Forte Conservative
description
Transcript of Forte Conservative
-
Capitolul 5
Dinamica punctului material. Fore conservative
n acest capitol vom studia principalele mrimi mecanice care definesc micarea unui punct material. n final, vom introduce o clas special, important, de fore: forele conservative.
Fie P un punct material de mas m, avnd vectorul de poziie . ( )txDup cum am vzut, definim vectorul impuls al punctului P prin egalitatea:
. ( )tm xp &=
Dimensiunea fizic a impulsului este MLT-1. Fiind dat un punct O, drept originea reperului inerial la care se raporteaz
micarea, vom defini momentul cinetic al punctului material P n raport cu polul O a fi vectorul:
. === OPmO xxxpxK ,)( &
Este evident c momentul cinetic reprezint momentul impulsului fa de
polul O. Dimensiunea sa fizic este ML2 T-1. A treia mrime fundamental a dinamicii punctului material este energia
cinetic. Definim energia cinetic a unui punct material P a fi scalarul, dat de relaia:
2
21 x&m=T .
Dimensiunea sa fizic este ML2 T-2 . n fine, definim lucrul mecanic efectuat de o for F , care deplaseaz
punctul material P, avnd vectorul de poziie , de-a lungul unei curbe date, ntre punctele A i B, a fi scalarul definit de integrala curbilinie:
= OPx
. xF d=
AB
ABL
-
Mrimea scalar xF dd =L se numete lucru mecanic elementar, iar scalarul:
xF &==tL
ddP
definete puterea mecanic.
Dimensiunea fizic a lucrului mecanic este ML2 T-2, iar unitatea sa de msur se numete joule (simbolul J). 1 joule reprezint lucrul mecanic efectuat de o for de 1 newton la o deplasare de 1 metru.
Dimensiunea fizic a puterii mecanice este ML2 T-3, unitatea sa de msur fiind watt-ul (simbol W). 1 watt reprezint puterea necesar efecturii unui lucru mecanic de 1 joule ntr-o secund. Un cmp de fore F(x) se numete conservativ ( potenial) dac exist un cmp
scalar astfel nct: ( )x
( ) ( )xxF = grad .
n acest caz, lucrul mecanic efectuat de fora F ntre punctele A i B nu
depinde de drumul , ci numai de capetele lui:
AB
( ) ( ) ( ) ( )
====AB AB AB
AB ABL xxxxF ddgradd .
Reciproc, dac vom presupune c lucrul mecanic nu depinde de drumul
parcurs (adic, este o funcie de stare), atunci putem defini potenialul al forei F, prin formula:
( )x (5.1) ,d)(
0
xFxxx
=
unde x0 este vectorul de poziie al punctului iniial, iar x(t) este vectorul de poziie al punctului curent. Se obine uor relaia: (5.2) )()(grad xFx = .
-
n concluzie, un cmp de fore este conservativ dac i numai dac lucrul mecanic este o funcie de stare.
Dac drumul este nchis ( A=B ), este evident c rezultatul precedent se
reduce la condiia
( ) ( ) 0d == AB
xF ,
unde este un drum nchis, care conine punctul A. Din teorema lui Stokes rezult c relaia precedent este echivalent cu
0rot =F ,
adic F este un cmp irotaional de fore. Acest rezultat este valabil pentru un domeniu simplu conex i pentru un cmp de fore regulat
, vezi [12]. Pentru definirea operatorilor gradient i rotor, ca i pentru proprietile lor, pot fi consultate lucrrile [5] i [6]. ( ( )[ ] ( ))RRF 231 i CC n final vom da cteva exemple de fore conservative. 1) Primul exemplu de for conservativ este greutatea unui punct material de
mas m, gG m= . n raport cu un reper cartezian, care are axa Oz orientat dup verticala ascendent, kG gm= , unde g este acceleraia gravitaional, presupus a fi constant, iar k este versorul axei Oz. n acest caz potenialul forei gravitaionale va avea forma:
Czm += g
unde C este o constant scalar arbitrar. 2) Al doilea exemplu de for conservativ se refer la forele centrale. Definim
o for central n raport cu punctul O, a fi un vector invariant la grupul micrilor plane ce las fix punctul O. Din aceast definiie se vede uor c dreapta suport a unei fore centrale trece prin O i c modulul forei depinde doar de distana de la punctul ei de aplicaie la punctul O. n concluzie, expresia matematic a unei fore centrale este:
(5.3) .||,,)F()( xxxxF === rOPr
r
-
Dac F(r) < 0 fora central se numete atractiv, iar dac F(r) > 0 fora central se numete repulsiv. Din formula (5.3) rezult uor c , deci forele centrale sunt conservative.
0rot =F
Cel mai simplu exemplu de for central este cel al forei elastice. n acest
caz se numete modul de elasticitate. Aceast expresie a forei elastice se bazeaz pe experimentele unidimensionale (legea Hooke).
( ) 0const.unde, >== kkxxF
Potenialul forei elastice are forma:
( ) Cxki
i += =
3
1
2
2)(4.5 x ,
unde 3,1, =ixi , sunt componentele carteziene ale vectorului x.
Cel mai celebru exemplu de for central este fora de atracie universal
( )rr
Mmf xxF = 2 , care, n particular, reprezint fora de atracie pe care Soarele (de mas M) o exercit asupra unei planete (de mas m), aflat la distana r. Constanta f (constanta atraciei universale) este determinat experimental i are valoarea Potenialul forei de atracie universal are forma:
)./(10673,6 2311 skgmf =
(5.5) Cr
mMf += )(x .
Exerciii i probleme: 1) Din (5.1) s se obin relaia (5.2).
2) n cazul forelor centrale (5.3), s se arate c ele sunt irotaionale.
3) S se deduc potenialul forei elastice sub forma (5.4).
4) S se deduc potenialul forei de atracie universal sub forma (5.5).