciem c este necesar s se punctezerolul acesteia n activitatea de cadastrucare constituie specialitatea de az a seciei&

3adastrulreprezint sistemul unitar i oli(atoriu de eviden te4nic* economic i uridic a

terenurilor* cu sau fr construcii* pe ntre(ul teritoriu al rii* indiferent de destinaia lor i de

proprietar&

Baza le(al de or(anizare i funcionare n prezent a !adastrului i !rii Hunciare* ca instituii

ale statului* este re(lementat de Iotrrea Juvernulului 9omniei privind or(anizarea si funcionarea

:(eniei Kaionale de !adastru i ulicitate =moiliar pulicat n Monitorul Lficial al 9omniei la #

au(ust 200;&

5n aza le(ii menionate* cadastrul / constituie n e.clusivitate atriutul :(eniei Kaionale de

!adastru i ulicitate =moiliar,ANCPI&

rin Lficiile de !adastru i ulicitate =moiliar,OCPI* or(anizate la nivelul udeelor i al

Municipiului B((re:t#* precum i prin 3entrul 4a"ianal de Geodezie, 3artografie, #otogrametrie i

$


9/74

Telede"ectie ,CNGCFT* or(anizat la nivel central* ca uniti de specialitate din suordineaANCPI* se

asi(ur ntocmirea documentelor cadastrale scrise* desenate isau stocate pe suporturi informatice&

Jeodezia particip la dezvoltarea i modernizarea cadastrului prin realizarea* modernizarea i

ntreinerea unui sistem de referin necesar pentru poziionarea oricrui oiect sau fenomen n spaiul

terestru& 3istemul rspectiv este materializat n fiecare ar / inclusiv Rm2"/ prin0e"eaua 4ational

Geodezic de 0eferin"* format dintr-un ansamlu de puncte (eodezice repartizate ct mai uniformposiil pe ntrea(a suprafa a teritoriului naional* determinate n sisteme de coordonate

corespunztoare& :ceast reea reprezint infrastructura care permite pozitionarea e.act n spaiul

terestru a fiecrei parcele* a activitilor desfurate n teritoriu* precum i a studiilor necesare proiectrii

i e.ecutrii oiectivelor de investiii din toate ramurile economiei naionale&

Datele Geodezice de 0eferin"sunt acele mrimi care conduc la ncadrarea reelei (eodezice

considerate n sistemul de coordonate corespondent& 5n prezent se folosesc n Rm2" urmtoarele

Date Geodezice de 0eferin" oficiale* care urmeaz a se folosi n lucrrile de specialitate care se

desfaoar n prezent n ara noastr* inclusiv cele e.ecutate n domeniul cadastrului&

Re;e"(" %e Tr#"&'(l";#e %e St"t

- eli*soidul de referin" 7r"s-s8# ,1#;0* orientat pe pilastrul mare al Lservatorului

astronomic din P(l8-5Fe%er";#" R(s468

- *lanul de *roiec"ie stereografic1#@0 ,cu plan unic secant Br":-8

Re;e"(" %e N#-elme&t %e St"t

- sistemul de nivelment M"re" Ne"'r4 ?* cu punct zero fundamental n reperul de

adncime proteat situat n 3a*ela militar din 2unici*iul C&st"&;"8

- sistemul de altitudini normale ,Ml%e&s8#.

9eeaua de Trian(ulaie de 3tat de ordinele =* ==* === i =) a fost constituit* la momentul iniial*

din cca 1@1?0 puncte i completat cu o reea de ndesire de ordinul )* constituit din cca ;@00 puncte&

e aceast reea se pot spriini operaiunile cadastrale* ncepnd de la nivelul parcelelor* pn la nivelul

diviziunilor administrativ-teritoriale i la nivel naional& recizia n poziie planimetric ,.* N pentru

reeaua de trian(ulaie de stat* n ansamlul su* este estimat la 10-1? cm* asi(urndu-se o densitate

iniial de apro.imativ 1 punct la 20 Dm2&Gste de menionat c n multe municipii e.ist reele (eodezice de spriin* determinate cu

precizii mai mari dect cea specificat pentru reeaua (eodezic de stat& :ceste reele au fost create* n

decursul anilor* de ministere economice sau de administraiile locale* pentru scopuri proprii& 9ezultatele

finale au fost predate* de re(ul* oficiilor udeene care rspundeau la acea vreme de activitile

(eodezice* pentru a fi utilizate pe plan local&

#


10/74

+in informaiile oinute n teritoriu* cca ?0E din punctele (eodezice menionate mai nainte

au fost distruse* astfel nct* dei reeaua de trian(ulaie a fost ine confi(urat iniial* se situeaz n

prezent su nivelul standardelor internaionale& +in aceeste motive* sunt necesare fonduri anuale pentru

refacerea i completarea retelei (eodezice* n zonele considerate ca prioritare de ctre fiecare ude* prin

utilizarea te4nolo(iilor moderne* care sunt mai puin costisitoare* comparativ cu te4nolo(iile clasice&

9eeaua de Kivelment de 3tat de ordinele =* ==* === i =) a fost constituit* la momentul iniial*din cca 1;000 repere i mrci de nivelment* completat cu o 9eea de ndesire de ordinul )* constituit*

la momentul iniial* din cca 2?0 repere i mrci de nivelment&

9eeaua altimetric de ordinul = a 9omniei acoper uniform teritoriul rii* fiind una dintre

cele mai apreciate din E(r!".!4iar dac multe mrci isau repere de nivelment au fost distruse*

reeaua e.istent este suficient de dens pentru a fi folosit ca reea de spriin n efectuarea lucrrilor

realizate n diverse sectoare ale economiei naionale&

5n anii de dup 9evoluia din 1#$#* s-a introdus* sporadic* te4nolo(ia de determinare a

punctelor (eodezice n sistemul *ozi"ionrii gloale GPS ,Gloal Positioning S7stem& G.ist* pe

teritoriul Rm2e#* o serie de puncte determinate cu te4nolo(ia GPS* att n scopuri civile ct i

militare* aparinnd unor reele europene* dar care nu sunt constituite nc ntr-o reea GPSomo(en pe

teritoriul rii&

+e aceea este necesar realizarea 9eelei Kaionale GPSa Rm2e#* compatiil cu reelele

similare e.istente de mai muli ani n celalte ri din E(r!"* inclusiv n unele ri vecine& 5n anul 200%*

ICGFCa nceput crearea acestei reele* cu determinarea unui numr de cca %00 puncte (eodezice& 3e

preconiza c la finele anului 200? reeaua s cuprind un numr de cca %?00 puncte (eodezice* uniformrspndite n teritoriu i cu multiple le(turi la actuala reea (eodezic de spriin precum i la staii GPS

permanente* situate n mai multe ari europene* ceea ce* din pcate* nu s-a realizat nc&

10


11/74

CAPITO0U0 %@$ Dm?1?0 Dm;@00 Dm2#00 Dm

#$; Dm

%0 Dm

0

F 2*@ (cm-%


25/74

5ntr-o prim zonare* de ordinul =* structura intern a mntului este reprezentat de % (eosfere

crusta terestr* mantaua terest i nucleul& 'imitele dintre aceste sfere se numesc discontinuiti de

ordinul = discontinuitatea Mo4oroviZiZ ,denumit curent discontinuitatea Mo4o i respectiv

discontinuitatea Lld4am ori Jutener(&

3e apreciaz c discontinuitatea Mo4o se afl la o distan medie de %% Dm* punctndu-se* ns*

i variaii concave de ;0-?0 Dm* su locurile continentale* i ondulaii conve.e de pn la ? Dm* su

zonele oceanice&

!rusta terestr este constituit din dou strate stratul azaltic continuu i stratul (ranitic

discontinuu* amele de (rosimi variaile& +easupra acestor strate urmeaz depozitele stratului

sedimentar* care are* de asemenea* (rosimi variaile&

entru stratul (ranitic se accept densitatea (F 2*@ (cm%* iar pentru calcule mai precise [F 2*>@ (cm%&

5n continuare pot fi mentionate i sumpriri* respectiv discontinuiti de ordinul ==* a cror

poziionare pe vertical n raport cu scoara terestr nu este unanim acceptat n lucrrile de specialitate&

2?

F ?*>> (cm-%G(te&5er'

Ol%$"m

Hi(& 2&2& )ariaia densitii ctre interiorul mntului&

F 11*@> (cm-%

F 1; (cm-%

F 1> (cm-%

F ;*>; (cm-%


26/74


27/74

&0202 dvGdm

G#vv

==

,21$

!omponentele pe a.ele de coordonate vor fi

*

8

8

2

2

2

dvcz

G#

dv7G#

dvax

G#

v

z

v

7

v

x

=

=

=

,2&1#

unde

dv da d ac . ,2&20

.


28/74

v F rp * ,2&22

rezult

0p2rrL != * V F r p] ,2&2%

unde - r peste raza paralelului8

-0*r este versorul razei paralelului8

- este viteza de rotaie a mntului&

)iteza un(4iular medie* n cazul mntului* recomandat de :=J 1#$0 este

F @2#211? 10-11rad s-1& ,2&2;

+in relaia ,2&2% se oserv c fora centrifu( este variail pe suprafaa mntului* avnd o

valoare ma.im pentru punctele situate pe ecuator* unde r F a i fiind nul pentru poli* unde r F 0&

entru a puncta ordinul de mrime* se poate reine raportul

%00

1

H

V

ec

ec

. ,2&2?

!omponentele forei centrifu(e -V*V*V, zN.L vor fi

&0cos,

8cos,

8,cos

2

22

==

==

===

3E,L

6E,L

),L

FF

7FF

xr

xrFF

z

7

*

*x

,2&2>

.


29/74

&

8

8

2

%

2

%

2

%

zdvaz

GF#g

7dv7

GF#g

xdvax

GF#g

v

zzz

v

777

v

xxx

+

=+=

+

=+=

+

=+=

,2&2$

.. Pte&;#"l(l 'r"-#t4;##. entru descrierea unui cmp de fore se utilizeaz o funcie introdus

0"!l"e,sec&


30/74

otenialul ) este o funcie continu n spaiu i tinde ctre zero* atunci cnd punctul atras este situat

la infinit* la fel cu funcia

1* cnd &

rin particularizare* n cazul punctului atras de mas e(al cu unitatea* potenialul de atracie al unui

punct surs de mas m* situat la distana * va fi

Gm-= &

,2&%;

+in definiia ,2&%1 se oserv apartenena funciei ) la un anumit punct !5x,7,z6 i rolul

punctului sursA5a,,c6.

+erivata parial n raport de . a funciei ,2&%% este

&1

dvx

Gx

-

v

=

,2&%?+eoarece

*1

1

1

22

ax

xx

- ==

,2&%>

se oine

( ) ( ) &*coscos% C#####dvax

Gx

-xx

v

===

=

,2&%@

5n mod analo( rezult

( )

( ) &*cos

8*cos

A###z

-

B###7

-

z

7

==

==

,2&%$

!nd sunt ndeplinite relaiile ,2&%@ i ,2&%$ se consider c#estegradient de - i se scrie

#F (rad - ,2&%#

sau # - ,

,2&;0

unde este o*eratorul lui H"m#lt&

* :z

G7

ix

+

+

=

,2&;1

%0


31/74

iar :Gi ** sunt versorii pe a.ele de coordonate .* N* z& rin urmare - este un vector

&N

#:z

-

-i

x

--:

z

7i

x-

=

+

+

=

+

+

=

,2&;2

Semnificaia fizic a potenialului.Glementul diferenial d) al potenialului de atracie* n cazul

a dou puncte infinit apropiate 3,.*N*z i 3,. d.* N dN* z dz de mase e(ale cu unitatea* situate la

distana ds este

dzz

)dN

N

)d.

.

)d)

+

+

= * ,2&;%

unde

-**cos,

-8*cos,

-8*cos,

Adsdz

Bdsd7

Cdsdx

s

s

s

=

=

=

,2&;;

unde s reprezint o direcie oarecare din spaiul (ravific&

!onsidernd i relaiile ,2&;%* ,2&%@* ,2&%$ i ,2&;; rezult

-Q*cos,-Q*cos,-P*cos,-P*cos,-


32/74

+in e.presia ,2&;$ rezult c elementul infinit mic de potenial (ravitational d) reprezint lucrul

mecanic pe care l efectueaz fora de atracie H pentru deplasarea dintr-un punct * de mas e(al cu unitatea

ntr-un punct 9* situat la distana ds&

serva"ie.entru dou puncte ,de mas e(al cu unitatea i respectiv 3 ,punct surs* de masa m

situate la o distan + oarecare* potenialul cmpului de atracie va fi reprezentat de lucrul mecanic

===3

3

33* ))d)d+*cos,H' DF &

,2&;#

resupunnd c ,+ * atunci )0* conform cu serv"iade su relaia ,2&%%* rezult

prin urmare

%% -; =* & ,2&?0

!oten"ialul c+m*ului for"ei de atrac"ie &ntrun *unct este egal cu lucrul mecanic efectuat de for"a de

atrac"ie *entru de*lasarea unit"ii de mas de la infinit &n *unctul dat. Aceast semnifica"ie este s*ecific

*oten"ialului gravita"ional, i nu &n general/ &n *articular, aceasta nu este valail nici *entru *oten"ialul

cam*ului gravit"ii H.

... Pte&;#"l(l 1r;e# e&tr#1('e.otenialul din care deriv fora centrifu( este reprezentat

de urmtoarea funcie

N.,2

` 222

+

= & ,2&?1

5n adevr* se oserv c

0Vz`8V

N`8V

.`

zN. ===

=

& ,2&?2

sau mai (eneral

&gradF ==

,2&?%

... Pte&;#"l(l 'r"-#t4;##.5n apro.imaia folosit pn n prezent

_ F ) `* ,2&?;

rezult*`grad-gradHHgradg +=== ,2&??

sau

N.,29

JM_ 22

2

++= ,2&?>

Dac se are &n vedere *oten"ialul gravit"ii H, formula 5'.JK6 devine9

%2


33/74

cos,((_ds

d_s3

s,'=== &

,2&?@

..Pte&;#"l(l %e "tr";#e "l (&r r!(r# s#m!le

!orpurile simple sunt corpurile ale cror (eometrie este definit& 3e presupune* de asemenea* caceste corpuri au densitatea [ omo(en* adic [ F [,+* unde + este distana de la centrul maselor surs

la punctul atras& entru simplificarea raionamentelor se consider sistemul rectan(ular .* N* z ntr-un

caz particular i anume ,Hi(& 2&;& a.a z s treac prin punctul atras ! * de mas e(al cu unitatea* care

va avea* prin urmare* coordonatele 0* 0* +&

Hi(&2&;& otenialul de atracie a stratului sferic

..


34/74

d m 9 d 8 dsp F 0 sin d; ,

,2&?#

rezult

dm [02sin d d; d0 . ,2&>0

otenialul de atracie al stratului sferic )stpoate fi e.primat n funcie de relaia ,2&%2

) st F

2 &sin0

2

10

2d;

0

0

dd00G

,2&>1

Ultima inte(ral fiind imediat* rezult

) st F 2J[ &sin

2

10

2 0

0

dd00

,2&>2

5n continuare calculele se pot desfura mai uor dac se introduce o sc4imare de variail& +in

relaia

*cos2-222 0D0D += ,2&>%

se oine

*sin22 d0Dd =

,2&>;

i prin urmare* rezult

&sin0Ddd

= ,2&>?

'imitele dup sc4imarea de variail vor fi

pentru F 0 corespunde FD L 0 /

F F D M 0 &

!u aceasta* deoareceDF constant* rezult

+

=2

1

82

0

0

0D

0D

dd00D

NG-st ,2&>>

++=2

1

8-2

0

0

d00D0D0D

G-st

,2&>@

=2

1

2 *;

0

0

d00D

G-st

,2&>$

adic

%;


35/74

( ) &-%

; %1

%

2 00D

G-st

= ,2&>#

+eoarece masa stratului sferic este

( ) *-%

; %1

%

2 002

st = ,2&@0

rezult

&D

2G- stst= ,2&@1

serva"ie

+in relaia ,2&@1 rezult c potenialul de atracie al stratului sferic* n situaia e.aminat mai

sus* se poate calcula cu formula ,2&%;* cu condiia ca masa stratului2sts fie concentrat n centrul su&

... S1er" %e r"34 R. P(&t(l "tr"s este e)ter#r s1ere#

otenialul de atracie -sf al unei sfere* cu densitate omo(en* n cazul n care punctul atras se

afl la distanaD de centrul sferei* poate fi calculat din relaia ,2&@1 prin particularizrile

0=F 0 8 0' 0 , ,2&@2

rezultnd

&%

; 20D

G-sf

= ,2&@%

+eoarece masa sferei de raz0 i densitate omo(en este

*%

;

%

0

2sf =

,2&@;

rezult

&D

2G- sf

sf =

,2&@?

rin urmare* oservaia de su relaia ,%&1; este valail* n mod corespunztor* i n cazul e.a

aici&

... P(&t(l "tr"s este s#t("t & #&ter#r(l

str"t(l(# s1er# %e r"3e R:# R

otenialul de atracie -ise oine* n acest caz* din particularizareaD 0 n inte(rala ,2&>@*

care rezult

( ) &-2 212

2 00G-i =

,2&@>

..K. P(&t(l "tr"s este s#t("t & #&ter#r(l (&e#

%?


36/74

s1ere %e r"34 R, l" %#st"&;4 r %e e&tr(

entru calculul potenialului de atracie* n acest caz* se duce prin punctul ! o sfer au.iliar de raz r

,Hi(& 2&?&&

Hi(& 2&?& otenialul de atracie a unei sfere* de raz0 * n cazul

n care punctul atras se afl la o distan r de centru&

otenialul de atracie -Iare dou componente

-I -sfM -i,

,2&@@

i anume

-sf este potenialul de atracie a sferei* de raz r * i punctul! e.terior sferei

8%

;&

%

; 2% r

Gr

r

G-sf

== ,2&@$

-ieste potenialul de atracie al stratului sferic* de raze 0ir, n cazul n care punctul atras se

afl n interiorul stratului

( &-2 22 r0G-i = ,2&@#

5n acest fel* rezult din relaia ,2&@@

( ) *2%-%%2

222

rr0G

-I +=

,2&$0

adic

( ) &-%%

2 22 r0

G-I

=

,2&$1 ..?. P(&t(l "tr"s este s#t("t !e s1er" %e r"34 R

otenialul de atracie poate fi determinat din relaia ,2&$1 su condia r 0

%>


37/74

&%

; 2

0

2G0

G-

sf

sf ==

,2&$2

:ceeai e.presie se oine i din relaia ,2&@? su condia r D.

.K. E(";##le 0"!l"e/P#ss&

rodusul scalar dintre un vector oarecare **, z7x i operatorul (radient

( ) *z

N

.

zN. :i:i

++

+

+

= ,2&$%

este scalarul

*=

+

+

=

divz7x

z7x

,2&$;

numitdivergen"a vectorului * notat div &9ezult prin urmare

*z

(

N

(

.

(((div z

N.

+

+

==

,2&$?

iar mpreun cu relaia ,2&??

&z

_

N

_

.

___,div(

2222

+

+

=== ,2&$>

Mrimea 2

22

2

2

2

22

z7x

+

+

= ,2&$@

se numete o*erator 0"!l"e sau* mai simplu* la*lacian, i se noteaz* n mod frecvent* cu &

3e folosesc uzual i notaiile

*&&&*2

2

2

x7xx H7x

HH

x

H=

=

&a&m&d&*

,2&$$

astfel c

zz77xx HHHHH ++==2 &

,2&$#

+in relaia ,2&?? rezult* de asemenea

-H222 += &

,2

%@


38/74

3e numeec+m* la*lacian cmpul care deriv dintr-un potenial al crui laplacian este nul&

.K.


39/74

3oluiile ecuaiei 0"!l"e se numesc func"ii armonice. rin urmare* potenialul cmpului

(ravitaional este ofunc"ie armonic, atunci cnd punctul atras este e.terior maselor surs&

Hunciile armonice satisfac ecuaia0"!l"e n oricare punct al domeniului -e. 3e poate arta c

funciile armonice sunt funcii analitice* fiind funcii continue* mpreun cu derivatele lor de orice ordin&

L funcie armonic deoseit de des folosit n (eodezia fizic este inversul distanei

( ) ( ) ( ) 22211

cz7ax ++= & ,2#

5n adevr* deoarece

%1

ax

x

=

* ,2&100

i

( )%

2%

2

2 %1

ax

x

+=

* ,2&101

mpreun cu

( )%

2%

2

2 %1

7

7

+=

8 ,2&102

( )%

2%

2

2 %1

cz

z

+=

& ,2&10%

rezult

012 =

* ,2&10;

astfel c funcia

1este o funcie armonic&

serva"ie

5n punctul pentru care F 0 i 1 F * nu se poate aplica acest raionament* funcia 1nefiind funcie armonic n acest unic punct &

'aplacianul cmpului (ravitaional n cazul n care punctul atras este situat n interiorul maselor

surs a avut e.presia

( ) &-%%

2 22 r0

G-I

= ,2&10?

'a deducerea formulei de mai sus s-a avut n vedere c punctul !5x, 7, z6atras este situat n inte

unei sfere de raz0 ,mrime constant i c distana r ,mrime variail fa de un punct curent A5a,

se calculeaz cu

( ) ( ) ( ) 2222 cz7axr ++= * ,2&

%#


40/74

+in ,2&$1 se oine

x

rr

G

x

-I

=

%

; & ,2&10@

+eoarece

%

ax

x

r =

* ,2&10$

rezult

( )axG

x

-I =

%

; * ,2&10#

i n continuare

%

;

2

2 G

x

-I =

& ,2&110

5n mod similar

%

;2

2G

7

-I =

8%

;

2

2 G

z

-I =

,2&111

astfel nct

G-I ;= & ,2&112

:ceasta este ecua"ia P#ss&, dedus n anul 1$1%* din care rezult c potenialul cmpului

(ravitaional nu este o funcie armonic* atunci cnd punctul atras este situat n interiorul maselor surs&

serva"ie+in compararea relaiilor ,2$ i ,2&10$ se oserv c ecua"ia P#ss& este un caz particular al

ecuaiei 0"!l"e* pentru [ F 0 &

.K.. 0"!l"#"&(l 2m!(l(# 'r"-#t4;##. 3e determin iniial laplacianul cmpului forei centrifu(e&

+eoarece s-a dedus c

xx

Fx

2=

= * ,2&11%

rezult

22

2

=x

& ,2&11;

:nalo( se oine

222

=7

8 22

2

=7

* ,2&11?

astfel nct

22 2= & ,2&11>

;0


41/74


42/74

funcia - este considerat potenialul de atracie terestr* care este o funcie armonic* atuci

cnd punctul atras este e.terior maselor surs8

domeniulD este suprafaa mntului&

+e e.emplu**rolemele limit ar putea fi enunate n (eodezia fizic n modul urmtor

se cunoate potenialul de atracie pe suprafaa mntului f- D = & 3e caut -e ,

potenialul pentru spaiul e.terior suprafaei mntului8 se cunosc derivatele normale ale potenialului de atracie pe suprafaa mntului

fn

-D

=

& 3e caut -e/

se cunosc cominaii liniare ntre potenialul de atracie terestr i derivatel sale normale

fn

-:1- D =

+ pesuprafaa mntului & 3e caut -e&

Treuie fcut oservaia c suprafaa mntului rmnd necunoscut* n (eodezia fizicproleme limit sunt rezolvate pe o suprafa apropiat de aceasta* de oicei un elipsoid de

rotaie sau o sfer de raz medie0.

.K.K. F(&;## "rme s1er#e. F(&;## 0e'e&%re

+intre funciile armonice* definite n ...


43/74

Hi(& 2&>& 3istemele de coordonate rectan(ulare i coordonate sferice

&

8

8

22

222

x

7tgarc;

z

7xtgarc

z7xr

=

+=

++=

,2&12%

+ac se scrie ecuaia 0"!l"e n coordonate sferice se oine

&0sin

1

r

)2r

2

2

22

2

2

2

2 =

+

+

+

+

;

--ctg

-

r

-r

,2&12;

L funcie omo(en de ordinul n * e.primat n coordonate sferice r, O, ; * poate fi e.primat su

forma unui produs de dou funcii* dintre care una depinde numai de r , iar cealalt numai de O i;

-5r, O, ;6 f5r6 P 5O, ;6 . ,2&12?

+ac -5r, O, ;6 este o soluie a ecuaiei 0"!l"e* atunci se numetefunc"ie armonic sferic de

volum* iar 5O, ;6 este ofunc"ie armonic sferic de su*rafa".

5n acest caz* ecuaia 0"!l"e se poate scrie i su forma

*0sin2

2

2

22

2

2

22 =

+

+

+

+

;

fctgf

f

r

fr

r

f-r

,2&12>

sau* dup mprire cu f i separarea variailelor

&sin

1

1-2

,

12

2

22

2

2

22

+

+

=

+

;

ctg

r

fr

r

fr

rf

,2&12@

3e oserv c partea stn( a relaiei de mai sus depinde numai de r * iar partea dreapt doar de

O i; . :ceasta nseamn c amele pri sunt e(ale cu o anumit constant aritrar* care va finotat n 5nM=6

( ) 801-22

22 =+

+

nfnr

fr

r

fr ,2&12$

( ) &01sin

1

2

2

22

2

=++

+

+

nn;

ctg

,2&12#

entru ecuaia ,2&122 rezult soluiile

f5r6 rn i f5r6 r5nM=6, ,2

care pot fi verificate prin sustituie& Kotnd soluiile ecuaiei ,2&12% cu n 5O *;6, care se vor determ

continuare* rezult c ecuaia ,2&11$ admite soluiile

( ) ( )

1

n **r +== nn

nr

;-is;-

&

,2&1%1

3e poate arta c n treuie s fie numr ntre(&

;%


44/74

3uma soluiilor menionate este* de asemenea* o soluie a ecuaiei 0"!l"e* astfel c forma (eneral va

fi

( ) ( )

==

0n

*** ;Br;r- nn

i ( ) ( )

== +

0n&

***

1n

n

r

;;r-

,2&1%2

Huncia armonic sferic de suprafan5O , ;6

poatefi e.primat* de asemenea* su forma unui

produs de dou funcii

n5O *;6 g5O6 . 15;6 , ,2&1%%

dependente numai de cte o sin(ur variail& :ceasta treuie s verifice ecuaia ,2&12%

( ) *01sin

2

2

22

2

=++

+

+

nng1;

1ggctg1

g1

,2&1%;

sau* dup multiplicare cug1

2sin i separarea variailelor

( ) 22

2

2 1sin1cossin

sin

;

1

1ngn

gg

g =

++

+

& ,2&1%?

9ealizndu-se o separare n dou pri a ecuaiei ,2&12%* una n funcie numai de O i cealalt n

funcie numai de ' * se poate e(ala fiecare parte cu o nou constant aritrar* notat m'9

( ) ( ) *0sin-sin1cossin

2

2

2

=

++

+

gm

nngg

,2&1%>

i respectiv

( ) &022

2

=+;1m

;1 ,2&1%@

3oluiile ecuaiei ,2&1%1 sunt

15;6 cos m; i 15;6 sin m; , ,2&1%$

care pot fi verificate prin sustituie&

+educerea soluiilor ecuaiei ,2&12# este mul mai complicat ,v& Anexa =& Gle se numescfunc"ii

0e'e&%re i sunt notate!nm5cos O 6. 3e poate arta c n i m treuie s fie numere ntre(i i * n plus*

nm & +eci

g5O6 !nm5 cos O6.

,2&1%#

rin urmare soluiile ecuaiei difereniale ,2&1%0 sunt

( ) ( ) ( ) ( ) sincos*8coscos* m;!;m;!; nmnnmn ==

,2&1;0

mpreun cu urmtoarea cominaie liniar

;;


45/74


46/74

t rQ R r S = / cos . ,2&1;$

Huncia armonic sferic

1poate fi dezvoltat n serie de puteri ale lui t * coeficienii pentru t fiind

polinoamele 0e'e&%re!n56 !n5cos69

( ) ( ) ( ) ( ) &&&&0n

21

12

2

10 +++=

==

+

!tt!!!t

tt n

n

,2&1;#

rin urmare

( ) &cos0n

R

11

nn

n

!r

r

== +

,2&1?0

Hi(& 2&@& 3istemul de coordonate carteziene (loal (eocentric

+eoarece r este o mrime constant* rezult din ,2&1;; i ,2&%2 o e.presie (eneral a dezvoltrii

potenialului de atracie n polinoame 0e'e&%re

( ) &cos0n

h

1 d2!rG

r-

n

n

n

==

+ ,2&1?1

Utiliznd e.presiile polinoamelor 0e'e&%re dinAnexa =,rezult n continuare

( ) ( ) &%

cosR

1cos%2

R

cosR

1

2

%

2

2 d2

n

!r

rGd2,

r

rGd2

r

rG

r

d2G- nn

n

=+++= +

,2&1?2entru a uura calculul inte(ralelor din relaia ,2&1;> se folosete sistemul de coordonate

carteziene (loal (eocentric din Hi(& 2&@&* definit nAnexa >.

+eoarece r este o mrime constant* prima inte(ral din ,2&1;> este imediat

== &1 rG2

r

d2GI

,2&1?%

;>


47/74

=nte(rala a doua are valoarea zero

== &0cosR2 d2rI ,2&1?;entru demonstrarea afirmaiei se noteaz

*R

cz"Na.

R

R

Rcos

rrr

z

r

c

r

7

r

r

x

r

a ++=++= ,2&1??

astfel nct

{ } &1cosR ++= cd2zd27ad2xrd2r ,2&1?>

+eoarece ori(inea sistemului de coordonate coincide cu centrul de mas* care are coordonate

ca **

*08080 ======

d2

cd2c

d2

d2

d2

ad2a

,2&1?@

rezult demonstraia necesar &3e calculeaz cea de a treia inte(ral

( ) ( )

++== &-%

21-cos%R

2 2

2

%%

2%

%% d2rVcz7axr

Gd2r

r

GI

,2&1?$

+eoarece

5ax M 7 M cz6' a'x'M'7'M c'z'M'ax7 M 'acxz M 'c7z ,

n calcule vor interveni i inte(ralele

828282 d2c7zd2acxzd2ax7

,2&1?#

care sun e(ale cu zero* odat cu momentele de inerie centrifu(ale ,deoarece a.ele de coordonate coinc

cu a.ele de inerie &

( )

( ) ( ) ( )[ ] *R%R%R%2

1

R%%%2

1

222222222

?

22222222

?%

++=

=++=

d2rczd2r7d2raxr

d2rrcz7axr

I

,2&1>0sau

( ) ( ) ( )[ 2222

1 222222222222

?% ++= aczd2ca7d2caxr

I

,2&1>1

3e introduc momentele de inerie principale* n raport de a.ele de coordonatex, 7, z

;@


48/74

( ) ( ) ( ) +=+=+= 888 222222 d2a3d2caBd2cA ,2&1>2

i prin permutri circulare se oin

( )

( )

( ) *22

822

822

222

222

222

3BAd2ac

BA3d2ac

A3Bd2ca

+=

+=

+=

,2&1>%

rezult

( ) ( ) ( ){ } &2222

1

222

?% 3BAxBA37A3Bx

rI +++++=

,2&1>;

+in ,2&11> se oin

( )

( )

*cosz

82sin1sin2

1sinsin

82cos1sin2

1cossin

222

222222

222222

r

;r;r7

;r;rx

=

==

+==

,2&1>?

dup care

( ) ( ) &2cossin;

%cos%1

22

1 2

%

2

%% ;AB

r

BA3

rI +

+= ,2&1>>

9elaiile ,2&1;@* ,2&1;$ i ,2&1>0 introduse n ,2&1;> dau e.presia potenialului de atracie ncoordonate sferice

( ) ( )

( ) &cos%

R

2cossin;

%cos%1

22

1

2

%

2

%

d2!n r

rG

;ABr

GBA3

r

G

r

G2-

nn

n

+

=+

++

++=

,2&1>@+ezvoltarea n coordonate rectan(ulare rezult din ,2&1?%* ,2&1?;* ,2&1?$ prin utilizarea formulelor

,2&122

( ){ } ( ) ( )

( ) &cos%

R

2!-B:2B-:!2

1

222

%

d2!

n r

rG

z7xA3Br

G2-

nn

n

+

=+

++++++= ,2&1>$

5n calculele care intervin n (eodezia fizic se opereaz relativ puin cu momentele de inerieprincipaleA, B, 3 & 5n mod curent se folosesc coeficien"i armonici zonali de forma

( ) &;

18

2

1

;22220 BA

2aW

BA3

2aW =

+= ,2&1>#

5n cazul corpurilor de rotaie* momentele de inerie principaleA iB fiind e(ale* rezult

;$


49/74

&08 222220 === W

2a

A3WW ,2&1@0

serva"ie5n relaiile de mai sus cu a s-a notat semia.a mare a crpului de rotaie avut n vedere n aplicai

respectiv ,de re(ul* un elipsoid de rotaie* cu turtire mic la poli&9ecomandrileAIG din anul 1#$0 prevd

W'F ,10$ 2>% ^ 0*? 10-$& ,2&1@1

!onsidernd relaiile ,2&?> i ,2&1>@ rezult dezvoltarea potenialului (ravitii n coordonatsferice

( ) ( )

( ) &sin2

1&cos

%

R

2cossin;

%cos%1

22

222

1

2

%

2

%

rd2!n r

rG

;ABr

GBA3

r

G

r

G2H

nn

n

+

=+

++

++=

+ ,2&1@2

Ultimul termen al relaiei ,2&1>? cuprinde e.presin r sinO * care reprezint deprtarea punctului!fa de a.a z &

+ezvoltarea potenialului (ravitii n coordonate rectan(ulare se poate oine din relaia ,2&1>$

i ,2&?1

( ){ } ( ) ( )

( ) .

HC/BAHB/AC

+

=+

++++++=

+ 222n1nn

222

%

sinr2

1dMcos

%n r

RrJ

zN.:!Br2

JM_

,2&1@%

serva"ii

1& G.presia ,2&1>> permite ca prin comparare cu formulele cunoscute pentru potenialul d

atracie al unor corpuri simple ,v& . s se desprind unele concluzii preliminari

privitoare la forma mntului* i anume

rimul termen este identic cu ,2&$2* adic e.prim potenialul de atracie al unei sfere format din straturi

concentrice omeo(ene* punctul atras fiind situat la distana r de centrul sferei& :cest prim termen este acceptat n

distanelor foarte mari* interplanetare* cnd orice corp ceresc acioneaz ca o mas punctiform* de potenialr

Gm

:l doilea termen introduce aterile* care intervin n potenialul (ravitii* datorit turtirii la poli a Jloului t

rin urmare* ntr-o apro.imaie muntit* mntul are forma unui elipsoid de rotaie 8

!el de-al treilea termen introduce aaterile formei mntului de la forma unui elipsoid de rotaie* n funcie

latitudinea; & :cest termen dispare cndA B ,elipsoid de rotaie i* n acest caz* n termenul doi rezult 3 L A

2-

BA3

+8

enultimul termen se ncadreaz n noiunea de*oten"ial *erturator care se va notaT, i e.prim* su aspe

(eneral* faptul c este practic imposiil de a se da un rspuns cate(oric i definitiv n le(tur cu forma mntu

dezvoltarea* teoretic fr limite, a acestui termen pot rezulta rspunsuri infinite referitoare la forma mntului&

;#


50/74

+in motive de ordin practic* dezvoltarea n serie a potenialului efectiv H este ntrerupt dup un numr

oarecare de termeni* fcdu-se astfel o distinie ntre e.presia unui*oten"ial normal U i*oten"ial ,2&1@>

,2&1@?

H UM T, ,2&1@;*erturator T. :ceasta afirmaie se poate scrie su form (eneral astfel

H UM T, ,2&1@?unde

( ) &cosR

8

1

8sin

0 2

2

1

22

1

d2!n

rGB

n

r

BT

r

n

X

r

BU

nn

n

n

n

n

=

+==

=+=

+

+

,2&1@>

Ultimul termen al relaiilor ,2&1>? * ,2&1>> i prima relaie din ,2&1>$ reprezpotenialul forei centrifu(e

2& Accelera"ia gravit"ii calculat ,denumit din acest motiv valoare teoreticsau normal ee(al cu derivata normal a potenialului normal U

&---r

U

n

r

r

U

n

U

= ,2&1@@

%& :supra poten"ialului normal U se va reveni mai trziu&

CAPITO0U0 .

SUPRAFEE ECHIPOTENIA0E

.


51/74

:ceast e.presie reprezint ecuaia unor suprafee ec4ipoteniale* denumite de ctre 0"!l"e,

su*arafe"e de nivel. 9ezult c suprafeele de nivel sunt perpendiculare* n oricare din punctele lor* pe

direcia (ravitii& +atorit structurii interne a mntului aceste suprafee sunt foarte comple.e* cu

multe ondulaii* fr muc4ii sau vrfuri& 3c4imndu-se valoarea constantei c din relaia ,%&; se oin

diverse suprafee de nivel& +intre suprafeele de nivel posiile* pentru (eodezie o importan deoseit o

are suprafaa de nivel zero* denumitgeoid,noiune introdus de ctre 0#st#&'n anul 1$@%& :ceastsuprafa ec4ipotenial a fost propus de ctre C. F. G"(sscafigur matematic a !m+ntului

_ ,.* N* z F _0& ,%&;

AIGrecomand n anul 1#$0

_0F ,>2>%>$> % 10 m2s-2 ,%&?

Hiind n permanen perpendicular pe direcia (ravitii* (eoidul are o confi(uraie foarte

comple.& Modificrile de densitate din interiorul mntului conduc la sc4imarea (eometriei

suprafeelor de nivel ,inclusiv a (eoidului deoarece curura acestora depinde de densitatea & +in acest

motiv este imposiil o formulare analitic-matematic a acestei suprafee comple.e* dependent n

permanen de distriuia i densitatea maselor n interiorul mntului&

Jeoidul este definit uzual ca suprafaa medie a mrilor linitite prelun(it pe su continente&

H. Br(&sa formulat scopul principal al (eodeziei fizice ca fiind determinarea suprafeelor de

nivel ale cmpului (ravitii* ceea ce ec4ivaleaz cu determinarea funciei potential _,.* N* z& 5n

adevr* cunoscnd e.presia potenialului unui corp* se pot face estimri privind forma suprafeei sale&

+eoarece suprafeele de nivel sunt suprafee ec4ipoteniale* diferena de potenial dintre dou

suprafee de nivel este o mrime constant& 9ezult c creterea de potential ,deci de lucru mecanic nu

depinde de drumul parcurs* pentru trecerea unui punct de pe o suprafa de nivel pe alta ,traseul 1 sau

traseul 2 n Hi(& %&1&

Hi(& %&1& 3eciune prin suprafea de nivel

?1

12

_ d_

_

&33ec3ec

iuneprin

suprafaa de

nivel&


52/74


53/74

direcia (ravitii ' * care poate fi materializat prin directia firului cu plum& L ima(ine apro.imativ*

intuitiv* a suprafeelor de nivel i liniilor de for este reprezentat n Hi(& %&2&

3e(mentul de linie de for cuprins ntre poziia punctului pe suprafa fizic a mntului i

proiecia sa pe (eoid 0se numete altitudine ortometric .0!$ &

.. S#steme %e r%&"te &"t(r"le

!alificativul natural ataat unor mrimi sau sisteme* respectiv unor coordonate* cu care se operea

n (eodezie* urmree ndeplinirea unui dulu deziderat pe de o parte se e.prim modalitatea de definire

sistemului sau coordonatelor respective ,n raport de mrimi naturale* iar pe de alt parte se indi

le(turile directe dintre acestea i*rocesele de msuraresau* mai (eneral* de determinare.

..


54/74

Hi(& %&%& 3isteme de coordonate naturale

... S#stem(l "str&m# l"l3e consider unsistem local n care punctul de staie! ndeplinete rolul de ori(ine a sistemului

,to*ocentru& 3ensul pozitiv al a.elor este considerat cnd

a.aaeste ndreptat dup tan(enta la linia de for* ctre zenitul astronomic8

planulCaaeste perpendicular pe direcia (ravitii ,de aceea este numit*lan orizontal8

a.aCaeste situat n meridianul astronomic al punctului considerat ,direc"ia nord* iar a.a a

este ndreptat spre direcia estului astronomic&

Gvident* fiecrui punct de staie i corespunde un alt sistem astronomic local. 5n raport cu noul

pocentru* poziia oricrui punct nvecinat poate fi e.primat prin coordonatele carteziene astronomice

cale Ca, a, a.

5n sistemul astronomic local* poziia oricrui punct0 * aflat n le(tur direct cu punctul de staie*

re ndeplinete rolul de topocentru* poate fi e.primat i n funcie de urmtoarele coordonate (eodezice

D(L distan"a &nclinat dintre cele dou puncte8

[ L azimutul astronomic, care esteun(4iul dintredirecia!0 i meridianul astronomic al punctului de

staie8

\(L ung1iul zenital, care este un(4iul dintre verticala locului i direcia!0&

serva"ie

5n multe situaii* are loc o transmitere de azimut, de e.emplu prin intermediul unui alt punct % ,ca n

(& %&%& +irecia !% este orientat n raport cu direcia nordului astronomic k= * n funcie se poate

?;


55/74

determina* n continuare* orientarea direciei !0 prin msurarea un(4iului & +e cele mai multe ori sunt

necesare mai multe puncte intermediare* i ca urmare * sunt necesare mai multe un(4iuri & :ceasta este

motivaia pentru care msurtorile un(4iulare ,sau de direcii se numesc msurtori azimutale ,a nu se

confunda cu msurtorisau determinrideazimut

Msurtorile D( , [ , \( ,comletate* dup caz cu sunt denumite coordonate astronomice *olare

locale.

'e(tura dintre cele dou cate(orii de coordonate naturale locale este

.X

=

=0

0

0

0

cos

sininks

sinkcos

+

aQa

Pa

# devin* lund n consideraie i ,2&1>%

( )[ ]

( ) .

P

+=

++=

2222

2222

sinrcos%12

%

1r

JM

sinr2

1cos%11

r

JMU

,%&2#

entru calculele ulterioare este util perticularizarea relailor,%&2# pentru ecuator* respectiv pentru pol

!entru ecuator 9 5O )((/ r a6

8a

2

%1

r

JM

e

8a2

1

2

1

a

JM

eU

222

222

+=

+

+=

,%&%0

i *entru *ol 9 5O ((/ r 6

( )

( ) .22

2

%1"

JMp

81"

JMp

U

=

= ,%&%1

5n unele situaii se apro.imeaz

.2a

JM

p ,%&%2

3feroidul fiind o suprafa ec4ipotenial se pot e(ala primele formule din relaiile ,%&2# i ,%&%2 din ca

zult turtirea sferoiduluiBr(&s

.

P

e2

a

2

%

JM2

a

2

%f

a

"af

22

2%2

+

+=

=

,%&%%

?$


59/74

+in e(alarea primelor formule din relaiile ,%&2# i ,%&%0 se oine

,

+=JM2

a

2

%cosara

2222 ,%&%;

care mpreun cu formula ,%&%% ofer ecuaia curei meridiane a sferoiduluiBr(&s

r a5= L fcos'O6 . ,%&%?

entru comparaie se determin ecuaia curei meridiane a elipsoidului de rotaie ,Hi(& %&?* prinutilizarea coordonatelor polare rEiO .

Gcuaia elipsei meridiane a elipsoidului de rotaie e.primat n coordonate carteziene este

,01"

2GN

a

2G.

22 =+ ,%&%>

n care se introduc coordonatele polare

xE rEsin O / 7E rEcos O ,%&%@

i turtireaf definit de relaia a doua din ,%&%% devine

( )

.

=

+

1

f1a

cos

a

sin

G

2r

22

G

2

2

G

2

,%&%$

+ac aceast formul se dezvolt n serie* n ipoteza ne(lirii termenilor de ordinul doi i superiori se

oine

rE a 5= L f cos'O6 . ,%&%#

+in compararea formulelor ,%&%? i ,%&%# se oserv e(alitatea dintre ecuaia elipsei meridiane

a sferoidului Br(&s i* respectiv* ecuaia elipsei meridiane a elipsoidului de rotaie* n limitele

apro.imaiilor de ordinul doi ale puterilor turtiriif .

!ititorul interesat va putea (si n lucrri mai e.tinse c* n limite de calcul mai precise*

diferena dintre razele vectoare ale sferoiduluiBr(&s i* respectiv ale elipsoidului de rotaie este

r r0 =`,@ cos''O mb . ,%&;0

?#


60/74

Hi(& %&?& oziia sferoidului de nivel n raport cu elipsoidul de rotaie

... Terem" Cl"#r"(t

TeoremaCl"#r"(t are o importan deoseit pentru (eodezia fizic deoarece stailete ole(tur dint

turtirea geometricf i turtireagravimetric* care se va notafP

.e

epf

= ,%&;

+in formulele ,%&;1 * i ultimele relaii din ,%&%0 i ,%&%1 rezult

,2222

2

2a

a2

2JM%

a

JM

"

JM%

"

JM

ef += ,%&;

din care se deduce* n ipoteza apro.imaiilor acceptate anterior

.

e

a

2

?ff

2

=+ ,%&;

+ac se notez

,e

a

JM

"am

222

= ,%&;;

zult

f M fP m2

?. ,%&;

Hormula ,%&;? sau ,%&;% reprezint forma iniial a teoremei Cl"#r"(t ,1@%$* care cuprinde doar termeni d

dinul 1&

serva"iiAIG recomand n anul 1#$0 urmtoarele valori pentru mrmile folosite mai sus

f M fP m2

? (,((( (>K/

f (,((> >?> `=( `K=/

fP (,((? >(' JJ( =='/

m (,((> JJ) @K` (((/ ,%&;>

a=R')K,'?@/

W' (,(=/

=Ra =R =?@P=() .

... V"r#";#" 'r"-#t4;## teret#e &rm"le

!e s1er#%(l %e -el

+in compararea ultimelor relaii din formulele ,%&%0 i ,%&%1 se oserv c pe * ceea ce indic o

riaie a (ravitii teoretice ,normale pe suprafaa sferoidului de nivel* n funcie de latitudine& entru

>0


61/74

deducerea acestei variaii* n limita apro.imaiilor acceptate pn acum* se compar ultimele relaii din

formulele ,%&2# i ,%&%0

,+= 2222

2cosacos

a

JM

2

#

e ,%&;@

din care rezult dup dezvoltri simple

e5= M fP cos'O6 . ,%&;$

Hormulele ,%&;% i ,%&;$ e.prim* ntr-o prim apro.imaie* una dintre posiilitile (eodeziei

fizice de determinare a formei i dimensiunilor mntului* deoarece prin aceste formule se determin

le(tura dintre valori distriuite pe suprafaa mntului i elementele (eometrice a i f ale

corpului prin care se apro.imeaz forma mntului& rocedeul descris mai sus are un caracter de

principiu* determinrile actuale ale formei i dimensiunilor mntului avnd un caracter mult mai

comple.&

.K. S1er#%(l Helmertotenialul sferoiduluiHelmert se deduce prin considerarea

( ) P 0dMcos%n r

RrJ n1n

n

=

=+

,%&;#

n dezvoltarea potenialului ,v& formula ,2&1>>* oinndu-se

( ),

++++= %?%

sin@

>cos

r

+sin

JM2

Crcos%1

2

1

r

JMU 2;

;

22%

220

,%&?0

undeW''a fost definit cu relaia ,2&1>%* iarDRrJeste un termen de ord& ; n raport cu r>X'R'G2 care est

un termen de ord& 2&

5n continuare se prezint* fr a se demonstra* formele dezvoltate pe care le au formulel

prezentate n ..* pe aces sferoid

turtirea (eometric a se compara cu ,%&%%g

( ) ( ) P;

2220

a@

+

JM2

af21

2

%f1f

++=+ ,%&?1

ecuaia curei meridiane a se compara cu ,%&%?g

rJ a=f5=MfPf6Mbcos'O M f5fPf6M bcosJO/ ,%&?2

diferena ma.im ntre raza vectoare a sferoiduluiHelmert r$i cea a elipsoidului rE

5r$L rE6 max =',J m 8 ,%&?%

teorema Cl"#r"(t detvoltat a se compara cu ,%&;?g

>1


62/74

P;

a

+2

2

mffm

2

?ff +

+=+ ,%&?;

variaia (ravitii teoretice ,normale pe sferoidulHelmert a se compara cu ,%&;$g

.

+= 2cos

2cosf1

e2i2 ,%&??

5n e.presia ,%&??Jeste un coeficient care poate fi calculat cu formula

J > L @f'M J f fP. ,%&?>

+up cum se oserv relaiile sunt mult mai comple.e* n comparaie cu cele din ..

.?. El#!s#%(l %e -el

+up cum s-a specificat n .K.?.*fi(ura mtului poate fi considerat* ntr-o apro.imaie de ordinul

doi* ca fiind elipsoidul de rotaie&+e aceea* se accept c fi(ura normal a mtului este un eli*soid de nive

,n lima en(lez;evel Elli*soid* adic un elipsoid de rotaie* care este o suprafa ec4ipotenial a unui cmp

(ravific normal& :cceptnd aceast definiie* funcia potenial U5x, 7, z6 este

( ) ,22 N.22

1)U ++= ,%&?@

complet determinat n cazul n care se cunosc

forma elipsoidului de rotaie ,de e.emplu semia.ele a i 8

masa total2 8

viteza un(4iular de rotaie C &

.?.


63/74

rimii trei parametri se mai numesc i parametri principali& Glipsoidul de rotaie poate fi definit pri

doi parametri* dintre care unul treue s fie liniar ,lun(ime& :supra parametrilor (eometrici a

elipsoidului de rotaie* precum i asupra le(turilor dintre acetia se va trata pe lar( la disciplina

Geodezie matematic.

.?.. S#steme %e r%&"te &-e&;#&"le

Hi(& %&>& 3isteme de coordonate convenionale

3istemele de coordonate denumite conven"ionale sunt definite n raport de elipsoidul de rotaie

,Hi(& %&>* pe care se proiectez reelele (eodezice de ordin superior ,care se vor aorda ntr-un alt curs

universitar Instrumente geodezice i metode de msurare& 5n comparaie cu sistemele naturale de

>%


64/74

coordonate* care se raporteaz la procesele de msurare* sistemele de coordonate convenionale se

raporteaz la procesele de calcul

.?..


65/74

*rim *osiilitatede reprezentare a potenialul (ravitii normale este ,He#s8"&e& Mr#t

pa(& >@

( ) .

=+

++=+=

1n

m%

1

1n2

n2Re

11"

JMa

%

1Rarct(e

G

JMU

n22 ,%

5n formula de mai sus sin(urele necunoscute sunt parametrii (eometrici i eQ i consantele fiz

i C & alt *osiilitate de e.primare a potenialului (ravific normal este dat de utilizarea coefic

armonici zonali i a coordonatelor sferice r, O, ;, raportate la elopsoidul de nivel

( ) ,+

=

= 222 sinr

2

1cos

n2

n2

1n r

a

n21

r

JMU ,%&?#

unde coeficienii armonici zonali se pot determina cu o relaie (eneral

( )( )( )

+

+++=

2MG

:!n?n1

%n21n2

n2e%1n1

n2

& ,%&>0

5n completare la valorile prezentate n ,%&;> se menioneaz urmtoarele recomandri aleAIG

din anul 1#$0

W> 5 '?J h =6 P =(K/ WJ 5 =`' h =6 P =(K/

,%&>1

W? 5 '> h =6 P =( K/ W 5 ?? h =6 P =( K .

.>. Gr"-#t"te" &rm"l4

Jravitatea normal se poate e.prima su forma (eneral

(rad U , ,%&>2rezultnd din formula ,%&?$

,

+

+

+= Bcos

V

RVRe

>

mm1sin

V

RVRe

%

m1

cos"sinaa

JM 2

0

02

0

0

2222 ,%&>%

unde este latitudinea redus* determinat pe elipsoidul de nivel* cu semia.a mic u ,ec4ivalentel

acestor mrimi pe elipsoidul de referin sunt notate cu Ui respectiv / mrimi care vor fi studiate s

lar( la disciplina Geodezie matematic& +e asemenea se notez

.

P

1u

Garct(

G

u1

G

"%1%V

G

"%

"

Garct(

G

"%1

2

1V

2

2R0

2

2

0

+=

+=

,%&>;

rin particularizri pentru (( i respectiv )(( * rezult

>?


66/74

,

P

+=

=

0

R

0

2

0

R

0

V

VRe

%

m1

a

JM

p

V

VRe

>

mm1

a"

JM

e

,%&>?

astfel nct

,

+

=+0

R

02

V2

VRe1

e

"ff

,%&>>

ceea ce reprezint corespondentul teoremei Cl"#r"(t a se compara cu ,%&;2g &

5n ara noastrInstruc"iunile *entru nivelmentul de ordinele I, II, III, I- i cu teodolitul elaorate

deDirec"ia To*ografic 2ilitar n anul 1#>?* s-a avut n vedere formula Helmert ,%&??* dedus n anul

1#01* n care sin(ura variail este latitudinea (eodezicB a punctului n care se calculeaz qI,indicele

superior I indic faptul c se folosete formula Helmert $ )@K (>( 5= M (,((?>('( sin'B L (,((( ((( @ sin''B6 . ,%&>@

9ecomandrileAIG din anul 1#$0 prevd o formul deoseit de precis pentru calculul (ravitii

normale pe elipsoidul de referin ,cu o apro.imaie de ^ 10-;m(al

=)K( )@K (>',@5= M (,((? '@) (J= Jsin'B M (,((( ('> '@= sinJB M

M (,((( ((( ='` ' sin`B M (,((( ((( ((( @ sinKB6 , ,%&>$

precum i o formul pentru uz curent ,cu o apro.imaie de ^ 0*1 m(al

=)K( )@K (>',@5= M (,((? >(' J sin'B (,((( ((( ?K sin'' B6 . ,%&>#

.. V"r#";#" 'r"-#t4;## &rm"le %e"s(!r" el#!s#%(l(#

entru o cot mic$ deasupra elipsoidului ,de ordinul celor n (eodezie se poate aplica formula

Br(&s ,%&2;* su condiia (

,20 2(24

(=

,%&@0

unde* de aceast dat* curura medieW( va fi e.primat n funcie de razele de curur principale0= 2

iar 0' 4 ,razele de curur principale 0= i 0' vor fi studiate pe lar( la disciplina Geodezie

matematic& 9ezult

,

+=

K

1

M

1

2

1 0 ,%&@1

Unde2 este raza de curur a elipsei meridiane* iar4 este raza de curur a primului vertical ,marea

normal&

!alculul (radientului vertical al (ravitii normale se realizeaz n limita ne(lirii termenilor de

ord& 2 i superiori ai turtiriif * prin utilizarea urmtoarelor formule

>>


67/74

( )

( ) ,

P

+++=

+++=

&&&BcosRe2

11

a

cBcosRe1

a

c

K

1

&&&BcosRe2

%1

a

cBcosRe1

a

c

M

1

22

2

2122

2

22

2

2%22

2

,%&@2

vor fi studiate la disciplina Geodezie matematic. 5n formulele de mai sus

eQ'

'f .,%&@%

5n acest fel rezult

( ) ( ) .Bcosf21a

c2BcosRe1

a

c2

K

1

M

1 22

22

2 +++ 5%&@;

nct se poate scrie

( ) .Bsinf2f21a

f1 20

= ,%&@?

Hi(& %&@& )ariaia (ravitii normale deasupra elipsoidului

+in relaiile ,%&;; i ,%&;$ se oin

( ) ,P Bsinf1ea

em

22

= ,%&@>

astfel nct rezult

( ) .Bsinf1a

m 22 + ,%&@@

!u aceasta mrimea (radientului vertical al (ravitii normale va fi

( ) ( ) ,Bsinf1a

m2Bsinf2f21

a

f12

I

22 +

=

,%&@$

sau n limita apro.imaiilor folosite pn acum

>@

,I

I

elipsoidul dereferin0,


68/74

( ) .Bsinf2mf1a

2

I

2++

=

,%&@#

Jravitatea normal la cota$poate fi calculat printr-o dezvoltare n serie T"6lr

&&&II2

1I

I

2

2

2

I +

+

+= ,%&$0

!alculul derivatei de ord& 2 se poate face apro.imativ n funcie de relaia

,2a

JM

de unde

.PH

2;22 a

>

a

JM>

Ia

JM2

aI

=

,%&$1

+in e.presiile ,%&@@ - ,%&$1 se oine relaia cutat

( ) . +++=2

2

2

I Ia

%Bsinf2mf1a

21 ,%&$2

9ecomandrileAIG din anul 1#$0 nu prevd formula corespondent pentru ,%&$2&

5n calculele uzuale ,inclusiv la lucrrile practice se poate folosi o e.presie simplificat

,I%0$>*0I ,%&$%

(radientului vertical apro.imativ al (ravitii normale fiind considerat

.mm(al%0$>*0I

,%&$;serva"ie

5n apro.imaiaW]W(* relaia ,%&2; se poate scrie n raport de formula ,%&@0

.+

=

J;44

( ,%&$?

Holosind valorile medii cu care s-a operat pn acum* rezult

.mm(al0$;$*022%$*0%0$>*04

(=+=

,%&$>

5n acest fel se e.prim valoarea (ravitiig(la nivelul (eoidului n raport de valoarea msuratgi (radientul vertical mediu ,%&$> precum i altitudinea$ ,e.primat n metri a punctului considerat

.I0$;$*0(( 0 + ,%&$@

>$


69/74

CAPITO0U0 K

APARATE QI METODE

PENTRU MSURTORI GRAVIMETRICE

K.


70/74

reduse la suprafaa (eoidului* notate (r i valorile normale ale acceleraiei (ravitii

,considerate pe elipsoid nu sunt constante* diferenele ma.ime (r / putnd atin(e valori de

ordinul ^ 200 m(al&

Influen"ele diverse exercitate de cor*urile cereti.)ariaiile temporale* nre(istrate n puncte

staionare* datorate n mod deoseit;uniii %oarelui* sunt mai mici de ^ 0&% m(al&

Gradientul vertical al gravit"ii. )ariaia (ravitii n funcie de cota $este de apro.imativ0*0$;$ m(alm ,a se vedea.

2odificri &n *oten"ialul gravit"ii. :cestea sunt datorate circuitului apei n atmosfer*

micrilor maselor n interiorul mntului* deplasrilor polului mecanic &a&* influena lor

aun(nd pentru un punct dat* la mrimi de ordinul a ^ 0&01 m(al pentru un deceniu&

+up cum se vede* variaiile (ravitii sunt caracterizate prin ordine de mrime cu totul diferite

i* ca atare* aparatele i metodele de msurare treuie s asi(ure o precizie corespunztoare acestei

variaii* n funcie de scopul urmrit&'ucrndu-se cu puncte de mas e(al cu unitatea* (ravitatea este numeric e(al cu acceleraia sa&

Unitatea de msur n sistemul CGSeste (alul ,1 (al F 1 cm s-2* denumire adoptat n memoria marelui

nvat italian G"l#le G"l#le#& +eoarece la pol mrimea (ravitaiei este apr.imativ e(al cu #$% (al* iar

la ecuator #@$ (al ar rezulta o variaie mult prea puin semnificativ n aceast unitate de masur& +e

aceea n (eodezia fizic se lucreaz n mili(ali ,1 m(al F 10-% (al* instrumentele de msur actuale

avnd o precizie de ordinul a 0*01 m(al sau c4iar i mai un&

5n prezent determinrile (ravimetrice au atins parametri foarte nali de precizie

msurtorile &n *uncte sta"ionare* n condiii deoseite de lucru n laorator* destinate

etalonrilor (ravimetrice sau determinrilor mareelor terestre au precizia situat su limita ^

0&001 m(al8

msurtorile de teren sunt caracterizate* n (eneral* de erori cuprinse ntre ^ 0&01 m(al i

^ 0&0? m(al& 5n unele pulicaii se comunic i pentru astfel de lucrri oinerea unei precizii

foarte nalte* de circa ^ 0&00% m(al* realizat cu aparate perfecionate&

+eterminrile acceleraiei (ravitii n puncte stationare ,puncte de az* efectuate independent*

se numesc determinri asolute,iar determinrile de variaii ale acceleraiei (ravitii* n raport de un

punct de az se numesc determinri relative& Msurtorile de (ravitate se azeaz n prezent* pe

utilizarea fenomenelor de oscilaie* de cdere lier a corpurilor i de modificare a ec4ilirului unui

sistem deformail* e.istnd urmtoarea clasificare uzual

@0


71/74

2etoda dinamic,n care msurarea (ravitii se realizeaz prin urmrirea n timp a unor corpuri

n micare& :paratul clasic pentru acest (rup de metode este *endulul& +up msurarea perioadei de

oscilaie i a altor parametri necesari* se calculeaz valoarea (ravitii n punctul de oservaie&

9ezultate mai precise s-au oinut prin procedee care determin valori asolute ale acceleraiei

(ravitii* azate pe le(ea miscrii rectilinii uniform accelerate n cderea lier a corpurilor&

2etoda static,folosit la evaluarea variaiei (ravitii din punct n punct sau n timp* pentru unacelai loc* const n e.aminarea strii de ec4iliru a unui sistem deformail* asupra cruia acioneaz

simultan (ravitatea ,ca for independent sau ntr-un cuplu de fore i un factor anta(onist de natur

elastic ,for sau cuplu de fore& =nstrumentul tipic pentru aceast metod estegravimetrul static.

Determinarea unor derivate de ordinul ' ale *oten"ialuluise azeaz* n principiu* pe utilizarea

unei metode statice* care const n urmrirea strii de ec4iliru a unei pr(4ii suspendat de un fir de

torsiune& :ciunea este reprezentat de un cuplu (ravitaional ,n care intervin derivatele de ordinul 2 ale

potenialului* iar reaciunea de cuplul de torsiune al firului de suspensie& resupunnd constant

coeficientul de torsiune al firului sau cunoscnd le(ea sa de variaie* modificarea strii de ec4iliru

dintr-un punct n altul este datorat* n primul rnd* variaiilor derivatelor de ordinul 2 ale potenialului&

:cestea au dimensiunile unui (radient* de e.emplu

=

=

=

.

(

.

__ z.. (radient orizontal* n direcia . al (ravitii&

Jradientul vertical al (ravitii _zz nu este msurail* putnd fi determinat doar indirect&

Unitatea de msur pentru aceste derivate de ordinul 2 ale potenialului este reprezentat de variaia de

0*1 m(al pe distana de 1 Dm

Escm

cms

:m

mgal1101

10

101&0

1

1&0 2#?

2%

===

* ,;&2

fiind numit Et-s,n onoarea savantului ma(4iar care a realizat aparatul pentru msurarea acestei

mrimi* numit alan" de torsiune&

K.. Determ#&4r# "5sl(te %e "eler";#e " 'r"-#t4;## '

K..


72/74

#ig. J.=. !endulul matematic

!oninutul acestui capitol fiind relativ independent* n raport cu celelalte capitole* se vor folosi

notaii care n restul manualului au alt semnificaie* deoarece noiunile respective nu sunt utilizate

simultan& :stfel* se vor folosi ca notaii principale

m/ masa pendulului8

/ amplitudinea* respectiv un(4iul care caracterizeaz poziia e.trem a pendului

,elon(aia ma.im8

/ elon(aia* respectiv un(4iul care caracterizeaz poziia curent* la un moment dat a

pendulului8

T/ perioada complet a oscilaiei* respectiv timpul necesar pendulului pentru a trece dintr-o

poziie e.trem ,/ n cealalt , i napoi8

/ lun(imea pendului&

3e poate demonstra ,+r%"& &a&* , G$#;4(, 1#$% &a& c perioadaTa pendulului matematic

poate fi e.primat n cadrul amplitudinilor mici* cu formula

++++= &&&

1>%$;

2?

102;

#

1>1TT >;

2

0 * ,;&%

unde treuie e.primat n radiani* iar T(/ perioada complet pentru amplitudini infinit mici ,0

g

T 20 = & ,;&;

@2


73/74

endulul matematic este imposiil de realizat practic* avnd n definiia sa ipoteze

simplificatoare* care nu au ec4ivalent n realitate&

K... Pe&%(l(l 1#3#este reprezentat de un corp material* nedeformail* care oscileaz n vid* n

urul unei a.e fi.e* orizontale* su influena (ravitii& !ondiia de oscilaie a pendulului fizic este ca a.a

de suspensie s nu treac prin centrul de (reutate J ,.J* NJ al corpului* ci s fie situat deasupra lui

,Hi(& 2&10&

Hi(& ;&2&endulul fizic

3e noteaz cu 'rlungimea redusa pendulului fizic

aDa

'

22

r += * ,;&?

unde D este o valoare medie pentru distana r dintre un punct curent al elementului de mas dm i centrul

de (reutate J& strnd i ipoteza amplitudinilor mici* se poate demonstra c perioada pendulului fizic

se e.prim analo( cu ,;&;

ag

:a

g

;T rf

22

22 +

== & ,;&>

+eterminarea constantelor a i D este dificil i puin precis* astfel nct e.presiile de calcul ale

acceleraiei (ravitii care le conin nu asi(ur precizia necesar&erioada T0 se poate determina cu mai mult e.actitate* astfel nct n ipoteza cunoaterii

lun(imii reduse 'r* se ofer*osiiliatea *rinci*ialpentru determinarea acceleraiei (ravitii

20

r

2

T

';(

= & ,;&@

+ificultile de ordin practic rezid* n special* n determinarea cu o precizie convenail* a

lun(imii reduse& entru rezolvarea acestei proleme se presupune c &n acelai *unct se efectueaz@%

.

N

r

L

J,.(* N(dm

.

N

a

[i


74/74

simultan i n condiii identice determinri (ravimetrice cu un pendul cu lun(imea redus r'

cunoscut& Msurnd* cu precizia necesar* cele dou perioade 0T i 0Tse pot calcula* n ipoteza ( F

constant* lun(imea redus a celuilalt pendul

r2

0

2

0

r '

T

T'

= & ,;&$

K... Pe&%(l(l re-ers#5#leste un pendul care are dou a.e paralele de suspensie* respectiv de

oscilaie* care sunt interanaile&

erioada T a pendulului reversiil se determin cu relaia

g

aaTTT 2121 2

2

+=

+= * ,;

fiind dedus n urmtoarele ipoteze* realizaile constructiv

perioadele T= iT'corespondente celor dou poziii de oscilaie* sunt mici* astfel nct5T=L T'6 (/

centrele de oscilaie sunt dispuse asimetric n raport cu centrul de (reutate* astfel nct

diferena dintre distanele corespondente a=i a'este mare&

Du* msurarea *erioadelor T=i T', accelera"ia gravit"ii g se *oate calcula, cu rela"ia anterioar,dac se cunoate distan"a 5a=M a'6. Aceast distan" se *oate determina mult mai exact dec+t distan"eleindividuale a=i a', &n ra*ort cu centrul de greutate, a crui *ozi"ie este mult mai greu de stailit.

Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010

Documents

Transcript of Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010