Clasa a X-a Algebra - 1 Cap. II : Functia - Prin sistem de ecuatii exponentiale intelegem un sistem

download Clasa a X-a Algebra - 1 Cap. II : Functia - Prin sistem de ecuatii exponentiale intelegem un sistem

of 24

  • date post

    30-Aug-2019
  • Category

    Documents

  • view

    0
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Clasa a X-a Algebra - 1 Cap. II : Functia - Prin sistem de ecuatii exponentiale intelegem un sistem

  • Clasa a X-a Algebra - 1

    Cap. II : Functia logaritmica

    Functia logarimica

    Definitia llooggaarriittmmuulluuii :

    - Fie 0a , 1a si 0x ;

    - Se numeste logaritmul numarului x in baza a , si se noteaza xalog , numarul real y

    definit prin :

    xy alog xay

    Observatii :

    1). Nu se poate defini logaritmul unui numar real negativ x , deoarece 0ay

    , Ry .

    2). Definitia unui numar pozitiv implica trei chestiuni :

    a). cele doua notatii xy alog si xay ;

    b). numarul x trebuie sa fie strict pozitiv ;

    c). daca 1 , 0 aa si 0x , atunci :

    xa xa log

    Aceasta identitate se numeste identitatea logaritmica fundamentala si afirma ca : logaritmul

    unui numar pozitiv intr-o baza este exponentul la care se ridica baza pentru a obtine numarul .

    Important :

    In cazul in care in cadrul unui exercitiu intervin logaritmi , inainte de a rezolva exercitiul ,

    trebuie sa punem conditii de existenta , lucrul valabil dealtfel in toate exercitiile indiferent de

    expresiile care apar , conditii exprimate in cadrul observatiilor de mai sus .

  • Clasa a X-a Algebra - 2

    Cap. II : Functia logaritmica

    Functia logarimica

    Proprietatile llooggaarriittmmiilloorr :

    Fie 0a , 1a .

    Avem urmatoarele proprietati :

    1). 01log a ( deoarece 10 a ) .

    1log aa ( deoarece aa 1

    ) .

    2). Logaritmul produsului a doua numere este egal cu suma logaritmilor celor doua numere :

    yxyx aaa logloglog , 0, yx

    3). Logaritmul unei puteri cu exponent natural este egal cu produsul dintre exponent si

    logaritmul bazei puterii :

    xkx ak

    aloglog , 0 x

    4). Logaritmul catului este egal cu diferenta dintre logaritmul numaratorului si logaritmul

    numitorului :

    yxy

    xaaa

    logloglog

    , 0, yx

    xx

    aalog

    1log

    , 0 x

    5). Logaritmul puterii unui numar este egal cu produsul dintre exponentul puterii si

    logaritmul numaratorului :

    xx aa loglog

    , Rx , 0

    6). Formula de schimbare a bazei : formula da trecerea de la logaritmul unui numar in baza

    a la logaritmul aceluiasi numar in noua baza b :

    a

    xx

    b

    b

    alog

    loglog , 0, ba , 1, ba , 0 x

    Avem urmatoarele formule :

    a

    b

    a

    b

    ab

    b

    aln

    ln

    lg

    lg

    log

    1log , 0, ba , 1, ba

    unde :

    aa loglg 10 , bb loglg 10 reprezinta logaritmul zecimal al numarului a , b

    aa elogln , bb elogln reprezinta logaritmul natural al numarului a , b

    e = numar irational , numarul lui EULER

    e = ...71821,2 .

  • Clasa a X-a Algebra - 3

    Cap. II : Functia logaritmica

    Functia logarimica

    Definitia ffuunnccttiieeii llooggaarriittmmiiccee :

    - Fie 0a , 1a ;

    - Functia Rf ;0: , definita prin xxf alog se numeste functia logaritmica de baza a .

    Proprietatile ffuunnccttiieeii llooggaarriittmmiiccee :

    1). 01 f ( logaritmul lui 1 in orice baza este egal cu 0 ) .

    2). Functia logaritmica este monotona . Mai exact :

    - daca 1a , f este strict crescatoare ;

    - daca 10 a , f este strict descrescatoare .

    3). Monotonia functiei logarithmice este utilizata la rezolvarea inecuatiilor ( inegalitatilor )

    logaritmice :

    - pentru 1a , xxxx aa 2121 loglog ;

    - pentru 10 a , xxxx aa 2121 loglog .

    4). Functia logaritmica Rf ,0: , xxf alog este injectiva .

    5). Functia logaritmica Rf ,0: , xxf alog este surjectiva .

    6). Functia logaritmica este inversabila , iar functia inversa este functia exponentiala avand

    aceeasi baza :

    fie functia logaritmica Rf ,0: , xxf alog

    inversa ei este

    ,0:1

    Rf , axfx

    1

    - graficele sunt simetrice fata de dreapta de ecuatie xy .

    7). Functia logaritmica este : - concava daca 1a ;

    - convexa daca 10 a .

    8). Din faptul ca f este bijectiva avem echivalenta :

    yxyx aa loglog

  • Clasa a X-a Algebra - 4

    Cap. II : Functia logaritmica

    Functia logarimica

    Teorema sseemmnnuull ffuunnccttiieeii llooggaarriittmmiiccee :

    - Fie functia logaritmica Rf ;0: , xxf alog , unde 0a , 1a ;

    - Are loc urmatoarea :

    - daca 10 a , atunci

    1pentru 0log

    10pentru 0log

    xx

    xx

    a

    a ;

    - daca 1a , atunci

    10pentru 0log

    1pentru 0log

    xx

    xx

    a

    a

    .

  • Clasa a X-a Algebra - 5

    Cap. II : Functia logaritmica

    Functia logarimica

    Definitia eeccuuaattiieeii llooggaarriittmmiiccee :

    - Prin ecuatie logaritmica vom intelege o ecuatie in care necunoscuta x figureaza in expresii ce apar ca argumente ale logaritmilor sau baze ale acestora .

    Definitia ssoolluuttiieeii eeccuuaattiieeii llooggaarriittmmiiccee :

    - Se numeste solutie a unei ecuatii logaritmice de necunoscuta x un numar real x0 cu

    proprietatea ca punand xx 0 in ecuatie , aceasta se verifica .

    Definitia rreezzoollvvaarriiii eeccuuaattiieeii llooggaarriittmmiiccee :

    - A rezolva o ecuatie logaritmica inseamna a-i determina toate solutiile .

    - Rezolvarea ecuatiilor logaritmice se bazeaza pe proprietatea : doi logaritmi in aceeasi baza

    sunt egali daca argumentele sunt egale .

    Definitie eeccuuaattiiii llooggaarriittmmiiccee eecchhiivvaalleennttee :

    - Doua ecuatii logaritmice se numesc echivalente daca multimile de solutii coincid .

    Observatie :

    - Conditiile de existenta pentru o ecuatie logaritmica se pun la inceputul rezolvarii ei si nu

    dupa ce aceasta a fost transformata !!!

  • Clasa a X-a Algebra - 6

    Cap. II : Functia logaritmica

    Functia logarimica

    1 Ecuatii llooggaarriittmmiiccee ddee ffoorrmmaa :: Raaxfxg , log :

    - Metoda de rezolvare : ecuatia este echivalenta cu sistemul

    numar unui uilogaritmul definitia aplicata este

    unu de diferita si pozitivastrict este uilogaritmul baza 1

    0

    pozitivestrict numeredin sens are logaritmul 0

    xgxf

    xg

    xg

    xf

    a

    - Se rezolva ecuatia din sistem si valorile gasite pentru x vor fi solutii daca se verifica :

    0xf , 0xg , 1xg

    - In nici un caz nu se rezolva mai intai inecuatiile si apoi ecuatia !!!

    2 Ecuatii llooggaarriittmmiiccee ccee ccoonnttiinn llooggaarriittmmii iinn aacceeeeaassii bbaazzaa ::

    - Daca ecuatia are forma simpla : xhxf xgxg loglog , atunci aceasta este echivalenta cu sistemul :

    injectiva este alogaritmic functia

    unu de diferita si pozitivastrict esteor logaritmil baza 1

    0

    drept membruldin logaritmul existe sa ca 0

    stang membruldin logaritmul existe sa ca 0

    xhxf

    xg

    xg

    xh

    xf

    - Se rezolva ecuatia xhxf .

    - Dintre valorile obtinute vor fi solutii ale ecuatiei date numai acelea care verifica si celelalte

    conditii din sistem .

    - Daca ecuatia este mai complexa atunci se pun mai intai conditiile de existenta asupra logaritmilor pentru ecuatia data , dupa care utilizand proprietatile logaritmilor se aduce la tipul

    precedent .

  • Clasa a X-a Algebra - 7

    Cap. II : Functia logaritmica

    Functia logarimica

    3 Ecuatii llooggaarriittmmiiccee ccee ccoonnttiinn llooggaarriittmmii iinn bbaazzee ddiiffeerriittee ::

    Metoda de rezolvare :

    - se impun conditiile de existenta asupra logaritmilor ;

    - se aduc logaritmii in aceeasi baza utilizand formula :

    a

    xx

    b

    b

    alog

    loglog , 0, ba , 1, ba , 0 x

    de trecere de la baza a la baza b pentru numarul 0x .

    - se procedeaza apoi ca la tipul precedent .

    4 Ecuatii eexxppoonneennttiiaall llooggaarriittmmiiccee ::

    Metoda de rezolvare :

    - se aplica metodele de la tipurile precedente urmate de tipurile de rezolvare ale ecuatiilor

    exponentiale ;

    - pentru rezolvarea acestora se mai aplica si metoda logaritmarii ambilor membrii intr-o baza

    convenabila .

    5 Ecuatii llooggaarriittmmiiccee ccuu ssoolluuttiiee uunniiccaa ::

    Metodele de rezolvare ale acestui gen de probleme sunt diverse :

    Cea mai uzitata , aplicabila la o ecuatie de forma cxf , Rc , constanta , si care

    are o radacina Rx 0 , apeleaza la monotonia functiei f :

    - Daca f este strict monotona ( este injectiva ) atunci solutia Rx 0 este unica .

    -