Functia exponentiala si functia logaritmica Ca si in anii ’80, aceste functii se studiaza in clasa a X-a. Accentul cade pe rezolvarea de ecuatii si inecuatii in care apar astfel de functii; aceasta presupune insa o buna cunoastere a proprietatilor acestora. Este un capitol la care trebuie lucrat un numar mare de exercitii. Materialul de fata prezinta cateva tipuri de exercitii (fara pretentii de exhaustivitate).

1. Fie functia f definita prin . : → 0

=

( ) ( ) 3 8, 0,x x xf x ab a b a b= − − + > >

a) Sa se rezolve ecuatia ; ( ) 5f x =b) Pentru a , sa se studieze bijectivitatea functiei . 1 si 1b≠ f

(Olimpiada cl. a X-a, et. locala, Prahova, 1986)

Solutie. a) Ecuatia se scrie a b ( ) ( )3 3 0 3 3x x x x x x xa b a b b− − + = ⇔ − − − = 0

0( )( )1 3x xa b⇔ − − = Ecuatia are solutia unica daca ; pentru a , este verificata de orice real. Ecuatia are solutia unica pentru ; daca b , ecuatia nu are solutii. Concluzionand, alcatuim tabelul de mai jos:

1xa =x

0x =3

1a ≠ 1=g 3b

xb = lox = 1b ≠1=

1b = 1b ≠ 1a = x∈ 1a ≠ { }0x∈ { }0, log 3bx∈

b) Expresia functiei in acest caz este . Functia este

injectiva (functia fiind injectiva, deoarece ), dar nu este surjectiva. intrucat pentru

f

⇒

( ) 7 2 xf x a= −

1a ≠xx a→x< ∀ ∈( ) 7,f x 7,y x≥ ∃ ∈ astfel incat . Deci,

nu este bijectiva. ( )f x y=

fObservatie. Functia , obtinuta prin

restrangerea codomeniului functiei , este insa bijectiva. ( ) ( ): , 7 , 7 xf f x→ −∞ = −f

2a

}

2. Se dau numerele si logaA b= ( ) {log , , 1, , iar \ 0,1naB nb a b a b n= ∈ ∞ < ∈Care dintre cele doua numere este mai mare ? Solutie. Se schimba baza logaritmului de la la si se tine cont si de celelalte proprietati ale logaritmilor:

B na a

log log logloglog log 1

a ana

a a

nb n bB nbna n

+= = =

+a

Evaluam semnul diferentei : A B−

( )log log 1log logloglog 1 log 1

a aa aa

a a

n bn bA B bn n

⋅ −+− = − =

+ +

Dar lo n > si din deducem ; prin urmare, toti factorii care apar in descompunerea diferentei sunt pozitivi. Rezulta .

g 0a a b< log log 1a ab a>B−

=A 0A B A B− > ⇔ >

3. Demonstrati ca 6135

>lg

(21689*, G.M. 2/1989)

Solutie. Scriem 13 ; ridicam la puterea a treia: 3 2197 2000 2 10= > = ⋅ 3

9 9 10 9 1113 8 10 13 13 104 10 10> ⋅ ⋅ ⇒ > ⋅ >

10lg13 11 lg13 1,1> ⇒ >

; se logaritmeaza si obtinem

. Dar 6 6,1 1,21 1,2 lg13 1,15 5

= > = ⇒ > >1 , q.e.d.

4. Se dau a si . Sa se exprime in functie

de . 1510 log 35=

a b45log 147b = 49log 75N =

si Solutie. Folosind descompunerea in factori primi, avem: ( )15 1510 log 5 log 7a = +

( )245 45 45log 3 7 log 3 2log 7b = ⋅ = +

Este momentul sa alegem alti parametri de univocitate, adica alte doua variabile intermediare in functie de care vom exprima celelalte valori implicate. Fie . O sa va intrebati desigur cum am ales aceste valori. Tinand cont ca , logaritmii in baza 45 se pot transforma destul de usor in baza 15; in plus, este clar mai simplu sa lucram cu logaritmi in baza mai mica 15.

15 15log 3 si log 7u v= =45 3 15= ⋅

Pentru a exprima , observam ca l . 15log 5 15 15 15 15og 15 log 3 log 5 log 5 1 u= + ⇒ = − Trecem la schimbari de baza. Avem deci:

1545

15

log 3log 3log 45 1

uu

= =+

1545

15

log 7log 7log 45 1

vu

= =+

Asadar (si prin urmare), 21ubu

+=

+ si a

v )vv b

. In plus, . Din aceste doua

ecuatii, scoatem in functie de . Personal, va recomand sa faceti calculele si sa nu ma credeti pe cuvant; mie mi-au iesit:

(10 1a u= − +

si u

( )

( )

5 105 3

20 1010 3

a bub

ab a bvb

− − = − − − + = −

Exprimam acum “tinta” 15 15

15 15

log 75 log 5 1 2log 49 2log 7 2

uNv

+ −= = =

Dupa inlocuirea lui u , mie mi-a dat si v 15 2020 10

b aNab a b

− −=

− − +

Recomandari. A) Nu ma credeti 100%. Faceti calculele !!! B) Alegerea parametrilor u se putea face si in alte moduri – poate chiar mai simplu decat mai sus. Este bine sa faceti cum vi se pare mai confortabil; de pilda, se puteau transforma toti logaritmii in baza 5 sau in baza 3.

si v

5. Sa se determine maximul functiei

[ ] ( ) ( ) ( )4 22 2

8: 1,64 , log 12 log logf f x x xx

→ = + ⋅ 2

Solutie. Se noteaza si se aplica proprietatile logaritmilor. Expresia 2logy = x

] ] y−

] ]

functiei in variabila este y ( ) ( ) ( )24 2 4 3 2 212 3 12 36 6f y y y y y y y y y= + ⋅ − = − + = −

Daca , rezulta . Functia este [1,64x∈ [0,6y∈ [ ] ( ) 2: 0,6 , 6g g y y→ =

descrescatoare pe si crescatoare pe [ , deci admite in punctul un minim egal cu . Cum in rest ia numai valori negative si , rezulta ca functia admite in un maxim egal cu . Valoarea lui in acest caz este .

[0,3

9

3y =

3,6

( )

3y =

( )yx

( )3g = −

f32 8x = =

g ( ) 2f y g=

81=( )23 3f g=

6. Sa se rezolve ecuatiile:

a) 31 22

x

x−=

− b) ( )2 3g 1 logx x+ =lo

c) 9 5 4 2 20x x x− − = x

d) ( ) ( )23 3 3 1 1 0,x xxp p p p p+ + + − + = 0≥ (17481, G.M. 11/1978)

Solutie. Ecuatiile de fata sunt ceva mai putin standard. Rezolvarea lor (si a

multora de acelasi gen) se bazeaza pe urmatoarea proprietate: P1. Daca este o functie strict monotona, atunci orice ecuatie de :f D ⊆ →

0

0

))

tipul , admite cel mult o solutie pe . ( ) ,f x a a= ∈ D Justificarea acestei proprietati este simpla: presupunem ca este o solutie a ecuatiei si ca este strict crescatoare (cazul in care este strict descresctoare este similar). Atunci, monotonia stricta ne asigura ca,

, respectiv ( ) ; asadar, ; cu alte cuvinte, este injectiva. Demonstratia anterioara nu face insa apel la notiunea de injectivitate, care se studiaza abia in clasa a IX-a, tocmai pentru a fi si la indemana elevilor de clasele a VII-a si a VIII-a (cel putin in anii ’80, programa de clasa a VII-a prezenta conceptul de monotonie a unei functii reale; nu stiu cum mai stau lucrurile in prezent).

0x D∈f

) (f x>

f

(f x( ) ( ) )0,x D x x f x a∀ ∈ < ⇒ < =

( ) ( )0,x D x x f x∀ ∈ ≠ ⇒

( )0 0,x D x x f x a∀ ∈ > ⇒ =

f( )f x a≠ =

Din proprietatea P1 putem deduce cu usurinta: P2. Daca sunt doua functii strict monotone, dar de monotonii diferite, atunci ecuatia are cel mult o solutie in .

, :f g D ⊆ →

( ) (f x g x= ) D

Evident, functia ( are aceeasi monotonie cu ; aplicand proprietatea de insumare a doua functii monotone, rezulta ca ( este strict monotona, de

g− f

gf −

aceeasi monotonie cu . In consecinta, ecuatia admite cel mult o solutie pe .

f

x

3

( )( ) 0f g x− =D

1 3 12 2

t

=

log t

2

2 2

2 29 5x x

= +

2 2

⇒

x = 2x =

( )( )3 33 31x

p p+ − =3+

( )3x

−

(

x

3

3 1x

xqq q

= −

q

3xq

1 1

( )1

x

Sa trecem acum la ecuatiile date. a) Conditiile de existenta impun . Membrul stang este o functie strict

descrescatoare, in timp ce membrul drept este o functie strict crescatoare. Observam ca verifica ecuatia; conform proprietatii P2, rezulta ca aceasta este unica solutie a ecuatiei.

3x ≥

3=

b) Notam t x . Ecuatia devine: log 3tx= ⇒ =

( ) ( )2 1 3 2 1 3t

tt t + = ⇔ = + ⇔ +

Membrul stang este o suma de doua functii strict descrescatoare. Observam ca verifica ecuatia; in concluzie, este unica solutie a acesteia. Rezulta .

t =3 9=2x =

c) Ecuatia devine 2

2 24 2 5 4 4 2 5 4x x

x x x x x = + + ⋅ ⇔ + ⋅ ⋅

2x

9 5 , sau

2 29 5 4x x

= +

2x

; cum 2 2 29 0,5 4x x x

> + > 0 , rezulta

2 2

2 2 2 5 449 9

x xx x x = + + =

9 5 1

Membrul stang este o functie strict descrescatoare. Se observa ca verifica ecuatia; conform proprietatii P1, este unica solutie a

ecuatiei date. 2

d) Ecuatia se scrie:

( ) ( )( ) ( )31 1 0 1xx x xp p p p p− + + − = ⇔ + − p

( ) ( )( )331 1 x xp p p p⇔ + = + − .

Notam pentru simplitate 1q p= + ⇒

( ) )3

33 3 3 1x

x x x x pq p p q − = − ⇒ −

0≠

; simplificam

si ramane:

p

33 x xp pq q

− = −

Cum 0,pq∈ ⇒ functia

xpxq

→

este strict descrescatoare⇒ functia

1x

pq

→ −

este strict crescatoare, deci membrul drept este o functie

strict crescatoare. Pe de alta parte, ( )3

1 0,pq

− ∈

1 ⇒

functia

3

1x

pxq

→ −

din membrul stang este strict descrescatoare. Rezulta ca

ecuatia data admite cel mult o solutie reala; cum verifica ecuatia, rezulta ca este unica solutie a acesteia.

3x =

3 3x x⋅

x

2x x

( )1 11

xa b a b a b a b

a b a b+ − = ⇔ − = ⇒ − =

+ +x

7. Sa se rezolve ecuatia:

2

2 3 ,x x x x x+ = ⋅ ≥3 3 0(Gh. Ciorascu, 19983, G.M. 1/1984)

Solutie. Conform inegalitatii mediilor, avem 2

2 222 2 3

x xx x

+

+ ≥ = ⋅3 3 (1) aplicam inca o data inegalitatea mediilor, de data aceasta pentru numerele

: 2 si x x

22

2 22 3 2 32

x xx xx x x x x x

++≥ ⋅ = ⇒ ⋅ ≥ ⋅ (2)

Din inegalitatile (1) si (2), deducem 2

2 3x x x+ ≥ ⋅3 3 , egalitatea avand loc cand cele doua inegalitati devin egalitati, adica daca { }0,1x= ⇒ ∈

8. Sa se rezolve ecuatia ( ) ( )4 15 4 15 6x x

+ + − = 2 Solutie. Ecuatia data este de tipul:

( ) ( ) 2, 1, , ,x x

a b a b a bα γ β α β+ + − = − = ∈γ

Relatia se scrie 2 1a b− =

( )( ) . Notand ( )

( ) ( ) 1xy a b a b

y= + ⇒ − =

x; ecuatia generala se scrie:

2 0y y yyγ

α β γ+ = ⇔ − + =α β (rezolventa de gradul al doilea).

Discutia continua in functie de natura si semnele radacinilor rezolventei . 1 2,y yConvin evident numai radacinile pozitive , 1,iy i = 2 pentru care obtinem:

( )logi ia bx y

+=

Revenim la cazul nostru particular. Notam (4 15x

y = + ) si rezulta

21 62 62 1 0y y yy

+ = ⇔ − + = cu radacinile 1,2 31 8 15y = ± . Observam ca

( ) ( )( )

2 2

214 15 31 8 15 31 8 15 4 15

4 15+ = + ⇒ − = − =

+; rezulta

( ) ( ) ( ) ( )2

1 2 24 15 4 15

1log 4 15 2 log 24 15

x x+ +

= + = =+

= −

a y

9. Se stie ca 2 . Se cere raportul ( )log 2 log loga ax y x− = +xy

.

Solutie. Conditiile de existenta impun 0, 1, 0, 0, 2 0 2xa a x y x yy

> ≠ > > − > ⇒ > .

Folosind proprietati binecunoscute, rezulta: ( ) ( )2 2 2 2log 2 log 2 5 4 0a ax y xy x y xy x xy y− = ⇔ − = ⇔ − + =

Am obtinut o ecuatie omogena in ; cum , impartim linistiti cu ,

notand

si x y 0y > 2yxy

=t : t t , cu radacinile t t . Doar solutia 2 5 4− + = 0 1 =21, 4= 4=xy

=t

este convenabila. 10. Sa se rezolve sistemul de ecuatii:

( )3 5log log

29

y x

x y

+ =

+ =

x

(17527, G.M. 12/1978)

Solutie. Conditiile de existenta impun ; notam 0x >

( )3 5

5log log

3

t

t

xt y x x

y x

== + = ⇒ + =

; inlocuim in ecuatia a doua

29 29 3 5 5 3 29t t t ty x x x= − ⇒ − + = ⇒ − + = (1) Presupunem ca ( )31 28 28 log 3x y y x y x< ⇒ > ⇒ + > ⇒ + >

⇒

; pe de alta

parte, lo egalitatea 5g 0x < ( )3 5log logy x x+ = este imposibila. Rezulta ;

fie

1x ≥

5t= =

⇒

1u x . Functia este strict crescatoare pe intervalul functia

u⇒ ≥

)∞

2u u u→ −

[1, 5t→ − 5t t

0t ≥2=

este strict crescatoare pe [ . Membrul stang al ecuatiei (1) este (in domeniul acceptabil ) o functie strict crescatoare; in concluzie, solutia “vizibila” t este unica. Rezulta .

)0,∞

25= ⇒ 4x y = 11. Sa se determine maximul produsului , unde

stiind ca

1 2... nP a a a=

( ) {0,1 , 1,2,...,ka k∈ ∀ ∈ }n 1log 1kn

a =1

n

k=∏ .

(21663, G.M. 1/1989) Solutie. Relatia data se scrie sub forma:

( )1 1 1

1lnln 11 1 ln ln1 lnln

n n nk nk

k k k k

aa nn a

n= = =

− = ⇔ = ⇒ =− ∏∏ ∏ (1), unde

( ) 1 10,1 1, 1, ln 0, 1,kk k

a k na a

∈ ⇒ > ∀ = ⇒ > ∀ =k n

Se scrie inegalitatea mediilor pentru numerele pozitive 1ln , 1,k

k na

= :

11

1 1 1ln lnn n

n

kk k ka n a==

≤ ∑∏ , egalitatea avand loc daca ; inlocuim 1 2 ... na a a= = =

1

1lnn

ka=∏k

din relatia (1): 1

1 1ln ln ln ln lnn

kn n n

n a=

≤ ⇒ ≤∑1 2

1 ln...

n

k n

na a a

≤ ⇔1P

1 nnn P

P n⇒ ≥ ⇔ ≤

1 . Maximul produsului este asadar egal cu 1 2... nP a a a=1nn

,

fiind atins cand 1 21... na a an

= = = =

Exercitii propuse.

1) Sa se arate ca (20489*, G.M. 7/1985) 2 2lg 9 lg 11 lg98+ >2) Daca a a , sa se demonstreze inegalitatile: ( ) (1 2, ,..., 1, si 1,na a∈ ∞ ∈ ∞)

a) 1 21 2

...og log log ... logn na a aa a a a a

n+ + +

≥ ⋅ ⋅ ⋅l (19583, G.M. 2/1983) a na

b) 1 22 3 1

1 1 1...log log log

na a a

na a a

+ + + ≥

b

(17447, G.M. 10/1978)

3) Daca a sunt cel mai mic, respectiv cel mai mare, intreg negativ care

verifica inecuatia , sa se calculeze expresia

si

( )( )lg 9 99 3x x x+ + ≤2 2

2 2

a ba b

−+

.

(19660, G.M. 4/1983, adaptat)

4) Rezolvati in ecuatia (1 2 43

x xx xx

+= + + )

b

1 2 (21243*, G.M. 10/1987)

5) Fie a b c astfel incat . Calculati valoarea expresiei .

( ) { }, , 0, \ 1 si , ,x y z∈ ∞ ∈

E x

, ,x y za bc b ca c a= = =

( )x y z+ +( ), ,y z xyz= −(O:531, G.M. 11-12/1987, adaptat)

6) Calculati (fara tabele) valoarea expresiei ( ) ( )3 3lg5 lg 20 lg8 lg 0,25E = + + ⋅(11108, G.M. 4/1971)

7) Rezolvati ecuatia 12

2

9 16 1 12225 25 log 12! 25

x x

k k=

+ = − ⋅

∑x

(17526*, G.M. 12/1978)

8) Sa se rezolve ecuatia (14 25 2 154xx x x+ = − )11 (21358, G.M. 2/1988)

9) Sa se determine astfel incat x∈ ( ) ( )2

2 2 2lg 1 lg 1 lg

2x x

x x+ +

+ ⋅ + =

(22416*, G.M. 7/1991)

10) Fie , ( ): 0,f ∞ →

( ) 4 3 2 22 2 2 2log 6log 13log 12log 4f x x x x x x mx n= − + − + + − +

Sa se determine astfel incat graficul functiei sa intersecteze axa in doua puncte distincte.

,m n∈Ox

(18821, G.M. 7/1981) 11) Rezolvati ecuatiile:

a) ( ) ( )sec tgog 13,25 log 12,25 , 0,2x x x π= ∈

l (13102, G.M.B. 6/1973)

b) ( )sec tgg 1 log , 0, ,4 4 2

x xα απ π π

α + = ∈ ∪

lo

)0,2

(C. Ionescu-Tiu, 12715, G.M.B. 2/1973) 12) Sa se rezolve ecuatiile:

a) ( ) (10562, G.M.B. 8/1970) ( ) ( ) (2 24 4 4 ,x xxa a a a− + = + ∈

b) 11 1 22

2 6 6

xx x+ + − 1=

(10556, G.M.B. 8/1970)

13) Daca , sa se arate ca 2 2 7 , 0x y xy xy+ = ≠ ( )1g log log3 2a a

x yx y

+= +lo

unde a . (B. Grigore, 19627, G.M. 3/1983) a

0, 1a> ≠

14) Sa se rezolve ecuatia: 3 2

5 14 2 0x

x−

− − =16 (C. Coanda, 20264, G.M. 11/1984)