Functii Continue -Roxana 2

8/14/2019 Functii Continue -Roxana 2

http://slidepdf.com/reader/full/functii-continue-roxana-2 1/19

DEFINITIE:

Functia continua intr-un punct:Fie f:A si a Spunem ce functia f este continua in

punctual a, daca pentru orice vecinatate V a lui f(a) exista o vecinatate U a punctului a

atfel incat pentru orice x sa avem f(x) Definitia continuitatii este satisfacuta

automat de punctele izolate ale domeniului de definitie.

Functia f este continua in punctual a daca si numai daca F continua daca Ga stfel incat Exemplu:1. f este continua in punctual a=0,deoarece

2.f:R este continua in punctual a=1,deoarece avem Functia continua pe o multime:Spunem ca o functie f:A este continua pe o multime

B daca estev continua in fiecare punct a Daca o functie este continua pe tot

domeniul de definitie A, se spune mai simplu ce f este continua.

Exemple:1.f :R * + 2 are graficul interupt desi ea este o functie

continuape (- 2.tg:R\2

| 3 , are graficul interrupt desi este o functie continua

pe fiecare interval al domeniului de definitie.

Functia discontinua:Daca f nu este continua in punctual a se spune ca f este

discontinua.

Exemplu:1. Punctual a=1 este punct de descontinuitate pentru:

f(x)={ , ,,deoarece f(1-)=0 si f(1+)=1

2.Functia:f:[-1,4] {,-,- nu este continua in punctul a=3,deoarece nu

are limita in acest punct.



Exemple din carte:

1.Functia f:R ,este continua in punctual a=1,deoarece avem 2.Functia f:R { √ este continua in punctual a=0, deoarece

3.Functia f:[1,3] { ,- ,- nu este continua in punctual a=2,deoarece

nu are limita in acest punct.

Definita continuitatii la stanga si la dreapta intr-un punct: Fie f:A si a un punct

de acumulare pentru multimea A respectiv pentru ASpunem ca f

este continua la stanga respective la dreapta in punctual a daca f(a-)=f(a+)=f(a)).

Teorema de echivalenta cu definitia continuitatii intr-un punct :Fie f:A si a un

punct de acumulare pentru A.Functia f este continua in punctual a daca si numai daca

f(a-)=f(a+)=f(a).

Exemple:. 1 f:R 2 este continua in punctual 1, deoarece f(1-

)=f(1+)=2=f(1)

2.Functia f:R {

nu este continua in punctul 0, deoarece f(0-

)=f(0)=0 si f(0+)=1.

Discontinuitatea de speta I si de speta a-II-a: Fie a un punct de discontinuitate pentru

functia f.Daca limitele laterale in punctual a exista si sunt finite,de spune ca a este un

punct de discontinuitate de speta I.Orice punct de discontinuitate care nu este de speta

I se spune ca este de speta a-II-a.

Exemplu:1.Punctul a=1 este punct de discontinuitate de speta I pentru functia f:[0,2] f(x)={ ,

, deoarece f(1-)=0 si f(1+)=1.

2.Punctul a=0 este un punct de discontinuitate, de speta a-II-a,al functiei:

f(x)= deoarece f(0-)=2 si f(0+)=

Operatiile cu functii continue conserva continuitatea:



Teorema2.1:Daca functiile f,g sunt continue intr-un punct a atunci:

1) f+g este continua in a;

2) af este continua in a pentru a 3) fg este continua in a;

4) daca g(a) adica este definite in a),functia este continua in a;

5) daca f(a) atunci este continua in a;

Exemple:1.Functia f:[0,+ √ este continua pe [0, ca suma a

doua functii continue.

2.Functia f(x)=√ √ este continua pe [0,*+ deoarece este catul a doua functii

continue.

3.Functia f(x)= este continua pe R ca produsul a doua functii continue pe

R.

4.Functia f:R In (1+ )este continua pe R, fiind functie ca

produsul a doua functii continue pe R.

5.Functia f(x)=tgx este continua pe I=.

/,fiind catul a doua functii

continue cu numitorul nenul pe I.

6.Functia f(x)=

√

este continua pe R ,fiind functie de forma

, unde f

si g sunt functii continue pe domeniile lor de definitie.

Teorema 2.2: Fie functiile u:A si h=f o u.

Daca functia u este continua in punctual a si functia f este continua in punctul

corespunzator b=u(a) atunci functia compusa h=f o u este continua in a.

Daca functia u este continua pe A si functia f este continua pe B, atunci functia

compusa h= f o u este continua pe A.

Exemple:1.Functia g(x)=√ este continua pentru x , -fiind compunerea

functiilor continue f(x)=√ si u(x)= .

2.Functia g(x)= este continua pe R,fiind compunerea functiilor continue pe

R,f(x)= si u(x)= In conditiile teoremei 2.2,daca a este punct de acumulare pentru A si u(a) atunci: ()



Repere biografice despre Darboux: Gaston Darboux

Nascu t: 14 augu st 1842 la Nimes, Gard, Langued oc, Franta

Decedat: 23 februarie 1917 la Paris, Franta

Gaston Darboux a urmat liceul la Nimes si apoi liceul la Montpellier. In 1861 aintrat la Scoala Politehnica si apoi la Scoala Normala Superioara. Pe cand era studentmarele sau talent pentru matematica a devenit evident pentru cei din jurul sau. In timpce inca era la Scoala Normala Superioara, si pe cand inca era student, a publicat primasa lucrare stiintifica despre suprafetele ortogonale.

y

xO

f(b)

f(a)

a x b

y



Darboux a studiat lucrarile matematicienilor Lamé, Dupin si Bonnet cu privire la

sistemele ortogonale de suprafete. Darboux a generalizat rezultatele lui Kummer dand

un sistem definit de o singura ecuatie cu multe proprietati interesante. A anuntat

rezultatele la Academia de Stiinte pe data de 1 august 1864, si in aceeasi zi Moutard a

anuntat ca si el a descoprit acelasi sistem. Aceste rezultate au fost incluse in teza sa de

doctorat intitulata Sur les sur faces ortho gon ales pentru care i s-a acordat doctoratul

in 1866.

Darboux a fost desemnat la Colegiul Frantei pentru anul academic 1866-1867,

atunci a invatat la Lycée Louis le Grand (unde a invatat si Galois) intre anii 1867 si

1872. In 1872 a fost desemnat la Ecole Normale Supérieure unde a invatat pana in

1881. Din 1873 pana in 1878 a fost suplinitorul lui Liouville la catedra mecanicilor

rationale la Sorbona. Apoi, in 1878 a devenit suplinitorul lui Chasles la catedra

geometriei de nivel inalt, de asemenea la Sorbona. Doi ani mai tarziu Chasles a murit si

Darboux l-a inlocuit la catedra geometriei de nivel inalt, tinand aceasta catedra pana la

moartea sa. A fost decan al Facultatii de Stiinte din 1889 pana in 1903.

Darboux a avut importante contributii in geometria diferentiala si in analiza.

Bazandu-se pe rezultatele clasice ale lui Monge, Gauss, si Dupin, Darboux s-a folosit

din plin, in propria sa maniera, de rezultatele colegilor sai Bertrand, Bonnet, Ribaucour,

si altii.Darboux este acum cel mai bine cunoscut datorita integralei Darboux ce a luat

numele acestuia. Aceasta integrala a fost introdusa intr-o lucrare cu privire la ecuatiile

diferentiale de ordinul doi, lucrare scrisa in 1870.

In 1875 si-a mutat atentia asupra integralei lui Riemann, definind suma superioara si

cea inferioara si a definit o functie ca fiind integrabila daca diferenta dintre sumaDarboux superioara si cea inferiora tinde spre zero.

In 1873 Darboux a scris o lucrare despre ciclide si intre 1887 si 1896 a creeat patru volume despre geometria infinitesimala care a inclus majoritatea lucrarilor saleanterioare find denumita Leçons s ur la théor ie général des sur faces et lesapp lic ati ons géométr iq ues du ca lc u l i nf in itésim al . Inclusa in volumul patru allucrarilor sale este si discutia unei suprafete care se roteste pe o alta. In particular astudiat configuratia geometrica generata de puncte si linii aflate pe suprafata de rotatie.Eisenhart spune despre aceasta lucrare[7]:

Dovezile sale geometrice ale teoremelor privitoare la suprafete care se rotesc...sunt atat de pure pe cat tot atat de simple si frumoase.

Darboux a mai studiat problema gasirii celei mai scurte cai dintre doua puncte de pe o suprafata. Studii in aceasta arie au mai fost facute si de Zermelo si de Kneser.

Succesul in cercetari al lui Darboux este discutat de catre Eisenhart[7]: Abilitatea lui Darboux a fost bazata pe o rara combinatie a imaginatiei geometrice

si a puterii analitice. Nu a simpatizat pe cei ce au folosit doar rationamentul geometric inatacarea problemelor de geometrie, nici pe cei care considerau ca este cu sigurantaeficace sa se lege strict de procesul analitic. ... stralucite sunt reducerile sale de la



variate probleme de geometrie la baza analitica comuna, si solutiile lor si dezvoltareadintr-un singur punct de vedere.

Totusi Darboux a fost recunoscut ca un profesor exceptional, scriitor siadministrator. Eisenhart scrie[7]:

Scrierile sale poseda nu numai continut ci si final singular si stil rafinat. In

prezentarea rezultatelor forma de expunere a fost studiata meticulos. Puterile variateale lui Darboux combinate cu personalitatea sa au facut din el un mare profesor, avand pe langa el totdeauna un grup de studenti abili. In comun cu Monge nu a fost multumitcu descoperiri, dar a simtit ca este la fel de important sa aiba proprii sai discipoli.

Darboux este cunoscut pentru o mai larga gama de matematici decat celedescrise mai sus. Struik scrie[1]:

Darboux a facut deasemenea cercetari in teoria functiilor, algebra, cinematica sidinamica. Aprecierea sa de catre istoria stiintelor este aratata in numeroase ocazii,multe aduse ca elogii in fata Academiei. A mai editat Lucrarile lui Joseph Fourier(1888-1890).

Bineinteles Darboux a primit multe onoruri pentru munca sa. Lebon listeaza

peste 100 de Societati Stiintifice care l-au ales pe Darboux ca membru. A fost ales laSocietatea Roiala din Londra, castigandu-si Medalia Sylvester in 1916. In 1884 a fostales la Academia de Stiinte, devenind secretarul acesteia in 1900.

7,000+ sitesby kids for kid

Teorema valorilor intermediare:Orice functie continua pe interval are proprietatea

Darboux.

Teorema referitoare la proprietatea lui Darboux:O functie f: I are proprietatea

Darboux daca si numai daca transforma orice interval J intr-un interval f(J).

Teorema de semn:Fie I un interval de numere reale.Daca f:I este o functie continua

si f(x) atunci f sau f Teorema de radacina:Daca f:[a,b] este continua pe [a,b] si f(a),f(b) atunci exista

cel putin un punct c astfel incat f(c)=0.

Exemple:

1. Ecuatia are cel putin o solutie in intervalul [1,2].Intr-adevar, fie

f:R f este continua, f(1)=-2,f(2)=7, deci avem f(1) ,f(2)Exista c astfel incat

http://thinkquest.org/library/







2.Ecuatia are o singura radacina reala.intr-adevar, fie functia f:R Evident ca functia este continua si avem f(c)=0, adica In plus, functia f este strict crescatoare pe R,deci solutia este unica.

Probleme propuse:

1)146. Sa se studieze continuitatea functiilor f:D

a) f(x)=

D=R\{1}=(- f(x)=x este continua ca functie elementara.

f(x)=x-1 este continua ca functie elementara este continua in punctul a=1.

b)f(x)=

D=R\{1}=(-(-1, f(x)= este continua ca functie elementara.

f(x)=x+1 este continua ca functie elementara

f(x)=

este continua in a=-1.

c)f(x)=

D=R

Este continua ca o suma de doua functii elementare.

X0

+

f continua in x0

f continua pe D.

d)f(x)=x+√

D=(0, √ f continua in punctul a=0.



e)f(x)=

x

f(x)=x este continua ca functie elementara.

f(x)=

este continua ca functie elementara

f continua ca functie elementara in

punctul a=1.

f)f(x)=+√

D=(0, √ =0=f(0) f continuanin punctul a=0.

2)Sa se studieze continuitatea urmatoarelor functii:

a)f(x)=

Daca x si este continua ca functie elementara.

Daca x este continua ca functie elementara.

Cum:f(-1-)=f(-1+)=f(-1) f este continua in punctual a=1.

b)f(x)=

, -

D=(- ,-


Daca x este continua ca functie elementara .

=1 ,

Functie continua la stanga lui 0.

f(D-)=f(D+)=f(D) functie continua in punctual a=0.



f(1)=0;

f(1-)f(1+)f(1) f nu este continua in punctual a=1 deoarece este punct de

discontinuitate de speta I

c)f(x)=

{

Daca x , - este continua ca functie elementara.


f(1-)=f(1+)=f(1) f este continua in punctual a=1

d)f(x)=2



.

3)Sa se cerceteze continuitatea functiei in punctual a=0

f:R √

√

√

√ =1

√

√

√ =1

f(0-)=f(0+)=f(0)=1 f continua in punctual a=1.

4) Sa se determine numarul real a astfel incat functiile f:R de mai jos, sa fie

continue:

a)f(x)=2



3a+3=23a=-1a= ;

f(2-)=f(2+)=f(2)f continua.

b)f(x)=

=

*

.

()

f este continua pentru a=

6)Sa se studieze continuitatea urmatoarelor functii:

a)f(x)=

x

nu este functie continua.

b)f(x)=

=0;

f(0-)=f(0+)=f(0) f continua in punctual a=0.

7)Sa se scrie parametrul reala astfel incat functiile urmatoare sa fie continue pe R:

a)f(x)=



ln l=ln

=

b)f(x)=√ √

√ √

√ √

(√ ) √ √

√

√

continua daca si numai daca a+1= a=

8)Sa se determine a,b astfel incat functia sa fie continua pe (-a,+ :

f(x)=

f:D are zerou daca f()=0.

9)Sa se determine constantele a si b astfel incat

functia:f:R {

sa fie continua pe R si in plus sa existe

f (x)= {



4a=2a+ba=4-b.

2(4-b)-b=08-2b+b=0b=82a=-8a=-4

f nu este continua deoarece f(0-)=f(0+)=f(0).

f(2-)=f(2+).

=

12)Sa se studieze continuitatea functiilor:

a)f(x)=|1-x|.f continua pe fiind o compunere dintre f modul cu o functie continua.

b)f(x)=| f continua pe ca fiind o compunere dintre f modul cu o functie

continua.

c)f(x)=max(x, f continua deoarece functiile g(x)=x,h(x)= sunt continue pe d)f(x)=min( f continua deoarece functiile g(x)= si h(x)= sunt continue pe.

e)max(x, f continua deoarece functiile g(x)=x si h(x)= sunt continue pe f)f(x)=max(|x|,| f continua deoarece f(x)=|x|, g(x)=| sunt continue pe 15)Sa se arate ca urmatoarele functii au proprietatea Darboux:

a)f(x)={ ,- -

f are proprietatea lui Darboux.

b)f(x)= -√

f(x)=

c=0 ,-



f(x)=√ x

x=2f(2) are proprietatea lui Darboux.

16)Sa se arate ca ecuatiile urmatoare au solutii pe intervalele specificate:

a) f(x)=

f ./=ln

f(1)=ln1+1=1

f

.

/ continua

.

/

b f(x)= f(-1)=-1

f(0)=2

f(1-)*f(1+) f continua c)(

f(x)=

f(1)=0

f(2)=12

f(1)*f(2)=0 f continua d 2 f(x)=2 -1f(0)=1

f()=1

f(0)*f() tu .

/



F./ .

/ 7 Sa se rezolve inecuatiile:

a)(

x -1 0 2e +++++++0------------------------------------------0++++++++++++++

----------------------- - --

-----0 ++++++0--------------------1

b)(

f(x)= (

f(x)=0

(

=0

* x

c)1-2

f(x)=1-2

f(x)=0=1-2

; x=; x=√

x 0 1 √ e 1-2

+ +++++++++++++++0----------------------------------

x √ ).



d) ;

tgx=1

. /

x= . /

1).x=

2x=

2).x= * +

S=

X1=

S=

⋃

18)Sa se arate ca pentru orice ,- ecuatia are in intervalul [0,2]

doua solutii reale, una subunitara si alta supraunitara.

Fie f:

f(0)=

f(1)= -4+

f(2)= -2+

Daca f(0)*f(1) f are in fiecare dintre intervalele [0,1];[1,2] cel putin cate o solutie

reala.

,- 20)Dati exemplu de o functie care are proprietatea lui Darboux:



f(x)={ ,√

21) Aratati ca ecuatiile urmatoare au cel putin o solutie:

a)x=

x-

f (- b

2x-1+x=0

F este continua deoarece este o suma de doua functii continue.

c)

F este continua deoarece este diferenta de doua functii continue

22 Sa se arate ca ecuatia are solutie in intervalul (0,1) sis a se incadreze aceasta

solutie intr-un interval de lungime mai mica decat

a)

f(x)=

f(0)= -3

f(1)= -1



-3 f(x) cu f(x)=0.

b)

f(x)=

f(0)= -3

f(1)=1

f(0)*f(1) f .

/=

f . /

f . /

f . /

+

23)Sa se arate ca ecuatia cu a si b admite o

singura solutie reala.

Ecuatia se scrie:

+

Functia f:R +-1 este continua f(0)=1

si cum: astfel incatf(a) Astfel ca c astfel incat

f(c)=0 si cum f este descrescatoare ca Solutia este unica.

24)Sa se arate ca functia continua f:[a,b],- poseda cel putin un punct fix, adica

exista c ,- astfel incat f(c)=c.

g(x)=f(x)-x

g(a)=f(a)-a

g(b)=f(b)-b

g(a)*g(b)

f(c)-c=0f(c)=c.



25).Fie a,b si fie f:[a,b],- o functie continua.Atunci exista c , - astfel incat cf(c)=ab.

Fie g:[a,b] Atunci g este continua si g(a)g(b)=a(f(a)-b)*b(f(b)-

b)

deci exista c

, -astfel incat g(c)=0, adica cf(c)=ab.

29)Sa se arate ca pentru orice functie f:R , continua si marginita exista c astfel

incat f(c)=c.

Exista N astfel incat |f(x)| Consideram functia g:R g(x)=f(x)-x si

avem g(-N)g(N) 30)Sa se arate ca functia f:R nu are proprietatea lui Darboux:

f (x)=2

f(x1)=f(-1)= -1

f(x2)=f(1)=1

f nu este continua in a=1f nu are proprietatea lui Darboux.

31)In tabelul de mai jos sunt incluse patru afirmatii legate de functia f:R f (x)={ . Completati tabelul:

Afirmatie Adevarat\ Falsf este continua in punctual =0 adevarat

Daca *+

adevarat

f are proprietatea lui Darboux falsGraficul functiei f nu admite asimptoteorizontale.

fals

Functii Continue -Roxana 2

Documents

Transcript of Functii Continue -Roxana 2