Curs 7 Variabile aleatoare continue

Curs 7

Variabile aleatoare continue

7.1 Legi clasice de repartitie

7.1.1 V. a. distribuita uniform

Cea mai simpla v. a. continua este cea repartizata uniform.

Definitia 7.1.1 Se spune ca v. a. X este distribuita uniform pe intervalul [a, b] ,a < b, notat X ∼ Uniform [a, b] , daca ea are densitatea de probabilitate

fX : R→ R, fX(x) =

{ 1

b− a, daca x ∈ [a, b]

0, ın caz contrar..

Teorema 7.1.2 Daca v. a. X este distribuita uniform pe intervalul [a, b] , a < b,atunci

FX(x) =

0, daca x < a

x− ab− a

daca x ∈ [a, b]

1 daca x > b

,M [X] =a+ b

2, D [X] =

(b− a)2

12.

Demonstratie. Evident, ∫ ∞−∞

fX(x)dx =

∫ b

a

1

b− adx = 1.

Calculam functia de repartitie. Pentru x < a avem

FX(x) =

∫ x

−∞fX(t)dt = 0.

Pentu x ∈ [a, b] avem

FX(x) =

x∫−∞

fX(t)dt =

x∫a

1

b− adt =

x− ab− a

,

Pentru x > b avem

FX(x) =

x∫−∞

fX(t)dt =

b∫a

1

b− adt = 1.

Deci

1

FX(x) =

0, daca x < a

x− ab− a

daca x ∈ [a, b]

1 daca x > b

.

Calculam media si dispersia:

M [X] =

∞∫−∞

xf(x)dx =

b∫a

x

b− adx =

a+ b

2,

D [X] =

∞∫−∞

(x−M [X])2 f(x)dx =

b∫a

(x− a+ b

2.

)21

b− adx =

(b− a)2

12. �

7.1.2 V. a. distribuita exponential

Definitia 7.1.3 O variabila aleatoare X este distribuita exponential cu parametrulλ, λ > 0, si se scrie X ∈ Exponential [λ] daca are densitatea de probabilitate de forma

f : R→ R, f(x) =

{0 daca x ≤ 0

λe−λx daca x > 0.(7.1)

CAPITOLUL 3. VARIABILE ALEATOARE CONTINUE 107

= P (5 ≤ X ≤ 15) + P (35 ≤ X ≤ 45) =Z 15

5

dx

60+

Z 45

35

dx

60=1

3.

b) pentru ca persoana sa astepte cel putin 15 minute daca ajungela locul de plecare între orele 9 si 9.15 sau 9.30 si 9.45. Rezulta ca15 ≤ X ≤ 30 sau 45 ≤ X ≤ 60,

P ({15 ≤ X ≤ 30} ∪ {45 ≤ X ≤ 60}) =

= P (15 ≤ X ≤ 30) + P (45 ≤ X ≤ 60) =Z 30

15

dx

60+

Z 60

45

dx

60=1

2.♦

3.4.2 V. a. distribuita exponential

Definitia 3.8. O variabila aleatoare X este distribuita exponentialcu parametrul λ > 0, si se scrie X ∈ Exp [λ] daca are densitatea deprobabilitate de forma

f : R→ R, f(x) =

½0, daca x ≤ 0

λe−λx, daca x > 0.(3.8)

53.752.51.250

5

3.75

2.5

1.25

0

x

y

x

y

Figura 3.1.

În figura 3.1 sunt desenate graficele densitatilor de probabilitatepentru valorile parametrului λ = 1 (negru), 2 (verde) si 5 (rosu).Denumirea de v. a. distribuita exponential provine de la faptul

ca densitatea de probabilitate este exprimata cu ajutorul unei functiiexponentiale. Lasam ca exercitiu demonstrarea urmatorului rezultat.

Teorema 3.6. Daca X este o v. a. distribuita exponential

FX(x) =

½0, daca x ≤ 0

1− e−λx, daca x > 0,

Figura 7.1: Functia de repartitie ın cazul variabilei distribuita exponential

In Figura 7.1 sunt desenate graficele densitatilor de probabilitate pentru valorile para-metrului λ = 1 (negru), 2 (verde) si 5 (rosu).

Denimirea de v. a. distribuita exponential provine de la faptul ca densitatea de probabili-tate este exprimata cu ajutorul unei functii exponentiale. Lasam ca exercuitiu demonstrareaurmatorului rezultat.

Teorema 7.1.4 Daca X este o v. a. distribuita exponential atunci

FX(x) =

{0 daca x ≤ 0

1− e−λx daca x > 0,, M [X] =

1

λ,D [X] =

1

λ2.

2

108 CAPITOLUL 3. VARIABILE ALEATOARE CONTINUE

atunci M [X] =1

λ, D [X] =

1

λ2.

În figura 3.2 sunt desenate graficele functiei de repartitie pentruvalorile parametrului λ = 1, 2 si 5.

52.50-2.5-5

1

0.75

0.5

0.25

0

x

y

x

y

Figura 3.2.

O proprietate importanta a distributiei exponentiale este legata deprobabilitatile conditionate si anume proprietatea acestei v. a. de anu avea memorie.

Exemplul 3.3. Fie X v. a. care ia ca valori timpul scurs intre douadetectari ale particulelor de catre contorul Geiger (acest contor de-tecteaza radiatiile naturale α, β, γ, masoara radioactivitatea mediuluiînconjurator). Aceasta v. a. urmeaza o distributie exponentiala cumedia M [X] = 1.4 minute. Probabilitatea de a detecta o particulaîn decurs de 30 secunde (adica 0.5 minute) de la pornirea detectoruluieste

P (X ≤ 0.5) = FX(0.5) = 1− e−0.51.4 = 0.3.

Facem un nou experiment si oprim contorul. Pornim din nou con-torul si asteptam trei minute fara a detecta o particula. Care esteprobabilitatea ca particula sa fie detectata în urmatoarele 30 de se-cunde?

Rezolvare. Probabilitatea ceruta este, tinând seama de definitiaprobabilitatilor conditionate,

P ({X < 3.5} | {X > 3}) = P (3 < X < 3.5)

P (X > 3)=

=FX (3.5)− FX (3)

1− FX (3)=

e−31.4 − e−

3.51.4

e−31.4

= 0.3.

Figura 7.2: Densitatea de probabilitate ın cazul variabilei distribuita exponential

In Figura 7.2 sunt desenate graficele functiei de repartitie pentru valorile parametruluiλ = 1, 2 si 5.

O proprietate importanta a distributiei exponentiale este legata de probabilitatile condi-tionate si anume proprietatea acestei v. a. de a nu avea memorie.

Teorema 7.1.5 (Proprietatea de pierdere a memoriei) Daca X ∈ Exponential [λ]atunci pentru ∀t1, t2 > 0 are loc relatia

P ({X < t1 + t2 | X > t1}) = P ({X < t2}) .

Demonstratie. Intr-adevar,

P ({X < t1 + t2 | X > t1}) =P ({X < t1 + t2} ∩ {X > t1})

P (X > t1)=P (t1 < X < t1 + t2)

1− P (X ≤ t1)

=1− e−λ(t1+t2) − 1 + e−λt1

1− 1 + e−λt1= 1− e−λt2 = P ({X < t2}) .

�

Exemplul 7.1.6 Fie X v. a. care ia ca valori timpul scurs intre doua detectari ale particu-lelor de catre contorul Geiger si aceasta v. a. urmeaza o distributie exponentiala cu mediaM [X] = 1.4 minute. Probabilitatea de a detecta o particula ın decurs de 30 secunde de lapornirea detectorului este

P ({X < 0.5 minute}) = FX(0.5) = 1− e−0.51.4 = 0.3.

Facem observatia ca am lucrat ın aceeasi unitate de masura, adica ın minute.Facem un nou experiment si oprim contorul. Pornim din nou contorul si asteptam trei

minute fara a detecta o particula. Care este probabilitatea ca particula sa fie detectatp ınurmatoarele 30 de secunde? Probabilitatea ceruta este, tinand seama de definisia probabi-litatilor conditionate,

P ({X < 3.5 | X > 3}) =P ({3 < X < 3.5})

P ({X > 3})=FX (3.5)− FX (3)

1− FX (3)=e−

31.4 − e− 3.5

1.4

e−31.4

= 0.3.

3

Dupa asteptarea a trei minute fara a detecta nici-o particula, probabilitatea de a detectao particula ın urmatoarele 30 de secunde este aceeasi cu probabilitatea cu probabilitateade a detecta o particula ın primele 30 de secunde. Aceasta este proprietatea de pierdere amemoriei pentru v. a. repartizate exponential. H

Exemplul 7.1.7 Momentul primei defectari a unui dispozitiv este o v. a. repartizataexponential cu parametrul λ = 1

TMBF (D), unde TMBF (D) reprezinta timpul mediu de buna

functionarea dispozitivului D. In practica acesta se determina prin experiment statistic.De exemplu se urmaresc n dispozitive identice ıncepand cu momentul t = 0 si se noteaza

momentele primei defectari ale lor t1, t2, ..., tn. Atunci TMBF (D) =t1 + t2 + ...+ tn

nsi deci

λ =n

t1 + t2 + ...+ tn.

Presupunem ca un dispozitiv D are TMBF (D) = 1000 ore. Sa se calculeze probabilitateaca D sa functioneze cel putin 200 ore. Conform celor prezentate rezulta ca λ = 1

1000si

probabilitatea ceruta este P ({X ≥ 200}) = 1 − P ({X < 200}) = 1 − F (200) = 1 − 1 +

e−2001000 = e−0.2 = 0.81873. H

Proprietatea de pierdere a memoriei a distributiei exponentiale ne spune ca dispozitivelenu se uzeaza. Daca apar ın functionarea dispozitivelor unele uzari mecnice, de exemplu, numai poate fi modelat timpul de functionare a unui dipozitiv cu ajutorul acestei distributii sise foloseste ın practica o alta distributie si anume distributia Weibull.

7.1.3 V. a. distribuita gamma

O generalizare a distributiei exponentiale este distributia gamma.

Definitia 7.1.8 Se numeste functie gamma functia

Γ(p) =

∞∫0

xp−1e−xdx, pentru p > 0.

Folosind integrarea prin parti se obtine Γ(p) = (p − 1)Γ(p − 1). Daca p ∈ N atunciΓ(p) = (p− 1)!. Functia gamma poate fi interpretata ca o generalizare a factorialului pentruvalori reale pozitive. Deasemenea Γ(1) = 0! = 1,Γ(1

2) =√π.

Definitia 7.1.9 O variabila aleatoare X este distribuita gamma cu parametrii λ si p,X ∈Gamma [p, λ] daca are densitatea de probabilitate de forma:

fX(x) =λpxp−1e−λx

Γ(p)pentru x > 0.

Graficul densitatii de probabilitate pentru functia gamma si pentru diferite valori alelui λ si p este prezentat ın figura urmatoare λ = 1, p = 1 (negru), λ = 2, p = 2 (rosu),λ = 1.5, p = 2 (verde).

Pentru p = 1 se obtine distributia exponentiala, Gamma [1, λ] = Exponential [λ] .

Teorema 7.1.10 Daca X este o v. a. distribuita gamma, atunci M [X] =p

λ,D [X] =

p

λ2.

Demonstratie.

M [X] =

∞∫−∞

xf(x)dx =1

Γ(p)

∞∫0

x · λpxp−1e−λxdx =1

Γ(p)

∞∫0

(λx)p e−λxdx =

4


3.4.4 V. a. distribuita gama

O generalizare a distributiei exponentiale este distributia gama.Reamintim functia gama si câteva proprietati ale acesteia.

Se numeste functie gama, functia Γ(p)=Z ∞

0

xp−1e−xdx, unde p > 0.

Functia are proprietatea Γ(p) = (p − 1)Γ(p − 1). Daca p ∈ N atunciΓ(p) = (p−1)!. Functia gama poate fi interpretata ca o generalizare afactorialului pentru valori reale pozitive. De asemenea Γ(1) = 0! = 1,Γ¡12

¢=√π.

Definitia 3.10. O variabila aleatoare X este distribuita gama cuparametrii λ si p,X ∈ Gama [p, λ] daca are densitatea de probabilitatede forma:

fX(x) =

λpxp−1e−λx

Γ(p), x > 0

0, x ≤ 0.

Graficul densitatii de probabilitate pentru functia gama si pentrudiferite valori ale lui λ si p este prezentat în figura 3.6, λ = 1, p = 1(negru), λ = 2, p = 2 (rosu), λ = 1.5, p = 2 (verde).

53.752.51.250

1

0.75

0.5

0.25

0

x

y

x

y

Figura 3.6.

Pentru p = 1 se obtine distributia exponentiala, Gama [1, λ] =Exp [λ].

Teorema 3.9. Daca X este o v. a. distribuita gama, atunci

M [X] =p

λ, D [X] =

p

λ2.

Figura 7.3: Densitatea de probabilitate ın cazul variabilei distribuita Gama

=1

Γ(p)

∞∫0

tpe−tdt

λ=

Γ(p+ 1)

λΓ(p)=p

λ,

rezultat obtinut facand schimbarea de variabila λx = t, λdx = dt. Pentru dispersie folosimrelatia

D [X] = M [X2]− (M [X])2 .Dar

M [X2] =

∞∫−∞

x2f(x)dx =1

Γ(p)

∞∫0

x2 · λpxp−1e−λxdx =1

λΓ(p)

∞∫0

(λx)p+1 e−λxdx =

=1

λΓ(p)

∞∫0

tp+1e−tdt

λ=

Γ(p+ 2)

λ2Γ(p)=p(p+ 1)

λ2.

De aici rezulta ca

D [X] =p(p+ 1)

λ2−(pλ

)2=

p

λ2. �

Este folosita pentru a modela timpul de functionare a unor aparate.Pentru λ = 1

2si p = 1

2, 1, 3

2, 2, ... se obtin diferite cazuri ale distributiei χ-patrat (hi-patrat)

care este folosita ın statistica pentru determinarea intervalelor de ıncredere si verificareaipotezelor statistice de care ne vom ocupa ın capitolele urmatoare.

7.1.4 V. a. distribuita normal

Definitia 7.1.11 O v. a. continua X este repartizata normal cu parametrii m si σ(σ >0), si se scrie X ∈ N(m,σ2) daca densitatea de probabilitate este

f : R→ R, f(x) =1

σ√

2πe−

(x−m)2

2σ2 . (7.2)

Exercitiul 1 Sa se verifice ca functia definita de (7.2) are proprietatile densitatii de proba-bilitate. Sa se calculeze media si dispersia.

Solutie. 1. Observam ca f(x) ≥ 0,∀x ∈ R.

5

2. Facand schimbarea de variabila x−m = σy si folosind integrala cunoscuta

∞∫−∞

e−y2

2 dz =

√2π, se obtine ca

∞∫−∞

f(x)dx = 1.

Folosind aceeasi schimbare de variabila la calculul integralelor care apar ın definitia medieisi dispesiei obtinem ca M [X] = m,D [X] = σ2.

Teorema 7.1.12 Daca X este o v. a. distribuita normal, atunci M [X] = m,D [X] = σ2.

Graficul lui f este asa numitul clopot al lui Gauss. Se constata ca acesta este simetricfata de dreapta x = m, pentru x = m functia f are maxim egal cu f(m) = 1√

2πσ, iar punc-

tele m± σ sunt puncte de inflexiune. Pentru σ constant si m variabil, graficul se transleazacorespunzator. Daca m este constant, iar σ variabil se constata ca punctul de maxim variazainvers proportional ın raport cu σ. In Figura 6.5 este desenat graficul densitatii de proba-bilitate normale pentru m = 0, σ2 = 0.2 (visiniu), m = 0, σ2 = 1 (rosu), m = 0, σ2 = 0.5(verde), m = 0, σ2 = 5 (mustar), m = 3, σ2 = 5 (galben) si m = 3, σ2 = 1 (albastru).


Folosind aceeasi schimbare de variabila la calculul integralelor careapar în definitia mediei si dispesiei obtinem caM [X] = m, D[X] = σ2.Graficul lui f este reprezentat în figura 3.9 pentru valorile lui m

si σ specificate. Se constata ca acesta este simetric fata de dreaptax = m, pentru x = m functia f are maxim egal cu f(m) = 1

σ√2π, iar

punctelem±σ sunt puncte de inflexiune. Pentru σ constant sim vari-abil, graficul se transleaza corespunzator. Daca m este constant, iar σvariabil se constata ca punctul de maxim variaza invers proportionalîn raport cu σ. În figura 3.9 este desenat graficul densitatii de pro-babilitate normale pentru m = 0, σ2 = 0.2 (visiniu), m = 0, σ2 = 1(rosu), m = 0, σ2 = 0.5 (verde), m = 0, σ2 = 5 (mustar), m = 3,σ2 = 5 (galben) si m = 3, σ2 = 1 (albastru).

107.552.50-2.5-5

0.8

0.6

0.4

0.2

0

x

y

x

y

Figura 3.9.

Daca m = 0 si σ = 1 atunci scriem X ∈ N [0, 1] si numim o astfelde v. a. normala standard sau normala redusa.Consideram urmatoarea functie cunoscuta

Φ : R→ R, Φ(x) =1√2π

Z x

−∞e−

12t2dt (3.10)

numita functia lui Laplace.Fie X o v. a. distribuita normal cu media nula si dispersia 1.

Atunci, conform relatiei (3.9), densitatea de probabilitate a lui X este

f(x) =1√2π

e−12x2 (graficul ei este reprezentat în figura 3.10), deci

functia de repartitie a lui X va fi, conform relatiei (3.2),

F (x) =1√2π

Z x

−∞e−

12t2dt = Φ(x), ∀x ∈ R.

Figura 7.4: Densitatea de probabilitate ın cazul variabilei distribuita Normal

Graficul functiei de repartitie este, pentru aceleasi valori ca ale densitatii de probabilitate,m = 0, σ2 = 0.2; m = 0, σ2 = 1; m = 0, σ2 = 0.5; m = 0, σ2 = 5; m = 3, σ2 = 5;m = 3, σ2 = 1.

Daca m = 0 si σ = 1 atunci scriem X ∈ N(0, 1) si numim o astfel de v. a. normalastandard sau normala redusa.

Consideram urmatoarea functie cunoscuta

Φ : R→ R,Φ(x) =1√2π

x∫−∞

e−12t2dt (7.3)

numita functia lui Laplace a erorilor, notata si erf .Aceasta functia are o interpretare probabilistica si anume: fie X o v. a. repartizata nor-

mal cu media nula si dispersia 1. Atunci, conform relatiei (7.2), densitatea de probabilitatea lui X este

6


52.50-2.5-5

0.3

0.2

0.1

0

x

y

x

y

Figura 3.10.Observam ca

M£(X − 0)3¤ = 1√

2π

∞R−∞

(t− 0)3 e− 12t2dt = 0.0 ⇒ graficul este

simetric.

M£(X − 0)4¤ = 1√

2π

∞R−∞

t4e−12t2dt = 3.0.

Graficul functiei de repartitie este, pentru aceleati valori ca aledensitatii de probabilitate, m = 0, σ2 = 0.2; m = 0, σ2 = 1; m = 0,σ2 = 0.5; m = 0, σ2 = 5; m = 3, σ2 = 5 sim = 3, σ2 = 1 (figura 3.11).

107.552.50-2.5-5

1

0.75

0.5

0.25

0

x

y

x

y

Figura 3.11.

Observatia 3.7. Observam caΦ(x) este aria dintre curba y = 1√2πe−

12x2

si axa Ox pâna la punctul de abscisa x, iar întreaga arie de sub clopoteste egala cu 1. Datorita simetriei graficului se observa, din figura3.10, ca aria cuprinsa între curba si axa Ox, de la −∞ pâna la −xeste egala cu aria cuprinsa între curba si axa Ox, de la x pâna la ∞.Rezulta ca

Φ(−x) = 1− Φ(x), (3.11)

relatie care ne va fi utila într-o serie de aplicatii.

Figura 7.5: Functia de repartitie ın cazul variabilei distribuita Normal

f(x) =1√2πe−

12x2 ,

iar graficul ei esteCAPITOLUL 3. VARIABILE ALEATOARE CONTINUE 115

52.50-2.5-5

0.3

0.2

0.1

0

x

y

x

y

Figura 3.10.Observam ca

M£(X − 0)3¤ = 1√

2π

∞R−∞

(t− 0)3 e− 12t2dt = 0.0 ⇒ graficul este

simetric.

M£(X − 0)4¤ = 1√

2π

∞R−∞

t4e−12t2dt = 3.0.

Graficul functiei de repartitie este, pentru aceleati valori ca aledensitatii de probabilitate, m = 0, σ2 = 0.2; m = 0, σ2 = 1; m = 0,σ2 = 0.5; m = 0, σ2 = 5; m = 3, σ2 = 5 sim = 3, σ2 = 1 (figura 3.11).

107.552.50-2.5-5

1

0.75

0.5

0.25

0

x

y

x

y

Figura 3.11.

Observatia 3.7. Observam caΦ(x) este aria dintre curba y = 1√2πe−

12x2

si axa Ox pâna la punctul de abscisa x, iar întreaga arie de sub clopoteste egala cu 1. Datorita simetriei graficului se observa, din figura3.10, ca aria cuprinsa între curba si axa Ox, de la −∞ pâna la −xeste egala cu aria cuprinsa între curba si axa Ox, de la x pâna la ∞.Rezulta ca

Φ(−x) = 1− Φ(x), (3.11)

relatie care ne va fi utila într-o serie de aplicatii.

Figura 7.6: Densitatea de probabilitate ın cazul variabilei distribuita N [0, 1]

deci functia de repartitie a lui X va fi

F (x) =1√2π

x∫−∞

e−12t2dt = Φ(x) = erf(x),∀x ∈ R.

Observatia 7.1.13 Observam ca Φ(x) = aria hasurata dintre curba y =1√2πe−

12x2 si axa

Ox pana la punctul de abscisa x, iar ıntreaga arie de sub clopot este egala cu 1. Datoritasimetriei graficului se observa ca aria cuprinsa ıntre curba si axa Ox, de la −∞ pana la −xeste egala cu aria cuprinsa ıntre curba si axa Ox, de la x pana la ∞. Rezuta ca

Φ(−x) = 1− Φ(x), (7.4)

7

relatie care ne va fi utila ıntr-o serie de aplicatii.

Deci Φ(x) este functia de repartitie a unei v. a. normale X ∈ N(0, 1). Din cauzaimportantei ın statistica a acestei functii ea se gaseste tabelata.

Graficul functiei Φ este prezentat mai jos.


Deci Φ(x) este functia de repartitie a unei v. a. distribuita normalX ∈ N [0, 1]. Din cauza importantei în statistica a acestei functii ease gaseste tabelata. Tabelul din Anexa 1 furnizeaza valorile functieide repartitie pentru distributia normala standard, Φ(x) = P (X ≤ x).Urmatorul exemplu ilustreaza modul în care se foloseste tabelul.

Exemplul 3.5. Fie X ∈ N [0, 1] . Sa se calculeze P (X ≤ 1.5) . Se ur-mareste în coloana lui x valoarea 1.5. Probabilitatea se va citi pe liniacorespunzatoare valorii 1.5, pe coloana etichetata 0.00, adica 0.933193.Pentru calculul P (X ≤ 1.53) se va citi probabilitatea de pe linia lui1.5, coloana etichetata cu 0.03 (1.53 = 1.5 + 0.03) , adica 0.936992.Probabilitatile care nu sunt de forma P (X ≤ x) se calculeaza folosindregulile de baza ale probabilitatilor si simetria distributiei normalestandard. Pentru valorile negative se tine seama de formula (3.11).

Graficul functiei Φ este prezentat în figura 3.12.

52.50-2.5-5

1

0.75

0.5

0.25

0

x

y

x

y

Figura 3.12.

Avem limn→∞

Φ(x) = 1, limn→−∞

Φ(x) = 0.

Exercitiul 3.4. DacaX ∈ N [m,σ] atunci Y =1

σ(X −m) ∈ N [0, 1].

Rezolvare. Exprimam functia de repartitie a v. a. Y cu ajutorulfunctiei de repartitie a v. a. X

FY (x) = P (Y ≤ x) = P

µ1

σ(X −m) ≤ x

¶=

= P (X ≤ m+ xσ) = FX (m+ xσ) .

Figura 7.7: Functia lui Laplace

Avem limn→∞

Φ(x) = 1, limn→−∞

Φ(x) = 0.

Observam ca

D [X3] =1√2π

∞∫−∞

(t− 0)3 e−12t2dt = 0.0⇒ graficul este simetric.

D [X4] =1√2π

∞∫−∞

t4e−12t2dt = 3.0.

Exercitiul 2 Daca X ∈ N(m,σ2) atunci Y =1

σ(X −m) ∈ N(0, 1).(se tine seama de

proprietatile mediei si ale dispersiei).

Teorema 7.1.14 Fie X ∈ N(0, 1) si a < b.Atunci

P ({a ≤ X ≤ b}) = Φ(b)− Φ(a),

iar daca X ∈ N(m,σ2) atunci

P ({a ≤ X ≤ b}) = Φ(b−mσ

)− Φ(a−mσ

). (7.5)

Demonstratie. FExercitiu. �

Teorema 7.1.15 Daca X ∈ N(m,σ2) atunciP ({X ∈ [m− σ,m+ σ]}) ∼= 0.6827,P ({X ∈ [m− 2σ,m+ 2σ]}) ∼= 0.9545,P ({X ∈ [m− 3σ,m+ 3σ]}) ∼= 0.9973

deci aproape sigur valorile lui X sunt cuprinse ın intervalul [m− 3σ,m+ 3σ] . (Regula celortrei sigma).

8

Demonstratie. Demonstram ultima relatie. Celelalte relatii se demonstreaza analog.Folosim formula (7.5) si obtinem:

P ({m− 3σ ≤ X ≤ m+ 3σ}) = Φ(m+3σ−mσ

)−Φ(m−3σ−mσ

) = Φ(3)−Φ(−3) = 0.998650−0.001350 = 0.9973. �

Exercitiul 3 Sa presupunem ca dimensiunea admisibila a diametrului d al unor piese cir-culare este 10− 12 mm si ca pentru un lot de piese diametrul mediu este m = 11.4 mm, iarabaterea medie patratica este σ = 0.7 mm. Ne propunem sa determinam probabilitatea dea avea, ın acel lot, piese cu diametru ≤ 10 mm si probabilitatea de a avea, ın acel lot, piesecu diametru > 12 mm.

Solutie. d ∈ N(11.4; 0.72)⇒ P ({d ≤ 10}) = Φ(10−11.4

0.7

)= Φ(−2) = 0.02275

P ({d > 12}) = 1− Φ(12−11.4

0.7

)= 1− Φ(0.85714) = 1− 0.80432 = 0.19568.H

Exercitiul 4 Intensitatea curentului care trece printr-o bobina urmeaza o distributie nor-mala cu media de 10 miliamperi si dispersia de 4 miliamperi. Care este probabilitatea caintensitatea sa depateasca 13 miliamperi? Care este probabilitatea ca intensitatea curentuluisa fie cuprinsa ıntre 9 si 11 miliamperi? Sa se determine valoarea c a intensitatii curentuluipentru care P ({X < c}) = 0.98.

Solutie. Fie X valoarea intensitatii ın miliamperi, X ∈ N (10; 4) . Se cere probabilitateaP ({X > 13}) = 1− Φ

(13−10

2

)= 1− Φ (1.5) = 1− 0.93319 = 0.066 81.

P ({9 < X < 11}) = Φ(11−10

2

)−Φ

(9−102

)= Φ (0.5)−Φ (−0.5) = 0.691462− 0.308538 =

0.382 92.P ({X < c}) = 0.98 ⇒ Φ

(c−102

)= 0.98. Utilizand tabelul functiei Laplace obtinem

c−102

= 2.06⇒ c = 14.12.

7.1.5 V. a. distribuita hi-patrat χ2(n)

Definitia 7.1.16 O variabila aleatoare X este distribuita χ-patrat cu n grade de libertate,X ∈ χ2(n) daca are densitatea de probabilitate de forma:

f(x) =

1

2n2 Γ(n2

)xn2−1e−x2 , x > 0

0 x ≤ 0.

Pentru aceasta v. a. avem M [X] = n,D [X] = 2n.Graficul densitatii de probabilitate pentru functia χ-patrat cu n grade de libertate, n = 1

(negru), n = 4 (maro), n = 10 (rosu) si n = 20 (albastru) este prezentat ın Figura 6.9.Valorile functiei de repartitie sunt tabelate, ın functie de gradele de libertate.

7.1.6 V. a. distributa Student

Definitia 7.1.17 O v. a. X este distribuita este distribuita Student cu n grade delibertate, X ∈ t(n), daca densitatea de probabilitate este

f(x) =

Γ

(n+ 1

2

)Γ(n

2

)√nπ

(1 +

x2

n

)−n+ 1

2, x ∈ R.

Graficul densitatii de probabilitate pentru functia Student cu n grade de libertate, n = 1,n = 5 si n = 12 este prezentat ın Figura 6.10.

Distributiile chi-patrat si student sunt utilizate ın statistica.

9


2520151050

0.3

0.2

0.1

0

x

y

x

y

Figura 3.7.

Rezolvare. Fie X ∈ χ2(n).

ϕX(t) =1

2n2Γ¡n2

¢ Z ∞

0

ejtxxn2−1e−

x2 dx =

1

2n2Γ¡n2

¢ Z ∞

0

xn2−1e−

1−2jt2

xdx.

Facem schimbarea de variabila u =2jt− 12

x ⇒ x =2

1− 2jt u ⇒

dx =2

1− 2jtdu.

ϕX(t) =1

2n2Γ¡n2

¢ Z ∞

0

µu

2

1− 2jt¶n

2−1

e−u2

1− 2jtdu =

=1

(1− 2jt)n2 Γ ¡n2

¢ Z ∞

0

un2−1e−udu =

1

(1− 2jt)n2 . ♦

La distributia χ2(n) se poate ajunge plecând de la distributii nor-male:

Propozitia 3.3. Fie n v. a. X1, X2, . . . , Xn independente, care urmeaza

o distributie normala standard, N [0, 1]. Atunci v. a. Y =nPi=1

X2i ∈

χ2(n) (urmeaza o distributie hi-patrat cu n grade de libertate).

Demonstratie. Fie Fi functia de repartitie a v. a. X2i . Avem:

Fi(x) = P¡X2

i ≤ x¢= P

¡−√x ≤ Xi ≤√x¢=

=1√2π

Z √x

−√xe−

t2

2 dt =2√2π

Z √x

0

e−t2

2 dt.

Figura 7.8: Densitatea de probabilitate ın cazul variabilei distribuita hi-patrat


Prin derivare determinam densitatile de probabilitate ale lui X2i ,

fi(x) = F 0i (x) =

2√2π

e−x21

2√x=

1

Γ¡12

¢x−12 e−

x2 ,

deci X2i ∈ χ2(1).

Deoarece X21 , X

22 , . . . , X

2n sunt independente, rezulta ca

ϕX21+X

22+···+X2

n(t) = ϕX2

1(t)ϕX2

2(t) · · ·ϕX2

n(t) =

= (1− 2it)− 12 · · · (1− 2it)− 1

2 = (1− 2it)−n2

care este tocmai functia caracteristica a unei v. a. care urmeaza odistributie hi-patrat cu n grade de libertate. ¤Distributia hi-patrat se întâlneste în statistica la testarea ipotezelor

statistice.

3.4.8 V. a. distribuita Student

Definitia 3.14. O v. a.X este distribuita Student cu n grade de liber-tate, X ∈ T (n) (notatie consacrata), daca densitatea de probabilitateeste

f(x) =

Γ

µn+ 1

2

¶Γ³n2

´√nπ

µ1 +

x2

n

¶−n+12

, x ∈ R.

Pentru aceasta v. a. avem M [X] = 0, D [X] =n

n− 2 , n > 2.

Graficul densitatii de probabilitate pentru functia Student cu ngrade de libertate, n = 1, n = 5 si n = 12 este prezentat în figura 3.8.

52.50-2.5-5

0.3

0.2

0.1

0

x

y

x

y

Figura 3.8.Figura 7.9: Densitatea de probabilitate ın cazul variabilei distribuita Student

10

Curs 7 Variabile aleatoare continue

Documents

Transcript of Curs 7 Variabile aleatoare continue