FUNCŢII DERIVABILE

I. 1. TANGENTĂ LA O CURBĂ

Fie o funcţie continuă Ecuaţia tangentei în la curbă este

I. 2. DEFINIŢIA DERIVATEI UNEI FUNCŢII ÎNTR-UN PUNCT

Definitie: Fie , . Se spune că este derivabilă în dacă

există în ( există şi este finită ) adică unde

şi este un interval sau o reuniune de intervale.

Observatii:

1. se citeşte: derivata funcţiei în raport cu în punctul .

2. În loc de se folosesc pentru derivate .

3. Dacă o funcţie nu este definită într-un punct, nu se pune problema derivabilităţii în acel punct.

4. Derivata într-un punct este un număr.

5. Dacă limita există, însă este infinită , spunem că derivata funcţiei în punctul este infinită. Atunci funcţia nu este derivabilă în punctul .

Teoremă: Orice funcţie derivabilă într-un punct atunci este continuă în punctul .

Definitie: Se spune că funcţia este derivabilă pe dacă este derivabilă în fiecare punct .

Observatie: Reciproca acestei teoreme este falsă. O funcţie continuă într-un punct nu este cu necesitate derivabilă in punctul .

, nu este derivabilă în punctul deşi este continuă

în acest punct.I. 3. DERIVATELE LATERALE

1

Definitie: Fie . Se spune că are derivată la stânga în dacă limita

, există în .

Definitie: Fie . Se spune că are derivată la dreapta în dacă limita

, există în .

Teoremă:

1. Funcţia are derivată în are derivatele laterale în şi .

2. Functia este derivabilă în este derivabilă bilaterală ( la stânga şi la dreapta ) în şi .

II PUNCTE REMARCABILE PENTRU GRAFICUL UNEI FUNCŢII

II. 1. PUNCT UNGHIULAR

Dacă este continuă în , şi cel puţin una din derivatele laterale este finită, atunci se numeşte punct unghiular ( cele două semitangente formează un unghi ).

II. 2. PUNCTE DE ÎNTOARCERE

Dacă şi (sau invers) şi este continuă în , atunci punctul se numeşte punct de întoarcere al graficului lui .

2

Dacă şi (sau invers) şi este continuă în , atunci punctul se numeşte punct de întoarcere al graficului lui .

II. 3. PUNCTE DE EXTREM

a) Dacă atunci este punct de maxim.

b) Dacă atunci este punct de minim.

II. 4. PUNCTE DE INFLEXIUNE

Fie o funcţie de două ori derivabilă, şi o rădăcină reală a derivatei a doua, din .Punctul este punct de inflexiune ( punct în care tangenta la grafic traversează graficul ) dacă se anulează şi îşi schimbă semnul.

II. 5. DERIVATA UNEI FUNCŢII PE O MULŢIME

Fie şi Se spune că funcţia este derivabilă pe mulţimea dacă este derivabilă în fiecare punct al mulţimii .

3

II. 6. CONCAVITATE – CONVEXITATE

Fie

Dacă continuă pe , şi există pe , ( respectiv )

funcţia este convexă când , ţine apa –

( respectiv con-cavă, când , nu ţine apa - ) pe .

II. 7. ECUAŢIA TANGENTEI LA GRAFIC ÎN PUNCTUL

Fie , ,

1. Condiţia ca şi să fie tangente în punctul : şi .

2. O funcţie are tangentă în dacă este derivabilă pe tot domeniul sau pe domeniul de definiţie.

3. este coeficientul unghiular al tangentei la graficul lui în punctul şi (panta tangentei)

4. Dacă atunci tangenta în este paralelă cu axa .5. Dacă este continuă în ; şi cel puţin una dintre derivate

este finită, atunci se numeşte punct unghiular.

III OPERAŢII CU FUNCŢII DERIVABILE

Fie două funcţii derivabile pe , atunci:

a)b)c)

d)

III. 1. DERIVATA FUNCŢIEI COMPUSE

Teoremă: Fie , intervale şi , două funcţii. Dacă este derivabilă pe şi este derivabilă pe , atunci este derivabilă pe şi III. 2. DERIVAREA FUNCŢIEI INVERSE

4

Teoremă: Fie , , intervale, continuă şi bijectivă. Dacă este derivabilă în punctul şi , atunci funcţia inversă este derivabilă în

punctul şi .

Observatie: , şi

III. 3. DERIVATE DE ORDIN SUPERIOR

Definiţie: Funcţia este de două ori derivabilă în , dacă: – este derivabilă într-o vecinătate a lui ; – este derivabilă în .

Definiţie: Fie . Funcţia se numeşte derivabilă de ordin dacă este derivabilă de ordin şi dacă derivata sa de ordin , este derivabilă.

Definiţie: Funcţia se numeşte derivabilă de ordinul sau funcţie infinit derivabilă dacă este derivabilă de orice ordin , .

Formula Leibniz: Fie , două funcţii de ori derivabile pe

intervalul atunci avem:

III. 4. DIFERENŢIALA UNEI FUNCŢII

Definiţie: Funcţia dată de corespondenţa se numeşte diferenţiala funcţiei în şi se notează cu

5