forte electrodinamice

ForForţe electrodinamice (FED)ţe electrodinamice (FED)

� FED - forţe mecanice care apar ca rezultat alinteracţiunii dintre câmpurile magnetice create decurenţii de conducţie

� Modulul FED este proporţional cu produsul curenţilorcare intracţionează

� Circulaţia curenţilor în regim normal de funcţionareproduce FED de ordinul 1...10 dN

� Circulaţia curenţilor în regim de defect (scurtcircuit)

kj iiFED ~

Echipamente electrice - 1 2

� Circulaţia curenţilor în regim de defect (scurtcircuit)produce FED de ordinul 104...106 dN

Nivelul FED şi eforturile generate de

acestea determină dimensionarea

mecanică a echipamentelor şi

instalaţiilor care conţin căile de curent

Relaţii generale de calcul

� Metode de evaluare a FED� evaluarea directă a interacţiunii curent - câmp magnetic

(teoremele Ampere – Grassmann și Biot - Savart)

� evaluarea variaţiei energiei magnetice a sistemului (teoremele forţelor generalizate în câmp magnetic)

� FED se evaluează:� în regim staţionar (curent invariant în timp)

� în regim ne-staţionar (curent variabil în timp)


� în regim ne-staţionar (curent variabil în timp)

� curent cu variaţie aperiodică

� curent cu variaţie armonică

� Pentru circuite� monofazate

� trifazate

Legea circuitului magnetic – stabilește legătura dintre câmpul magnetic și sursele sale. Forma locală (diferențială) a legii:

Recapitulare

( )vDvE

JHrrr

rrr

×++∂∂

+= rotrot 0 Vt

ρε

densitateacurentului

de conducție


de deplasare(maxwellian)


de convecție

densitateacurentului Rȍntgenteoretic

densitatea curentului hertzian


densitatea curentului hertzian= 0 pentru medii imobile v = 0

dacă t∂

∂>>

EJ

rr

0ε

se poate neglija câmpul magnetic creat prin variația în timp a câmpului electric și singura sursă de câmp magnetic activă este densitatea curentului de conducție

(regim staționar sau cvasistaționar)

JHrr

=rot

Formula Biot – Savart - Laplace

Intensitatea câmpului magnetic dH1

generat de circulaţia curentului i1 princircuitul (C1), în punctul M situat ladistanţa R12 pe circuitul (C2), poate fi

calculată folosind formula Biot - Savart

312

121114 R

sdid

RH

rrr ×π

=


12R

2

12

111

sin

4 R

dsid

βπµ

=Br

312

1211114 R

sdidd

RHB

rrrr ×π

µ=µ=

Inducţia magnetică dB1

rezultă folosind legea legăturii dintre B și H

Cu ajutorul formulei Biot-Savart , Grassmann a stabilit expresia forțelor electrodinamice în regim staționar între curenți filiformi oarecare, generalizând rezultatele obținute de Ampere (pentru circuite filiforme paralele). Fie două fire conductoare parcurse de curenții i1 respectiv i2

1. Metoda elementară

Teorema forțelor electrodinamice

Forţa electrodinamică elementară

- sursa de câmp magnetic:elementul infinit mic de curent

aparținând circuitului (C1) - FED exercitată asupra element infinit

11 sdir

sdr


( )3

12

12122112212

2

4 R

sdsdiidsdid

RBF

rrrrrr ××=×=

πµ

- FED exercitată asupra element infinit mic de circuit aparținând circuitului (C2) parcurs de curentul

2sdr

2i

- sursa de câmp magnetic ∈ (C2)- FED exercitată asupra ∈ (C1) parcurs de curentul

22 sdir

1sdr

1i ( )

{ }1221

12

2

1223

21

21112121121

2

4

RR

FBR

BF

rr

rrrrrrrrr

−=

−=×−=××

=×= ddsdiR

sdsdiidsdid

πµ

Forţa totală (N) cu care se obţine printr-o dublă integrare

(pe traseele fiecăruia dintre cei doi curenţi care interacţionează)

∫∫×

×=)1C(

3

12

121

)2C(

221

124 R

sdsd

ii RF

rrrr

πµ

12

)2C(321

212

)1C(

121

214

FR

Fr

rrrr

−=×

×= ∫∫R

sdsd

ii

πµ

(C1) parcurs de i1 este sursa de câmp magnetic

(C2) parcurs de i2 este sursa de câmp magnetic

1221 RRrr

−=


Metoda elementară este aplicabilă în cazul configuraţiilor simple

Forţa specifică (N/m) – exercitată pe unitatea de lungime a conductorului (C2) în punctul în care se află elementul de circuit

∫×

=)1C(

3

12

1212112

4 R

sdii RFd

rrr

πµ

rezultă din integrarea contribuției conductorului (C1)

FED respectă principiul acțiunii și reacțiunii

Cazul cel mai simplu – conductoare filiforme paralele infinit lungi

Forța exercitată pe asupra porțiuniide lungime L aparținând conductorului 2

[ ]�La

iiF 210

2πµ

=2

==m

�

a

ii

L

Ffk

2102

2πµ

rezultă forța specifică:


- curenți de același sens:conductoarele se atrag

- curenți de sens contrar:conductoarele se resping

maL 2π

Dacă conductoarele au secțiunea circulară de rază r atunci FED este

( )[ ]�L

ra

iiF

−= 210

2πµ

2

Forța exercitată între două conductoare paralele de lungime finită

Se calculează folosind forța specifică(forța pe unitatea de lungime) dedusăpentru cazul anterior (conductoare de lungime infinită) corectată cu un factor adimensional φ care depinde deraportul a/L

=m

�

L

aii

afk ϕ

πµ

210

2


mLaπ2

L

a

L

a

L

a−

+=

2

1ϕ

Efectul lungimii finite a conductoarelor: forța specifică este mai mică decât în cazul conductoarelor de lungime infinită situate la aceeași distanță a

Forţa specifică în punctul de abscisă x – fk(x) în N/m(forţa raportată la unitatea de lungime a conductorului analizat)

Conductoare filiforme de lungime finită situate în același plan.Regim staţionar. Circuit monofazat.

termen dependent de produsul curențilorcare interacționează

termen dependent de geometria configurației


Forţa rezultantă F12

se obţine prin integrarea forţei specifice fk pe traseul conductorului 2(este proporțională cu aria A de sub profilul forței specifice)

geometria configurațieivariația acestui termen determină profilul forței specifice

Conductoare dreptunghiulare aşezate pelatura mică. Se consideră densitatea decurent constantă. Ipoteza este valabilăpentru regimul staţionar (electrocinetic)pentru care nu avem fenomene deinducţie electromagnetică (curentul esteinvariant în timp).

Conductoare infinit lungi, paralele, de secţiune finită.Regim staţionar. Circuit monofazat.


Funcţie de corecţie pentru conductoare așezate pe latura mică

Funcţia de corecţie pentru conductoare aşezate pe latura mare

Calculul funcţiei de corecţie fiind laborios, se folosesc curbele lui DWIGHT

Modul de așezare al conductoarelor influențează valoarea forței. Se observă că pentru aceeași distanță d între axe, așezarea pe latura mare

Fu

ncția

de

co

recție

ϕ(c

)


axe, așezarea pe latura mare conduce la valori mai mari ale forței decât în cazul așezării pe latura mică (k ＞ 1)Pentru sistemele de bare se va prefera așezarea pe latura mică, avantajoasă și din punct de vedere al răcirii.

Fu

ncția

de

co

recție

2. Metodă de calcul bazată pe teoremele forţelor generalizate.

� energia magnetică acumulată într-un sistem de ncircuite imobile parcurse de curenţii i

1, i2,...i

n∑=

Φ=n

j

jjm iW

12

1

� fluxul magnetic care străbate suprafaţalimitată de conturul circuitului (j) poate fiexprimat cu ajutorul fluxurilor magneticecomponente (propriu şi mutuale)

{∑≠=

+=Φn

jkk

kjkjjjj iMiL

1mutuale fluxuripropriuflux 321


componente (propriu şi mutuale)

jjL => inductivitatea proprie a circuitului de rang (j)

jkM => inductivitatea mutuală dintre circuitele de rang (j) şi (k)

∑∑∑≠===

+=n

jkk

kjk

n

j

j

n

j

jjjm iMiiLW

111

2

2

1

2

1 expresia energiei magnetice în funcţie de inductivităţile proprii şi mutuale

Conductor filiform. Regim staţionar. Circuit monofazat (continuare)Conductor filiform. Regim staţionar. Circuit monofazat (continuare)

constant=Φ∂∂

−=i

md

ix

WX

(A)Teorema forţelor generalizate-expresia pentru flux magnetic constant

Xi – componenta forţei în direcţia coordonatei generalizate xi

(B) Teorema forţelor generalizate-expresia pentru curent constant

Dacă fluxul magnetic rămâne constant, forţele electromagnetice tind să rotească sau deplaseze conductorul astfel încât energia magnetică să scadă.


(B) Teorema forţelor generalizate-expresia pentru curent constant

constant=∂∂

+=ii

md

ix

WX

Xi – componenta forţei în direcţia coordonatei generalizate xi

Dacă curentul rămâne constant, înseamnă că forţele electromagnetice deformează circuitul (realizând în acest fel modificarea fluxului magnetic); deformarea circuitului se face în sensul creşterii energiei magnetice

Aplicaţie la deducerea forţei care acţioneazăasupra arcului electric în aer liber

Fie conturul (Γ) parcurs de curentul i ; circuitul se află sub influenţa unui câmp magnetic de inducţie B.

sdr

element de circuit

lrd deplasare infinit mică a elementului de circuit


( ) ( )BssBABrr

lrr

lrrrr

×⋅=×⋅=⋅=Φ dddddd 2

determină variaţia fluxului magnetic

Anns

rrrl

rlr

ddAdsddd ===×

( ) ( ) ( )bacacbcbarrrrrrrrr

×⋅=×⋅=×⋅


Φ= 22 diWd mVariaţia fluxului magnetic determinăvariaţia energiei magnetice acumulate în circuit

Φ2d

( )( )

lrrrr

lr

dFBsddiWd mm ⋅=×⋅= ∫Γ

Variaţia energiei magnetice pentru întreg conturul Γ

BsF ×=rrdid relaţia de definiţie a forţei lui Laplace

Variaţia fluxului se realizează cu condiţia i = constant


Coordonata generalizată(cea după care se efectueză deplasarea virtuală)

Variaţia fluxului se realizează cu condiţia i = constant

Teorema a II-a a forţelor generalizate

ldxd i =

constant=∂∂

=⋅= ii

mii

x

WxdXXrr

∫Γ

×=)(

BsdiFmrrr

constant=∂∂

=⋅ im

mW

dFl

lrr

de unde ( )BsdiFd m

rrr×=sau

forţa magnetică acţionează asupra fiecărui element de conductor în sensul creşterii ariei circuitului (ΓΓΓΓ)

Efectul se aplică la construcţia unor contacte incorporate în aparate care sting arcul electric.



incorporate în aparate care sting arcul electric. Forţa magnetică tinde să mărească aria circuitului din care face parte arcul electric; acesta este astfel împins către extremităţile contactelor ceea ce determină alungirea, răcirea şi în final stingerea arcului electric


Ca regulă generală:

arcul se deplasează în lungul pieselor metalice cu care vin în

contact picioarele sale astfel încât aria buclei pe care se închide

curentul de arc să crească, chiar dacă deplasarea arcului are loc

pe verticală.

+

=ad

LiFED220

πµ


=a

Lid

FED4π

2KvR =

v – viteza de deplasare a arcului

K – coeficient care depinde de geometria arcului

+=

a

adL

Kdiv

21

4

0

πµ

La echilibru FED = R

Pentru

d = 300 mm, i =15...20 kAv = 200...250 ms

i – valoarea instantanee a curentului

Sistem trifazat de bare lungime- 6 mImaginile succesive ale arcului electricsunt luate la intervale de timp de 10 ms

I=14 kA

U =300 V


forte electrodinamice

Documents

Transcript of forte electrodinamice