Formule Statistica

FORMULE STATISTICA

frecvena relativ

ponderea sau greutatea specific a unui element (xi) n totalul colectivitii () se obine pe baza relaiei:

Media aritmetic simpl se folosete pentru seriile n care fiecare nivel al caracteristicii este purtat de o singur unitate statistic.

sau , , n=volumul colectivitii

Media aritmetic ponderat se folosete n cazul seriilor cu frecvene

sau

formule de calcul simplificat a mediei aritmetice:

-pt. serii simple:

-pt. serii ponderate:

a. Dac se micoreaz fiecare variant a caracteristicii de un anumit numr de ori k, atunci media seriei se micoreaz de acelai numr de ori.

Se obin urmtoarele relaii:

-pt. serii simple:

-pt. serii ponderate:

b. Dac frecvenele seriei se micoreaz de un numr c de ori, atunci media aritmetic rmne neschimbat.

Aceast proprietate se aplic numai seriilor cu frecvene.

c. Suma algebric a abaterilor nivelurilor individuale ale caracteristicii de la media lor este egal cu zero.

formule de calcul simplificat al mediei aritmetice:

-pt. serii simple:

-pt. serii ponderate:

Media, n cazul caracteristicii alternative

Media unitilor care nu poart acea caracteristic se noteaz cu q i se determin astfel:

aplicarea relaiei de calcul a modului:

, unde:

x0 = limita inferioar a intervalului modal,

d = mrimea intervalului modal,

= diferena dintre frecvena intervalului modal i frecvena intervalului anterior celui modal,

= diferena dintre frecvena intervalului modal i frecvena intervalului urmtor celui modal.

Pe cale grafic, modul se determin pe baza histogramei

Metodologia de calcul a medianei este diferit dup natura seriei luate n calcul.

Pentru serii simple se ntlnesc dou situaii:

-seria are un numr impar de termeni, cnd mediana este acea variant a caracteristicii cu rangul , dup ce n prealabil seria a fost ordonat cresctor, unde n = nr. termenilor.

: ;

, unde:

x0 = limita inferioar a intervalului median;

d = mrimea intervalului median;

Na = frecvena cumulat anterioar intervalului median;

nMe = frecvena real a intervalului median.

Pe cale grafic mediana se determin ca i n situaia precedent cu ajutorul curbei frecvenelor cumulate.

Quartilele

x0 = limita inferioar a intervalului quattilic;

d = mrimea intervalului quartilic;

UQ1, UQ2, UQ3 = unitile quartilice;

Na = frecvena cumulat anterioar intervalului quartilic;

nQ1, nQ2, nQ3 = frecvenele reale ale intervalului quartilic.

;

;

Decilele

D5 = Me = Q2

.

n cazul seriilor cu frecvene n care caracteristica este dat pe variante, mediala se calculeaz n urmtoarele etape:

-se determin produsele;

-se calculeaz irul produselor cumulate, notate cu Li;

-se determin unitatea medial conform relaiei: ;

-se caut locul unitii mediale pe irul Li, alegnd un nivel egal sau mai mare dect acesta;

-se identific mediala ca fiind nivelul caracteristicii corespunztor unitii mediale.

n cazul seriilor cu frecvene i caracteristica sub form de intervale de variaie, mediala se determin tot prin calcul i grafic.

Prin calcul se parcurg operaiile:

-se determin produsele ;

-se calculeaz irul produselor cumulate, notate cu Li;

-se determin unitatea medial conform relaiei: ;

-se caut locul unitii mediale pe irul Li, alegnd un nivel egal sau mai mare dect acesta;

-se identific intervalul medial, ca fiind intervalul caracteristicii corespunztor unitii mediale;

-se aplic formula medialei: , unde:

x0 = limita inferioar a intervalului medial;

d = mrimea intervalului medial;

UMl = unitatea medial;

La = produsul cumulat anterioar intervalului medial;

= produsul corespunztor intervalului medial.

Media cronologic simpl se calculeaz cnd momentele sunt egal distanate ntre ele.

Pentru seria , .

Prin transformare, aceast relaie devine: .

Media cronologic ponderat se calculeaz atunci cnd intervalele de timp dintre termenii seriilor de momente sunt inegale.

n acest caz, mediile pariale, din care se calculeaz media ntregii perioade, sunt ponderate cu durata perioadelor pariale dintre termenii seriei, notate cu ti.

Media armonic simpl:

Media armonic ponderat:

Considerm seria: .

-mediile mobile din cte 3 termeni:

,

, , .

-mediile mobile din cte 4 termeni:

, ,, .

Media progresiv

, unde:

= media general a seriei;

= media termenilor calitativ superiori mediei generale.

Media geometric simpl:

Media geometric ponderat:

Media ptratic simpl:

Media ptratic ponderat:

Indicatorii simpli ai dispersiei

Amplitudinea variaiei

n mrime absolut

n mrime relativ

, unde:

= nivelul maxim, respectiv minim al variabilei X;

= nivelul mediu al variabilei X.

2. Abaterea individual

n mrime absolut

n mrime relativ

Indicatorii sintetici ai dispersiei

1. Abaterea medie liniar

-pentru serii simple:

, cnd ,

-pentru serii cu frecvene: , cnd

2. Variana (dispersia)

-pentru serii simple:

,

-pentru serii cu frecvene:

.

3. Abaterea medie ptratic (deviaia standard)

pentru serii simple:

-pentru serii cu frecvene:

Intervalul mediu de variaie

, respectiv

. Coeficientul mediu de variaie

, respectiv

Proprietile dispersiei sunt:

Dispersia unei distribuii este egal cu diferena dintre media ptratelor tuturor variantelor caracteristicii i ptratul mediei.

Dispersia unui ir de valori constante este egal cu zero,

Dispersia calculat din abaterile variantelor caracteristicii fa de constanta a este mai mare dect dispersia calculat din aceleai variante fa de media lor cu ptratul diferenei dintre medie i constanta a.

-pentru serii simple:

,

-pentru serii cu frecvene:

.

Dac fiecare nivel al caracteristicii se micoreaz de k ori, atunci dispersia se micoreaz de k2 ori.

-pentru serii simple:

,

-pentru serii cu frecvene:

.

Dac se mparte fiecare nivel al frecvenelor printr-o constant c, atunci dispersia rmne neschimbat.

Aceste proprieti sunt folosite pentru calculul simplificat al dispersiei. Din combinarea lor se ajunge la formulele care conduc la cea mai mare simplificare a calculelor.

-pentru serii simple:

,

-pentru serii cu frecvene:

.

Indicatorii de asimetrie

O prim imagine asupra gradului de asimetrie (As) al unei distribuii o putem face comparnd media ei asimetric cu modul.

EMBED Equation.3

, asimetrie negativ, cu extinderea frecvenelor spre stnga.

, asimetrie pozitiv, cu extinderea frecvenelor spre dreapta.

n mrimi relative se utilizeaz coeficientul de asimetrie a lui Pearson (kas).

Dac kas =0, , distribuie simetric

Dac kas >0, , distribuie asimetric spre dreapta

Dac kas 0, indic o legtur direct-dac b=0, nu exist legtur

-dac b