I Elemente de analizd matematici o lll.reapta ii=f'o(*o).

f dacarferite in

al grafi.frgura 3

tr Fie functia f :iQ -+ D' f (x)= {f. ::' sr se arate cd xo = 0 este' lVx,x>0punct de intoarcere al funcfiei f.Solu{ieAvem ce: lrl+f (*) = lg+G" = 0, l,ll,r(*) = l,ll..E:0 ei f (0):0.xoAgadar, f este continul in xn = 6.

Astfel sunt intrunite toate condifiile pentru ca punctul xo = 0 sd fiepunct de intoarcere al functiei.

in figura 4 se observi ci axa oy este semitangentr vertical5 a grafi-cului in O(0, 0).

PUNCTE UNGHIULARE{. DEFINITIEI Fie functia numericd f : D -+ le.! 'Punctul xo e D se numeqte punct unghiular aI funcfiei f dacd f esteI continui in xo, are derivate laterare diferite in xo qi cel pulin o derivatlI lateral[ este finitd.

rfu'(o)= lim vx = Iim* = +*.

ilou x i.-3 ./x

Punctul Mo (*0, f (xo))et9,functiei, iar semitangentele inpropriu, (figura 5).

se numegte punct unghiular al graficuluiacest punct la curba g, forrneazd. w unghi

a

v,iMoi

f '"(x6), f '6(x6) e e f '"(x6)=-o, f 'a(xe)ee f '"(x6) e Q, f '6(x6) = -o(punct unghiular)(punct unghiular) (punct unghiular)

./ Tem6.Reprezentati qi alte situafii in care apar.puncte unghiulare.

227

r Elemente de analizd matematicd r lll. FUNCTII DEBMBILEg,tun/plnd ,ro/ailtaldtr Si se arate ci punctul Xo = 0 este punct unghiular aI functiei:

lsrnx, x>0Solutie

Functia f este continud in xu = 0 deoareceiigf(x)=0=f(0).

. r(x) - f(o) . x,l''.(0)=limr- ^ -rrm-=limx=0:X ,, x-0 I..o x ;.6,

rrx)- f (0) ,.-^- sinx .,f',, (o)=t-ff=l,S:l}=,

r x-(,

,t tr"|IIS

a

Asadar, conditiile ca punctul Xo = 0 s[ fie punct unghiular sunt inde:-nite. Punctul r{0 (0, 0) este punct unghiular ar curbei ,!),. Drepter.e y = 0, y = "sunt semitangente in stanga, respectiv in dreapta, in origine, (figura 6).

PUIICTE DE INFLEXI{JNE* orrlrulrlrI Fie functia numericd f :f.l -+ re.l'Punctul xo e D este punct de inflexiune al functiei f dacd func[ia es:.! continua in xo, are derivatd in punctul xo (finiti sau infiniti) iar func:-,! este convexd. (concavr) de o parte a lui x0 qi concavi (conrzexi) :.I cealaltd parte a punctului xo.

Punctul Mn (*0, f (".)) este punct de inflexiune al curbei g,, i,:semitangentele la curbi in punctul Mo sunt semidrepte opuse.

Dreapta suport traverseazd curba (.()r, (figaraT).Figurr

i I EBCI

:- :a sdericizArma.Ea ftb fl

" f(

d) f {et f (

fr f (

c) f (h) f (

I2, Si sef:Dcizdna) f (b) f (

l.

f'"(xo):f'a(xo)=+m(punct de inflexiune)

f'"(xs)=f'a(xo)=--(punct de inflexiune)

228

f '"(x6) = f 'a(xo) e e(punct de inflexiune)

x=yY = sinx

iigura 6

-: indepli-._0,y_x:a 6).

r::ctia este'r'functia:i'exl) de

i 9r, ia:

Figura i

l

x

=Q

I Elemente de analizd matematici . Ill. FUN DEBIVABII.Egoanhrned ,tp/nirahtr Sd se arate c[ punctul Xo = 0 este punct de inflexiune pentru functiile:

a) f :lQ -+ lD, f (x)= {E; b) g:tQ + lD, g(x)= x3.Solu{,ie

a) Pentru funclia f avem: l55rf(*) = 0 = f(0) qi f,(0) =Ugr+ =i4rfl =+*.*{ x -*VfAqadar, f este continui in xo = g qi are derivata infinit[ in acest

punct, deci xo = 0 este punct de inflexiune.

b) Pentru funcfia g avem: f,rgrS(")= 6 = g(0) si g'(0)=g*{ =Lr}x, =0./ x-{ X "-{corelAnd cu aspectul curbei gr(parabola cubici) din figura g,rezulti ci xo = 0 este punct de inflexiune pentru funcfia g.

Punctul O(0, 0) este punct de inflexiune al paraboleicubice qi dreapta y = 0 este tangent[ la curbi.EXEBCITII SI PBOBI.EME

ea sE a.raLe ca runctta f !Lr_+,L afe ll r -/ \ X+2 Iderivati in punctul specificat, pre- ll cl r(x)= **1, xo=i;cizind de fiecare dati domeniul ll

*^-i* r^ r^c_j.:^ h- ll d) f (") = cosx, Xo = 01maxim de definitie D: ll -' - )../ -a) f (x) =2xz +11 xo = g; ll ") r(") = lnx, xo = 1;b)f(x)=4x3+t,xo=-1; Il or(t)=lx+2l,xo=-2.c) f(x)=*,xo=0; ll ,, :l T dul":Tin-e tuncfia derivatif ra funcfiei f : D -+ e precizAnd do-d) f (x) = J;d, xo = I. ll - ' E'reurzauu uu'i ll meniile de definitie D qi D. in ca-e) f (x)= V5x+3, xo = 1; ll zurile:o r(x)=sinx, *, =f ; ll " :li=':*n' b) f (x)=5x2+,1;d r(x) = 2*, xo = -1; ll "' r(") = xB -3x+2; d) r(x) = 1;

1 -

ll tl r(") = 2oo6; f) f (x) = si11v * 2'h) f (x)=fr,x0 =1.E4. SA se studieze continuitatea gi deri_

vabilitatea functiilor f : e -+ le, inE2. Sa se studieze derivabilitatea tuncliei ll :__l;]:!]a ruuuvruur r:f : D -+ lQ in punctul specificat, p're- ll noo"tul xo = Q 3

cizind mullimea D: ll "l f (") = xz -x+4;a) f(x)=3x+4r xo=-2;

b) r(x) = -x2+x, -, =;; ll ,, r(*) = {:"1f}:, :; l,229

I Elemente de analizi matematic6 r lll. II DEBIVABITEc) f(x)=x-lxl; b) f(x) = x2 +x, xo = -1;

c) f(x)=x3-2x, xo =-3;d) f (x) = cosXr xo = rr;e) f(x)=J;'+9, xo =-4;0 f(x) = (z - s*)'z, xb = 1.

E9. Sn se verifice daci x = 0 esteunghiular pentru func,tiile f :tgtiind ci:a) f(x)={*'*l'xoU) r(x) = *.*(*, *');.l r1*;={*'' x0E5. Sn se arate ci functia f : lQ

-+ lQ,

1.1r(*) =.lxsin:' *+o ."t" continui[0, x=oin xo = 0, dar nu e derivabili inacest punct.

86. Se se calculeze derivatele lateraleale func,tiei f : D -+ lD in punctul spe-cificat gi s5. se precizeze daei f estederivabili sau nu in acest punct:

[3x+4. x(1a)f(x)=j ,'_ _,xo=1;l-x"+5x,x>1(o

b) f (x) = t;J_, *,

I Elemente de analizi matematicd r lll. FUNCTII DERIVABI!-E

functiapunct de

n(*-a);

Fie funcfia f : lD -r rA, f (x) = al + h,

Si se determine arb e lQ astfel incits5. fie verificate condifiile:r(1)=-1 ur r'(|)=s.56' se scrie ecuafia tangentei lacurba reprezentativ5. a func,tieif : D -+ lQ in punctul specificat:a) f (x)=G'z+4x+4 txo=2ib) t (x) = x2 + sinx, xo = 0;c) f(x)=x3+x+e*rxo=1;

fm(**2,l) f (x) =['" -n' x32.-, - \"t - [sin(x_z), x)2,

llp -r"^, -. (*, i]I

m) f(x)=1, ), -'\'llarcsin2xlzr ' *'[t' **Jn) r(x) = {(*-r)'"i,,*, * *'.[0, x=lS5. se determine punctele de deriva-bilitate pentru functiile f : Q -+ Q,daci:

"lrr*l={*1' xeQ ilx"+2,xeQ\Qb) f(x)={xl,xeo ;

l#, xeA\QS[ se deterrnine a,belQastfel incdtfunc{ia f :Q-+Q si fie derivabiliin punctul de legi.turi, dac5.:

lax+b. xl;b)f(x)=[(a+r)e"-l, xs1.- \-''

lsin(x-r)+bcos(zx-2),X ) 1'c) f (x) =[('-a)x2-b' x32.

l2ax3-x2 +4a,x>2Fie functia f :lD -+ lD,

fZax+h,x

r Elemente de analizi matematici . lll. DEBIVABITEA9. Sn se deterrnine a,b,ce E astfel

funcliaf:ie+e,

si admiti tangenti in & = 0 qi2f(*1) = f(2).

A10. Se di tunc{ia f : (0,+o) + D,r (*) = {t"'*" x e (o' el

[oxz+px +4,xe(e, +o)'S[ se determine c,, p e ]e astf,el inc6tf si aibi tangenti in :, = e gi sir sescrie ecua(ia tangentei.

All.Se se determine punctele graficulu-itunctiei f:D-+tD,f(x)=f ++f _r incare taagenta este paraleli cu dreapta3x

- y + f = 0. SA se scrie ecuatia Gn-

gentei.

Al2.Functia f :D+tA, f(x)=x4_8x+tadmite tangenta de ecuatie y =24x_47, Si se deterrnine coordonatelepunctului de tangen{i.

AlS.Tangenta la graficul functieif : n \ {-1} -+ e, f (x) ='.t4\ / x+1.formeazi cu axa Ox un unghi curnisura 1. Sa se determine coor_4donatele punctului de tangenti giecuatia tangentei in acest punct, -

A14.S[ se precizeze daci existd punctepe graficul functiei f : A \{_1} _+ e,f(9 = I ,1 in care rangenra arex+lPanta egali cu m = tg30o.sin60. .

AlS.Seconsider[functia f :ie_+te, f (") == ex - ex. Existi puncte ate grafi-cului in care tangenta s[ forrneze cu

axa Ox un unghi obtuz? Dar insi fie paraleli cu axa Ox? Acproblemi pentru g : te _+ D, S(") = :

:

Zx3----:--+x

-2007.

A16.Se dau functiile f, g : e + e,

care curbele reprezentative s:;ltangente in punctul cu abs:_lrx = 1r iar tangenta comuni :"r-,;1,paraleli cu prima bisectoa:.eaxelor de coordonate.

,ii7"Se se verifice daci punctele sp+rficate sunt puncte unghiulare:a) f : lQ + e, f (x) = l*, -al,*, e {0,-:b) f :Q-+a, f(x)={'= *.r.o

=.[Vx-1,x>1c) f : e-+a, f (x) =lxr-sx+e],>rn e tz :d) f : e -+ D, r(x)= ffi,*, = {_!.er r: [e +"o) -+e, r(")={t:]'

_

".f0,[r-I,xe[L-:

\ =1'AlE. Sn se deterrnine a, be Dpentr.u c;r,

fi.rnctiile f, g : ie + iD nu au pu:irmrunghiulare, in cazurile:a) f(x)=xix-al;u) g(x)=xlx-aj+lx-rl.

A19.Si se deterrnine punctele de intc ecere pentru functia f : ie _+ lp, da,:ra) r(x) = li.l. b)r(x) = JF-

.,{20.Sn se deterrrdne punctele unghiut nalefunctiei f :le-+ie,f(x)=timf"-1-#+6'\^/-H,j;2+;;x4" , nefr: .

f(")=x3+ax2+b, g(x)=Bxz+ei-. :.r -;::r-:Si se determine ar b,e e le pe.;r : : - - I .

BEx)0,X(0

b,-;x)"

+

c'

(a + r)x2abx + (

+x-

,1,t,"r=

{ \: __-

:- -

- tt

"; -'_in-l

i_'r -

I

232

f Elemente de Analizd Matematici e tll.

si considerrm functia f :D -+ re, o func{ie derivab,i pe murfimea D.Derivata sa este functia f ':D,, -+ re, f '(x)= ir*S*, und.e D,,

este domeniul de derivabiiitate ai funcliei f. cu ajutorur acestei formulevom determina derivatere catorva func{ii elu-"rrt.r" p" jo.rrurrirl de deriva_bilitate corespunzltor.1. FITNCTTA CONSTANTA

r'(x) = +*fe*re = t+T = TSo = o. rAstfel, daci f (x) =4,y xe lD, atunci f,(x)=0, xele sau 4,=0.

2. TUNCTIA PUTERE CU EXPONENT NATURALFuncfia f : re -+ rD, f(x) =x", n e N' este derivab,r pe D qi derivata saeste dati de relatia:

Demonstra,tieSe scrie (*")'=nx"-',vxele.

Funclia f :e-+te, f(x)=c este derivabild pe iD gi are derivata egall cufunctia nuld:+:.!{i!rAWu

Se mai scrie c'=0,VxelQ.Demonstrafu,

W Exetnplea) Derivata funcfiei identice

f '(x)= 1, V x e ID. Scriem:PL-l.f (") = x, V x e le este funcfia defrniti prin

b) Dace f(") =x', V x e lD, atuncic) Dace f(") =x', V x e lD, atunci

f '(x)=ri*lG.D-f (") ,, (*+h)" { _,,* cl*'-,h+clx.-,h2 +...+hn- \--'l -h^l?i -- h- ='r'$r--l_- = r^Sh ==irS(cl"'-l +C2xn-2h+...+h'-r)=Cl,x"-,

=nX.-1, v xe le. r

o002O 1)

I Elemente de analizi marematici r lll. FUNGII] DERIVABIIE3. FI.INCTIA PUTERE CU E)(PONENT REAL

hV x>0" E

4.F

FunffiSe

".,

l-ntr.

f(,

. Fie fur

schimb

Func{ia f : (0, +"o) -+ D, f (*) = *', , u lp este derivabild(0,

Se scrie:

Demonstratie

@ Exemple3

f(x+h)-f(x)h

f '(x)= lnig (x+h)"-x.h+0 h t-O

NotAnd I=r, rezultdx ' lr

=l ljm r5 r'-'l

3 OBSERVa) f(x)=xi,x>0,b) t(x)= Jx, x > 0,Si retinem cI

x>0.

1,X)0.24x

q 3.f '(x) = ';a-'

r'(x)= (G)'

oI=

o"-i4

1=

(x2 )'

314 4l*'1

.,-,

= -.x'2

3 tlBSEBVATIEo Functia radical f :[0, +oo)-+D, f(*)=G ,, este derivabili in xo =.deoarece f'(0) = ao6.

c) r(x)=1.:< +0, r,(x)=f1) =(r-,)'=-x-, =-+, v x +0.x '- \x/ \ ,/ *r'"^d) Daci r =1, n e Nn \ {1}, atunci *. =r,*=V*. S" obtine:nf:)'1 r-r 1IX" I =.i.y" pentru x > 0 dach n este par, sau xele*dac, n est( I o .rVx'-' "-

impar,

E RETINEM!

5. Fl

Funr:' (x)= a.

Se s 0 gi n par sau x ;r 0 qi n impar

234

pentru orir

")G

4. FI]NCTIA LOGARITMICAFunclia f : lQ -+ D, f (x) = ln x este

I Elemente de analizi matematicd . lll. DEBIVABII.E

derivabilE pe intervalul (0, +"o) gi

Se scrie:

i.rtr-ud"rri., p"r,t.r, oricare x > 0 avem:

r,(x) = ts E *g = i,* fr,(+) = *'"rt -,1) =

-.x1 .. ln(l+ v) 1Xv--o y X

c oBSEBVATTEo Fie functia f : (0,+.o) -+ D, f (x)= logu X, I ) 0, a* 1. Folosind formula deschimbare a bazeilogaritmului, Iog" * = l:;, se obfine:

J) Xo =Q 5. FI]NCTIA DPONENTIAI,AFunclia f : lD-+ (0,+.o), f(") = a*, a>0, &+1, este

f '(x)=a*.lna, xe Q.derivabil[ pe lQ gi

Se scrie (a')'-a*.lna,VxeQ.intr-adevd., pe.rtru oricare

-cd n estef '(x) = li- u'*n -u* = lim\ ./ h+o h h+o

x e D avem:

+"=a*.rna.in particular, (ex)'=e*,VxeQ6. FTJNCTIILE TRIGONOMETRICE SINUS $I COSINUSFuncfiile f, g : Q e Q, f(x) = sin x, g(x) = cos x sunt derivabile pe le qi

pentru orice x e lQ avem:(sin)'(x).= cos x, V x eQ; cos)'(x)

= - sin x, V x e lD.

235

b)

I Elemente de analizd matematici o lll. FUNCTII DERIVABILEDemonstra{ie

a) Pentru orice x e lD, f '(x) = lim' \ / h+o

h 2x-LZSrn-CoS-=lirr-22=h+0 h

sin(x +h) -sinx

0EBIVATtF TEORE}1

f-e functii..lac[ functj-o qifct,- 5 i'^D',

ierir.are:a) {f +g}'{

a) PentrPrin tre

::::1 cd f ,si gf+g)'(x

b) Pentr: slg(x)

- f(>i

TrecAnd-.ptul cd f qi 1

(f .g)'(xo

=: \).g(xo;*3 ()BSERVATII1. Dac[ functi

derivabile trE.g)=f-

2. Cele dou6cazul a n fu(f, + f, +....(Ef,' f;Pentru f, =

.h=tm

t'l 2 .lim cosf*.!) = 1.lim .o.[**!)= t.

"o"lu.,,f**!)) =rr-o h h+o ( 2/ hro -\ 2) [h;o(-- 2))2

b) TemI r3 (lBSERVATIE

o Trebuie fdcuti distinctie clarl intre numerele f '(xo)qi (f(xo))'. Astfe-f '(xo) reprezinti valoarea derivatei f in punctul xo (atunci cAnd existitiar (f(xo))'reprezint[ derivata constantei f(xo) qi este zero.

@ Exemple. (ln2)'=0; (ln)'(2)=1 ; [.i.rI)'=0, frirrl'll)=cosn=62 ' \ 6' ',t6, ---6 2

./ Tem[Aplicdnd formulele pentru derivatele cAtorva func-tii elementare, s[ *

calculeze derivatele funcpiilor:A. 1. f(x) = X4r xe Q ; 2. f(x) = 2961, xe D; B. f(x) =*i, * > 0; 4. f(x) =t/x, x > ft

5. f(x) =Vx, x * 01 6. f(x) = log, x, x > 0; Z. f(x) = g*, x e e ; 8. f(x) =.E, x e E9. f(x) =sinI, xeQ; f0. f(x) ="o"f;, xe D;11. f(x) = e2*, x e.

B. Calculati gi comparafi:r. (sin)'(-;)

', (-"*f)', r. r"o")'(9f,) ,, ("""?) ; B. on e),si on),(e).

C. 1. Pentru funcfia f(x) = 5*, s6...se calculeze f'(0), (f(0))', f'(-l), f'(loguB):f

' (- logu (ln E)) .2. Pentru tuncfia f(x) =Vx, sE. se calculeze f '(1),(f(1))'; f '(8),(f 1a;),,

f'(-1), (r(-r))'.

@ oPERATu cu FUNcIrr DERTvABTLETehnica de determinare a derivatei unei func{ii pornind de Ia definitie se

dovedeqte a fi destul de anevoioasd pentru functii obtinute pe bazaoperaliiior cu functii (adunare, inmultire, compunere, inversare, ...). Deaceea se vor g6si niqte reguli practice care permit determinarea derivateiunei functii oarecare intr-un mod cdt mai simplu.

236

I Elemente de analizi matematici r lll. FUNCTII 0ERIVABILE

?r +h

= COSx-

-{stfe1.rnstl .

4.I. OERIYATA SUMEI SI A PBODUSUruIE TEOREMA 3

Fie functiile f, g:D + lQ qi xo e D punct de acumulare allui D.Dac[ funcliile f qi g sunt derivabile in punctul xo e D, atunci functiilef + g qi fg sunt derivabile in punctul x0, qi au loc urmitoarele reguli de

Demonstratie

a) pentrux# x0 urr",,(f +g)(x)-(f +gXxo)- f(x)-f(xo)ng(x)-g(xo).X-Xo X-Xo X-Xo

Prin trecere la limitE cAnd x -+ x0 in aceasti egalitate qi folosindfaptul ci f qi g sunt derivabile in x,, se obline:

(f + g),(xo ): lim (f +gxx)-(f +gx>

I Elemente de analizi matematici r lll. DEBIVABITE3. Alegand g = c, c e lQ, regula de derivare a produsului conduce Ia forn:. _-,(cfl'

= c'f + cf' = 0 . f + cf' = cf', (constanta trece in fafa derivatei).Pentru g = -1 se obline (-fl' =-f', iar (f- g)' - (f + (-g))' = f' - g'.

tr RETTNEM!G'olc . rl oi (f-s)'=f'-

E*ob@ iplanabtr 1. sa se determine derivatele func{iilor f gi valoarea f '(xo) a deriva::in punctele specificate:

a)f : lQ -+ lQ,f(x)=x3 + x+cosx, xo=0;b)f:lQ'-+f, ^r- 1,, t(x) ={x +;;, *o = 1;c)f :(0, +co) -+ Q,f(x)=lnx +2*- sinl, x^ = 1.2.U

Solutiea) Functia f este derivabil5 pe le ca sum[ de functii derivabile pe [ ,

f'(x) = (;s)' + x' + (cos)'(x) = 3x2 + 1 - sin x, Vx e le, f'(0) = B . 0 + 1 - sin 0 = 1.b) Functia f este derivabild pe lD'ca sumr. de functii derivabile pe f 'f'(x) = if;)' + t'+l = --1- +(x,),=.L -2x,, v x+0;\x- / 3.Vx' 3Vx'f '(1) =1 -2 = -!.33c) Functia f este derivabil6 pe (0, +.o) fiind exprimatr ca sume ::

functii derivabile pe (0, +oo) Si f '(x) = (ln)'(x) + (2*), -

[.irrI)'= !+2.In2-\ 2) xVx>0,f'(1)= 7+21n2.EI 2. Folosind regulile de derivare a sumei qi a produsului, sh se determr-.legea de corespondentl a functiei f', dac5:

a) f : (0, +.o) -+ lQ, f(x) = x21n * +*J* ;b)f : D -+ lD,f(x)=xsinx-2cosx.

Solutiea) f '(x) - (32 lnx)'+(xG)'= (12)'In x + x2 (tn)'(x) + *'J*+o(J*

=

=2xlnx**'.1+1.Jx**--L= 2xln 3 rx 2'lx 'x+x+ '''lx'vx>o'b) f'(x) = (xsinx)'-(2 cosx)'= x',sinx+ x.(sin)'(9- 2 (cos)'(x) = sinx -

+xcosx+2sinx =3sinx +xcosx,V xe le.

!,1, DEBIVAT,

E TEOREMFie functiiDac[ functI este de:oE

ffiEruIi{+$;l',:i'ffi

Din con"::in6tate a tr

-_'l

1 tx"l =l'*. f(x).g(>

=:'-T--, [f(x) - f=;'-T-. [r(*)

- t

=.lrml.-*oL X-)

= [f '1xo ) .g(x

Demonlerivabile pej: este derivrg

"rl4ba,rthI 1.Fiei

Atunci

r!)'Ig.]

,a formulaatei).

. Cerivatei

:pe lD Ei,-0=1.

I Elemente de analizd matematici r lll. FUNGIII DEBIVABIIE4.2. DEB|VATA CArArut

E TEOREMA 4Fie functiiie f, g : D -+ iQ qi x,, e D, punct de acumulare al lui D.Daci funcliile f qi g sunt derivabile in xn qi g( xo ) * 0, atunci funcfia cAtfa este denvabil[ in punctul x0 $i are loc egalitatea:

Din condifia g(xn ) * 0 qi g continuii in x6 , rezult[ c[ g este nenul[ pe ovecin[tate a punctului xo qi deci are sens derivabilitatea cAtului in xo.Avem:

(f), .

(r), , f(x) f(xo)I -

I(x)-l -

l(x^ )[!l'r*l=p*(gJ' ' (gJ '' = lim g(x) g(xo) -r.-f(x)'g(xo)-f(xo)'g(x) -(gi " x+x. X-Xo xJx. X-xo x+xo (x-xo).g(x).g(x.)_,-_

f(x). g(xu)-f(xo). g(xo)+ f(xo). g(xn)-f(xo). g(x) _

(x -

xo ).g(x).g(xo )xrx0r'= pe lQ*,

(x -

xn ) .g(x) .g(xn )

sumi de- l'1n2-0.

=hm[$Lgx.). g(xo )- g(x)-g(xo ).fr*.il ,=] _ =,-*oL X-Xo X-Xo I glx.t .g(xo.)= [f '(xo ) 'g(xo ) - g'(xo ) .f(xo )]

== , ceea ce trebuia demonstrat. r

- g-(xo)Demonstrafia teoremei arat[ totodat[ ci daci functiile f qi g sunt

derivabile pe multimea D qi functia g nu se anuleaz[ pe D, atunci functia cAtf: este derivabild pe D qi are loc reguia de derivare a cAtului:ob (r)' f'g-fg'

l-l=tol o2\D./ t

"qltba&Io."\, f(x) = tg x.

239

f; :',I Elemente de analizi matematici r lll. FUNCTII DERIVABItE

tntr-adev,r, (tg),(x) =fgrrl)' - (sin)'( x)' cos x --sinx' (cos)'(x) -[cosx] cos'x

sin'x

qf(x)

- l(x) =-

f(.x)

nt f(x)

o ) f(x)

., Si seciz6,nnilieal futa) f(:b) f()c) f(rd) f(:e) f(:t)t(xg) f(rhtf(r

i'f(:

I r(:

l-r f/

L frr

rf

tr

sin2x+cos2xcos2 x

-sin2x-coszx -1

2. Fie funciia f : lQ -

{kn":, 1Atunci (ctg)'(x) =- :, ,

s1n- x

Avem (ctg)',(x) -/cosx '-

\sinx,l

=-1-,vx+ (2k+7tL.kettcos'x 2'i O . ,.1, > R, f(x) = ctg x.Vi *krs, ke T-,(cos)'(x). sin x * cos x' (sin)'(;;

sin'x sln- x xtkfi, keTl .

E)MRSAREEXEHCtIil Sr PRoBTEME

81. S[ se deter:nine derivatele funetiilor fqi si se calculeze f '(xo), unde xo estespecificat pentr-u fiecare functie:a)f : Q

-r D, f(x) = JE + x2 + xs -x4,\=-2;lr)f:Q'--rQ.f{xi I 1 i=;z'+;z --o *lnb,x

I Elemente de analizi matematice . lll. DERIVABII.Erk) f(x) - *V* ,x+2'l) f(x)

= Px-x;lnx+ xsinxmrt(xr=-.

osx-2'n) f(x)

-

2sinx- Soosx .3+sinx '

xsinxo, t(x, =

-.

1-osx'

p) f(x) = tgx+ I .ts-1'r) f(x)

sin2x+1's) f(x)={*1,t) f(x)

= logs x + logx B;

u) f(x) = (e2)* + E*.

Af. Sn se rezolve ecuafia f '(x) = 0, pre.cizind domeniul maxim de defi-nilie 9i domeniul de derivabilitateal funcfiei f:a) f(x)

= x4 - 4x3;b) f(x)

= 2x$ - 1Ex2 + 24x + 5;c) f(x) z x4

- 4xs + 4x2.

d) f(x) = 33 . sx;

e) f(x) = sinsx + cossxl

0 f(x) = x2. lnx;S) f(x) = ex(x2 + 6x - 15);h)f(x)= **1

'(x+t)2 +l 'i) f(x) = ---=--1--,

x" -5x+6'

j) f(*) = { -s*+:t .{

-5x+7'rk) f(x)

=

*V* ,

x+1'

APROFUNDARE

slnx1+tgx

42. Fie funcfiile f, g : e -+ D, astfel incAtf(x) = (x2 + Zx +2).g(x), Vxee, iarg este derivabili in x = 11 g (1) = | giE'(1) = 0. 56. se calculeze f '(1).

A3. Fie funcfiile f, g : e -+ e, astfel incAt:f(x) = 2.* ' g(*) x-2*P;' v xeQ'g este derivabili in x

= g 61 g (0) = g,

B' (01 = -1. Si se calculeze f ,(0).

A4. Si se scrie ecua{ia tangentei la gra_,

ficul functiei f j O -+ p iIr proltrfspecificat, dac6.:a) f(x)

= x4, xo = -1;b)f(x)=xlnxr:h

=e;c) f(x) =;*, xo = _1;

d)f(x)={+, fr=r;Jxe) f(x) =tgx, * =f,0 f(x) = (x+l)e*, xo = 0, & = l.

4.3. DEBTVAREA FAilCItEt CnMPASE

247

In paragraful anterior s-a observat ci aplicand operaliile algebricefuncfiilor derivabile se ob-t^in tot funclii a"ri"uriii.]" lo.rtirrrrare vom intarniun alt mod de a genera functii derivabile. r""tr" ri*plitatea exprim6rii,functiile vor fr considerate ca fiind definite pe intervale de numere reale.

r) f(x) = ,(?*;l)'"_, m) f(x) =4t' +l2x+l'

- 5 cos x),

t: -

x),

- x)(4 -

x),

El =e;l'\ =-1'functiilor

niul deterivabili-

x+1,*2'

r+1r +4't'-gxx+5

iX,J;

n)f(x)-2+sinx.oosx

surxo, r(x,oosx + 1

I Elemente de analizi matematici r lll.E] TEOREMA 5

Fie I qi J intervale d.e numere reale qi functiile I ] "r

-! e.Dacd u este derivabil6 in punctul xo e I, iar f este derivabilh in punc:r,(*o) = yo J, atunci funcfia compusi (f

" ") : I -+ lQ este derivabile :

punctul xo qi are loc relatia:Demonstra{ie

Functieiementr-

constar

xt'. ne t

lnx

-:{.x,a>C

a', a > 0,

xt, re I,Y*Yo

X=Xo

timF(y)=1i*$!I(v,) - f,(yo;=F(yo), func{ia F esir vx

Y-Yo

Din egalitatea F(u(x), . u(x) - yo -

f(u(x)) -

f(xo ) , (t)x-xo X-Xo

prin trecere la limiti, se obline:(r

",),(*o ) = fit${*#@'lri-r(,, (-)) 1*elP == F (u (", )) r' (*o ) = F(Vo)u'("0) = f '(yo ). u'(xo ) = f '(u(xo )). u'(xo ). r3 (lBSERVATII1. UtilizAnd aceastl teoremd qi definitia derivatei unei functii pe o multime

se obtine urmltorul rezultat general:Fie I, J intervale de numere reale gi f 5,l5p.DacE functia u este derivabili pe intervalul I qi funcfia f este derivabil,pe intervalul J, atunci funcfia (f .

") este derivabil[ pe I qi are 1oiurmitoarea regulh de derivare:(f "r)'* (f '.o).r'.

2. Teorema se poate extinde la un numir n, n > 2 de funclii derivabile care spot compune. Astfel, dac[ f, u, v sunt trei funclii care determinr functraf ouov pe un interval I, iar dacd v este derivabilS in punctul xo

I,f estederivabilI in punctul u(v( xo )), atunci functia compus[ f o u o v estederivabili in punctul xo qi are loc egalitatea:(f ou or)'(*o) = f'(r(r(*o)))'

"'("(*,)).r'(*o), sau mai general:

Fie F:J+te, F(y) = iry#If ,{yo ),

.tr

Deoarece

continud in yo.

ex

s1n xcos x

tgx

ctg x

4. Dac[ u, rfunctia u{o",il

=

-,\ ,: :tntr-adev

u')' = (e"'""=uu.lnu.\'rnntfula73 Folosirderivatele fr

a)h:rc) h:(

242

iior elementare deduse pani acum #j;;;;r;;;;ffii;:"i;#ff:]i ounctul"abill in

r inultime,

lerivabil6i: are loc

care se:-a functiar:I,fester. v este

Daci u, v: I -+lD sunt functii derivabile pe I gi u(x) > 0, xe I, atunci{ungtia" 1" es. e derivabild pe I qi derivata ei este:(qli': v '"uY "T' Iu.ii,ri'g,J;,ty;t"tr- aaeva",-u""rfr

'il),fiffi(r")' = (u""), (oI')"'.,,,. 1v . In u), = sv.rnu

lH...--ffil

a functiilor compuse, si se determinea) h:lQ

-+ lQ, h(x) =(g1z - 2x)s. b) h: D_-, (0, +.o), h(x) = ln2 (x2 + 5);c) h:(0, **)-+ lD, h(*)= *..

(',,'t,,,,." +) =r"[,,]nu +" +) == uu .lnu. v'+v.u,-, .u,.

Srpbc&hte@ntE Folosind regula de derivarederivatele functiilor:

243

Functiaelementarl Derivata Funcfiacompusl Derivatac (constantl) U. xe iD

x 1. xe lD u u,1tt, n

N* nxn t. xelD ut, nN* nu, - 1. u'x", re lQ rxr t. xe (0- +ar) ur, re lQ rut-r'u'J; t2G, xe (0,+m) .[ 1----:" u'2..luv; J*.(0,+m), npar

' lx e lD*, nimpar filnx I*l

xx e (0, +oo) lnu 1-_. u'

ulogux,a>0ra*L t

- ,-, x e (0, +oo)xlna 1og,. u 1ulnaex ex- xe iD eu e' tl'&"r&)0ra*7 a,.ina, xe le au u':-11u g'

cos u .u'srn x cosx- xclD sln Llcos x stnx. xclD cos u *sin u . u'tgx 1

a"-'" ,cosx*0 tgu tr,o*\ "ctg x 1

-.*{ ,sinx+0 ctg u 1:---;-'usrn- u

I Elemente de analizi matematici . lll. tUIllGTll DEBIVABItESolu{ie

a) SI considerim funcliile u, f : le _+ lD, u(x) =functii derivabile pe le, pentru care u,(x) = 6x _ 2, y

u e lQ. Rezulti cE funcfia f o u este derivabill pe le.

(3x2 -

2x), f(u) - :

xe lD qi f '(u) - 5u

Fie xf_,(y)

v

Funcf.Rezult

- )') -+ f-1(i': obtine : 1:

In cor:-:)'(v^)=-lv

f

3 (}BSERVATrn

-. uaca rn er

f este stri,strict desrnu este deDin punciinverse ar

L Folosind dpoate extirFieIqiJi:Daci funcrf-1:J + I e

ra@iru ta7aE Fie func

SI se arrSolutie

Funcfia:strict cresc[toa

De aseniecilmf=(

observim ca (f "")(*)=f(u(x))=(Bx, _2*)u =h(*),xe te. Aqadar. :

este derivabitl pe lQ qi h, (*) = (f " r), (x) = f ,(u(x)). u,(x) = b,rn (*) . u,(x I =

= b(Bx, -2*)r . (0"

-2), x e e.b) Considerim funcflile p5(0, +*)5p5(0, +oo), v(x) _ x2 + 5, u(v) = ln:f(u)

- u2 derivabile.Avem (f .u o

")(*) = f (u(v(*))) = h, (x, + b) = h(*), x e le.Rezulti c[ h este functie derivabili pe te gih'(x)

= f'(u(v(x)) . u'(v(x)) . v'(x) = 2u(v(x)) .

-

l- .rr,1*;

=2rn(x2+ 5). 1 . r, _v(x) x, +S -^=;-f3'h(x'+b).

c) Aplichm regula de derivare din Observalia 4:(*- )' = ("'''. ) I = s*rn* . (x lnx), = sxr,x . (x,h x + x. ln, x) = e,r,* . Irr, * * * . l) ==x-(inx+1). \ x)

4"4. DEBTI.ABEA FAilClEt tttvE*sEin acest paragraf vom stabili o noui modalitate de a obline func:-derivabile qi totodatd un nou procedeu de determirra*e a derivatei pentr-anumite functii.

E T'EOREMA 6Fie I qi J intervale oarecare qi f : I -+ J o functie continur qi bijectivi,Daci functia f este derivabil6in punctul xo e f $i f,i;J;6, atunci functiaffi}**$**{_-+ I este derivabild in punctul yo = f(xo) Si

DemonstralieBij ectivitatea functiei

determina limita raportuluif asigur[ existenfa functiei inversef-'(y)-f-'(y")

^- 'v. cand yJyo, y* yo.Y -Yo

244

Vor

f(u) - s;.\Plll = bu-.

-{qadar, hrt.u'(x)=

functiipentru

t. Vorn

Fie x = f-t (y). Deoarece y + yo, rezultd .a * * *o flf-'(y)-f-'(yo) _

f-'(f(*))-f-l1117i^;; x_x^- \J/ r \r0.,_:__:jloz1l1}"))_ x_x 1Y -Yo fGtr?"J - = (il-eJ =T(*l:(xJ' (1)

X-XoFunclia f-l este continuE in punctul Io = f(xo ).Rezulta

"I ILT f-'(y) = f-'(yo ) = *o . Se deduce astfel cd pentru y ) yo,f-t(y)+f-'(yn), adicd x-+x0. T?ec6nd ra limiti dupr y

-+yo,in reratia (1),seobtine:limf-t(r)-f-'(Yo)= 1 1Y)Yo Y - Jro hm f(x) - f(xo )

x+xo X _ XoIn concluzie, funclia f-1 este derivabil6 in punctul yo = f("0 ) qi(f-')'(yo)=#

3 OBSEHVATII1. Dacd in enun{ se ia f '(xr)= 0, atunci (f-r)'(yo)= +oo in cazul in care functiaf este strict crescdtoare pe I qi (f-t)'(yo)=-co in cazurcand funcfia f este

strict descresc[toare pe I. in conclu zie, daclf,(xo ) = 0 , atunci funclia f-1nu este derivabill in punctul yo, dar are derivati infinitl in Io .Din punct de vedere geometric, in punctul (yo,xo) graficul functieiinverse are tangentl verticall.

2. Folosind derivab*itatea unei functii pe o mullime, teorema anterioari sepoate extinde astfel:Fie I qi J intervale oarecare gi f : I + J o funcfie continui qiDaci funcfia f este derivabiid pe intervalul I qi f ,(x) * 0.

f Elemente de analizi matematicd r lll. DEBIVABITE

bijectivl.Vx e I, atunci

f-l:J -+ I este funclie derivabil[ pe intervalul J qiEno*ifu talahtaftr Fie funclia f : D -+ (1, oo), f(x) = g* + B* + 1.

sr se arate cr functia f este inversabilr pe re gi sd se determine (f-1),(B).SolulieFunctia f este strict crescrtoare pe e , fiind exprimatE ca sumr de functiistrict crescitoare pe e , deci este in5ect-iv5.De asemenea, este funcfie continu[ pe lp,[qft*l=1,lgf(x)=+co,

deci Im f = (1, +"o), ceea ce inseamni cE f este surjectivd. in concruzie,

f '(xo )'

245

I llemente de analizi matematici o lll. FUNCIII DEBIVABIIEfunc{ia f este bijectiv6, deci inversabild. ca urmare existdderivabili pe (1, +.o) $i (f-1),(B) =#, unde f(xo)=Bgic5(f-')'(3)= 1

-

1

f'(0) 3ln3'

f-1: (1, +co) -

[Xo =0. Se oi--..:,

DERTVATELE FUNCTI|LoR TRTGONOMETRICE TNVERSE

1. Funcfia arcsinusf

= --Functia "l-i', i - [-1, 1], f(x) - sin x este bijectivd, contin.-.L-

derivabil5 qi f (x) = cos x, cos x ;a 0, V x = [-1, l).\ 2'2)

Functia inversd este f-1:[-1, 1] - l-;,tf, ,.rrr= arcsin y cireia .

poate aplica teorema de derivare a functiei inverse pe intervalul deschis (--Pentru y. (-1, 1) se obtine:/.1111

" f'(x) cosx JGrnrx- f'Aqadar, functia arcsin este derivabil[ pe intervalul deschis (-1, 1) s.

ti.i$ll$,tillir:'l!,{J;ll.ii\llliiii.iiiN$fts$,ts*fftr}xlxNi{\-}.in\}ssfi*NrNi}ilrs$iNrsrs\w\lw{\Nw^$:illillii..:-i\ii$:-\$$$

Pentru y = -1, avem * = -1, iu, f ,[-I)= O.2' \ 2)

Conform observatiei (1), (arcsin)'(_1) = *cn $i (arcsin),(l) = + co.

2. Funclia arccosinus

Rationand in mod similar sau aplicdnd relafia arccos * =;- arcsir. :.x e [-1, 1],rezu1ti cr functia arccos este derivabilE pe intervalul (-1, 1 i

Pentru x = -1 sau x = 1, (arccos)'(+1) = -m.

I

,:

;I

J:

246

-,o)+ f,Se obtine

tinul 9i

llrela r se

s (-1, 1',

Functiaf :I T n)(-r, 2 )n lQ, f(x) = tg x satisface conditiile de derivare afunctiei inverse pentru I =( -+,1) ,i J = te.\ 2'2)'

Rezutt[ ci funclia inversd f-,, n _+(_;,;), f-,(y)=arctg y este deriva_bil6inoricepunct ye le,y=tgxSi (arctg),fl) =fr=cosrx= C;= = #

Aqadar se obtine rormura p:"lt t,itrril",, y; . o4. Funclia arccotangent[Proceddnd ca pentru func{ia arctg, sau folosind relatia

7t= r- arctgx, v x e re, oblinem cr functia arcctg este derivabild pe

3 OBSERVATIE:. 1) ei . Daci u este o funcfie derivabili qi u (x) e (-1, 1), atunci:

3. Funclia arctangentif Elemente de analizi matematicd r lll. FU II DEBIVABII.E

arcctgx =

lQ qi

(arcsin ,)' =$. rr,./1

- u'

qi

(arcctg u)' - -Il- . ,,1+ u2

. _1(arccos u)' = -!. . s'l< ,V-t -

u"Daci u este o functie derivabild, atunci:

1arctg u)'

- --j-- . u'1+ u,In concluzie, teoremere 8-6 din acest paragraf dau modarititi dederivare pentru diferite funclii *." Jr.rt rezultat al:-

unor operalii argebrice cu functii derivabile (adunare, produs, c6t);-

unei operatii de compunere d.e funclii a"ri"u[ifu;--

unei operatii de inversare a unei functii a"rir.uit".Reguli de derivare

247

(ftg)'-f'r*, (f g)'-f'.s+f.s' (*j),:: r',:.lie(f-t )' = ,1 -\ / f'(f-')

E)'- f ''g-f .g't.g] --='- (f "

")'= f '(u) .u,

I Elemente de analizi matematice . Ill.EXEBCTTI Sl PR0BLEME

E)(ERSARE d) f(x) = ln,1Y

e) f(x) =lsg*.

E-\-, a) f(x) = u!7

c) f(x) =eG(:Id)f(x)=6"'1h(f

e)f(x)=e '

'i-. a) f(x) = xG'

c) f(x) = /ntxe) f(x) = *t0n:

\-I. a) f(x) = arcsb) f(x) = arlcs

c) f(x) = arcc

d) f(x) = arcc

e) f(x) =arctE

f) f(x) = ry6t

9) f(x) = 2anrl

h) f(x) = arccl

"{2. Se se calculera) f(x) = arcsi

El. Folosind regula de derivare a func-fiilor compuse, si se calculeze deri-vatele firncfiilor indicAnd domeniulmaxim de definifie gi domeniul dederivabilitate:a) f(x)

=(x2 + x)a; b) f(x) = si114* * 2;tc) f(x)

= sins 2x; d) f(x) =coJx+cmbe)f(x) =tgz2xi0f(x) = xetg2x;g) f(x)

= JZ;;T; h) f(x) = !6;'+&-r;i) f(x) =tFJ; j) f(x) =[x+z'1'.('/'k) f(x)

= In (6x2 + x); l) f(x) = ln x-2:x+3'm)f(x) =ln(x+.6*ll;n) f(x) =el*2*+e-*;o) f(x) = 2'" + 3;p) r(x) =['i.*r )'.(e-- + rJ 'r) f(x)

= sin2(3x2 - 4x+l);,"p) f(x) = GuLFt

t) f(x) = arcsin(x2 + x);

u) f(x) = arctsffi;v) f(t)

= arccos(x2- 2x);

w) f(x) = arcctg e'2x'x) f(x) = x*+l;y) f(x) = *G; z) f(x) = (sin x)*.

E2. Sn se rezolve ecuafia f '(x) = tpentru funcfia f : D --re, unde Deste domeniul maxim de definitie utunc{iei f:a) f(x)

= (2x2

- xa)s;

b) f(x) = (x - 1)2 . (x - 2;str.-.--:c) f(x) =^l2x-x'; d) f(x) = yffill;e) f(x) =./:1.In*; t) f(x) = f x,xd f(x) = cos 2x + x; h) f(x) = {s>. a saxii) f(x) =!E;i) f(x) =2'r-rr .k) f(x) = $t l) f(x) = arctg (x2- 4x :m) f(x) = ]td*-|tdrs3" 2n) f(x)

= sin2 3x,

o) f(x) =4sr.6ne" -e-x .----D 2 'p) f(x)

= "*.r*ffi, x e (0, n).

',3 . Folosind regula de derivare a functi_ilor compuse, sE se calsuleze derivaLfunc,tiei f : D -+e, precizAnd D gi Dr,:a) f(x)

= (x2 + 1)3 . (x3

- 3x + 2)s;

b)f(x)= #;c)f(x)= rE,d) flx) = {*{*G ;e) f(x)

= x(a2-x) .r["*;f) f(x)= E,

x+2sl r(*)=tF-a*-2.

II. a) f(x) = cos2(Bx + l) .sin(Bx +l);

b) f(x) - sins((x2 + 1)s);

c) f(x) = sin (cos2x) . cos(sin2 x);d) f(x)

= tet (eos (ln x));e)f(x)= ll1,t**- -sI

z --z 2sin2x'

rrr. a) f(x) = 61:{ .2_*

b) f(x) =1rr.[-:99=-,--I1+ sinx'

c) f(x) = 1,r [:!g2*,--!t+tg2x'

APROFI.INDARE

I.

248

d)f(x)=r.@4', L\^', -

*{a;l-; ;

e) f(x) =Iog**rx1 0 f(x)

=

. x-2r9---.V#+r

lx) = 0

unde Ditie al

,x2- 4x);

s (0, r).

,1);I x);

@fV. a) f(x)

= slf ns i b) f(x) = e". @;,-.- .\+* -t'

_5 1c) f(x) =eG(xf ++xi

-Zx-g);I

d) f(x) = e;.l.sin*;

ln(ai_r)e) f(x)

= e-;-.

v. a) f(x) = x**; b) f(x) =(+) ,

c) f(x) =

ylnl**r,; d) f(x) = **,

*h*e)f(x)= fr*,* , 0f(x)=yarcsinx.

VI. a) f(x) = arcsin 16=;

b) f(x) = *o;rr- 3*r *-P*2Ms

c) f(x) - ur."o" *'-' ,

- l+*n,d) f(x)

= """.o"

1:-lr +? * arctg x;

e) f(x) = u."tg *l - I z

x_ +__arctg x-;

0 f(x) = "*tgl-d-.x

g)f(x) =r^n*fl.rfffifi,h) f(x)

- r*""t* 4"h*" B + 5osx'

A2. Sn se calculeze f ,(xo),a) f(x)

= """"ir*.v*lT'

pentru:

& =l;

249

! Elemente de analizd matematici . il|.b)f(x)= ffi,*=#,c) r(x)

= ",.*tsi;Jft7 ,* = -*'

d) f(x) =tm. anccos (siu Bx),7tn-4,

")r(*)=+hG*.***?,ln=l;

0 f(x) = ri4lr -i"*o, * = _i,gy fld = q"= * nr,,Ai7 + arctsx

,

&=I'

AB.:etunc.tiar,[,.-) -, [-i, ..),f(x) = p - x. Si se arate ci f esteinversabili qi si se calculeze (firtG;

si (frl)'(20).A.4. Fie funcgia f : D _+ tD, f(x)

+ 4x _ 2. Existi (r{),(e)rmativ si se calculeze.

A5. Fie funcfia f:(0, o) _+ (1, co), f(y) _ 2* *+ x2 + x. Si se verifice a""e'f ""t"bijectivi si si. se catcuteze ttili+j. "-

A6. Se consideri funcfia f : (1, o) -+D,f(x)=In(x-l)+x.

a) Si se arate ci. feste inversabili.b) Si se calculeze (f\,(2), (flt6;;;.A7. Fie functia:

lo-f: D -+ D'f(x) =JBx-x" x e (-o'ol[Bx+x2, xe(0,o),a) Si se arate ci f este inversabili

.b) Si se arate cE (fr),(-4) =

(tti;):'

DEBIVABII.E

=x3+3x2+in caz afir-

I Elemente de analizi matematici ' III'

@ DERIVATE DE oRDINUL llSiconsider5.mfunctiapolinomialif:lP-+lQ,f(")=x'-2x'+1'FuncliafestederivabilipelQqiderivataeiestefunctiaf':lQ-+f

f '(x) = 3x' '4x' , r -ri^ r^-:-,-L.irX oi i-

Nepunemproblemadac[nouafunclief'estefuncliederivabillqii.,caz aftriatlv care este derivata el?

AqadintAi f' del

6t Exernnrp'

punctul xoRezt

ie ordinul

"?,.allprrnaA SAS::nc!ia f

a)tb)lc)f

Soluliea)

: (x)= (::e funclj::nctiei I

b)ierivataf cafu::dinul l

c)-

compu

f'(Fu

" abile p" rncliei

f"

R[sPunsul este urm[torul:. ftrnctia f ' este derivabil5

are derivat[. Derivata functieipe lQ ca sum[ de functii derivabile' dec'f ' ." ,rr*"qte derivata de ordinul II '

funcliei f qi o vom nota f "'Astfel avem: f" : Q -) e, f(x) = (f')'(*) =0*-+'Fie f :D+iQ ofunclieoarecare'derivabilS pemu\imea DclQ'Derivata funcliei f este funclia f ': D,' -+ lQ' D'' c D numit[ derivata

de ordinul I sau derivata intAi a functiei f'Derivatad.eordinullsed'eterminifolosindreguliledederivare.

d.erivatele funcliilor elementare'-- il continuarJ r"-tu p""e problema derivabilit[fii funcliei f intr-u:punctSaupeomultime,precumqiproblemaexistenleiderivateiacesteia.

{. DEHNITiIE. Functia f :D+lQ este de doul ori derivabilS. in punctul xo e D'nt

dac[ exist[ o vecinitate V e 7 (".) astfel incAt:a) f este derivabil[ in orice punct al vecin[tllii V;b) functia a"rirr.ie ii

'

V -+lD este derivabiii in punctul xo e V'oDerivatafunclieif,inpunctulxosenumeqtederivatadeordinulf

(sau deriv ata adoua) a functiei f in punctul xo gi se noteazl f "(xn ) '

Aqadar,l-qi ,

Funclia iffi;H*ffii oria".i"ufiia pu mul-timea D, c D daci functia f es:;derivabil[ de douh ori in orice punct al multimii D''

Functia (f ,),: Dr + lD se numeqte derivata de ordinul II a functiei f (sa.derivata a doua) qi se noteazh f " sau f(') '

o 0BSERVATIEr Dac[ funclia f este derivabili numai in punctul xo (sau pe o mullime care r:-

arepex0punctd.eacumulare)nusepoatedefiniderivataadouainxo'

I Elemente de analizi matematicd ' Ill' FUNGIII DEBIVABIIEAqadar, ori"" frrt.ti" d",ivabiiS' de dou[ ori in punctul xo are derivata

intai f' definit6 pe o intreagl vecinEtate a lui xo'

Gt Exemoluo Funclia

punctul Xo = 0.Rezultl ci pentru aceasti funclie nu se poate pune

de ordinul II in xo = g.

l*'. x e 'lDf : ID + lD, f (x) = j^r' este derivabil[ numai in[x -x2, x e lD \'Q

gbollpndtp/"haldtrS[searatec6funcliafestededou[oriderivabil[qisisedeterminefunclia f" incazurile:

"l f(")=2x2-x+1,xlP;b) f(x)=sinXrxelD;c)f (x) = ln(x' + 1),x e lQ'

Solutie v 1 r -- -!:i r^-r-,^r-..i.r^ c.

a) Functia f este derivabil[ pe lD ca sum[ de functii derivabile qrf,(x) =(2x, -x+1)' =4"-1, xe lD. Funclia f' este derivabil, pe p ca sumlde funclii derivabile qi derivata acesteia care este derivata de ordinul II afuncliei f este d'at[ de: f"(x) = (f ')'(") = (4x -1)' = 4' x e lD'

b)Functiasinusestederivabil[pelpcafunclieelementarl9iderivata de ordinul I este f'(x) =cosx' x e lQ' Funclia f' este derivabili peQ ca functie elementara qi derivata acesteia care repre zinl6' derivata deordinul II afuncliei f este f "(*)=(f ')'(*)=-sinX' xelQ'

c)Functiaf:D+lD,f(x)=i'(*,+1)estefuncliederivabilipelDcao compunere de functii derivabile' Avem:

f '(x) = (1n)'(x' + 1) = ;}t' 2x, x e lQ'Funclia rafional[ f ' este derivabil[ pe

vabile pe D. Derivata derivatei de ordinul

2(1- x')=+,xe IQ.(r + x')"

problema derivabilitllii

lQ fiind un cAt de funclii deri-I este derivata de ordinul II a

func$iei f, anurn'.:

f ,,(*) = (f ')'(x) = [j]) ]s]ff3251

I Elemente de analizi ma!9qglid'i!! DERIVABIIE

nrucnTll. nfloAclut MUITIPIE AtE ECUATIII0HPOLINOMIATE

Fie f :lQ-+D, f(x)=&ox'+a'x'-t +"'+an-1x+an ofunclie polinomial'de gradul n.

rulti'

--'rmd

unde :=ste r

* pEFlillllEIo Se nume$te ecua{ie polinomiali de grad'ul n ecualia f(x)=g'|

"rtu funclie polinomiai[ de gradul n'

ExemPIu de ecuatii Polinomiale:1. ecuatia pofi"o*iuil de grad'ui 1: ax + b = 0' a + 0;2. ecualia polinomiall de gradul 2: ax'+ bx + c = 0' a l0;3. ecualia polinomial[ de gradul S: ax'+bx'+cx+d=0' a+0'

,?Lal,

3::Uali:lut

{. DEFINITIEl o Fie f o functie polinomialS' de gradul n' n N'" Num[rul xn e lQ s:I ;;;".;" ,uui"rr[ multiplr. de ord"inul m, me {1, 2,...,n\ a ecuatie.I ;"";iaie f (x)=o dac[existio funcliepolinomial[gdegradul

n-n-- :]ua

I .r*"rincAt: .l f (*)=(*-*o)*'g(*),v xe lQ; b) s(x')*0' zNumrrul m se numeqte ordin de murtiplicitate a r[d[cinii xo. - 32Dac[ m =1,2,3,,.., num[ru1 xo se numeqte ridicini simpll, dubli j-.,,r1

u tnonrMA 7Fie f o functie poiinomial[ de gradul n' n N- ' Daci num[rul real x

, -1-I

esterS'd[cin[mu}tipl6deordinulmalecualieipolinomialef(x)=0.atunci ea este r[d[cin[ multipll de ordinut (m - r) pentru ecualiapolinomiali f '(x)= O'

:XE

: _t,

DemonstralieDindefiniliar[d[ciniimultipledeordinulmrezult[c[exist[funct..

polinomial[ g astfel incdt f (*)= (* - *o)- s(*)' s(xo) + 0'Avem f '(x) = (* -

"o)'-'[*s(*) * (* - ".)s'(*)1= (* - *o)'"-' tt(")'

tripll etc'

252

I Elemente de analizd matematicd . lll. FUIllGTll DEFIVABI.EDeoarece f '(xo) = gmultipli de ordinul m _1

qi h(x.)=mg(xo) *O rezultl,c5 xn este ridicinlpentru ecualia f ,(x) = g. r

*r:,,: Y1":1" ga_p:.jlilitatea formutirii condifiilor in care un.pre ;;;-d";;";il;;;r mare.Astfel:

o xo este rddicind simpli daci f (xo) = 0 $i f ,(xo)r.0;o xn este rldicinl dubll daci f (xo)= 0, f ,(xo) = 0 $i f ,,(xo) + 0;unde: r xo este rid[cin[ tripli daci f(xo)=0, f,(xo)=0, f,,(xo)=0 qi xo

este ridlcini simpli pentru f ,,(x) = 0.g,tunhrr",o

*p/ahabtr 1' 56 se determine ordinur de multiplicitate ar rSdScinii

.xo = 1 pentruecuafia xa _xs _Bx2 +5x _2 = 0.Solutie

: :f, ser a.:uatie-

&* dubln

Rezulti cI xo = 1 este rlddcind tripll.tr 2' sd se determine numerere a, b e le pentru care ecuati a 2axr*. + bxrr, ++32 = 0 are r[dicina dubli Xo = 1.Solutie

Considerlm funcfia polinomialdAvem: f(1)=0, f'(x)=4xB _Bx2f"(*) =72x2

-6x-6 qi f ,,(1)=0,Asadar, f(1) =f,(1)=f,,(1)=6 u1

ecuatia f "(x)= 6.

Fie func{ia polinomiaiiDin condifiile f (1) = 0

4074a+228b =0.

Seobtine a=2 qi b=

EXERCtIil $t PBoBTEMEEt. se se carcureze r.ffi,**H*,lS

pentru functiile:a)f(x)=xa

-2xl +Ef +Bx-1, xeD;b) r(x)=*,x*-z;

f(*) =xa -x3 -Bx2 + bx _2,x e le.

-Gx+5 qi f'(t)=0.iar f" (") = ("

- 1)(r2x + 6).

Xo = 1 este rlddcinl simpld pentru

f(x) = 2u*zooz + bx"' + 82, x e le.qi f '(1) = 0 se obtin relafiile 2a + b+ 82 = 0 $i

-36 9i se arati ci pentru aceste valori f ,,(1) r.0.

AREc)d)e)f)

f(x)=x.,E,x>0;f(x)=x.e*'*2*,xee;r(")

= (t + x2)arctSx, x e e;f (x) =h(x2 +t)-arcctgx, x

e.

253

I Elemente de analizi matematicd o fl. FUNCTII DEBIVABILE82. Se se rezolve ecua{ia f ,'(*) = 0 p;rt .,func{iile f,: D + e, precizdud mul-gimea D, daei:

a) f(x) = xs

-41 +5x-Zib) f(x)=*GJT;e) r(N)=x+zarctg'd) f(x)=x+si&:qe) f(x) =Lr,tz+ sinx)i A f (x) = g-:3+*.$ r(x) = JP;- * Bh(x., u,!tn a),h) ff,x) =1-E\ / . ,,t+x-

m" F-6 se arate ca functia f verificiident:{tatea dat6la) f(x) =5* +4x_2, #.f ,,(x)+f ,(x)

=

=2fx+f (x)+a], xe a;b) f(x)

- *o-"1 (+x, +r)r(x)_2f ,(x)_-f"(*)=0,xee;c) f (x) = e2* cos 4x, f ,,(*) _

f ,(x) ++8f(x')=0,xeD;

e) f(x) = 1" - si'.

d) f(x) =x?r/y-+a x.f,(x) +J".r,14 _s=_

lof(x)+sx---J.--' x>o;

E4. SA se determine func{ia polinomialide gradul 2, f ze*p,-iiii#-Lf"(10)

= -6, f'(z) = _s, f(o)= 5.E5. Se se determine numerele a, b e Ipentru care ecuatia are ridicinadublI indicati:

a) x3 +(a+ f)x2 _Bx+2b= 0, xb = _Bi

l"::;Tr;:il::"1;_:=0rxo=1.

86. Se se determine ordinul de mult:plicitate al ridicinii date:a) xa

-

gl -4x+ 12 = e, xo = _2;

b) Sx4 +Bxs _gx3 _5x+ L = 0, xo = _lc) 3xa

-4x3 +7x2 _Ex+l = 0, x, = 1,

d) Zxa-Exf +B# + x_f = O, a = ll

=::::-:0 ll -t^'-l_i'_u_2+cx+B_d, :r:-\^r*1hr.r.o*+r, x

i r'($-x= A5. Se se studieze existen'ta numerelor'-- 1;;10) ei c"(3) pentru firncliile[ * .*.0

date Prin: f (x) = I x2 + t' '[*, x]0[h2(x-2), x>3

s(*)=t(*-'rF,'x0

o1.

TESTE DE EVATUARE

Testul L

Se di funclia f : Q -+ A, f (x) = t/* * (m - 2)x + 2 - m' m e Q'a) Si se determine m e Q astfel inc6t { tU'l,U^:"tvabil[ pe D'b) Pentru 6=0 si se determine f '(-1) 9i f "(0)'

S[ se calculeze f '(x) qi f "(x) pentru func(iile f : D -+ D' dac6:[x+sinx, x30"l r(*)=ffir r) r(x)=r,(r+JF;I c) r(x) = {z**m(r*x2), x>0'

mq'or:

255

I Elementeffiliei f :e. -ra,f(x) =* s[ se determine

punctul a(at)/ 1\/ r\

astfel incAt tangenta in A si fie paraleli cu dreapta BC' unde B (1' 1) '

"['' ;,)'

04.S[sedetermineordinuldemultiplicitatealr[dilciniix=_2pentruecuatlava' Ilrt""*t,u axa +12xs +11t' -4x-4=o'

Testul2

01. S[ se calculeze derivatele de ordin I qi II' pentru funcliile date de:

xln( -.t\ [s"""(2' x30"l r(x)=(s*-1)e2*-3;

b) r(x)=rTH'; c) r(x)= ti*;+x3, x>002. S[ se arate ci pentru orice n e N* qi x e

Q \ {1} are loc egalitatea:

nx"'r -(n+1)x" +1.1+2x+Bx2 +...+nx'-' -- ("lf--'

S[ se arate c[ nu existi nici o func{ie polinomiall f : Q

-r Q astfel inc6t:

r(*)=u(r+x), o *' 10' +o)' (Universitate' Buc" 1985)

Fiefunc{iapolinomial[ f :D-rD'f (x)=xE+ax4-bxa-cxz+dx+3 Qi o=3a- '

_c+zd.Dac[ ecualia f(x)=0 are x1 =1 qi xz='1 ridicini de multiplicii'

de ordinul doi, atunci q este egal cu:

"irr b) 3; c) -1; d) o'

Testul S

01. se consideritunclia f :D-+a' f (x)=*(*i*t)'612-|r"(".'tr.2)'a) S5' se determine mul(imile D 9i D'"

5f "(-.8)b) si se calculeze

,,(-l_ )S[ se determine punctele unghiulare ale func{iei f :

Q -r D' f (x) - arccos fi

[m(e-x1, x32Se d[ tunc-tia f : Q -r a' f (x) = t*i -x(za-U)+ e,x>2a)S5,sedetermine a'b'cn asifetincdtf s[frededouloriderivabilS

in c = -

1 , ecuafia tangentei la grafic in p'-: I rtb) Pentru

"= -i gi b = c = 0 ' s[ se scrre

cu abscisa egali cu 18f"(0)'

)4. Fa"

b

U

cl

-^ '-I l:

-.

!

a7.1. P

-:. ]l

: -:i1r

'i., ["

o3.

256

ia.e punctul e(a l)e e (r, r),

"[r, ;).= -2 pentru ecualia

I Elemente de analizd lratematicd . lll. FUNC DEBIVABII.Ea) Si se arate ci feste bijectivi.b) Sn se arate ci func{ia frl este derivabili in y,

= B gi si se(.')'(r).c) Ce ordin de multiplicitate err X = _2 pentru ecua{ia polinomiali

calculeze

s(x) = or

loc pentru

reprezintl

Xn =- b

"2a

parabolei

date de:#, xSO,1-x",x>0r,[itatea:

E astfel incit:

-dx +3 qi o=8a-b-ini de multiplicitatr

@ Furcl, DERT,AB*E pE uN TNTEB,AI7,1, PAilCTE T)E EXTREM

Notiunea de punct de extrem a fost intarnitd incd din clasa a D(-a (maiH:J:',[l'X]j:];ffiH: * .t"ii,i?,.,ctiei r,rp - rp, ri*) = ax2+ bx + c, a + 0,

1. DacI a ) 0, atunci f(")>_*,O*e le, egalitatea realizAndu_sepentru *^ =-!."2a

Valoarea functiei f( _!)= __omai mic[ valoare a functiei), iar punctul xo = _! ,u,r"zintd punctul deminim al funcliei.

punctul vf- b A)( % , -; ) al parabolei asociate, reprezinta punctul deminirn al acesteia.

2. Daci & ( 0, atunci f (*) < __A,, =-r:. uu,ou.u;;::'lr

*,=-T' ::'':::I 2;)=-G in acest caz,maximul funcfiei (cea mai mare valoare a functiei), iar punctul:eprezintl punetul de maxim al functiei.

Punctut Vf --b A )^ s'uLur '[-Zu, -G) reprezintl punctul de maxim al

asociate.

2xilx)=arcCOS--' 1+r

lerivabilS.in x=2.a grafiic in punctur

E Elemente de analizd matematicd r lll. FUNGIII DEBIV4BII E

* orrruur. Fie func-tia f :D -+ lQ, D c tQ.Un punct xo e D se numeqte purn{-:t demaxim relativ (local) al func{iei f Caciexist[ o vecinitate V a punctului x,,, ast{'elincAt pentru orice x e V n D, are loc relal. a:

f (")< f (".). (1)---_,!-;

Valoarea f(xu) a funcliei in prrr:r''rr de Oi -*

*i-J tii ii

maxim relativ se numeqte maximul relativ ' V(local) al functiei, iar punctul A(xo, f(x,, )) de pe x, lttinct de maxim relat:'.curba asociath graficului functiei se nun'efre punct de maxim relativ e-acesteia.

{. DEFINITIE Y + Ftgura io Un punct xo e D se numegte punct de minimrelativ (local) al func{iei f dacri exist[ ovecin5tate V a punctului xo astfel incfrt, pentruorice xe VnD, arelocrelatia:

f (")- f (",). (2)Valoarea f(xo) a funcliei in punctul de minim

relativ se numeqte minimul relativ (local) alfunctiei f, iar punctul A(xo, f(xo)) de pe curba asociat[ graficului functiei s=numeqte punct de minim relativ al acesteia.

Punctele xo de maxim relativ sau de minim relativ ale unei functii s.numesc puncte de extrem relativ ale funcfiei.

Valorile functiei in punctele de extrem relativ se numesc extremelerelative ale func{iei.

Punctele de maxim reiativ gi punctele de minim relativ ale curb=asociate graficului functiei se numesc puncte de extrem relativ alegraficului.

Figura

3 ()BSERVATII1. O f,rrr",ti" poate avea mai multe puncte de f (*r)=

extrem relativ, iar un minim relativ poate fi f (".)mai mare sau egal decAt un maxim relativ.

ftxo)lf(x)

Fi,gura -

A(xo, f((x,))

Vxo punct de minim relat'.

x0x1 x2 x3x4 x5 .,",

2.EpB Exe

g

ftlno

lar reco

Exe,

7 2. trEg

ETECIIFie ftuaca

:--

-:monstt5a

--:ervalu

* I}EFt"u"! r.,"I o Val,

'l\/t

:-mea I- (2kr)

, rlut al I.:" DEtlru

l"u" r! f:DII u Valo

(JI.:ciproc

(_,f

:ul{ime.osolut i

Pu:xtrer:m

Acest fapt justifici folosirea cuvdntului,,relativ", (figura 3).

258

FtgurA(xo, f((xo))

IIIiiil

.rl

,, .r" x,r

I

v

,,:tcl d,'tttaxim re . -.

de maxim relativ '

'A Ftgu--

_

"1

V... punct de minim rt.::

:. g:'aficului functie: ,t

::,'.- ale unei functt- :4

;: numesc extremel*

.:- relativ ale cu::,-extrem relativ a_,:'.a I tgu.

-

* IlEFgtlllTI!

[ "T" e;.t x,, e D este punct de nnaxim absolut al| _tunctiei f daci f (x) -< f (*o), Vx e D.! u \/aloarea ftx, ) reprezintd maximul absolut aIftrne{iei.

9. E posib, ca o f,uncrie.a "ffi8 Exermotu

o f : (1, 2) + rA,f (x) = x, (figura 4).

. -'lut al functiei cosinus

,"","?;;;.:TJ:.1: n?n,*THHffr:i punct de maxim rerativ oocar),o funcfie poate avea mai

-;;;;""cte de maxim absolut.@ Exempf,w" Fie functia f : le + lD, f(x)

= cos x.Multimea {Zknlt elt} rcprezinti mul_

.:ltea punctelor de maxim absolut, i ------______- i2kr) = t, k e i! reprezinti ,r*i.rrU uil - -T -"/? :

E Elemente de analizi matematicd o lll. OEBIVABTI.Ergura 4).

Figura 5

de maxim din interiorulpunctului Xo, Vc[a,b],

* DEFilUTTil l-r--------------| " Ltfi;ct x,' e D se numegte punct de minim

"l"otrt aI func{iei! f ' D --+ tF, dacH f (x) > f (*,), vx. D.I ' valoarea f(xo ) reprezintd minimul absolut aI funcgiei.,=.,0.3"'iii JJil| *:,ffi'*"T#;' este qi punct de minim rerativ, dar

o funcfie poate avea mai ;;il" puncte de minim absorut. in figura 5::ultimea prncteror de minim relativ este {(2k+1)n I kez},iar minimur

.or#;;r;:; due maxim absolut qi de minim absolut se numesc puncte de

E TEOR,E

I:::T:: i^jll] : re qi xo . (u, r) ,., o,-.,", de extrem ar functiei.,,'urr.r-.,

^r];;=;.

-

-

.turtstt-ut.l?SI presupunern ci punctul xo este punct

-:ervalului [a, b]. Atunci existl o vecinatate V a

,7,2, TESREIWA &W{ FE&MAT

259

I Elemente de analizd matematici ' Ill' tU DENIVABiI.E

astfei inc6t f(x)

Din faptul c[ f es:=

1. f(x)-f(xn) -

-

-

llrll

X{' X-xo,--.

. a

'- -=leazh ca mai inaint:-*::ctia 8 = -f' Conforr:-

--- : ,xo)=0.1

:-*-

-. ;na din extremit[tr-.':ila in xo, iar deriva:.

: -:ctul xo = 1 qi maxrm '-

:=:-,'alul [1,2] .: qeneral,

: - ,':1 xn qi

. i= extrem.

= -. f'(0)=Q,

-* este con-

i= extrem"

:: i.e minim=::',-abili in

Deoarece f(0) = 0 si (x) > 0 = f(0), V x eie,:ezulti c5. xo = 0 este punct de minim al lui f.

rplicdnd teorema lui Fermat se obtine cd f ,(0) = 0.lar f '(x) = s,.ln a

-1 qi deci iii0t= h a _ 1.?,ezultic5.a=e.

0,VxelQ.Figura g

x e lQ, considerim graficul functiei

c) f : [-2, 1] _+ e, f(x) =

_xz.d) f: [-2, 4] + e,f(x) = l*, _, i,e) f : (-8, 2) -+ D, f(x) _ _x;0 f : (Q, oo) + Q, f(x)

- rr.

E3. Se dau func(iile f, g: e + e,rrx)

= l,3 - +j, s(x) = ttr.Si se studieze aplicabilitatea teo-rernei lui Fermat pe [_S, S].

din intervalur deschis (a, b) se "";;.;;;ffiil::T,Til"":erivateiTeorema lui Fermat afirmd cE punctele de extrem ale unei functiiderivabile sunt printre punctere critice are functiei.

Eaerwqtt*,taTalualntr 1. Fie funcliapunct de maxim alSolutrie

f(x)=-(xz-4x_5)=_[(x _Z)2_g]

=_ (x_212+ 9 < g=f(2),Vxe le.Rezult6 ci xo = 2 este punct de maxim al functiei.T. 2.Fiea>0 gia" )x+1, V xele. Sisearatecia=e.Solutie

Relafia din ipotezd este echiva]entd cu ax _ x _ 1 >Fie f :lQ -> lD, f(x) = &x - x _ 1. Din ipotezi:r'emcdf(x)>0,Vxeg.

f :lQ-+lD, f(x) =

-x2 + 4x + b. Si se arate cd x = 2 estefunctiei f.

Pentru a proba cI e* > x + 1, V=

x) = ex, x lQ, (figura g).Ecuatia tangentei la graficul functiei in punctul A(0, 1) este y _ e0

== g'(0)' (x- 0) sau incd y

= x + 1.Din lectura grafic5 se ob{ine ci e, > x + 1, V x e ID.

!xEBCtTil $t PRoBtEMEffi.,foIP*TSi se arate ci xo = I este punct de-p1r" al funetiei qi sE, se deterrninerrunrmul itrnctiei f.

Si se determine punctele de extremare ftrnctiilor date, relativ la dome-nule Ior de definitie, precizAndtotodati gi extremele fun&iei:a) f: Q -+ Q, f(x)

= -2x2 + lOx _ l;b) f : Q -+ D, f(x)

= xz + 4x -2i

267

E Elemente de analizi matematicd . lll. FUtllGTll DEBIVABILEE4. Se se determine punctele critice

ale func{iilor f : D -+ Q, daei:a) f(x) = x3 - 3x;b) f(x) =2x3 - 15x2 + 24x-l;c) f(x) = ln (x - 3) - ln (x2 - 5);d) f(x) = (x3 + 3x2) . ex;e) f(x) = cos6 2xi

fl ftxt - """tg3lji,r/*+f

,e

s) f(x) = --i--:" lxl+2h) f(x) = tEX + ctsqi) f(x) =

"J"t- *' + a' .arrcsinla

D"*r"trr"tkDeosebia) f esteb) fnu rDeoarec

marginile pe a7xe I. Deoar

Punctelef(u)

Demonstratie I Elemente de analizi matematici o ilt. FUNCf il DERIVABttE

tgFc

-:2.x\ + a .aI\CSIn-.a

rnctiaf :(-2,2)-+ f,.l

I

re meD astfelinciraiba un minim in

a > 0, gtiind ci ax +1 >'uorice xee.

r a>0daciax+2x >rorice xee.

:a>( dac6.-

2), -: x e (l_, co).daci(1 +x)3>1-rtunci m = 3.

o functie sd aibi: alt rezultat carectii si se anulezE

Deosebim urmetoarele situatii:a) feste constantdb) f nu este consta"il:;l:'

bl' Atunci r'(x) = 0, v x e r;

In caz contrat

.

",. Il", I

. ( u, u) I ffif Jl l;_19_ll,l;lTl ;ffi ";T,T:f ,,

INTERPRETAREA GEOMETRICA A TEOREMEI LUI ROLLEIn conditiiie cuprinse i_ -_-rqrurrrs uupr.tnse rn teorema lui Rolie,rezultd c[ exist[ cel prtin rn o,rrll'l-r-

", ^-L? 1punct ce(a, b) astfel

I3.,lil1.:r. ia . sraficul functiei ;; ;;;c(c; r(c)) este pararju ""1".6*]rn;1. ilil:leste chiar axa Ox.

3 OBSEMVATIE

Teorerna lui Rolie conduce la cAteva referiri privind zerourile unei

r Fiefunctia r:f-r, 6l-ia, r(x) ={*',"uf-r,.tr]no

",",":"Ji:;:T l-', r'lnu se

""f,r:, :::ir;t:::1,,," a), b), c)s unt numa,,,n.,.,lll J#: ;|!l."].

"ffii}, -otezele teoremei rui Roue

O0NSEC|TTE ALE TEOREMET LUt ROLLE,r,rr,fl'"".*lij;'.i o functie oarecare, I c D interval de numere reare.:e intervalur L

cua{iei f (") = 0 se numesc zerourile (rdddcinile) functiei f

Deoarece f este continld pe I=[u, b], ea este m,rginitr qi i'i atingemarginile pe acest intervai. Astfel, existd punctele u, v e fv x e r. Deoarece rnu este constantr;;Tl: l;)-i' astfet ca f(u)rf("),Punctele u r .

r(,) . r('"),';;ii .'",'ill,,o;'j; $,fT#.,{{,}l* ^1,:.!: r Av6ndintervaluiui [a, b]. r'u'uu're u $1 v este interior

I Elemente de analizd matematici ' ll! i!!!L!l!i!lvA9!EE CONSECINTA 1

intre d.oui zerottriale unei func{ii derivabile pe un interval I se afll celpulin un zero al derivatei'

DemonstrafueFie f :I_+R o funclie derivabil[ pe I Ei a,be I,a

r Elemente de analizi matematici o lll. FUNCTII DEBIVABILE

, interval I se af i. :*,

r=I,a

I Elements de analizi matematici r lll. OEBIVABITE82. SA se determine constantele a, I ceQ

astfel incAt s[ se poat[ aplica teore-ma lui Rolle funcliilor:a)f :[-2,1] -+Q,

[ax2+bx+c,xe[-2,0).f1x) =.("^'-Ir*, v 6[0, 1l 'b) f : [-1, 1] -+ lQ'

[l+(2a-1)x+b, xlFie funclia f : [0, 1] -+ Q derivabillqi f (0) = 0. SA se arate c[ exist[c e (0, t), astfel incAt f'(c) = - f (9 .Fie funclia f z [L,2] -+ Q derivabillqi f (1) = 2 f (2\. Si se arate c[ existic e (L 2), astfel incAt f'("1 = - tf

' .

A3.

APROFUNDAREA5. Fie f, g : [0, 1] -+ lQ. derivabile

astfel incAt f(1) ' S(0) = f(0) ' g(1tS[ se arate c[ exist[ ce(0,1\astfel incat f '(c) - g'(c) .f (c) g(c)

A6. Se se arate c[ Pentru oriae m, ne \'existi

".(*;) astfel incit #=*

A7. Fief :[a,tr]+ Q ofuneliederivablqi f '(x) * 0, V x e (a h). S5, se arate ': If(a) * f(b).

A9.

Fief : Q+Q ofunctiederivabilicz:-"are n zerouri distincte. S[ se ara;'c[ derivata f,' are cel Pulin (n--zerpuri distincte.

Fie f : Q-+Q o funclie Polinomiali :u'graduln, neR*.a) S[ se arate c[ f, are eel mu]: :zerouri reale.b) Daci f are n zerouri reale ,si c-+'rite, atunci f' are toate zerc---rreale qi distiucte,

A4.

266

tnta la graficuX funcliei i:si. fie paraleld. cu axa Ox?termine c e (-f, f) asrfe-,genta in punctul cu abi.de pe graficul fune1rc.rf. f(x)=il->f sd E+u a-xa O:r.se cEr derivatele de ordi:e:-c:iilor f:D-+Q au num;-eale:x-2)(x+3)(x*+);

tr - r)(x'z+x-G);r+r -i)(s-xz).

: 'U, 1l -+ lQ. derivabi].-:a:fr 1) .g(0)=flO).g-:a:e cd eNisti c e (0.

-

. f tc) g'(c)4l

---

fic) B(c)e ca pentruorice rn, ne \'. - ^. sint-jsasttel rncat-- !, --.----- ------ eof-2:

h'+ D ofunctiederivabr*L . s e (q f). S[ se arate ,:,r

- f o functie derivabili c;-

auri distiuete. Si se arairra f'are cei pulin (n-ls-i:rcte.

-

E o functie polinomiala mn=\*.a-rate c[ f are cel muh r

;a.ie.'are n zerouri reale qi diiru:i f' are toate zerour-f!-:::eete.

AI0.Fie f:e-+e o funcfie polinomialinenuli. Si se verifice dac[ f aretoate zerourile reale, atunci qifunc[ia f + mf ' are toate zerourillreale, m e e.

All.Fie f:e -+e o func{ie polinomiali,astfel incAt curba reprezentativiintersecteazi prima bisectoare a

7.4. APUCAIE. flBU rut BnttEFie I c le un interval de numere

realesi f :I+le ofunclienumerici.DacI f este funclie continu[, crite_

riul Cauchy-Bolzano dd condi{ii suficienteca ecuatia f (")= 0 s6 aiba solulii reale peintervalul L

O alti problemd legati desepararea solufiilor acesteia.

I Elemen te de analizd matematicd r lll. DERIVABITEaxelor irr fuei puncte distincte. 56 searate ci :l c e e astfel incdt f" (c)

= 0.

A12.S[ se rezolve ecua[iile exponengiale:a) B* + 22x+t

-6" +E;b) 32x+r =24x+t

-g.22" +7.

solutiile ecuatiei f(x) - 0 o reprezintd

Separarea soluliilor ecuatiei f(x) = 0 presupune:a) determinarea numirurui de soiugii reale ale ecuafiei;b) precizarea intervarelor in care sunt situate aceste solufii.Teorema lui Roile, consecintele acesteia qi criteriul cauchy_B orzanoconduc la o metodh de separare a solu{i,or r"ril ;i;-;"or ecualii de formaf(x)

= 0, unde f este o funclie derivabili, metodi numiti girur rui Rolre.Etapele qirului Iui RoIIea) Se fixeazi intervalul I de studiu al ecualiei f(x) _ 0 gi se defineqtefuncfia f : I

-+ le, derivabilI pe I.b) se calculeazd f' qi se determin[ soluliile x1, x2t..., Xo

I are ecualieif '(x) - 0 din intervalul I, xr ( Xz < .. . < xn .c) Se formeazd qirul *, f(xr), f(xr), ..., f(x,), B, unde o qi B suntvalorile funcliei la capetere intervarului I, sau rimitele func{iei f la capeteleintervaluiui I.d) Rezultatele anterioare se organizeazx intr-un taber cu liniile x, f ,(x),flx) qi o linie in care se trec semnele valorilor cr, f(x, ), ..., f(x, ) , 0.Acest qir al semnelor varorilor func{iei f se numeqte girur Iui Roile.Concluzii desprinse din analiza qirului lui Rolle1'. Daci in girur lui Rolre apar dour semne aliturate identice, atuncin intervalul corespunz[tor * u*i.tr nici o soru{ie reari a ecualiei f(x) = 0.

267

I Elemente de analizi matematici r lll. DEBIVABITEintr-adev[r, sA considerim intervalul Iu=[*n,xn*r] pentru care

f(xk),f(xo*,)>0:o dac[ in Io existl doul sau mai multe solulii ale ecua{iei, atunci se

contrazice consecin$a 2 a teoremei lui Rolle;o daci in Iu exist[ o singur[ solulie c a ecualiei, cum f(xo )'f(xu*r ) > 0,

atunci c este punct de extrem al funcliei f, deci f '(c) = 0' contradiclie cu faptulc5, x,., xu*, sunt zetouiconsecutive ale derivatei'

2". Dacb. in qirui lui Rolle apar dou[ semne consecutive diferite.ecualia f(x) = 0 are o singura solulie in intervalul corespunzator Io.

intr-adev[r, s5. presupunem c[ f(xr. ) < 0, f(xo*, ) > 0. Conform conse-cinlei 2 a teoremei lui Rolle, ecualia f(x) = 0 are cel mult o solutie in Io, iarconform criteriului Cauchy-Boizano tezultb' c[ existl cel pulin o solulie aecuagiei in Io. Aqadar, se obline unicitatea soluliei Pe Ir..

3'. Dac[ in qirul lui Rolle apare ,,zero", de exemplu f(xo)=0, atunci seconsideri ci xu este r[d[cin[ multipl[ a ecua{iei.

4o. Numirul schimb[rilor de sernn qi aI zerourilor din qirul lui Rolledeterminl numirul soluliilor reale ale ecua{iei f(x) = 0.

goonhrtno,toYahtalztr 1. S[ se separe solu$iiie reale ale ecualiei 3xa - 8x3 - 6x2 + 24x - 1, = 0.Solulie

Considerim funcfia f :lD-+lQ, f(x) = 3xa - 8x3 - 6x2 + 24x - 1derivabili pe lQ.

Derivata este func$ia f'(x) = 12xs -24x2 -12x+24=12(x- 2Xx2 - 1) Srare soiuliile: x, = -1, xz =1, xs =2 .

Avem cr =lim f(x)=+oo, f(1) = 12,f(2) = 7, f(-1) - -20, P =Iimf(x)= +caAlcituim tabelul:

xf'(x)

-20 t2$irul lui Rolle

Se observi c6 in Eirul iui Rolle sunt doar dou[ schimbiri de semn.Ecualia datl are dou[ solu{ii reale x, e (-co,

-1) Si x, e (-1, L).tr 2. Se se discute num[rul solu$iilor reale ale ecualiei ln (x2 + 1) --m=0, me lD.

EM-Consider[m

Derivata fun,

-m l+Tabelul asoci

f(x)

EXEBCTIH gt PR0B

El. Si se separe riecua{iilor:a)x3-3x-7=Q;b) 4ys

-75x2 + 12c)xa-4x3-E=0d) 2xs

-21x2 + 72e)6f+15*-4hfl3xz-7x+2ln:,

.)

B) ln(xz + 2) -a-oJ

x'2

Avem cr =

0=13f(x)=-",.Se observ[ cEAlcituim tat

i

m=ln2-0,5

268

de analizi matematici r lll.

.-,] Pentru care3cualiei, atunci se

n f(xr. )' f(xo.r ) > C'ntradiclie cu faPtr':-

nsecutive diferite:rzb.tor Io .0. Conform conse-: o solu{ie in Iu, irrl pulin o solulie "

f'rxr)=0, atunci s:

r din qirul lui Rol-:

-6x2+24x-t-- '

-6x2+24x-"= 72(x-2)(x2 - 1 '

'1 ,l R=1i*f(1)=-::-". r X)+n

Solutriev2Considerlm func{ia f : lQ + lQ, f(x) = ln(x2 + 1)-l-m derivabil[ pe A.'2

Derivata funcfiei f este f '(x) -

x(l-{) cu solugiile Xr =

-1, Xz = 0, x, = 1.x'+1 ' IAvem cr = limf(x)--co, f(-1) = f(1) = lnz-.;-m, f(0) 3

-rrr,

P =Tgf(x) = -oo.Se observ6. cd valorile funcliei calculate in soluliile derivatei depind de rn.Alcituim tabelul de semn pentru aceste valori:

+

:-:nb[ri de semn,;1 x2 (-1, 1).r:rei ln (xz + 1) -

in2-0.5-m+ln2

EXEBCTIil $t PRoBT.EMEE)(ERSARE

E1. SE se separe ridicinile reale aleecuatiilor:a)x3-3x-7=0;b)4xg-15x2+12x-3=0;c)*n-4x3-E=0;d) zxs

-21x2 +72x- 65 = 0;e) 6* + 15x4

-4OrC - 30x2 + 90x = - 1;f) 3x2

- 7x + 2ln x +1 =0;

g) ln(x2 + zl -*- 4 = o;o{)

h)x. e2"-r,r#+3=0;i) sinsx

- Ssinx

-L = 0, x e [0, 2z].82. SS se discute rS.dicinile reale ale

ecuagiilor:,a,3)xs-3x+m=o;

b)x3+3x2=-mic)ln(x2+1)-m-0;d)x2-2lnx=m.

Tabelul asociat studiului cu ajutorul qirului lui Rolle are structura:x ---cn

-1 0 1 +co Separareasoluliilorflx)m -@ -m + ln 2 - 0,5 -m -m + In2 -0,5 --co

m e (-"o,0) + + xr e (-ao, -1);xz e (1. oo)

m=0 + 0 +xr e (--m,

-1);xz = 0, dublAxs e (1, oo)

m e (0, ln2--

0,5) +xr e (-oo,

-1);xz e (-1, 0)xe e (0, 1);xa e (1,.o)

m=ln2-0,5 0 0 xr=-1,x:=1,dublen e (1n2

- 0.5. oo) xeA

269

I Elemente de analizi matematicd r lll' DEBIVABILEAPROFUNDAB,tr

A3. S[ se discute duPhreale ale ecualiilor::

sub forma:

rn e P solu{iileFormula rl

rilor finite sau

Interpretrr Dac[ g,r"z

cu excep{ia capecare tangerlta e(figura 11).

intr-ade Amit[tiie glafrcu

f(b) -

ftaeste

-.

b-af(c)) este f 'lc .egalitatea celor r

g,tailerrra aoTn/r"

B 1.Fief :i-

S[ se verifun punct in carpunctele de pe gSolutie

Funclia f e,Deoarece i

tinu6 qi derivabiAqadar, se

astfel incAt f '(c i

Deoarece fFolosind interptangenta in pun,

tr

flx) =

A1. S[ se arate c[ ecualia:(x + 1)(x + 2Xx + 3) + (x + 2)(x + 3)(x + 4) ++ (x + L)(x + 3)(x + 4) + (x + 1)(x + 2)(x ++4)=0are toate soluliile reale'

A2. S[ se discute dup[ valorile parame-trului m solu$ile reale ale ecuatiilor:a) xa - }xs + 22xz - 24x -m + 2 =0;b) Bxa + 20x3 - 36x2 + 2m = 0;c) 2x3

- !5x2 +36x - 6 + m = 0;

d)x4-8x3+16x2-9+m=0;e) :C +m* -x+5 = 0'

a) e*-mx2 = S; h) e"-rnx =0;c) el-s"+rn=0; d)sinx+x-m=0;e) sin x' cos3 x = m1; fl hr x - nrx = 0'

A4. Fie f : [0, 1l+Q,(nIxsln-.xe(0,1.Iflx)=j x[0, x=o

Si se arate c[ f satisface condi{iileteoremei trui R'otrtre qi existi un qir(c.) pentr"u care f'(cr,) = 0 5i lirne" =0'

,,.,;i ''l\r"'

;

7.5, TEOBEMA LIII LAGBATIGEin continuare, vom folosi teorema lui Rolle pentru demons'r,rarea unul

rezultat importanL in analiza matematic[, cunoscut sub denumirea deteorema creqterilor finite sau teorema lui Lagramge'

E] TEOREMA 10 (Joseph Louis Lagrange' L7B6'1'81S)Fie f : [a, b] -+D, & ( b. Dac[:a) funclia f este continui pe intervalul inchis [a' b]'ri r,.'.iiu f este derivabils' pe intervat:l::::1':^l:;t?,U i lrfhj ,r,atunci existi cel pufin un punct c e (a, b) astfel incAt

j 6

- s .

DemonstratieR"t"i* din concluzia teoremei se poate scrie qif'(c)

-k = 0, unde k - qjpSe observi c[ f '(x) - k se obline prin

derivarea funcliei g : [a, b] -+ lD, 9(x) = f(x) - kx'Funclia g este derivabilS pe (a, b), continui

pe [a, b], iar B(a) = s(b) = !!+_fq, deci inde-plineqte condiqiile teoremei iui RoIIe'' Atunci exist[ c e (a, b) astfei incAt g'(c) = 0'

Din aceast[ relalie rezulti f'(c) = k qi teoremaeste demonstrat[. E

J o s cp h - L

. .-:.:..-

.s:u':e duFii ilr E S) soiu:-- - -I cc:.r alii1$1::.. _ ^. i.:) e* - y$X = 0:,\

-

vt

* -n. r[)sic!x+x'j-- =

-: -. -

t'a' {', In x * fi'lx = '-.,1: -r-r"'r"',.

-r .[)!l-e':r si:^. 1, x E (8, t]., x=0

.' .ir { satisface conc 1' '-.r: Roile qi cxista u-u.,r.-.,

"** f'(q) = 0 qi' limc- =

: :a:ltila demonstrarea '-: *

- -\- rtdPd:i i.-'b.-'

I -:lS-1813)

. bl,s a, il),

f(b)*f(a) -r'1"t -

I \La-, k)'*&l .rti,':

fiprura 11).intr-ade [r' clach A(a'

nitllile graficu]ui, atlrncif(b) - f(a/ ,^

arfo -_--

, raf Pflfl1 flb-a

fla)\. R(b. f(b)) sunt extre-panra segmentului [AB]tang;'nter in Punctul C(c'

I Elemente de analizi *ut"*uti"5 ' lll' FU

F"--r-l" ,1 ' ;-..;;.;;" i.,'""ffir.r forrnula creqte-

fifof finiie sar-i fortnula rneclie'' pentru funclii derivabile'

Interpretare a ge{' rn et rir' 5. a. teoremei lui Lagran ge

o Dacl grafir':r-rl iirncliei i ttti*lt"i'"g""'a in fiecare punct' eventual

cu exceptia.un"'*io': ittu'uu"'tt""l i'' il' 'ii""f existh un punct pe grafic in

care tangerrta esre paratele cu coal.i;'*r" lrrr"qte extremitalile acestuia'

: c)) este f '(c)' For:mi'rla 1uiegalitatea celor dou[ Pante'

?4oilaren LPNtalni4x-3,xe[-t'r)g 1. Fie f : [-1, 3] -- p. f(x) = lr*, * s, x e [r, g] '

S[ se verifice aplicabilitarea teoremei lui Lagrange qi s[

:n punct in care ta'nffi;la qafic este paralelh cu coarda

.,rrr.t"t" de pe grafic de abscise -1 qi 3'

Sn*frulr"1ia f este contrnui'r ri rlprivabill pe [-1' 1)u (1' 3]'

Deoarece r1r-01=?=f(] r0) ri f:(1)=4=f;(1) rezulti:.nu[ qi derivabill in x = 1' existb, c e (-1, 3)

Aqadar, se poate aplica teorema lui Lagrange gr

' f(3)-f(-1) D:stfel incAt 1'1c) =-311

'4, xc[-1'11 ri- ooolifatpa f'(c) = 6 se obline c = 1'5'Deoarece f '(;' -' (' - l4*, x e ir. ?.r

-

Jin egalitatea f '(c) =

::josind,interpretareageometriclateoremeiluiLagrange'rezultlc[U

"i*. 191 i,-'a"nlineqte condilia cerut['

L 2. S[ se determine a' h e ]f,' astfel incdt funcliei f : [-1' 1] * ip'

: * _l,u**e", xe [-1' 0) s[ i se poatl aplica teorema lui Lagrange Ei apoi\ rx2+3-b,xel0,1l

. -. se JPlice aceasta'

Lagrange aralh tocmar

se determine. care uneqte

ci f este con-

{'

., srib forrria:: i...:; iii..l:,,;t|;ipw,,*)ii,,i'i ):.

I Elemente de analizi matematicd . Ill. BENIVABII-ESolutie

1 lnb-lnasau _=%c b-a

Func{ia f este continul qi derivabili pe mullimea [_1, 0) u (0, 1], av6-r:in vedere operaliile cu funclii derivabile. Impuqgm condigiile de continuita.,qi derivabilitate in x = 0. Funclia f este continuf,ln x = 0 daci qi nurnai da:f(0 -

0) = f(0) = f(0 + 0). Rezulti b = 2.Func{ia f este derivabillfn x = 0 dacqi numai daci f '"(0) = f 'a(0) e le.Dar r',(o) = !:#**- =.. 1gt* 2 = a + z.f 'd(0)=i:S{*-=0. Din f ',(0)=f,,r(0)= 0, seobline a=-2.AplicAnd teorema lui Lagrange rezultd c[ existX c e (_1, 1) astfel inc.

f ,, , f(1) -

f(-1) 1i ic/: 2 2e2'Deoarece f '(x)

- {-2.2e'" ' xe [-r' o)f z*,

- . to, ;]" ' tezult6': " =l ,''life (-1' ctr 3.Fie0

de analizd matematicd o lll.

rea [-1, 0) u (0, 1 . .-rmurcondigiile de con:' - :nonl's = 0 dacX qi nur,' uiruuu:derivabiliinx= - romr

a +2.

. se obline a = -2

re c (-1, 1) as::= -:-::iL

l"-l n < c(n) < n +1 rezulth", |g;# = 1, Si astfel:. 1-Inc(n)

=: an = Irm---# = 0.c(n.)

iilEROITII SI PROBIEMEE)TER,SARE

1- 4e2 -7n-,_ln-

-2 4e'

sd se arate c[:

m" i,:. se aplice teorema lui Lagrange5m,cfliIor:I f : [-2, 2] + Q, f(x) = 2*s + 4x +l;: f : [-1, 1] -r Q, f(x) =J\,l+x"': l: [-2,2] -+ Q, flx) =.6-3|;: f: 11, el

-> Q, f(x) =x+Inx.:; se studieze daci se poate aplica;:'*:lrma lui Lagrange funcfiilor,-ay in caz afirmativ si se aplice:r- f : i-1, 21 -+ Q,

-

xo -Bxz +2, x e [-1, 0)

.,

.x.' -x+2, x eI0r 2l: z'.-2,01

-r D,,* +2x+6, x e[-2,

-l]4r =: - ;x'-Bx+2,xe(-1,0lr e; i-1,41 -+ Q,h(x) = x. lxl;I ; r --{,3] -+ Q,

f.tr*5,xe[-+,-r)j(x) = j**,[t-,xe(-r,a]

E3. Sn se determine a, b e Q, astfelincAt s5. se poati aplica teoremalui Lagr ange fanc[iilor:a)f:[OBJ+Q,fl*) ={*' + 5x + 2a+ 1, x e [O 1).[(a+S)x+b+1, xe[1,3] 'b) g{-2,01+ D,

[a*+e'"*', xe[-2, -I)$(x) =1[x"+2ax+b, xe[-1,0]E4. Fietunclia f:[-12]+A f(x)=:r-&r.

Si se arate cd existi un punct incare tangenta la graficul func{ieieste paraleli. cu coarda care uneqtepunctele A(-1,3) qi B(2,

-30).

bl. AplicAnd teo:=-.,r

b-alnb-Ina

b qi rela{ia cer-::

1) 1(-,vn\n) n

- 1) lnnlI'n > -1 n ,l'

Se observi c[:

gTangepel=':--iIn)=f'(c(n)).

1 -

ln c(n).(r,

ult. :;"i se determine arbe Q pentruflrrlE se poate aplica teorema lui" rgrange func$iilor:r f , [0, 4]-+ a,,

_ _it'(x+1), xe[0, e-r) .' -,(r+l)x+b, xe [e-1, 4]'

: s:--1, i]- o,i""o**,xe[-r,o)t

=' =

t,"' -2)sinx+bcosx, x G tt ;]

APROFUNDAREA2. Se poate aplica teorema lui La-

grange tuncgiei f tl-+,41-+ a,r(x) = max(* -2*+s, sx-s)?Dar tuncfiei g= f lV,l?

A3. Se di funclia f : Q -+ Q,f(*) = i*-l "l 1' x ( o. si. se deter-\ / [Jzx+lrx>omine un punct A pe graficulfunc{iei in care tangenta esteparalel[ cu coarda care unegtepunctele de pe grafic de absciseXr=-2 qi xr=4.

273

E Elemente de analizi matematici . lll. FUNCTII DEBIVABItEA4. .dplicind teorema lui Lagrange func_

triei flx) = ln x pe intervalul [n , n + l],sir se dernonstreze c[:a) ,';irut (a,,), a, =t+;.*.....*este divergent;b) qir-r.rl (b"), b,, = r *:*: *...*i-[o ,,23 neste convergent gi lirnU" e (O l).

A5. Sii se demonstreze inegalit[{ile:a) n. (b- a) . 4n-r < bn*an < n. (b-a) ..b"_tr0

-:16J+Q f(t)=t*. E: Le torema Iui Lagma' Ia,+l ei [8,6].-e ecua(ia #+6* =# - J.ecuafiile:+ 6";'+ 1.

e numerele:iE+fi0;VZ + Vio.

re limitele de girurrI\

'"1 I.I'

t\_l

.

"n+1 j.)

Q o functrie de dc*r"ri numerele f(0), f j

,!isie aritmetici. 56 *c e (0, 1), astfel incir

foarte importa:::e si decidem da:.

rnct)

oe I \ {xo},

De aici rezult[ c6:-n x < c(x)

! Elemente de analizd *'tt@-o di t' conditie suficient[ pentruZ. Consecinta f uJ*t""i lui Lagrange d1 o- condili

existenta d.erivatei unei func!ii.1ry'-ul'.,P;:l lT:.1:=""*::1,in-Punct Qi sd

exlstenla oerrvar'Er uuur retrvv^- ----existe iirnita derivatei in punct). conditia nu este insd qr necesara'

.b)f(e,c) f(

+,,d) f

e)fE2. SE

asta)l

s)

A1. S

I

.\2, l

@ Exewplu. Fie f :lQ->lQ, f(x) =l x[0, x=o

. r:--^ r(*) - tg) =

',mx .

"or1 = 0. Dar ]imf '(x) = timfzx cosl * .,r1] nu existl'deoarece: lr$-? x+0 x -* '*lr^ '--' *-$\ x x/

S.Dindemonstraliaconsecinleiseobline:daclf.estecontinu[lastAngain";

,, #." jL"JGi'= /, atunci e"i'ti r':t*'l ci f '"(xo) = /' in mod similar

se obline f'o(xo).

DemonstratieDac[ f este constartt[ pe [a' b]' atunci se qtie c[ f ' = 0"Reciproc, fi" ;;a;t = 0,'v o t [a' b]' Aplicfim teorema lui Lagrange

pe

intervaXul [a, xi, x e (a, b]' Rezult[ "a^u*itta t e (a' x) astfe'l incAt f(x) - f(a) =

=(x-a)'f'(c) = O, J"'",'J" se obline f(x) = f(a)' V x e [a' b]'Aquda, f este constanth pe intervalul [a' b]'

E1. SA se studieze derivabilitatea firnc'tii'"- I;; f : Q -+ Q in Punctele sPecifrcate'folosind consecinla teorernei lui La-grange:

b)

,-*##"r-+le, h(x) _ f(x) _ g(x). Funclia h este derivabil[ pe I qi h'(x) _= .{8.

= f'(x) - g'(x) = 0, V x e I. Din consecinta2se obline c6 h(x) = c' V x e I'

deci f(x)- g(x) = c, V x e I'

EXERGITII $! PH0BIEME E)(ERSARE :lx2-x+L5, x(0

r a) f(x) =l*t*'-4)+B(x+5), x>o&=0;

\1.

E C OI\SECINTA' 6 "'*""tu*iz99a

funcliilor constante)Fie f : [a, b] -+ re"o t""tt" derivabill pe [t' i]' At"tci f este constant[ daclinumai dac[ f'

=

0'

n corqsncrNTA 3Fief,g:I+IQ,func{iiderivabilepeintervaluil,astfeltncAtf'(x)=g,(x),VxeLAtunci exist[ ce lQ, astfel incat f - g = c.(Funcliile f qi g difer[ printr-oconstant[.)

276

I Elemente de analizd matematici o lll. DEBIVABII.EI suficient6 Pentr:irrud in punct qi sirecesare.

derivabilSinx=Ct.

1 1)"; *.r";J nu exrstantinuila stAnga ir: 1. in mod simila:

;nnte)ste constanti daca

lui Lagrange pincAt f(x)

- f(a.t =

I inc6t f '(x) = g'(xt.

;i g diferi printr-o

b) r(x) =x. arccostft:), "'o

= tlisc) f(x) =tF(*-D, fr e {0, 1};red) f(x) = , &=1;

e) f(x) =lx-{h(x2 -Zx+2), xo = I".E2. S5' se determine parametrii reali,

astfel incfft funcfia f s[ fie derivabili:a)f: Q-rQ,

[x2+(m-l)x+3, x o

'pf : Q-+Q,[*+ax+b, x>or(X) = 1"-' - lsinx+3cos: I

277

s Elemente de anatizd matBmatica ' lll' FUNCII-!EX!yI]B|LE

- '

--- Du^oiitt*:.,,ffi T-tlMAI S[secaSolutie

Fie f (x)

Avem l;

Functii

9'(x) =-

Deoart

rezultl c6 li

o tponnFie funral acestDac[: a

t

atuncr

?onfhrrr^d

tr SdsSolutie

Fie

FunctiileDeoarece

intervalul I. S[ se arate ci tunctia lldcrivata f ' a,func{iei f are propne' ll ,n.

"i" tunclia

ft'::.:I:ffi;:;;""., ll r: D -+ e, r(x) - {*'"i"1' * * 0 .D2. Fie r: r -+ Q o tunc1ie derivali?-ry ll [0, - ::-

,r. utu f : I -+ Q o tunclie u*ty"l-o-iff ll ;T':T

itt"**"f I. S[ se ar3te 9i.,t::: ll Si se arate c[ f este derivabill p:i.r""ti.-l'+ o p.-t, atunci f ' are ll "d ;"";il;;" f ' este discontinui ssernn constant pe I' ll ;;" proprietatea lui Darboux'

D3. Fie f,: I + Q' S[ se arate ci dacl f nuare proprietatea lui Darbouxr ltunci""

IJ"ie niai o tunc,tie F: r -+ Q

ffi mEGuLtLE tul l,'HosPlTALin operatiile cu limite de funclii s-a observat

c[ deseori .u uj""g" Ia nedeterminlri de forma

,"^r,L"i'"Tii,iitHH iiliff:ffia ;;; exista. Metodere care au ros:?olosite in astfel d'e situalii nu au u't'f "' "ttacter

unitar' iar de multe or:

easirea limitelor presupuneu o u*our*.rfe Jeosebita sau chiar inventivitatt

In organir.r"t "ul"oluiui'

in acest ;;;;i va fi prezentat[ o metoda masimplh qi unitara care, cu,3i;utor,rr aurir?1"Ior,

permite rezolvarea cazurilo:

de nedeterminare g,... ,t ffi intr-un numlr destul de mare de situatir

"t"U"r#*inare se pot reduce cu uqurinfl la cele doui

q, -,0.@, @-@,00, 1-,*o'0 *ir, ,.""t" situalii este neces.ar:n *"-1y 9i:.1

c) g'(x) + 0 pentru V x e I \ txo); d) exista'l*ffi t-'

are limit[ in xo 9iTctb

atunci funclia

278

Ilrr:,ru astfet incAt F,(x) = f I ,?^"f/*rrd.qZA! Elemente de analizi matematicd r lil, Fl,rrl_ :!ri'[ )ri.nii

l fuactia tr Sd se calculeze lim e'* - 1Solutie

x+o tgxE

- E, f(*) =l*'sin1, x * o[q x=o

*i arate ci f este derivabili -:xgeir-ata f , este discontinu!. sproprietatea lui Darboux

-, ]Ietodele care au ::s_r:: unitar, iar de multe ::*r.:? sau chiar inventiv::a;*; :rezentatE o metodi :-;-==:te rezolvarea cazu:__ ::s::i de mare de situa:-: :_: uqurinti Ia cele ci:"-*:*I C1O-e numele matema:-a publicat_o in anul 16.7

-

r cazul I)0-

Le acumulare al acestu:a:-;abile pe I\ {x, };. f '(x),*;;i. n,

Fief(x) = e2* _1, s(*)=tsx,

".(_;,#) u, *,=,Avem lrS f(") = o, r.g5, sf"l = 0, deci limita datd este in cazul gFunctiile f gi g sunt derivabije pe intervatU r =[--] ,, ) ^,

0

-^-( i'z1o's'(x) =;*: * 0, Vx e I.cos- xDeoarece t* JB = iiry 2'e'* .cos, x = 2,

rezulti "5 1i*-{*) = 2.

'*o 8(x;

fatunci functia _ are limitd in x-B --0

"oanbrd ou/a4wh

tr SE se calculeze lim lnx

aplicdnd regula lui I,Hospital

SolutieFie

FunctiileDeoarece

x+o x

f(x) - In x, g(x)

= x, x(0, oo). 4y",r qi g sunt deriv.o,;: :" );

-i' ^*1. {glnx=a*, {gyx=+.c1i* jlnx)'-r,* 1 5ile pe (0' oo)' iar g'(x) = 1* 0. y;; ,a,:;:T ;l- =r.rg ; = 0, cu regula l,Hospital se obtine ,,rI, {! = ,

9(x I

trqHF g'{rt}::

279

! Elemente de analizi matematicl r lll'

i ffiPrr*Uile f qi s u: +.:'ilil-:1".*dtn superior qi functiile derivate ate

acestora satisfac condiliile t"or"*"iii'ii'ff*pit"f' at"n"i se poate aplica

repetat regula lui I'Hospital pentru ;'$ p6nh la indephrtarea

9,oallonil' "tr S[se

SolutieAven

(x) -

g(:

goanhlnn

EI SESolde

Ave

lirrx+[

.- SI=lim__x+o )91

lCaztin ac'

de nede'g,rnnb,trsuSolulie

a.

nedeterminlrii'@ Eremolu

' 56 se calculeze

2xelim -, .x+, x

*r.',"tiile f(x) = e2* qi s!x) =,1] '-":*:Ll*ile de

orice ordin n e N- '-C"

t"t"f" lui l'Hospital se obline succeslv:

\tg 7= lT9 += lim &--=+*'

2.It,egulaluil,Hospitalpoatefi'folositlgipentrucalcululunorlimitedegiruri'@ Erempla

lnz n.Si se calculeze i,*

"Solutie \ a, ln2 xConsiderlm funcliile f(x) = lnz x' g(x) = x' x

(0' *)' Atunci l'* ; =

=Tg T='*'g:=o' r. .,: ---^i r,,nnrii nentru X.=r,rezult[ c[Dindefrnilfutoqirurialimiteiuneifunclii'pentruX'=r'rezultl

**+* l,*1S=oAlte cazuri de nedeterminareFie f, g: I -+ lQ' I c lQ' interval qi xo

punct de acumulare al acestuia'

Cazurile de ned'eterminare 0 ' ;' ;'j*' 00' @0' 1- pot fi aduse la unul din

*r*"t'"".;lCazul o'o I

qi limg(x)= *co' Putem scrie f ' g = f :

uaucazul 3'@dacl f(x) + 0, x e I \ {xo} qi se obli

Fie limf(x)=0/r\

sauf'g=g:l;l'\r,/

dac[ g(x) + 0/r)[; J,oIo

0

280

tre caz

I Elemente de analizd matematicd r lll. FUNGTII DEBIVABILE

ile derivate alese poate aplica

r indephrtarea

n e N

limite de Siruri.

.. In2 xlrm

-=

!+r x

(" = D, rezult[ ca

a-l acestuia.duse la unul din

, daci g(x) * 0

sau cazul 3.@

9oailemA orfaitaldtr S[ se calculeze lim x ' e'.

xr-6

SolutieAvem succesiv: lim x.e* =x+-6

Cazul oo -

@

Cazurile 0o: oo: 1'in aceste cantri folosim relafia

de nedeterminare anterioare.g*afbrrdioliltahtr Si se calculeze:

") I.T[, x. ; b)x >0

DacI lim (f(x) - S(x)) este in cazul @ - @, folosind scrierea:X*X6 \

- ( r 1)f 1 ) o\s(x) f(x)/ \ f(x)'s(x)/ 0

9oanfua l0\x/

Agadar }tjlr". = eo = 1.

28L

I Elemente de analizi matematicd r lll. FU

b) Avem cazul 1-_1

=lim - =-1.'-o (1 -x).cosx

Rezult5. cd

Aqadar liry

1

(1 -

x)"'" *I

sin x(t-")

ln (1-x )

= e ti"'

, iar.. ln(1

- x)hm- =x+0 SinX

E6. Si se ca) lim

x-

b) limx+-

c) limx+1x1

9) limxl-

87. Si se ra) lim

x+

A1. Si sea) lim

x+0

b) limx+0

c) limx+0

)1. Sedicriti0

Ilim (x+1).e"*r'

x+-1x>-1

{1+sin"x-1 ,.k) lun-i I/' x-+0 cos3x- Iq*'-l

-

",

*) ,t*----:--;'n)' x+l ;gz +3X-4-L

(1 +x\" -eo) lim:------u--.

F;?," Si se calculeze urrnltoarele limite:3x2

-x+lnx. al iim--------------- . ix+-$lnX+x-4x'

*{ ln (e" + x)b) lim-j:-: c) Iirr.*;*' ;-;; "x'+xrI

' *+- ln (e" .. x)

atu* l"(",'*{,1 ;' ,-* ln (x" + e'* )

e) lim tsJT;; tgff ;' x+r tg (x- -

1)

.fl rim llr; gl -" ln(sin2x)I1oo.t# I'{CG"4;)

Si se calculeze lirni{ele de func,tii:,l ri-[l- ,1 );

x+0 \X SrnX/b) Hm[x+r-rn(*'+r)];

")HT(FL-*)'d) rim[x_xz.h(t*l]-1.x+of \ x/JSi se caleuleze limitele de funcgii:a) lim (x

- 1)"-1 ; b) lirn (3"*r - 3)"io ' I

x+l x+0x>l

;a lrrq(h(r+x))"

2sinl -

1tim2;*-o 1 -2cosx

3sinx -

axlrm--_;-ix+0 X-+X

I(* \1""c) liml:-arctEx I ;

"-.\.2 - )(r \d) lim (r

-zsi*r*)'*[o-",J ;*-6

282

I Elgmente de analizi matemarici . ll1. FUNCTII 0EBIVAB|LE,. ln(1

- x)

Ilh--

r+0 Sin X

"

* *""*

, .. 7fX.D.(x--4)ctg ^ :+22

i

iirr x'ln(sinx);1(x+1)'e"*r;

:ie de functii:

\'l .'1)',i

,;

\"lll1.

-/)ele de functii:n (B**l _ B)ti, * I{;

,'

g(l-(r+"))".>c

87.

Si se calculeze limitele de functii:1

a) lim (x2 + 2x + l)E:x+@

b) lim(x2-g**2y*h.

", ,jg(,rT)-', ar Hm6nx)+;

I( zrr* \;"'I*[tsn**r.1 ;

- .r""o. 1

f) lim r *tx+l X-1x >1

r(x2+sin*)ig, IrmI---- |x+o\ X*Srnx /Si se calculeze limitele de functii:

(*'-1)"' I

/ o r2x+3c) Hm[ x"+Bx+t ] .

*+.( x" _x+4 )d) lim (cosx;cts "'x+2te) limlrxsinr*.*\i,' ;-;o\-*---'" / '

rr ri*[:er]#.x+o \coS2x/

-\ r! -. ( r + sin x_)*? .s' '"S[1*"t"2*j ,

h) Hm[-E"-.]"."_.Iln(x+l)_]

E8. Se se calculeze |i33a,, dacir.ln"8, &n = Vcos2n + 1;n1

-l ib) an = (f -"*"rrr')* {*

APROFI.IND.AREA1. S[ se calculeze limitele de funcfii:

x' -

sin" x8) IlDl-.' "-;o xn+2

t

Or rr,,,x-ln(1+x).' -o xln(l+x) '

_r rr___ I -cosx.cos2x.....cosnxGlllfil--x-+0 X2 '

(r I )e, lrml--- l.Il%(" arctsx)'O ,,r' I - cosx.cos2 2x.... . coso nxx+o x2

d) limx+O

| -2x2 - cosx

x4

TESTE DE EVATUANE

Testul I

o r' sed[tuncfia f :e+a, f(x)= Ey Dacisestesumapi.traterorpuncrelorcritice ale functiei f, atunci:a) s=0;

O 2. Se di tunctia

c) s=3; d) s=4.

cireia i se poate aplica

b) s=9;

teorema lui Rolle.

283

t Analizd matematici r lll.I Analizd mattO5. Fie I

a)L

9*,9.1, DETI

Oaintervalel

E TEOIFief:a) fuldac[ ]b) furdaca I

Demonstra)

,,

oricare x

Rez

a-',r-

Ap1icAndc[ existEc e(x, xceea ce c(

Cetder[ fun,3 OBSER1. Dac[

(respe(respe

2. Dacdf '(x) >

o3.

nctul intermediar rezultat din teorema luiRolle, atunci:a) o=+26; pea \ Q; b) ct=+26; p=f;; c) u'=-26; PeQ\Q; d) cr+p=1'

Fie tuncliile f, I : a \ t-2), f (x) = arctg-\ ; B(x) = arctg(x + 1) qi h : [-1' 1] -+ a'

h(x) = r(x) - s(x). Atunci:al h(x)=-f,; b) h(x)=o; c) h(x)=f; d)hnuetunc{ieconstatl'

Ecua.tia polinomiali xa-4f -2:l+L2x+8=0 are n solu{ii reale pozitive'

b) n=2; c) n=3; d) n=4'

' I xt - sins x. Daci L = lnlr + 12' atunci:Fie l, = f5(l - x + sinx)* ei l, = S-goa) L = %.*, b) L =1; c) L = [; al L nu existl' (invn'tnmAnt tehnic' Buc" 1986)

Testul2

Fie funclia polinomiali f : P -r a' f(x) =Zxs -a* +bx- c' a'h'c Q' Funcfia ad'mite pe x = 1 ca punct de maxim qi pe x = 2 ca punct de minim'

iar maximul

lr-i;.;" egal cu o. naca a=Za-b-c' atunci:a) o=5; b) a=Ii c) a=]rhi d) o=9'valorile lui m e Q. pentru care ecuatia mf +Lzf +9x-4= 0 are toate solu{iilereale, sunt in intervalul:

"r [-za, ?]t 101' d) P./ 13\a) [--,7,J; b) (-28,0);

o4.

o5.

o1.

o2.

o3.

Atunci:a) n=1;

o4.

se da tunc.t ia r, s, [-t i] -r D, r(x) = {r;-ffi I * o"o"*, *, 0 Ei a e (0' + oo)'care satisface condi-tiile teoremei lui Lagrange' Suma absciselor punctelorde pe graficrrr n rr.,tii,iii

""'" t""g""ta la"grafrc este paraleli cu coarda care

"i"itJ "*ttemitetite graficului tunc,tiei f este:

al s=|; b) seo; t1 J="?' d) s=-|'Fie r, s,[-i.]]-o, r(x)=]arai,,"' g(*)=-'*-F- ei h=r-8" Dachhfl.) = c, atunci:\4)al c=l; b) c=t ") "=*; at s=|'

I Analizi matematici . lll. FUtllGTll DEBMBILE. FUI1ICTII OEBIVABILE

rlin teorema lui

d) o+P=1.

ei h: [-1, 1]+ a,

1ie constati.

i reale pozitive.

i 12, atunei:

:hnic, Buc., 1986 t

e e Q. Func{ia ad-rirn, iar maximul

,9.

are toate solufiile

d) p.

gi ae(0, +.o),r0:iselor punctelor15 cu coarda care

h=f-g Daci

05. Fie r, =ysdtffi ei r=H{+j)b) L=e-1; c) L=9

. Dac5, L =lr-lz, atunci:d) L=e-2.a) L=1;

g Rorut DERIvATn irurAl iru sruutuL tr.lE\!CITIlL0Rg.I. DETERMITIABEA IIITEBVAIEIOB DE MONOTONIE

O aplicalie util[ a derivatei unei funclii o constituie determinareaintervalelor de monotonie pentru o funclie dat[.E] TEOREMA 13

Fie f : I -+ lQ o funclie derivabil[ pe intervalul I. Atunci:a) functia f este monoton crescetoare pe intervalul I dach qi numaidac[f'(x)>0,Vxe I;b) functia f este monoton descrescltoare pe inten alul I dac[ qi numaidacif'(x)

! Analizi matematice' ltl'FUNCTiI

@ Exennplw -E ^^l^ .+-int nrescS.toare pe lE), dar f'(x) = Dx* st'

. Functia f : lQ +lQ,(x) = x5 este strict crescltoare pe lE)' dar f'(x) = 5x4 se

I Analizi nSolutie

a)Rt

llSr

Atoare, i

tf '(x) =

l

cu pni-tie

X1 =

anrieazdinx=0'3. Daci f este derivabii[ pe I \ {xo} qi funclia

f '

este pozitiv[ sau negativ[ pe I \ {xo} ' se poateintAmpia ca f s5' nu fie monotonh

pe I'

@ Exew?lu [-x-1, xe [-1' o). f: [-1, 1l + r,D, f(x)= l_x+1, xe[0, 1]Din lectura grafrc'a'{igura 1' concluzia

se impune'

penrru a indica monotonia l"l:l':l I'.:.'*iil3il'r,l;cu ajutorui

.

"*-li;T:,; #::""ffi ;:"#; ffi ;ru monoto nie de tipui :

++ (1)(2)

E RETII{EM!Pentrudeterminareaintervalelordemonotoniealeuneifunctiif:D+8

5 E:Tr1:ffi;'it"?i; ataf ,a funcliei pe domeniul de derivabilitate

D,' c D'

b) Se tezolv|'ecuafia f '(x) = 0' x e D'' 'c)Sedetermin[sernnulfunclieif,peintervalelepe.calenuseanuleazl.Pentru aceasta '"';;;;;;'i'9 qg*""i"ih"

J"n*!i'" ? in intervale dis-

ffi ;;,,r",'"fi kl#':;;3 jHI::fi,'"fr*t:[':iL!:;,iliii1TPunctele care decare funcli. ,,, u-r^iu-denvabill .r"r" "Jr"*taure

intervalelor in cazti

'jg*f