INTEGRARE ŞI DERIVARE NUMERICĂ - andrei.clubcisco.roandrei.clubcisco.ro/cursuri/1mn/curs/c09mn...

12
1 INTEGRARE ŞI DERIVARE NUMERICĂ Ne propunem în acest capitol să calculăm în mod aproximativ valorile dx x f f I b a , 0 p x f f D . în condiţiile în care funcţia f este continuă pe b , a C f : b , a şi derivabilă în 0 x primitiva F nu este cunoscută funcţia f este cunoscută numai prin valorile f(x i ) pe care le ia într-un număr restrîns de puncte x i , i=0 : N Definim o metodă aproximativă de integrare ca N 1 i iN iN N x f A f I , Metoda aproximativă de integrare este slab convergentă dacă 0 f I f I lim N N . In mod similar se defineşte o metodă aproximativă de derivare. Teorema 7.1. Condiţia necesară şi suficientă ca metoda de integrare I N [f] să conveargă slab către I[f] se exprimă prin relaţiile a) există M>0 astfel încât M a N 1 i iN , pentru toţi N=1,2,... b) b a k k N n , dx x x I lim pentru toţi k=0,1,... 1. Metode de tip Newton-Cotes In general, pentru o formulă de integrare aproximativă putem scrie N N 1 i iN iN b a R x f A dx x w x f . funcţia pondere w:[a,b]R + , nu modifică problema (1), întrucât putem lua g(x)=f(x).w(x), iar R n este eroarea (sau restul) formulei aproximative de integrare. Metodele de tip Newton-Cotes se bazează pe integrarea polinomului de interpolare, utilizând ca suport al interpolării nodurile x iN echidistante în intervalul [a,b], adică N : 0 i , N a b i a x iN . Metodele de integrare de tip Fejer integrează polinomul de interpolare folosind ca noduri x iN - rădăcinile polinomului ortogonal P n (x), definit relativ la ponderea w(x). Coeficienţii a iN se determină impunând ca formula aproximativă să fie exactă (R=0), dacă f aparţine unei anumite clase de funcţii (de exemplu polinoame de grad ≤N, f N ,). Cum funcţia este cunoscută numai în nodurile x i , i=1:N, o vom aproxima prin polinomul ei de interpolare Lagrange iN N 1 i i 1 N x f x l x P x f , cu care putem scrie

Transcript of INTEGRARE ŞI DERIVARE NUMERICĂ - andrei.clubcisco.roandrei.clubcisco.ro/cursuri/1mn/curs/c09mn...

Page 1: INTEGRARE ŞI DERIVARE NUMERICĂ - andrei.clubcisco.roandrei.clubcisco.ro/cursuri/1mn/curs/c09mn Integrare si derivare numerica.pdf · Pentru N=2 se obţine formula lui Simpson ...

1

INTEGRARE ŞI DERIVARE NUMERICĂ

Ne propunem în acest capitol să calculăm în mod aproximativ valorile

dxxffIb

a ,

0pxffD .

în condiţiile în care

funcţia f este continuă pe b,aCf:b,a şi derivabilă în 0x

primitiva F nu este cunoscută

funcţia f este cunoscută numai prin valorile f(xi) pe care le ia într-un număr restrîns de

puncte xi, i=0 : N

Definim o metodă aproximativă de integrare ca

N

1i

iNiNN xfAfI ,

Metoda aproximativă de integrare este slab convergentă dacă

0fIfIlim NN

.

In mod similar se defineşte o metodă aproximativă de derivare.

Teorema 7.1. Condiţia necesară şi suficientă ca metoda de integrare IN[f] să conveargă slab către

I[f] se exprimă prin relaţiile

a) există M>0 astfel încât Ma

N

1i

iN

, pentru toţi N=1,2,...

b)

b

a

kk

Nn

,dxxxIlim pentru toţi k=0,1,...

1. Metode de tip Newton-Cotes

In general, pentru o formulă de integrare aproximativă putem scrie

N

N

1i

iNiN

b

aRxfAdxxwxf

.

funcţia pondere w:[a,b]R+, nu modifică problema (1), întrucât putem lua g(x)=f(x).w(x), iar

Rn este eroarea (sau restul) formulei aproximative de integrare.

Metodele de tip Newton-Cotes se bazează pe integrarea polinomului de interpolare, utilizând ca suport al

interpolării nodurile xiN echidistante în intervalul [a,b], adică

N:0i,N

abiaxiN

.

Metodele de integrare de tip Fejer integrează polinomul de interpolare folosind ca noduri xiN - rădăcinile

polinomului ortogonal Pn(x), definit relativ la ponderea w(x).

Coeficienţii aiN se determină impunând ca formula aproximativă să fie exactă (R=0), dacă f aparţine

unei anumite clase de funcţii (de exemplu polinoame de grad ≤N, f N,).

Cum funcţia este cunoscută numai în nodurile xi, i=1:N, o vom aproxima prin polinomul ei de

interpolare Lagrange

iN

N

1i

i1N xfxlxPxf

,

cu care putem scrie

Page 2: INTEGRARE ŞI DERIVARE NUMERICĂ - andrei.clubcisco.roandrei.clubcisco.ro/cursuri/1mn/curs/c09mn Integrare si derivare numerica.pdf · Pentru N=2 se obţine formula lui Simpson ...

2

N

1i

iNiN

b

a1N xfAdxxwxP ,

sau

dxxwxfxldxxwxP iN

b

a

N

1i

iN

b

a1N

iN

N

1i

iN

b

aiN

N

0i

iN xfAdxxwxlxf

,

de unde

b

aiNiN dxxwxlA .

Printr-o schimbare liniară de variabilă, coeficienţii aiN pot fi făcuţi independenţi de intervalul de

integrare; ei sunt totuşi inutilizabili, fiind de valori mari şi de semne contrarii, ceea ce conduce la

instabilitate numerică.

Expresia erorii în metodele de tip Newton-Cotes se deduce integrând expresia erorii din polinomul de

interpolare.

xExPxf 1N1N ,

obţinându-se

NNR

b

a1N

fI

b

a1N

fI

b

adxxwxEdxxwxPdxxwxf ,

deci

b,aξ,dxxwxxxx

!N

ξfR

b

aN1

N

1N ,

cu majorarea

dxxwxxxx

!N

ξfR

b

aN1

N

1N .

Datorită instabilităţii interpolării polinomiale se folosesc polinoame de interpolare cu grad mic.

Astfel pentru N=1 se obţine formula trapezelor

12

fhbfaf

2

hdxxf

3b

a

.

în care abN

abh

şi b,a

Pentru N=2 se obţine formula lui Simpson

90

ξfhbf

2

baf4af

3

hdxxf

iv5b

a

.

Aceste formule folosesc puţine puncte ceeace ne determină să aproximăm funcţia f, local, pe intervale

dxxfdxxfdxxfn

1n

1

0

n

0

x

x

x

x

x

x

,

Se obţin în acest fel

formula compusă a trapezelor

Page 3: INTEGRARE ŞI DERIVARE NUMERICĂ - andrei.clubcisco.roandrei.clubcisco.ro/cursuri/1mn/curs/c09mn Integrare si derivare numerica.pdf · Pentru N=2 se obţine formula lui Simpson ...

3

1N

1i

ihaf2bfaf2

hT .

cu N

abh

.

function I = Trapez(a, b, n, f)

% Intrări:

% a, b = capetele intervalului de integrare

% n = ordinul metodei

% f = funcţia de integrat

% Ieşiri:valoare integrala definita

h = (b-a) / n;

s = 0;

for i = 1 : n-1

s = s + f(a+i*h);

end

I = h*(f(a) + f(b) + 2*s) / 2;

formula compusă Simpson

N

1i

1N

1i

i21i2 xf2xf4bfaf3

hS .

cu N2:0i,hiax,N2

abh i

function I= Simpson(n, a, b, f)

/* Intrări:

/* a,b = capete interval de integrare

/* n = ordinul metodei

/* f = funcţia de integrat

/* Ieşiri: valoarea integralei definite

h =(b-a) / (2*n);

s1 = 0;

s2 = 0;

for i = 1 : n

s1 = s1 + f(a+(2*i-1)*h);

end

for i = 1 : n-1

s2 = s2 + f(a+2*i*h);

end

I = h*(f(a) + f(b) + 4*s1 + 2*s2)/3;

7.2. Formule de integrare bazate pe integrarea prin părţi

Metoda lui Euler

Metodele din această categorie sunt aplicabile, dacă se cunosc informaţii privind derivatele funcţiei de

integrat f(x) la capetele intervalului de integrare.

Considerăm funcţia f(x) continuă, împreună cu derivatele până la ordinul r inclusiv

( b,aCf,Rb,a:fr ) şi polinomul monic de grad ≤r, rr xP .

Întrucât Pr(x) este monic, avem evident !rxPr

r şi putem scrie

b

a

r

r

b

a

dxxfxP!r

1dxxffI

Integrăm prin părţi de r ori

Page 4: INTEGRARE ŞI DERIVARE NUMERICĂ - andrei.clubcisco.roandrei.clubcisco.ro/cursuri/1mn/curs/c09mn Integrare si derivare numerica.pdf · Pentru N=2 se obţine formula lui Simpson ...

4

dxxfxP

!r

1xfxP1

!r

1fI

b

a

r

r

r

a

br

1k

1kkr

r

1k

Considerăm dezvoltarea în serie

0n

nn

t

tx

t!n

xB

1e

et

relaţie scrisă şi sub forma

tx

0n

nntett

!n

xB1e

, în care exponenţialele se dezvoltă de asemenea în

serie Taylor

0n

nn

0n 1n

n1nn

t!n

xB

!n

t

!n

tx

Identificând termenii din cei doi membri obţinem

n

1k

1n

kn0 xnxBk

n,1xB ,

relaţie care ne arată că Bn(x) este un polinom de grad n numit polinomul lui Bernoulli.

Folosind relaţia cu n=1,2,… obţinem

2

xx

2

3xxB,

6

1xxxB,

2

1xxB

23

3

2

21 ,…

Se obţin relativ uşor relaţiile

1n

nn xnxB1xB

xBnxB 1nn , n=1,2,…

xB1x1B n

n

n

1

0

n 0dxxB

Numerele lui Bernoulli se definesc ca

0BBnn

Dacă se notează

!n

BC n

n

particularizăm relaţia de recurenţă pentru x=0

01Cn

1nC

2

1nC

1

1n

11nn

,

din care se determină, luând pe rând n=1,2,… valorile

,6

1C,

2

1C 21 şi

0B 1n2

Particularizăm relaţia pentru

!n2

xBxP,n2r

n2

r şi facem schimbarea de variabilă

x=a+t.h cu h=b-a

obţinem

Page 5: INTEGRARE ŞI DERIVARE NUMERICĂ - andrei.clubcisco.roandrei.clubcisco.ro/cursuri/1mn/curs/c09mn Integrare si derivare numerica.pdf · Pentru N=2 se obţine formula lui Simpson ...

5

b,aξ,ξfBhfR

afbfBh2

bfafhfI

n2

n2

1n2

1n

1k

1k21k2

k2

k2

n

Pentru obţinerea unei formule compuse, împărţim intervalul (a,b) cu N-1 puncte echidistante

N

abiaxi

şi aplicăm formula de mai sus în fiecare subinterval. Obţinem în final

o relaţie cunoscută sub numele de formula lui Euler

1n

1k

1k21k2k2

k21N

1i

n afbf!k2

Bhihaf

2

bfafhfI

3. Integrare gaussiană

Vom indexa nodurile de la 1, xin, i=1:n este justificată, deoarece prezenţa a n noduri impune un grad

al polinomului de interpolare egal cu n-1. În cazul integrării gaussiene, acelaşi suport reprezintă cele n

rădăcini ale unui polinom ortogonal de grad n. Aşadar, pentru calculul unei integrale de forma

dxxwxffI

b

a

cu Rb,a:w , o funcţie continuă pe intervalul finit sau infinit (a,b), vom folosi o metodă de

integrare numerică de forma

N

1i

iNiN1N xfafI

În plus se impun condiţiile

,1,0k,dxxwx

b

a

k să fie absolut convergente

b

a

2dxxwxf

Metodele de tip Newton-Cotes (pentru suportul NNN1 x,,x ) au gradul de valabilitate N-1 (sunt

exacte pentru polinoame până la gradul N-1 inclusiv).

Ne punem problema determinării unor metode aproximative de integrare cu grad de valabilitate mai

ridicat, pe seama alegerii corespunzătoare a nodurilor xiN.

Determinarea celor 2N necunoscute aiN şi xiN cu i=1:N, necesită 2N ecuaţii. Formula este, prin urmare

exactă pentru polinoame de la grad 0 până la 1N2 .

1N2N P,PIPI

Sistemul format, considerând polinoamele 1N2x,,x,1P

este

dxxwAb

a

N

1i

iN

,

b

a

N

1i

iNiN dxxwxxA ,

dxxwxxAb

a

1N2N

1i

1N2

iNiN

.

fiind neliniar în raport cu xiN, şi nu poate fi rezolvat uşor în mod direct.

Pentru obţinerea nodurilor xiN, i=1:N, Gauss a folosit metoda prezentată în cele ce urmează.

Seconsideră polinomul

Page 6: INTEGRARE ŞI DERIVARE NUMERICĂ - andrei.clubcisco.roandrei.clubcisco.ro/cursuri/1mn/curs/c09mn Integrare si derivare numerica.pdf · Pentru N=2 se obţine formula lui Simpson ...

6

NNN1N xxxxxπ ,

Orice polinom xP 1qN de grad N21qN se poate exprima sub forma

xRxQxπxP 1N1qN1qN ,

pe baza teoremei împărţirii cu rest.

Dorim ca formula aproximativă de integrare să aibă grad de valabilitate > N-1, adică să fie exactă

pentru polinoamele xP 1qN , ceeace implică

iN

N

1i

1qNiN

b

a1qN xPAdxxwxP

,

dar:

iN1NiN1qN xRxP ,

sau

iN

N

1i

1NiN

b

a1qN xRAdxxwxP

.

Pe de altă parte

b

a1N1q

b

aN

b

a1qN dxxwxRdxxwxQxπdxxwxP ,

dar formula are cel puţin gradul de valabilitate N-1, adică

N

1i

iN1NiN

b

a1N xRAdxxwxR ,

de unde

0dxxwxQxπ 1q

b

aN .

Relaţia arată că xπN este ortogonal cu orice polinom de grad < N. Se ştie că, în raport cu o funcţie

pondere w(x) definită pe un interval (a,b), există un polinom ortogonal unic; aşadar xπN este acest

polinom ortogonal.

In concluzie, nodurile xiN (abscisele Gauss) sunt rădăcinile polinomului ortogonal, definit în mod unic în

raport cu funcţia pondere w(x).

Coeficienţii AiN se vor determina apoi, rezolvând N ecuaţii, din cele 2N ale sistemului liniar.

Coeficienţii AiN se pot exprima şi prin intermediul polinomului de interpolare Lagrange. Formula

gaussiană, având gradul de valabilitate 2N-1, este exactă şi pentru funcţia

xlxf2

N,k ,

pentru care

kNkN

2

N,kkNiN

N

1i

2

N,kiN

b

a

2

N,k AxlAxlAdxxwxl

,

deci

dxxwxlAb

a

2

N,kkN .

Eroarea integrării în metoda gaussiană este

dxxwxπ

!N2

ξfR

b

a

2

N

N2

N .

Particularizăm relaţia pentru polinoamele ortogonale uzuale, obţinând formule de integrare utile

-Cebâşev ordin 1

Page 7: INTEGRARE ŞI DERIVARE NUMERICĂ - andrei.clubcisco.roandrei.clubcisco.ro/cursuri/1mn/curs/c09mn Integrare si derivare numerica.pdf · Pentru N=2 se obţine formula lui Simpson ...

7

N

1i

1

1 2 N2

π1i2cosf

N

πdx

x1

xf.

O funcţie MATLAB care calculează o integrală, folosind relaţia precedentă este:

function y=GCeb(f,n)

%integrare Gauss-Cebasev

k=1:n;

x=cos(2*k-1)*pi/(2*n);

y=pi/n*sum(feval(f,x));

În scriptul de test, funcţia integrand f se defineşte cu inline. De exemplu:

F=inline(x*sqrt(x))

Z=Gceb(F,5)

-Cebâşev ordin 2

1N

iπcosf

1N

iπsin

1N

πdxx1xf

N

1i

22

1

1

;

-Legendre

N

1i

iNiN

1

1xfAdxxf ,

cu

iN

2

1N

2

2

iN

iNxLN

x12A

.

Funcţia MATLAB care calculează o integrală definită Gauss-Legendre este

function y=GLeg(f,a,b,n)

%integrare Gauss-Legendre

z =Leg(n+1); %coeficienti Ln(x)

x=roots(z); %radacini Ln(x)

xx=(b+a)/2+(b-a)/2*x;

yy=feval(f,xx);

z1=Leg(n-1);

A=2*(1-x.^2)/n^2;

A=A./polyval(z1,x).^2;

y=(b-a)/2*A'*yy;

Dacă limitele de integrare sunt altele decât -1 şi 1, se face o schimbare de variabilă:

-Laguerre

N

1i

iNiN0

xxfAdxxfe ,

cu

iN

2

1N

2

iN

iNxG1N

xA

.

1

1

b

a

dtt2

ab

2

abf

2

abdxxfI

n

1k

kk t2

ab

2

abfA

2

abI

Page 8: INTEGRARE ŞI DERIVARE NUMERICĂ - andrei.clubcisco.roandrei.clubcisco.ro/cursuri/1mn/curs/c09mn Integrare si derivare numerica.pdf · Pentru N=2 se obţine formula lui Simpson ...

8

-Hermite

N

1i

iNiN

xxfAdxxfe

2

,

cu

iN

2

1N

1N

iNxH

π!N2A

.

Nodurile xiN reprezintă rădăcinile polinomului ortogonal corespunzător, iar coeficienţii AiN se obţin fie

prin rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare deduse, impunând ca formula de integrare să fie exactă

pentru polinoame până la gradul N, fie direct cu formulele de mai sus.

Metodele gaussiene au o precizie mai mare decât metodele de tip Newton-Cotes (având gradul de

valabilitate mai ridicat) şi pot fi utilizate şi pentru calculul unor integrale improprii de tipul de mai sus.

4. Integrare Romberg

Fie IN şi EN valoarea aproximativă a integralei şi estimarea erorii în metoda compusă a trapezelor.

Valoarea exactă a integralei este

NN EII ,

b,aξ,ξf12

NhE

3

N .

Pentru două valori diferite ale lui N avem

2211

NNNN EIEII ,

de unde

1

2

12

1

1

12

1

21

N

N

NN

N

N

NN

N

NN

E

E1

IIE

E

II

E

EE

,

2

2

2

1

3

1

3

1

3

2

3

2

1

3

11

2

3

22

N

N

N

N

N

abN

N

abN

ξf12

hN

ξf12

hN

E

E

1

2

,

(dacă se aproximează 21 ξfξf ). Prin urmare

2

2

2

1

NN

N

2

2

2

1

NN

N

N

N1

IIII

N

N1

IIE 12

1

12

1

,

Dacă se alege N1=2N1 atunci

3

II4I

4

11

IIII

NN2

N

NN2

N

,

de unde, în final

3

II4I

NN2

Dacă în această formulă înlocuim pe IN şi I2N cu estimările lor din formula compusă a trapezelor, atunci

se obţine pentru I estimarea din formula compusă a lui Simpson.

Estimând acum integrala cu formula compusă a lui Simpson, în care eroarea are expresia

ξf90

NhE

iv5

N ,

Page 9: INTEGRARE ŞI DERIVARE NUMERICĂ - andrei.clubcisco.roandrei.clubcisco.ro/cursuri/1mn/curs/c09mn Integrare si derivare numerica.pdf · Pentru N=2 se obţine formula lui Simpson ...

9

se obţine

4

2

4

1

NN

N

N

N1

IIII 12

1

,

Dacă se urmează tactica dublării numărului de puncte, atunci

15

II16

14

II4

14

II4II NN2

2

NN2

2

2

NN2

2

N

.

Notăm cu 1N1101 I,,I,I estimările integralelor calculate cu formula compusă a trapezelor

considerând N102,,2,2 intervale.

Se demonstrează uşor că 1NI poate fi obţinut prin recurenţă din 1,1NI cu formula

12

2i,1iN1N1,1N1,N

N

i2

abaf

2

abI

2

1I .

Integralele Simpson pentru N10

2,,2,2 intervale se obţin cu formulele

14

II4I

1,k1,1k

2,k

.

Analog

14

II4I

2

2,k2,1k

2

3,k

, şi

14

II4I

1j

1j,k1j,1k

1j

j,k

.

Se formează matricea inferior triunghiulară

NN2N1N

333231

2221

11

III

III

II

I

Fiecare coloană converge către I , cu atât mai rapid cu cât este situată mai la dreapta.

Pentru o coloană j , calculul iterativ este oprit în momentul în care

j,kj,1kj,k IεII

unde ε este toleranţa impusă. Calculul integralei pe această bază face obiectul algoritmului 7.4.

function R = Romberg(a, b, n, f)

% Intrări:

%a, b = intervalul de integrare

% f = funcţia de integrat

% 2n = numărul intervalelor de diviziune

% Ieşiri:

% R = matricea cu valorile integralelor

h = b-a;

R(1,1) = h(f(a)+f(b)) / 2;

l = 1

for i = 2 : n

s = R(i-1, 1);

for k = 1 : l

Page 10: INTEGRARE ŞI DERIVARE NUMERICĂ - andrei.clubcisco.roandrei.clubcisco.ro/cursuri/1mn/curs/c09mn Integrare si derivare numerica.pdf · Pentru N=2 se obţine formula lui Simpson ...

10

s = s + h.f(a+(k-0.5)h);

end

R(i,1) = s / 2;

l = 2*l;

p = 1;

for j = 2 : i

p = 4*p;

R(i,j)=(p*R(i,j-1)-R(i-1,j-1))/(p-1);

end

h = h / 2;

end

Metoda Romberg converge pentru orice funcţie integrabilă în sens Riemann.

5. Metoda seriei generatoare

Se utilizează cea de-a treia formulă de interpolare Newton-Gregory, considerând punctele echidistante

k10 x,,x,x .

uEupuhxfxf k0 ,

unde

0

k

00k fk

1kuf

1

ufup

,

cu eroarea interpolării

ξfku1uu!1k

huE

1k1k

.

Prin integrarea formulei se obţine

,Rduk

1kufdu

1

ufdufhdxxf

1

0

x

x

1

0

1

0

1

00

k

00

în care expresia restului este

du1k

kuξfkR

1

0

1k2k

.

Dacă se introduce notaţia

du!m

1mu1uuc

1

0m

,

formula de integrare devine

ξfhcfcfcfhdxxf1k2k

1k0

k

k010

x

x

1

0

.

Pentru calculul integralei folosim seria

m

0m

mtctC

,

care este absolut convergentă pentru 1t , întrucât 1cm .avem

du!m

1mu1uuttC

1

00m

m

1

0

u1

00m

mdut1dut

!m

1mu1uu ,

Page 11: INTEGRARE ŞI DERIVARE NUMERICĂ - andrei.clubcisco.roandrei.clubcisco.ro/cursuri/1mn/curs/c09mn Integrare si derivare numerica.pdf · Pentru N=2 se obţine formula lui Simpson ...

11

t1lnt1

ttC

,

care se rescrie

t1

1t1ln

t

tC

,

Dezvoltăm în serie

2

10

2

tt1tcc3

t

2

t1 ,

şi identificăm coeficienţii, rezultând relaţia de recurenţă

11m

c

2

cc

01m

m

.

Valorile coeficienţilor astfel calculaţi sunt 1, ,188

95,

720

251,

8

3,

12

5,

2

1 etc.

Metoda este utilizată şi pentru integrarea ecuaţiilor diferenţiale prin metode multipas.

6. Derivare numerică

Pentru o funcţie fC([a,b]) cunoscută numai prin valorile n10 xf,,xf,xf se cere

aproximarea derivatei αfp într-un punct b,aα .

Aproximarea derivatei se exprimă printr-o funcţională liniară discretă

αRxfαAαf i

n

0i

i

p

.

Coeficienţii αAi se determină impunând ca formula să fie exactă 0αR pentru o anumită clasă

de funcţii.

De exemplu pentru baza xu,,xu,xu n10 se obţine

n

0i

iki

p

k xuαAαu .

sistem de ecuaţii care ne permite să determinăm necunoscutele αAi .

Utilizarea bazei polinomiale n2

x,,x,x,1 conduce la sistemul liniar

n

0i

pkk

ii

n

0i

k

ii

.n:pk,α1pk1kkxαA

,1p:1k,0xαA

Funcţia f poate fi înlocuită cu polinomul de interpolare Lagrange, derivata funcţiei fiind estimată prin

derivata polinomului de interpolare.

αEαlxfαf

pn

0i

p

ii

p

,

de unde prin identificare se obţine

n:0i,αlαAp

ii .

Eroarea formulei de derivare este

Page 12: INTEGRARE ŞI DERIVARE NUMERICĂ - andrei.clubcisco.roandrei.clubcisco.ro/cursuri/1mn/curs/c09mn Integrare si derivare numerica.pdf · Pentru N=2 se obţine formula lui Simpson ...

12

pn02nn0

px,x,xFxxxxαEαR ,

)!1kpn(

)ξ(f)α(π

!k

!p)α(R

kp

)1kpn(

)k(p

0k

.

Formulele de aproximare obţinute pentru prima derivată, considerând punctele ix echidistante sunt de

forma

formule în 3 puncte

ξf

3

h

h2

xfxf4xf3xf

32

101

1

,

ξf

6

h

h2

xfxfxf

32

11

0

,

ξf

3

h

h2

xf3xf4xfxf

32

101

1

,

ξf

5

h

h12

xf3xf16xf36xf48xf25xf

54

21012

2

.

formule în 5 puncte

ξf

5

h

h12

xf3xf16xf36xf48xf25xf

54

21012

2

,

ξf

20

h

h12

xfxf6xf18xf10xf3xf

54

21012

1

,

ξf

30

h

h12

xfxf8xf8xfxf

54

2112

0

,

ξf

20

h

h12

xf3xf10xf18xf6xfxf

54

21012

1

,

ξf

5

h

h12

xf25xf48xf36xf16xf3xf

54

21012

2

.

Eroarea este minimă dacă derivata este calculată într-un punct central.