CursLH

7/23/2019 CursLH

http://slidepdf.com/reader/full/curslh 1/22

CAPITOLUL 3

DINAMICA HAMILTONIANA

Motto: ”In zadar guvern˘ a regii lumea cu ˆ int elepciune,

Se-nmult esc semnele rele, se-mput in faptele bune”

Eminescu - Egipetul

Dinamica Hamiltoniana se bazeaz˘ a pe ecuat ii diferent iale sau cu derivate part iale de

ordinul ˆ intˆ ai construite fie din ecuat ii diferent iale sau cu derivate part iale de ordinul al doilea

de tip Euler-Lagrange fie ca ecuat ¸ii Euler-Lagrange asociate la funct ¸ionale particulare ce

cont in funct iile Hamilton. Trecerea de la ecuat ¸iile de ordinul al doilea de tip Euler-Lagrange la ecuat iile de ordinul ˆ intˆ ai de tip Hamilton are la baz˘ a transformarea Legendre.

1 Dinamica Hamiltoniana in cazul unei singure vari-abile de evolutie (unitemporala)

Consideram Lagrangianul L(x(t), x(t), t) ca functie de clasa C 2, unde

t ∈ [t0, t1], x = (x1,...,xn) : [t0, t1] → Rn.

Problema de baza a calculului variational cu o singura variabila de evolutie

este: gasiti o curba x

∗

: [t0, t1] → R

n

care extremizeaza functionala

I (x(·)) =

t1t0

L(x(t), x(t), t)dt,

printre functiile de clasa C 2 care satisfac conditiile la limita

x(t0) = x0, x(t1) = x1.

Teorema Dac˘ a x∗(·) este solut ie a problemei de mai sus, atunci x∗(·) este solut ie a sistemului de ecuat ii diferent iale Euler-Lagrange

∂L

∂xi − d

dt

∂L

∂ xi = 0, i = 1, n,

care satisface condit iile la limit˘ a x(t0) = x0, x(t1) = x1.

Acum, pentru x(·) fixat, definim momentul generalizat

p = ( pi), pi(t) = ∂L

∂ xi(x(t), x(t), t), t ∈ [t0, t1].

47

7/23/2019 CursLH


48 Dinamic˘ a Hamiltonian˘ a

Presupunem ca, pentru ∀(x, p) ∈ R2n, t ∈ [t0, t1], acest sistem defineste

functia x = x(x,p,t). Pentru aceasta, local, conform teoremei functiilor

implicite, este necesar si suficient ca det

∂ 2L

∂ xi∂ x j

= 0. In acest caz, La-

grangianul L se numeste regulat si intra in dualitate cu Hamiltonianul

H (x,p,t) = xi(x,p,t)∂L

∂ xi(x, x(x,p,t), t)− L(x, x(x,p,t), t)

(dualitate Legendrian˘ a ) sau mai scurt

H = xi pi − L.

Teorema Dac˘ a x(·) este solut ie a sistemului de ecuat ii diferent iale de

ordinul doi de tip Euler-Lagrange si momentul p este definit ca mai sus, atunci perechea (x(·), p(·)) este solut ie a sistemului de ecuat ii diferent iale de ordinul ˆ intˆ ai de tip Hamilton

xi(t) = ∂H

∂pi(x(t), p(t), t), ˙ pi(t) = −∂H

∂xi(x(t), p(t), t).

Dac˘ a L este autonom (adic˘ a nu depinde explicit de t), atunci rezult˘ a c˘ a H

este o integral˘ a prim˘ a a sistemului Hamilton (lege de conservare).Demonstrat ie. Prin calcul gasim

∂H

∂x j = pi

∂ xi

∂x j − ∂L

∂x j − ∂L

∂ xi

∂ xi

∂x j =

−∂L

∂x j.

Apoi observam ca ecuatiile Euler-Lagrange produc

˙ pi(t) = ∂L

∂xi(x(t), x(t), t) =

∂L

∂xi(x(t), x(x(t), p(t), t)) = −∂H

∂xi(x(t), p(t), t).

De asemenea

∂H

∂p j(x, p) = x j(x,p,t) + pi

∂ xi

∂p j− ∂L

∂ xi

∂ xi

∂p j= x j(x,p,t) = x j(t),

adica

x j(t) = ∂H

∂p j(x(t), p(t), t).

In incheiere, sa observam ca

dH

dt =

∂H

∂xi

dxi

dt − ∂H

∂pi

dpi

dt +

∂H

∂t =

∂H

∂t .

7/23/2019 CursLH


TEORII LAGRANGE-HAMILTON 49

Unii autori adauga ecuatia dH

dt

= ∂H

∂t

la ecuatiile Hamilton, considerand

ca t si H sunt variabile duale. Cazul autonom L = L(x(t), x(t)) produce

H = H (x(t), p(t)) si deci dH

dt = 0.

Observatie. Lagrangienii L1 si L2 legati prin transformarea gauge

L2 = L1 + d

dtf (x, t) = L1 + xi ∂ f

∂xi +

∂f

∂t

produc aceleasi ecuatii Euler-Lagrange. Momentele corespunzatoare satisfacrelatia

p2i = ∂L2

∂ xi =

∂L1

∂ xi +

∂f

∂xi = p1

i + ∂f

∂xi.

Exemplu Lagrangianul

L(x, x) = 1

2m||x||2 − V (x)

reprezinta diferenta intre energia cinetica si energia potentiala. Ecuatiilediferentiale Euler-Lagrange

mx(t) = −∇V (x(t))

reprezinta legea lui Newton. Daca introducem momentul p = mv, v = ||x||,atunci putem construi Hamiltonianul

H (x, p) = p · pm −L(x, p

m) = || p||

2

2m + V (x),

care reprezinta energia totala. Ecuatiile Hamilton sunt

x(t) = p(t)

m , ˙ p(t) = −∇V (x(t)).

2 Legatura intre ecuatiile Euler-Lagrange si ecuatiileHamilton

Teoria Lagrange descrie st˘ arile unui sistem fizic prin puncte din spat iul configu-

rat ¸iilor Rn. Ea se sprijina pe un sistem de n ecuatii diferentiale de ordinul 2,cu n functii necunoscute x(t), care solicita 2n conditii la limita sau 2n conditiiinitiale.

Ca alternativa, Teoria Hamilton descrie st˘ arile unui sistem fizic prin punctedin spat iul fazelor R2n. Ea se refera la un sistem de 2n ecuatii diferentiale de

7/23/2019 CursLH



ordinul 1, cu 2n functii necunoscute (x(t), p(t)), care solicita 2n conditii la

limita sau 2n conditii initiale.

Fig. 1. Spatiul configuratiilor Fig. 2. Spatiul fazelor

2.1 Compararea punctelor de vedere Lagrange si Hamilton incazul pendulului sferic

Consideram pendulul sferic reprezentat in Fig. 3.

Fig. 3. Pendulul sferic

Pornim cu punctul de vedere Lagrangian. In general, numarul gradelor delibertate este n = DN − k, unde D este numarul de dimensiuni spatiale,N este numarul de obiecte, iar k este numarul de constrangeri. In cazul

7/23/2019 CursLH



pendulului sferic avem D = 3, N = 1, k = 1 si deci n = 2. Coordonatele sunt

(x1

, x2

) = (θ, φ). Rezulta energia cinetica

T = m2

2θ2 +

m2

2φ2sin2 θ,

energia potentialaV = mg(1 − cos θ),

Lagrangianul

L = m2

2θ2 +

m2

2φ2 sin2 θ −mg(1 − cos θ)

si energia totala

H = m2

2θ2 +

m2

2φ2 sin2 θ + mg(1 − cos θ).

Ecuatiile Euler-Lagrange sunt

φ sin θ cos θ − θ = 0, d

dt( φ sin2 θ) = 0.

Se observa ca energia cinetica T este o forma patratica in (θ, φ), iar φ este ocoordonata ciclica. Rezulta

pφ = ∂L

∂ φ

= m2 φ sin2 θ = a constant = pφ(0)

si

H = m2

2θ2 +

pφ(0)2

2m2 sin2 θ+ mg(1 − cos θ) = a constant = H 0.

Sa analizam punctul de vedere Hamiltonian. Mai intai introducem mo-mentele

pφ = ∂L

∂ φ= m2 φ sin2 θ, pθ =

∂L

∂ θ= m2 θ.

Apoi Hamiltonianul

H = pθ θ + pφ φ− L =

p2θ2m2 +

p2φ

2m2 sin2 θ + mg(1 − cos θ).

Ecuatii Hamilton si consecintele lor:

dH

dt (t) = 0 ⇒ H = a constant = H 0,

7/23/2019 CursLH



dpφ

dt

(t) = ∂H

∂φ

= 0

⇒ pφ = a constant = pφ(0),

dθ

dt(t) =

∂H

∂pθ=

pθ(t)

m2

cu

pθ(t) =

2m2(H 0 − pφ(0)2

2m2 sin2 θ−mg(1 − cos θ))

1/2

.

Rezulta

dθ

dt(t) =

2H 0

m2 − pφ(0)2

m4 sin2 θ− g

(1 − cos θ)

1/2

sau

t − t0 = θ(t)

θ0

du2H 0m2 −

pφ(0)2

m4 sin2u− g

(1 − cos u)1/2 .

In final gasim t = f (θ), cu inversa locala θ = f −1(t). Apoi gasim pe φ(t) din

dφ

dt =

∂H

∂pφ=

pφ(0)

m2 sin2 θ(t)

si pedpθ

dt = −∂H

∂θ =

pφ(0)

m21

sin2 θ(t)tan θ(t).

2.2 Avantajele punctului de vedere Hamiltonian

Multi autori considera ca punctul de vedere Hamiltonian este superior celuiLagrangian. Motivele sunt urmatoarele:

1) Hamiltonianul H este mai simetric in dependenta sa de punctul x si demomentul p decat este Lagrangianul L de punctul x si de viteza x.

2) Daca Hamiltonianul H nu este o functie explicita de timpul t (cazulautonom), atunci H este o constanta a miscarii (integrala prima).

3) Legatura H = pi xi −L arata ca daca o coordonata xk este ciclica in L,

adica ∂L

∂xk = 0, atunci ea este ciclica si in H , adica

∂H

∂xk = 0. Dar in timp

ce o coordonata ciclica xk din L elimina aceasta variabila din ecuatiile Euler-Lagrange, aceeasi coordonata ciclica din H elimina doua variabile xk, pk dinecuatiile Hamilton.

4) Uneori structura Hamiltonianului ofera date importante despre miscare,iar acestea pot inlocui uneori rezolvarea efectiva a ecuatiilor diferentiale.

7/23/2019 CursLH



5) Algoritmii numerici pentru rezolvarea ecuatiilor diferentiale de ordinul

intai sunt mai performanti decat algoritmii numerici pentru rezolvarea ecuatiilordiferentiale de ordinul al doilea.

6) Curentul Hamiltonian conserva volumul deoarece campul vectorial

∂H

∂pi,−∂H

∂xi

are divergenta nula. De altfel, ecuatiile Hamilton pot fi scrise in forma sim-plectica

x˙ p

= J ∇H,

undeJ =

0 I−I 0

este matricea simplectic˘ a de ordinul 2n, iar I este matricea unitate de ordinuln.

7) In mecanica Hamiltoniana x si p, ca si t si H , sunt variabile duale (conjugate).

8) Exista multe similaritati folositoare intre terminologia dinamicii Hamil-toniene si termodinamica statistica sau controlul optimal.

2.3 Aplicatii

Aplicatia 1 Fie funct ionala

J (x1(·), x2(·)) =

π0

2x1(t)x2(t)− 2(x1(t))2 + (x1(t))2 − (x2(t))2

dt.

Scriet i sistemul Euler-Lagrange si sistemul Hamilton.Solutie Notam

L(x1, x2, x1, x2) = 2x1x2 − 2(x1)2 + (x1)2 − (x2)2.

Ecuatiile Euler-Lagrange sunt

∂L∂x1

− ddt

∂L∂ x1

= 0, ∂L

∂x2 − d

dt

∂L∂ x2

= 0,

adica

2x2 − 4x1 − d

dt(2x1) = 0, 2x1 − d

dt(−2x2) = 0,

7/23/2019 CursLH



care sunt echivalente cu

x2 − 2x1 − x1 = 0, x1 + x2 = 0.

Avem∂F

∂ x1 = 2x1,

∂F

∂ x2 = −2x2.

Derivatele de ordinul doi sunt

∂ 2L

∂ (x1)2 = 2,

∂ 2L

∂ (x2)2 = −2,

∂ 2L

∂ x1∂ x2 =

∂ 2L

∂ x2∂ x1 = 0.

Atunci det ∂ 2L

∂ xi∂ x j

= −4 = 0, deci Hamiltonianul si Lagrangianul sunt indualitate. Notam

p1(t) = ∂L

∂ x1 = 2x1(t), p2(t) =

∂F

∂ x2 = −2x2(t).

Rezulta

x1(t) = p1(t)

2 , x2(t) = − p2(t)

2 .

Hamiltonianul este

H (x1, x2, p1, p2) = x1 p1 + x2 p2−

L

sau

H (x1, x2, p1, p2) = p21

4 − p22

4 − 2x1x2 + 2(x1)2.

Sistemul canonic este

x1 = ∂H

∂p1, x2 =

∂H

∂p2, ˙ p1 = −∂H

∂x1, ˙ p2 = −∂H

∂x2,

adica

x1 = p1

2 , x2 = − p2

2 , ˙ p1 = 2x2 − 4x1, ˙ p2 = 2x1.

Aplicatia 2 Scriet i sistemul Hamilton pentru funct ionala

J (x(·)) =

t1t0

tx(t)x(t)3dt.

7/23/2019 CursLH



Solutie Fie L(t,x,x) = txx3. Avem

∂ 2L

∂x2 = 6txx = 0,

deci Lagrangianul este regulat si intra in dualitate cu Hamiltonianul. Notam

p(t) = ∂L

∂x = 3tx(t)x(t)2, adica x2 =

p

3tx, de unde gasim x =

p

3tx sau

x = −

p

3tx, deci exista doi hamiltonieni si doua sisteme canonice asociate.

Tratam unul dintre cazuri, celalalt fiind asemanator. Cazul x =

p

3tx :

atunci hamiltonianul este

H = x p− L = p

p

3tx − tx

p

3tx

p

3tx =

2 p

3

p

3tx.

Sistemul canonic x = ∂H

∂p , p = −∂H

∂x , adica

x = 2

3

p

3tx +

2 p

3

1

2√

p

1√ 3tx

p = −2 p√

p

3√

3t

−1

x

1

2√

x

,

este echivalent cu

x =

p

3tx, p =

p√

p

3x√

3tx.

Aplicatia 3 Scriet i sistemul Hamilton pentru funct ionala

J (x1(·), x2(·)) =

21

(x1(t))2 + (x2(t))2 + (x2(t))2

dt.

Solutie Introducem Lagrangianul

F (x1, x2, x1, x2) = (x1)2 + (x2)2 + (x2)2.

Cercetam daca Lagrangianul este regulat. Avem

∂ 2F

∂ (x1)2 = 2,

∂ 2F

∂ (x2)2 = 2,

∂ 2F

∂ x1∂ x2 =

∂ 2F

∂ x2∂ x1 = 0.

7/23/2019 CursLH



Atunci det ∂ 2F

∂ xi∂ x j = 4

= 0, deci Hamiltonianul acestei functionale intra in

dualitate cu Lagrangianul. Notam

p1(t) = ∂F

∂ x1 = 2x1(t), p2(t) =

∂F

∂ x2 = 2x2(t)

si exprimam x1, x2 :

x1 = p1

2 , x2 =

p2

2 .

Obtinem Hamiltonianul

H = x1 p1 + x2 p2 − F = p21

2 +

p222 −

p214

+ (x2)2 + p22

4

sau

H (x1, x2, p1, p2) = p21

4 +

p224 − (x2)2.

Sistemul canonic

x1 = ∂H

∂p1, x2 =

∂H

∂p2, ˙ p1 = −∂H

∂x1, ˙ p2 = −∂H

∂x2,

se transcriex1 =

p1

2 , x2 =

p2

2 , ˙ p1 = 0, ˙ p2 = −2x2.

Aplicatia 4 Acelasi enunt pentru funct ionala

J (x1(·), x2(·)) =

t1t0

2tx1(t)− (x1(t))2 +

(x2(t))3

3

dt.

Solutie

F (t, x1, x2, x1, x2) = 2tx1 − (x1)2 + (x2)3

3 .

Calculam derivatele cu ajutorul carora stabilim daca Lagrangianul F este reg-ulat :

∂ 2F

∂ (x1)2 = −2,

∂ 2F

∂ (x2)2 = 2x2,

∂ 2F

∂ x1∂ x2 =

∂ 2F

∂ x2∂ x1 = 0.

Atunci det

∂ 2F

∂ xi∂ x j

= −4x2 = 0, deci Lagrangianul este regulat. Notam

p1(t) = ∂F

∂ x1 = −2x1(t), p2(t) =

∂F

∂ x2 = (x2(t))2

7/23/2019 CursLH



si exprimam x1, x2 : x1 = − p1

2 , iar x2 =

√ p2 sau x2 = −√ p2. Sunt doua

posibilitati pentru exprimarea lui x2, deci doi Hamiltonieni. Tratam doaruna dintre posibilitati, cealalta fiind similara. Consideram x2 =

√ p2. Atunci

hamiltonianul va fi

H = x1 p1 + x2 p2 − F = − p212

+ p2√

p2 −

2tx1 − p214

+ p2√

p2

3

si dupa calcule avem

H (t, x1, x2, p1, p2) = − p214

+ 2 p2

√ p2

3 − 2tx1.

Sistemul canonic Hamilton va fi atunci

x1 = − p1

2 , x2 =

√ p2, ˙ p1 = 2t, ˙ p2 = 0.

Pentru celalalt Hamiltonian si sistemul canonic corespunzator, se procedeazaanalog.

Aplicatia 5 Aceeasi cerint a pentru funct ionala

J (x(·)) =

t1t0

tx(t)x(t)2dt.

Solutie Avem F (t,x,x) = txx2. Derivatele sunt

∂F

∂x = 2txx,

∂ 2F

∂x2 = 2tx = 0,

deci Lagrangianul este regulat si prin urmare intra in dualitate cu Hamiltoni-anul. Notam

p(t) = ∂F

∂x = 2txx,

de unde rezulta x = p

2tx. Hamiltonianul este

H = x p − F = p2

2tx − txx2 = p

2

2tx − tx p

2

4t2x2 = p

2

4tx.


x = ∂H

∂p , p = −∂H

∂x ,

7/23/2019 CursLH



adica

x = 2 p4tx, p = − p

2

4t− 1x2

.

Deci sistemul Hamilton este

x = p

2tx, p =

p2

4tx2.

Aplicatia 6 Acelasi enunt pentru funct ionala

J (x1(·), x2(·)) =

t1t0

t2 + x1(t)(x1(t))2 + x2(t)(x2(t))2

dt.

Solutie Fie

F (t, x1, x2, x1, x2) = t2 + x1(x1)2 + x2(x2)2.

Calculam derivatele partiale:

∂F

∂ x1 = 2x1x1,

∂F

∂ x2 = 2x2x2,

∂ 2F

∂ (x1)2 = 2x1,

∂ 2F

∂ (x2)2 = 2x2,

∂ 2F

∂ x1∂ x2 =

∂ 2F

∂ x2∂ x1 = 0,

deci

det ∂ 2F

∂ xi∂ x j

= 4x1

x2

= 0,

ceea ce inseamna ca Lagrangianul este regulat. Notam

p1 = ∂F

∂ x1 = 2x1x1, p2 =

∂F

∂ x2 = 2x2x2,

de unde exprimam derivatele x1, x2 :

x1 = p1

2x1, x2 =

p2

2x2.

Hamiltonianul este

H = x1 p1 + x2 p2 − F = p1

2x1 p1 +

p2

2x2 p2 − (t2 + x1(x1)2 + x2(x2)2) =

= p212x1

+ p222x2

− t2 − x1 p214(x1)2

− x2 p214(x1)2

,

7/23/2019 CursLH



deci

H (t, x1, x2, p1, p2) = p

2

14x1 + p

2

24x2 − t2.


x1 = ∂H

∂p1, x2 =

∂H

∂p2, ˙ p1 = −∂H

∂x1, ˙ p2 = −∂H

∂x2,

adica

x1 = p1

2x1, x2 =

p2

2x2, ˙ p1 =

p214(x1)2

, ˙ p2 = p224(x2)2

.

3 Dinamica Hamiltoniana in cazul mai multor vari-

abile de evolutie (multitemporala)

3.1 Cazul functionalelor integrale multiple

Fie hiperparalelipipedul Ωt0,t1 ⊂ Rm determinat de punctele diagonal opuset0, t1 din Rm. Daca pe Rm se considera ordinea part ial˘ a produs , atunci Ωt0,t1

se identifica cu intervalul [t0, t1]. Consideram Lagrangianul L(x(t), xγ (t), t) cafunctie de clasa C 2, unde

t = (t1,...,tm) = (tα) ∈ Ωt0,t1 , x = (x1,...,xn) : Ωt0,t1 → Rn.

Problema de baza a calculului variational cu mai multe variabile de evolutie

este: gasiti o m-foaie x∗

: Ωt0,t1 → Rn care extremizeaza functionala

I ( x(·)) =

Ωt0,t1

L(x(t), xγ (t), t)dt1...dtm

printre functiile de clasa C 2 care satisfac conditii la frontiera. Acestea pot fide tipul x(t0) = x0, x(t1) = x1 sau x(t)|∂ Ωt0,t1

= dat.Teorema Dac˘ a x∗(·) este solut ie a problemei de mai sus, atunci x∗(·) este

solut ie a sistemului de ecuat ii cu derivate part iale Euler-Lagrange

∂L

∂xi − Dα

∂L

∂xiα

= 0, i = 1, n,

unde Dα este operatorul de derivare total˘ a.Acum, pentru x(·) fixat, definim multi-momentul generalizat

p = ( pαi ), pαi (t) = ∂L

∂xiα

(x(t), xγ (t), t), t ∈ Ωt0,t1 .

7/23/2019 CursLH



Presupunem ca, pentru ∀x ∈ Rn, p ∈ Rmn, t ∈ Ωt0,t1 , acest sistem defineste

functiile xiγ = x

iγ (x,p,t). Pentru aceasta, local, conform teoremei functiilor

implicite, este necesar si suficient ca det

∂ 2L

∂xiα∂x

jβ

= 0. In acest caz La-

grangianul L se numeste regulat si intra in dualitate cu Hamiltonianul

H (x,p,t) = xiα(x,p,t)

∂ L

∂xiα

(x, xγ (x,p,t))− L(x, xγ (x, p), t)

(dualitate Legendrian˘ a ) sau mai scurt

H (x,p,t) = pαi (t)xiα(x,p,t)− L(x,p,t).

In acest context se introduce tensorul energie-impuls T de componente

T αβ (x,p,t) = pαi (t)xiβ (x,p,t)− L(x,p,t)δ αβ

si tensorul Hamilton de componente

H αβ (x,p,t) = pαi (t)xiβ (x,p,t)− 1

mL(x,p,t)δ αβ

a carui urma este Hamiltonianul.Teorema Dac˘ a x(·) este solut ie a sistemului de ecuat ii cu derivate part iale

de ordinul al doilea de tip Euler-Lagrange si multi-momentul p este definit ca

mai sus, atunci perechea (x(·), p(·)) este solut ie a sistemului de ecuat ii cu derivate part iale de ordinul ˆ intˆ ai de tip Hamilton

∂xi

∂tβ (t) =

∂H

∂pβ i

(x(t), p(t), t), ∂pαi

∂tα (t) = −∂H

∂xi(x(t), p(t), t).

si Div T = DαT αβ = 0 (divergent a total˘ a nul˘ a, lege de conservare).Demonstrat ie. Prin calcul gasim

∂H

∂x j(x,p,t) = − ∂L

∂x j(x,p,t).

De asemenea

pαi (t) = ∂L∂xi

α

(x(t), xγ (t), t)

daca si numai daca∂xi

∂tα(t) = xα(x(t), p(t), t).

7/23/2019 CursLH



De aceea ecuatiile Euler-Lagrange produc

∂pαi

∂tα (t) =

∂L

∂xi(x(t), xγ (t), t) = −∂H

∂xi(x(t), p(t), t).

De asemenea∂H

∂pα j

(x,p,t) = x jα(x,p,t),

adica∂x j

∂tα(t) =

∂H

∂pα j(x(t), p(t), t).

In cazul mai multor variabile de evolut ie, Hamiltonianul H nu se conserva,

adica DαH = 0, chiar in cazul autonom. In schimb legea de conservare spuneca divergenta tensorului energie-impuls T αβ este nula, adica DαT αβ = 0.

Observatie EDP Hamilton pot fi scrise in forma

δ αβ δ i j∂p

β i

∂tα +

∂H

∂x j = 0, −δ αβ δ i j

∂x j

∂tα +

∂H

∂pβ i

= 0.

Utilizand structura polisimplectic˘ a

δ ⊗ J =

0 δ αβ δ i j

−δ α

β

δ i

j

0

δ = (δ αβ ), J =

0 δ i j

−δ i j 0

,

introdusa de C. Udriste, EDP Hamilton pot fi scrise in forma compacta

(δ ⊗ J )

∂x

∂t

∂p

∂t

= −

∂H

∂x

∂H

∂p

.

3.2 Cazul functionalelor integrale curbilinii independente dedrum

Fie Γt0,t1 o curba arbitrara de clasa C 1 pe portiuni care uneste punctele t0 si t1din Rm

+ . Introducem o noua problema de calcul variational cerand sa gasim o

7/23/2019 CursLH



m-foaie x∗(·) : Ωt0,t1 → Rn care sa extremizeze funct ionala integral˘ a curbilinie

independent˘ a de drum

J (x(·)) =

Γt0,t1

Lβ (x(t), xγ (t), t)dtβ , β = 1,...,m,

dintre toate functiile x(·) care satisfac conditiile x(t0) = x0, x(t1) = x1.

Teorema Dac˘ a m-foaia x∗(·) extremizeaz˘ a funct ¸ionala J (x(·)), atunci x∗(·) este o solut ie a EDP multi-timp

∂Lβ

∂xi −Dγ

∂Lβ

∂xiγ

= 0, β , γ = 1,...,m; i = 1,...,n.

Observatie. 1-formele Lagrange

ω = Lβ (x(t), xγ (t), t)dtβ , η = M β (x(t), xγ (t), t)dtβ

legate prin transformarea gauge

ω = η + Dαf (x, t)dtα, Lα = M α + ∂f

∂xi

∂xi

∂tα +

∂f

∂tα

produc aceleasi ecuatii Euler-Lagrange.

Folosind 1-forma Lagrangian Lβ , pentru x(·) fixat, definim multi-momentul generalizat

p = ( pαβi), pαβi(t) = ∂Lβ

∂xiα

(x(t), xγ (t), t), t ∈ Ωt0,t1 .

In cazul m > 1, corespondenta intre x, xγ , t si x,p,t nu mai poate fibijectiva. Totusi, 1-forma Hamiltonian si tensorul energie-impuls

H β = xiα pαβi − Lβ , T

γ βα = xi

β pγ αi − Lαδ

γ β

se pot introduce, cu observatia ca aceste functii depind de toate variabilele(x(t), xγ (t), p(t), t) si nu mai avem dualitate.

3.3 Aplicatii

Aplicatia 7 Fie Lagrangianul suprafet elor minimale L =

1 + z2x + z2y . G˘ asit i

Hamiltonianul si EDP Hamilton.

7/23/2019 CursLH



Solutie Introducem momentele

p = ∂L

∂zx=

zx 1 + z2x + z2y

, q = ∂L

∂zy=

zy 1 + z2x + z2y

.

Folosind relatia p

q =

zx

zy, gasim

zx = ± p 1 − p2 − q 2

, zy = ± q 1 − p2 − q 2

.

Continuam pentru cazul semnului plus. Rezulta Hamiltonianul

H = pzx + qzy−

L =− 1 − p2

−q 2

si EDP Hamilton

∂z

∂x =

p 1 − p2 − q 2

, ∂z

∂y =

q 1 − p2 − q 2

, ∂p

∂x +

∂q

∂y = 0.

Aplicatia 8 Aceeasi problem a pentru Lagrangianul energiei minime L = 1

2(z2x+

z2y).

Solutie Introducem momentele

p = ∂L

∂zx = zx, q = ∂L

∂zy = zy.

Rezulta Hamiltonianul

H = pzx + qzy − L = 1

2( p2 + q 2)

si EDP Hamilton∂z

∂x = p,

∂z

∂y = q,

∂p

∂x +

∂q

∂y = 0.

Rezulta ca z este functie armonica.

Aplicatia 9 Fie Ω = 0 ≤ x, y ≤ π si funct ionala

I (u(·)) =

Ω

(||∇u||2 + 2u sin x sin y)dxdy.

G˘ asit i Hamiltonianul si EDP Hamilton.

7/23/2019 CursLH



Solutie Pornind de la Lagrangianul

L = ||∇u||2 + 2u sin x sin y,

introducem momentele

p = ∂L

∂ux= 2ux, q =

∂L

∂uy= 2uy.

Rezulta Hamiltonianul

H = pux + quy − L = 3

4( p2 + q 2)− 2u sin x sin y

si EDP Hamilton

∂u

∂x =

3 p

2 ,

∂u

∂y =

3q

2 ,

∂p

∂x +

∂q

∂y = 2sin x sin y.

4 EDP Hamilton multi-timp anti-trace

In aceasta sectiune reluam EDP Euler-Lagrange multi-timp anti-trace

∂L

∂xiδ γ β −Dβ

∂L

∂xiγ

= 0, (At− E − L)

cu scopul de a introduce EDP Hamilton multi-timp anti-trace.

Teorema (EDP Hamilton multi-timp anti-trace) Fie x(·) o solut ie a EDP Euler-Lagrange multi-timp anti-trace (At−E −L). Definim p(·) = ( pαi (·))ca mai sus. Atunci perechea (x(·), p(·)) este o solut ie a EDP Hamilton multi-timp anti-trace

∂xi

∂tβ (t) =

∂H

∂pβ i

(x(t), p(t))

∂pαi

∂tβ (t) = −δ αβ

∂H

∂xi(x(t), p(t)).

(At−H )

Mai mult, dac˘ a Lagrangianul este autonom, atunci Hamiltonianul H (x(t), p(t))este o integral˘ a prim˘ a a sistemului (At-H).

Aici avem un sistem de nm(m + 1) ecuatii cu derivate partiale de ordinulunu cu n(1 + m) functii necunoscute xi(·), pαi (·).Demonstratie: Gasim

∂

∂xiH (x, p) = − ∂

∂xiL(x, xγ (x, p)).

7/23/2019 CursLH



Prin ipoteza pαi (t) = ∂L

∂xiα

(x(t), xγ (t)) daca si numai daca ∂xi

∂tα

(t) = xα(x(t), p(t)).

In consecinta EDP (At−E − L) implica

∂pαi∂tβ

(t) = δ αβ ∂L

∂xi(x(t), xγ (t))

= δ αβ ∂L

∂xi(x(t), xγ (x(t), p(t))) = −δ αβ

∂H

∂xi(x(t), p(t)),

adica am obtinut EDP Hamilton multi-timp anti-trace de pe locul al doilea,

∂pαi

∂tβ (t) = −δ αβ

∂H

∂xi(x(t), p(t)).

In plus, egalitatea ∂H ∂pα

i

(x, p) = xiα(x, p) produce ∂H

∂pαi(x(t), p(t)) = xi

α(x(t), p(t)).

Pe de alta parte, pαi (t) = ∂L

∂xiα

(x(t), xγ (t)) si astfel xα(t) = xα(x(t), p(t)). Iata

de ce apar EDP Hamilton multi-timp anti-trace de pe locul intai,

∂xi

∂tβ (t) =

∂H

∂pβ i

(x(t), p(t)).

Deoarece Hamiltonianul este autonom, utilizand EDP Hamilton multi-timp anti-trace, gasim

Dγ H = ∂H

∂xi

∂xi

∂tγ +

∂H

∂pλi

∂pλi

∂tγ = 0.

5 Tensori Lagrangieni si Hamiltonieni

Extindem Lagrangianul L(x(t), xγ (t), t) la un camp tensorial Lagrangian

Lαβ (x(t), xγ (t), t)

avand trei proprietati:- urma tensorului Lα

β este chiar Lagrangianul L;

- 1-formele Lagrangian Lαβ (x(t), xγ (t), t)dtβ sunt complet integrabile;- functiile Lα

β (x(t), xγ (t), t) determina EDP Euler-Lagrange anti-trace

∂Lαβ

∂xi δ γ λ −Dλ

∂Lαβ

∂xiγ

= 0. (At− E − L)1

7/23/2019 CursLH



Acceptam ca relatiile definind multi-momentul p = ( pαi ) sunt extinse la

pαi (t)δ γ β =

∂

∂xiγ

Lαβ (x(t), xγ (t)).

Presupunem ca aceste nm3 ecuatii definesc m functii xγ = xγ (x, p). In acestcontext, definim cˆ ampul tensorial Hamiltonian H αβ prin

H αβ (x, p) = pαi xiβ (x, p)− Lα

β (x(t), xγ (t)),

unde variabilele x si p sunt numite variabile canonice . Daca Lαβ = Lδ αβ , atunci

H αβ este chiar tensorul energie-moment clasic .Teorema (EDP Hamilton multi-timp) Dac˘ a x(·) este solut ie a EDP

Euler-Lagrange multi-timp si definim p(·) = ( pαi (·)) ca mai sus, atunci perechea

(x(·), p(·)) este solut ie a EDP Hamilton multi-timp

∂xi

∂tβ (t)δ αγ =

∂

∂pγ i

H αβ (x(t), p(t), t)

∂pαi

∂tβ (t) = − ∂

∂xiH αβ (x(t), p(t), t).

ˆ In plus, dac˘ a tensorul Lagrange este autonom, atunci divergent a transpusului tensorului Hamilton H αβ este zero.

Aici avem un sistem de nm2(m + 1) EDP de primul ordin cu n(m + 1)functii necunoscute xi(

·), pαi (

·).

Demonstratie. Gasim

∂

∂xiH αβ (x,p,t) = − ∂

∂xiLαβ (x, xγ (x,p,t)).

Dar pαi (t)δ γ β =

∂

∂xiγ

Lαβ (x(t), xγ (t), t) daca si numai daca

∂xi

∂tα(t) = xα(x(t), p(t), t).

In consecinta EDP (At−E − L)1 implica

∂pαi∂tβ

(t) =∂Lα

β

∂xi (x(t), xγ (t), t)

=

∂Lαβ

∂xi (x(t), xγ (x(t), p(t), t)) = −∂H αβ

∂xi (x(t), p(t), t),

adica obtinem EDP Hamilton multi-timp de pe locul al doilea,

∂pαi

∂tβ (t) = − ∂

∂xiH αβ (x(t), p(t), t).

7/23/2019 CursLH



In plus

∂

∂pγ i

H αβ (x,p,t) = δ αγ xiβ (x,p,t) + pαi

∂xiβ

∂pγ i

− ∂Lαβ

∂xiλ

∂xiλ

∂pγ i

= δ αγ xiβ (x,p,t).

Acestea implica ∂

∂pγ i

H αβ (x(t), p(t), t) = δ αγ xiβ (x(t), p(t), t). Pe de alta parte,

pαi (t)δ γ β =

∂

∂xiγ

Lαβ (x(t), xγ (t), t),

si deci xγ (t) = xγ (x(t), p(t), t). Iata de ce apar si ecuat iile Hamilton de peprimul loc,

∂xi

∂tβ (t)δ αγ = ∂

∂pγ i

H αβ (x(t), p(t), t).

Pentru a termina, calculam divergenta transpusului tensorului Hamilton,care este autonom. Intai pornim cu derivata totala

Dγ H αβ =∂H αβ

∂xi

∂xi

∂tγ +

∂H αβ

∂pλi

∂pλi

∂tγ ,

si multiplicam cu δ σµ . Dupa aceea, in membrul drept utilizam ecuatiile Hamil-

ton generalizate. Apoi calculam urma contractand cu δ µαδ γβ . Gasim

β

Dβ H αβ = 0.

Bibliografie

1. C. Fox, An Introduction to the Calculus of Variations , Dover Publications,Inc., New York, 1963.

2. M. L. Krasnov, G.I. Makarenko, A. I. Kiselev, Problems and exercises in the calculus of variations , Mir Publisheres, Moscow, 1975.

3. E. Langamann, Introduction to variational calculus , INTERNET, 2008.

4. V. Obadeanu, Sisteme Dinamice Diferentiale , Universitatea de Vest din

Timisoara, 2003.5. I. B. Russak, Calculus of variations , MA4311, Lectures Notes, De-

partment of Mathematics, Naval Postgraduate School, Monterey, California,93943, July, 2002.

6. C. Udriste, Geometric Dynamics , Kluwer Academic Publishers, 2000.

7/23/2019 CursLH



7. C. Udriste, A. M. Teleman, Hamiltonian approaches of field theory ,

IJMMS, 57 (2004), 3045-3056.8. C. Udriste, I. Tevy, Multi-time Euler-Lagrange-Hamilton theory , WSEAS

Transactions on Mathematics, 6, 6 (2007), 701-709.9. C. Udriste, I. Tevy, Multi-time Euler-Lagrange dynamics , Proceedings

of the 7th WSEAS International Conference on Systems Theory and ScientificComputation (ISTASC’07), Vouliagmeni Beach, Athens, Greece, August 24-26(2007), 66-71.

10. E. T. Whittaker, A Treatise on The Analytical Dynamics of Particles & Rigid Bodies , Cambridge University Press, 1989.

CursLH

Documents

Transcript of CursLH