Simboluri Matematice de Bază

17
Simboluri matematice de bază Simbol Seminificație Explicație Exemple Se citește Categorie = egalitate x = y înseamnă x și y reprezintă același lucru sau au aceeași valoare. 1 + 1 = 2 este egal cu oriunde <> neegalitate x y înseamnă x și y nu reprezintă același lucru sau nu au aceeași valoare. 1 ≠ 2 nu este egal cu diferit de oriunde < strictă inegalitate x < y înseamnă x este mai mic decât y. 3<4 5>4 0,003 1000000 este mai mic

Transcript of Simboluri Matematice de Bază

Page 1: Simboluri Matematice de Bază

Simboluri matematice de bază

Simbol

Seminificație

Explicație ExempleSe citește

Categorie

=

egalitate

x = y înseamnă x și y reprezi

ntă același lucru sau au

aceeași valoare.

1 + 1 = 2este egal cu

oriunde

<>

neegalitate

x ≠ y înseamnă că x și y nu

reprezintă același lucru sau

nu au aceeași valoare.

1 ≠ 2nu este egal cu

diferit de

oriunde

< strictă inegalitate x < y înseamnă că x este mai

mic decât y.

x > y înseamnă că x este mai

3 < 4

5 > 4

0,003 ≪1000000

este mai mic decât,

este mai mare decât,

Page 2: Simboluri Matematice de Bază

>

este mult mai mic decât,

este mult mai mare

decât

mare decât y.

x ≪y înseamnă că x mult mai

mic decât y.

teoria ordonării

inegalitate

x ≤ y înseamnă că x este mai

mic sau egal cu y.

x ≥ y înseamnă că x este mai

mare sau egal cu y.

3 ≤ 4 și 5 ≤ 5

5 ≥ 4 and 5 ≥ 5

este mai mic sau egal

cu,

este mai mare sau egal

cu

teoria ordonării

∝proporționalitate

y ∝ x înseamnă

că y = kx pentru o

constantă k.

dacă y = 2x, atunci y ∝ xeste proporțional cu

oriunde

+ adunare 4 + 6 înseamnă suma lui 4 și

6

2 + 7 = 9

plus

aritmetică

Page 3: Simboluri Matematice de Bază

reuniune disjunctă

A1 + A2 înseamnă reuniunea

disjunctă a mulțimilor A1 și A2.

A1={1,2,3,4} ∧ A2={2,4,5,7} ⇒A1 + A2 = {(1,1), (2,1), (3,1),

(4,1), (2,2), (4,2), (5,2),

(7,2)}

reuniunea disjunctă între

teoria mulțimilor

diferență

9 − 4 înseamnă diferența

dintre 9 și 48 − 3 = 5minus

aritmetică

opusul

−3 înseamnă opusul lui 3. −(−5) = 5negativ ; minus

aritmetică

complementul unei

mulțimi

A − B înseamnă mulțimea

care conține toate elementele

din A care nu sunt în B.

{1,2,4} − {1,3,4}  =  {2}minus; fără

teoria mulțimilor

Page 4: Simboluri Matematice de Bază

×

produs

3 × 4 înseamnă produsul lui 3

și 4.7 × 8 = 56

ori,

înmulțit cu

aritmetică

produs cartezian

X×Y înseamnă mulțimea

tuturor perechilor ordonate cu

primul element din X și al

doilea element din Y.

{1,2} × {3,4} = {(1,3),(1,4),

(2,3),(2,4)}

produsul cartezian între;

produsul direct

teoria mulțimilor

produs vectorial

u × v înseamnă produsul

vectorial al vectorilor u și v

(1,2,5) × (3,4,−1) =

(−22, 16, − 2)produs vectorial cu

algebră vectorială

÷

/

împărțire

6 ÷ 3 sau 6/3 înseamnă

împărțirea lui 6 la 3

2 ÷ 4 = 0,5

12 / 4 = 3

împărțit la

aritmetică

Page 5: Simboluri Matematice de Bază

rădăcină pătrată

√x înseamnă numărul pozitiv

al cărui pătrat este x.√4 = 2

rădăcina pătrată a lui;

radicalul de ordin doi din

numere reale

rădăcina pătrată

complexă

dacă z = r exp(iφ) este

reprezentat în coordonate

polare, atunci √z =

√rexp(iφ/2).

√(-1) = irădăcina pătrată

complexă a lui

numere complexe

| |

valoare absolută

|x| înseamnă distanța pe axa

reală (sau în planul complex)

dintre x șizero.

|3| = 3, |-5| = |5|

|i| = 1, |3+4i| = 5

valoarea absolută a lui;

modul din

numere

! factorial n! este produsul 1×2×...×n. 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

factorial

combinatorică

Page 6: Simboluri Matematice de Bază

~

distribuție de

probabilitate

X ~ D, înseamnă că variabila

aleatoare X are distribuția de

probabilitateD.

X ~ N(0,1), distribuția

normală standardare distribuția

statistică

⇒→

implicație A ⇒ B înseamnă că

dacă A este adevărată,

atunci și B este adevărată; în

caz că A este falsă, nu se

poate spune nimic despre B.

→ poate însemna același

lucru ca și ⇒ sau poate avea

sensul pentru funcții descris

mai jos.

⊃ poate însemna același

lucru ca și ⇒ sau poate avea

sensul de supramulțime

descris mai jos.

x = 2  ⇒  x2 = 4 este

adevărată, dar x2 = 4 ⇒  x = 2 este în general

falsă (deoarece x poate fi

−2, dacă domeniul studiat

permite).

implică; dacă .. atunci

logică propozițională

⇔↔

echivalență A ⇔ B înseamnă că A și B au

aceleași valori de adevăr.

x + 5 = y +2  ⇔  x + 3 = y

dacă și numai dacă

(dnd); echivalent cu

logică propozițională

Page 7: Simboluri Matematice de Bază

¬

˜

negație logică Propoziția ¬A este adevărată

dacă și numai dacă A este

falsă.

O bară oblică ce taie un

operator reprezintă același

lucru ca și "¬" scris în față.

¬(¬A) ⇔ A

x ≠ y  ⇔  ¬(x = y)non

logică propozițională

∧conjuncție

logică sauinfimum într-

o latice

Propoziția A ∧ B este

adevărată dacă A și B sunt

ambele adevărate; altfel este

falsă.

n < 4  ∧  n >2  ⇔  n = 3

dacă n este număr natural.și

logică

propozițională,teoria

laticelor

∨disjuncție

logică sausupremum în

tr-o latice

Propoziția A ∨ B este

adevărată dacă A sau B (sau

ambele) sunt adevărate; altfel

este falsă.

n ≥ 4  ∨  n ≤ 2  ⇔ n ≠ 3

dacă n este număr natural.sau

logică

propozițională,teoria

laticelor

Page 8: Simboluri Matematice de Bază

⊕⊻

sau exclusiv

Afirmația A ⊕ B este

adevărată dacă fie A, fie B,

dar nu ambele, este

adevărată. A ⊻ B înseamnă

același lucru.

(¬A) ⊕ A este mereu

adevărată, A ⊕ A este

mereu falsă.

xor

logică

propozițională,algebră

booleană

∀cuantificator universal

∀ x: P(x) înseamnă P(x) este

adevărată pentru toți x din

domeniu.

∀ n ∈ N: n2 ≥ n.oricare; pentru fiecare

logica predicatelor

∃cuantificator existențial

∃ x: P(x) înseamnă că există

cel puțin un x astfel încât P(x)

este adevărată.

∃ n ∈ N: n este par.există

logica predicatelor

∃!

cuantificator de unicitate

∃! x: P(x) înseamnă că există

exact un x astfel încât P(x)

este adevărată.

∃! n ∈ N: n + 5 = 2n.există un(o) unic(ă)

există și e unic(ă)

logica predicatelor

Page 9: Simboluri Matematice de Bază

:=

:⇔

definiție x := y sau x ≡ y înseamnă

că x este definit ca un alt

nume pentru y (de observat

că ≡ poate avea și alte

sensuri, precum congruență).

P :⇔ Q înseamnă că P este

definit astfel încât, din punct

de vedere logic, este

echivalent cu Q.

cosh x := (1/2)(exp x +

exp (−x))

A XOR B :⇔

(A ∨ B) ∧ ¬(A ∧ B)

se definește ca

oriunde

{ , }

acolade de mulțime

{a,b,c}înseamnă mulțimea

formată din a, b și c.N = {0,1,2,...}mulțimea

teoria mulțimilor

{ : }

{ | }

notație de construcție a

unei mulțimi

{x : P(x)} sau {x | P(x)}

înseamnă mulțimea

acelor x pentru care P(x) este

adevărată.

{n ∈ N : n2 < 20} =

{0,1,2,3,4}mulțimea elementelor cu

proprietatea că

teoria mulțimilor

mulțimea vidă  înseamnă mulțimea cu nici

un element. {} este o notație

echivalentă.

{n ∈ N : 1 < n2 < 4} = 

mulțimea vidă

Page 10: Simboluri Matematice de Bază

{}

teoria mulțimilor

∈apartenență

a ∈ S înseamnă că a este un

element al mulțimii S; a   

S înseamnă căa nu este un

element al mulțimii S.

(1/2)−1 ∈ N

2−1   N

aparține lui, este inclus

în;

nu aparține lui, nu este

inclus în

oriunde, teoria mulțimilor

⊆⊂

submulțime

(submulțime) A ⊆ B înseamn

ă că fiecare element

din A este și element al lui B.

(submulțime

proprie) A ⊂ B înseamnă

că A ⊆ B dar A ≠ B.

A ∩ B ⊆ A; Q ⊂ R

este inclusă în; este o

submulțime pentru; este

submulțime a lui

teoria mulțimilor

⊇⊃

superset A ⊇ B înseamnă că fiecare

element din B este și element

al lui A.

A ⊃ B înseamnă

că A ⊇ B dar A ≠ B.

A ⊇ B este echivalent

cu B ⊆ A, A ⊃ B este

echivalent cu B ⊂ A.

A ∪ B ⊇ B; R ⊃ Q

include; este o

supramulțime pentru;

este supramulțime a lui

teoria mulțimilor

reuniune Reuniune exclusivă (vezi și A ⊆ B  ⇔  A ∪ B = B

Page 11: Simboluri Matematice de Bază

∪diferență

simetrică): A ∪ B înseamnă

mulțimea care conține toate

elementele lui A, și toate

elementele lui B, dar nu și

elementele lor comune.

"A sau B, dar nu amândouă".

Reuniune

inclusivă: A ∪ B înseamnă

mulțimea care conține toate

elementele lui A, și toate

elementele lui B.

"A sau B sau amândouă".

A ∪ B =

{x | x ∈ A ∨ x ∈ B)}

reuniunea între

teoria mulțimilor

∩intersecție de mulțimi

A ∩ B înseamnă mulțimea ce

conține elementele comune

din A și B

{x ∈ R : x2 = 1} ∩ ℕ = {1}intersecția dintre

teoria mulțimilor

\

set-theoretic

complement A \ B înseamnă mulțimea ce

conține elementele pe

care A le are în plus față de B

{1,2,3,4} \ {3,4,5,6} = {1,2}diferența

teoria mulțimilor

( )

valoarea funcției

f(x) înseamnă 'f de x', sau

valoarea lui f în elementul x.

Dacă f(x) := x2, atunci f(3) =

32 = 9.de

teoria mulțimilor

modificatori de

precedențăSe efectuează întâi operațiile

din paranteze.

(8/4)/2 = 2/2 = 1, dar

8/(4/2) = 8/2 = 4.paranteze

oriunde

f:X→ functie săgeată f: X → Y înseamnă că

funcția f transportă

Let f: Z → N be defined

by f(x) := x2.de ... la

Page 12: Simboluri Matematice de Bază

Y elementele lui X în cele din Y.teoria mulțimilor

o

funcția compunere

fog e functia, fiind (fog)(x)

= f(g(x)).

if f(x) := 2x, și g(x) := x + 3,

apoi (fog)(x) = 2(x + 3).compus cu

teoria mulțimilor

Nℕnumere naturale

N înseamnă {0,1,2,3,...}, dar

a se vedea și numere

naturale pentru o altă

convenție.

{|a| : a ∈ Z} = NN

număr

Zℤnumere întregi

Z înseamnă {...,

−3,−2,−1,0,1,2,3,...}.{a : |a| ∈ N} = Z

Z

număr

Qℚnumere raționale

Q înseamnă

{p/q : p,q ∈ Z, q ≠ 0}.

3.14 ∈ Q

π ∉ Q

Q

număr

Rℝnumere reale

R înseamnă setul de numere

reale.

π ∈ R

√(−1) ∉ R

R

număr

Cℂnumere complexe

C înseamnă

{a + bi : a,b ∈ R}.i = √(−1) ∈ C

C

număr

∞ infinitate ∞ este un element al mulțimii

reale extinse și este mai

mare ca orice alt număr real,

fiin deseori întalnit în limite

limx→0 1/|x| = ∞

infinitate

număr

Page 13: Simboluri Matematice de Bază

matematice.pi π este raportul dintre

lungimea cercului și diametrul

său. Valorea lui este

3.1415....

A = πr² este aria unui cerc

cu raza rpi

geometrie euclidiană

|| ||norma

||x|| este norma unui

element x din spațiul vectorial

normat.

||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||norma lui; lungimea lui

algebră liniară

Însumare

∑k=1n ak înseamnă a1 + a2 + ... 

+ an.

∑k=14 k2 = 12 + 22 + 32 + 42 =

1 + 4 + 9 + 16 = 30

sumă peste ... de ... la ...

din

oriunde

Înmulțire

∏k=1n ak înseamnă a1a2···an.

∏k=14 (k + 2) = (1  + 2)(2 +

2)(3 + 2)(4 + 2) = 3 × 4 ×

5 × 6 = 360

produs peste ... de ...

la ... din

oriunde

Produs cartezian

∏i=0nYi înseamnă setul

tuturor (n+1)-uplurilor 

(y0,...,yn).

∏n=13R = Rn

produsul cartezian

dintre; produsul direct

dintre

algebră

'Derivată

f '(x) este derivata funcției f în

punctul x,ex: tangenta la

graficul lui f în x.

Dacă f(x) := x2,

atuncif '(x) = 2x… prim; derivata lui …

analiză matematică

∫ Integrala nedefinită sau

antiderivată

∫ f(x) dx înseamnă o funcție a

cărui derivată e f.

∫x2 dx = x3/3 + C

integrală nedefinită din

…;

calculus

Page 14: Simboluri Matematice de Bază

Integrala definită

∫ab f(x) dx înseamnă aria cu

semn dintre axa x și grficul

funcției lui f întrex = a și x = b.

∫0b x2  dx = b3/3;

integrala de la ... până la

....

analiză matematică

∇ gradient ∇f (x1, …, xn) este vectorul

derivatelor parțiale (df / dx1,

…, df / dxn).

Dacă f (x,y,z) := 3xy + z²,

atunci ∇f = (3y, 3x, 2z)Nabla, gradient din

analiză matematică

derivată parțială Cu f (x1, …, xn), ∂f/∂xi este

derivata lui f în funcție de xi,

celelalte variabile păstrându-

se constante.

dacă f(x,y) := x2y, atunci

∂f/∂x = 2xyderivată parțială din

calculus

frontiera

∂M înseamnă frontiera

mulțimii M∂{x : ||x|| ≤ 2} = {x : ||x|| = 2}frontiera

topologie

⊥perpendicular

x ⊥ y înseamnă x este

perpendicular pe y; sau mai

general x e ortogonal pe y.

Dacă l⊥m și m⊥n atunci l || 

n.e perpendicular pe

geometrie

element minim (cel mai

mic)x = ⊥ înseamnă că x este cel

mai mic element.∀x : x ∧ ⊥ = ⊥

Elementul minimt

lattice theory

⊧ entailment A ⊧ B means the

sentence A entails the

sentence B, that is every

model in which A is true, B is

also true.

A ⊧ A ∨ ¬Aentails

model theory⊢ inference x ⊢ y means y is derived

from x.

A → B ⊢ ¬B → ¬A

infers or is derived from

propositional

Page 15: Simboluri Matematice de Bază

logic,predicate logic

◅normal subgroup

N ◅ G means that N is a

normal subgroup of group G.Z(G) ◅ Gis a normal subgroup of

group theory

/quotient group

G/H means the quotient of

group G modulo its

subgroup H.

{0, a, 2a, b, b+a, b+2a} /

{0, b} = {{0, b}, {a, b+a},

{2a,b+2a}}

mod

teoria grupurilor

izomorfismG ≈ H înseamnă că

grupul G e izomorf cu

grupul H

Q / {1, −1} ≈ V,

unde Q este quaternion

group și V este grupul

Klein de 4 elemente.

e izomorf cu

teoria grupurilor

egal aproximativ

x ≈ y înseamnă x este

aproximativ egal cu yπ ≈ 3.14159este aproximativ egal cu

oriunde

〈,〉

( | )

< , >

·

:

produs scalar

〈x,y〉 înseamnă produsul

scalar al lui x și y.

În cadrul spațiilor euclidiene

se obișnuește de a nota

produsul scalar atît prin (x,y)

cît și prin x·y.

Pentru matrice se poate

utiliza semnul :.

În spațiul

euclidian ℝ2 produsul

scalar al vectorilorx = (2, 3)

și y = (−1, 5) este:

〈x, y〉 = 2 × −1 + 3 × 5 =

13

produs scalar

algebra liniară

⊗ Produs tensorialV ⊗ U înseamnă produsul

tensorial dintre V și U.

{1, 2, 3, 4} ⊗ {1,1,2} =

{{1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}, {2,

4, 6, 8}}