.l. dr. ing. CRISTINA BLA

Capitolul 1. Electrostatic

Curs 11.1. Starea de ncrcare electric a corpurilor. Sarcina

electric

Definiie:Sarcina electric : mrimea fizic scalar cu ajutorul Sarcina electric : mrimea fizic scalar cu ajutorul creia se caracterizeaz starea de ncrcare electric a corpurilorNotaie: q, QUnitate de msur: coulomb, [C] ; submultipli: mC (10-3), C (10-6), nC (10-9), pC (10-12)Sarcini electrice elementare: electronul, sarcin negativ, qe = -1.602 10-19C

Principiul conservrii sarcinii eletrice:Sarcina electric nu poate fi creat, nici distrus, ci numai transportat

n sisteme fizice izolate electric sarcina electric se pstreaz constant.

Clasificarea corpurilor din punct de vedere al meninerii strii de electrizare

Izolante Conductoare Semiconductoare Izolante Conductoare Semiconductoare

Repartiia (distribuia) sarcinii pe corpuri poate fi:

a) volumetric , sarcina se gsete distribuit n ntreg volumul corpului, caracteristic materialelor izolante

b) superficial, sau de suprafa , sarcina se afl pe suprafaa corpului, caracteristic pentru conductoare

Densitatea superficial sau densitatea de suprafa:

c) liniar, sau de linie , sarcina se afl pe corpuri filiforme (fire subiri, cabluri, linii electrice)

Densitatea de linie sau densitatea liniar:

d) punctiform, caracteristic pentru corpuri punctiforme sau corpuri de dimensiuni foarte mici, corpuri la care vectorii de poziie ai diferitelor puncte din corp coincide n raport cu sistemul de refrin

1.2. Cmpul electric n vid. Intensitatea cmpului electric. Liniile de cmp electric.

q

FE = [V/m]Intensitatea cmpului electric:

Inducia electric : [C/m2]ED 0=Inducia electric : [C/m ]ED 0

90 1094

1

=Permitivitatea vidului [F/m]

1.3. Tensiunea electric. Potenialul. Interpretare energetic

Tensiunea electric: [V]=B

AAB dlEU

Potenialul unui punct oarecare M: VM = 0M

MdlE

UAB = VA VB

1.4 Fluxul electric. Legea fluxului electric

Se numete flux electric printr-o suprafa S integrala de suprafa a induciei electrice prin acea suprafa.

= [C]S dSD

, inducia electric ntr-un punct al suprafeei S,vectorul arie elementar n acelai punct al

suprafeei, normal (perpendicular) pe suprafaa S

Fluxul electric este o msur ptrunderii cmpului electric prin suprafaa S.

D

dS

Legea fluxului electric spune c:

Fluxul electric prin orice suprafa nchis din cmpul electric este egal n orice moment cu suma sarcinilor electrice libere din interiorul suprafeei nchise:

innd seama de relaia , expresia legii fluxului electric se poate scrie:

QdSD

= .int

ED =innd seama de relaia , expresia legii fluxului electric se poate scrie:

relaie ce se cunoate sub denumirea de teorema lui Gauss.

Legea fluxului electric este o lege general a electromagnetismului, valabil att n regim static ct i n regim variabil al mrimilor de stare ale cmpului. Consecinele acestei legi sunt:- exist sacini electrice- sarcinile electrice sunt surse de cmp electric- liniile de cmp ncep i se termin pe sarcini electrice

ED 0=

0

.int

=Q

dSE

Mrime Formula

Densitatea electric

Intensitatea cmpului electric:

Inducia electric:q

FE =

ED 0=

Concluzii curs 1

Tensiunea electric:

Fluxul electric:

Legea fluxului electric:

ED 0=

=B

AAB dlEU

S dSD

QdSD

= .int

Curs 2

1.5 Aplicaii ale legii fluxului electric. Cmpul electric al unei sarcini punctiforme. Cmpul electric al conductorului rectiliniu, infinit

lung.

a) Cmpul electric al unei sarcini punctiforme

Date iniiale:Q o sarcin punctiform pozitiv aflat ntr-un cmp electricM un punct aflat la distana r o suprafa nchis de forma unei sfere ce trece prin punctul M.

Concluzie:Se urmrete determinarea intensitii cmpului electric n Se urmrete determinarea intensitii cmpului electric n punctul M

nDEDnE ||;;|| 0 =

= QdsD 0cos

= QsdD

= QdsD2

2

44

r

QDQrD

===>=> =>

Intensitatea cmpului electric este:2

04 r

QE

=

sau vectorial: r20

ur4

QE

=

r

ru r =cum:

=> rr

r4

QE

2

0

=

Pentru n sarcini punctiforme, va rezulta:

==

==n

1k k

k

2

k0

kn

1kk

r

r

r4

QEE

b) Cmpul electric al conductorului rectiliniu, infinit lung

Date iniiale:- Un conductor de raz R- l densitatea de linie a sarcinii pe conductor- un cilindru , nchis unde este suprafaa lateral, iar este suprafaa bazei.

Concluzie:Se urmrete determinarea

bl S2S +=

lS bS

Se urmrete determinarea intensitii cmpului electric al conductorului rectiliniu

r2E

0

l

==>

1.6 Conductoare n regim electrostatic

Cmpurile electrostatice sunt cmpuri invariabile n timp care nu sunt nsoite de transformri de energie

electric.

Regimul electrostatic presupune astfel c sarcinile electrice sunt fixe n spaiu i constante n timp.

Corpurile conductoare metalice se caracterizeaz, din punct de vedere microscopic, prin faptul c

posed purttori mobili de sarcin electric, electronii liberi din conductor.

Dac n interiorul corpului conductor exist cmp electric de intensitate , atunci electronii liberi se

mic prin conductor i condiia de echilibru electrostatic nu se mai respect.

E

mic prin conductor i condiia de echilibru electrostatic nu se mai respect.

Rezult urmtoarele consecine privind comportarea corpurilor conductoare (metalelor) n regim

electrostatic:

intensitatea cmpului electric este nul n interiorul conductorului, potenialul electric este constant n

interiorul conductorului

suprafaa conductorului este echipotenial

nu exist sarcini electrice n interiorul conductoarelor, sarcinile electrice sunt repartizate doar la

suprafaa conductorului

intensitatea cmpului electric este perpendicular pe suprafaa conductorului

1.7 Condensatorul. Capacitatea electric

Condensator - sistemul fizic format din dou corpuri metalice, numite armturi, separate ntre ele prin materiale electroizolante i ncrcate cu sarcini electrice egale i de semne contrare.

1.8 Capacitatea unor condensatoare simple

a) Capacitatea condensatorului plan

Date iniiale:- Condensatorul plan are dou armturi egale, plane i paralele, separate ntre ele printr-un material izolant (dielectric) liniar i omogen de permitivitate . -Dac distana dintre armturi este foarte mic se poate considera c intensitatea cmpului se poate considera c intensitatea cmpului electric are aceeai valoare n toate punctele dintre armturi i cmpul electric este uniform.

=>

=B

AAB dlEUQdSD

= .int

b) Capacitatea condensatorului cilindric

Date iniiale

Condensatorul cilindric este format din dou armturi

cilindrice, coaxiale, de raze R1 i R2 ntre care se afl un

dielectric (material electroizolant) de permitivitate .dielectric (material electroizolant) de permitivitate .

=>

=B

AAB dlEUQdSD = .int

c) Capacitatea condensatorului sferic

Date iniiale:

- Condensatorul sferic este format din dou armturi

sferice, concentrice, de raze R1 i R2.

-ntre armturi se afl un material dielectric de

permitivitate .

21

11

4

RR

C

=

=>

Pentru

rezult

ceea ce reprezint capacitatea unei sfere de raz R1 n raport cu infinitul aflat ntr-un dielectric de permitivitate .

2R

1R4C =

=B

AAB dlEUQdSD = .int

Mrime Formul

Intensitatea sarcinii punctiforme

Intensitatea conductorului rectiliniu, liniar

Capacitatea condensatorului electric

2

04 r

QE

=

r2E

0

l

=

Concluzii

Capacitatea condensatorului plan

Capacitatea condensatorului cilindric

Capacitatea condensatorului sferic

21

11

4

RR

C

=

Curs 3

1.9 Conexiunea condensatoarelor. Rezolvarea reelelor de condensatoare

a) Conexiunea serie a condensatoarelor

Date iniiale- Datorit principiului conservrii sarcinii electrice, sarcinile electrice de pe armturile condensatoarelor sunt egale

An21 qq...qq ===AB

AsU

qC =

b) Conexiunea paralel a condensatoarelor

n cazul conexiunii paralel a mai multor condensatoare tensiunea la borne este aceeai, iar condensatoarele se ncarc cu sarcinile:

Sarcina electric total preluat de condensatoare de la surs este :

Condensatorul echivalent Ce va avea pe armturi aceeai sarcin electric q atunci cnd tensiunea lui

ABnnAB22AB11 UCq...UCq;UCq ===

n21A q...qqq +++=

;

aceeai sarcin electric qA atunci cnd tensiunea lui la borne este UAB

AB

n21

AB

A

eU

q...qq

U

qC

+++==

=

=+++=n

1k

kn21e CC...CCC

Dac C1 = C2 = ...=Cn = C,

atunci :

Ce = n C

1.10. Polarizarea dielectricilor

Mediile n care nu apare curent electric n prezena unui cmp electric extern, dar care se modific sub aciunea cmpurilor electrice se numesc medii dielectrice sau dielectrici.

Date iniiale:- un condensator plan de capacitate C0, avnd sarcinile Q pe armturi, diferena de potenial U0, suprafaa armturilor S, distana

Prin introducerea ntre armturi a unui dielectric de grosime d i permitivitate , sarcina Q rmne neschimbat, se modific diferena de potenial U, deci i capacitatea Csuprafaa armturilor S, distana

dintre armturi d, iar ntre armturi vid

dE

Q

U

Q

d

SC

00

00

==

=

SQE 00 =

de potenial U, deci i capacitatea C

dE

Q

U

Q

d

SC

==

=

S

QE

=

S

QEE00 ==

Dipolul este un sistem de dou sarcini egale i de semne contrare. Axa dipolului este dreapta ce unete centrele celor dou sarcini. n lipsa unui cmp electric extern, axele dipolilor sunt orientate dezordonat, n toate direciile datorit agitaiei termice.Dac dielectricul este introdus ntr-un cmp electric, axele dipolilor se orienteaz n lungul liniilor de cmp . Sarcina pozitiv a dipolului este deplasat n sensul cmpului aplicat, iar cea negativ invers.

Fenomenul de separaie al sarcinilor la capetelor dielectricului, atunci cnd acesta este introdus ntr-un cmp electric se numete polarizarea dielectricului. dielectricului.

Prin polarizare ia natere un cmp interior propriu dielectricului numit Ep, de polarizaie, care se opune cmpului extern, adic:

Dac polarizarea dielectricilor devine prea mare, materialele devin conductoare iar n dielectric apare o deplasare de electroni, adic un curent electric, care nclzete (poate arde) dielectricul. Se face afirmaia c dielectricul a strpuns. Odat strpuns, dielectricul nu-i poate recpta proprietile izolante.

EEEE p0

1.11. Energia cmpului electric dintre armturile unui condensator

Condensatorul reprezint un sistem electric, caracterizat printr-o energie W, egal cu lucrul mecanic L necesar a fi efectuat pentru ncrcarea lui, adic

W=LSe consider lucrul mecanic necesar pentru deplasarea sarcinii electrice Qde pe o armtur pe alta, astfel nct diferena de potenial s creasc de laO la U. Dar, deoarece n cursul ncrcrii condensatorului tensiuneaelectric dintre armturi nu este constant ci crete de la O la U, n expresialucrului mecanic se introduce media aritmetic a tensiunii dintre armturi,lucrului mecanic se introduce media aritmetic a tensiunii dintre armturi,adic:

Q = C U

UQ2

1

2

UOQL =

+=

2UC2

1L =

2UC2

1W =

n cazul unui condensator plan, tensiunea dintre armturi poate fi exprimat n funcie de intensitatea E a cmpului uniform, adic :

U = E dC = S / d

2222 Ev2

EdS2

1dE

d

S

2

1W ==

=

Concluzii Curs 3

Mrime Formula

Conexiunea serie a condensatoarelor

Conexiunea paralel a condensatoarelor

Energia cmpului electric

=

=++=n

1k kn21s C

1

C

1...

C

1

C

1

C

1

=

=+++=n

1k

kn21e CC...CCC

2UC2

1W =

Tensiune electromotoare e sau ue

Intensitate a curentului electric i

Densitatea de curent

Intensitatea curentului prin suprafaa S

=+= C C iiC sdEsdEsdEe

dt

dQ

t

Qi

t=

= 0

lim

J .

,= S dAJi

2

Curs 4

Capitolul II. Electrocinetic

n anumite condiii corpurile conductoare se pot afla n stare electrocinetic. Dac se realizeaz o diferen de potenial ntre dou puncte sau regiuni ale unui corp conductor se constat c poate apare o deplasare ordonat a purttorilor de sarcin prin conductor.

Curent electric = deplasarea ordonat a sarcinilor electrice.

Starea electrocinetic poate fi pus n eviden prin diferite efecte. efectul termic; conductoarele parcurse de curent electric se nclzesc

2.1 Starea electrocinetic

efectul termic; conductoarele parcurse de curent electric se nclzesc degajnd o anumit cantitate de cldur n mediul exterior; efectul luminos; cnd densitatea de curent este foarte mare, nclzirea este att de puternic nct conductorul ajunge la incandescen; efectul chimic; dac curentul electric traverseaz o soluie de ap cu acid sulfuric, apa se descompune n elementele sale componente i anume: oxigen la borna minus i hidrogen la borna plus; efectul magnetic; dac se apropie acul magnetic al unei busole de un conductor parcurs de curentul electric, acesta nu mai arat nordul, ci se deplaseaz perpendicular pe direcia conductorului.

Starea electrocinetic poate fi pus n eviden cu ajutorul unui disc metalic ce se poate roti n jurul axei sale.Fora centrifug este aceea care acioneaz asupra sarcinii electrice din disc. Ea este o for neelectric ce acioneaz asupra sarcinilor electrice i de aceea se mai numete for imprimat. Raportul dintre fora neelectric (fora imprimat) i sarcina electric asupra creia acioneaz se numete intensitate de cmp electric imprimat:

Turaie const => => nu exist curent de conducie => reg electrostatic.0=+ ecf FFTuraie variabil => => exist curent de conducie => reg electrocinetic.0+ ecf FF

0=+ EE i0+ EE i

Se consider o poriune de conductor A-B ntre capetele cruia se aplic o tensiune U=VA-VB, se constat c electronii se vor deplasa de la punctul B cu potenial sczut, spre punctul A cu potenial mai ridicat sub forma unui curent de electroni I. Acest curent circul prin surs, de la borna + (cu sarcini pozitive) spre borna (cu sarcini negative).Deplasarea de sarcini electrice prin conductoare formeaz curentul electric de conducie.

2.2 Curentul electric. Densitatea de curent

Curentul electric este caracterizat prin intensitatea I = raportul dintre cantitatea de electricitate Q i timpul t n care aceasta trece prin conductorul considerat, adic:

1A = 1C / 1sDefiniie: Intensitatea curentului electric este numeric egal cu cantitatea de electricitate exprimat n coulombi, care trece prin conductor ntr-o secund.Dac ne referim la o cantitate de electricitate infinit mic dQ, ce strbate conductorul ntr-un interval de timp dt, relaia de mai sus devine:

Deoarece numrul de electroni (corespunztor sarcinii Q), care trece prin conductor este acelai n orice seciune a conductorului, rezult c, intensitatea curentului electric este aceeai n toate punctele conductorului.

t

QI =

dt

dQ

t

Qi

t=

= 0

lim

Starea electrocinetic se caracterizeaz local prin mrimea denumit densitatea de curent,

notat cu

n cazul curentului electric de conducie din conductoarele metalice, intensitatea curentului prin suprafaa S

se poate scrie:

unde

este densitatea de curent ntr-un punct oarecare al suprafeei S

este elementul de arie din acel punct: ,

este versorul normal la suprafaa A n punctul considerat.

,= S dAJi

J

d A dAnAd =

J

n

Densitatea curentului electric este o mrime fizic vectorial, o mrime derivat.

n sistemul de uniti S.I. unitatea de msur a densitii curentului electric se numete amper pe metru

ptrat (A/m2).

n practic se folosete frecvent unitatea amper pe milimetru ptrat: 1A/mm2 = 106 A/m2.

Pentru cazul curentului continuu repartiia densitii de curent n seciunea conductorului este uniform, iar

dac seciunea este transversal se poate scrie :

[ ]2mAS

Ij =

Tensiune electromotoare, notat cu e sau ue = integrala de linie a sumei dintre intensitatea cmpului electric imprimat i intensitatea cmpului electric coulombian.

+= C i sdEEe )(

Tensiunea electromotoare este numeric egal cu lucrul mecanic efectuat de fora rezultant pentru deplasarea sarcinii electrice unitare pe conturul nchis C:

2.3 Tensiunea electromotoare

Integrala poate fi descompus sub forma:

+== C i sdFFqqL

e )(1

=+= C C iiC sdEsdEsdEe

0

2.4 Legea lui Ohm. Rezistena electric

Curentul electric printr-un conductor este direct proporional cu tensiunea U aplicat, adic:I = G U

unde G este un factor de proporionalitate numit conductan electric.Se folosete o mrime invers conductanei numit rezisten electric R, adic:

I = U / R legea lui Ohm pentru o poriune de circuit.

Ea poate fi extins i pentru un circuit care conine un generator de tensiune electromotoare E, rezisten intern r; nseriat cu un receptor de rezisten R, adic:

I = E / (R + r)

Ea se exprim astfel: intensitatea curentului electric printr-un circuit este direct proporional cu

R

1Gsau

G

1R ==

Ea se exprim astfel: intensitatea curentului electric printr-un circuit este direct proporional cu tensiunea electromotoare din circuit i invers proporional cu rezistena total a circuitului.

Legea lui Ohm are i o form diferenial:

nlocuind aceste expresii n relaia I = U / R se obine:

S

lRiar

l

U

d

UE;Sj)dSj(I

S

=====

jEadic,E

jsauSl

lE

Sl

lESj =

=

=

=

este rezistivitatea materialului conductor, se msoar n mm2/m i se modific cu temperatura conform relaiei

i fiind constante sau coeficieni de variaie a rezistivitii cu temperatura: [1/0C]; [1/0C2]

( ) ( ) ]1[ 2000 ++=

Materialele cu rezistivitate mare: constantan, manganin i crom sunt folosite pentru realizarea rezistoarelor i ele pot fi fixe sau reglabile (reostate).

Pot fi realizate n dou variante:- cu ploturi - permit variaia discontinu n trepte a rezistenei- cu cursor - asigur variaia continu a rezistenei.

2.5. Gruparea rezistoarelor

Conform legii lui Ohm, pentru fiecare rezistor se poate scrie:

a) Conexiunea serie a rezistoarelor

U1 = I R1; U2 = I R2; U3 = I R3

U = IRS

Generaliznd aceast relaie pentru n rezistoare se obine relaia urmtoare:

=

=n

1i

iS RR

a) Conexiunea paralele a rezistoarelor

Aplicnd prima teorem a lui Kirchhoff se poate scrie c:

p3

3

2

2

1

1R

UIiar

R

UI;

R

UI;

R

UI ====

Aplicnd prima teorem a lui Kirchhoff se poate scrie c:

I = I1 + I2 + I3 sau

sau generaliznd

Deci, prin legarea n paralel a mai multor rezistoare rezistena echivalent este mai mic dect cea mai mic dintre rezistoarele care particip la grupare.

321P R

U

R

U

R

U

R

U++=

=

=n

1i iP R

1

R

1

2.6. Legarea surselor

Corespunztor celor dou montaje se pot scrie relaiile:

Ee = E1 + E2 + ..... + En Ee = Ere = r + r +r + ...... + r re = r / n

rnR

EnI

+

=n

rR

EI

+=

Observaie: dac la legarea n serie se pot considera surse de tensiuni diferite, la legarea n paralel ele trebuie s fie aceeai tensiune.

Concluzii Curs 4

Mrime Formula

Intensitatea curentului

Densitatea de curent

Legea lui Ohm pentru o poriune de circuit

t

QI =

[ ]2mAS

Ij =

circuit

Legea lui Ohm pentru circuit nchis

Legarea rezistoarelor n serie

Legarea rezistoarelor n paralel

Legarea surselor n serie

Legarea surselor n paralel

=

=n

1i

iS RR

=

=n

1i iP R

1

R

1

rnR

EnI

+

=

n

rR

EI

+=

Curs 5

2.7 Teoremele lui Kirchhoff

Nodul este orice punct al reelei n care se ntlnesc cel puin trei ramuri.Latura poriunea cuprins ntre dou noduri.Ochiul (bucla) conturul poligonal nchis, alctuit din succesiunea mai multor laturi, surse sau consumatori)

Teorema I a lui Kirchhoff

Suma algebric a intensitilor curenilor electrici care se ntlnesc (converg) ntr-un nod este egal cu zero.

Adoptnd convenia c, curentul I este pozitiv (adic I > 0) dac intr n nod i negativ (adic I < 0), dac iese din nod, se poate scrie:

=n

0I

Legea conservrii sarcinii (suma algebric a sarcinilor electrice repartizate n diferite puncte ale unui sistem izolat de corpuri este constant) arat c:

Q1 = Q2 + Q3 + Q4 i raportnd-o la intervalul t rezult:

sau I1 = I2 + I3 + I4t

Q

t

Q

t

Q

t

Q 4321 ++=

=

=1i

i 0I

Teorema a-II-a a lui Kirchhoff

Pentru o reea, se alege pentru fiecare ramur cte un sens al curentului electric. Pentru fiecare bucl (ochi), se adopt un sens arbitrar de parcurs. Dac sensul coincide cu sensul curentului, atunci produsul IR se ia cu semnul pozitiv, dac nu se ia cu semnul negativ.Tensiunea electromotoare este pozitiv, dac sensul de parcurs pentru ochi (bucl) intr borna negativ (-) i ias din borna pozitiv (+).

Enun: De-a lungul unui contur de reea (ochi), suma algebric a tensiunilor electromotoare este egal cu suma algebric a produselor dintre intensitatea curenilor i rezistenele laturilor, adic:

==

=m

1j

jj

n

1i

i RIE

Cu ajutorul acestei teoreme se pot obine ecuaii numai pentru ochiurile (buclele) independente. Numrul de bucle independente este dat de relaia:

b = l n + 1,unde:

b este numrul buclelor independente,n numrul de noduri,l numrul de laturi.

b = 3 2 + 1 = 2, deci avem dou bucle independenteI1 + I2 = I3 prin aplicarea primei teoremeE1 = I1 R1 + I3 R3 = I1 R1 + (I1 + I2) R3E2 = I2 R2 + I3 R3 = I2 R2 + (I3 + I2) R3

sau E1 = I1 (R1 + R3) + I2 R3, E2 = I1 R3 + (R2 + R3) I2

2.8 Energia i puterea electric. Legea lui Joule-Lenz

Lucrul mecanic efectuat pentru a deplasa purttorii de sarcin ntre punctele (seciunile) A i B este:

L = q UAB = q (VA VB)

Energia necesar pentru efectuarea lucrului mecanic este preluat de cmpul electric.

Corespunztor acestui lucru mecanic se dezvolt o energie cinetic de forma:

W = U I t

Aceasta conduce la creterea energiei interne i i deci la creterea temperaturii conductorului.

Acest efect termodinamic, ireversibil se numete efect Joule sau Joule-Lenz. El se poate exprima i sub forma:

Dar unde P = I2 R este puterea dezvoltat n circuit.

Pentru un circuit ntreg P = E I = I2 (R + r)

Energia dezvoltat de un circuit parcurs de curentul I pe durata t este proporional cu ptratul intensitii curentului I2 cu durata t i rezistena circuitului R.

tRItR

UW 2

2

==

tPdt)t(PW

T

0

==

Pentru circuitul din figur, curentul are expresia: I = E (R + r)

Puterea transmis rezistorului R este:

Puterea maxim se obine din condiia ca:

2.9 Teorema transferului maxim de energie

( )2

2

2

2 ErR

RIRP

+==

0P2 =Puterea maxim se obine din condiia ca:

care conduce la relaia R = r

adic sursa transmite puterea maxim cnd rezistena de sarcin R este egal cu rezistena interioar a sursei r.

n acest caz puterea transmis are valoarea:

iar randamentul transferului de putere este:

0R

2 =

r

EIEP

==4

2

1

%502

1

P

P

1

2 ===

Mrime Formula

Teorema I a lui Kirchhoff

Teorema a-II-a a lui Kirchhoff

Efectul Joule sau Joule-Lenz W = U I t=P t

=

=n

1i

i 0I

==

=m

1j

jj

n

1i

i RIE

tRItU

W 22

==Efectul Joule sau Joule-Lenz W = U I t=P t

Puterea pentru circuit nchis P = E I = I2 (R + r)

Randamentul transferului de putere , cnd R=r, adic la transfer maxim

tRItR

UW 2 ==

%502

1

P

P

1

2 ===

CAP 3. ELECTROMAGNETISM

Curs 6

3.1. Starea de magnetizare. Cmpul magnetic n vid

Experimental se constat c exist n natur substane, ca de exemplu magnetitul (Fe3O4), care

au proprietatea c ntre ele sau ntre ele i corpuri din fier apar fore sau cupluri care nu sunt de origine

mecanic, termodinamic sau electric. De asemenea ntre conductoare parcurse de cureni sau ntre

magnetit i conductoare parcurse de cureni apar aciuni ponderomotoare (fore, cupluri).

Se spune despre magnetit c este n stare de magnetizare.

Anumite substane se pot afla n stare de magnetizare, unele n mod permanent (magnetizare

permanent magnetit, oel dur), iar altele numai cnd se afl n apropierea altor corpuri magnetizate sau n

apropierea unor conductoare parcurse de cureni (magnetizare temporar - fierul moale).

Starea fizic din jurul corpurilor magnetizate prin intermediul creia se manifest aciunile

ponderomotoare (fore i cupluri) caracteristice se numete cmp magnetic.

Cmpul magnetic este aceea form de existen a materiei, care se manifest prin fore sau

cupluri de fore ce acioneaz asupra corpurilor magnetizate sau asupra conductoarelor parcurse de

cureni.

Cmpul magnetic exercit fore asupra circuitelor parcurse de curent. Aceste fore n cmp

magnetic se mpart n fore electrodinamice (ntre cureni), electromagnetice (ntre cureni i corpuri

magnetizate), magnetostatice (ntre magnei permaneni).

Starea de magnetizare a unui mic corp magnetizat se caracterizeaz prin mrime vectorial numit moment magnetic .

Cmpul magnetic se caracterizeaz n vid prin mrimea fizic vectorial numit inducie magnetic

Legtura dintre cele dou mrimi fizice este dat de expresia cuplului care se exercit asupra unui corp magnetizat de moment magnetic cnd se afl situat ntr-un cmp magnetic de inducie :

C m B=

C

m

B

B

m

Curbele tangente n orice punct la vectorul inducie se numesc linii de cmp magnetic.

B

Unitatea de msur a induciei magnetice n vid este tesla [T] sau weber pe metru ptrat Wb/m2:

-> 1 T = 1 Wb/m2 = 1 N/Am.

Unitatea de msur a momentului magnetic este A * m2.

-> A * m2

n cmp magnetic uniform de inducie asupra unui corp magnetizat

B

B

B

m

m

n cmp magnetic uniform de inducie asupra unui corp magnetizat se exercit numai un cuplu. Valoarea acestui cuplu este:

B

sin= BmCO alt mrime ce caracterizeaz cmpul magnetic n vid este Intensitatea

cmpului magnetic H n vid

B H= 0

unde 0 este permeabilitatea magnetic a vidului, o constant fizic ce se msoar n henry pe metru [H/m] n sistemul de uniti SI. Unitatea de msur n SI a intensitii cmpului magnetic H este amper pe metru [A/m].

3.2. Fluxul magnetic. Legea fluxului magnetic

Fluxul magnetic printr-o suprafa oarecare deschis S este mrimea scalar egal cu integrala de suprafa a induciei magnetice pe acea suprafa:

Pentru a defini fluxul magnetic este necesar alegerea unui sens al vectorului arie n raport cu suprafaa S, respectiv a unui sens al vectorului normal la suprafaa :

= BdAS

dA ndA=Relaia exprim fluxul magnetic ca o sum a fluxurilor magnetice elementare:

Dac ntre inducia magnetic i normala la suprafa este unghiul , atunci:

dA ndA=

d B dA = .

B

= B dAS

cos

Fluxul magnetic este o mrime fizic derivat, care se msoar n SI n weber [Wb]: 1 Wb = 1Vs. n cazul unui cmp magnetic uniform = const. i a unei suprafee S plane, expresia fluxului magnetic devine:

unde S este aria suprafeei plane, iar este unghiul dintre normala la suprafa i inducia magnetic . Fluxul magnetic este maxim cnd

Legea fluxului magnetic, n form integral se enun astfel:

B

= B S cos

= = 2, . B S

Legea fluxului magnetic, n form integral se enun astfel:

Fluxul magnetic prin orice suprafaa nchis este n orice moment nul.

Expresia matematic a legii este:

= 0dAB

Consecine:- cmpul induciei magnetice este solenoidal, liniile de cmp ale induciei magnetice sunt ntotdeauna linii nchise, pentru un magnet permanent la care n exterior liniile de cmp ale lui B ies din polul nord i intr n polul sud, ele continu i prin interiorul magnetului de la polul sud spre polul nord, - dac magnetul permanent este tiat n dou rezult doi magnei permaneni cu dou perechi de poli Nord-Sud. - cei doi poli magnetici nu pot fi separai, nu exist sarcini magnetice similare sarcinilor electrice.

3.3. Fora Lorenz

Fora care se exercit asupra unui corp ncrcat cu sarcin electric se numete for Lorenz.

Experiena arat c asupra unui corp ncrcat cu sarcina electric q, care se deplaseaz cu viteza ntr-un cmp magnetic de inducie se exercit fora:

Aceast for este perpendicular pe planul determinat de vectorii i (adic att pe direcia de deplasare, ct i pe direcia liniilor de cmp)

v B

[ ]BvqF L =v B

att pe direcia de deplasare, ct i pe direcia liniilor de cmp)Observaii:- asupra sarcinii n repaus (v = 0) nu acioneaz fora;- fora este maxim dac direcia de deplasare este perpendicular pe aceea a liniilor de cmp magnetic (sin 90=1) => FL=qvB-fora este nul dac deplasarea sarcinii se face pe direcia liniilor de cmp magnetic- (sin 0=0) => FL= 0

Dac, alturi de cmpul magnetic, n spaiul considerat exist i cmp electric, asupra sarcinii n micare mai acioneaz i o for electric care are sensul lui , adic al liniilor de cmp electric. Ca urmare fora rezultant ce acioneaz asupra unei sarcini n micare are expresia:

E

[ ] ( )BvEqEqB,vqFFF eL +=+=+=

3.4. Fora Laplace

Fora Laplace reprezint fora care se exercit asupra unui conductor parcurs de curent electric situat ntr-un cmp magnetic. Msurnd fora elementar ce se exercit asupra unui element de lungime , parcurs de curentul i i situat ntr-un cmp magnetic de inducie , se constat experimental c exist relaia: .

Sensul forei este dat de produsul vectorial

Aceast for este maxim cnd conductorul este perpendicular pe liniile de

LaF

l

B

[ ]BliF La =Bxl

Bl

Aceast for este maxim cnd conductorul este perpendicular pe liniile de cmp, adic perpendicular pe (sin 90=1)

FLa=B *i* l

i este minim cnd conductorul este orientat dup direcia liniilor de cmp, adic paralel cu (sin 0=0)

Expresia forei Laplace se poate deduce din expresia forei Lorenz, astfel:

Fora Laplace se refer la conductoare filiforme parcurse de curentul i.

l

B

B

l

[ ] [ ] [ ]B,liB,lt

qB,

t

lqB,vqFLa ==

==

3.5. Fora Ampre

Fora Ampere este fora care se manifest ntre dou conductoare parcurse de cureni.Se mai numete i fora electrodinamic.

Astfel, dac se consider dou conductoare paralele, infinit de lungi, filiforme i parcurse de curenii I1 i I2 se constat c asupra lor se exercit o for .

12210

A12 uIId2

lFF

==

Fora este de atracie dac curenii au acelai sens i de respingere, dac au sensuri contrare. Dac sensul celor doi cureni este contrar, ntre conductoare cmpul magnetic se ntrete iar n afara conductoarelor slbete.

Sensul forei electrodinamice: a) de respingere; b) de atracie.

Fora electrodinamic permite definirea unitii de msur a curentului, adic amperul.

210

A IId2

lF

=

considernd , d = 1m, I1 = I2 = 1A, rezult:

N71021A1A1m7104

F =

= N71021A1A

1m2

1m104F

A

=

=

Deci, amperul este curentul care stabilit n dou conductoare paralele, infinit lungi, aezate n vid la distana de 1m, determin atracia sau respingerea lor cu o for de 2 10-7

N/m de lungime.

3.6. Inducia magnetic, intensitatea cmpului magnetic, flux magnetic n cazul unui solenoid.

]T[l

INB 0

=

N - este numrul de spire al solenoiduluiL lungimea medie a torului (l = 2r, r fiind raza medie a torului),0 permeabilitatea magnetic a mediului vid, o mrime ce caracterizeaz comportarea materialelor (corpurilor) n cmpul caracterizeaz comportarea materialelor (corpurilor) n cmpul magnetic; are valoarea 0 = 4 10-7 H/m.

Dac n interiorul torului se afl un alt material, spre exemplu oel (miez feromagnetic), valoarea induciei se modific dei curentul Ia rmas acelai

H = B / = N I / l [A/m]

! Spre deosebire de inducia magnetic B, intensitatea cmpului magnetic H nu depinde de natura mediului material, ci numai de curentul care determin cmpul magnetic.

B = H pentru un mediu oarecare

pentru vid relaia se scrie vectorialHB = 0

Fluxul magnetic printr-o suprafa nchis S situat perpendicular pe direcia liniilor de cmp magnetic de inducie B este dat de totalitatea liniilor de cmp ce strbat aceast suprafa.

= B S

a) b)a) b)Fluxul magnetic prin suprafaa S: a) perpendicular pe liniile de cmp; b) nclinat fa de liniile de cmp

Dac liniile cmpului magnetic fac un unghi cu normala N la planul conturului, valoarea fluxului magnetic este dat de relaia:

= B S cos a

n general ns = (B S) sau = S SdB ),(

Dac n locul spirei se consider mai multe spire, adic o bobin, fluxul ce strbate bobina va fi:

= N = N B S

unde N este numrul de spire al bobinei.

Mrime Formula

Cuplul exercitat asupra unui corp magnetizat

Inducia magnetic B [B] 1T (Tesla)

Intensitatea cmpului magnetic H [H] 1 A/m

Legtura dintre B i H0 este permeabilitatea magnetic a vidului -[H/m]

Fluxul magnetic

C m B=

B H= 0

= B dAS

cos

Legea fluxului magneticFluxul magnetic prin orice suprafaa nchis este n orice moment nul.

Fora lui Lorenz asupra unei sarcini q

Fora lui Laplace asupra unui conductor

Fora lui Ampere ntre 2 conductoare

Fluxul total ce strbate o bobin cu N spire = N = N B S

= 0dAB

[ ]BvqF L =[ ]BliF La =

12210

A12 uIId2

lFF

==

Curs 7

3.7. Circuite magnetice

3.7.1. Materiale magnetice

Diferite materiale se comport n mod diferit n cmpuri magnetice, n sensul c au permeabiliti magnetice diferite.* Materiale paramagnetice la care, dac mediul este format din anumite materiale, de exemplu aer sau unele metale, inducia magnetic corespunztoare vidului crete cu o cantitate suplimentar B fa de inducia n vid, dei cmpul H a rmas neschimbat.

B1 = B0 + B = 0 H + B > B0

Dac se consider B1 = 1 H => , (1 > 0 r)>1001

1 >

+==H

B

H

B

r permeabilitatea magnetic relativPermeabilitatea magnetic relativ se definete ca fiind raportul dintre inducia

cmpului magnetic n acel mediu ntr-un punct situat la distanta r fa de axa conductorului i inducia cmpului magnetic n vid sau aer, produs de acelai curent i n acelai punct, adic:

Materiale diamagnetice - la care inducia magnetic scade cu o inducie suplimentar Bfa de inducia n vid, dei cmpul magnetic H a rmas neschimbat

B2 = B0 B = 0 H B < B0 => => 2 = 0 2r i 2r < 1.002

2 1

Materiale diamagnetice

r 1 r

3.7.2. Magnetizarea materialelor feromagnetice

Permeabilitatea magnetic a materialelor feromagnetice variaz n funcie de cmpul magnetic. Atunci cnd torul realizat din material feromagnetic (oel) are bobina alimentat cu un curent avnd succesiv valorile I1, I2, I3 .... (unde I1 < I2 < I3 < ...) se obine o variaie B = f (H).

Variaia B = j (H) i m = f (H)

Zona 0 X este o poriune liniar cu panta relativ mare (panta curbei reprezint tocmai permeabilitatea magnetic ), zona n care inducia B este proporional cu cmpul H, deci este constant i relativ mare ; este zona n care se spune c miezul magnetic funcioneaz nesaturat;Zona X Y este poriunea n care fierul ncepe s se satureze, deci permeabilitatea magnetic scade; zona se numete cotul curbei de magnetizare;Zona Y Z este poriunea liniar cu panta relativ mic, iar are o valoare aproximativ constant care tinde ctre 0 (r 1), aceasta este zona saturat a curbei de magnetizare.

Dac magnetizarea miezului de oel se face prin variaia continu a curentului I de la 0 Imax 0 Imax 0, cmpul magnetic H este n cretere sau n descretere => curba de magnetizare nchis numit ciclu histerezis.

Ciclu de histerezis

n punctul 2 dei curentul I (cmpul H) a revenit la zero, totui inducia mai are o valoare pozitiv, B = Br, numit inducie remanent; n punctul 5, dei H = 0, totui B = - Br. n punctul 3 pentru a produce o inducie magnetic nul este necesar un cmp HC (punctul 3), respectiv + HC (punctul 6) numit cmp coercitiv.n timpul unui ciclu de histerezis materialul absoarbe din cmpul magnetic o cantitate de energie, care se transform n cldur i care constituie pierderile de histerezis. Aceste pierderi sunt proporionale cu suprafaa ciclului de histerezis i cu cantitatea de material feromagnetic. Din acest motiv n industrie pentru un anumit tip de oel electrotehnic i frecven (f = 50Hz de exemplu) se menioneaz pierderile specifice n [W/kg] prin fenomenul de histerezis .

3.7.3. Legea circuitului magnetic

Este similar legii lui Ohm.

Fluxul magnetic ce strbate seciunea unui tor este dat de relaia:

mm R

NI

R=

=

Rm este reluctana circuitului magnetic

NI = tensiunea magnetic, numit i solenaie.

]Wb/A[S

lRm

=

NI = tensiunea magnetic, numit i solenaie.

Dac torul prezint un ntrefier, atunci se poate scrie:

Legea circuitului magnetic devine:

SR

0int

=

SS)l(

NI

0+=

De obicei dimensiunea unui ntrefier este foarte mic. n ntrefier se obin aciunile pondero-motoare: fore i cupluri. Prezena ntrefierului mrete foarte mult reluctana magnetic, deoarece 0

3.8. Inducia electromagnetic

3.8.1. Fenomene de inducie electromagnetic

Se consider o bobin B avnd legate la bornele ei un ampermetru A i un magnet permanent plasat coaxial cu bobina.Magnetul se introduce brusc n interiorul bobinei, ceea ce are ca efect devierea ntr-un anumit sens (de exemplu +) a acului ampermetrului. La extragerea brusc a magnetului din interiorul bobinei ampermetrul deviaz din nou, ns de aceast dat n sens contrar, dup care magnetul revenind la poziia iniial, acul ampermetrului revine din nou pe zero.

Concluzie: atunci cnd fluxul magnetic prin spirele unei bobine variaz, n bobin ia natere o tensiune electromotoare. Acest fenomen de apariie a unei t.e.m. la variaia fluxului magnetic prin bobin se numeteinducie electromagnetic. Tensiunea electromagnetic care ia natere prin acest fenomen se numete tensiune electromotoare de inducie, iar curentul corespunztor curent de inducie. Deplasnd magnetul cu viteze din ce n ce mai mari, se constat c deviaiile ampermetrului, deci i tensiunile electromotoare induse, cresc proporional cu viteza de variaie a fluxului. La aceeai vitez de deplasare a magnetului, tensiunile electromotoare induse cresc proporional cu numrul de spire al bobine folosite.

3.8.2. Legea induciei electromagnetice

Tensiunea electromotoare indus ntr-o bobin cu N spire are expresia:

unde d () reprezint variaia fluxului magnetic n intervalul de timp dt (t), adic tensiunea indus depinde de viteza de variaie a fluxului i de numrul de spire.Semnul minus din faa expresiei tensiunii ne indic faptul c sensul tensiunii induse este contrar celui de variaie a fluxului

tN

dt

dN

dt

dN

dt

dE

=

=

=

Regula lui Lenz: tensiunea are un astfel de sens, nct curentul ce se stabilete determin un flux care se opune variaiei fluxului inductor.un flux care se opune variaiei fluxului inductor.

O form particular de manifestare a fenomenului de inducie electromagnetic are loc la deplasarea cu viteza v a unui conductor de lungime l perpendicular pe liniile de cmp de inducie B

te

=

tvlBXlBSB ===

vlBt

tvlBe =

= [ ] lvBe =

e = - B l v sin , unde ( )v,B=

3.8.3. Inductana proprie i inductana mutual

Dac se consider o spir parcurs de curentul I, ea d natere unui cmp de inducie B i a unui flux total = N , care ne permite definirea unei mrimi specifice spirei i anume inductan (inductivitate):

Dac se consider o bobin cu N spire inducia proprie se definete ca fiind:

Pentru o bobin cu N spire se poate scrie c inductana este:

= / Rm

IIL

=

=

I

NL

=

[ ]Hl

SNL

2 =

SININ =

= = / Rm

l

SIN

Sl

IN =

=

[ ]Hl

NS

Il

SINL

22 =

=

I

NL

=

Concluzie: inductana este dependent de permeabilitatea magnetic . Ea este constant dac i este constant, este variabil dac i este variabil.

M

M

ILst

=

MdI

dLdin

=

Inductan static

Inductan dinamic

Unitatea de msur a inductanei este henry-ul, (H) care are dimensiunea S, deci 1 H = 1 S.

Se consider dou bobine B1 i B2 cuplate inductiv, adic cu circuit magnetic comun, avnd un numr de spire N1 respectiv N2 i parcurse de curenii I1 i respectiv I2.

Fluxul produs de bobina B1 are dou componente, 1 = 1s + 21, Unde: 1s este fluxul de dispersie, ce se nchide prin aer, 21 este fluxul mutual ce se nchide prin bobina B2.

n mod similar pentru bobina B2 se poate scrie 2 = 2s + 12, Unde 2s este fluxul de dispersie al celei de-a doua bobine, este fluxul mutual ce se nchide prin bobina B .

Definirea inductanelor mutuale

21 este fluxul mutual ce se nchide prin bobina B1.

Se definesc inductanele mutuale:

1

122

1

1212

I

N

IL

=

=

2

211

2

2121

I

N

IL

=

=

2

21

1

122112

IIMLL

=

===

2

21

1

122

IIM

=

Spre deosebire de inductivitatea proprie care este ntotdeauna pozitiv, inductivitatea mutual poate fi pozitiv, negativ i zero. Aceasta deoarece fluxul unei bobine prin cealalt bobin poate avea acelai sens sau poate avea sens contrar fa de fluxul propriu.

Stabilirea semnului inductivitilor mutuale

Orice indicare a valorii algebrice a unei inductiviti mutuale L12 este nsoit de nsemnarea cu un asterix a uneia dintre bornele fiecrei bobine. Atunci cnd sensurile curenilor prin cele dou bobine cuplate magnetic sunt orientate n acelai mod fa de bornele marcate (polarizate) cu asterix, inductivitatea mutual corespunztoare are valoarea pozitiv, adic M > 0.Dac sensurile curenilor nu sunt orientate n acelai mod fa de bornele polarizate, inductivitatea mutual corespunztoare acestor sensuri are valoarea negativ, adic M < 0.

3.8.4. Tensiune electromotoare de autoinducie

Dac un circuit electric cuprinde o bobin de inductan L parcurs de un curent variabil I, fluxul total al bobinei este i el variabil i are expresia:

= N = L I

Aceast tensiune electromotoare produs de variaia curentului propriu se numete tensiune electromotoare de autoinducie.

Conform legii lui Lenz aceast tensiune este de sens contrar tensiunii aplicate bobinei respective,

e = - L di / dt.

3.8.5. Energia cmpului magnetic

Se consider o bobin de rezisten R i inductan L este alimentat de la o surs de tensine electromotoare E. Se poate scrie:

sau

nmulind relaia cu Idt i integrnd n intervalul 0 t0, se obine:

IRdt

dILE =

dt

dILIRE +=

+=000 tt

2

t

dtILdtIRdtIE

Termenul este energia luat de la surs n intervalul de timp t0.

Termenul este energia consumat pe rezistena R prin efectul Joule, iar:

adic energia n cmp magnetic.

+=000

dtILdtIRdtIE

0

t

0

tiEdtiE0

=

0t

0

2 dtIR

( )2

22

2

0

2

0

20

0

LILIId

LdtIL

IIt

===

3.8.6. Legea lui Ohm pentru circuit magnetic

3.8.7. Teoremele lui Kirchhoff pentru circuite magnetice

Circuitele magnetice pot fi din punct de vedere geometric circuite neramificate i circuite ramificate. n circuitele magnetice neramificate fluxul magnetic fascicular aparine unui singur tub de cmp nchis.

Circuit magnetic neramificat ce cuprinde coloana 1 pe care este dispus nfurarea 5, jugurile 2, armtura 3 i ntrefierurile 4. n figura b este reprezentat circuitul electric echivalent. Liniile de cmp magnetic se nchid n majoritate n lungul circuitului magnetic.

Mrime Formula

Legea lui Ohm pentru circuit magneticNI tensiunea magnetic (solenaia)

Rm este reluctana circuitului magnetic

Tensiunea electromotoare indus ntr-o bobin cu N spire

Inductana magnetic

Tensiune electromotoare de autoinducie

e = - L di / dt

mm R

NI

R=

=

]Wb/A[S

lRm

=

tN

dt

dN

dt

dN

dt

dE

=

=

=

IIL

=

=

e = - L di / dt

Energia cmpului magnetic

Legea lui Ohm pentru circuit magnetic

Teorema I a lui Kirchhoff pentru circuite magnetice

Teorema a II-a a lui Kirchhoff

dt

dILIRE +=

mm UR =

fkk

n

==

01

Rmk k kk

n

k

n

===

11