Exercitii si probleme rezolvate – metoda inductiei matematice 1. Sa se demonstreze ca 1+3+5+…+(2n-1)=n², n * Solutie Notam P(n) egalitatea 1+3+5+…+(2n-1)=n². Pentru a demonstra propozitia (n)P(n) aplicam metoda inductiei matematice. Etapa de verificare Pentru n=1 se obtine P(1): 1=1², care este adevarata. Etapa de demonstratie Presupuneam ca propozitia P(k) este adevarata, adica 1+3+5+…+(2k-1)=k². Demonstram ca propozitia P(k=1) este adevarata, adica 1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=(k+1)². Folosind ca P(k) este o propozitie adevarata se obtine 1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=(k+1)² Asadar propozitia P(k+1) este adevarata. Rezulta ca propozitia P(n) este adevarata oricare ar fi n .

2. Sa se demonstreze ca 1+2

1+

3

1+…+

n

1<2 n , n *

Solutie Notam P(n) inegalitatea din enunt. Pentru a demonstra propozitia (n) P(n) folosim metoda inductiei matematice. Etapa de verificare

Pentru n=1 se obtine P(1): 1<2 1 , propozitie adevarata. Etapa de demonstratie

Presupunem ca P(k) este adevarata, adica 1+2

1+

3

1+…+

k

1<2 k . (1)

Demonstram ca propozitia P(k+1) este adevarata, adica

1+2

1+

3

1+…+

k

1+

1

1

k<2 1k .

Avem ca P(k) este propozitie adevarata. Adunam in ambii membri ai

inegalitatii (1) termenul 1

1

k si obtinem inegalitatea adevarata:

1+2

1+

3

1+…+

k

1+

1

1

k<2 k +

1

1

k.

A demonstra ca propozitia P(k+1) este adevarata, revine la a arata ca:

2 k +k

1<2 1k , k1

Eliminam numitorul 1k >0 si obtinem succesiv:

2 k • 1k +1<2(k+1) 2 kk 2 <2k+1 4(k 2 +k)<4k 2 +4k+1, inegalitate

adevarata. Asadar, P(k+1) este propozitie adevarata. Cele doua etape fiind parcurse, conform metodei inductiei matematice, rezulta ca P(N) este adevarata oricare ar fi n *. 3. Sa se demonstreze ca 9 n -1 se divide cu 8, oricare ar fi n *. Solutie Fie P(n): “ 9 n - 18 “. Pentru n=1 se obtine propozitia P(1): “ 9 1 -18 “ care este adevarata. Presupuneam ca P(k) este propozitie adevarata, adica 9 k -18, k1 si demonstram ca P(k+1) este propozitie adevarata adica “ 9 1k -18. “ Scriem P(k+1) cu ajutorul propozitiei P(k). Avem: 9 1k -1=9 k •9-1=(9 k -1+1) •9-1=(9 k -1) •9+9-1=(9 k -1) •9+8. Deoarece (9 k -1)•98 si 88 rezulta ca [(9 k -1)9+8] 8. Asadar, P(k+1) este propozitie adevarata. Rezulta ca P(n) este adevarata pentru orice n *.