Liviu BERETEU

VIBRAIILE MEDIILOR CONTINUE

2010

2

5. VIBRAIILE SISTEMELOR CONTINUE......................... 5.1.Vibraiile longitudinale ale barelor drepte.................................................................

5.1.1.Deducerea ecuaiei de micare............................................................................... 5.1.2.Condiii iniiale i la limit.................................................................................... 5.1.3.Vibraii longitudinale libere. Metoda separrii variabilelor.................................. 5.1.4.Relaii de ortogonalitate......................................................................................... 5.1.5.Vibraii longitudinale amortizate ale barei............................................................ 5.1.6.Vibraii longitudinale forate ale barei...................................................................

5.2.Vibraii de rsucire ale barelor.................................................................................. 5.3.Vibraii transversale ale barelor.................................................................................

5.3.1.Deducerea ecuaiei vibraiilor transversale............................................................. 5.3.2.Condiii iniiale i la limit..................................................................................... 5.3.3.Vibraii libere transversale ale barelor................................................................... 5.3.4.Relaii de ortogonalitate.........................................................................................

5.4.Probleme.................................................................................................................... 6. METODE NUMERICE I APROXIMATIVE 6.1.Evaluarea numeric a rspunsului sistemului cu un grad de libertate.......................

6.1.1.Soluia numeric bazat pe interpolarea forei perturbatoare................................. 6.1.2.Integrarea numeric pas cu pas...............................................................................

6.2.Evaluarea numeric a rspunsului sistemelor liniare cu mai multe grade de libertate............................................................................................................................

6.2.1.Metoda diferenelor finite....................................................................................... 6.2.2.Metoda Newmark....................................................................................................

6.3.Metode analitice aproximative................................................................................... 6.3.1.Calculul energiei cinetice i poteniale pentru sisteme continue............................ 6.3.2.Aplicarea ecuaiilor lui Lagrange pentru sistemele continue n metoda modurilor

presupuse....................................................................................................................................... 6.3.3.Metoda Rayleigh..................................................................................................... 6.3.4.Metoda Rayleigh Ritz.......................................................................................... 6.3.5.Metoda Galerkin.....................................................................................................

6.4.Evaluarea numeric a pulsaiilor proprii i a vectorilor proprii................................. 6.4.1.Metoda puterii folosind matricea de eliminare....................................................... 6.4.2.Metoda raportului Rayleigh.................................................................................... 6.4.3.Metoda matricelor de transfer.................................................................................

6.5.Probleme.................................................................................................................... BIBLIOGRAFIE............................................................................................................

3

1 VIBRAIILE SISTEMELOR CONTINUE n primele patru capitole modelele analitice folosite au fost modele cu parametrii discrei. Exist sisteme mecanice, n care masele elementelor deformabile sunt comparabile cu masele elementelor rigide, pentru care modelul cu parametrii discrei nu mai este satisfctor i pentru care se folosesc modelele sistemului continuu. n aceste modele forele de inerie sunt distribuite n tot volumul, iar deplasarea n micarea vibratorie este o funcie continu de punct (poziie) i de timp. Sistemul are un numr infinit de grade de libertate, corespunztor valorilor cu care funcia deplasare descrie poziia punctelor corpului.

5.1. Vibraiile longitudinale ale barelor drepre 5.1.1. Deducerea ecuaiei de micare Se consider, pentru nceput, deformaii longitudinale n lungul unei bare drepte (fig. 5.1.a.). Pentru deducerea ecuaiei de micare a vibraiei axiale, se separ un element de lungime x (fig. 5.1.b.). Fie ( )txu , deplasarea seciunii transversale n lungul direciei axiale, ( )txq , fora axial aplicat extern pe unitatea de lungime, ( )tuxr ,, fora axial de frecare intern, iar ( )txN , i ( )txxN ,+ forele axiale din cele dou seciuni ale elementului considerat. ( )xA este aria seciunii transversale, iar ( )x este densitatea, adic masa unitii de volum.

Fig. 5.1

Se consider ipotezele din rezistana materialelor:

a) Seciunile transversale rmn plane i rmn perpendiculare pe axa longitudinal.

4

b) Materialul este din punct de vedere elastic liniar. c) Proprietile de material E i sunt constante ntr-o seciune transversal.

Pe baza acestor ipoteze se pot scrie urmtoarele relaii:

( ) ( )

xu

xtxutxxu

x =

+= ,,lim

0 (5.1)

( )x

txuEE == , (5.2)

E fiind modulul de elasticitate longitudinal i

( ) ( ) ( )x

txuxEAtxN = ,, (5.3)

Scriind ecuaia de echilibru dinamic pentru elementul considerat se obine:

( ) ( ) ( ) ( ) 22

,,,,,txxAxtuxrtxNtxxNxtxq

=++ (5.4) unde, prin mprire cu x i trecere la limit, se obine:

( ) ( ) ( ) ( ) 2

2

0,,,,,lim

tuAtuxrtxq

xtxNtxxN

x =+

+ (5.5)

sau

( ) ( ) 22

,,,tuAtuxrtxq

xN

=+

(5.6) nlocuind (5.3) n (5.6) se obine:

( ) ( ) 22

,,,tuAtuxrtxq

xuAE

x =+

(5.7)

Aceasta este ecuaia de micare pentru vibraiile axiale ale unei bare liniar elastice. n multe cazuri, bara este omogen de seciune constant, iar fora de frecare se consider proporional cu viteza, obinndu-se ecuaia:

( )txqAx

uctuh

tu ,12 2

22

2

2

=

+

(5.8)

unde:

Ec =2

Neglijndu-se frecrile i considernd ( ) 0, =txq se obine ecuaia vibraiilor libere: 2

22

2

2

xuc

tu

=

(5.9)

avnd aceeai form ca ecuaia coardei vibrante.

5

5.1.2. Condiii iniiale i la limit n continuare, pentru caracterizarea complet a vibraiilor longitudinale, sunt necesare precizarea unor condiii suplimentare. O categorie de condiii rezid din faptul c soluiile se propag n timp din nite condiii iniiale date. Pentru ecuaia diferenial (5.8) acestea sunt de forma:

( ) ( )xtxu t ==0, , ( ) ( )xt txu t =

=0

, (5.10)

unde ( )x i ( )x sunt funcii cunoscute. Cea de-a doua categorie de condiii rezid din faptul c soluiile trebuie s satisfac ecuaia diferenial (5.8) ntr-un domeniu nchis de cteva condiii de frontier (limit) ale domeniului. Condiiile la limit pot fi mprite n dou clase distincte, fiecare reflectnd diferite tipuri de condiii fizice. Prima clas reflect constngerile geometrice (deplasri, unghiuri), iar a doua clas forele (i/sau momentele) de pe frontier. n cazul vibraiilor longitudinale, primul tip de condiii la limit, numite i condiii geometrice, sunt de forma: ( ) ( )tstxu x 10, == , ( ) ( )tstxu x 21, == (5.11) unde ( )ts1 i ( )ts2 sunt deplasri cunoscute. Pentru cel de-al doilea tip de condiii, numite i condiii naturale, din (5.3) se obine:

( )tNEAx

uLx

1=

= (5.12)

unde ( )tN este fora ce acioneaz la captul Lx = . Cele mai frecvent ntlnite condiii la limit, n cazul vibraiilor longitudinale ale barelor, sunt:

a) Capetele ncastrate (I I) ( ) 0,0==xtxu i ( ) 0, ==Lxtxu

(5.13)

b) Un capt liber i altul ncastrat (L I) ( ) 0,0

=

=xxtxu

i ( ) 0, ==Lxtxu (5.14)

c) Ambele capete libere (L L) ( ) 0,

0

=

=xxtxu

i ( ) 0, =

=Lxx

txu (5.15)

Pe lng aceaste condiii la limit, se mai ntlnesc i cele artate n fig. 5.2.

6

Fig. 5.2

Ecuaia de micare pentru masa m este:

( )Lxt

umtLN=

= 22

, (5.16)

iar din (5.3)

( )Lxx

uEAtLN=

=, (5.17) se obine pentru captul Lx = condiia:

LxLx tum

xuAE

== =

2

2

(5.18)

Pentru cazul din fig. 5.2.b. se scrie: ( ) ( )tkutN ,0,0 = (5.19) i folosind din nou relaia (5.3), se obine:

( )tkuxuAE

x

,00

=

= (5.20)

5.1.3. Vibraii libere longitudinale ale bazelor. Metoda separrii variabilelor Deoarece se neglijeaz frecrile i nu exist fore exterioare care s acioneze asupra barei, aceasta este o problem de vibraii libere. Se va presupune c soluia este separabil n timp i spaiu. Din punct de vedere fizic, aceasta nseamn c sistemul execut micri sincrone, adic fiecare punct al sistemului execut acelai tip de micare n timp. Se va considera soluia ecuaiei (5.9) de forma: ( ) ( ) ( )tTxUtxu =, (5.21) Punnd condiia ca aceasta s verifice ecuaia (5.9), se obine: ( ) ( ) ( ) ( ) 0= xUtEATtTxAU (5.22) care se poate separa n dou ecuaii difereniale ordinare.

=== constTT

UUc

2 (5.23)

7

Cele dou rapoarte ale unor funcii de variabile diferite, pot fi egale doar dac sunt constante, iar constanta trebuie s fie negativ ( )2p= , deoarece soluia trebuie s fie mrginit n timp. Urmeaz c: 02 =+ TpT (5.24) 0

2

=

+ UcpU (5.25)

Acestea au soluiile: ( ) ptBptAtT sincos += (5.26) ( )

cpxD

cpxCxU sincos += (5.27)

Egalitatea (5.23) poate fi satisfcut pentru o infinitate de valori numite valori

proprii i crora le corespund funcii proprii ( )xU . Valorile proprii se determin pe baza condiiilor la limit impuse soluiei ( )txu , , adic funciei ( )xU . Aceast ecuaie, numit ecuaie caracteristic, este ntotdeauna transcendent i are o infinitate de rdcini.

Fiecrei pulsaii proprii rp ( ),2,1=r i corespunde o funcie ( )tTr , respectiv o funcie proprie ( )xU r , iar soluia general va fi de forma:

( ) ( ) ( )tTxUtxu rr

r = =1

,

(5.28) Cele mai frecvente tipuri de legturi sunt date n Tabelul 1.

Tabelul 1. Tipuri

de legturi

Condiii limit

Ecuaia caracteristic

Pulsaii proprii Funcii proprii

x=0 x=L I L U=0 U'=0

0cos =cpL

( )

Lcrpr 2

12 = ( ) ( )L

xrCxUr 212sin =

I I U=0 U=0 0sin =

cpL

Lcrpr= ( )

LxrDxUrsin=

L L U'=0 U'=0 0sin =

cpL

Lcrpr= ( )

LxrCxUrcos=

Se constat c funciile proprii sunt determinate pn la o constant i revenind la

soluia general (5.28), innd cont i de (5.26), pentru bare (I L) se poate scrie:

( ) ( ) ( )L

xrtpBtpAtxur

rrrr 212sinsincos,

1

+==

(5.29)

unde constantele rA i rB se determin din condiiile iniiale. Conform condiiilor iniiale (5.10) rezult:

8

( ) ( )L

xrAxr

r 212sin

1

==

(5.30)

i

( ) ( ) ( )L

xrBL

crx rr 2

12sin2

121

==

(5.31)

ceea ce reprezint dezvoltri n serii Fourier, avnd coeficienii:

( ) ( ) dxL

xrxL

AL

r 212sin2

0

= (5.32) i

( ) ( )( ) dx

Lxrx

crB

L

r 212sin

124

0

= (5.33) astfel soluia general este complet determinat. Pentru celelalte cazuri, bare (I I) i bare (L L) se urmrete acelai procedeu. 5.1.4. Relaii de ortogonalitate Pornind de la ecuaia vibraiilor libere ale barelor:

22

tuA

xuEA

x =

(5.34) pentru cazurile date n Tabelul 1. se poate scrie:

( ) UApUAE 2= (5.35) unde, pentru simplificare, U este scris n loc de U(x), iar U' n loc de

dxdU

.

Relaia (5.35) poate fi scris pentru oricare dintre valorile proprii. Fie rp i sp dou valori proprii distincte i respectiv, ( )xU r i ( )xU s funciile proprii corespunztoare. Se poate scrie:

( ) rrr UApUAE 2= (5.36) i

( ) sss UApUAE 2= (5.37) Dup nmulirea relaiei (5.36) prin ( )xU s , respectiv relaia (5.37) prin ( )xU r i prin integrare ntre limitele 0 i L, se obine:

( ) dxUAUpdxUAEU srL

rr

L

s =0

2

0

(5.38) i

9

( ) dxUAUpdxUAEU srL

ss

L

r =0

2

0

(5.39) Integrnd relaiile (5.38) i (5.39) prin pri i innd cont de condiiile la limit din Tabelul 1. rezult c:

dxUAUpdxUUEA srL

r

L

sr =0

2

0

(5.40) i

dxUAUpdxUUEA srL

s

L

sr =0

2

0

(5.41) prin scderea acestor dou relaii se obine:

( ) 00

22 = dxUAUpp srLsr (5.42) dar sr pp , deci: 0

0

= dxUAU srL (5.43) i din (5.40):

00

= dxUUEAL sr (5.44) Relaiile (5.43) i (5.44) reprezint condiiile de ortogonalitate pentru vibraiile longitudinale ale barelor. Se spune c modurile proprii sunt ortogonale n raport cu distribuia de mas, respectiv distribuia de rigiditate. De asemenea, prin nmulirea relaiei (5.36) cu ( )xU r i integrnd pe domeniul [0,L] , se obine:

( ) dxAUpdxUAEU rL

rr

L

r2

0

2

0 = (5.45)

din care, prin integrare prin pri i folosind condiiile de frontier din Tabelul 1., se deduce:

( )r

r

r

L

r

L

r MK

dxAU

dxUEAp =

=

2

0

2

02

(5.46)

unde

( ) dxUAEK rL

r2

0

= , dxAUM rLr 20= (5.47)

10

fiind rigiditatea modal, respectiv masa modal corespunztoare modului natural r, a crui form modal este dat de funcia proprie ( )xU r i care este determibat pn la o constant. Tocmai de aceea, se introduce normarea funciilor proprii, corespunznd astfel, fiecrei funcii o amplitudine unic. O astfel de normare poate fi astfel nct n punctul n care ( )xUr este maxim, s aibe o valoare specificat ( ) 1max =xUr . Cea mai frecvent este ns normarea: dxAUM r

L

r2

0= (5.48)

unde pentru masa modal se ia 1=rM . Funciile ( )x care satisfac aceleai condiii la limit ca i setul de funcii proprii, fr a satisface ecuaia diferenial (5.35), se numesc funcii de comparaie sau generatoare i pot fi reprezentate prin serii convergente de forma:

( ) ( )xUx rr

r=

=1 (5.49)

unde coeficienii r se por determina prin nmulirea relaiei (5.49) cu ( )dxxAU r i integrarea pe domeniul (0,L). innd cont i de condiiile de ortogonalitate, se obine:

dxAU

dxUA

r

L

L

r

r2

0

0

=

(5.50)

5.1.5. Vibraii longitudinale amortizate ale barei n prezena frecrilor, vibraiile longitudinale ale barelor se vor stinge n timp, deci se vor amortiza. Presupunnd o amortizare de natur vscoas, ecuaia (5.8) se poate scrie:

22

22

2

2xuc

tuh

tu

=

+

(5.51) Aplicnd metoda separrii variabilelor soluia va fi de forma (5.21). Introducnd-o n ecuaia (5.51) se obine, prin separarea variabilelor:

UUc

TThT =+ 22 (5.52)

Deoarece fiecare raport conine cte o variabil, ele pot fi egale numai dac sunt constante, i datorit mrginirii soluiei n timp, aceast constant trebuie s fie negativ. Dac se ia - 2p constanta considerat, din (5.52) se poate scrie: 02 2 =++ TpThT (5.53)

11

i 02

=

+ UcpU (5.54)

Dup cum se constat ecuaia (5.54) este identic cu (5.25), ceea ce arat c valorile proprii i funciile proprii sunt ca i la vibraiile libere neamortizate. Considernd

hp > , se obine pentru funcia ( )tT expresia: ( ) ( )tBtAetT ht sincos += (5.55) unde

22 hp = Soluia general va fi de forma:

( ) ( )

++==

c

xpDc

xpCtBtAetxu rrrrrrrrr

ht sincossincos,1

(5.56) unde constantele de integrare se vor determina pe baza condiiilor iniiale i la limit ca i pentru vibraiile longitudinale neamortizate. 5.1.6. Vibraiile longitudinale forate ale barei Vibraii forate longitudinale ale barei pot s apar n cazul n care bara este acionat printr-o for axial distribuit sau are condiii la limit variabile n timp. n lipsa amortizrii (h=0) i presupunnd o for axial distribuit ( ) ( ) txqtxq cos, 0= , ecuaia (5.8) devine:

( )t

Axq

xuc

tu cos

02

22

2

2

=

(5.57)

Soluia particular a acestei ecuaii, numit i vibraie forat va fi de forma: ( ) ( ) txUtxu p cos, = (5.58) Punnd condiia s verifice ecuaia (5.57) se obine:

( )xqEA

Uc

U pp 022 1=+ (5.59)

Evident c funcia ( )xU p trebuie s fie o funcie de comparaie sau generatoare, deci se poate dezvolta n serie dup funciile proprii:

( ) ( )xUxU rr

rp =

=1

(5.60) Considernd numai cazul barei ce verific condiiile la limit din Tabelul 1., prin nlocuirea relaiei (5.60) n (5.59), se obine:

( ) ( ) ( )xqEA

xUc

xU rrr

r 02

2

1

1=

+=

(5.61)

Se nmulete ecuaia (5.61) cu ( )dxxAU r i integrnd pe domeniul (0,L), innd cont i de condiiile de ortogonalitate, se obine:

12

dxUqAEA

dxAUcc

pr

L

r

Lr

r 00

2

02

2

2

2 1 =

+ (5.62)

de unde se determin coeficienii r : ( ) ( ) ( )dxxUxqpL r

L

rr = 0 022

2 (5.63)

unde s-a inut cont c pentru funciile proprii din Tabelul 1., lund constanta

nedeterminat egal cu unitatea, ( )20

2 LdxxUL

r = . Se constat c apare fenomenul de rezonan pentru cazul n care pulsaia forei perturatoare este egal cu una din pulsaiile proprii.

5.2. Vibraiile de rsucire ale barelor

n cazul n care bara este supus unor cupluri variabile de rsucire se produc vibraii de rsucire sau de torsiune. Barele solicitate la rsucire se numesc arbori. Se va considera bara din fig. 5.3. supus la rsucire prin intermediul unui cuplu distribuit, aplicat din exterior ( )txm , . Rotirea seciunii situat la distana x va fi ( )tx, .

Fig. 5.3

Considernd un element de bar x, asupra lui vor aciona cuplurile forelor interioare de momente ( )txM , i ( )txxM ,+ , cuplurile distribuite de frecare ( ) xtxr ,, i de perturbare ( ) xtxm , . Pentru efortul tangenial se poate scrie legea lui Hooke: G= (5.64) unde G este modulul de elasticitate transversal, iar este alunecarea specific la distana r de centrul seciunii:

13

( ) ( ) ( )

xtxr

xtxtxxr

x =

+= ,,,lim

0

(5.65) Momentul forelor interioare reduse n centrul seciunii este:

( )x

GIdArdxdGdArtxM

=== 02, (5.66) unde ( )xI0 este momentul de inerie polar al seciunii (momentul geometric). Dac se noteaz cu ( )xJ0 momentul de inerie axial (momentul mecanic) pentru unitatea de lungime a barei, se poate scrie ecuaia de momente fa de axa barei.

( ) ( ) ( ) ( ) 0,,,,,220 =+++ xtxmxtxrtxMtxxMtxJ (5.67) Prin mprire i trecerea la limit se obine:

( ) ( )txmtxrx

Mt

J ,,,22

0 +=

(5.68) sau innd cont i de relaiile (5.64) i (5.65)

( ) ( )txmtxrx

GIxt

J ,,,022

0 +

=

(5.69) Considernd frecrile neglijabile i momentele exterioare perturbatoare nule se obine:

=

x

GIxt

J 022

0

(5.70) Pentru cazul barei omogene i de seciune constant, ecuaia vibraiilor libere de rsucire va fi:

22

02

2

0 xGI

tJ

=

(5.71)

Dac se noteaz 20

0 cJ

GI = , ecuaia (5.71) are aceiai form ca i ecuaia vibraiilor longitudinale ale barei. i n acest caz pentru rezolvarea complet a problemei este necesar cunoaterea condiiilor iniiale i la limit. Condiiile iniiale pentru vibraiile de rsucire vor fi de forma:

( ) ( )xtx t ==0, ; ( ) ( )xt tx t =

=0

, (5.72)

Condiiile la limit sunt determinate de legturile existente la cele dou extremiti. Astfel, pentru un capt ncastrat, cellalt liber (I, L) condiiile sunt:

( ) 0,0==xtx i ( ) 0, 0 =

==

===

LxLxLx xx

GItxM (5.73) Dac la un capt se aplic un cuplu de moment ( )tM L , atunci condiia la limit este:

14

( ) ( )tMGI LLx = =0 (5.74) Deoarece, ecuaia diferenial a vibraiilor de rsucire este asemenea cu cea a vibraiilor longitudinale nu vor exista deosebiri n modul de determinare a soluiilor.

5.3. Vibraiile transversale ale barelor 5.3.1. Deducerea ecuaiei vibraiilor transversale Barele supuse solicitrii de ncovoiere se numesc grinzi. Se va considera grinda din fig. 5.4.a. a crei ax nedeformat este axa Ox i care va lua prin deformare forma din fig. 5.4.b. Deplasarea transversal a axei neutre n punctul de abscis x la un moment t se noteaz cu ( )txv , . Pentru stabilirea ecuaiei vibraiilor trasversale se separ un element al barei, fig. 5.4.c. Prin separare se nlocuiesc legturile cu forele tietoare ( )txxT ,+ i ( )txT , , respectiv momentele ncovoietoare ( )txxM ,+ i ( )txM , . Asupra elementului se consider c acioneaz i fora perturbatoare pe unitatea de lungime ( )txq , . Se va considera c elementul sub aciunea forelor date i de legtur va avea o micare plan. Prin ( )tx, s-a notat rotaia seciunii transversale, ( )tx, este unghiul de alunecare a seciunii datorit efectului forelor tietoare, iar

xv

este unghiul de nclinare

al axei neutre.

Fig. 5.4

15

Presupunnd neglijabil deplasarea n lungul axei Ox, se pot scrie dou ecuaii de echilibru pentru elementul considerat. Ecuaia de proiecii pe direcia transversal se poate scrie:

( ) ( ) ( ) xtxqtxTtxxTtvxA ++=

,,,22

(5.75) iar ecuaia de momente fa de centrul de mas al elementului va fi:

( ) ( ) ( ) ( )2

,2

,,,22 xtxTxtxxTtxMtxxMt

xJ ++= (5.76)

mprind cele dou ecuaii (5.75) i (5.76) prin x i trecnd la limit pentru 0x , se obin ecuaiile:

( )txqxT

tvA ,2

2

+=

(5.77) i

Tx

Mt

J =

2

2 (5.78)

Pe de alt parte, din teoria de rezistena materialelor, se poate scrie:

EIM

x=

(5.79)

xv

kAGT

== (5.80)

Termenii 22

tJ

i kAGT

sunt numii n mod uzual, efecte de ordinul doi, unde

coeficientul k are valoarea 65

pentru seciuni dreptunghiulare i 109

pentru seciuni

circulare. Primul termen a fost introdus de Rayleigh i ine cont de ineria de rotaie, iar al doilea a fost introdus de Timoshenko i ine cont de efectul deformaiei de alunecare a seciunilor sub aciunea forelor tietoare. Eliminnd T, M i ntre relaiile (5.77), (5.78), (5.79) i (5.80) se obine ecuaia lui Timoshenko pentru bare omogene de seciune constant.

022

2

2

2

2

2

2

22

4

2

2

4

4

=

+

tvAq

tkGAJ

tvAq

xkGAEI

txvJ

tvAq

xvEI

(5.81) n ecuaia (5.81) se pot identifica termenii de corecie dai de ineria de rotaie, respectiv de deformaia de alunecare. Neglijnd aceti termeni, din ecuaiile (5.77), (5.78), (5.79) i (5.80) se deduce ecuaia Euler Bernoulli:

( )txqtvA

xvEI

x,2

2

2

2

2

2

=+

(5.82)

care, n cazul barelor de seciune constant devine:

16

( )txqtvA

xvEI ,2

2

4

4

=+

(5.83) n cazul particular ( ) 0, =txq se obine ecuaia vibraiilor libere trasnversale ale grinzii:

044

22

2

=+

xva

tv

(5.84)

unde

A

EIa = (5.85) Trebuie remarcat c efectul coreciei dat de deformaia de alunecare i de ineria de rotaie crete odat cu creterea modului considerat i descrete cu lungimea i inversul razei de giraie. 5.3.2. Condiii iniiale la limit Pentru determinarea vibraiilor transversale ale grinzii trebuie cunoscute condiiile iniiale, adic poziia i viteza fiecrui punct n momentul iniial. Aceasta nseamn s fie cunoscute funciile:

( ) ( )xtxv t ==0, i ( ) ( )xt txv t =

=0

, (5.86)

De asemenea, trebuie cunoscute condiiile limit date de legturile pe care le are bara. Cele mai frecvente condiii la limit sunt:

a) Capt ncastrat (I) ( ) 0,0==xtxv i ( ) 0, 0 = =xtxv (5.87)

adic deplasarea i unghiul de nclinare sunt nule.

b) Capt simplu rezemat sau articulat (R) ( ) 0, ==Lxtxv i ( ) 0, ==LxtxM (5.88) ceea ce nseamn c deplasarea i momentul ncovoietor sunt nule n captul simplu rezemat. Ultima relaie este echivalent cu ( ) 0, = =Lxtxv .

c) Capt liber (L) ( ) 0, ==LxtxT i ( ) 0, ==LxtxM (5.89) ceea ce nseamn c la captul liber nu exist for tietoare i nici moment de ncovoiere. Aceste relaii pot fi scrise i astfel:

033

=

=Lxxv

i 022

=

=Lxxv

(5.90)

17

Astfel, n fiecare capt se obin dou condiii de frontier. Condiii diferite se obin dac n captul barei este ataat o mas m sau un arc (fig. 5.5.). Pentru fig. 5.5.a. se poate scrie din proiecii de fore:

( )Lxt

vmtLT=

= 22

, (5.91)

sau

LxLx t

vmxvEI

== =

2

2

3

3

(5.92)

iar din ecuaia de momente: ( ) 0, =tLM sau ( ) 0, = =Lxtxv (5.93) Pentru cazul din fig. 5.5.b.: ( ) 0, =tLM sau ( ) 0, = =Lxtxv (5.94) i

( ) LxLx

txTxvEI =

==

,33

sau ( ) LxLx

txvEIk

xv

==

= ,3

3

(5.95)

Fig. 5.5.

5.3.3. Vibraii libere transversale ale barelor Vibraiile libere transversale ale barelor lungi i subiri, cazul Bernoulli Euler sunt guvernate de ecuaia:

( ) 0, =+ vAvEI (5.96) Pentru integrarea ecuaiei (5.96) se va aplica metoda separrii variabilelor, soluia lundu-se de forma:

18

( ) ( ) ( )tTxVtxv =, (5.97) unde ( )xV i ( )tT sunt funcii ce urmeaz a fi determinate. nlocuind (5.97) n ecuaia (5.96), aceasta, pentru bare omogene i de seciune constant, devine: ( ) ( ) ( ) ( ) 0=+ tTxAVtTxEIV IV (5.98) care poate fi separat n:

2pTT

VV

AEI IV == (5.99)

i n acest caz rapoartele (5.99) sunt satisfcute pentru orice x i t numai dac sunt egale cu aceeai constant. Din condiia de mrginire n timp rezult c aceast constant trebuie s fie pozitiv. Urmeaz c din ecuaia (5.99) se poate scrie: 02 =+ TpT (5.100) 02 = Vp

EIAV IV (5.101)

Ecuaia (5.100) are soluia de forma: ( ) ptBptAtT cossin += (5.102) iar pentru ecuaia (5.101) soluia este de forma rxe , obinndu-se ecuaia caracteristic:

02

4 =EIApr (5.103)

i are rdcinile =1r , =2r , ir =3 , ir =4 , unde este: 4

2

EIAp = (5.104)

Soluia general se va scrie: ( ) xFxExDchxCshxV cossin +++= (5.105) Exist cinci constante n soluia general, C, D, E i F constante de integrare, iar pulsaiile proprii p sunt asociate fiecrei valori proprii . Pentru determinarea acestor constante se folosesc condiiile de limit (frontier). n Tabelul 2. sunt date cazurile cele mai frecvente de legturi la care poate fi supus o bar, n care simbolul R reprezint rezemarea. Tabelul 2. Tipul legturii

Ecuaia caracteristic

21X

22X

23X

24X

25X

I L 0cos1 =+ xchx 3,516 22,03 61,69 120,9 199,8 R R 0sin =x 9,869 39,47 88,82 157,9 246,7 I I; L L 0cos1 = xchx 22,37 61,67 120,9 199,8 298,5 I R; L R thxtgx = 15,41 49,96 104,2 178,2 272,0

n acest tabel s-a notat:

19

LX rr = (5.106) de unde pulsaiile proprii devin:

A

EILXp rr 2

2

= (5.107) Trebuie remarcat c pulsaiile proprii nule corespunztoare celor dou moduri de corp rigid pentru bara L L i un mod de corp rigid pentru bara L R nu sunt trecute n Tabelul 2. 5.3.4. Relaii de ortogonalitate Pornind de la ecuaia (5.98) i observnd c soluia ecuaiei este armonic de forma: ( ) ( ) ( )+= ptxVxv cos (5.108) nlocuind-o n ecuaia (5.98) se obine: VApEIV IV 2= (5.109) Aceast ecuaie poate fi scris pentru orice pereche: pulsaie proprie, funcie proprie. Fie rp , rV i sp , sV dou astfel de perechi. Se poate scrie:

rrIV

r VApEIV2= (5.110)

ssIV

s VApEIV2= (5.111)

Se nmulete ecuaia (5.110) cu sV , iar (5.111) cu rV i prin integrarea de dou ori prin pri pe domeniul (0, L), se obine:

( ) dxVAVpdxVVEIVVEIVEIV srL

rs

L

rL

rsrs =+0

2

00

(5.112)

( ) dxVAVpdxVVEIVVEIVEIV srL

ss

L

rL

srsr =+0

2

00

(5.113) innd cont de condiiile de limit (5.87), (5.88) i (5.89) i prin scderea

ecuaiilor (5.112) i (5.113) se obine pentru sr pp : 0

0

= dxVAV srL (5.114) iar din (5.112):

00

= dxVVEI sL r (5.115) adic relaiile de ortogonalitate. n acelai mod, dac se nmulete ecuaia (5.110) cu rV , prin integrare se obine:

r

rr M

Kp =2 (5.116)

20

unde

( )dxxVEIK L rr =0

; ( )dxxAVM L rr =0

2 (5.117) reprezint rigiditatea i masa modal corespunztoare modului r.

5.4. Probleme

5.4.1. O bar de lungime L, omogen i de seciune constant, este ncastrat la ambele capete. Bara este adus nt-o micare vibratorie longitudinal dndu-li-se tuturor punctelor o vitez constant 0v n lungul barei. S se determine micarea rezultant. Rezolvare:

Soluia general a vibraiilor longitudinale pentru a lsa capetele ncastrate se poate scrie, folosind i Tabelul 1., astfel:

( )Lxrt

LcrBt

LcrAtxu

rrr

sinsincos,1=

+= Din condiiile iniiale ( ) 00,

0==txu i ( ) 00, vtxu t == , se obine:

( ) 0sin0,1

=== L

xrAxur

r

( ) 01

sin0, vLxr

LcrBxu

rr ==

=

din care rezult:

0=rA i dxLxrv

crB

L

r

sin2

00= , adic:

cr

LvBr 2204= , pentru r impar i 0=rB pentru r par.

Micarea rezultant va fi:

( ) Ltcr

Lxr

rcLvtxu

r

= =

sinsin

14,3,1

220

5.4.2. O bar de lungime L este ncastrat la un capt i legat printr-un arc de constant k la cellalt capt (fig. 5.6.). S se deduc ecuaia pulsaiilor proprii.

21

Fig. 5.6.

Rezolvare: n cazul vibraiilor longitudinale funciile proprii sunt de forma:

( ) xcpDx

cpCxU

+

= sincos

Punnd condiiile de frontier: ( ) 00 ==xxU i ( ) ( ) LxLx xUAExkU == = se obine din prima condiie: 0=C , iar din a doua: L

cp

cpAEL

cpk

=

cossin sau

kcpAEL

cptg =

.

Aceasta este ecuaia pulsaiilor proprii. Dac rigiditatea arcului este foarte mic n comparaie cu cea a barei, ecuaia pulsaiilor proprii este:

=

Lcptg , adic:

( )L

crpr12 =

sunt pulsaiile proprii din cazul barei cu un capt ncastrat i cellalt liber. 5.4.3. O bar de lungime L este ncastrat la un capt, iar la cellalt capt este ataat o mas concentrat m (fig. 5.7.). S se determine ecuaia pulsaiilor proprii.

Fig. 5.7.

Rezolvare:

22

Condiiile la limit n acest caz sunt: pentru captul ncastrat ( ) 0, 0 ==xtxu , iar pentru cellalt capt:

LxLx tum

xuAE

== =

22

Soluia general a vibraiilor longitudinale libere este de forma:

( ) ( )

+

+=

=x

cpDx

cpCtpBtpAtxu rrrr

rrrrr sincossincos,

1,

din prima condiie se obine: 0=rC , iar din a doua: L

cpmpL

cp

cAEp r

rrr

=

sincos 2 sau

r

r

mpcAL

cptg =

Aceasta este ecuaia pulsaiilor proprii. Dac masa ataat m este foarte mic, n comparaie cu masa barei, ecuaia

pulsaiilor proprii devine: =

Lcptg r , adic

( )L

crpr12 = .

Dac masa ataat m este mult mai mare dect masa barei: r

r

mpcAL

cptg =

,

devine un raport foarte mic, pentru cea mai mic pulsaie 1p , se poate scrie:

LcpL

cptg

=

11

i nlocuind n ecuaia pulsaiilor proprii:

1

1

mpcAL

cp =

de unde mLAEp =1 , adic pulsaia unui sistem cu un grad de libertate, avnd masa m i

constanta elastic L

AEk = . 5.4.4. O bar de lungime L este liber la un capt, iar cellalt capt se mic dup legea

tr sin (fig. 5.8.). S se determine vibraia forat a barei.

23

Fig. 5.8.

Rezolvare: Vibraia forat a acestei bare se datorete condiiilor de frontier, care sunt: ( ) trtxu x sin, 0 == i ( ) 0, =

=Lxx

txu

Deoarece intereseaz vibraia forat, aceasta va fi de forma: ( ) ( ) txUtxu pp sin, = . nlocuind-o n ecuaia diferenial a vibraiilor longitudinale (5.9), se obine:

( ) ( )xUtctxU pp = sinsin 22 sau 02

=

+ pp UcU

Soluia acestei ecuaii este de forma:

( ) xc

Cxc

CxU p

+

= sincos 21 iar vibraia forat este:

( ) txc

Cxc

Ctxu p sinsincos, 21

+

= Din condiiile iniiale se obine: ( ) trtCtu sinsin,0 1 == , adic rC =1 i 0sincossin 2 =

+

=

=

tLc

CLc

rcx

uLx

adic cLtgrC =2 , de unde vibraia forat va fi:

( ) txc

Lc

tgxc

rtxu sinsincos,

+

=

24

Se constat c valorile pentru care pulsaia micrii captului barei este egal cu pulsaiile proprii ale barei

( )

Lcrpr 2

12 == , fac amplitudinea vibraiei ( )txup , infinit de mare. 5.4.5. Un disc de moment de inerie J este rigid legat de captul liber al unui arbore de lungime L (fig. 5.9.). S se determine ecuaia pulsaiilor proprii pentru vibraiile de torsiune ale arborelui.

Fig. 5.9.

Rezolvare: Ecuaia diferenial a vibraiilor de rsucire este:

22

22

2

xc

t =

,

unde este unghiul de rotaie al arborelui, iar Gc =2 .

Soluia general a acestei ecuaii este:

( ) ( )

++== a

xpDaxpCtpBtpAtx rrrr

rrrrr sincossincos,

1

Condiiile de frontier sunt:

( ) 0,0 =t i LxLx t

Jx

GI==

= 2

2

0

din prima condiie rezult 0=rC , iar din a doua condiie:

cLpJp

cLpp

cGI r

rr

r sincos20 =

sau

25

r

r cJpGI

cLtgp 0=

care reprezint ecuaia pulsaiilor proprii. 5.4.6. S se determine pulsaiile proprii i funciile proprii (forma modurilor proprii) pentru vibraiile transversale ale unei grinzi simplu rezemat (articulat) la ambele capete (fig. 5.10.).

Fig. 5.10.

Rezolvare: Folosind soluia dat de (5.105) i condiiile la limit, care n acest caz sunt: ( ) 00 ==xxV , ( ) 00 = =xxV i pentru cellalt capt: ( ) 0==LxxV , ( ) 0= =LxxV , se obine pentru captul 0=x : 0=+ FD i ( ) 02 = FD de unde 0== FD . Pentru cellalt capt, Lx = : 0sin =+ LELCsh ( ) 0sin2 = LELCsh Acesta este un sistem liniar i omogen. Pentru a exista soluii nebanale trebuie ca:

0sin

sin22

=

LLshLLsh

adic 0sin = LLsh . Deoarece 0=Lsh , numai dac 0=L , soluii nebanale vor fi dac 0sin =L . Aceast ecuaie caracteristic va da pulsaii proprii:

rLr = , de unde : AEI

Lrpr 2

= iar funciile proprii vor fi:

26

( )LxrExVrsin=

unde E este o constant nedeterminat. Funciile proprii sunt determinate pn la un factor amplitudine arbitrar. Forma primelor trei moduri proprii sunt artate n fig. 5.11.

Fig. 5.11.

5.4.7. S se determine pulsaiile proprii pentru vibraiile transversale ale unei grinzi ncastrat la un capt i liber la cellalt capt (fig. 5.12.).

Fig. 5.12.

Rezolvare: Folosind soluia (5.105): ( ) xFxExDchxCshxV cossin +++= i condiiile la limit: ( ) 00 ==xxV ; ( ) 00 = =xxV i ( ) 0= =LxxV ; ( ) 0= =LxxV se obine sistemul algebric:

27

=

0000

sincos

coscos

00

1010

3333

2222

FEDC

LLLshLch

LLLchLsh

Acest sistem are soluii nebanale dac 1cos = Lchx , ceea ce constituie ecuaia caracteristic, ale crei rdcini se obin prin metode numerice. Primele patru valori sunt: 8751,11 =L , 6941,42 =L 8548,73 =L , 996,104 =L iar din relaiile (5.106) i (5.107) rezult:

A

EIL

p 21516,3= ,

AEI

Lp 22

03,22=

A

EIL

p 237,61= ,

AEI

Lp 24

121=

5.5. Vibraiile membranei plane i ale unei plci plane subiri

5.5.1. Stabilirea ecuaiilor cu derivate pariale ale membranei plane O membran plan este un corp elastic bidimensional, de forma unei suprafee plane n stare nedeformat, delimitat de o curb plan nchis numit contur, care poate prelua numai eforturi de ntindere. Se consider o membran plan omogen cu densitatea de suprafa de , aflat iniial n planul Oxy. Sub aciunea unei fore perturbatoare q(x,y,t) distribuit pe suprafaa membranei, orientat dup axa Oz perpendicular pe planul Oxy, aceasta va avea vibraii forate dup axa Oz, caracterizate de deformaia w(x,y,t).

28

Fig. 5.13

Dac se separ un element de suprafa al membranei cu dimensiunile x i y n stare nedeformat, la momentul t al micrii, asupra lui acioneaz forele din figura 5.13. Forele axiale i se consider distribuite pe laturile elementului de suprafa, iar

reprezint acceleraia acestui element la momentul t al micrii. Condiiile de echilibru dinamic ale elementului considerat conduc la ecuaiile:

(5.118)

Deoarece unghiurile , , i sunt mici, se pot face aproximrile:

(5.119)

n aplicaii tehnice membrana este fixat pe un contur, astfel c din primele ecuaii (5.118) rezult:

(5.120) iar ultima ecuaie (5.118) devine:

(5.121)

Cu notaia din (5.121) se obine:

29

(5.122) Rezult c vibraiile libere ale membranei vor fi descrise de ecuaia diferenial cu derivate pariale

(5.123)

Ecuaiile (5.122) sau (5.123) se folosesc pentru studiul vibraiilor forate, respectiv libere, ale membranei dreptunghiulare. Condiiile iniiale i de limit pentru integrarea acestor ecuaii vor fi

(5.124)

(5.125) unde a i b sunt dimensiunile membranei n stare iniial. n cazul unei membrane circulare este necesar s se exprime ecuaiile difereniale ale micrii n coordonate polare, fa de un sistem de coordonate cu originea n centrul membranei. Relaiile de transformare ale coordonatelor vor fi

(5.126)

din care rezult

(5.127)

Pe baza relaiilor (5.127) se pot scrie

30

(5.128)

de unde ecuaia de micare (5.123) pentru vibraiile libere ale membranei devine

(5.129)

n acest caz condiiile iniiale i condiia la limit sunt:

(5.130)

unde R este raza membranei circulare n stare iniial. 5.2.2. Stabilirea ecuaiei cu derivate pariale a plcii dreptunghiulare subiri

Fig. 5.14

Se consider o plac omogen dreptunghiular cu densitatea i dimensiunile a

respectiv b mult mai mari dect grosimea sa h. Se caut s se stabileasc ecuaia diferenial cu derivate pariale a vibraiilor de ncovoiere (transversale) ale plcii, dac se pot neglija toate forele i momentele disipative. Deoarece deformaiile transversale ale plcii sunt foarte mici, pentru aceasta se poate separa un element de suprafa al plcii cu dimensiunile infinitesimale dx i dy, care n stare deformat a plcii rmne paralel cu planul Oxy. Asupra feelor laterale ale acestui element de suprafa acioneaz eforturile distribuite pe laturile elementului ca n figura 5.14, unde Tzx i Tzy sunt fore tietoare. Mx i My sunt momente ncovoietoare, iar Mxy este moment de rsucire. Din condiiile sale de echilibru dinamic rezult:

31

(5.131)

Pe baza relaiilor cunoscute din rezistena materialelor:

(5.132)

unde D este rigiditatea la ncovoiere a plcii, iar este coeficientul lui Poisson, se obine:

(5.133)

nlocuind (5.133) n prima ecuaie (5.131), rezult:

(5.134)

unde s-a notat . Vibraiile libere ale plcii se vor studia, astfel, cu ecuaia:

(5.135)

Pentru integrarea ecuaiilor (5.134) sau (5.135) se folosesc condiiile iniiale (5.124), iar condiiile limit se exprim n funcie de modul de fixare al plcii pe contur. Astfel, pe o latur ncastrat sgeata w i panta sau sunt nule. Dac placa este ncastrat pe contur, condiiile limit devin:

(5.136)

Pe o latur rezemat bilateral sgeata i momentul ncovoietor sunt nule, deci pentru o plac dreptunghiular rezemat pe contur sunt valabile urmtoarele condiii limit:

32

(5.137) 5.5.3. Vibraiile libere ale membranei dreptunghiulare

Folosind metoda separrii variabilelor, soluia ecuaiei (5.123) se exprim sub forma:

(5.138)

Cu notaiile obinuite ale derivatelor, se poate scrie

(5.139)

Din (5.139) se obin trei ecuaii difereniale obinuite

(5.140)

care au soluiile generale

(5.141)

Valorile proprii d, s i se determin din condiiile la limit (5.125), care conduc la ecuaiile

(5.142)

Din (5.142) rezult

(5.143)

Pulsaiile proprii ale membranei devin

(5.144)

33

Dac se consider , soluia general a ecuaiei (5.123) se poate exprima sub forma

(5.145)

n care , i produsul lor se numesc funcii proprii. Constantele de integrare i din (5.145) se determin din condiiile iniiale (5.124), care conduc la

(5.146)

Pe baza dezvoltrii n serie dubl Fourier a funciilor i din (5.146) rezult

(5.147)

5.5.4. Vibraiile libere ale plcii dreptunghiulare subiri

Din condiia c soluia (5.138) se obine

(5.148)

34

Pentru cea de a doua ecuaie (5.148) se caut soluii de forma

(5.149)

care conduc la ecuaia caracteristic

(5.150)

Se observ c soluiile generale ale ecuaiilor (5.148) se pot exprima sub forma

(5.151)

n care, pe baza ecuaiei (5.150), trebuie s fie verificat relaia

(5.152)

Valorile proprii d i s se determin din condiiile limit, iar rezult din (5.152). Pentru placa rezemat bilateral pe contur, din (5.137) rezult

(5.153)

Condiiile (5.153) conduc la ecuaiile:

(5.154)

(5.155)

35

(5.156)

unde s-a inut seama c din (5.154) rezult . Pentru c sistemele liniare i omogene (5.155) i (5.156) s admit soluii diferite de soluia banal, este necesar ca determinanii acestora s fie nuli, deci se obin ecuaiile caracteristice:

(5.157)

care sunt aceleai ca i la membrana dreptunghiular. Rezult c valorile proprii, funciile proprii, soluia general i constantele de integrare i vor fi aceleai, dar aici pulsaiile proprii sunt:

(5.158)

n cazul n care placa este ncastrat pe contur, condiiile limit (5.136) se exprim prin:

(1.159)

care conduc la ecuaiile:

(1.160)

(1.161)

36

(1.162)

n care s-a inut seama de (5.160). Pentru ca sistemele liniare i omogene (5.161) i (5.162) s admit soluii diferite de soluia banal, este necesar ca determinanii acestora s fie nuli. Din aceast condiie se obin ecuaiile caracteristice:

(5.163)

Fig. 5.15

ale cror soluii se determin grafic, din intersecia graficelor funciilor i , dac se noteaz sau cu (Fig. 5.15). Astfel, se obine i

, iar pentru se poate lua . n acest mod se determin urmtoarele valori proprii:

(5.164)

iar valorile proprii i pulsaiile proprii rezult:

(5.165)

Deoarece ca funcii proprii se pot lua funciile

37

(5.166)

soluia general a ecuaiei (5.135) n acest caz devine:

(5.167)

n care constantele de integrare, pe baza condiiilor iniiale (5.124), se determin cu integralele:

(5.168)

5.5.5. Vibraii forate cu for perturbatoare armonic ale unei plci dreptunghiulare subiri

Se consider fora perturbatoare armonic distribuit pe suprafa

(5.169)

care acioneaz asupra unei plci dreptunghiulare subiri. Amplitudinea a acestei fore perturbatoare este o funcie dat, definit pe suprafaa dreptunghiular a plcii. Vibraiile forate corespunztoare ale plcii sunt date de o soluie particular a ecuaiei (5.134) care, de asemenea, se poate exprima sub forma:

38

(5.170)

Din condiia ca aceast soluie s verifice ecuaia (5.134), rezult:

(5.171)

Deoarece soluia a ecuaiei (5.171) trebuie s verifice condiiile de margine ale plcii, aceasta se descompune dup funciile proprii:

(5.172)

n care, pe baza celei de a doua ecuaii (5.148), trebuie s fie ndeplinite condiiile:

(5.173)

pentru orice valori naturale ale lui i i j. nlocuind (5.172) n (5.171) i innd seama de (5.173), se obine:

(5.174)

de unde coeficienii rezult:

(5.175)

Se observ c pentru amplitudinea corespunztoare din (5.175) poate s tind spre infinit, dac integrala din membrul drept este diferit de zero, deci i n acest caz poate s apar fenomenul de rezonan.

5.5.6. Vibraiile libere ale membranei circulare

39

n cazul vibraiilor libere ale membranei circulare este avantajos s se considere ecuaia (5.129), cu condiiile iniiale i limit (5.130). Folosind metoda separrii variabilelor, se consider soluia ecuaiei (5.129) de forma

(5.176)

pentru care se obine:

(5.177)

A doua ecuaie (5.177) se poate exprima sub forma:

(5.178)

deci din prima ecuaie (5.177) i din (5.178) rezult:

(5.179)

Soluia celei de a doua ecuaii (5.179) este funcia Bessel de spea nti i de ordin . Aceast soluie nu poate s depind i de funcia Bessel de spea a doua, deoarece pentru r=0 trebuie s fie mrginit. Din condiia limit (5.130) se obine ecuaia caracteristic:

(5.180)

care are un ir infinit de soluii discrete pentru fiecare valoare a lui s. Deoarece din condiiile limit pentru funcia , care sunt:

(5.181)

40

se obine ecuaia caracteristic , deci valorile proprii adimensionale sunt , din ecuaia caracteristic (5.180) rezult un ir dublu de valori proprii i

respectiv un ir dublu de pulsaii proprii . Ca urmare, soluia general a ecuaiei (5.129) se exprim sub forma:

(5.182)

Pentru determinarea constantelor de integrare i pe baza condiiilor iniiale (5.130), se folosete proprietatea de ortogonalitate a funciilor Bessel de spea nti, care este

(5.183)

n acest mod se obine:

(5.184) 6. METODE NUMERICE I APROXIMATIVE

Din problemele de vibraii prezentate n capitolele precedente se poate constata c, de cele mai multe ori, gsirea soluiilor exacte ale ecuaiilor difereniale este foarte dificil, dac nu chiar imposibil, iar volumul de calcul pentru determinarea pulsaiilor proprii i a vectorilor proprii este mare. Din aceste motive s-au fundamentat numeroase metode aproximative. n concordan cu forma n care aceste soluii sunt reprezentate, metodele aproximative se mpart n dou grupe:

1. Metode numerice, n care soluiile aproximative sunt date sub forma unor tabele. 2. Metode analitice, care dau soluiile aproximative ale ecuaiilor difereniale sub

41

forma unor expresii analitice. Din acest motiv, aceste metode sunt cunoscute frecvent sub numele de metode aproximative.

6.1. Evaluarea numeric a rspunsului sistemului cu un grad de libertate

6.1.1. Soluia numeric bazat pe interpolarea forei perturbatoare n multe probleme practice de vibraii mecanice fora perturbatoare ( )tF nu este cunoscut sub forma unei expresii analitice, ci este dat sub forma unui set de valori discrete ( )ii tFF = , Ni ,1= . n mod frecvent intervalul de timp iii ttt = +1 este luat constant. Pentru calculul numeric al integralelor ce apar n formulele lui Duhamel (1.123) i (1.133) se poate folosi metoda Simpson sau metoda trapezelor, dar o metod mult mai direct i mai eficient se obine prin interpolarea forei perturbatoare ( )tF . Aceast metod se bazeaz pe o soluie exact, folosind rezultatele din problema 1.3.28. n fig. 6.1. se arat interpolarea constant i interpolarea liniar a forei ( )tF . n cazul interpolrii constante, valoarea forei n intervalul it se consider iF~ i se calculeaz ca fiind media valorilor de la capetele intervalului it ; ( )15,0~ ++= iii FFF .

Fig. 6.1.

n cazul interpolrii liniare a forei perturbatoare, fora n intervalul considerat va fi:

( )

+=

i

ii t

FFF (6.1)

unde iii FFF = +1 Se va considera n continuare rspunsul unui sistem neamortizat. Pentru o interpolare constant, rspunsul poate fi obinut pe baza soluiei (1.123) i rspunsului dat de condiii iniiale nenule (1.65).

42

( ) ( ) ninni

ni kFxxx cos1~

sincos

+

++= (6.2)

( )

ni

nn

ini

n kFxxx sincossin

+

+= (6.3)

Calculnd aceste expresii la timpul 1+it , adic pentru it= , se obine: ( ) ( ) ( )[ ]iniin

n

iinii tk

Ft

xtxx

+

+=+ cos1

~sincos1

(6.4)

( ) ( ) ( )iniinn

iini

n

i tkFtxtxx

+

+=+ sin

~cossin1

(6.5)

Ecuaiile (6.4) i (6.5) sunt formule de recuren pentru calculul strii dinamice ( )11, ++ ii xx la momentul 1+it , fiind dat starea ( )ii xx , la momentul it . Pentru cazul n care interpolarea forei perturbatoare se face liniar, aproximaia este mai bun. Folosind ecuaia (6.1) pentru un sistem vibrant neamortizat cu un singur grad de libertate se obin formulele de recuren:

( ) ( ) ( )[ ]( )[ ]inin

in

i

ini

inn

iinii

ttt

F

tkFtxtxx

+

+

+

+=+

sin

cos1sincos1

(6.6)

( ) ( ) ( ) ( )[ ]inin

iin

iin

n

iini

n

i ttk

FtkFtxtxx

+

+

+=+ cos1sincossin

1 (6.7) Formulele de recuren (6.4) i (6.5), respectiv (6.6.) i (6.7), pot fi convenabil scrise sub forma: iiiii xDxCFBFAx +++= ++ 11 (6.8) iiiii xDxCFBFAx +++= ++ 11 (6.9) Dac intervalul it este constant, coeficienii de la A pn la D' trebuie calculai o singur dat, ceea ce mrete viteza de calcul a rspunsului. Deoarece, formulele de recuren se bazeaz pe soluii pariale exacte, ntr-un interval de timp it , este necesar ca mrimea pasului it s fie ales astfel nct s se fac apropiere strns a rspunsului aproximativ de soluia total exact. Pentru aceasta este recomandabil s se ia un pas

10n

iTt , nT fiind perioada natural a sistemului.

43

6.1.2. Integrarea numeric pas cu pas Metoda aplicat n paragraful precedent permite determinarea rspunsului unui sistem vibrant liniar la un timp discret it . O alt metod, care poate fi folosit, att pentru sisteme liniare, ct i pentru sisteme neliniare, se bazeaz pe aproximarea derivatelor ce apar n ecuaia diferenial a micrii i pe generarea soluiei pas cu pas, folosind paii it . Exist foarte multe variante ale acestei metode, una dintre cele mai frecvent folosite fiind metoda de mediere a acceleraiei (Newmark 41= ) . n continuare se va considera sistemul mecanic a crui ecuaie de micare este: ( )tFkxxcxm =++ (6.10) cu condiiile iniiale: ( ) 00 xx = i ( ) 00 vx = date. Acceleraia n intervalul de timp it i 1+it este luat ca medie a valorilor de la capetele intervalului de timp (fig. 6.2.) ( ) ( )15,0 ++= ii xxx (6.11)

Fig. 6.2.

Integrnd ecuaia (6.11) de dou ori se obine:

( )11 2 ++ +

+= iiiii xxtxx (6.12)

( )12

1 4 +++

++= iiiiiii xxttxxx (6.13)

Pentru determinarea unui algoritm, pentru integrarea numeric, este convenabil a se folosi variaiile iF , ix , ix i ix , unde iii FFF = +1 , i aa mai departe. Atunci din (6.12) i (6.13) se obin:

( ) iiiii

i xtxxtx 242

= (6.14)

iii

i xxtx 22

= (6.15)

Din ecuaia de micare (6.10) care se scrie pentru it i 1+it , se obine:

44

iiii Fxkxcxm =++ (6.16) Ecuaiile (6.14) i (6.16) prin substituie conduc la: iii Fxk = (6.17) unde

+

+= 2

42

iii t

mtckk (6.18)

i

iii

ii xmxctmFF 224 +

++=

(6.19)

Se determin ix din (6.17), apoi se obine ix i ix din (6.14) i (6.15), respectiv iii xxx +=+1 iii xxx +=+1 iii xxx +=+1 (6.20) Acceleraia poate fi determinat, de asemenea, din ecuaia de micare:

m

kxxcFx iiii= (6.21)

Aceast ecuaie este folosit pentru obinerea acceleraie 0x . n concluzie, algoritmul pentru integrarea numeric prezentat are urmtorii pai:

1. Se introduc k, c, m, 0x , ( )itF , Ni ,,1,0 = ; 2. Se determin 0x din (6.21); 3. Se introduce it ; 4. Se determin ik din (6.18); 5. Se determin iF din (6.19); 6. Se determin ix din (6.17); 7. Se determin ix i ix din (6.14) i (6.15); 8. Se determin 1+ix , 1+ix , 1+ix din (6.20).

Dac it este constant, ciclul se reia de la pasul 5, altfel de la pasul 3. 6.2. Evaluarea numeric a rspunsului sistemelor liniare cu mai multe

grade de libertate

45

6.2.1. Metoda diferenelor finite Pentru integrarea numeric a ecuaiei difereniale: [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }Qqkqcqm =++ (6.22) cu condiiile iniiale { }0q i { }0q date, sunt cunoscute mai multe metode. Metoda diferenelor finite este folosit pentru a aproxima derivatele de diferite ordine i are la baz dezvoltrile n serie Taylor ale unei funcii ( )xf n jurul unui punct oarecare x astfel:

( ) ( ) ( ) "+++=+2

2

2

2 xdx

fdxdxdfxfxxf

xx (6.23)

( ) ( ) ( ) "++=2

2

2

2 xdx

fdxdxdfxfxxf

xx (6.24)

Lund numai primii doi termeni ai dezvoltrilor, se obine:

( ) ( )

xxxfxxf

dxdf

x +=

2 (6.25)

Dac se iau i termenii ce conin derivatele de ordinul doi din (6.23) i (6.24) se obine:

( ) ( ) ( )

( )222 2

xxxfxfxxf

dxfd

x ++= (6.26)

n mod similar, pentru a obine relaii pentru derivate de ordin superior, se dezvolt ( )xxf + 2 i ( )xxf 2 . Folosind formulele (6.25) i (6.26), vectorii vitez i acceleraie la orice moment

it , pstrnd un pas constant t , por fi exprimai astfel: ( ){ } ( ){ } ( ){ }[ ]ttqttq

ttq iii += 2

1 (6.27)

( ){ } ( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ }[ ]ttqtqttqttq iiii ++= 21

2 (6.28)

nlocuind (6.27) i (6.28) n (6.22) se obine:

( ) [ ] [ ] ( ){ } ( ){ } [ ] ( ) [ ] ( ){ }

( ) [ ] [ ] ( ){ }ttqctmt

tqmt

ktQttqct

mt

i

iii

=+

+

211

2211

2

22

(6.29)

46

Din ecuaia (6.29) se poate calcula ( ){ }ttq i + , dar pentru iniializarea ciclului este nevoie a se cunoate ( ){ }tq pentru a se putea determina ( ){ }tq . Presupunnd date condiiile iniiale ( ){ }0q i ( ){ }0q din (6.22) pentru t=0 se determin ( ){ }0q . Pentru a obine ( ){ }tq se scad ecuaiile (6.28) i (6.27): ( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ) ( ){ }0

200

2

qtqtqtq

+= (6.30)

Un dezavantaj al acestei metode este c pasul de timp t trebuie s fie mai mic dect pasul critic ( )crt pentru ca operatorul s fie stabil. 6.2.2. Metoda Newmark Ecuaiile de baz ale acestei metode sunt: ( ){ } ( ){ } ( ) ( ){ } ( ){ }ttqttqttqttq iii +++=+ 11 (6.31) ( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }ttqttqttqttqttq iiii ++

++=+ 221 2

1 (6.32) unde i sunt parametrii ce pot fi determinai impunndu-se o acuratee i o stabilitate dorit. Pentru se ia de obicei valoarea 21 , iar pentru se iau valori ce depind de modul n care se presupune c variaz acceleraia n intervalul it i tti + (fig. 6.3.).

Fig. 6.3.

n plus, la ecuaiile (6.31) i (6.32) se consider ecuaia (6.22) satisfcut la timpul tti + [ ] ( ){ } [ ] ( ){ } [ ] ( ){ } ( ){ }ttQttqkttqcttqm iiii +=+++++ (6.33)

47

Pentru a obine soluia numeric, n primul rnd se rezolv (6.32), de unde se obine ( ){ }ttq i + , apoi se nlocuiete n (6.31), de unde se obine ( ){ }ttq i + i, n sfrit, se folosete (6.33) pentru a se obine ( ){ }ttq i + .

6.3. Metode analitice aproximative 6.3.1. Calculul energiei cinetice i poteniale pentru sisteme continue Relaiile (2.10) i (2.17) dau energia cinetic i potenial pentru sisteme discrete. Expresii similare se pot deduce i pentru sistemele continue, cu observaia c, diferite sisteme continue au expresii diferite pentru aceste energii. Pentru a scoate n eviden legtura dintre sistemele discrete i continue se vor deduce expresiile energiilor cinetic i potenial pentru o bar, care vibreaz longitudinal, privind-o ca un caz limit a unui sistem discret. Se consider sistemul de mase iM ( )ni ,,2,1 = (fig. 6.4.). Masele sunt legate prin arcurile ik . Energia cinetic este:

( ) 2

121

=

= dttdu

ME in

iic

(6.34)

unde ( )

dttdui este viteza masei iM .

Fig. 6.4.

n configuraia de echilibru masa iM ocup poziia ix . Notnd iii xmM = , unde im poate fi considerat masa unitii de lungime, cnd n , trecnd la limit 0 ix i energia cinetic se poate scrie:

( ) ( ) ( ) dx

ttxuxmx

dttdumE

L

ii

n

iixc i

2

0

2

10

,21

21lim

=

=

= (6.35)

unde variabila x este n locul poziiei indexate ix , iar L reprezint lungimea barei. n cazul barei omogene ( ) ( )xAxm = . Pentru calculul energiei poteniale se presupune sistemul liniar. Notnd cu ( )tFi fora din arcul ik i cu 1 ii uu deformaia acestuia, expresia energiei poteniale este:

48

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]211

11 2

121 tutuktututFE ii

n

iiii

n

iip

=

=== (6.36)

Introducnd notaiile i

ii x

EAk = i ( ) ( ) ( )tututu iii = 1 , expresia (6.36), trecnd la limit se poate scrie:

( ) ( ) ( ) dx

xtxuxEAx

xtuEAE

L

ii

in

iixp i

2

0

2

10

,21

21lim

=

=

= (6.37)

ntr-un mod analog, se exprim aceste energii pentru o bar aflat n vibraii de rsucire:

( ) ( ) dxt

txxJEL

c

2

0

,21

= (6.38) ( ) ( ) dxx

txxGIEL

p

2

0

,21

= (6.39) precum i pentru o bar aflat n vibraii de ncovoiere:

( ) ( ) dxt

txvxAEL

c

2

0

,21

= (6.40)

( ) ( ) dxxtxvxEIE

L

p

2

2

2

0

,21

=

(6.41) 6.3.2. Aplicarea ecuaiilor lui Lagrange pentru sistemele continue n metoda modurilor presupuse Pentru a genera un model cu N grade de libertate pentru un sistem continuu soluia aproximativ ( )txu , ( ( )tx, sau ( )txv , ) se ia de forma: ( ) ( ) ( )tqxtxu rN

rr =

=1, (6.42)

unde ( )xr sunt funcii acceptabile (funciile generatoare sau de comparaie pot fi privite ntotdeauna ca funcii acceptabile). Funciilor acceptabile li se impun numai verificarea condiiilor de frontier geometrice, constituind astfel o clas mai larg dect cea a funciilor generatoare. Funciile de timp ( )tqr corespund coordonatelor generalizate. Se ca considera cazul vibraiilor longitudinale, caz n care, nlocuind (6.42) n expresiile energiilor cinetic i potenial, se obine:

49

( ) ( ) ( ) = == =

==N

rsr

N

srssr

N

rs

N

sr

L

c qqmdxqqxxxAE1 11 10 2

121 (6.43)

( ) ( ) ( ) = == =

==N

rsr

N

srssr

N

rs

N

sr

L

p qqkdxqqxxxEAE1 11 10 2

121 (6.44)

unde

( ) dxxAm srL

rs =0

; ( ) dxxEAk srL

rs = 0

(6.45)

Cu alte cuvinte, pE i cE sunt funcii ptratice de coordonatele generalizate, respectiv vitezele generalizate. Coeficienii formelor ptratice sunt elementele matricelor [ ]k i [ ]m din forma matriceal: { } [ ]{ }qmqE Tc 2

1= ; { } [ ]{ }qkqE Tp 21= (6.46)

Dac bara este supus unor fore externe distribuite pe unitatea de lungime ( )txf , , atunci lucrul mecanic virtual este: ( ) ( ) rN

rr

L

qQtxudxtxfL =

==10

,, (6.47)

Din (6.42) deplasarea virtual ( )txu , se scrie: ( ) ( ) rN

rr qxtxu

==

1, (6.48)

care nlocuit n relaia (6.47) d forele generalizate:

( ) ( ) ( )dxxtxftQ rL

r = 0

, (6.49)

Pentru determinarea ecuaiilor de micare se folosesc ecuaiile lui Lagrange (2.1), obinndu-se:

( )==

=+N

sjsjs

N

ssjs tQqkqm

11

, Nj ,1= (6.50) sau sub forma matriceal: [ ]{ } [ ]{ } ( ){ }tQqkqm =+ (6.51) n concluzie, alegnd un numr de N funcii acceptabile, calculnd coeficienii din (6.45) i forele generalizate, se ajunge la ecuaia de micare (6.51), a crei rezolvare a fost discutat la vibraiile sistemelor discrete. Dac se presupune i efectul forelor rezistente, ca fiind fore de amortizare vscoas, pe unitatea de lungime acioneaz o for ( ) ( ) ( )dxtxuxcdxtxr ,, = (6.52) c(x) fiind un coeficient de distribuie a amortizrii. Forele generalizate de amortizare vor fi:

50

( ) ( ) ( ) ( ) ( )dxxqxxcdxxtxrQ rL N

sssr

Lar

==

=0 10, (6.53)

sau

sN

jjs

ar qcQ

==

1, Nj ,1= (6.54)

unde coeficienii matricei de amortizare [c] sunt:

( ) dxxcc srL

rs =0

(6.55)

6.3.3. Metoda Rayleigh Pentru obinerea unei soluii aproximative, corespunztoare modului fundamental, se poate folosi metoda lui Rayleigh. Aceast metod se bazeaz pe teorema de conservare a energiei mecanice totale a sistemelor conservative, adic: max.max. pc EE = (6.56) Energia cinetic a unei bare ce vibreaz longitudinal din (6.35) este:

( ) dxtuxAE

L

c

2

021

= (6.57)

iar energia potenial este:

( ) dxxuxEAE

L

p

2

021

= (6.58)

Presupunnd o lege armonic de variaie a deplasrii ( )txu , , de forma: ( ) ( ) ptxUtxu cos, = (6.59) energia cinetic maxim, respectiv energia potenial maxim, sunt date de:

( ) dxUxApE Lc 20

2max. 2

1 = (6.60) ( ) dx

xUxEAE

L

p

2

0max. 2

1

= (6.61)

Din ecuaia (6.56) se obine:

( )URdxUA

dxdxdUEA

p L

L

=

=

2

0

2

02 (6.62)

Pentru a determina pulsaia fundamental din (6.62) se presupune o deformaie sau o funcie ( )xU , care satisface condiiile geometrice de frontier, adic o funcie

51

acceptabil. Expresia (6.62) se numete raportul lui Rayleigh i depinde de funcia aleas ( )xU . 6.3.4. Metoda Rayleigh Ritz Dac se dorete determinarea mai multor pulsaii naturale, se va nlocui funcia ( )xU printr-o combinaie liniar de N funcii acceptabile ( ) NNxU +++= 2211 (6.63) unde N ,,, 21 sunt constante , iar N ,,, 21 sunt funcii acceptabile. Dac se nlocuiete (6.63) n raportul lui Rayleigh, se obine acest raport ca o funcie de cele N constante. Se demonstreaz (6.4.2.) c raportul lui Rayleigh are o valoare staionar n vecintatea unui mod propriu. Deci, se poate scrie setul de condiii:

0321

===

==

N

RRRR (6.64)

Acestea vor reprezenta un sistem liniar algebric omogen n necunoscutele N ,,, 21 . Impunnd condiia de soluie nebanal sistemului (6.64) se obin pulsaiile proprii i constantele N ,,, 21 . Dac funcia ( )xU se dezvolt n serie de funcii modale ortogonale, astfel ca

1=rM , atunci: ( ) ( )xUxU rN

rr

==

1 (6.65)

iar raportul lui Rayleigh, innd cont i de relaiile de ortogonalitate (5.43) i (5.44), ct i de relaiile (5.46) i (5.48), devine:

( ) 222

21

2222

22

21

21

N

NNpppUR

++++++=

(6.66)

Dac 01 p , relaia (6.66) se poate scrie:

( ) 21

2

1

32

1

2

2

1

2

1

2

1

32

1

32

1

2

2

1

2

21

1

1

++

+

+

++

+

+

=

N

NN

pp

pp

pp

pUR

(6.67)

Deoarece Npppp "321 , fiecare termen al numrtorului este mai mare sau egal cu termenul corespunztor numitorului. Deci, ( ) 21pUR (6.68) Un procedeu similar se folosete pentru a arta c ( ) 2NpUR . 6.3.5. Metoda Galerkin

52

Pentru a da o soluie aproximativ ecuaiei (5.25) sau (5.101), folosind metoda Galerkin, se presupune c soluia se scrie sub forma unei combinaii liniare de funcii de punct ( )xi , care satisfac, fiecare n parte, toate condiiile la limit, att cele geometrice, ct i cele naturale: ( ) NNxU +++= 2211 (6.69) Deoarece ( )xU nu este o soluie exact, dup introducerea n ecuaia (5.25) se obine o cantitate, n membrul drept, diferit de zero, numit reziduu i notat cu ( )pUR , . Aceast notaie nu trebuie confundat cu raportul Rayleigh. Valorile constantelor N ,,, 21 se obin punnd condiiile ca integrala reziduului nmulit cu fiecare funcie, pe toat lungimea barei, s fie nul:

( ) 0,0

= dxpUR iL Ni ,,2,1 = (6.70) Ecuaiile (6.70) reprezint, de asemenea, un sistem omogen. Din condiia de soluie nebanal se obine ecuaia caracteristic. Cantitatea ( )pUR , poate fi privit i ca o msur a erorii de aproximare. Constantele N ,,, 21 se pot determina i pe baza metodei celor mai mici ptrate: ( )[ ] imdxpURL min,

0

2 = (6.71) Din condiia de minim, rezult tot un sistem algebric liniar i omogen.

6.4. Evaluarea numeric a pulsaiilor proprii i a vectorilor proprii

6.4.1. Metoda puterii folosind matricea de eliminare Metoda puterii este o metod iterativ, pentru determinarea vectorilor proprii i a valorilor proprii, bazat pe dezvoltarea (2.85). Implicaia acestei dezvoltri este c problema de valori proprii (2.63) sau (2.67) conduce la un set de vectori proprii { }r ,

nr ,1= liniar independeni. Ecuaia (2.67) poate fi pus i sub forma: [ ]{ } { }rrrD = nr ,,2,1 = (6.72) unde [ ] [ ] [ ]mkD 1= este matricea dinamic a sistemului, iar 21

rr p= .

n baza relaiei (2.85) un vector, cu care se ncepe iteraia, poate fi scris astfel:

( ){ } { } { } { } { }rnr

rnn =

=+++=1

22111 (6.73)

53

Prin nmulirea vectorului ( ){ }1 cu matricea [ ]D , innd cont i de ecuaia (6.72), se obine un alt vector ( ){ }2 , de forma: ( ){ } [ ] ( ){ } [ ]{ } { }rrn

rrr

n

rr DD

11

11

12 ==

=== (6.74) Spre deosebire de (6.73), unde fiecare vector propriu { }r este nmulit cu constantele

r , n vectorul ( ){ }2 are componentele nmulite cu 1

rr . Deoarece valorile proprii

sunt presupuse ordonate astfel ca n "321 raportul 1

r , arat nivelul de participare a vectorului propriu { }r n componena vectorului ( ){ }2 . Desigur procedeul poate fi continuat, astfel nct, dac ( ){ }2 se mparte cu 1 i se nmulete cu [ ]D , se obine:

( ){ } [ ] ( ){ } [ ] ( ){ } [ ]{ } { }rrnr

rrr

n

rr DDD

2

111

11

12

1

2

1

3 11

====

== (6.75)

i, n general, dup k pai:

( ){ } [ ] ( ){ } [ ] ( ){ } { }rk

rn

rr

kk

kk DD

1

111

112

1

1

1

11

=

=== (6.76)

Pentru un numr suficient de mare de pai:

( ){ } [ ] ( ){ } { }1111111

1lim1lim ==

k

kk

k

kD (6.77)

Deci, procedeul este convergent spre primul vector propriu i prima valoare proprie. Mai mult, cnd convergena este ndeplinit, vectorii ( ){ }k i ( ){ }1k satisfac ecuaia (6.72), deoarece ei, amndoi pot fi privii ca { }1 , iar pulsaia fundamental va fi

121 1 =p .

Numrul pailor iterativi depinde de doi factori. Primul factor de care depinde acest numr de pai este sistemul nsui i anume, dac valorile 1 i 2 sunt comparabile, separarea vectorilor { }1 i { }2 este mai nceat i numrul pailor mai mare. Al doilea factor depinde de experiena analistului, deoarece alegerea vectorului de iteraie ( ){ }1 ct mai apropiat de primul mod va reduce numrul pailor iterativi. Un lucru este sigur, indiferent de numrul pailor iterativi, procesul converge ctre primul mod, exceptnd cazul n care vectorul ales pentru iteraie coincide perfect cu un mod superior. Dac este aa, problema se pune cum se determin modurile superioare. O modalitate ar fi gsirea unui vector de iteraie care s nu-l conin pe { }1 . Acest procedeu este, n general, mai dificil. O alt metod este aa numita metoda matricei de eliminare.

54

Dac 1 i { }1 reprezint primul mod al matricei [ ]D , iar normalizarea este fcut astfel ca { } [ ]{ } 111 = mT , atunci matricea: ( )[ ] [ ] { } { } [ ]mDD T1112 = (6.78) va avea aceleai valori proprii ca i [ ]D , exceptnd 1 . nmulind cu ( ){ }1 relaia (6.78) se obine:

( )[ ] ( ){ } ( )[ ]{ } [ ]{ } { } { } [ ]{ }rTnr

rr

n

rrr

n

rr mDDD 1

111

1

2

1

12 ===

== (6.79) innd cont de condiiile de ortogonalitate i ecuaia (6.72), relaia (6.79) se reduce la:

( )[ ] ( ){ } ( )[ ]{ } { }rrnr

rr

n

rr DD

====

2

2

1

12 (6.80)

deci matricea ( )[ ]2D este liber de vectorul propriu { }1 . Deci, folosind pentru iteraie orice vector arbitrar, mpreun cu matricea ( )[ ]2D , procesul iterativ va converge ctre 2 i { }2 . Deoarece valoarea proprie dominant pentru ( )[ ]2D este 2 , procesul de eliminare poate continua folosind: ( )[ ] ( )[ ] { } { } [ ]mDD T22223 = (6.81) de unde se va obine 3 i { }3 . Procesul de eliminare poate fi scris pentru cazul general: ( )[ ] ( )[ ] { } { } [ ]mDD Tsssss 1111 = , ns ,,3,2 = (6.82) Pentru determinarea ultimului mod n , { }n se poate folosi pentru iteraie matricea [ ] [ ] [ ] 11 = Dkm . 6.4.2. Metoda raportului Rayleigh Dup cum s-a vzut la paragraful 6.3.3. raportul Rayleigh se deduce pe baza teoremei de conservare a energiei mecanice. Dac un sistem discret se afl n micare dup unul din modurile proprii, deplasrile punctelor din sistem se obin din (2.95) ( ){ } { } ( )rrrr tpCtq += cos (6.83) Energia cinetic i potenial a sistemului va fi:

55

{ } [ ]{ } { } [ ]{ } ( )rrrTrrrTc tpmpCqmqE +== 222 cos21

21

(6.84)

{ } [ ]{ } { } [ ]{ } ( )rrsTrrTp tpkCqkqE +== 22 sin21

21

(6.85)

n cazul micrii dup un mod propriu de vibraie r se poate scrie teorema de conservare a energiei mecanice (6.56) sub forma:

{ } [ ]{ } { } [ ]{ }rTrrrTrrr kCmpC 222 21

21 = (6.86)

de unde se obine mrimea scalar:

{ } [ ]{ }{ } [ ]{ }rTr

rT

rr m

kp =2 (6.87)

Dac se consider un vector arbitrar { } , atunci raportul Rayleigh (6.87) devine: ( ) { } [ ]{ }{ } [ ]{ }

mkRp T

T

==2 (6.88) Acest raport, pentru un sistem dat, depinde numai de vectorul arbitrar { } i se bucur de cteva proprieti. Prima, ar fi cea care rezult imediat, dac vectorul arbitrar { } coincide cu un vector propriu, atunci valoarea scalar a raportului este ptratul pulsaiei proprii asociate. A doua, raportul are o valoare staionar n vecintatea unui vector propriu. ntr-adevr, dac vectorii proprii sunt normalizai dup regula: { } [ ]{ } 1=rTr m , nr ,,2,1 = (6.89) atunci se pot scrie i relaiile: [ ] [ ][ ] [ ]ImT = ; [ ] [ ][ ] [ ]\\ =kT (6.90) unde [ ] este matricea modal, [ ]I este matricea unitate, iar [ ]\\ este o matrice diagonal, avnd pe diagonal valorile proprii. Un vector arbitrar { } se poate scrie i n forma: { } { } [ ]{ } ==

=r

n

rr

1 (6.91)

unde{ } este un vector, avnd componentele date de coeficienii r . nlocuind n raportul Rayleigh relaia (6.91) i, innd cont i de (6.90) se obine:

( ) { } [ ] [ ][ ]{ }{ } [ ] [ ][ ]{ }{ } [ ]{ }{ } [ ]{ }

=

==== ni

i

i

n

ii

T

T

TT

TT

ImkR

1

2

1

2

\\

(6.92)

56

Dac se presupune c vectorul arbitrar { } difer foarte puin de un vector propriu { }r , aceasta implic faptul c toi coeficienii i pentru ri , sunt foarte mici comparativ cu r , adic: rii = , nr ,,2,1 = , ri (6.93) unde i este un numr foarte mic 1

57

Fig. 6.5

Presupunnd c sistemul execut vibraii armonice cu pulsaia p, atunci

ii p 2= , iar (6.96) devine: ii

Si

Di JpMM 2= (6.97)

Volantul fiind rigid, deplasrile unghiulare la stnga i la dreapta sunt egale: Si

Di =

(6.98) Sub forma matriceal, ecuaiile (6.97) i (6.98) se scriu:

S

i

D

i MJpM

=

1

012 (6.99)

Deoarece arborii nu au mas, se poate scrie: Di

Si MM =+1 (6.100)

iar deplasarea relativ a capetelor are expresia:

i

DiD

iSi k

M=+ 1 (6.101)

unde i

ii l

GIk = , iI fiind moment de inerie geometric polar. Sub form matriceal relaiile (6.100) i (6.101) se scriu:

58

D

i

S

i Mk

M

=

+

10

11

1

(6.102)

Produsul [ ]iT al matricelor [ ]

i

iV kT

=

10

11, [ ]

i

iA JpT

= 1

012 (6.103)

care stabilesc legtura dintre doi vectori de stare adiaceni, se numete matrice de transfer. nlocuind (6.99) n (6.102) se obine:

[ ]S

ii

S

i MT

M

=

+

1

(6.104)

unde [ ] [ ] [ ]iAiVi TTT = (6.105) ncepnd cu primul volant (i=1), rezult uor c:

[ ] [ ] [ ] [ ]1

1211

=

+ M

TTTTM ii

S

i

(6.106) Mai mult, din fig. 6.5.a., se poate deduce c:

[ ]12221

1211

11

=

=

+ MTT

TT

MT

M

SD

n

(6.107) unde [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1211 TTTTTT nnnV += (6.108) care este cunoscut ca matrice de transfer global i d legtura dintre vectorul de stare din partea stng a primului volant i vectorul de stare din partea dreapt a ultimului volant. Ecuaia pulsaiilor proprii se deduce din (6.107) pentru diferite tipuri de condiii la limit. Urmtoarele cazuri sunt frecvent ntlnite:

1. Arbore cu capetele libere. n absena cuplurilor la capete, condiiile la limit sunt: 011 == +DnS MM (6.109)

care, nlocuite n (6.107), deoarece 01 S , trebuie s verifice: 021 =T (6.110) ceea ce reprezint ecuaia pulsaiilor proprii, o ecuaie algebric de gradul n+1 n 2p . Se poate da factor comun 2p astfel ca s se obin rdcina 02 =p . Acest lucru era de ateptat, deoarece arborele, avnd capetele libere, are un mod de vibraie de corp rigid.

59

2. Arbore cu un capt ncastrat, cellalt liber. Presupunnd captul din stnga

ncastrat, deplasarea acestuia este nul, iar n captul liber momentul de rsucire este nul. Deci condiiile de forntier sunt: 01 =S ; 01 =+DnM