Axioma supliment matematic Nr.35 4 FORMULA LUI HERON DE-A LUNGUL VEACURILOR MIRON OPREA HerondinAlexandria,numitiHeronMecanicul,deorigineegiptean,afostunuldin reprezentaniideseamaicelebreicolidinAlexandria.Atritiaactivatnperioadafinelui secolului I i nceputul secolului al II-lea d. Hr. El a scris lucrri de geometrie i mecanic, dintre care celemaiimportantesuntMetrica(originaluleiafostdescoperitn1869laConstantinopol)i Dioptra.nMetrica,Heronddoumetodepentrucalculularieiunuitriunghicndisecunosc lungimilelaturilor;primasereducelacalcululuneinlimiatriunghiului(folosindteoremalui Pitagorageneralizataacumontlnimnmanualelecolare),iaradouautilizeazsegmentele determinatepelaturidecerculnscrisntriunghi,ceeaceaconduslacelebraformul( ) ( )( )( ) c p b p a p p ABC = A o,rmasnistorie,caformulaluiHeron.Frumuseeaformulei,cai teorema lui Pitagora, a atras atenia multor matematicieni n decursul istoriei, astfel c s-au dat mai multe demonstraii chiar de ctre matematicieni celebri ca Newton, Euler etc. Maimult,s-aucutatformuleanaloagepentrupatrulatere(numaipatrulaterulinscriptibil permiteoformulanaloag),pentrutetraedre(numaitetraedreleechifacialeiceletridreptunghiceadmit),bachiaripentrutriunghiurilesferice.Pedealtparte,expresia ( ) ABC A oatrezitideea determinriitriunghiurilorpentrucareavem ( ) ( )-e A N c b a o , , ,,aanumiteletriunghiuriheronice, declanndastfel o veritabil teorie geometric pe care am putea-o numi geometrie heronic . Unii istorici ai matematicii, au ajuns la concluzia c formula lui de calcul a ariei unui triunghi, n funcie de laturile sale, a fost stabilitdeArhimede, i de aceea ar trebui s fie numit formula lui Arhimede-Heron. nceleceurmeazvomncercasprezentmcititoruluictecevadinaceastgeometrie. Dar mai nti, vom expune cteva demonstraii date n decursul istoriei, acestei celebre formule. I. Demonstraii ale formulei lui Heron 1.DemonstraialuiHeron(sec.Id.Hr.)Urmrimpefigura1.SeprelungeteACcu lungimea CM=BE, astfel c AM = p = 2c b a + + , unde a, b, c sunt lungimile laturilor ABC. AvemevidentOF AM = ( ) S ABC r p = A = o undereste lungimea razei cercului nscristriunghiului. Perpendicularele n O peAO i n C pe AC se ntlnesc n L, evident patrulaterul AOCL este inscriptibil i deci. 2dr ALC AOC = Z + Z nsdr BOE AOC 2 = Z + Z dincarerezult