DAZ_03

Prelegere 3 Racheta balistica dirijată şi racheta cu zbor după program

Prelegere 3. Racheta balistică dirijată şi racheta cu zbor după program

3.1 Racheta balistica dirijată Pentru fixarea aspectelor teoretice prezentate anterior, vom analiza în continuare cazul rachetei balistice dirijate. Pentru exemplificări vom considera un model apropiat de racheta SCUD-B cu o masă iniţială de 5000 Kg şi o bătaie maximă de peste 300 Km. Metoda de dirijare adoptată în cazul acestor rachete este zborul după program (autonom), cu controlul orientării şi a abaterii laterale. Pentru descrierea metodei de dirijare şi elaborarea unui model de calcul, [K10] propune utilizarea unghiurilor de atitudine modificate ( ∗∗∗ θψφ ,, ), unghiuri care asigură atât eliminarea termenilor foarte mari din matricea de legătură pentru traiectorii verticale cât şi decuplarea mişcării laterale de mişcarea de ruliu. Notaţiile utilizate sunt similare celor introduse la începutul capitolului pentru cazul unghiurilor de atitudine nemodificate, cu excepţia faptului că au fost marcate cu un asterisc.

Fig. 3.1 Rachetă balistică dirijată

Dirijarea aparatelor de zbor – Note de curs

3.1.1 Elementele programului de zbor Pentru rezolvarea problemei zborului autonom al rachetei balistice se porneşte de la definirea elementelor programului de zbor care corespund unei mişcări autonome cu controlul orientării rachetei şi a abaterii din planul de tragere. Parametrii impuşi (variabilele programate) ale acestui tip de mişcare sunt unghiurile care definesc orientarea rachetei în spaţiu şi abaterea laterală. Pentru controlul orientării rachetei se presupun cunoscute valorile programate ale unghiurilor de atitudine ( )∗∗∗

DDD ψθφ ,, ca funcţii de timp. De asemenea se presupun determinate prin măsurători valorile curente ale unghiurilor de atitudine efective ale rachetei ( )∗∗∗ ψθφ ,, şi ordonata centrului de masă ( py ), putându-se astfel determina abaterile unghiulare şi liniare curente şi semnalul de comandă pentru compensarea acestor mărimi. Semnalul se aplică printr-o matrice ce va fi definită ulterior şi care conţine ca elemente funcţii trigonometrice. 3.1.2 Forma neliniară a relaţiilor de dirijare Reluând relaţia (2.26), comenzile de dirijare sunt următoarele:

[ ] [ ]TAT

yI uuuu ∗∗∗−−=ψθφ

*1 00 UAKu , (3.1)

unde s-a notat:


∗∗∗∗∗ +=++=+== ∗∗∗∗ ψψθθφφ ψδ

ψδψθ

θδ

θδ

θδθ

φδ

φδφδ

&&& &&& ~~;~~~;~~; * kkuIkkkukkuhku Iy

hy

(3.2)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=010100

000

1K ,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

∗∗∗

∗∗∗

∗

∗

φψφφψφ

ψ

coscossin0sincoscos0

0sin1

AU

la care se adaugă, pentru generalitate, ecuaţiile tuturor termenilor integrali: *rI =∗

R& . (3.3)

Formă scalară a relaţiilor (3.1) este:

,cos~cos~cossin

cossin~cossin~coscos

;sin~sin~coscos~coscoscoscos~cossin

;sin~sinsin~~~

∗∗∗∗∗∗Θ

∗∗∗∗∗∗∗∗

∗∗∗∗∗∗

∗∗Θ

∗∗∗Θ∗∗

∗∗∗∗∗∗∗

++

−−−−=

++

+++−=

++++=

∗Θ

∗Θ

∗

φψφψψφ

ψφθψφθψφ

φψφψψφθ

ψφψφθψφ

ψθψψθφφ

ψδ

ψδδ

θδ

θδδ

ψδ

ψδ

θδ

δδδ

θδθδ

θδ

φδ

φδ

θ

&

&

&&

&&

&

&

&&

&&

kkIk

kkkhu

kkk

Ikkkhu

kIkkkku

I

hyn

Ihym

Il

(3.4)


3.1.3 Liniarizarea relaţiilor de dirijare Pentru liniarizarea relaţiilor de dirijare este necesară definirea mişcării de bază, care este staţionară şi corespunde unei manevre programate în plan vertical. Impunând coordonatele unghiulare ale rachetei, conform programului de zbor, se pot determina incidenţele şi bracajele de echilibru corespunzătoare zborului comandat. Astfel, rezolvarea sistemelor de ecuaţii, specifice mişcării de bază în zborul comandat, se face, considerându-se cunoscute componentele vitezei de rotaţie ),,( rqp şi determinându-se bracajele )( iδ şi incidenţele ),( βα de echilibru. a) Matricea de stabilitate extinsă Ecuaţii auxiliare În contextul unei mişcări de bază în care abaterile unghiulare dintre valorile programate şi cele realizate sunt nule, prin liniarizarea ecuaţiilor auxiliare se obţine:

*rI ∆=∆ ∗R& . (3.5)

Pe de altă parte, forma liniară a ecuaţiilor sistemului de acţionare este: uDδDδ ∆+∆=∆ uδ

& , (3.6)


cu care se obţine matricea extinsă de stabilitate identică cu cea din cazul orientării rachetei indicată în tabelul 3.1 b) Matricea de reglaj Pentru construirea matricei de reglaj este necesar să se aducă la forma liniară relaţiile (3.1) care definesc comenzile de dirijare. Pentru aceasta, dacă se notează:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=ψδ

θδ

φδ

&

&

&

kk

k

D

000000

K ;

TABELUL 3.1 Matricea extinsă a zborului autonom cu variabile staţionare cu controlul

orientării 0A

IIRRrPPp

MMmMMΩFFfFFVδIrpΩV

RΩ

RV

δzv

δRzv

*

*

0

00

**0

R

R

R

Ω

Ω


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

ψδ

θδ

φδ

kk

k

AR

000000

*UK ;

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡= ∗

00000000

θδI

AI kUK ;

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

00000000

1h

IP kδAKK ;

DADA KWKUK ==Ω** , (3.7)

Ecuaţiile de dirijare în forma liniară devin: ( ) fIKrKpKΩKu ∆+∆+∆+∆+∆−=∆ Ω

**RIRP , (3.8)

cu funcţia de intrare : ***RDIDADDR IKrUKrKf ∆+∆+∆=∆ ∗ &

Matricea de reglaj este indicată în tabelul 3.2 3.1.4 Mişcarea longitudinală

TABELUL 3.2 Matricea de reglaj a zborului autonom

IRP

R

KKKKuδIrpΩV

Ω

**0


Dacă se consideră unghiurile de cap şi unghiul de înclinare laterală nule ( )0;0 == ∗∗ φψ , ceea ce corespunde unei mişcări simetrice de tip evoluţie în plan vertical, indiferent de valoarea unghiului de atitudine longitudinală ∗θ , matricea inversă de legătură 1*−

AW capătă forma unitate: IU =∗

A . (3.9) Pe de altă parte, dacă se neglijează rotaţia Pământului şi nesfericitatea sa, matricea de rotaţie pA devine:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

∗∗

∗

θθ

θθ

cos0sin010

sin0cos o

IA , (3.10)

ceea ce conduce la decuplarea comenzilor de ruliu, tangaj şi giraţie, care se pot scrie astfel: ( )( )( ).~~

;~~~;~~

∗Ψ∗Ψ

∗∗

Φ

Ψ∆+Ψ∆+∆−=∆

∆+∆+∆−=∆

∆+∆−=∆

∗

&

&

&

&

&

&

δδδ

θδθ

θδ

θδ

δφδ

θθ

φφ

kkhku

kIkku

kku

yh

n

Im

l

(3.11)


a) Schema structurală Pentru canalul de tangaj, dacă se reţine ecuaţia auxiliară:

∗∆=∆ ∗ θθ

I& , (3.12) după aplicarea transformatei Laplace, comanda devine:

∗∆⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−=∆ θθ

δδθδ

θ ~1 skks

ku Im

&, (3.13)

iar funcţia de transfer a sistemului de acţionare este de forma:

1+=

skH

uu

δ

δδ τ

. (3.14)

În baza acestor funcţii de transfer se poate construi scheme structurală în planul de tangaj.

θ~− Dθ ω

sksksk I

uuuθθθ ++2&

1222 +ξ+

δω

TssTk θ

ssT 1+ωprogra-

mator de zbor

autopilot obiect comandat 1+τδ

δ

sk u

MδkpM

δ

LkωpL

u

Fig. 3.2 Schema structurală a zborului autonom în planul de tangaj cu controlul unghiului de


atitudine longitudinală b) Sinteza legii de comandă prin metoda coeficienţilor standard Dacă se reiau ecuaţiile mişcării rapide longitudinale aşa cum au fost stabilite anterior, menţinând din vectorul intrărilor numai bracajul şi momentul perturbator se poate scrie:

( )( ) ( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∆∆

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆∆

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−

−−−

pqqqqq

q

Bbb

assasasaasa

Mδ

θα

δ

δα

ααα

αα

αα

/101

&

&

. (3.15)

Pe de altă parte, neglijând timpul de răspuns al sistemului de acţionare şi considerând amplificarea acestuia conţinută de constantele de amplificare ale autopilotului pe calea directă, se poate scrie direct legea de comandă pentru canalul longitudinal, care, după aplicarea transformatei Laplace este de forma:

θδθ

δθδ

θδ ~2

∆++

−=∆s

ksksk I&

, (3.16)

unde: u

u kkk δθθ

δ = ; uu kkk δθθ

δ&& = ; uI

uI kkk δ

θθδ = . (3.17)

În baza acestei relaţii vectorul comenzilor devine:


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆∆

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ ++−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∆∆

p

I

ps

ksksk

MMθδ

θδ

θδ

θδ

~

10

02&

. (3.18)

Introducând expresia (3.18) în relaţia (3.15) rezultă sistemul : ( ) ( )( ) ( )( )( ) ,

0

1

2

2

232

22

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆∆

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

++

++

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆∆

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

++−++−++−−−

p

DI

q

I

Iqq

qqqqq

Iq

Bskskskb

kskskb

kbskbsakbssasakbskbsakbsasa

Mθ

θα

θδ

θδ

θδ

δ

θδ

θδ

θδ

δα

θδ

δθδ

δθδ

δαα

θδ

δα

θδ

δαα

θδ

δα

αα

αα

&

&

&&

&&

(3.19)

cu soluţia : ( )( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∆∆

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

++

++=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆∆ −

p

DI

q

I

Bskskskb

kskskbs

Mθ

θα

θδ

θδ

θδ

δ

θδ

θδ

θδ

δα

2

2

10

)( &

&

A , (3.20)

unde :


( ) ( )[ ]( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−+++−−++−+

=−

sasasasakbskbsakbkbskbsakbs

sPs

qq

IqIqq

qqq

αα

αα

αα

θδ

δα

θδ

δαα

θδ

δα

θδ

δθδ

δθδ

δ

22

2231

1)(1)(

&&

&&

A ,

(3.21) iar polinomul caracteristic este dat de :

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ,)(1)(

1)(

1)1()(

2

3

45

skbabaskbabakbaba

saaaakbabakbaba

saaaaaakbabasasP

Iqq

Iqqqq

qq

qqqqqq

qqq

qqqqq

θδ

δαα

δα

αθδ

δα

αδαα

θδ

δαα

δα

α

ααα

αθδ

δα

αδαα

θδ

δαα

δα

α

αα

αα

αα

θδ

δα

αδαα

αα

−++−+−+

+−++−+−+

+−+−−+−+−=

&&

&&&

&&&&&&

(3.22)

sau, renunţând la termenii secundari: [ ]

,)(

1)()2()(222

32425

skkskTkk

skTkksTkkssPII Ω+Ω++

+Ω+++Ω+Ω+=δω

θδ

δωω

θδ

θδ

δωω

θδ

θδω

δω

θδ ξ &&

(3.23)

unde reamintim că: T/1=Ω . Principala funcţie de transfer devine:

[ ] )()1()()(

)( 2 θδ

θδ

θδ

δαα

αα

δα

ααθθ

Iqqq kskskbasabasa

sPssH D ++−−++= &&& . (3.24)

Dacă se renunţă la termenii secundari:


[ ] θδ

δω

δωω

θδ

θδ

δωω

θδ

θδ

δωω

θδ

θδ

δω

δωω

θδ

θδ

δωω

θδ

θδ

δωω

θδ

ξ II

II

kkskTkkskTkkskTkskkskTkkskTkkskTksH 2222324

222232

0 )(1)()2()()()(

Ω+Ω++Ω+++Ω+Ω+Ω+Ω++Ω++Ω

= &&

&&

(3.25) Funcţia standard apropiată este:

40

30

220

30

4

40

30

220

0 9,7159,79,715)(

Ω+Ω+Ω+Ω+Ω+Ω+Ω

=ssss

sssH , (3.26)

cu rr tτ=Ω0 , unde 4,3=τr , iar timpul de răspuns se alege. Prin identificare se formează următorul sistem supradeterminat: θ

δδω

Ikk 240 Ω=Ω ;

)(9,7 230

θδω

θδ

δω kTkk I +Ω=Ω ; )(15 22

0θδω

θδ

δω

&kTkk +Ω=Ω ; Ω+Ω=Ω ξθδω

δω 29,7 2

0&kTk , (3.27)

având ca necunoscute coeficienţii legii de comandă θδ&k , θ

δk , θδIk .

Sistemul poate fi pus în forma matriceală:

T

I kkkkk

kk

TT

T⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Ω

Ω−ΩΩΩ

ΩΩ

ΩΩ

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Θ

Θ

Θ

20

2

20

2

30

2

40 29,7159,7

0001

10100

δω

δω

δω

δω

δ

δ

δ

ω

ω

ω ξ&

(3.28)


şi rezolva prin minimizarea erorii în sensul celor mai mici pătrate. Astfel, dacă se consideră şi timpul de răspuns al sistemului de acţionare, funcţia de transfer a sistemului deschis poate fi adusă la forma Evans:

1)2()2(

1)( 2232

23

2 +++++

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=sTsTTsT

sTkksT

kk

kksT

kk

sksH

IIII

ξττξτ δδδ

ωθδ

θδ

ωθδ

θδ

θδ

θδ

ωθδ

θδ

&&

, (3.29)

unde s-a notat: δω

θδ kkk I= .

3.1.5 Mişcarea laterală Procedând analog în planul lateral, din forma liniarizată a comenzii de dirijare:

( )∗∗ ∆+∆+∆−−=∆ ψψ ψψ && ~~uuy

hun kkhku , (3.30)

şi din funcţia de transfer a sistemului de acţionare se poate dezvolta schema structurală a mişcării comandate, obţinându-se schema structurală a canalului lateral:


nu

pDy− yh nδ ω n

2

coss

V αhuk

kT s Ts

ωδ

ξ2 2 2 1+ +

NkδpN

T ss

ω +1

py−

skk uuψψ + &

yu ks

uδ

δτ +1

Ψ−uψ− ~ ψ

Dψ

Fig. 3.3 Schema structurală a canalului lateral

Neglijând timpul de răspuns al sistemului de acţionare se poate scrie funcţia de transfer a sistemului închis

αξα

δωδ

ψδ

δω

ψδ

ψδω

δω

ψδω

δω

δωδ

cos])([)2(cos)( 22222324

2

0 VkkskkskkTkskTksVkksH h

h

Ω+Ω+Ω++Ω+Ω+Ω+Ω

=&&

(3.31) Funcţia standard corespunzătoare este:


40

30

220

30

4

40

325,43)(

Ω+Ω+Ω+Ω+Ω

=ssss

sH , (3.32)

cu rr tτ=Ω0 , 1,5=rτ . Prin identificarea coeficienţilor se formează sistemul: αδ

ωδ cos240 Vkk hΩ=Ω ; ψ

δδωkk23

03 Ω=Ω ; Ω+Ω=Ω ξψδω

δω 23 2

0&kTk , (3.33)

din care se obţine:

αδω

δ cos2

40

Vkk h

ΩΩ

= ; δω

ψδ k

k 2

303

ΩΩ

= ; δω

ψδ

ξk

k 20 23Ω

Ω−Ω=& . (3.34)

Dacă se consideră şi timpul de răspuns al sistemului de acţionare se poate construi funcţia de transfer a sistemului deschis:

skkskTkksTkkTsTTsTVkksH

h

δω

ψδ

ψδω

ψδ

δωω

δω

ψδδδδ

δωδ

τξτξτα

+++++++++= 234252 )](1[)2()2(

cos)(&&

,(3.35)

care poate fi adusă la forma Evans:

11221)(

232

42

+++

+++

++

+=

skk

kkTkkskk

TkkTskk

TTskk

TsksH

δω

ψδ

δω

ψδω

δω

ψδ

δω

ψδ

ωδω

ψδδ

δω

ψδ

δδω

ψδ

δ τξτξτ &&, (3.36)

unde s-a notat:


ψδ

δ αk

Vkkh cos

= .

3.1.6 Mişcarea de ruliu În final, se poate obţine şi forma liniarizată a mişcării de ruliu. Pentru studiul mişcării de ruliu se porneşte de la schema structurală generală stabilită anterior. Dacă se neglijează timpul de răspuns al sistemului de acţionare, se obţine schema simplificată din figura 3.4, cu funcţia de transfer pentru sistemul închis dată de:

Dφ

1+δ

δ

sTk

p

p 1s

p φφδk

φ~−

φδ&k

lδ

Fig. 3.4 Schema structurală a canalului de ruliu


Dacă se ţine cont de relaţiile stabilite la studiul formei liniare a mişcării de ruliu, funcţia de transfer se poate rescrie astfel

δφδ

δφδ

δ

δφδ

ppp

p

kkskksTkk

sH+++

=)1(

)( 20 & . (3.37)

δφδ

δφδ

δφδ

pppp

p

bksbkasbk

sH++−+

=)(

)( 20 & . (3.38)

Funcţia standard corespunzătoare este de forma:

200

2

20

0 5,1)(

Ω+Ω+Ω

=ss

sH , (3.39)

cu rr tτ=Ω0 , 9,2=rτ . Prin identificare se obţin coeficienţii legii de comandă:

δφδ

pbk

20Ω

= ; δφδ

p

pp

ba

k+Ω

= 05,1&, (3.40)


Dacă se consideră şi timpul de răspuns al sistemului de acţionare se poate construi schema structurală a sistemului deschis adusă la forma Evans:

1)(

1)( 2 +++

+=

sTsT

skk

sksH

pp δδ

δδ

φδ

φδ

ττ

&

, (3.41)

unde: φδ

δ= kkk p . 3.2 Racheta cu zbor după program Pentru exemplificarea metodelor de zbor autonom cu controlul traiectoriei vom analiza racheta cu zbor după program. În această categorie de rachete se regăsesc o varietate de tipuri dintre care amintim rachetele de croazieră, rachetele navale dar şi rachetele utilizate ca ţintă pentru tragerile de aviaţie sau antiaeriene. Pentru a păstra unitatea lucrării vor fi analizate numai rachetele cu configuraţii axial simetrice, trebuind totuşi amintite la acest punct şi rachetele cu un plan de simetrie care se apropie de configuraţia de avion.

Fig. 3.5 Racheta ţintă cu zbor după program


Ca o un element comun al acestor tipuri de rachete este existenţa a trei faze de zbor, care presupun în principiu existenţa a mai multe forme a legii de comandă. Astfel, există o primă fază de zbor ascensional, în care racheta plecând de pe rampă cu un anumit unghi de înclinare, care la limită poate fi de 90 de grade, în cazul lansării verticale, se înscrie într-un zbor orizontal. Există apoi o fază de zbor orizontal, iar în final, o fază descendentă în care racheta se îndreaptă spre un obiectiv prestabilit fix. Pentru exemplificarea vom descrie modelul unei rachete ţintă cu zbor orizontal de aproximativ 20 Km la înălţimea de 1 Km. 3.2.1 Elementele programului de zbor Având în vedere că traiectoria se desfăşoară într-un plan vertical, va exista o formă a legii de comandă în plan lateral, unică pe tot parcursul traiectoriei şi două forme ale legii de comandă în plan vertical, una pentru fazele de zbor înclinat (ascendent şi descendent) şi una pentru zborul orizontal, la o înălţime impusă. În afară de acestea mai există comanda în ruliu care asigură în mod independent menţinerea unghiului de ruliu la o valoare programată. Având în vedere simetria configuraţiei, structura legii de comandă în plan lateral va coincide cu cea din planul vertical în timpul zborului orizontal, fiind o structură de tip PID cu controlul abaterii liniare. Având în vedere că evoluţia principală este de zbor orizontal, pentru exprimarea orientării vom utiliza unghiuri de atitudine tip Euler.


Ecuaţii auxiliare Pentru generalitate, introducem ecuaţia diferenţială auxiliară necesară pentru definirea termenilor integrali:

pI =P& . (3.42)

3.2.2 Forma neliniară a relaţiilor de dirijare Reluând relaţia stabilite în prelegerea 2, comenzile de dirijare sunt următoarele:

RAPI uUuAKu −−= 1 , (3.42) unde s-a notat:

[ ]TzyxP uuu=u ; [ ]TR uuu ψθφ=u , în care:

ψψθθφφ ψδ

ψδψ

θδ

θδθ

φδ

φδφ

&&& &&& ~~;~~;~~ kkukkukku +=+=+= ,

zIzuz

zuz

hzuz

Iyuy

yuy

hyuyx IkkhkuIkkhkuu ~;~;0 ++=++== λλ λλ .

(3.43)


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=010100

000

1K ,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

θφφθφφ

θ

coscossin0cossincos0

sin01

AU

Pentru definirea comenzii de poziţie se adaugă ecuaţia diferenţială a termenilor integrali: hI =p

&~ (3.44) Dacă se notează elementele matricei de rotaţie [ ]jii a ,=A , forma scalară a comenzii de dirijare aplicată sistemului de acţionare devine:

.coscossin;cossincos

;sin

3,22,2

3,32,3

θφφθφφ

θ

ψθ

ψθ

ψφ

uuauauuuuauauu

uuu

zyn

zym

l

+−+=++−−=

−=

(3.45)

3.2.3 Liniarizarea relaţiilor de dirijare Pentru liniarizarea relaţiilor de dirijare este necesară definirea mişcării de bază, care este staţionară şi corespunde unei manevre programate în plan vertical, care la limită poate fi un zbor orizontal. Impunând această condiţie de zbor, se pot determina incidenţele şi bracajele de


echilibru corespunzătoare zborului comandat. Astfel, rezolvarea sistemelor de ecuaţii, specifice mişcării de bază în zborul comandat, se face, considerându-se cunoscute componentele vitezei de rotaţie ),,( rqp şi determinându-se bracajele )( iδ şi incidenţele ),( βα de echilibru. În contextul unei mişcări de bază în care abaterile unghiulare şi liniare dintre valorile programate şi cele realizate sunt nule, prin liniarizarea ecuaţiei auxiliare se obţine:

pI ∆=∆ P& , (3.46)

care conţine ca funcţii de intrare în sistem valorile programate ale coordonatelor liniare. Pe de altă parte, forma liniară a ecuaţiilor sistemului de acţionare este:

uDδDδ ∆+∆=∆ uδ& , (3.47)

În baza acestor relaţii se poate construi matricea extinsă de stabilitate a zborului autonom indicată în tabelul 3.3.


În contextul unei mişcări de bază generală, în care se consideră aparatul evoluând la valorile unghiulare, înălţimea şi viteza programate, pornind de la relaţiile (3.42), comenzile de dirijare capătă forma liniară indicată în relaţiile (2.40)…(2.47), în care matricele termenilor liniari sunt:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

hu

huh

kk00

00000

K ;

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

λ

λλ

u

u

kk00

00000

K ;

TABELUL 3.3 Matricea extinsă a zborului autonom cu variabile staţionare cu controlul

traiectoriei 0A

δDδII

RRrPPp

MMmMMΩFFfFFVδIrpΩV

RΩ

RV

δzv

δRzv

p

R

p

0

00

0

Ω

Ω


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

Iu

IuIh

kk00

00000

K , (3.48)

unde, datorită simetriei configuraţiei, termenii de pe diagonala principală pentru tangaj şi giraţie sunt egali. În acest caz şi matricea de reglaj este de forma indicată în tabelul 3.4.

Matricea de reglaj astfel definită conţine o serie de elemente necunoscute, care, reprezintă coeficienţii de amplificare utilizaţi la formarea comenzii de ghidare. Sinteza acestor coeficienţi, chiar şi pentru forma impusă a matricei de reglaj, se poate face prin mai multe metode. În continuare, prin considerarea unei evoluţii particulare şi decuplarea canalelor, pentru sinteza matricei de reglaj se va utiliza o metodă simplificată cunoscută sub numele de metoda coeficienţilor standard. Pentru aceasta se vor decupla ecuaţiile mişcării longitudinale de cele laterale şi se vor construi scheme structurale simplificate, cu funcţii de transfer de ordin redus. Cu ajutorul acestora se vor determina coeficienţii matricei de reglaj precizate în tabelul 3.4.

TABELUL 3.4 Matricea de reglaj a zborului autonom cu controlul traiectoriei

IRPV

P

KKKKKuδIrpΩV

Ω

0


3.2.4 Mişcarea longitudinală în timpul zborului în urcare şi coborâre În contextul unei mişcări simetrice în plan vertical, în care unghiurile de cap şi de înclinare laterală sunt nule, mişcarea longitudinală se decuplează, componenta în tangaj a comenzii de dirijare, după liniarizare şi aplicare a transformatei Laplace fiind dată de :

( ) θθθ ~∆+−=∆ uu ksku & (3.49)

obţinându-se în acest caz o schemă structurală similară cu cea din figura 2.1, din care lipseşte termenul integral. Pentru mişcarea longitudinală, în fazele de zbor înclinat, se caută să se realizeze în primul rând o amortizare a mişcării rapide în jurul centrului de masă prin introducerea unei reacţii cu viteza unghiulară de tangaj. În continuare se închide circuitul de urmărire a unghiului de tangaj programat. Pentru aceasta se pune schema 2.1 în forma echivalentă 3.2 în care s-a evidenţiat circuitul de amortizare a mişcării rapide


θ

θu mω

T sω + 1quk q

dθ

θ~− buclă de control a unghiului de tangaj

buclă de amortizare

ssT 1+ω

θuk

kT s Ts

ωδ

ξ2 2 2 1+ +

MδkpM

ks

uδ

δτ + 1

pL

u

Lkω

δ

Fig. 3.6 Schema structurală a canalului de tangaj în zbor înclinat

Prin închiderea succesivă a buclelor de reacţie din fig. 3.6, vom căuta să obţinem şi constantele de amplificare pe circuitele respective.


Pentru început se va defini reacţia de amortizare pe modul rapid, care se realizează cu un traductor de viteză unghiulară. Dacă se neglijează timpul de răspuns al sistemului de acţionare, iar constanta de amplificare este distribuită la nivelul constantelor sistemului de comandă, schema structurală corespunzătoare acestei mişcări este cea din figura 3.7. În acest caz, funcţia de transfer a sistemului închis este:

222

2

0 )1()2()1()(

Ω++Ω+Ω++Ω

= δωδω

δωδ

ωδω

ξ kksTkkssTksH qq , (3.50)

Putându-se impune condiţia ca numitorul să fie de forma: 22 5,1 ∗∗ Ω+Ω+ ss , (3.51)

ceea ce reprezintă o bună amortizare, se obţine coeficientul de amplificare pe calea de reacţie:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

ωωωωδω

δ ξξTT

TT

TT

TkTk q 2

45,112

25,1

2

222

, (3.52)

fi pusă într-o formă similară cu cea a sistemului deschis:

q

12)1(

22 +ξ++ω

δω

TssTsTk

qkδ

eδ

Fig. 3.7 Schema structurală

a mişcării longitudinale rapide


12)1()( 22*0 ++

+= ∗∗

∗

sTsTsTksH

u

ξωω , (3.53)

principalele mărimi ale sistemului redefinindu-se astfel:

qkkkk

δδω

δωδ

ω +=∗

1;

qkkTT

δδω+

=∗

1;

q

q

q kkTTkk

kk δδω

ωδδω

δδω

ξξ+

++

=∗

121.

(3.54) Se poate constata că introducerea acestei reacţii conduce la creşterea amortizării, care este dată de raportul:

22TTkk

TT

qωδ

δωξξ

+=∗

∗

. (3.55)

Pe de altă parte, având în vedere relaţiile (3.14), se observă o scădere a timpului caracteristic în tangaj ∗T şi deci o creştere a pulsaţiei proprii a mişcării rapide: ∗∗ =Ω T1 . Totodată se constată o scădere a factorului de amplificare ∗δ

ωk în regim stabilizat.


∗δ

θδk

θdθΨ

θ~−

ssTsTsTk

+++∗∗∗

∗

232 2)1(

ξω

δω

Fig. 3.8 Schema structurală a mişcării longitudinale, bucla de control unghiului de tangaj

În final putem închide şi circuitul unghiului de tangaj (fig. 3.8), funcţia de transfer a circuitului închis fiind :

22223

22

0 )(2)( ∗∗∗∗∗∗∗

∗∗∗∗

Ω+Ω+Ω+Ω+Ω+Ω

= δω

θδω

δω

θδ

δω

θδω

δω

θδ

ξ kksTkksskksTkksH , (3.56)

unde funcţia de transfer standard este de forma:

30

20

20

3

30

20

0 35,61,535,6)(

Ω+Ω+Ω+Ω+Ω

=sss

ssH , (3.57)

cu 5=rτ .


Dacă notăm: 2∗∗Ω= δ

ωθδ kkx , (3.58)

identificând cele două funcţii de transfer, obţinem sistemul supra-determinat:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΩΩ

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡30

2035,6

1x

Tω . (3.59)

Reluând schema structurală din figura 3.6, cu considerarea timpului de răspuns al sistemului de acţionare dar cu amplificarea acestuia conţinută în circuitele de reglaj, se obţine următoarea funcţie de transfer pentru sistemul deschis:

skksTkkTsTTsTkksTkksH qq )1()2()2(

)( 2342δ

δωω

δωδδδδ

δω

θδω

δω

θδ

τξξττ ++++++++

= (3.60)

3.2.5 Mişcarea longitudinală în timpul zborului orizontal Pentru sinteza coeficienţilor matricei de reglaj vom considera o mişcare de bază simetrică, caz în care mişcarea longitudinală se decuplează, componenta în tangaj a comenzii de dirijare după liniarizare şi aplicarea transformatei Laplace, fiind :


θθθλ ~)(

2

∆+−∆++

−= uu

Iu

huu kskh

sksksku &

(3.61)

obţinându-se o schemă structurală similară cu cea din fig. 2.2, dar care nu mai conţine intrarea în unghiul de tangaj. Pentru proiectarea canalului longitudinal în cazul zborului orizontal se poate neglija pentru început reacţia cu unghiul de tangaj pornindu-se de la definirea reacţiei de amortizare pe modul rapid, după cum s-a procedat şi în cazul zborului înclinat, componenta în tangaj a comenzii de dirijare fiind:

qkhs

ksksku quL

Iu

huu ∆−∆++

−=2λ

, (3.62)

obţinându-se schemă structurală din fig. 3.9 .


u

hLD Lh−

2

coss

V αs

ksksk Iu

huu ++λ 2 k

T s Tsωδ

ξ2 2 2 1+ +

M p kδM

1+ωsT

hLR

quk

uL ks

uδ

δτ +1

k Lω

Lp

ωδ

q

Fig. 3.9 Schema structurală a mişcării longitudinale cu controlul abaterii liniare şi stabilizarea

unghiului de atitudine longitudinală Dacă se neglijează timpul de răspuns al sistemului de acţionare, iar constanta de amplificare este distribuită la nivelul constantelor sistemului de comandă, considerând mişcarea rapidă în jurul centrului de masă amortizată, din schema generală indicată în fig. 3.9 se obţine o schemă structurală simplificată a mişcării longitudinale cu controlul abaterii liniare, schemă care este prezentată în fig. 3.10 .


hLD Lh− γ

sV

sksksk Ihδδ

λδ ++2

sk ∗δω

hLRδ

Fig. 3.10 Schema structurală simplificată a mişcării longitudinale cu controlul abaterii liniare

Pentru aceasta, funcţia de transfer a sistemului închis este:

Ih

Ih

kVkskVkskVkskVkskVkskVksH

δδωδ

δω

λδ

δω

δδωδ

δω

λδ

δω

∗∗∗

∗∗∗

+++++

= 23

2

0 )( , (3.63)

forma standard corespunzătoare fiind:

30

20

20

3

30

20

20

0 7,67,67,67,6)(

Ω+Ω+Ω+Ω+Ω+Ω

=sss

sssH , (3.64)

unde 5,1=rτ . Identificând coeficienţii celor două funcţii de transfer se obţin relaţiile de calcul ai coeficienţilor legii de comandă:


∗

Ω= δ

ω

λδ Vk

k 07,6; ∗

Ω= δ

ωδ Vk

k h207,6

, ∗

Ω= δ

ωδ Vk

k I30 (3.65)

unde, în urma reducerii buclei de amortizare, reamintim că s-a obţinut:

qkkkk

δδω

δωδ

ω +=∗

1 . (3.66)

Reluând schema structurală generală din fig. 3.9, cu neglijarea intrării în unghiul de tangaj programat, se poate construi funcţia de transfer a sistemului deschis cu considerarea mişcării rapide în jurul centrului de masă şi a timpului de răspuns al sistemului de acţionare în scopul realizării analizei în frecvenţă.

234562

2

)](1[)2()2()()(

skkskTkkskTkTsTTsTkskskVksH

Ih

θδ

δω

θδω

θδ

δωδω

δωδδδ

δδλδ

δω

ξτξττ +++++++++++

=Θ &&

.

(3.67) 3.2.6 Mişcarea de ruliu Pentru mişcarea de ruliu, dacă se porneşte de la relaţiile stabilite în prelegerea 2, se obţine următorul sistem de ecuaţii diferenţiale:


AL

bpap plp

pp

∆+∆+∆=∆ δδ&

φφ φφ ∆+∆=∆ ap&

lll u∆+∆−=∆δδ τ

δτ

δ 11&

unde comanda lu∆ este dată de:

φφδδ

~~ ∆−∆−=∆ kpku pl

Dacă izolăm momentul perturbator şi mărimile de referinţă sub forma unor mărimi de intrare, putem pune sistemul in forma standard: BuAxx +=& ; Kxu −= , unde:A - Matricea extinsă de stabilitate

10001

0

−δ

φφ

δ

τδφ

δφ

l

ppp

l

abap

p

;


TB Matricea extinsă de comandă

1δl

l

τ00uδφp− ;

K - Matricea de reglaj

0φδδ kku

δφpp

l

l

iar vectorul extins al stărilor este: [ ]l

T p δφ=x Pentru determinarea elementelor matricei de reglaj se introduce indicele de performanţă pătratic:

tJ TT d)(0

PuuQxx += ∫∞

, (3.68)

Dacă perechea ( BA, ) este controlabilă, matricea Q care penalizează starea este simetrică şi semipozitiv definită:

;0≥Q TQQ = . (3.69)


iar matricea P care penalizează comanda este simetrică şi pozitiv definită: ;0>P TPP = . (3.70)

şi avem acces la toate stările sistemului, atunci matricea de reglaj poate fi găsită ca soluţie a ecuaţiei matriceale algebrice Riccati. Deoarece in mod practic la majoritatea sistemelor nu avem acces la valoarea bracajului lδ , si nici nu dorim sa utilizam un estimator pentru această mărime care ar conduce la complicaţii de calcul suplimentare, vom încerca obţinerea coeficienţilor de reglaj prin minimizarea indicelui de performanţă utilizând o tehnică bazată pe generatoare de numere aleatoare apropiată de metoda cunoscută în literatură ca metoda Monte – Carlo, la care s-au adus unele modificări. Soluţia indicată prin relaţiile (3.40) obţinută prin alocarea de „poli-zerouri” prin metoda coeficienţilor standard putând fi folosită ca date iniţiale de plecare. Exemplu de calcul: Se consideră un aparat de zbor de tip UAV „endurance” de dimensiuni medii cu viteza

smV /31= în zbor orizontal la mH 0= . Pentru acest caz avem următoarele date de intrare: 34,26−=p

pa 47,178=δpb , 0=φ

φa , s1.0=δτ Matricea de stabilitate extinsă, şi matricea de comandă sunt:


A - Matricea extinsă de stabilitate TB Matricea extinsă de comandă

1000001

5,178026

l

l

pp

δφ

δφ−

1000uδφp

l

l

O prima verificare a metodei se poate face dacă se admite că avem acces la toate stările, adică matricea de reglaj are forma: K - Matricea de reglaj

δδ

φδδ kkku

δφpp

l

l

pe care o putem determina cu relaţia închisă: RBPK 1 T−= ,

unde R ecuaţiei matriceale Riccati.


Pentru exemplul de calcul considerat, considerând matricele pondere unitare, soluţia optimală este:

4382,0=pkδ ; 1=φδk ; 2005,5=δ

δk .

Pentru acelaşi caz, aplicând algoritmul M-K modificat, cu 510=n şi 5,0=pA obţinem:

45337,0=pkδ ; 0031,1=φδk ; 15899,5=δ

δk . Deoarece sistemele uzuale de control în ruliu nu au acces la valoarea unghiului de bracaj, problema prezintă interes dacă putem impune ca valoarea coeficientului de reglaj pe unghiul de bracaj să fie nul: 0=δ

δk , iar primii doi coeficienţi să optimizeze indicele de performanţă pătratic impus. Pentru acest caz algoritmul M-K, dacă se aleg ponderi unitare pe primele stări:

1)1,1( =q 1)2,2( =q , 05,1=pkδ , 718,0=φδk .

Dacă se doreşte o restrângere a domeniului de eroare unghiulară se ponderează mai mult pe valoarea unghiului : 5,0)1,1( =q 10)2,2( =q , obţinând pentru cei doi coeficienţi valorile: 809,0=pkδ , 844,1=φ

δk , valori mai apropiate de cele furnizate pentru acest caz de metoda

coeficienţilor standard: 76,0=pkδ , 71,4=φδk .

DAZ_03

Documents

Transcript of DAZ_03