Testarea ipotezelor statistice

Concepte Ipotez statistic = ipoteza care se face cu privire la parametrul unei repartiii sau la legea de repartiie pe care o urmeaz anumite variabile aleatoare. Ipotez nul (H0) = const ntotdeauna n admiterea caracterului ntmpltor al deosebirilor, adic n presupunerea c nu exist deosebiri eseniale. Ipotez alternativ (H1) = o teorie care contrazice ipoteza nul. Ea va fi acceptat doar cnd exist suficiente dovezi, evidene, pentru a se stabili c este adevrat. Dac ipoteza nul const n afirmaia c parametrul al unei distribuii este egal cu o anumit valoare 0: ipoteza alternativ simpl: = 1

1 { ipoteza alternativ compus: , 2 ,..., k } Testul statistic este utilizat drept criteriu de acceptare sau de respingere a ipotezei nule. Regiunea critic, Rc = valorile numerice ale testului statistic pentru care ipoteza nul va fi respins. este astfel aleas nct probabilitatea ca ea s conin testul statistic, cnd ipoteza nul este adevrat, s fie , cu mic (=0.01 etc.). dac punctul definit de vectorul de sondaj x1,x2,,xn cade n regiunea critic Rc, ipoteza H0 este respins, iar dac punctul cade n afara regiunii critice Rc, ipoteza H0 est acceptat. regiunea critic este delimitat de valoarea critic, C punctul de tietur n stabilirea acesteia. Eroare de genul nti = eroarea pe care o facem eliminnd o ipotez nul, dei este adevrat.

Riscul de genul nti () = probabilitatea comiterii unei erori de genul nti. se numete nivel sau prag de semnificaie.

Nivelul de ncredere a unui test statistic este (1-) iar, n expresie procentual, (1-)100 reprezint probabilitatea de garantare a rezultatelor. Eroare de genul al doilea = eroarea pe care o facem acceptnd o ipotez nul, dei este fals. Probabilitatea (riscul) comiterii unei erori de genul al doilea este . Puterea testului statistic este (1-).

Erorile n testarea ipotezelor statistice Decizia de acceptare H0 Ipoteza adevrat H0 Decizie corect (probabilitate 1-) H1 Eroare de genul II (risc ) H1 Eroare de genul I (risc ) Decizie corect (probabilitate 1)

= P(respingere H0 H0 este corect)=P(eroare de gen I) = P(acceptare H0 H0 este fals)=P(eroare de gen II)

Legtura dintre probabilitile i Cum,s x = , odat cu creterea volumului n al eantionului, n abaterile medii ptratice ale distribuiilor pentru H0 i H1 devin mai mici i, evident, att , ct i , descresc.

sx

i cnd volumul eantionului n' > n Se fac presupuneri privind populaia sau populaiile ce sunt eantionate (normalitate etc.). Se calculeaz apoi testul statistic i se determin valoarea sa numeric pe baza datelor din eantion. Se desprind concluziile: ipoteza nul este fie acceptat, fie respins, astfel: dac valoarea numeric a testului statistic cade n regiunea critic (Rc), respingem ipoteza nul i concluzionm c ipoteza alternativ este adevrat. Aceast decizie este incorect doar n 100 % din cazuri; dac valoarea numeric a testului nu cade n regiunea critic (Rc), se accept ipoteza nul H0. Ipoteza alternativ poate avea una dintre urmtoarele trei forme (pe care le vom exemplifica pentru testarea egalitii parametrului media colectivitii generale, , cu valoarea 0) test bilateral: H 0 : = 0 H1: 0 ( < 0 sau > 0) test unilateral dreapta:

H 0 : = 0 H 1 : > 0 test unilateral stnga: H 0 : = 0 H 1 : < 0

a) c)

b)

Regiunea critic pentru a) test bilateral; b) test unilateral stnga; c) test unilateral dreapta

Testarea ipotezei privind media populaiei generale () pentru eantioane de volum mare Utilizarea eantioanelor de volum mare (n > 30) face posibil aplicarea teoremei limit central. n cazul testului bilateral, ipotezele sunt: H0: = 0 ( - 0=0) H1: 0 ( - 00) (adic < 0 sau > 0);z= x 0 x 0 x 0 = x x n sx n/2

Rc: z< - z

sau

z> z

/2

Regula de decizie este, deci:x Respingem H0 dac 0 < z / 2 x n

sau

x 0 > z / 2 x n

Exemplu: Presupunem c un fabricant de materiale de construcii comercializeaz ciment n pungi care trebuie s conin 12 kg/pung. Pentru a detecta eventuale abateri n ambele sensuri de la aceast cantitate, se selecteaz 100 de pungi, pentru care se calculeaz , sx= 0,5 kg. Pentru un prag de semnificatie = 0,01 (probabilitatea de garantare a rezultatelor: (1- )100=99%) s se determine dac se accept ipoteza nul, respectiv aceea c greutatea pungilor este, n medie, de 12 kg. H0: = 12; H1: 12 ( < 12 sau > 12). zz=/2

=z0,005=2,576= x 12 x 12 11,85 12 = = 3,0 0,5 10 n s n/2

x 12

x

Regiunea critic: z< - z

sau

z> z

/2

Cum z = - 3,0 < - 2,576 se respinge ipoteza nul H0 i se accept ipoteza alternativ, aceea c greutatea pungilor difer, n medie, de 12 kg. 0,10 0,05 0,01 Test unilateral stnga Test unilateral dreapta Test bilateral z < - 1,28 z < - 1,645 z < - 2,33 z > 1,28 z > 1,645 z > 2,33 z < - 1,645 sau z > 1,645 z < - 1,96 sau z > 1,96 z < - 2,576 sau z > 2,576

Pentru testul unilateral stnga, ipotezele sunt: H0: = 0 ( - 0=0); H1: < 0 ( - 0