Evaluare la matematica

3

Prezenta culegere de teste este realizată de autori talentaŃi şi

entuziaşti, în conformitate cu standardele naŃionale de evaluare şi

programa de gimnaziu pentru disciplina matematică. Culegerea se

adresează elevilor şi profesorilor de matematică ce-şi desfăşoară

activitatea în gimnaziu, contribuind la buna lor pregătire în vederea

succesului lor la orice tip de evaluare la matematică.

Testele sunt ingenios concepute şi acoperă toată tematica

programei de matematică din gimnaziu. Rezolvând testele din această

culegere, elevii din gimnaziu au posibilitatea să-şi actualizeze, să-şi

clarifice şi să-şi consolideze toate cunoştinŃele prevăzute de programa

şcolară la matematică. Varietatea problemelor întâlnite în teste,

procedeele şi metodele de rezolvare utilizate, contribuie la îmbogăŃirea

experienŃei elevilor în rezolvarea cu succes a problemelor de

matematică cu care se vor confrunta la diferite evaluări.

Autorii acestei culegeri de teste şi-au valorificat cu pricepere

experienŃa didactică, au consultat numeroase cărŃi şi reviste de

specialitate, oferind elevilor de gimnaziu o carte deosebit de utilă în

pregătirea lor la matematică.

În mod sigur cartea răspunde aşteptărilor tinerilor cititori din

gimnaziu şi suntem convinşi că va avea succesul bine meritat.

Lector univ. drd. Gheorghe Neagu

Universitatea din Bacău

4

Introducerea modalităŃilor de evaluare externă a elevilor din

ciclul gimnazial reprezintă un element de noutate şi, implicit, o

provocare. Lucrarea a fost concepută în spiritul inovaŃiei. Matematica în

sine este un joc al ineditului, al descoperirii.

În experienŃa didactică, în lucrul explicit cu elevii, prin feed-

back, s-a probat gradul de eficienŃă al materialelor auxiliare aflate la

îndemâna dascălilor şi micilor candidaŃi. S-a observat că evaluările se

diferenŃiază de testele pregătitoare printr-un ”ceva” de domeniul

noutăŃii şi surprizei. După părerea noastră, acest “ceva” Ńine de forma de

prezentare a conŃinutului teoretic. Astfel, în testele propuse de noi, am

încercat o corelaŃie, zicem noi ingenioasă, între conŃinut şi formă cu

caracter nu numai informativ, ci şi formativ şi aplicativ.

Culegerea se adreseaza atât elevilor, cât şi profesorilor ca o

împărtăşire a experienŃei noastre.

Autorii

5

EVALUĂRI INIłIALE

• Test 1:

Partea I: 1. Rezultatul calculului 3,5–1,2 este egal cu …. 2. Dacă { }1;2;3;4;5;6A = şi { }45;5;6B = , atunci ....A B∩ =

3. Rezultatul calculului 1991 1990 1991 1989⋅ − ⋅ este egal cu …. 4. Dintre numerele 1,23 şi 1,2(3) mai mare este numărul egal cu …. 5. Câtul împărŃirii cu rest a numărului 125 la 3 este egal cu …. 6. 24 ha = … m2. 7. Trei băieŃi s-au cântărit câte doi în toate combinaŃiile posibile. Ei au obŃinut următoarele măsuri 85 Kg, 89 Kg şi 94 Kg. BăieŃii cântăresc împreună ... kg. 8. Rezultatul calculului 2 03 9− este egal cu …. Partea a II-a: 9. Suma a doua numere naturale a şi b este 22. ÎmpărŃind pe cel mai mare la cel mai mic, obŃinem câtul 1 şi restul 4. DeterminaŃi cele două numere. 10. a) Media aritmetică a numerelor 1,2; 2,34 şi x este egală cu 3,813. AflaŃi numărul .x b) Ştiind că două treimi dintr-o sumă de bani înseamnă 400.000 lei, aflaŃi acea sumă de bani. 11. Se consideră şirul de numere naturale 1; 2; 2; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; .... Să se determine al 2006-lea termen al şirului. 12. Terenul de sport al unei şcoli este în formă de dreptunghi cu perimetrul de 400 m şi lungimea cu 40 m mai mare decât lăŃimea. Terenul este înconjurat de o pistă cu lăŃimea de 3 m. CalculaŃi: a) perimetrul exterior al pistei;

Capitolul

1

6

b) aria terenului de sport; c) aria pistei.

• Test 2: Partea I:

1. Dintre numerele 3

2 şi

4

3 mai mic este numărul ….

2. Media aritmetică a numerelor 4,5 şi 7,5 este egală cu ….

3. SoluŃia ecuaŃiei 1

2 32

x − = este egală cu ….

4. Valoarea de adevăr a propoziŃiei “fracŃia 7

5 este supraunitară” este

….

5. Rezultatul calculului 1 2 4

:2 3 9

+ este egal cu ….

6. Perimetrul pătratului cu latura de 7,3 cm este egal cu ... cm. 7. Suma numerelor care împărŃite la 4 dau câtul 3 este egală cu ….

8. Cardinalul mulŃimii { }2 7A x x= ∈ < ≤ℕ este egal cu ….

Partea a II-a: 9. Media aritmetică a trei numere este 134,5. AflaŃi numerele ştiind că primul număr este cu 22,5 mai mare decât al doilea, iar al treilea este dublul primului.

10. Dacă ( )a 1 2 3 ... 1994 :1995= + + + + şi ( )199517 8 665b 2 : 4 :8= ,

calculaŃi ( )2 a b 1+ − .

11. ArătaŃi că 2 2 2

1 1 1 1...

3 4 49 2+ + + < .

7

12. Dintr-un carton în formă de pătrat, cu latura de 6 cm, se construieşte o cutie cu înălŃimea de 1 cm. AflaŃi volumul cutiei.

8

MULłIMEA NUMERELOR NATURALE

• Test 3: Opera Ńii cu numere naturale; reguli de calcul cu puteri

Partea I: 1. Rezultatul calculului 357:3 este egal cu .... 2. SoluŃia ecuaŃiei 2 11 7x − = este egală cu …. 3. Rezultatul calculului 35 242 : 2 este egal cu …. 4. Cel mai mic număr natural care împărŃit la 24 dă restul 19 şi câtul nenul este egal cu .... 5. Dintre numerele 442 şi 214 mai mare este numărul …. 6. Rezultatul calculului 325 244 2025 : (226 17 13)− + − ⋅ este egal cu …. 7. Dacă 13a b+ = şi 9c = , atunci a c b c⋅ + ⋅ este egal cu …. 8. Rezultatul calculului 3 52 2 2⋅ ⋅ este egal cu …. Partea a II-a: 9. EfectuaŃi: a) 3+4+5+…+2010. b) 3+6+9+…+2010. c) 4+7+10+…+3001. 10. Suma a două numere este egală cu 538. ÎmpărŃind numărul mai mare la cel mic obŃinem câtul 47 şi restul 10. DeterminaŃi cele două numere. 11. Fie numerele 14 12 132 25 11A = ⋅ ⋅ şi 40 6 82 5 7B = ⋅ ⋅ . a) Cu câte zerouri se termină fiecare dintre ele? b) Cu câte zerouri se termină numărul A B⋅ ? c) Care este ultima cifră nenulă a produsului A B⋅ ?

Capitolul

2

9

12. Un număr de patru cifre are ultima cifră 6. Dacă se mută această cifră în faŃa numărului se obŃine un număr mai mare cu 4194 decât numărul iniŃial. Să se afle numărul iniŃial.

• Test 4: Divizor, multiplu. Criteriile de divizibilitate cu 10, 2, 5, 3, 9

Partea I: 1. Divizorii naturali ai numărului 12 sunt .... 2. Multiplii lui 7 mai mici dacât 30 sunt …. 3. Dintre numerele 121; 143 şi 243, divizibil cu 3 este numărul ....

4. Cel mai mic număr natural de forma 234x divizibil cu 5 este egal cu ….

5. Dacă numărul xy este divizibil cu 9 şi 1,x y− = atunci numărul xy este egal cu ….

6. Cel mai mare număr natural de forma 24x divizibil cu 2 este …. 7. Valoarea de adevăr a propoziŃiei “5554 este divizibil cu 5” este …. 8. Dacă 30A D= şi 2,B M= atunci ....A B∩ = Partea a II-a: 9. DemonstraŃi că 2 3 20062 2 2 ... 2+ + + + este divizibil cu 3.

10. a) ArătaŃi că ( ) 9.abc cba− ⋮

b) AflaŃi numerele de forma 5x x divizibile cu 9. 11. ArătaŃi că numărul natural 1996 19929 7− este divizibil cu 10. 12. DemonstraŃi că numărul 35 2 125n n+ ⋅ − este divizibil cu 5 şi cu 9.

prof. Ciprian Ştefănescu, Brăila

10

• Test 5: Numere prime şi numere compuse. Descompunerea numerelor naturale în produs de puteri de numere prime. Propriet ăŃi ale rela Ńiei de divizibilitate

Partea I: 1. Numerele prime mai mici decât 30 sunt …. 2. Descompunerea în produs de puteri de numere prime a numărului 420 este egală cu …. 3. Suma a două numere prime este 39. Produsul celor două numere este egal cu ….

4. Dacă ( )1 31,ab ab+ ⋮ atunci valoarea expresiei a b+ este egală cu ….

sau cu .... 5. Un număr natural împărŃit la 60 dă restul 45. Restul împărŃirii aceluiaşi număr natural la 15 este egal cu …. 6. Numărul divizorilor naturali ai numărului 320 este egal cu …. 7. Valoarea de adevăr a propoziŃiei “ 10 103 7+ este număr prim” este ….

8. Cel mai mic număr natural de forma abab, cu cel mai mic număr de divizori este egal cu …. Partea a II-a: 9. ArătaŃi că: a) dacă ( )2 3 5x y+ ⋮ , atunci ( )12 18 5.x y+ ⋮

b) dacă ( )2 3x y+ ⋮ , atunci ( )5 7 3.x y+ ⋮

10. DeterminaŃi numerele prime a şi b ştiind că 3 16 54.a b+ =

11. Să se arate că dacă a a b c⋅ + şi ,a a c b⋅ + atunci .a bc cb+

12. DeterminaŃi numerele naturale x şi y ştiind că ( )2 3 864.x y⋅ + =

11

• Test 6: C.m.m.d.c, c.m.m.m.c, rela Ńia dintre ele, probleme care se rezolv ă folosind divizibilitatea

Partea I: 1. Cel mai mare divizor comun al numerelor 45 şi 70 este egal cu …. 2. Cel mai mic multiplu comun al numerelor 12 şi 15 este egal cu …. 3. Valoarea de adevăr a propoziŃiei “15 şi 38 sunt prime între ele” este …. 4. Dintre numerele 3612 şi 1236 mai mulŃi divizori are numărul ….

5. Dacă numerele 37x şi 2 sunt prime între ele, atunci { }... .x∈

6. Un divizor comun al numerelor 24 şi 60 este egal cu …. 7. Un multiplu comun al numerelor 40 şi 25 este egal cu …. 8. Cel mai mare multiplu comun al numerelor 30 şi 20, mai mic decât 150 este egal cu …. Partea a II-a: 9. Suma a două numere naturale este 120. DeterminaŃi numerele ştiind că cel mai mare divizor comun al lor este egal cu 15. 10. DeterminaŃi cel mai mic număr natural care împărŃit pe rând la 5; 6 şi 8 dă resturile 4; 5 şi respectiv 7. 11. AflaŃi cel mai mic număr natural care împărŃit pe rand la 24; 40 şi 48 dă de fiecare dată restul 17. 12. DeterminaŃi două numere naturale ştiind că cel mai mare divizor comun al lor este 15, iar cel mai mic multiplu comun al lor este 360.

• Test 7: Evaluare final ă, mul Ńimea numerelor naturale Partea I: 1. Cel mai mare divizor comun al numerelor 120 şi 150 este egal cu …. 2. Cel mai mic multiplu comun al numerelor 12 şi 25 este egal cu ….

3. Numărul numerelor de forma xy divizibile cu 10 este egal cu …. 4. Cel mai mare divizor comun al numerelor 2 3n + şi 5 8n + , n∈ℕ este egal cu ….

12

5. Un multiplu al numărului 7, divizibil cu 5 este egal cu …. 6. Dacă 3 9a b+ = şi a este număr prim, atunci valoarea numărului natural b este egală cu …. 7. Un divizor al numărului 230 este egal cu …. 8. MulŃimea 30 18\D D este egală cu …. Partea a II-a: 9. Să se arate că numărul 1 1 2 1 17 12 3 6 4 9 18 2n n n n n nA + + + + += ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ este divizibil cu 2001, oricare ar fi *.n∈ℕ 10. Numerele 348, 790 şi 1180 împărŃite la acelaşi număr natural dau resturile 12, 6 şi respective 4. AflaŃi cel mai mic împărŃitor. 11. Dacă 2 5A a b c= + + şi 15 46 20 ,B a b c= + + , , ,a b c∈ℕ să se demonstreze că 7 7.A B⇔⋮ ⋮

12. AflaŃi numerele de forma abc, mai mici decât 500, dacă: a) dau restul 5 la împărŃirea cu 9;

b) (a+b+c)⋮7 şi ( acb+2)⋮7.

• Test 8: Evaluare final ă, mul Ńimea numerelor naturale Partea I: 1. Descompunerea în produs de puteri de numere prime a numărului 2010 este egal cu …. 2. Cel mai mare divizor comun al numerelor 45 şi 32 este egal cu …. 3. Cel mai mic multiplu comun al numerelor 18 şi 30 este egal cu …. 4. Dintre numerele 18, 19 şi 20 numărul prim este egal cu …. 5. { }60 5 ... .D M∩ =

6. { } { }14 3 3 ... .A x x a b= ∈ = =ℕ ⋮

7. Numerele naturale n , pentru care 3 5

1

n

n

+ ∈+

ℕ sunt egale cu ….

8. Numerele de forma 7 3x y divizibile cu 15 sunt egale cu ….

13

Partea a II-a: 9. Numerele 4277; 4998 şi 6079 împărŃite la un număr natural nenul dau resturile 17; 18 şi respectiv 19. AflaŃi împărŃitorul. 10. AflaŃi numerele naturale a şi b ştiind că produsul lor este 6750, iar cel mai mare divizor comun al lor este 15. 11. ArătaŃi că numerele

12 5 7n nA += ⋅ + şi 12 5 3n nB += ⋅ +

sunt prime între ele, unde .n∈ℕ

12. AflaŃi numărul natural ,abc scris în baza 10, ştiind că

10 1 82.ab bc

c a

⋅ − + =

14

MULłIMEA NUMERELOR RAłIONALE POZITIVE

• Test 9: Frac Ńii echivalente; frac Ńie ireductibil ă; no Ńiunea de num ăr ra Ńional; forme de scriere a unui num ăr raŃional; ⊂ ⊂ℕ ℤ ℚ

Partea I:

1. Scrierea sub formă de fracŃie zecimală a numerelor 25 7 11

; ;10 3 2

şi 37

5

este .... 2. Scrierea sub formă de fracŃie ordinară a numerelor 1,(2); 21,(34); 4,5(6) şi 1,23(13) este ....


3 şi

9

5 mai mare este numărul ….

4. Dacă mulŃimea 4 12 11

;2,5; ;5;7; ,3 3 2

A =

atunci ...A∩ =ℕ şi

....A∩ =ℚ …. 5. Ordinea descrescătoare a numerelor 1,234; 1,(234); 1,2(34) şi 1,23(4) este ….

6. Valoarea naturală a numărului n pentru care fracŃia 5

6 este

echivalentă cu fracŃia 24

n este egală cu ….

7. FracŃia ireductibilă echivalentă cu 125

375 este egală cu ….

8. Amplificând fracŃia 13

14 cu 5 se obŃine fracŃia egală cu ….

Capitolul

3

15

Partea a II-a:

9. Fie mulŃimile 1 1 1

7 2A n

n

= ∈ < < ℕ şi

3 5 2.

2 3B n

n

= ∈ > > ℕ

DeterminaŃi , , \A B A B A B∪ ∩ şi \ .B A 10. DeterminaŃi cifrele a şi b din baza 10 astfel încât

3 ,( ) 2 , 30.a b b a⋅ + ⋅ =

11. DeterminaŃi n∈ℕ , astfel încât fracŃia 3 7

2 3

n

n

++

să se simplifice.

12. ArătaŃi că fracŃia 7 5

4 3

n

n

++

este ireductibilă, oricare ar fi .n∈ℕ

• Test 10: Adunarea numerelor ra Ńionale pozitive; scăderea numerelor ra Ńionale pozitive; înmul Ńirea numerelor ra Ńionale pozitive

Partea I:

1. Rezultatul calculului 4 7

15 10+ este egal cu ….

2. Rezultatul calculului 1,3 2,(5)+ este egal cu ….


2 15 13

− este egal cu ….

4. Rezultatul calculului 2,45 11,29− este egal cu ….


4 27 31

⋅ este egal cu ….

6. Rezultatul calculului 2,5 3,71⋅ este egal cu ….

7. Scrierea numărului 1

5 ca o sumă de două numere raŃionale cu acelaşi

numitor este egală cu ….

16

8. Numărul cu 11

5 mai mare decât

13

2 este egal cu ….

Partea a II-a: 9. CalculaŃi:

a) 1 1 1 1

... .2 4 4 6 6 8 2008 2010

+ + + +⋅ ⋅ ⋅ ⋅

b) 1 1 1 1

1 1 1 ... 1 .2 3 4 2010

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ +

10. Fie 7 2 3 3 1

, ,2 3 3 1 7

x y xa b c

x y x

+ += = =+ +

şi ( ) ( )2 2

25,

2 2 1d

x y=

+ + +

, *.x y∈ℕ ArătaŃi că numerele , ,a b c sunt simultan numere naturale dacă şi numai dacă d este număr natural.

11. Dacă , , , , 0a b c d e> şi 1 2 3 4 5

1,1 1 1 1 1a b c d e

+ + + + =+ + + + +

calculaŃi 2 3 4 5

.1 1 1 1 1

a b c d e

a b c d e+ + + +

+ + + + +

12. Fie mulŃimea 1

*, 2 .A n nn

= ∈ ≥

ℕ

a) CalculaŃi 61

31

21 ++ .

b) ScrieŃi numărul 1 ca sumă a 12 elemente distincte din mulŃimea A.

c) Numărul 1 poate fi scris ca sumă de elemente distincte din A, având numitorii numere prime?

17

• Test 11: Ridicarea la putere cu exponent natural; reguli de calcul cu puteri; împ ărŃirea numerelor ra Ńionale pozitive; ordinea efectu ării opera Ńiilor

Partea I:

1. Rezultatul calculului 23

4

este egal cu ....


:5 5

este egal cu ….


:0,255

este egal cu ….

4. Inversul numărului 211

122 este egal cu ….

5. Rezultatul calculului 1 4 1 1

:12 5 2 3

+ −

este egal cu ….


:2 3 9

+ este egal cu ….


: :3 4 7

este egal cu ….


2 : :3 5 10

+

este egal cu ….

Partea a II-a: 9. EfectuaŃi:

a) 8 3 33 3 2 12 5 1

2 3 .35 2 35 14 35 7 14 3

+ − + − − − + ⋅

b) [ ]1 22 2 0,(1) 0,(2) :3,1(6).

2 3 + − ⋅ +

c) 1 2 5 7 1 1 12 1

: 6 : 5 1 .2 3 6 12 18 4 25 3

+ + − ⋅ ⋅ ⋅ −

18

10. DeterminaŃi cel mai mic număr raŃional nenul care împărŃit la

numerele 2 3

,5 4

şi 11

12 să dea câturi numere naturale.

11. ArătaŃi că 1 1 1

0,999 ... 0,9999.1 2 2 3 1999 2000

< + + + <⋅ ⋅ ⋅

12. DeterminaŃi numărul natural 202505 202505

: .110 0

xy yxA

x yx y y y

+= + ⋅ ⋅

• Test 12: Media aritmetic ă; ecua Ńii în mul Ńimea numerelor raŃionale pozitive; probleme care se rezolv ă cu ajutorul ecua Ńiilor

Partea I:

1. Media aritmetică a numerelor 1 2

;5 5

şi 3

5 este egală cu ….

2. SoluŃia ecuaŃiei 2 3

3 2x + = este egală cu ….

3. Media aritmetică ponderată a numerelor 2; 3 şi 4 cu ponderile 1; 2 şi 3 este egală cu …. 4. SoluŃia ecuaŃiei 0,8 5 14x − = este egală cu ....

5. Un număr este egal cu 5

8 din alt număr, iar suma lor este 130.

Produsul celor două numere este egal cu ….

6. ÎnmulŃind un număr cu 2

,3

apoi rezultatul înmulŃirii cu 14

13, obŃinem

11.

15 Numărul iniŃial este egal cu ….

7. SoluŃia ecuaŃiei 2 3 6

x x x+ = este egală cu ….

8. Media aritmetică a cinci numere este 11

.4

Suma celor cinci numere

este egală cu ….

19

Partea a II-a: 9. RezolvaŃi ecuaŃiile:

a) 0,(1 ) 0,(2 ) ... 0,(9 ) .x x x x+ + + =

b) 1 3 2 7 8 2

12 : 2 : 1 1 1 5.3 4 3 8 11 3

x + ⋅ ⋅ + =

c) 0,(6) 2 0,(3) 4 2( 1) 3,(6).x x x+ − = − + + 10. Un elev are o sumă de bani. DeterminaŃi suma de bani ştiind că după

ce a cheltuit 1

4 din ea, apoi

1

6 din rest, apoi

1

3 din noul rest şi încă 120

lei, i-au mai rămas 600 lei. 11. AflaŃi media aritmetică a zece numere raŃionale, ştiind că media aritmetică a primelor două numere este 5, media aritmetică a următoarelor trei numere este 25, iar media aritmetică a ultimelor cinci numere este 200. 12. Maria are 11 ani şi mama sa are 39 de ani. Peste câŃi ani vârsta mamei va fi de trei ori mai mare decât vârsta Mariei?

• Test 13: Evaluare final ă, mul Ńimea numerelor ra Ńionale pozitive

Partea I:




25 4


3. SoluŃia ecuaŃiei 2 1 1

3 2 5

x − = este egală cu ….

4. Dintre fracŃiile 11

3− şi

13

5− mai mare este fracŃia ….

20

5. Media aritmetică ponderată a numerelor 3 şi 7 cu ponderile 2 şi 3 este egală cu ….


2 12 5

⋅ este egal cu ….


:15 5

este egal cu ….

8. Dacă fracŃiile 11

9 şi

27

n sunt echivalente, atunci valoarea numărului

natural n este egală cu …. Partea a II-a:

9. RezolvaŃi în mulŃimea numerelor naturale nenule ecuaŃia 1 1 1

.3x y

+ =

10. CalculaŃi:

a) [ ]150,0(6) 1,28 2 0,125 0,08(3) .

64+ ⋅ − ⋅ −

b) 1 1

0,5 0,1(6) : 2,5.3 4 ⋅ + −

11. Un automobil a parcurs o distanŃă în trei zile astfel: în prima zi a

parcurs 7

20 din drum, a doua zi a parcurs

1

5 din distanŃa rămasă, iar a

treia zi a parcurs restul de 624 km. a) CâŃi km are întreaga distanŃă? b) CâŃi km a parcurs automobilul a doua zi?

12. Fie şirul de fracŃii 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 2007 2008

; ; ; ; ; ; ; ; ; ;...; ; .1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 2 1

a) AflaŃi câŃi termeni are şirul.

b) Să se afle al câtelea termen este fracŃia 1008

.1001

c) Să se afle care este al 2008-lea termen.

21

• Test 14: Evaluare final ă, mul Ńimea numerelor ra Ńionale pozitive

Partea I:


:6 5 2


2. Media aritmetică ponderată a numerelor 4; 8 şi 10 cu ponderile 2; 3 şi 5 este egală cu ....

3. 7

5 din 125 este egal cu ….

4. Ordinea crescătoare a numerelor 25 27

;26 28

şi 29

30 este ….

5. Dacă triplul unui număr este 1

89

, atunci numărul este egal cu ....

6. SoluŃia ecuaŃiei 5

2 3 4

x x+ = este egală cu ….

7. Valorile naturale ale numărului a pentru care au loc relaŃiile 2 3 7

5 20 10

a< < sunt ….

8. Cel mai mic număr natural nenul care înmulŃit cu numerele raŃionale 1 5 4

; ;7 21 15

dă de fiecare dată un număr natural este egal cu ….

Partea a II-a: 9. Se consideră numerele raŃionale pozitive:

12 102 1002 10002

48 408 4008 40008A = + + + şi

1 1 1 1 1 2 3 20041 ... ... .

2 3 4 2005 2 3 4 2005B = + + + + + + + + + +

CalculaŃi , BB A A− şi ( ) 12000 .AB

+−

10. Fie mulŃimea ( ) ( )11 2 .S abc x x

abc

= = + ⋅ +

CalculaŃi suma

elementelor mulŃimii .S

22

11. DeterminaŃi ultimele trei zecimale ale numărului raŃional 2008

2007.

2

12. Fie , , , *a b c d∈ℕ astfel încât numerele 3 3 3

, ,a b c

bcd acd abd şi

3d

abc sunt

naturale. ArătaŃi că:

a) 4 4 4 4 4 .a b c d abcd+ + + =

b) ( )20052004 2004 2004 2004 4 .a b c d abcd+ + + =

c) ( ) ( )5012005 2005 2005 2005 .a b c d abcd a b c d+ + + = + + +

prof. Călin Burduşel

23

DREAPTA

• Test 15: Punct, dreapt ă, semiplan, semidreapt ă, segment (descriere, reprezentare, nota Ńii); pozi Ńiile relative ale unui punct fa Ńă de o dreapt ă; puncte coliniare; pozi Ńiile relative a dou ă drepte

Partea I: 1. În figura alăturată, { }.BC ED A∩ =

StabiliŃi valoarea de adevăr a propoziŃiilor: a) A∈(DA) (.....); b) FB∩AD=∅ (.....); c) A∈(BC) (.....); d) D, A, E coliniare (......); e) [AD]⊂AD (......); f) C∈AB (......). g) AD+AE = ED (......); h) [AC]∩(AB)=∅ (......). 2. DesenaŃi o dreaptă .CD HaşuraŃi diferit figurile geometrice [CD şi

[ .DC Rezultatul intersecŃiei [ [CD DC∩ este egal cu …, iar rezultatul

reuniunii [ [CD DC∪ este egal cu ….

3. Dacă semidreptele [ AB şi [ AC sunt opuse, atunci ordinea punctelor , ,A B C este ….

4. Numărul semidreptelor determinate de patru puncte distincte coliniare este egal cu …. 5. Numărul maxim de drepte diferite care trec prin câte două puncte dintre patru puncte distincte este egal cu …. 6. Dacă punctele , ,A B C sunt coliniare, în această ordine, aflaŃi:

a) [ ] [ ] ...;AB BC∪ =

b) [ ] [ ]\ ...;AB BC =

c) [ ] [ ) ...;AC BC∩ =

d) [ ] \ ( ] ....AB BC =

Capitolul

4

24

7. Se consideră punctele coliniare , , ,A B C D în această ordine. CompletaŃi tabelul de mai jos cu valorile de adevăr a propoziŃiilor:

∈ [ AB (BC [BA (DC

A … … … … B … … … … C … … … …

D … … … … 8. DesenaŃi segmentele (AB) şi (BC) astfel încât punctele A, C, B să fie necoliniare. Partea a II-a: 9. DesenaŃi trei semiplane astfel încât să nu existe niciun punct comun tuturor celor trei semiplane şi astfel încât oricum am alege două semiplane ele să aibă puncte comune. 10. Fie punctele , , , .A B C D d∈ PrecizaŃi ordinea celor patru puncte pe dreapta d , în fiecare din situaŃiile de mai jos: a) [ ] [ ] ;AB CD∩ = ∅

b) [ ] [ ] { };AB CD C∩ =

c) [ ] [ ] [ ];AB CD AB∩ =

d) [ ] [ ] [ ];AB CD AD∪ =

e) [ ] [ ]\ [ ).AD BC AB=

11. DesenaŃi patru puncte , , ,A B C D distincte două câte două astfel încât să fie îndeplinite simultan condiŃiile: a) oricare trei din cele patru puncte să fie necoliniare; b) segmentele [ ]AB şi [ ]CD să nu aibă puncte interioare comune;

c) segmentele [ ]AD şi [ ]BC să nu aibă puncte interioare comune;

d) segmentele [ ]AC şi [ ]BD să nu aibă puncte interioare comune. 12. DeterminaŃi numărul de segmente determinate de 100 de puncte coliniare distincte două câte două.

25

• Test 16: Distan Ńa dintre dou ă puncte; lungimea unui segment; segmente congruente; mijlocul unui segment; simetricul unui punct fa Ńă de un punct; construc Ńia unui segment congruent cu un segment dat

Partea I: 1. În figura alăturată avem patru puncte coliniare , , ,A B C D. PrecizaŃi valoarea de adevăr a propoziŃiilor: a) AC AB BC= + …; b) AD AB CD= + …; c) BC BD CD= − …; d) AD AB BC CD= + + …; e) AD AC BC= + …; f) BC AD AB CD= − − …. 2. Fie segmentul AB cu lungimea de 32 cm. Dacă punctul M este mijlocul segmentului [ ]AB şi punctul P este mijlocul segmentului

[ ],AM atunci lungimea segmentului [ ]PB este egală cu … cm.

3. Dacă T este mijlocul segmentului [ ]PQ şi 4TP= cm, atunci

lungimea segmentului PQ este egală cu … cm. 4. Fie , , ,A B C D puncte coliniare în această ordine astfel încât

3 4AB CD⋅ = ⋅ şi 4 5 .AC BD⋅ = ⋅ Valoarea raportului AD

BC este ….

5. Dacă B este simetricul lui A faŃă de punctul O , iar C este

simetricul lui A faŃă de ,B atunci valoarea raportului OB

BC este ....

6. Punctele , , ,A B C D sunt situate pe dreapta d în ordinea dată. Valoarea de adevăr a propoziŃiei “ AB CD AD BC AC BD⋅ + ⋅ = ⋅ ” este …. 7. Pe o dreaptă considerăm punctele coliniare , ,M N P în această ordine. Dacă 8MN = cm şi 4NP= cm, atunci lungimea segmentului determinat de mijloacele segmentelor [ ]MP şi [ ]MN este egală cu ….

8. Punctele , ,A B C sunt coliniare astfel încât 6AB= cm, 2AC = cm şi

8BC = cm. Dacă M este mijlocul segmentului [ ]AC , iar N AB∈

astfel încât 3MN = cm, atunci lungimea segmentului NB este egală cu … cm.

26

Partea a II-a: 9. Fie punctele coliniare A1, A2, A3, ..., A100 în această ordine, astfel încât A1A2=1 cm, A2A3=2 cm, A3A4=3 cm, …, A99A100=100 cm. a) aflaŃi lungimea segmentului A25A48; b) dacă M este mijlocul segmentului A50A52, determinaŃi lungimea segmentului MA70 . 10. Pe semidreapta [OX se consideră punctele A1, A2, A3, ..., A100, astfel încât OA1=1 cm, A1A2=2 cm, A2A3=3 cm, ..., A99A100=100 cm. Dacă M este mijlocul segmentului [OA100], calculaŃi lungimea segmentului OM. 11. Fie A, B, C, D patru puncte coliniare, în această ordine astfel încât 2 AC AB AD⋅ = + şi 332BD = cm. AflaŃi lungimea segmentului .BC 12. Dacă A, B, C, D sunt puncte coliniare, în această ordine, atunci are loc relaŃia:

1 1.

AD BCBD

AB CD AB CD + = + ⋅

• Test 17: Evaluare final ă, dreapta Partea I: 1. Dacă O, A, B şi P sunt coliniare, O∈[AB] şi P este mijlocul [AB],

20OA= cm, 30OP= cm, atunci lungimea segmentului [OB] este egală cu ... cm. 2. Se consideră trei puncte , ,A B C astfel încât ( ).B AC∈ StabiliŃi

valoarea de adevăr a propoziŃiilor: a) (C AB∈ …; b) ( (CA CB∩ = ∅ …; c) [ ]\C AB AB∈ …;

d) [ (BC AC⊂ …; e) ( (BA BC AB∪ = …; f) [ [ ]CA AB AC ∩ = ….

3. Fie punctele , ,A B C coliniare în această ordine astfel încât .AB BC= Dacă punctul M este simetricul lui A faŃă de C şi P este mijlocul

segmentului [ ]BM , atunci valoarea raportului PC

AM este egală cu ….

4. Numărul minim de drepte determinate de 2010 puncte este ….

27

5. ConstruiŃi două segmente care să aibă acelaşi mijloc. 6. Dacă [ ], ,M P AB∈ M P≠ astfel încât ,AM AP BM BP⋅ = ⋅ atunci

valoarea număr natural a sumei AM AP

PB MB+ este egală cu ….

7. Dacă punctele , ,A B C sunt coliniare, în această ordine astfel încât

14AB= cm şi 4 3 ,BC AC⋅ = ⋅ atunci lungimea segmentului [ ]AC este

egală cu … cm. 8. În figura alăturată, { }.AC BD O∩ = PrecizaŃi valoarea de adevăr a propoziŃiilor:

(A aC∉ … (C aE∈ …

[D bD∈ … [ (OB bD⊂ …

[F aA∈ … ( (OB bD⊂ …

[ [OC aG⊂ … ( [OB bD⊂ …

( (OG aE⊂ … [ [OG aF⊂ …

( {OG OG⊂ … [ [OB bE⊂ …

, ,A O C coliniare

… FC OB∩ = ∅ …

[ ] [DF aG⊂ … ( [ ]CG AF∩ = ∅ …

Partea a II-a: 9. Fie punctele , ,A B C coliniare în această ordine şi punctele , ,M N P

mijloacele segmentelor ( ) ( ),AB BC şi ( ).AC Dacă 5AM = cm şi

11MC = cm, atunci determinaŃi lungimile segmentelor , , ,AB BC AC MP şi .NP 10. Pe semidreapta (OX se iau în ordine punctele , ,A B C şi , ,M N P

mijloacele segmentelor [ ] [ ],BC CA şi respectiv [ ].AB AflaŃi valoarea

raportului .OM ON OP

OA OB OC

+ ++ +

28

11. Fie un segment [ ]AB , punctul O mijlocul său şi un punct M situat

pe prelungirea [ ].AB ArătaŃi că 2 .OM MA MB⋅ = +

12. Se consideră punctele 1 2 3 10, , , ...,A A A A coliniare, în această ordine,

astfel încât 1 2 1A A = cm, 2 3 2A A = cm, ..., 9 10 9A A = cm. Să se calculeze:

a) lungimea segmentului [ ]1 10 ;A A

b) distanŃa dintre mijloacele segmentelor [ ]1 4A A şi [ ]7 10 .A A

29

UNGHIURI

• Test 18: Defini Ńie, nota Ńii, elemente; interiorul unui unghi, exteriorul unui unghi; unghi nul, unghi cu laturile în prelungire; m ăsurarea unghiurilor cu raportorul; unghiuri congruente; unghi drept, ascu Ńit, obtuz

Partea I: 1. Urmărind figura 1, completaŃi spaŃiile punctate: a) ( ) ( ) ...;m BAC m CAD+ =∢ ∢

b) ( ) ( ) ...;m ADE m ADC+ =∢ ∢ figura 1

c) ( ) ( ) ...;m BAD m DAE+ =∢ ∢

d) ( ) ( ) ....m BCD m ACD− =∢ ∢

2. Laturile unghiului MOP∢ sunt semidreptele …. 3. Urmărind figura 1, precizaŃi valoarea de adevăr a propoziŃiilor: a) ( )intC BAE∈ ∢ …; b) ( )extB ADC∈ ∢ …; c) ( )intD CAE∉ ∢ …;

d) A CDA∈∢ …; e) ( )intE ABC∉ ∢ …; f) ( )intCD BAE⊂ ∢ ….

4. În figura 2, ( ) ( ) 90m BOC m BOD= = �∢ ∢ şi ( ) 40 .m AOB = �∢

PrecizaŃi: a) un unghi drept …; b) un unghi obtuz ...; figura 2 c) un unghi nul ...; d) un unghi cu laturile în prelungire ….

5. ConstruiŃi un unghi cu măsura de 115.�

6. 7 ...".=� 7. PrecizaŃi două unghiuri congruente din figura 2. 8. UrmăriŃi figura 2 şi precizaŃi valoarea de adevăr a următoarelor propoziŃii:

a) ( ) 40m DOA = �∢ …; b) ( ) 130m AOC = �∢ …; c) ( ) 180m DCO = �∢ ….

Capitolul

5

30

Partea a II-a: 9. Fie un unghi ABC∢ şi ( )int .P ABC∈ ∢ Fără a utiliza raportorul,

arătaŃi că ( ) ( ).m ABC m PBC>∢ ∢

10. Dacă ( ) 120m AOB = �∢ şi semidreptele [OC , [OD sunt situatre în

interiorul AOB∢ astfel încât ( ) ( )1

2m AOC m BOD= ⋅∢ ∢ şi

( ) 48 ,m COD = �∢ atunci calculaŃi ( )m AOC∢ şi ( ).m BOD∢

11. Fie , ,A O B trei puncte coliniare, în această ordine. Semidreptele

[OP şi [OQ împart unghiul AOB∢ în trei unghiuri congruente. Dacă

( )intD QOB∈ ∢ şi ( ) 35 ,m DOB = �∢ atunci aflaŃi ( )m POD∢ şi

( ).m QOD∢

12. Fie unghiul cu laturile în prelungire AOB∢ şi

[ [ [1 2 3, , ,..., nOP OP OP OP semidrepte diferite incluse în acelaşi semiplan

definit de dreapta .AB AflaŃi câte unghiuri proprii diferite se formează.

• Test 19: Calcule cu m ăsuri de unghiuri; unghiuri complementare, unghiuri suplementare; unghiuri adiacente; bisectoarea unui unghi

Partea I: 1. EfectuaŃi:

a) 17 35'48" 12 57 '36";+� � b) 47 2 14'25";−� � c) 11 23'45" 2;⋅� d) 47 : 2.� 2. Dintre figurile de mai jos, figura … conŃine unghiuri adiacente.

figura 1 figura 2 figura 3

31

3. Bisectoarele a două unghiuri adiacente suplementare formează un

unghi cu măsura de ….�

4. Complementul unghiului de 72� este egal cu …. 5. Bisectoarele a două unghiuri adiacente complementare formează un

unghi cu măsura de ... .�

6. Suplementul unghiului de 26� este egal cu ….

7. În figura de mai jos, , ,A O B sunt coliniare, ( ) 70m DOE = �∢ , iar

semidreptele (( ,OP OQ sunt bisectoarele unghiurilor , .AOD BOE∢ ∢

Măsura unghiului POQ∢ este egală cu … .�

8. În figura de mai jos, ( ) 90m AOB = �∢ , iar (OEeste bisectoarea

unghiului .DOB∢ Valoarea lui x este egală cu … .� Partea a II-a: 9. AflaŃi măsura unui unghi ştiind că media aritmetică a

complementului şi suplementului său este 3

2 din măsura unghiului.

10. Fie unghiurile suplementare AOB∢ şi BOC∢ astfel încât

( ) ( ).m AOB m BOC>∢ Dacă punctele M şi P sunt în interiorul

unghiului AOB∢ astfel încât ( ) ( )m MOP m BOC=∢ ∢ şi (OX , (OY

32

sunt bisectoarele unghiurilor MOA∢ şi respectiv ,POB∢ arătaŃi că

( ) 90 .m XOY ≤ �∢ În ce situaŃie avem egalitate?

11. Fie semidreptele ((( 1 2 1, ,..., nOA OA OA+ , în această ordine, astfel

încât ( )1 2 1 ,m A OA = �∢ ( ) ( )2 3 12 ,..., .n nm A OA m A OA n+= =� �∢ ∢

DeterminaŃi numărul natural nenul ,n ştiind că ( )1 1 91 .nm A OA+ = �∢

12. Unghiurile AOB∢ şi COD∢ sunt complementare, unghiul COD∢ este inclus în interiorul AOB∢ , semidreapta (OC este inclusă în

interiorul unghiului AOD∢ şi ( ) ( )2 .m AOB m COD= ⋅∢ ∢ AflaŃi

măsurile celor două unghiuri şi măsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor AOC∢ şi BOD∢ .

• Test 20: Unghiuri opuse la vârf, congruen Ńa lor; unghiuri formate în jurul unui punct, suma m ăsurilor lor

Partea I: 1. Suma măsurilor unghiurilor formate în jurul unui punct este egală cu

… .� 2. Măsura unghiului format de bisectoarele a două unghiuri opuse la

vârf este egală cu … .� 3. Două unghiuri opuse la vârf sunt complementare. Măsura unui unghi

din cele două este egală cu … .� 4. Fie unghiurile , ,AOB BOC COA∢ ∢ ∢ congruente, în jurul punctului

.O Măsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor AOB∢ şi

AOC∢ este egală cu … .�

5. Valoarea lui x din figura alăturată este egală cu … .�

6. Măsura unghiului AOD∢ din figura de mai jos este egală cu … .�

33

7. În figura de mai jos, , ,A O B şi , ,C O D sunt coliniare, iar

semidreptele (( , OP OT sunt bisectoarele unghiurilor , .AOD AOC∢ ∢

Măsura unghiului POT∢ este egală cu … .� 8. Fie AB şi CD două drepte concurente în .O Dacă

( ) ( )2 3 ,m AOC m BOC⋅ = ⋅∢ ∢ atunci măsura unghiului BOD∢ este

egală cu … .� Partea a II-a: 9. Unghiurile , , ,AOB BOC COD DOA∢ ∢ ∢ ∢ sunt unghiuri în jurul unui

punct astfel încât BOC∢ este unghi drept, ( ) 21m DOC = �∢ şi

( ) ( ) 27 .m AOB m AOD= + �∢ ∢ ArătaŃi că punctele , , D O E sunt

coliniare, unde (OE este bisectoarea unghiului .AOB∢

10. Se dau punctele , , A O B şi , , C O D coliniare. Dacă

( ) 40m BOC = �∢ şi ( )intM AOD∈ ∢ astfel încât ( ) 30 ,m AOM = �∢

atunci calculaŃi: a) ( );m BOM∢ b) ( );m DOM∢ c) ( ).m COD∢

11. Se consideră dreptele AC şi BD concurente în .O Ştiind că bisectoarea unghiului AOB∢ formează cu semidreapta [OC un unghi

cu măsura de 115 ,� aflaŃi măsurile unghiurilor cu vârful în .O

34

12. Fie *n∈ℕ şi unghiurile proprii 1 2 2 3 1, , ..., nA OA A OA A OA∢ ∢ ∢ în

jurul punctului ,O cu ( ) ( ) ( )1 2 2 3 1, ,..., nm A OA m A OA m A OA∢ ∢ ∢ numere

naturale pare în ordine crescătoare. a) Să se determine valoarea maximă a lui .n b) Pentru n determinat la punctual a), calculaŃi măsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor 5 6A OA∢ şi 9 10.A OA∢

• Test 21: Evaluare final ă, unghiuri Partea I:

1. Măsura unui unghi cu laturile în prelungire este egală cu … .�

2. Suma dintre complementul şi suplementul unui unghi este de 110 .�

Măsura unghiului este egală cu … .� 3. Dacă unghiurile AOB∢ şi BOC∢ sunt adiacente şi

( ) ( )2 70 ,m AOB m BOC= ⋅ = �∢ ∢ atunci măsura unghiului format de

bisectoarele celor două unghiuri adiacente este egală cu … .�

4. Dacă ( ) 99 ,m MAP = �∢ atunci unghiul MAP∢ este:

a) ascuŃit; b) drept; c) obtuz; d) nul; e) alungit.

5. Rezultatul calculului 17 24'35" 2 25'33"−� � este egal cu .... 6. Fie unghiurile adiacente AOB∢ şi BOC∢ , semidreptele [ ,[OP OT

bisectoarele celor două unghiuri şi ( ) ( )90 , 60 .m AOT m COP= =� �∢ ∢

Măsura unghiului POT∢ este egală cu ... .� 7. Unul dintre cele 6 unghiuri congruente din jurul unui punct are

măsura egală cu … .� 8. Rezultatul calculului [,AOB AOC C OB∩ ∉∢ ∢ , este egal cu ….

Partea a II-a: 9. AflaŃi măsurile a patru unghiuri în jurul unui punct, dacă fiecare,

începând cu al doilea are măsura cu 18� mai mare decât măsura celui precedent.

35

10. Fie unghiurile AOB∢ şi AOC∢ adiacente suplementare. Dacă bisectoarea [OP a unghiului BOC∢ formează cu bisectoarea [OT a

unghiului AOP∢ un unghi cu măsura de 35,� atunci aflaŃi măsura unghiului .AOC∢ 11. Se dau unghiurile adiacente suplementare AOB∢ şi BOC∢ , iar semidreapta [OD este opusă semidreptei [ .OB Fie punctele

int ,M AOB∈ ∢ int ,N BOC∈ ∢ intP COD∈ ∢ şi intQ DOA∈ ∢ ArătaŃi că dacă bisectoarele unghiurilor ,AOM COP∢ ∢ şi ,BON DOQ∢ ∢ sunt respectiv semidrepte opuse, atunci punctele , ,M O P şi , ,N O Q sunt respectiv coliniare. 12. Fie unghiul propriu AOB∢ şi punctele , ,M N M în interiorul unghiului ,AOB∢ iar N în exteriorul unghiului .AOB∢ Semidreapta

[OP este bisectoarea unghiului ,AOM∢ ( ) 60m POB = �∢ şi

( ) ( )2 .m BOM m BON= ⋅∢ ∢ Dacă [OQ este bisectoarea unghiului

,AOP∢ atunci aflaŃi măsura unghiului .NOQ∢

• Test 22: Evaluare final ă, unghiuri Partea I:

1. Suma măsurilor a două unghiuri opuse la vârf este de 17.� Unul dintre cele două unghiuri are măsura egală cu ….

2. Suplementul unui unghi cu măsura de 112� este egal cu ….� 3. Raportul măsurilor a două unghiuri suplementare este 5. Măsurile

celor două unghiuri sunt …� şi … .�

4. Rezultatul calculului 26 13'' 5−� � este egal cu ….

5. Complementul unui unghi cu măsura de 17� este egal cu ….� 6. Fie unghiurile AOB∢ şi AOC∢ neadiacente suplementare,

intB AOC∈ ∢ . Dacă ( ) 60 ,m BOC = �∢ atunci măsura unghiului

AOC∢ este egală cu … .�

36

7. Dacă unghiurile AOB∢ şi BOC∢ sunt adiacente suplementare, [OP este bisectoarea unghiului BOC∢ , [OQ semidreapta opusă semidreptei

[OP şi ( ) 120 ,m BOQ = �∢ atunci măsura unghiului POC∢ este egală

cu … .� 8. Măsura unghiului format de bisectoarele a două unghiuri opuse la

vârf este egală cu … .� Partea a II-a: 9. Se consideră unghiul COD∢ în interiorul unghiului ,AOB∢ astfel

încât ( ) 12m AOC = �∢ şi ( ) 18 .m BOD = �∢ DeterminaŃi măsura

unghiului format de bisectoarele unghiurilor AOB∢ şi .COD∢ 10. În interiorul unghiului drept AOB∢ considerăm semidreptele

[ ,[ ,[OX OY OZ astfel încât ( ) 45m XOZ = �∢ şi int ,X AOY∈ ∢

int , int .Y XOZ Z YOB∈ ∈∢ ∢ DeterminaŃi măsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor AOX∢ şi .BOZ∢ 11. Bisectoarele unghiurilor adiacente AOB∢ şi BOC∢ formează un

unghi cu măsura de 10.�

a) ArătaŃi că ( ) ( )80 5 4 100 .m AOB m BOC< ⋅ + ⋅ <� �∢ ∢

b) Dacă ( ) ( )5 4 90 ,m AOB m BOC⋅ + ⋅ = �∢ ∢ atunci arătaŃi că [OB este

bisectoarea unghiului .AOC∢ 12. Fie AB şi CD două drepte concurente, AB∩CD={O}. Fie [OP bisectoarea ∢AOC, [OT bisectoarea ∢POB şi [OR bisectoarea ∢TOD.

a) dacă m(∢POR)=140°, aflaŃi m(∢AOC) şi m(∢AOD); b) dacă m(∢POR)=25°, aflaŃi m(∢AOC) şi m(∢AOD).

37

CONGRUENłA TRIUNGHIURILOR

• Test 23: Triunghi: defini Ńie, elemente; clasificarea triunghiurilor, perimetrul. Construc Ńia triunghiurilor, cazuri de congruen Ńă: L.U.L., U.L.U., L.L.L.

Partea I: 1. Perimetrul triunghiului echilateral cu latura de 7 cm este egal cu ... cm. 2. Dacă triunghiurile ABC∆ şi MPQ∆ au ,AB MP= BC PQ= şi

B P≡∢ ∢ , atunci cele două triunghiuri sunt congruente conform cazului de congruenŃă …. 3. ConstruiŃi triunghiul ABC∆ ştiind că:

a) 6AB AC= = cm şi ( ) 40 ;m BAC = �∢

b) 7BC = cm; ( ) 60m ABC = �∢ şi ( ) 30 ;m ACB = �∢

c) 5AB= cm, 6AC = cm şi 7BC = cm. 4. În triunghiul RST∆ , unghiul opus laturii [ ]ST este unghiul …, iar

latura opusă unghiului RST∢ este latura …. 5. ConstruiŃi un triunghi dreptunghic isoscel. 6. Dacă ,ABC MPQ∆ ≡ ∆ 3AB= cm şi 5PQ= cm, atunci produsul

MP BC⋅ este egal cu …. 7. În triunghiul MAC∆ unghiurile alăturate laturii [ ]MA sunt … şi ….

8. Dacă intM ABC∈ ∆ şi ext ,P ABC∈ ∆ atunci valoarea de adevăr a propoziŃiei “ MP ABC∩ ∆ = ∅ ” este …. Partea a II-a: 9. În ABC∆ , fie D∈(BC), astfel încât AD=CD. Dacă perimetrul triunghiului ABC este de 37 cm, iar perimetrul triunghiului ABD este de 25 cm, să se afle lungimea laturii AC.

Capitolul

6

38

10. Fie O mijlocul segmentului [ ]AB , iar punctele C şi D astfel încât

OAD OBC≡∢ ∢ ( , ,D O C coliniare). DemonstraŃi că .OAD OBC∆ ≡ ∆ 11. Dacă D este mijlocul laturii ( )BC a triunghiului ABC∆ , atunci

arătaŃi că .2

AB ACAD

+<

12. În exteriorul triunghiului ABC∆ ascuŃitunghic se construiesc triunghiurile echilaterale ATB∆ şi .ACS∆ DemonstraŃi că triunghiurile

ATC∆ şi ABS∆ sunt congruente.

• Test 24: Metoda triunghiurilor congruente Partea I: 1. În triunghiul isoscel ABC∆ , AB AC= , fie M mijlocul laturii ( ).BC

DemonstraŃi că .BAM CAM≡∢ ∢ 2. În triunghiul isoscel ABC∆ , AB AC= , fie [AM bisectoarea

unghiului BAC∢ , ( ).M BC∈ DemonstraŃi că .BM CM=

3. DemonstraŃi că un triunghi isoscel are două unghiuri congruente. 4. Se consideră un triunghi dreptunghic ABC∆ ,

( ) 90 ,m A = �∢ 4AC = cm, 3AB= cm şi punctele ,M CA N AB∈ ∈

astfel încât ( ),A CM∈ ( ),B AN∈ 3AM = cm şi 1BN = cm.

DemonstraŃi că .BC MN= 5. În triunghiul isoscel , ,ABC AB AC∆ = se duce bisectoarea

[ ( ), .AD D BC∈ Dacă perimetrul ABC∆ este egal cu 32 ,cm iar

perimetrul ABD∆ este egal cu 20 ,cm atunci ...AD = .

6. Fie triunghiul ,ABC M∆ mijlocul laturii [ ]AC şi T BC∈ astfel încât

( ) 90 .m TMC = �∢ Dacă 3 ,TC cm= atunci ...AT = .

7. Fie triunghiul ,ABC∆ dreptunghic în A şi ( ) 30 .m B = �∢ Dacă

10 cmBC = şi D este simetricul punctului C faŃă de A , atunci perimetrul triunghiului BCD este egal cu ….

39

8. Fie triunghiul ( ), 120 , 12 cmABC m BAC AB AC∆ = = =�∢ şi M

mijlocul lui [ ].BC Lungimea segmentului [ ]AM este egală cu ....

Partea a II-a: 9. Se dă triunghiul isoscel ABC∆ , AB AC= . Dacă punctele ,D E sunt

mijloacele laturilor [ ] [ ],AB AC , atunci arătaŃi că .BE CD=

10. Pe laturile [OX şi [OY ale XOY∢ se iau punctele , ' [A A OX∈ ,

OYBB [', ∈ astfel încât OA = OB, OA' = OB'. Dacă }{'' MBAAB =∩ , să se arate că: a) [OM este bisectoarea unghiului XOY∠ ; b) triunghiurile 'AMA∆ şi 'BMB∆ sunt congruente. 11. Fie triunghiul ABC∆ şi ( )[ ,AD D BC∈ bisectoarea unghiului

.BAC∢ Prelungim [ ]AB cu segmentul [ ] [ ] ( ),BE DC B AE≡ ∈ şi [ ]AC

cu segmentul [ ] [ ] ( ), .CF BD C AF≡ ∈ Dacă ,AE AF= atunci arătaŃi că

triunghiul ABC∆ este isoscel. 12. Fie XOY şi YOZ două unghiuri adiacente congruente. Dacă

((( , ,A OX B OZ M OY∈ ∈ ∈ astfel încât , ,A M B necoliniare şi

,OA OB= atunci demonstraŃi că triunghiul MABeste isoscel. Denis Turcu

• Test 25: Evaluare final ă, congruen Ńa triunghiurilor Partea I: 1. Un triunghi are … unghiuri exterioare. 2. Un triunghi are lungimile laturilor de 5 cm, 4 cm şi 7 cm. Perimetrul triunghiului este egal cu … cm. 3. ConstruiŃi triunghiul ABC∆ ştiind că 5AB= cm,

( ) ( ) 40 .m A m B= = �∢ ∢

40

4. Se dă triunghiul ABC∆ cu ( ) 50 ,m A = �∢ ( ) 60m B = �∢ şi

( ) 70 .m C = �∢ Măsurile unghiurilor exterioare ale triunghiului sunt

egale cu …. 5. ConstruiŃi un triunghi echilateral cu latura de 4 cm. 6. Numărul triunghiurilor din figura de mai jos este egal cu …. 7. Dacă punctulM este mijlocul laturii [ ]BC a triunghiului ABC∆ şi al

laturii [ ]AD a triunghiului ABD∆ atunci ...BAM∆ ≡ .

8. În triunghiul ( ), 100 , , .ABC m ABC AD BC D BC∆ = ⊥ ∈�∢ Atunci

măsura unghiului DAB∢ este egală cu …. Partea a II-a: 9. Fie punctele coliniare A, B, C, D (în această ordine). Fie M şi N în semiplane opuse astfel încât ABNABM ∆≡∆ . ArătaŃi că

CDNCDM ∆≡∆ . 10. Se dă segmentul [ ]AB şi punctele C şi D de aceeaşi parte a dreptei

ABastfel încât ,CAB DBA≡∢ ∢ DAB ABC≡∢ ∢ şi { }.AC BD O∩ = ArătaŃi că: a) ;AC BD= b) triunghiurile DOC∆ şi AOB∆ sunt isoscele. 11. În triunghiul isoscel ABC∆ , AB AC= avem punctele ( )M AB∈ şi

( )P AC∈ astfel încât .AM AP= Dacă { },CM BP S∩ = arătaŃi că

triunghiurile MSB∆ şi PSC∆ sunt congruente.

41

12. Fie dreptunghiul ABCD cu AB>BC. Bisectoarea unghiului ABC taie CD în Q şi AD în P. Fie [DT bisectoarea unghiului PDQ, T∈(BP). Dacă CT∩AD={M} şi AT∩CD={S}, arătaŃi că SQ=DM.

• Test 26: Evaluare final ă, congruen Ńa triunghiurilor Partea I: 1. Dacă perimetrul unui triunghi isoscel este de 19 cm şi o latură este de 5 cm, atunci lungimile celorlalte două laturi sunt egale cu ... sau cu …. 2. ConstruiŃi un triunghi ABC∆ ştiind că 5AB= cm, 5BC = cm şi

6AC = cm.

3. Dacă triunghiul ABC∆ este dreptunghic, ( ) 90 ,m B = �∢ atunci latura

[ ]AB se numeşte ….

4. Dacă ABC RST∆ ≡ ∆ şi ,ABC RTS∆ ≡ ∆ atunci triunghiul ABC∆ este: a) isoscel; b) echilateral; c) oarecare. 5. ConstruiŃi un triunghi MPQ∆ ştiind că 4MP = cm, 5MQ = cm şi

( ) 120 .m M = �∢

6. Dacă ,ABC HGT∆ ≡ ∆ ( ) 74m B = �∢ şi 5HT = cm, atunci lungimea

segmentului [ ]AC este egală cu ... cm, iar măsura unghiului HGT∢

este egală cu ... .�

7. Dacă NPR CDE∆ ≡ ∆ şi �( ) �( )40 , 70m P m R= =� � atunci �( ) ...m C = .

8. În triunghiul DEF∆ , punctul M este mijlocul lui [ ]EF . Ştiind că

DEM∆ şi DFM∆ au perimetre egale, atunci � ...DEF ≡ . Partea a II-a: 9. Fie triunghiul ABC∆ şi ( ),D AB∈ ( ),E AC∈ { },BE CD F∩ =

,BF CF= .DF EF= ArătaŃi că: a) ;BD CE= b) ;AB AC= c) ;ACB ABC≡∢ ∢

42

d) dacă ( ), ,M BC MB MC∈ = atunci punctele , ,A F M sunt coliniare.

10. Punctele , , ,A B C D sunt coliniare, în această ordine. De o parte şi de alta a dreptei AB se consideră triunghiurile ABE∆ şi DCF∆ astfel încât .ABE DCF∆ ≡ ∆ DemonstraŃi că: a) ;AF DE=

b) dacă { },AD EF M∩ = atunci M este mijlocul segmentului [ ].EF

11. Pe latura ( )AB a triunghiului isoscel ,ABC∆ AB AC= ,

( ) 20m BAC = �∢ se ia un punct D astfel încât .AD BC= În exteriorul

triunghiului ABC∆ se construieşte triunghiul echilateral .ADE∆ DemonstraŃi că [CD este bisectoarea unghiului .ACE∢ (admitem cunoscut faptul că suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este

180 ).� 12. Fie triunghiul isoscel ABC∆ , AB AC= şi punctele P şi Q în

interiorul său astfel încât .AP PB AQ QC= = = Dacă { },BP AQ S∩ =

să se demonstreze .SPQ QCB≡∢ ∢

43

PERPENDICULARITATE

• Test 27: Drepte perpendiculare, oblice; distan Ńa de la un punct la o dreapt ă. ÎnălŃimi în triunghi; concuren Ńa înălŃimilor. Criterii de congruen Ńă pentru triunghiuri dreptunghice: I.C., I.U., C.C., C.U.. Aria triunghi ului

Partea I: 1. Fie triunghiul echilateral .ABC∆ Dacă distanŃa de la punctul A la dreapta BC este de 7 cm, atunci distanŃa de la punctul B la dreapta ACeste egală cu … cm. 2. ConstruiŃi înălŃimile unui triunghi obtuzunghic. 3. Fie un punct P în interiorul unghiului .AOB∢ Dintre numerele

( );d P OA şi ( );d P O mai mare este ….

4. Aria triunghiului dreptunghic cu catetele de 6 cm şi 8 cm este egală

cu … cm2. 5. ConstruiŃi triunghiul ABC∆ dreptunghic în A ştiind că 4AB= cm şi

7AC = cm.

6. Ortocentrul triunghiului dreptunghic ( ), 90MST m S∆ = �∢ este

punctul ….

7. Fie triunghiul dreptunghic isoscel ( ), 90 .ABC m A∆ = �∢ Dacă

7AB= cm, atunci distanŃa de la C la dreapta AB este egală cu … cm. 8. În triunghiul isoscel ABC∆ , AB AC= , fie ( )M BC∈ astfel încât

( ) 90 .m BMA = �∢ DemonstraŃi că .BM CM=

Partea a II-a: 9. În triunghiul ABC∆ , punctul M este mijlocul segmentului [ ].BC

DemonstraŃi că distanŃele de la punctele B şi C la dreapta AM sunt egale.

Capitolul

7

44

10. Fie triunghiul dreptunghic ( ), 90 .ABC m A∆ = �∢ Notăm cu 'B

simetricul punctului B faŃă de punctul .A Dacă 5AB= cm şi

( ) 30 ,m C = �∢ atunci calculaŃi perimetrul triunghiului ' .BB C∆

11. Se dă triunghiul dreptunghic ( ), 90ABC m A∆ = �∢ şi ( ).P BC∈

Perpendiculara în P pe dreapta BC intersectează pe AC în M şi pe AB în .T DemonstraŃi că .BM TC⊥ 12. Fie triunghiul ABC echilateral şi punctele P, R, Q pe laturile (AB), (BC), (CA) astfel încât AP=BR=CQ. Perpendicularele în P, R, Q pe AB, BC, CA intersectează BC, AC, AB în punctele T, M, S. DemonstraŃi că

SMT∆ este triunghi echilateral.

45

MODELE PENTRU TEZĂ

• Test 28: Model de tez ă pe semestrul I Partea I: 1. Cel mai mare divizor comun al numerelor 45 şi 70 este egal cu ….


13:

4

1

6

5

+ este egal cu ….

3. Media aritmetică a numerelor 11; 13 şi 8 este egală cu .... 4. Un multiplu al numărului 17 este egal cu ….

5. Un unghi are măsura de 25.� Unghiul format de bisectoarea sa cu una

din laturi are măsura egală cu … .� 6. ConstruiŃi un triunghi MPQ∆ ştiind că 3MP = cm, 4PQ= cm şi

5MQ = cm. 7. Fie unghiurile AOB∢ şi BOC∢ adiacente suplementare cu

( ) 120 .m BOC = �∢ Dacă [OE este bisectoarea unghiului ,AOB∢ atunci

măsura unghiului EOC∢ este egală cu … .�

8. Două unghiuri complementare au măsurile 2x şi 3 15 .x + � Valoarea

lui x este egală cu … .� Partea a II-a: 9. Să se determine cel mai mic număr natural care împărŃit pe rând la numerele 5; 12 şi 15 se obŃine de fiecare dată restul 3 şi câtul diferit de zero. 10. Într-un depozit erau 188 tone de cărbune, iar în altul 240 tone de cărbune. În acelaşi număr de zile, din primul depozit s-au vândut câte 15 tone de cărbune pe zi, iar din al doilea depozit s-au vândut câte 18 tone de cărbune pe zi. După câte zile a rămas de 3 ori mai mult cărbune în depozitul al doilea decât a rămas în primul depozit?

Capitolul

8

46

11. Fie ABC∆ , ,AIB AIC≡∢ ∢ int ,I ABC∈ ∆ ( ),M AB∈

( ),N AC∈ astfel încât AM AN= şi .IM IN= DemonstraŃi că

triunghiul ABC∆ este isoscel. 12. Se consideră segmentul [ ]AB de lungime ,AB∈ℕ , 2n n∈ ≥ℕ şi

punctele 1 2, ,..., ,nM M M respectiv mijloacele segmentelor

[ ] [ ] [ ]1 1, , ..., .nAB AM AM − DeterminaŃi n ştiind că:

1 ... 35840.nAB AM AM+ + + = prof. Narcis Gabriel Turcu, Brăila

• Test 29: Model de tez ă pe semestrul I Partea I: 1. Cel mai mic multiplu comun al numerelor 12şi 15 este egal cu ….

2. Rezultatul calculului 22 5: 2



15 şi

17

21 mai mic este numărul ….

4. SoluŃia ecuaŃiei 2 1 5x + = este egală cu ….

5. Măsura complementului unghiului de 37� este egală cu …� . 6. Dacă punctele , ,A B C sunt coliniare, în această ordine şi 4AB= cm,

6BC = cm, atunci lungimea segmentului determinat de mijloacele segmentelor [ ]AB şi [ ]AC este egală cu …cm.

7. Două unghiuri adiacente au măsurile de 30� şi 80 .� Măsura unghiului

format de bisectoarele celor două unghiuri este egală cu … .�

8. ConstruiŃi un triunghi ABC∆ ştiind că 9AB= cm, ( ) 20m A = �∢ şi

( ) 40 .m B = �∢

Partea a II-a: 9. DeterminaŃi toate numerele naturale n astfel încât 297 şi 319 împărŃite la n să dea resturile 9 şi 7.

47

10. Fie mulŃimile { } 7 , unde este număr naturalA x x a a= ∈ < ≤ℕ şi

{ } este divizibil cu 5 .B y y= ∈ℕ DeterminaŃi numerele naturale a

ştiind că mulŃimea A B∩ are 20 elemente. 11. Din mijlocul unei laturi a unui triunghi se construiesc segmente perpendiculare pe celelalte două laturi. DemonstraŃi că dacă cele două segmente sunt congruente, atunci triunghiul este isoscel. 12. Fie unghiul AOB∢ ascuŃit. În semiplanul determinat de ,OA care

nu-l conŃine pe ,B se duc dreptele ,OX AO⊥ OY OB⊥ şi [OE

bisectoarea unghiului .XOB∢ Dacă ( ) ( )13,

8m XOE m AOB= ⋅∢ ∢ atunci

calculaŃi ( )m AOB∢ şi ( ).m XOB∢

• Test 30: Model de tez ă pe semestrul I Partea I: 1. Dintre numerele 1254; 2541; 1542 şi 1245 divizibil cu 5 este numărul egal cu .... 2. Transformat în fracŃie ireductibilă, numărul 1,(3) este egal cu ….


3 1 0,57 26

− ⋅ −

este egal cu ....

4. Fie x un număr natural, 1.x > Dacă fracŃia 6

x este ireductibilă,

atunci fracŃia 5

24

x este:

a) echiunitară; b) subunitară; c) supraunitară; d) echivalentă cu 5

.30

5. Măsura suplementului unghiului de 75� este egală cu …� .

48

6. Fie unghiurile AOB∢ şi BOC∢ adiacente complementare cu

( ) 66 .m BOC = �∢ Dacă [OE este bisectoarea unghiului ,AOB∢ atunci

măsura unghiului EOC∢ este egală cu … .� 7. ConstruiŃi un triunghi RST∆ ştiind că 6RS= cm, 8RT = cm şi

( ) 65 .m SRT = �∢

8. Dacă punctele , , ,A B C D coliniare, în această ordine şi 6AB = cm,

,AB BC= C este mijlocul segmentului [ ],AD atunci lungimea

segmentului [ ]AD este egală cu … cm.

Partea a II-a:

9. După ce a parcurs 2

5 dintr-un drum, un călător constată că mai are de

parcurs încă 14 km până la jumătatea drumului. Să se afle lungimea drumului şi cât mai are de parcurs călătorul.

10. Fie numerele de forma ,ab scrise în baza 10 cu 0,a b⋅ ≠ care

îndeplinesc condiŃia .ab ba a b b− = ⋅ + a) ArătaŃi că ( )9 10 .a b a= ⋅ +

b) DeterminaŃi toate numerele ab care îndeplinesc condiŃia dată. 11. Se consideră unghiurile adiacente ∢AOB şi ∢BOC. Bisectoarea unghiului ∢AOB formează cu semidreapta (OC un unghi cu măsura

de 075 , iar bisectoarea unghiului ∢BOC formează cu semidreapta

(OA un unghi drept. AflaŃi măsura unghiului ∢AOC.

12. Fie , , , , , A B C D E Fpuncte coliniare în această ordine şi un punct

.O AB∉ Dacă AOC COE≡∢ ∢ şi ,BOD DOF≡∢ ∢ atunci arătaŃi

( ) ( ) ( ).

2

m AOF m BOEm COD

−=

∢ ∢∢

49

OLIMPIADE ŞI CONCURSURI

• Test 31: Concursul interjudeŃean “CongruenŃe”, Brăila, 2008

1. Să se arate că:

a) 2 37 7 7+ + este divizibil cu 57. b) 2 3 20107 7 7 ... 7+ + + + este divizibil cu 399.

Gazeta Matematică

2. Se consideră segmentul [ ]AB de lungime ,AB∈ℕ , 2n n∈ ≥ℕ şi

punctele 1 2, ,..., ,nM M M respectiv mijloacele segmentelor

[ ] [ ] [ ]1 1, , ..., .nAB AM AM − DeterminaŃi n ştiind că:

1 ... 35840.nAB AM AM+ + + = Narcis Turcu, Brăila

3. ArătaŃi că nu există numere naturale de forma abc care verifică relaŃia

2 2.ab bc abc− =

Nicolae Stănică, Brăila

• Test 32: Olimpiada judeŃeană de matematică, Brăila, 2008

1. Se consideră punctele 1 2 3 10, , , ...,A A A A coliniare, în această ordine,

astfel încât 1 2 1 ,A A cm= 2 3 2 ,A A cm= ..., 9 10 9 .A A cm= Să se calculeze:

a) lungimea segmentului [ ]1 10 ;A A

b) distanŃa dintre mijloacele segmentelor [ ]1 4A A şi [ ]7 10 .A A

Constantin Pătrană, ConstanŃa

2. Un număr se numeşte "miraculos" dacă este natural şi este egal cu suma pătratelor a doi divizori distincŃi ai săi.

Capitolul

9

50

a) Să se dea un exemplu de număr "miraculos". b) Să se arate că există cel puŃin 2008 numere "miraculoase".

Marius Damian, Brăila

3. Fie triunghiul isoscel ABC ( )AB AC= şi punctele P şi Q în interiorul

său astfel încât .AP PB AQ QC= = = Dacă { },BP AQ S∩ = să se

demonstreze că .SPQ QCB≡∢ ∢ Nicolae Stănică, Brăila

4. Despre numerele naturale nenule a, p, q se ştie că 1ap+ se divide cu q şi 1aq+ se divide cu p. DemonstraŃi că: a) numerele p şi q sunt prime între ele;

b) 1

.pq

ap q

−≥+

Elena Drăgan, Rm. Vâlcea


1. Fie mulŃimile { } 7 , unde este număr naturalA x x a a= ∈ < ≤ℕ şi

{ } este divizibil cu 5 .B y y= ∈ℕ DeterminaŃi numerele naturale a

ştiind că mulŃimea A B∩ are 20 elemente. Nicolae Stănică, Brăila 2. Să se determine a şi b , cifre în baza 10 ştiind că:

20 2

.ab a b

abb ab⋅ + ⋅

= Viorel Botea, Brăila 3. În triunghiul dreptunghic ABC, ( )A 90m = �∢ , AB<AC, fie

AD ⊥ BC, D∈(BC). Pe semidreapta (AD alegem punctele P şi Q astfel încât DP=BD, DQ=CD, D∈(AP) şi P∈(DQ). DemonstraŃi că CP⊥ BQ. Nicolae Stănică, Brăila

51

4. Fie punctul B∈(AC) şi D, E două puncte de o parte şi de alta a dreptei AC, astfel încât triunghiurile ABD şi BCE să fie echilaterale. Dacă perpendiculara din D pe AB intersectează EC în P, perpendiculara din E pe AB intersectează pe AD în F şi punctele P, B, F sunt coliniare, atunci demonstraŃi că AB=BC. Nicolae Stănică, Brăila

• Test 34: Olimpiada locală de matematică, GalaŃi, 2007

1. AflaŃi numărul natural x din ecuaŃia 4096ax = , ştiind că:

2 3 4 1004 4 5 6 1006

2006 ... : ... .3 4 5 1005 3 4 5 1005

a = − + + + + + + + +

2. Se consideră dreptele AB şi CD care se intersectează în punctul O. Fie [OE, [OF, [OP bisectoarele unghiurilor ,AOC AOE∢ ∢ şi respectiv

AOD∢ . Ştiind că ( ) 0120m BOE =∢ , să se calculeze ( )m BOF∢ .

3. Să se găsească numerele naturale de forma ab , scrise în baza zece,

pentru care ( ),ab ba a b= + . NotaŃia ( ),m n reprezintă cel mai mare

divizor comun al numerelor naturale m şi n .

4. a) Dacă numărul natural nenul A este de forma 2 3k pA = ⋅ , unde , *k p∈ℕ , să se determine numărul de divizori naturali ai lui .A

b) Să se determine câte numere naturale nenule n, mai mici decât 100, există, pentru care 2n să aibă de două ori mai mulŃi divizori naturali decât .n

52

SOLUłII ŞI SUGESTII DE REZOLVARE

• Test 1:

Partea I: 1. 2,3. 2. { }5,6 .

3. 1991. 4. 1,2(3). 5. 2. 6. 240000. 7. 134. 8. 8. Partea a II-a: 9. 22, 1 4, 4 4 22 9, 13a b a b b b b b a+ = = ⋅ + > ⇒ + + = ⇒ = = .

10. a) 1,2 2,34

3,813 7,8993

xx

+ + = ⇒ = .

b) 2

400.000 600.0003

S S⋅ = ⇒ = .

11. Fie n un număr din şir. El apare de n ori în şir. Fie x ultimul număr care apare de x ori până cel mult la poziŃia 2006. Avem

( )11 2 ... 2006,

2

x xx k k

++ + + + = + = unde { }0,1,2,..., 1k x∈ + . Atunci

( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 1 22006 1 4012 1 2 ,

2 2

x x x xx x x x

+ + +≤ ≤ ⇔ + ≤ ≤ + + cum

62 63 4012 63 64 62x⋅ < < ⋅ ⇒ = , deci numărul căutat este 63. 12. a) ( )40,2 400 80, 120L l L l l L= + + = ⇒ = = .

Capitolul

10

53

Perimetrul exterior al pistei este ( )2 126 86 424+ = m.

b) aria terenului de sport este 2120 80 9600m⋅ = . c) aria pistei este 2126 86 120 80 1236m⋅ − ⋅ = .


1. 4

3.

2. 6.

3. 7

4.

4. A. 5. 2. 6. 29,2. 7. 54. 8. 5. Partea a II-a:

9. 134,5; 22,5; 2 106,5; 84; 213.3

a b cb a c a a b c

+ + = = − = ⇒ = = =

10.

( )a 1 1994 1994 : 2 :1995 997= + ⋅ = ,

( ) ( ) ( )19958 665 199517 2 3 17 16 1995b 2 : 2 : 2 2 : 2 : 2 1 = = =

, deci

( )2 a b 1 1995.+ − =

11. 2 2 2

1 1 1 1 1 1... ...

3 4 49 2 3 3 4 48 49+ + + < + + + =

⋅ ⋅ ⋅

1 1 1 1 1 1 1 1 47 48 1...

2 3 3 4 48 49 2 49 98 96 2= − + − + + − = − = < = .

54

12. Baza este un pătrat de latură 4 cm, deci volumul este

34 4 1 16cm⋅ ⋅ = .

• Test 3:

Partea I: 1. 119. 2. 9. 3. 112 2048= . 4. 43. 5. 442 . 6. 486. 7. 117. 8. 92 512= . Partea a II-a: 9. a) ( )3+4+5+...+2010= 3+2010 2008 : 2 2021052.⋅ =

b) ( )3+6+9+...+2010 3 1 2 ... 670 3 670 671: 2 449570.= ⋅ + + + = ⋅ ⋅ =

c) 4+7+10+...+3001=3 1+1+3 2+1+...+3 1000+1=⋅ ⋅ ⋅

( )=1000+3 1 2 ... 1000 1000 3 1001 1000 : 2 1502500.⋅ + + + = + ⋅ ⋅ =

10. 538, 47 10, 10 47 10 538 11, 527.a b a b b b b b a+ = = ⋅ + > ⇒ ⋅ + + = ⇒ = =

11. Fie numerele 14 12 132 25 11A = ⋅ ⋅ şi 40 6 82 5 7B = ⋅ ⋅ .

a) ( )1214 2 13 14 10 132 5 11 10 5 11A = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒14 zerouri. 40 6 8 6 34 82 5 7 10 2 7B = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒6 zerouri.

b) ( ) ( )( ) ( )( )6 230 13 24 8 13 4 410 11 2 7 , 11 1, 2 6, 7 1A B U U U⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = = = ⇒ 30

zerouri.

c) ( ) ( )( ) ( )( )6 230 13 24 8 13 4 410 11 2 7 , 11 1, 2 6, 7 1A B U U U⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = = = ⇒ 6

este ultima cifră nenulă a produsului .A B⋅

55

12. 6 4194 6 6000 4194 10 6 200.abc abc abc abc abc= + ⇒ + = + ⋅ + ⇒ =

• Test 4: Partea I: 1. 1,2,3,4,6,12. 2. 0,7,14,28. 3. 243. 4. 2340. 5. 54. 6. 248. 7. F. 8. { }2,6,10,30 .

Partea a II-a: 9. ( ) ( ) ( )2 3 2006 3 20052 2 2 ... 2 2 1 2 2 1 2 ... 2 1 2+ + + + = + + + + + + =

( )20053 1 2 ... 2 3= + + + ⋮ .

10. a) ( )100 10 100 10 99 9.abc cba a b c c b a a c− = + + − − − = − ⋮

b) 5 9 5 9.x x x x⇒ + +⋮ ⋮ Cum { }1,2,...,9 2.x x∈ ⇒ = SoluŃia problemei

este 252. 11.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )998 4981996 1992 2 4 1996 19929 7 9 7 1 1 0 9 7 10.U U U− = − = − = ⇒ − ⋮

12. ( )35 2 125 125 10 1 .n n nx += ⋅ − = −

Dacă 0 0 5,9.n x= ⇒ = ⋮

Dacă 30 5 99...9 5,9.n x≠ ⇒ = ⋅ ⋮

56

• Test 5: Partea I: 1. 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 2. 22 3 5 7⋅ ⋅ ⋅ 3. 74 4. 3 sau 7 5. 0 6. 14 7. F 8. 1111 Partea a II-a: 9. a) ( ) ( )2 3 5 6 2 3 5 12 18 5.x y x y x y+ ⇒ + ⇒ +⋮ ⋮ ⋮

b)

( ) ( ) ( ) ( )2 3 7 2 3 14 7 3,9 3 14 7 9 3x y x y x y x x y x+ ⇒ + ⇒ + ⇒ + − ⇒⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

( )5 7 3.x y⇒ + ⋮

10. Cum 54 şi 16b sunt numere pare rezultă că 3a este un număr par, deci a este un număr par prim, deci 2,a = iar 3.b =

11. .a a a a b⇒ ⋅ Cum ( ) .a a b c a a b c a b a c⋅ + ⇒ ⋅ + − ⋅ ⇒ Analog

.a b Din 10 ,a c a c⇒ dar ,a b deci 10 .a c b a cb+ ⇒ Analog ,a bc deci

.a bc cb+

12. 5 3 2864 2 3 ,x= ⋅ este pătrat perfect. 2x 3y + x y

1 864 1 861 22 216 2 213 42 54 4 51 23 96 3 93

57

2 22 3⋅ 24 6 21 4 22 3⋅ 6 12 3

• Test 6: Partea I: 1. 5. 2. 60. 3. A. 4. 3612 . 5. { }1,3,5,7,9 .

6. 2. 7. 400. 8. 120. Partea a II-a: 9. ( ) ( )120, , 15 15 , 15 , , 1.a b a b a m b n m n+ = = ⇒ = = = De aici rezultă că

( )15 120 8m n m n+ = ⇒ + = şi cum ( ), 1m n = înseamnă că perechea

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }, 1,7 , 7,1 , 3,5 , 5,3m n ∈ , deci numerele căutate sunt date de

perechea ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }, 15,105 , 105,15 , 45,75 , 75,45 .a b ∈

10. ( ) ( )5 4, 6 5, 8 7 1 5 1 , 1 6 1 ,a x a y a z a x a y= + = + = + ⇒ + = + + = +

( )1 8 1a z+ = + , deci 1a + este multiplu comun al numerelor 5,6 şi 8.

Dar a trebuie să fie cel mai mic, deci [ ]1 5,6,8 120 119.a a+ = = ⇒ =

11. 24 17, 40 17, 48 17 17 24 , 17 40 ,a x a y a z a x a y= + = + = + ⇒ − = − =

17 48 ,a z− = , deci 17a − este multiplu comun al numerelor 24,40 şi 48. Dar a trebuie să fie cel mai mic, deci

[ ]17 24,40,48 240 257.a a− = = ⇒ =

58

12. ( )[ ], , 5400.ab a b a b= = Din ( ) ( ), 15 15 , 15 , , 1a b a m b n m n= ⇒ = = =

şi atunci 24mn= ⇒ înseamnă că perechea

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }, 1,24 , 24,1 , 3,8 , 8,3m n ∈ , deci numerele căutate sunt date de

perechea ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }, 15,360 , 360,15 , 45,120 , 120,45 .a b ∈

• Test 7: Partea I: 1. 30. 2. 300. 3. 9. 4. 1. 5. 35. 6. 2. 7. 1. 8. { }5,10,15,30.

Partea a II-a:

9. ( ) ( ) ( ) ( )1 2 12 1 2 2 2 17 2 3 3 6 2 3 2 3 2n n n nn nA

+ + ++ += ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = 2 2 1 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 17 2 3 6 2 3 3 2 2 3n n n n n n n n+ + + + + += ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅

( )2 3 2 2 2 1 2 27 6 2 3 3 2 2 3 667 2 3 2001n n n n A+⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ este divizibil

cu 2001, oricare ar fi *.n∈ℕ 10. 348 12,790 6,1180 4, 12.xa xb xc x= + = + = + > De aici rezultă că

336, 784, 1176xa xb xc= = = , deci x este cel mai mic divizor comun al numerelor 336, 784 şi 1176, mai mare decât 12. Deoarece

( ) 3336, 784,1176 2 3 7 14.x= ⋅ ⋅ ⇒ =

11. ( )2 7 4 13 5 2 7.B A a b c B A− = + + ⇒ − ⋮ Dacă 7,A⋮ atunci 2 7,B⋮ dar

( )2,7 1= implică 7.B⋮ Reciproc, dacă 7,B⋮ atunci 2 7B⋮ şi cum

2 7 7.B A A− ⇒⋮ ⋮

59

12. { } { }1,2,3,4 , , 0,1,...9 , 9 5 99 9a b c abc x a b a b c∈ ∈ = + ⇒ + + + + =

9 5x= + ⇒ 9 5, 7 14.a b c y a b c a b c⇒ + + = + + + ⇒ + + =⋮

( ( )98 7 2 3 7 14 2 3acb a c a c b a c a c b= + + + + = + + + + ⇒

2 3 2 7.a c b+ + + ⋮ Dar 7a b c+ + ⋮ , deci:

( ) { }2 3 2 7 2 2 7 2 5,12,19 .a c b a b c a c a c+ + + − + + ⇒ + + ⇒ + ∈⋮ ⋮

Din analiza cazurilor rezultă { }149,275,338,464 .abc∈

• Test 8: Partea I: 1. 2 3 5 67⋅ ⋅ ⋅ . 2. 1. 3. 90. 4. 19. 5. { }5,10,15,20,30,60.

6. {14031,14130,14034,14430,14133,14331,14232,14037.

} 14730,14136,14631,14235,14532,14334,14433 .

7. 0,1. 8. 7230,7530,7830,7035,7335,7635,7935. Partea a II-a: 9. 4277 17,4998 18,6079 19, 19.xa xb xc x= + = + = + > De aici rezultă că 4260, 4980, 6060xa xb xc= = = , deci x este un divizor comun al numerelor 4260, 4980 şi 6060, mai mare decât 19.

Deoarece ( ) { }24260,4980,6060 2 3 5 20,30,60 .x= ⋅ ⋅ ⇒ ∈

Numerele 4277; 4998 şi 6079 împărŃite la un număr natural nenul dau resturile 17; 18 şi respectiv 19. AflaŃi împărŃitorul. 10. 6750ab= , ( ), 15a b = ⇒ ( )15 , 15 , , 1.a m b n m n= = = De aici rezultă

că 30mn= şi cum ( ), 1m n = înseamnă că perechea

60

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }, 1,30 , 30,1 2,15 , 15,2 , 5,6 , 6,5 , 3,10 , 10,3m n ∈ , deci

numerele căutate sunt date de perechea

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){( ) ( )}

, 15,450 , 450,15 , 30,225 , 225,30 , 75,90 , 90,75,

45,150 , 150,45 .

a b ∈

11. Fie ( ),d A B= . 5 10 7nA = ⋅ + , 2 10 3nB = ⋅ + .

25 2 1 1,

5

A d A dB A d d d

B d B d

⇒ ⇒ − ⇒ ⇒ =

⋮ ⋮⋮ ⋮

⋮ ⋮deci sunt prime între ele,

unde .n∈ℕ 12.

( ) ( ) ( )2 210 10 10 82 100 10 92a b c a b c c ac a b a c c ac+ − + + = ⇒ + + + = ,

de unde rezultă că { }2 , 1,2,3,4 .c k k= ∈

( ) ( )2550 5 2 2 45 .a b a k k a a k a k M+ + = + − ⇒ − ∈ Analizând cele opt

cazuri rezultă 386.abc=

• Test 9:

Partea I: 1. ( )2,5;2, 3 ;5,5 şi 7,4.

2. ( ) ( ) ( )1, 2 ;21, 34 ;4,5 6 şi ( )1,2 31 .

3. 7

3.

4. { }4,5,7 şi A .

5. 1,23(4) ; 1,2(34) ; 1,(234) şi 1,234. 6. 20.

7. 1

3.

8. 65

70.

61

Partea a II-a:

9. { }1 1 12 7, 3,4,5,6

7 2n n A

n< < ⇒ < < ∈ ⇒ =ℕ .

{ }3 5 2 30 30 3020 6 45, 4,5,6,7 .

2 3 20 6 45n n B

n n> > ⇒ > > ⇒ < < ∈ ⇒ =ℕ

{ } { } { }3,4,5,6,7 , 4,5,6 , \ 3A B A B A B∪ = ∩ = = şi { }\ 7 .B A=

10. ( ) ( )3 2 30 48 5 90 7 , 5,48 1 5, 6.9 10

b baa a b a b ⋅ + + ⋅ = ⇒ = − = ⇒ = =

11. Fie ( )3 7,2 3d n n= + + .

( )( ) ( ) ( )

2 3 73 72 3 7 3 2 3 5 5.

2 3 3 2 3

n dn dn n d d d

n d n d

++ ⇒ ⇒ + − + ⇒ ⇒ = + +

⋮⋮⋮ ⋮

⋮ ⋮

( )3 7 5 ,2 3 5 5 4 5 1, .n x n y n x y n k k+ = + = ⇒ = − − ⇒ = + ∈ℕ 12. Fie ( )7 5,4 3d n n= + + .

( )( ) ( ) ( )

4 7 57 57 4 3 4 7 5 1 1,

4 3 7 4 3

n dn dn n d d d

n d n d

++ ⇒ ⇒ + − + ⇒ ⇒ = + +

⋮⋮⋮ ⋮

⋮ ⋮

deci fracŃia 7 5

4 3

n

n

++

este ireductibilă, oricare ar fi .n∈ℕ


1. 29

30.

2. ( )3,8 5 .

3. 49

65.

4. 8,84.

62

5. 9 . 6. 9,275.

7. De exemplu 1 2

15 15+ .

8. 87

10.

Partea a II-a: 9. a)

( ) ( )1 1 2 1 1 1 1 1 1

...2 2 2 2 2 2 4 4 6 6 8

1 1 1 1 1 1 1 1...

2008 2010 2 2 4 4 6 2008 2010

1 1 1 251.

2 2 2010 1005

k k

k k k k k k

+ − = ⋅ = ⋅ − ⇒ + + + + + + + ⋅ ⋅ ⋅

+ = ⋅ − + − + + − = ⋅

= ⋅ − =

b) 1 1 1 1 3 4 2011 2011

1 1 1 ... 1 ... .2 3 4 2010 2 3 2010 2

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ ⋅ =

10. Fie , ,a b c simultan numere naturale. 7

2 3x y∈ ⇒

+ℕ

7 2 3 ,2 3 5 2 3 7.x y x y x y+ + ≥ ⇒ + =⋮

2 3 3 1 7 3 1 2, 1b x y x x x y∈ ⇒ + + ⇒ + ⇒ = =ℕ ⋮ ⋮ şi rezultă imediat că

251 .

16 9d = = ∈

+ℕ

Reciproc, fie d este număr natural.

( ) ( )2 21 2 9 2 1 16 1, 2 1, 1, 1 .x x y y x a b c≥ ⇒ + ≥ ⇒ + ≤ ⇒ = = ⇒ = = = ∈ℕ

ObservaŃie: 1 1abc a b c= ⇒ = = = , dacă sunt numere naturale.

63

11. 2 3 4 5

.1 1 1 1 1

a b c d ex

a b c d e+ + + + =

+ + + + +

1 2 2 3 3 4 4

1 1 1 1 1 1 1 1

5 51 1 2 3 4 5 1 14.

1 1

a b c d

a a b b c c d d

ex x x

e e

+ + + + + + + + + + + + + + + +

+ + = + ⇒ + + + + = + ⇒ = + +

12. 1 1 1 6

1.2 3 6 6

+ + = =

a) 384 1 2 3 4 6 8 16 24 32 64 96 1281

384 384

+ + + + + + + + + + += = =

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1.

384 192 128 96 64 48 24 16 12 6 4 3= + + + + + + + + + + +

b) Fie 1 2, ,..., mp p p , m numere prime distincte astfel încât

1 2

1 1 1... 1.

mp p p+ + + = După aducere la acelaşi numitor am

obŃine de exemplu 2 1 1 2... ... ,m mp p p p p pα⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ de unde ar

rezulta că 2 1... mp p p⋅ ⋅ ⋮ care este evident fals.


1. 9

16.

2. 54

5

.

3. 16

5.

4. 122

211.

64

5. 293

60.

6. 7

2.

7. 2

9.

8. 13

2.

Partea a II-a: 9.

a) 8 39 11 9 10 21 10

1.35 70 70 14 3 70 3 + + − ⋅ = ⋅ =

b) 5 2 1 16 1 77 6 77

2 : 3 .2 3 3 90 18 19 57

− + − ⋅ + = ⋅ =

c) 12 12 1 1 12 4 65 1 16 52

: .6 7 3 4 5 3 21 4 15 63

⋅ − ⋅ − = ⋅ ⋅ =

10. 5 4 12

, , .2 3 11

a a a⋅ ⋅ ⋅ ∈ℕ ( ), , , , 1.m

a m n m nn

∗= ∈ =ℕ Deoarece perechile

de numere ( ) ( ) ( )5,2 , 4,3 , 12,11 sunt numere prime între ele rezultă că

5,4,12 ,n⋮ iar 2,3,11m⋮ . Pentru a-l găsi pe cel mai mic trebuie ca

[ ]2,3,11 66,m= = iar ( )5,4,12 1,n = = deci 66.a =

11.1 1 1 1 1 1 1 1 1

... ...1 2 2 3 1999 2000 1 2 2 3 1999 2000

+ + + = − + − + + − =⋅ ⋅ ⋅

1 19991 ,

2000 2000999 1998 1999 9999 9995 1999

0,999 ,0,9999 .1000 2000 2000 10000 10000 2000

= − =

= = < = > =

65

12. ( )11

202505 2005.101 11

x y x yA

x y x y

+ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ =⋅ ⋅ +


1. 2

5.

2. 5

6.

3. 10

3.

4. 95

4.

5. 4000.

6. 143

140.

7. 0.

8. 55

4.

Partea a II-a: 9.

a) 1 2 9

... 10 20 ... 90 9 99 5.99 99 99

x x xx x x x+ + + = ⇒ + + + + = ⇒ =

b) 1 3 2 7 8 2

12 : 2 : 1 1 1 5.3 4 3 8 11 3

x + ⋅ ⋅ + =

37 11 5 15 8 5 11 5 15 8 5 37: : 5 :

3 4 3 8 11 3 4 3 8 11 3 15x x

+ ⋅ ⋅ + = ⇒ + ⋅ ⋅ + = ⇒

11 5 15 8 4 5 15 5 4: .

4 3 8 11 5 3 8 2 9x x x

⇒ + ⋅ ⋅ = ⇒ + ⋅ = ⇒ =

66

c) 6 3 6 9

2 4 2 2 3 .9 9 9 7

x x x x+ − = − − + + ⇒ =

10. 600+120=720. 720:2=360. 360 3⋅ = 1080. 1080 :5 216= . 216 6 1296⋅ = . 1296 :3 432= . 432 4 1728⋅ = lei. 11. 1 2 10a a+ = , 3 4 5 6 7 1075, ... 1000.a a a a a a+ + = + + + =

1 2 10...542,5.

10

a a a+ + +=

12. ( )39 3 11 6 2 3x x x x+ = + ⇒ = ⇒ = ani.


1. 41

24.

2. 53

20.

3. 21

20.

4. 13

5− .

5. 27

5.

6. 7

2.

67

7. 2

3.

8. 33. Partea a II-a: 9.

( ) ( )3 3 3 3 3 3 3 9 3 9x y xy y xy x y x y y x y+ = ⇒ = − ⇒ = − ⇒ − = − − ⇒

( ) ( ) ( )( )3 3 3 9 3 3 9.y x y x y− = − − ⇒ − − = Din analiza cazurilor

posibile rezultă ( ) ( ) ( ) ( ){ }, 6,6 , 4,12 , 12,4 .x y ∈

10. a) 6 15 128 125 83 8 1 3 1 1 17

2 2 .90 64 100 1000 900 15 10 8 12 60

− + ⋅ − ⋅ − = + − ⋅ − =

b) 5 7 16 1 25 1 5 2 1

: .10 12 90 10 2 12 5 12

− ⋅ − = ⋅ ⋅ =

11. a) 624: 4 156.= 156 5 780.⋅ = 780:13 60.= 60 20 1200 .km⋅ = b) 156 .km

12. Fie şirul de fracŃii 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 2007 2008

; ; ; ; ; ; ; ; ; ;...; ; .1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 2 1

a) 2008 2009

1 2 3 ... 2008 2017036.2

⋅+ + + + = =

b) ( ) 2007 20081 2 3 ... 2006 2007 1008 1008 2016036.

2

⋅+ + + + + + = + =

c) Fie ,n k∈ℕ , n cel mai mare număr natural astfel încât 1 2 ... 2008.n k+ + + + =

Atunci ( ) ( )1

2008 1 2 4016 62, 55.2

n nk n n k n k

++ = ⇒ + + = ⇒ = =

Al 2008-lea termen este 55

.9

68


1. 51

30.

2. 8,2. 3. 175.

4. 25 27

;26 28

şi 29

30 .

5. 73

27.

6. 3

2.

7. 3,4. 8. 105. Partea a II-a: 9.

1 1 1 11

4 4 4 4A = + + + = şi

1 1 1 2 1 3 1 20041 ...

2 2 3 3 4 4 2005 2005B

= + + + + + + + + + =

1 1 ... 1 2005.= + + + = 20052005 1 2004, 1 1BB A A− = − = = = şi

( ) ( )1 1 12000 2005 2000 25.AB

+ +− = − =

10. ( ) ( ) { }100 1 2 999 9,10,...,30x x x≤ + ⋅ + ≤ ⇒ ∈ .

1 1 1 1 1 1 1 1 1... ...

10 11 11 12 31 32 10 11 11 12 31 32+ + + = − + − + + − =

⋅ ⋅ ⋅

1 1 11.

10 32 160= − =

69

11. 2008

2008 2008 2008 2008 2008

2007 5 2007 ...25 2007 ...175...,...175.

2 5 2 10 10

⋅ ⋅= = = =⋅

12. 3 3 3 3 3 3 3 3

1 1a b c d a b c d

bcd acd abd abc bcd acd abd abc⋅ ⋅ ⋅ = ⇒ = = = = ⇒

3 4a bcd a abcd⇒ = ⇒ = şi analoagele, de unde, prin adunare se obŃine

a) 4 4 4 4 4 .a b c d abcd+ + + =

b) Din 3a bcd= şi 3

3 4 43

,a b

b acd a b a bab

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = deoarece

, .a b∈ℕ Analog .b c d= = De aici rezultă imediat că

( )20052004 2004 2004 2004 4a b c d abcd+ + + = şi că

c) ( ) ( )5012005 2005 2005 2005 .a b c d abcd a b c d+ + + = + + +

• Test 15: Partea I: 1. a) F. b) F. c) A. d) A. e) A. f) A. g) A. h) A. 2. [ ]CD respectiv CD .

3. , ,C A B. 4. 12. 5. 6. 6. a) [ ]AC .

b) [ )AB .

c) [ )BC .

d) [ ]AB .

70

7.

∈ [ AB (BC [BA (DC

A A F A A B A F A A C A A F A

D A A F F 8.

Partea a II-a: 9.

10. a) , , , .A B C D A B D C B A C D B A D C− − − − − − − − − − − − b) , .A B C D B A C D− = − − = − c) , .C A B D C B A D− − − − − − d) .A C B D− − −

A B C

71

e) .A B D C− − −

11.

12. 99 100

1 2 ... 99 4950.2

⋅+ + + = =

• Test 16: Partea I: 1. a) A. b) F. c) A. d) A. e) F. f) A. 2. 24. 3. 8. 4. 8.

5. 1

2.

6. A. 7. 2. 8. 4 sau 10. Partea a II-a: 9. Fie punctele coliniare A1, A2, A3, ..., A100 în această ordine, astfel încât A1A2=1 cm, A2A3=2 cm, A3A4=3 cm, …, A99A100=99 cm.

a)( )( )

25 48

25 47 47 25 125 26 ... 47 828 .

2A A cm

+ − += + + + = =

A B D C

72

b) 70 52 52 70

50 5152 53 ... 69 1139,5 .

2MA MA A A cm

+= + = + + + + =

10. 100 1 2 ... 1002525 .

2 2

OAOM cm

+ + += = =

11. Fie ( ) 32, , 2 2AB x BC y CD z x y x x y z y z= = = ⇒ + = + + + ⇒ = = .

12. Fie , , .AB x BC y CD z= = =

( )1 1 1 1AD BC x y z yBD y z

AB CD AB CD x z x z

+ + + = + ⋅ ⇔ + = + +

care se

verifică prin calcul direct.

• Test 17: Partea I: 1. 8. 2. a) A. b) F. c) A. d) A. e) F. f) A.

3. 1

8.

4. 1. 5. Fie trei puncte necoliniare. Se simetrizează două puncte faŃă de cel de-al treilea. 6. 2. 7. 56. 8.

(A aC∉ A (C aE∈ F

[D bD∈ A [ (OB bD⊂ F

73

[F aA∈ F ( (OB bD⊂ F

[ [OC aG⊂ A ( [OB bD⊂ F

( (OG aE⊂ F [ [OG aF⊂ A

[(OG OG⊂ A [ [OB bB⊂ A

, ,A O C coliniare

A FC OB∩ = ∅ F

[ ] [DF aG⊂ A ( [ ]CG AF∩ = ∅ A

Partea a II-a: 9. 2 5 10 .AB cm= ⋅ = 11 5 6 .BC cm= − = 5 11 16 .AC cm= + =

8 5 3 .MP cm= − = 8 3 5 .NP cm= − =

10. 2 2 2 1.

OB OC OC OA OA OBOM ON OP

OA OB OC OA OB OC

+ + ++ ++ + = =+ + + +

11. Cazul M A B− − .

, , 2 .OM AM AO OM BM BO AO BO OM AM BM= + = − = ⇒ = + Analog cazul .A B M− −

12. a) 1 10

9 101 2 ... 9 45.

2A A

⋅= + + + = =

b) 1

1 2 3 45 .

2A M cm

+ + += = 1

7 8 91 2 3 4 5 6 33 .

2A N cm

+ += + + + + + +

33 5 28 .MN cm= − =

• Test 18: Partea I: 1. a) ( ).m BAD∢

b) ( ).m CDE∢

c) ( ).m BAE∢

74

d) ( ).m BCA∢

2. [, .OM OP

3. a) A. b) F. c) F. d) A. e) F. f) F. 4. a) BOC∢ . b) AOC∢ . c) BOB∢ . d) DOC∢ . 5. Se construieşte cu rigla şi raportorul. 6. 25200". 7. BOC BOD≡∢ ∢ . 8.

a) ( ) 40m DOA = �∢ .

b) ( ) 130m AOC = �∢ .

c) ( ) 180m DCO = �∢ .

Partea a II-a: 9. Conform axiomei de adunare a unghiurilor: Cum

( ) ( ), 0m ABP m PBC> ⇒�∢ ( ) ( ).m ABC m PBC>∢ ∢

10. Cazul 1. Semidreapta (OC este inclusă în interiorul unghiului

�.AOD ( ) ( ) 2 , 48 2 120m AOC x m BOD x x x= ⇒ = + + = ⇒� �∢ ∢

( ) ( )24 , 48 .m AOC m BOD⇒ = =� �∢ ∢

Cazul 2. Semidreapta (OD este inclusă în interiorul unghiului �.AOC

( ) ( ) 2 , 2 48 120m AOC x m BOD x x x= ⇒ = + − = ⇒� �∢ ∢

75

( ) ( )56 , 112 .m AOC m BOD⇒ = =� �∢ ∢ că ( ) 120m AOB = �∢ şi

semidreptele [OC , [OD sunt situatre în interiorul AOB∢ astfel încât

11. Cazul 1. Semidreapta (OP este inclusă în interiorul unghiului

�.AOQ ( ) ( )60 35 25 , 60 25 85 .m QOD m POD= − = = + =� � � � � �∢ ∢

Cazul 2. Semidreapta (OQ este inclusă în interiorul unghiului

�.AOP ( ) 60 35 25 ,m POD = − =� � �∢ ( ) 60 25 85 .m QOD = + =� � �∢

12. �� 1 2, ,..., nAOP AOP AOP n⇒ unghiuri.

�� 1 2 1 3 1 1, ,..., ,nPOP POP POP POB n⇒ unghiuri. ��

2 3 2 4 2 2, ,..., , 1nP OP P OP P OP P OB n⇒ − unghiuri. �� 3 4 3 5 3 3, ,..., , 2nP OP P OP P OP P OB n⇒ − unghiuri.

………………………………………………… ��

1 1, 2n n nP OP P OB− − ⇒ unghiuri. � 1nP OB⇒ unghi.

În total avem ( ) ( )31 2 ... 1

2

n nn n n

+ + + + − + + = unghiuri proprii.


1. a) 30 33'24";� b) 44 45'35";� c) 22 47'30";� d) 23 30'� . 2. 3. 3. 90. 4. 18. 5. 45. 6. 154. 7. 125. 8. 23.

76

Partea a II-a:

9. 90 180 3

54 .2 2

a aa a

− + − = ⋅ ⇒ =� �

�

10. Cazul 1.

� �( ) �( )�( ) �( )

90 .2

m AOB m BOCM Int AOP m XOY m BOC

−∈ ⇒ = + = �

Cazul 2. � �( ) �( ) �( ), ,P Int AOM x m AOP y m POM z m MOB∈ ⇒ = = = ⇒

�( )�( ) �( )

90 .2 2 2 2

m AOB m BOCz y x y x zm XOY x

−+ + +⇒ = + − = = < �

11. Cazul 1. ( )1 2 ... 91 1 182 13 .n n n n+ + + = ⇒ + = ⇒ =� � � � � � � � �

Cazul 2. ( ) ( )360 1 2 ... 91 1 538 .n n n n− + + + = ⇒ + = ⇒ ∈∅� � � � � � � � �

12.

( ) ( ), 90 , 2 60 , 30 .m AOB a m COD b a b a b a b= = ⇒ + = = ⇒ = =� � �∢ ∢

Măsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor ( )m AOC∢ şi

BOD∢ este egală cu 60 30

30 45 .2

−+ =� �

� �

• Test 20: Partea I: 1. 360. 2. 180. 3. 45. 4. 120. 5. 36. 6. 101. 7. 90. 8. 108.

77

Partea a II-a: 9. Fie ( ) .m AOD x=∢ Atunci

�( )27 90 21 360 111x x x m DOE+ + + + = ⇒ = ⇒ =� � � � �

111 27111 180

2

+= + = ⇒� �

� � punctele , ,D O E sunt coliniare.

10. a) ( ) 150m BOM = �∢ .

b) ( ) 10m DOM = �∢ .

c) ( ) 180 .m COD = �∢

11. Fie ( )m AOB x=∢ şi ( ) .m BOC y=∢

Avem 115 , 180 130 , 50 .2

xy x y x y+ = + = ⇒ = =� � � �

12. a) ( )2 4 ... 2 1 360 ,n k+ + + − + =�� unde ,k n∈ℕ , n maxim şi

( )2 1 .n k− < Rezultă imediat că avem 18 unghiuri.

b) Măsura unghiului cerut este 10 18

12 14 16 56 .2 2

+ + + + =� �

� � � �

• Test 21: Partea I: 1. 180. 2. 80.

3. 105

2.

4. c) obtuz.

5. 14 59'2"� . 6. 50. 7. 60.

78

8. [OA.

Partea a II-a:

9. 18 36 54 360 63 .a a a a a+ + + + + + = ⇒ =� � � � � măsurile sunt egale

cu 63 ,81 ,99� � � şi 117� .

10. ( ) ( )2 35 70 90 70 20 .m AOP m AOC= ⋅ = ⇒ = − =� � � � �∢ ∢

11. Fie [ [,OT OS bisectoarele unghiurilor , .AOM COP∢ ∢ Înseamnă că

� � � �TOM AOT SOC SOP≡ ≡ ≡ ceea ce înseamnă că [ [,OM OP sunt

semidrepte opuse, adică , ,M O P sunt coliniare. Analog pentru , ,N O Q coliniare.

12. Fie �( ) �( ) �( ) �( )2 , 60 2 ,m AOQ x m AOP m POM x m BOM x= ⇒ = = = −�

iar �( ) 60 2.

2

xm BON

−=�

�( ) 60 260 90 .

2

xm NOQ x

−= + + =�

� �


1. 17

2

�

.

2. 68. 3. 150 şi 30.

4. 21 13''� . 5. 73. 6. 120. 7. 60. 8. 180.

79

Partea a II-a: 9. Fie [OM bisectoarea unghiului AOB∢ şi [ON bisectoarea

unghiului DOC∢ . Studiem cazul (OM inclusă în interiorul unghiului

.NOC∢ Notăm ( ) ( ),m DON x m AOM y= =∢ ∢ şi ( ) .m NOM a=∢

Atunci 18 ,12 3 .y a x y x a a= + + = + − ⇒ =� � � Alte poziŃii se tratează analog. 10. Notăm ( ) ( )2 , 2 .m AOX a m BOZ b= =∢ ∢

Atunci 45

2 2 45 90 .2

a b a b+ + = ⇒ + =�

� � ăsura unghiului format de

bisectoarele unghiurilor AOX∢ şi BOZ∢ este egală cu 135

45 .2

a b+ + =�

�

11. Bisectoarele unghiurilor adiacente AOB∢ şi BOC∢ formează un

unghi cu măsura de 10.�

a) Notăm �( ) �( )2 , 2 .m AOB x m BOC y= =

10 0 10 ,8 8 80 ,0 2 20x y x x y x+ = ⇒ < < + = < < ⇒� � � � � �

80 10 8 100 .x y⇒ < + <� �

b) Din ( ) ( )5 4 90 10 8 90m AOB m BOC x y⋅ + ⋅ = ⇒ + =� �∢ ∢ şi cum

8 8 80 5 , 5 ,x y x y+ = ⇒ = =� � � de unde �( ) �( ),m AOB m BOC= deci [OB

este bisectoarea unghiului .AOC∢ 12.

a) �( ) �( ) �( ) 180 22 180 2 ,

2

x xm AOC x m BOC x m POT

− += ⇒ = − = =�

�

80

902

x= −� .

m(∢POR)=140°⇒

�( )90 2

290 140 20 40 ,

2 2

xx

xx m AOC

− + − + = ⇒ = ⇒ =

�

� � � �

�( ) 160m AOD = � .

b)m(∢POR)=25°⇒

90 22

180 90 25 802 2

xx

xx

− + − − + = ⇒ = ⇒

�

� � � �

�( ) 160 ,m AOC = � �( ) 20 .m AOD = �

• Test 23:

Partea I: 1.21. 2. . . .LU L 3.

a) Se construieşte mai întâi un unghi de măsură 40� şi se notează vârful său cu A . Pe laturile unghiului se iau punctele B şi C astfel încât

6AB= cm şi 6AC = cm, apoi se unesc aceste două puncte. b) Se construieşte mai întâi un segment de lungime 7 cm şi se notează capetele segmentului cu B şi C.În acelaşi semiplan determinat de dreaptaBC , cu vârfurile în B şi C se construiesc două unghiuri de

măsuri 60� respectiv 30� . La intersecŃia celor două semidrepte va fi vârful A al triunghiului ABC∆ . c) Se construieşte, de exemplu, un segment de 5 cm. Cu centrul în capetele segmentului, notate cu A şi B, se construiesc două cercuri de raze 6 cm respectiv 7 cm. Unul din punctele de intersecŃie ale celor două cercuri se notează cu C.

81

4. R respectiv RT. 5. Se construieşte un unghi drept şi se notează vârful său cu A . Pe laturile unghiului se iau punctele B şi C astfel încât AB AC= .Se trasează segmentul de dreaptă BC . 6. 15. 7. M şi A. 8. F. Partea a II-a: 9. 25 25 25.AD BD AC DC BD AC BC AC+ + = ⇒ + + = ⇒ + = Dar 37 12.AB AC BC AC+ + = ⇒ = 10. Unghiurile AOD şi BOC sunt congruente fiind opuse la vârf. ( ). . .OAD OBC U LU∆ ≡ ∆ .

11. Fie M simetricul lui D faŃă de .A Înseamnă că AC BM= şi

.2 2

AB BM AB ACAM

+ +< =

12. �( ) �( ) �( ) ( )60 . . .m TAC m BAC m SAB ATC ABS LU L= + = ⇒ ∆ ≡ ∆� .

• Test 24: Partea I: 1. ( ). . .AMB AMC L L L∆ ≡ ∆ ⇒ BAM CAM≡∢ ∢ .

2. ( ). . .AMB AMC LU L∆ ≡ ∆ ⇒ BM CM= .

3. Fie ABC∆ , AB AC= . ( ) � �. . .ABC ACB LU L B C∆ ≡ ∆ ⇒ ≡ .

4. 4AN AB NB= + = . ABC AMN BC MN∆ ≡ ∆ ⇒ = . 5. 4 .cm 6. 3 .cm 7. 30 .cm 8. 6 .cm

82

Partea a II-a: 9. ( ). . . .BCD CBE LU L BE CD∆ ≡ ∆ ⇒ =

10. ( ) � �� ' ' . . ' ' , ' ',OBA OAB LU L OA B OB A OAB OBA∆ ≡ ⇒ ≡ ≡ deci şi

� �' '.MAA MBB≡ Atunci ( )' ' . . . .MAA MBB U LU MA MB∆ ≡ ∆ ⇒ =

( ) � �. . .MAO MBO L L L AOM BOM∆ ≡ ∆ ⇒ ≡ ⇒ [OM este bisectoarea

unghiului XOY∠ . 11. ( ) ( ). . . . . . .ADE ADF LU L DE DF BDE CFD L L L∆ ≡ ∆ ⇒ = ∆ ≡ ∆ ⇒

� � � �DBE FCD ABC ACB⇒ ≡ ⇒ ≡ ⇒ riunghiul ABC∆ este isoscel. 12. Fie ( ). . .AOM BOM LU L MA MB∆ ≡ ∆ ⇒ = ⇒ triunghiul MABeste

isoscel.

• Test 25: Partea I: 1. 6. 2. 16. 3. Se construieşte mai întâi un segment de lungime 5 cm şi se notează capetele segmentului cu A şi B.În acelaşi semiplan determinat de dreaptaAB, cu vârfurile în A şi B se construiesc două unghiuri de

măsuri 40� . La intersecŃia celor două semidrepte va fi vârful C al triunghiului ABC∆ .

4. 130 ,120 ,110� � � . 5. Se construieşte un segment de 4 cm. Cu centrul în capetele segmentului se construiesc două cercuri de raze 4 cm. Capetele segmentului şi unul din punctele de intersecŃie ale celor două cercuri determină triunghiul căutat. 6. 8. 7. .CDM∆

8. 10 .�

83

Partea a II-a:

9. � � � �.ABM ABN MBA NBA MBC NBC∆ ≡ ∆ ⇒ ≡ ⇒ ≡

( ). . . ,MBC NBC LU L MC NC∆ ≡ ∆ ⇒ = analog .MD ND=

( ). . . .CDM CDN L L L∆ ≡ ∆

10. a) ( ). . .CAB DBA U LU∆ ≡ ∆ ⇒ .AC BD=

b) CAB DBA OAB≡ ⇒ ∆∢ ∢ este isoscel, deci ,AO BO= dar ,AC BD CO DO= ⇒ = de unde DOC∆ este isoscel.

11. ( ) � � � �. . .ABP ACM LU L ABP ACM SBC SCB SBC∆ ≡ ∆ ⇒ ≡ ⇒ ≡ ⇒ ∆

este isoscel, deci .SB SC= Cum MS AB AM AC AP PC= − = − = ⇒ triunghiurile MSB∆ şi PSC∆ sunt congruente ( ). . . .LU L

12. BCQ∆ este dreptunghic cu un unghi de 45� , de unde

.CQ BC AD= = DQP∆ este dreptunghic cu un unghi de 45� , DT

bisectoarea lui �PDQ⇒ .DT TQ=

( ) � �. . . , ,CQT ADT LU L DAT QCT TA TC∆ ≡ ∆ ⇒ ≡ =

�( ) �( ) ( )90 . .m CTA m ADS CTS ATM C U= = ⇒ ∆ ≡ ∆ ⇒�

AM CS DM AM AD CS CQ SQ= ⇒ = − = − = .

• Test 26:

Partea I: 1. 7 şi 7 sau 5 şi 9. 2. Se construieşte, de exemplu, un segment de 5 cm. Cu centrul în capetele segmentului, notate cu A şi B, se construiesc două cercuri de raze 5 cm respectiv 6 cm. Unul din punctele de intersecŃie ale celor două cercuri se notează cu C. 3. catetă. 4. a) isoscel.

84

5. Se construieşte mai întâi un unghi de măsură 120� şi se notează vârful său cu M . Pe laturile unghiului se iau punctele P şi Q astfel încât 4MP = cm şi 5MQ = cm, apoi se unesc aceste două puncte. 6. 5 respectiv 74.

7. 70 .�

8. �.DFE Partea a II-a: 9. a) ( ). . .FDB FEC LU L∆ ≡ ∆ ⇒ .BD CE=

b) ( ) � �. . .BDC CEB L L L DBC ECB ABC∆ ≡ ∆ ⇒ ≡ ⇒ ∆ este isoscel, de

unde .AB AC= c) vezi punctul b)

d) ( ) � � [. . .AFB AFC L L L BAF CAF AF∆ ≡ ∆ ⇒ ≡ ⇒ este bisectoarea

unghiului �.BAC Cum AM este mediană în triunghiul ABC∆ isoscel cu baza ( ),BC rezultă că punctele , ,A F M sunt coliniare.

10. a)

� � ( ). . . . .ABE DCF EAB CDF ADE DAF LU L∆ ≡ ∆ ⇒ ≡ ∆ ≡ ∆ ⇒ .AF DE=

b) � � ( ) � �, . . . .ADE DAF ADE DAF AEF DFE L L L AFE DEF∆ ≡ ∆ ⇒ ≡ ∆ ≡ ∆ ⇒ ≡

( ). . .AFM DEM U LU EM MF∆ ≡ ∆ ⇒ = ⇒ M este mijlocul segmentului

[ ].EF

11. ( ) ( ) 180 2060 20 80 , 80 .

2m EAC m BCA

−= + = = =� �

� � � �∢ ∢

( ) ( ). . . . . . .EAC BCA LU L AC CE ADC EDC L L L∆ ≡ ∆ ⇒ = ∆ ≡ ∆ ⇒

� �ECD ACD≡ ⇒ [CD este bisectoarea unghiului .ACE∢ 12. Cazul .A S Q− −

( ) � � � �. . .APB AQC L L L ABP ACQ PBC QCB∆ ≡ ∆ ⇒ ≡ ⇒ ≡ .

85

Fie { }BS CQ O OBC∩ = ⇒ ∆ este isoscel, deci

OB OC OP OQ OPQ= ⇒ = ⇒ ∆ este isoscel.

( )�( ) �( )

( )180 180

2 2

m POQ m BOCm SPQ m QCB

− −= = = ⇒

� �

∢ ∢

.SPQ QCB⇒ ≡∢ ∢ Analog se tratează şi cazul .A Q S− −

• Test 27: Partea I: 1. 7. 2.

3. ( );d P O .

4. 24. 5. Se construieşte un unghi drept şi se notează vârful său cu A . Pe laturile unghiului se iau punctele B şi C astfel încât 4AB= cm şi

7AC = cm.Se trasează segmentul de dreaptă BC . 6. S. 7. 7. 8. ( ). .AMB AMC I C∆ ≡ ∆ ⇒ BM CM= .

A B C H

86

Partea a II-a: 9. Fie ', 'B C proiecŃiile lui ,B C pe AM .

( )' ' . . ' '.BB M CC M I U BB CC∆ ≡ ∆ ⇒ =

10. Fie triunghiul dreptunghic

( ) �( )' . . ' . ' 2 30 60 .BAC B AC C C BC B C m BCB∆ ≡ ∆ ⇒ = = ⋅ =� � Deci

triunghiul 'BB C este echilateral, de unde perimetrul triunghiului 'BB C∆ este egal cu ( )3 2 5 30 .cm⋅ ⋅ =

11. În triunghiul BCT AC şi PT sunt înălŃimi, adică M este ortocentrul triunghiului BCT . Cum înălŃimile oricărui triunghi sunt concurente rezultă că BM este înălŃime în acelaşi triunghi, deci

.BM TC⊥ 12. Cazul 1. , , .M A C B C T A B S− − − − − −

( ). . .BPT CRM C U BT CM MA CT∆ ≡ ∆ ⇒ = ⇒ =

( ). . . ,TCM MAS LU L MT MS∆ ≡ ∆ ⇒ = analog ,MT ST= deci SMT∆

este triunghi echilateral. Cazul 2. , , .A M C B T C A S B− − − − − − Se tratează asemănător.

• Test 28: Partea I: 1. 5. 2. 3.

3. 32

3.

4. 17.

5. 25

2.

6. Se construieşte, de exemplu, un segment de 3 cm. Cu centrul în capetele segmentului, notate cu M şi P,se construiesc două cercuri de

87

raze 4 cm respectiv 5 cm. Unul din punctele de intersecŃie ale celor două cercuri se notează cu Q. 7. 150. 8. 15. Partea a II-a: 9. 5 3, 12 3, 15 3; , , 0. 3 5 , 3 12 ,n x n y n z x y z n x n y= + = + = + ≠ − = − =

3 15 .n z− = Cum numărul trebuie să fie cel mai mic, înseamnă că

[ ]3 5,12,15 63.n n− = ⇒ =

10. Fie z numărul de zile. ( )240 18 3 188 15 12.z z z− = − ⇒ =

11. ( ) � �. . . .AIM AIN L L L BAI CAI∆ ≡ ∆ ⇒ ≡

( ) [ ] [ ]. . .AIB AIC U LU AB AC∆ ≡ ∆ ⇒ ≡ ⇒ ABC∆ este isoscel.

12. Fie

( )12

... 35840 2 2 ... 2 12 2 2

n nn

l l lAB l l l −= ∈ ⇒ + + + + = ⇒ + + + + =ℕ

( )1

1 102 12 35840 2 35840 2 1 2 5 7.

2 1

nn n n nl l

++ +−= ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ − = ⋅ ⋅

−Deoarece

12 1n+ − este impar, nu poate fi decât 1,5,7 sau 35. Convine doar 2.n =

• Test 29: Partea I: 1. 60. 2. 1.

3. 11

15.

4. 2. 5. 53. 6. 3. 7. 55.

88

8. Se construieşte mai întâi un segment de lungime 9 cm şi se notează capetele segmentului cu A şi B. În acelaşi semiplan determinat de dreaptaAB, cu vârfurile în A şi B se construiesc două unghiuri de

măsuri 20� respectiv 40� . La intersecŃia celor două semidrepte va fi vârful C al triunghiului ABC∆ . Partea a II-a: 9. 297 9,319 7, 9 288 ,312n x n y n n x n y= ⋅ + = ⋅ + > ⇒ = ⋅ = ⋅ . Înseamnă că n trebuie să fie divizor comun al numerelor 288 şi 312, mai mare decât 9, deci { }12,24n∈ .

10. În mulŃimea A trebuie să fie numerele 10,15,...,105, dar să nu fie 110, deci { }105 110 105,106,107,108,109 .a a≤ < ⇒ ∈

11. Fie E şi F picioarele perpendicularelor duse din mijlocul M al laturii BC pe laturile ,AB AC ale triunghiului .ABC

( ) � �. . ,AME AMF C I EAM FAM∆ ≡ ∆ ⇒ ≡ ceea ce înseamnă că mediana

din A este în acelaşi timp şi bisectoarea unghiului ,BAC deci

triunghiul ABCeste isoscel.

12. Fie ( ) ( ) 13, , 2 90 .

8m AOB a m AOE b a b a a b= = ⇒ + = + = �∢ ∢ De aici

rezultă că ( ) 40 ,m AOB = �∢ şi ( ) 130m XOB = �∢ .

• Test 30: Partea I: 1. 1245.

2. 4

3.

3. 0. 4. c) supraunitară.

89

5. 105. 6. 78.

7. Se construieşte mai întâi un unghi de măsură 65� şi se notează vârful său cu R . Pe laturile unghiului se iau punctele S şi T astfel încât

6RS= cm şi 8RT = cm, apoi se unesc aceste două puncte. 8. 24. Partea a II-a: 9. 14 14 28 km+ = o cincime din drum. 28 5 140 km.⋅ = 10. a) ( )10 10 9 9a b b a a b b a b a b b+ − + = ⋅ + ⇒ − = ⋅ + ⇒

( )9 10 9 10a a b b a b a= ⋅ + ⇒ = + .

b) Din punctul a) rezultă imediat că { }53,84 .ab∈

11. �( ) �( ) �( )

�( )75 , 90

2 2

m AOB m BOCm BOC m AOB+ = + = ⇒� �

�( ) �( )( ) �( )3 330 330 :3 110 .m AOB m BOC m AOC+ = ⇒ = =� � �

12. Fie ( ) ( ) ( ) ( ), , , ,m AOB a m BOC b m COD c m DOE d= = = =∢ ∢ ∢ ∢

( )m EOF e=∢ .

,2

a ea b c d b c d e a b d e b c c d c

++ = + + = + ⇒ + + + = + + + ⇒ = ⇒

( ) ( ) ( ).

2

m AOF m BOEm COD

−⇒ =

∢ ∢∢

• Test 31: Concursul interjudeŃean “CongruenŃe”, Brăila, 2008

1. a) ( )2 3 0 1 27 7 7 7 7 7 7 7 57 57+ + = ⋅ + + = ⋅ ⋮ .

90

b) Suma conŃine 2010 termeni, deci se pot forma 670 grupe de câte 3 termeni:

S= ( ) ( )2 3 2010 0 1 2 2008 0 1 27 7 7 ... 7 7 7 7 7 ... 7 7 7 7+ + + + = ⋅ + + + + ⋅ + +

S= ( )0 3 200757 7 7 7 ... 7 399⋅ ⋅ + + + ⋮ .

2.

11

111 1 2 12... 1 ...

12 2 2 2 212

nn

n n n

AB ABAB AB AB AB

++− − + + + = ⋅ + + + = ⋅ = ⋅ −

12 1,

2

n

nAB AB

+ −∈ ⋅ ∈ ⇒ℕ ℕ există ,k n k≥ ∈ℕ şi p∈ℕ , p impar,

astfel încât 2kAB p= ⋅ ; 1035840 2 5 7= ⋅ ⋅ .

{ }12 1 1,5,7,35 , 2 2n n n+ − ∈ ≥ ⇒ = .

3. Avem ( )2100 1ab a bc bc= + + .

Din ( ) { }20;1;4;9;6;5U ab = , ( )( ) { }100 1 0;2;6U a bc bc+ + = şi 0b ≠ ⇒

{ }4;6b∈ .

Dacă 4b = , relaŃia devine 2 2

4 100 4 4a a c c= + + . Pentru { }4 2;7a c= ⇒ ∈ care nu verifică relaŃia.

Pentru 5,a = avem ( )24 4 5U c c+ ≠ , deci nu verifică relaŃia.

Pentru 6a = , 2 264 900 49 49> + + , în acest caz nu avem soluŃii.

Dacă 6b = , relaŃia devine 2 2

6 100 6 6a a c c= + + .

Pentru 6a = , avem { }2;7c∈ şi ( )266 600 6 6 1c c≠ + ⋅ + .

Pentru 7,a = 2 276 900 69 69> + + , deci nu se verifică relaŃia.

91


1. a) Avem 9 10

1 2 3 ... 9 45,2

⋅+ + + + = = deci 1 10 45 .A A cm=

b) Notăm cu M şi N mijloacele segmentelor [ ]1 4A A , respectiv [ ]7 10 .A A

Atunci 1 1 4

13

2A M A A cm= = şi 10 7 10

112

2NA A A cm= = .

În final, 1 10 1 10 45 3 12 30 .MN A A A M NA cm cm cm cm= − − = − − = 2. a) Numărul 20 este "miraculos" deoarece 2 220 2 4= + şi 202,4 .D∈

b) Pentru fiecare * ,k ∈ℕ avem

( ) ( )2 2220 2 4k k k= + şi cum 2202 ,4 ,

kk k D∈

obŃinem o infinitate de numere miraculoase, adică cel puŃin 2008. 3. Construim , .AD BC D BC⊥ ∈ Din ABD ACD∆ ≡ ∆ (I.C.) rezultă că

BAD CAD≡∢ ∢ .

APB AQC≡△ △ (L.L.L.) deci PAB QAC≡∢ ∢ .

Din BAD CAD≡∢ ∢ şi PAB QAC≡∢ ∢ rezultă că .PAD QAD≡∢ ∢

APQ△ este isoscel de bază [PQ] şi [AD este bisectoarea unghiului

PAQ∢ , deci .AD PQ⊥

Fie { }SB AD M∩ = . Avem SPQ SBC≡∢ ∢ (au acelaşi complement,

BMD∢ ). Dar PBC QCB≡∢ ∢ (diferenŃe de unghiuri congruente). Deducem că .SPQ QCB≡∢ ∢ 4. a) Fie *d ∈ℕ cel mai mare divizor comun al numerelor p şi q. Atunci

111

d pd aq

dp aq

d q d aq

⇒ +

⇒+

⇒

.

Cum *d ∈ℕ , rezultă că 1,d = adică ( ), 1.p q =

92

b) Avem

11

p aqp ap aq

p ap

+ ⇒ + +

şi

11

q apq ap aq

q aq

+ ⇒ + +

.

Cum p şi q sunt prime între ele, deducem că 1,pq ap aq+ +

de unde obŃinem că

( ) 11 1 .

pqpq ap aq a p q pq a

p q

−≤ + + ⇔ + ≥ − ⇔ ≥+

• Test 33: Olimpiada judeŃeană de matematică, Brăila, 2007 1. A conŃine 20 elemente În condiŃiile problemei, mulŃimea A trebuie să conŃină elementele:10; 15;20; 25; …; 105. Deci { }105;106;107;108;109 .a∈

2. 20 ( )2 2 10 2a b a b ab⋅ + ⋅ = ⋅ + = ⋅ sau ( )2 2abababb ab abb ab= ⇒ =

sau 2

10 0ab b ab b ab b⋅ + = ⇒ ⇒ =⋮ şi 1 10.a ab= ⇒ = 3. BDP∆ dreptunghic isoscel ( )DBP 45m⇒ = �∢ (1)

CDQ∆ dreptunghic isoscel ( )DCQ 45m⇒ = �∢ (2)

Din (1) şi (2) obŃinem BP CQ⊥ ⇒P este ortocentrul triunghiului

BCQ, deci CP⊥ BQ.

4. Fie AB=a şi BC=b.

DEF∆ isoscel ( ) ( )( )120 şi 30 DF=DE=a+bm EDF m DEF= = ⇒� �∢ ∢ .

DEP∆ isoscel ( ) ( )( )120 şi 30 EP=DE=a+bm DEP m PDE= = ⇒� �∢ ∢ .

Din U.L.U. ⇒ ∆ DBF≡ ∆ EBP ⇒ DB=BE.

93

• Test 34: Olimpiada locală de matematică, GalaŃi, 2007

1. 2 4 4 2

2 23 3 3 3

+ = ⇒ = − .

3 5 5 32 2

4 4 4 4+ = ⇒ = − .

...................................

1004 1006 1006 10042 2 .

1005 1005 1005 1005+ = ⇒ = −

Însumând aceste relaŃii se va obŃine:

4 5 1006 2 3 1004... 2 1003 ...

3 4 1005 3 4 1005 + + + = ⋅ − + +

.

Deducem că a = 1 şi x = 4096.

2. Notăm ( ) 2m AOC a=∢ , ( ) 2m AOD b=∢ .

Avem ( ) ( )m AOE m COE a= =∢ ∢ şi ( ) ( )m AOP m DOP b= =∢ ∢ .

Cu notaŃiile făcute, avem 0 02 2 180 90a b a b+ = ⇒ + = .

( ) ( ) 2m BOC m AOD b= =∢ ∢ (unghiuri opuse la vârf)

( ) ( ) ( )0 0 0120 120 2 120m BOE m BOC m COE b a= ⇒ + = ⇒ + =∢ ∢ ∢ .

De aici se va obŃine 0 060 , 30a b= = . Cum [OF este bisectoarea AOE∢ , înseamnă că

( ) ( ) 0302

am AOF m EOF= = =∢ ∢ .

( ) ( ) ( ) 0 0 0120 30 150m BOF m BOE m EOF= + = + =∢ ∢ ∢ .

3. Notăm a b c+ = . Vom avea ,ab m c ba n c= ⋅ = ⋅ unde

( ), *, , 1m n m n∈ =ℕ .

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )11 11ab ba c m n a b c m n a b a b m n+ = + ⇔ + = + ⇔ + = + + .

Cum 0a b+ ≠ , vom obŃine 11m n+ = , deci

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }, 1, 10 ; 2, 9 ; 3, 8 ; 4, 7 ; 5, 6m n ∈ .

94

Din ,ab m c ba n c= ⋅ = ⋅ , obŃinem

( ) ( )( ) ( )10 1 010

10 1 10 0

m a m ba b ma mb

b a na nb n a n b

− + − =+ = + ⇒ + = + − + − =

.

łinând acum seama de faptul că 11m n+ = , se observă că cele două relaŃii din sistem sunt echivalente. Pentru m = 1 ⇒ 9a = 0 ⇒a = 0, nu convine.

Pentru m = 2 ⇒ 8a = b ⇒ a = 1 şi b = 8 ⇒ 18ab=

Pentru m = 3 ⇒ 7a = 2b ⇒ a = 2 şi b = 7 ⇒ 27ab=

Pentru m = 4 ⇒ 6a = 3b ⇒ 2a = b ⇒ { }12, 24, 36, 48ab∈ .

Pentru m = 5 ⇒ 5a = 4 ⇒ a = 4 şi b = 5 ⇒ 45ab= .

În concluzie, { }12, 21, 18, 81, 24, 42, 27, 72, 36, 63, 45, 54, 48, 84 .ab∈

4. Divizorii naturali ai numărului A sunt:

2

2

2

1, 2, 2 , ... 2 1

3, 3 2, 3 2 , ... 3 2 1

........

3 , 3 2, 3 2 , ... 3 2 1

k

k

p p p p k

k numere

k numere

k numere

+⋅ ⋅ ⋅ +

⋅ ⋅ ⋅ +

În total sunt 1p + astfel de linii de divizori.

Înseamnă că, numărul A are ( )( )1 1k p+ + divizori naturali.

b) Dacă ar exista *n∈ℕ , 100n ≤ , astfel încât 2n să aibă de două ori

mai mulŃi divizori naturali decât n , atunci considerăm că

1 21 2 ... kmm m

kn p p p= ⋅ ⋅ este descompunerea în factori primi a lui n ,

1 2 1 2, , ... *, , , ...k km m m p p p∈ℕ numere prime, atunci numărul

95

divizorilor lui n este ( )( ) ( )1 21 1 ... 1km m m+ + + iar numărul divizorilor

lui 2n este ( )( ) ( )1 22 1 2 1 ... 2 1km m m+ + + . CondiŃia din enunŃ devine:

( )( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 1 22 1 1 ... 1 2 1 2 1 ... 2 1k km m m m m m+ + + = + + + .

Pe de altă parte:

( )( )

( )( ) ( )( )

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

2 1 2 1 4 2 2 1

2 2 2 2 2 1

2 1 1 2 1 2 1 1 .

m m m m m m

m m m m m m

m m m m m m

+ + = + + + == + + + + − == + + + − > + +

Avem 1 22 1m m > deoarece 1 2, *m m ∈ℕ . Înseamnă că, pentru 2k ≥ :

( )( ) ( )( )1 2 1 2

3 3

2 1 2 1 2 1 1

2 1 1

.....

2 1 1.k k

m m m m

m m

m m

+ + > + ++ > +

+ > +

De aici va rezulta că:

( )( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 1 22 1 2 1 ... 2 1 2 1 1 ... 1k km m m m m m+ + + > + + +

Pentru k = 1, 1 1221 1,m mn p n p= = şi condiŃia din enunŃ devine

( )1 12 1 2 1m m+ = + (imposibil).

96

BIBLIOGRAFIE

1. Bălăucă, Artur şi colaboratorii, Aritmetică, algebră,geometrie. Auxiliar la manualele alternative, clasa a VI-a, Editura Taida, Iaşi, 2007 2. Centrul pentru educaŃie şi dezv. CreativităŃii, Teste pentru AbilităŃi Intelectuale Generale, C.E.D.C., Bucureşti, 1991 3. Crăciun, Gheorghe şi alŃii, Duelul matematic, Editura Tiparg, Piteşti, 2007 4. Crăciun, Gheorghe şi alŃii, Maratonul Matematic, Editura Tiparg, Piteşti, 2009 5. Eckstein, Ghe. Giurgiu, D.B. şi alŃii, Olimpiadele şi concursurile de matematică V-VIII 2008, Ed. Bîrchi, Timişoara, 2008 6. Petrică, Ion şi alŃii, Matematică, manual pentru clasa a VI-a, Editura Petrion, Bucureşti, 1998 7. Roşu, Ion şi alŃii, Matematică: clasa a VI-a, semestrul I, Editura Tiparg, 2007 8. Stănică, Nicolae Cătălin, Gauzin, Ana, Fătu, Nicolae, Testarea naŃională 2004, Editura Olimpiada, Brăila, 2004 9. Turcitu, George şi alŃii, Matematică, manual pentru clasa a VI-a, Editura Radical, Drobeta Turnu Severin, MehedinŃi, 1999 10. www.sorinborodi.ro

97

CUPRINS

EnunŃuri SoluŃii Capitolul 1 EVALUĂRI INIłIALE

5

52

Capitolul 2 MULłIMEA NUMERELOR NATURALE

8

54

Capitolul 3 MULłIMEA NUMERELOR RAłIONALE POZITIVE

14

60

Capitolul 4 DREAPTA

23

69

Capitolul 5 UNGHIURI

29

73

Capitolul 6 CONGRUENłA TRIUNGHIURILOR

37

80

Capitolul 7 PERPENDICULARITATE

43

85

Capitolul 8 MODELE PENTRU TEZĂ

45

86

Capitolul 9 OLIMPIADE ŞI CONCURSURI

49

89

Capitolul 10 SOLUłII ŞI SUGESTII DE REZOLVARE

52

BIBLIOGRAFIE

96

CUPRINS

97

Sugestii şi observaŃii se pot transmite pe adresa:

[email protected]

Evaluare la matematica

Documents

Transcript of Evaluare la matematica