2. Ecuaţii de propagare a câmpului electromagnetic...

Copyright Paul GASNER 1

2. Ecuaţii de propagare a câmpului electromagnetic.

Noţiuni fundamentale


● Ecuaţii Helmholtz pentru medii omogene, izotrope şi infinite

● Unde electromagnetice plane● Unde armonice plane la interfaţa dintre două medii● Formalismul liniilor de transmisie în studiul proceselor

de reflexie-refracţie


2.1.1 Ecuaţii Maxwell● pentru un mediu infinit, omogen, izotrop şi linear

– ecuaţii de evoluţie

– ecuaţii de stare

– ecuaţia de continuitate

– relaţii constitutive– forţa electromagnetică

∇×E=−∂B∂ t

∇× H=∂D∂ tJ

∇⋅D=

∇⋅B=0

∇⋅J∂∂ t=0

D=E , B=H , J=EF=q Ev×B

(2.1.1)

(2.1.2)

(2.1.3)(2.1.4)

(2.1.5)


2.1.1 Ecuaţii Maxwell● permitivitatea dielectrică a spaţiului liber (vid)

● permeabilitatea magnetică a spaţiului liber (vid)

● viteza luminii

● pentru un mediu polarizabil

● funcţie de mărimile mediul este omogen – neomogen, izotrop – anizotrop, variant - invariant

0=8,854×10−12≃ 10−9

36F /m

0=4×10−7 H /m

c= 1

001/2≃3×108 m/ s

D=0rE=0

EP=0 1e EB=0r

H=0H M=0 1m H

r=0

, r=0

, , , e ,m

(2.1.6)

(2.1.7)


2.1.1 Potenţiale electrodinamice● Potenţialul electric scalar Φ● Potenţialul (vector) magnetic● Potenţialul vector electric sau vectorul Hertz

● condiţia de normare Lorentz

A

E=−∇−∂Α∂ t

B=∇×A

=−∇⋅

A=∂ ∂ t

∂∂ t∇⋅A=Const

(2.1.8)

(2.1.9)

(2.1.10)

(2.1.11)

(2.1.12)


2.1.2 Ecuaţii d'Alembert (1/2)● aplicând ecuaţiei (1.1.2) se obţine

şi în final:

● se procedează analog cu (1.1.1) şi se ajunge la:

relaţiile (2.1.13) (2.1.14) sunt numite ecuaţii Maxwell de ordinul II, cunoscute însă sub numele de ecuaţiile de propagare d'Alembert pentru câmpurile electric şi magnetic

● operatorul d'Alembert

∇×

∇×∇×E =∇∇⋅E−∇ 2 E=− ∂∂ t∇×B =− ∂

∂ t∇× H =

=− ∂∂ t ∂ E∂ t

J =− ∂2 E∂ t 2 −

∂ J∂ t=− ∂

2 E∂ t 2 −

∂ E∂ t

∇ 2 H− ∂2 H∂ t2 =

∂ H∂ t

≡∇ 2−1v∂2

∂ t2 , v= 1

∇ 2 E− ∂2 E∂ t2 =

∂ E∂ t1∇ (2.1.13)

(2.1.14)


2.1.2 Ecuaţii d'Alembert (2/2)

aplicând rotor asupra ecuaţiilor de evoluţie şi ţinând seama de definiţiile potenţialelor electrodinamice şi de condiţia de normare se obţin:

pentru un mediu polarizabil, din ecuaţia de continuitate şi atunci: =−∇⋅P

(2.1.15)

(2.1.16)

E= ∂E∂ t1∇

H= ∂H∂ t

A=−J

=−/

=−1P

(2.1.17)

(2.1.18)

(2.1.19)


2.1.3 Ecuaţii Helmholtz● câmpuri armonice

● ecuaţiile Maxwell devin staţionare

(2.1.20)

(2.1.21)

E=ℜ E r e j t , H=ℜ H r e j t prin abuz se notează E≡E r , H≡ H r ş.a.m.d.

∇× H= j DJ

∇×E=− jB

∇⋅D=

∇⋅J j=0

(2.1.22)

(2.1.23)

(2.1.25)

(2.1.24) ∇⋅B=0


2.1.3 Ecuaţii Helmholtz● ecuaţiile de propagare (2.1.15) - (2.1.19) devin

unde este vectorul de undă

● Relaţiile (2.1.26) - (2.1.30) se numesc ecuaţiile Helmholtz neomogene pentru câmpuri monocromatice; ele devin omogene pentru medii fără sarcini electrice ρ=0 şi fără pierderi σ=0.

(2.1.26)

(2.1.27)

(2.1.28)(2.1.29)

(2.1.31)

(2.1.30)

∇ 2 Ek 2 E= j E1∇

∇ 2 Hk 2 H= j H

∇ 2 Ak 2 A=−J

∇ 2 k 2 =−/

∇ 2 k 2 =−1P

k=k n=− j , k 2=2

k


2.2.1 Unde electromagnetice plane● unda plană este unda descrisă doar de o singură coordonată spaţială (notată de

obicei cu z) ce variază de-a lungul unei drepte (Oz); fie versorul acestei drepte

● în condiţii suficient de generale şi pe o porţiune suficient de mică orice undă poate fi considerată o undă plană

● fie o mărime vectorială

din ecuaţiile de evoluţie se obţin

● componentele Ez şi Hz nu au caracter de undă propagativă:

– Ez se atenuează exponenţial în timp sau, dacă mediul este neconductiv, Ez este constant

– Hz este constant în timp

(2.2.1)

k

f ≡f z = f x z i f y z j f z z k

∇×f =−i∂ f x

∂ zj∂ f y

∂ z=k×∂

f∂ z= ∂∂ z

k×f

∂E z

∂ t E z=0,

∂H z

∂ t=0

(2.2.2)

(2.2.3)


2.2.2 Mod de propagare● în cazul undelor plane, câmpul electromagnetic nu are componente pe direcţia de

propagare şi modul de propagare este transversal electromagnetic – TEM

care au soluţii de forma (pentru un mediu fără pierderi σ=0)

şi din ecuaţiile Maxwell de evoluţie

arătând ortogonalitatea vectorilor

● impedanţa caracteristică a mediului

● pentru vid

(2.2.4)

E r , t =E e j t−kz , H r , t = H e j t−kz

E=− k× HE , H , k

(2.2.6)

(2.2.7)

E⋅k=0, H⋅k=0

(2.2.5)

E⋅H=0

= EH=(2.2.8)

0=120≈377


2.2.3 Constanta de propagare (1/2)● pentru un mediu cu pierderi σ≠0

care au soluţii de forma (pentru un mediu fără pierderi σ=0)

● vectorul de undă are modulul

● uzual se lucrează cu constanta de propagare

● α măsoară atenuarea la propagarea undei prin mediul disipativ, numindu-se constantă de atenuare

● β măsoară defazajul datorat propagării, numindu-se constantă de fază

(2.2.9)

c=− j='− j ' '=0r

' 1− j tan

(2.2.11)

(2.2.12)

∇× H= jcE

(2.2.10)

(2.2.13)

k 2=2c=k 02 1− j

, k 0

2=2

= j k= j

E r , t =E e− z e j t−kz , H r , t = H e− z e j t−kz


2.2.3 Constanta de propagare (2/2)● din (2.2.11), prin ridicare la pătrat şi identificare se obţine

cu soluţia

pentru metale, cu σ foarte mare

pentru o fază constantă ωt-βz=const, se găseşte

(2.2.14)

= 2 1/2 [1 2

22 1/2

1 ]1 /2

(2.2.16)

{2−2=22=

(2.2.15)

(2.2.17) = 1≈ 2

1/2

= 2 1/2 [1 2

22 1/2

−1 ]1 /2

v f=dzdt=

(2.2.18)


2.3.1 Condiţii de trecere (1/2)● indicii de refracţie ai mediilor sunt n1=(εr1µr1)

1/2=[(ε1µ1)/(ε0µ0)]1/2, respectiv

n2=(εr2µr2)1/2= [(ε2µ2)/(ε0µ0)]

1/2

● impedanţele caracteristice η1=(µ1/ε1)1/2 şi η2=(µ2/ε2)

1/2

● pentru componentele tangenţiale

pentru componentele normale

(2.3.1) H 1− H 2×n= J s ε1, µ1, σ1

ε2, µ2, σ2 Σ

n E1− E 2×n=0(2.3.2)

D1− D2⋅n=s

B1− B2⋅n=0

(2.3.3)

(2.3.4)


2.3.1 Condiţii de trecere (2/2)

● (2.3.2) trebuie să fie valabilă pentru orice t şi în planul Σ

● prima lege a lui Snell:

● a doua lege a lui Snell:

numite şi legile Snell-Descartes● vectorii sunt coplanari şi

(2.3.5)

E i=ℜ E i ej i t−k i⋅r , E r=ℜ E r e j r t−k r⋅r , E t=ℜ E t e

j t t−k t⋅r

r

(2.3.6)

i=r=t

i=r , k i sini=k t sint

(2.3.7)

(2.3.8)

n tk

rk

ik

θt

θi

θr

Σ

1 2

r⋅n=0

k i⋅r=k r⋅r=k t⋅r

k i×r=k r×r=k t×r

k i , k r , k t , n k i=k r


2.3.1 Polarizarea undelor● starea de polarizare se stabileşte funcţie

de direcţia vectorului câmp electric în raport cu planul de incidenţă: – polarizare perpendiculară – câmpul

electric perpendicular pe planul de incidenţă, numită şi undă H, undă TE sau polarizare s ("senkrecht")

– polarizare paralelă (câmpul electric paralel cu planul de incidenţă) sau undă E, undă TM, polarizare p.

● în cazul problemelor plane, orice undă poate fi descompusă în două unde, H şi E, independente între ele

● se consideră problema bidimensională – , planul de incidenţă fiind xz, cu axa x în planul de separaţie∂/∂ y=0

θi θr

θt

θi θr

θt

EiEr

Et

Ht

Hr

Hi

ik rk

tk

ik rk

tk

Ei

Hi

Hr

Er

Ht

Etx

z

x

z

n1

n2

n2

n1

a.

b.


2.3.2 Unda H● coeficienţii de reflexie şi de transmisie = rapoartele dintre câmpurile

electric reflectat, respectiv transmis şi câmpul electric incident:

– RH şi TH pentru unda H

– RE şi TE pentru unda E● La polarizarea perpendiculară, câmpul electric este pe direcţia y

condiţia de continuitate a componentei tangenţiale a câmpului electric în z=0

de unde se obţin legile (2.3.8), condiţiile de fază şi relaţii între coeficienţi:

E iy=E0 e− jk iz z− jk ix x

E ry=RH E0 e jk rz z− jk rx x

E ty=T H E0 e− jk tz z− jk tx x

(2.3.9)

E iyE ry=E ty(2.3.10)

(2.3.11)

(2.3.12)

k ixk rx=k tx

1RH=T H


2.3.2 Unda H● Condiţia la limită la suprafaţa de separaţie pentru câmpul magnetic implică

şi atunci

unde impedanţele de undă sunt

din condiţia de continuitate a câmpului magnetic la z=0

H ix=−E0

Z 1e− jk iz z− jk ix x

H rx=RHE0

Z 1e jk rz z− jk rx x

H tx=−T HE0

Z 1e− jk tz z− jk tx x

(2.3.14)

H x=1

j∂E y

∂ z

(2.3.15)

(2.3.13)

(2.3.16)

Z 1 H=1

k iz, Z 2 H=

2

k tz

H ixH rx=H tx


2.3.2 Unda H

primele două formule Fresnel

sau, pentru µ1=µ2=µ0

RH=Z 2 H−Z 1 H

Z 2 HZ 1 H, T H=

2 Z 2 H

Z 2 HZ 1 H

(2.3.18)

1−RH

Z 1 H=

T H

Z 2 H

(2.3.19)

(2.3.17)

RH=n1 cosi−n2 cost

n1 cosin2 cost, T H=

2 n1 cosi

n1 cosin2 cost


2.3.3 Unda EProcedând analog ca la unda H, pentru componentele tangenţiale:

şi se obţin aceleaşi legi împreună cu formulele Fresnel

unde impedanţele de undă sunt

sau, pentru µ1=µ2=µ0

RE=Z 2 E−Z 1 E

Z 2 EZ 1 E, T E=

2 Z 2 E

Z 2 EZ 1 E

cosi

cost(2.3.21)

(2.3.22)

(2.3.20)

RH=n2 cost−n1 cosi

n1 cosin2 cost, T H=

2 n1 cosi

n1 cosin2 cost

E ix=E0 cosi e− jk iz z− jk ix x

E rx=RH E0 cosr e jk rz z− jk rx x

E tx=T H E0 cost e− jk tz z− jk tx x

Z 1 E=k iz

1, Z 2 E=

k tz

2

(2.3.23)

cost=[1− n1

n2 2

sin2i ]1 /2

(2.3.24)


2.3.4 Formalismul liniilor de transmisie în studiul proceselor de reflexie-refracţie● consideraţii pentru unda E

şi pentru unda H

● Utilizarea acestor relaţii în ecuaţiile Maxwell pentru un mediu i=1,2 conduc la

ecuaţii identice, indici diferiţi → soluţii identice cu indici corespunzători

dV iE

dz=− jk iz Z iE I iE ,

d I iE

dz=− jk iz

V iE

Z iE

(2.3.27)

(2.3.28)

(2.3.25) V E z ⇔E x z , I E z ⇔H y z

V H z ⇔−E y z , I H z ⇔H x z (2.3.26)

dV iH

dz=− jk iz Z iH I iH ,

d I iH

dz=− jk iz

V iH

Z iH


2.3.4 Impedanţa de undă● soluţiile ecuaţiilor de propagare

● Impedanţa de undă într-un punct

care, din (2.3.29), devine

● considerând că mediul i începe de la z=0 se găseşte

Z z =V i z I i z

(2.3.30)

(2.3.29)V i z =V i

+ e− jk iz zV i- e jk iz z

I i z =1Z i

V i+ e− jk iz z− 1

Z iV i

- e jk iz z

Z z =Z iV i

+ e− jk iz zV i- e jk iz z

V i+ e− jk iz z−V i

- e jk iz z(2.3.31)

Z z =Z iV i

+V i-

V i+−V i

-(2.3.32)


2.3.4 Relaţiile Fresneliar dacă Z(z=0) este cunoscută, atunci

● Cu aceste notaţii relaţiile Fresnel pentru unda H pot fi scrise sub forma

● respectiv pentru unda E

relaţii identice cu cele din paragrafele 2.3.2 2.3.3.

12H=

Z 2 H−Z 1 H

Z 2 HZ 1 H, T 12

H=2 Z 2 H

Z 2 HZ 1 H

(2.3.34)

(2.3.33) Z z =Z iZ 0−Z i tanh k iz zZ i−Z 0 tanh k iz z

(2.3.35) 12E=

Z 2 E−Z 1 E

Z 2 EZ 1 E, T 12

E=2 Z 2 E

Z 2 EZ 1 E

cos1 i

cos2 t


Concluzii

● Interpretarea fenomenelor de propagare în spaţiu liber se bazează pe înţelegerea corectă a propagării undelor electromagnetice plane

● La nivel local, procesele de propagare la interfaţa dintre două medii sunt identice cu cele ale undelor plane

● Legile reflexiei şi refracţiei sunt identice cu cele de la optică, dar se preferă utilizarea noţiunii de impedanţă de undă în locul celei de indice de refracţie

● Procesele de propagare în spaţiul liber (unde plane) pot fi modelate analog celor din liniile de transmisie

2. Ecuaţii de propagare a câmpului electromagnetic...

Documents

Transcript of 2. Ecuaţii de propagare a câmpului electromagnetic...