Curs 8. Integrarea numeric

Calculul aproximativ al integralelor

cu aplicaii n ingineria electric

METODE NUMERICE

n domeniul ingineriei electrice exist situaii practice cnd este necesar evaluarea numeric a valorilor derivatelor i/sau integralelor definite ale unor funcii la care nu se cunoate expresia analitic a funciei care trebuie derivat sau integrat, ci doar valorile ei n anumite puncte (determinate experimental sau prin calcule).

Exemple: determinarea distribuiei de sarcin electric, determinarea potenialelor curbelor de sarcin, determinarea consumului de energie pe baza curbelor de sarcin, determinarea valorilor maxime ale puterilor consumate de un receptor, calculul intensitii cmpurilor electromagnetice, etc.

Exemplu practic: prelucrarea curbelor de sarcin prin integrare numeric

012345

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24t

P

Curba de sarcin activ zilnic a unui consumator

1. Enunul problemei

Se consider un receptor de energie electric pentru care se cunoate curba de sarcin zilnic referitoare la puterea activ consumat.

Se cere s se determine energia activ zilnic consumat de receptor, pe baza prelucrrii curbei de sarcin prin integrare numeric

2. Modelul matematic i metode de soluionare

Curba de sarcin activ zilnic a unui receptor de energie electric, exprim variaia n timp a puterii active consumate pe durata unei zile

Determinarea curbei de sarcin s-a realizat prin nregistrarea variaiei n timp a puterii active consumate P cu instrumente nregistratoare sau prin msurarea puterii la anumite momente bine determinate, de regul echidistante (de exemplu, din sfert n sfert de or).

Se cere ca pe baza curbei de sarcin s se determine energia activ consumat de receptor pe durata unei zile. Energia activ se calculeaz cu relaia

W P t dtzi = ( )0

24

unde t este timpul, iar funcia P(t) , reprezentnd variaia n timp a puterii active consumate, este definit, de regul, prin puncte.

n consecin, calculul integralei se poate face numai cu metode numerice, considernd c lui x i corespunde t , funciei y = f (x) i corespunde P(t) , iar ora 0 , respectiv 24 , sunt limitele intervalului de integrare [ a , b ]

Dorim determinarea unei funcii care s aproximeze integrala lui f pe intervalul [a,b] sau pe un subinterval din [a,b] ( f(x) derivabil pe[a,b] )

R]b,a[:f Aceast integral nu este direct calculabil sau funcia este cunoscut doar prin valorile sale n puncte experimental prinmsurtori practice, expresia analitic a funciei nefiind cunoscut aceast situaie fiind caracteristic i aplicaiilor electrotehnice.

( )dxxfba

n continuare se vor prezenta unele metode numericede calcul pentru integralele definite, aceste metode se numesc cuadraturi care nltur neajunsurile datoratefunciilor care nu admit primitive i realizeazdeterminarea aproximativ a ariei domeniului de sub curba y=f(x)!!!

Cuadratura este o procedur numeric prin care valoarea unei integrale defintite

( )dxxfba

este aproximat folosind informaii despre integrand numai n anumite puncte (se cunosc valorile funciei n puncte pe baza unor msurtori experimentale):

)x(fy ; n,...,1,0i x iii ==n majoritatea aplicaiilor cele n+1 puncte distincte sunt echidistante n [a,b], pasul de discretizare fiind

bx ,ax 1n,...,1,0i ,xxh n0i1i ==== +

3. Integrarea numeric a funciilor definite numeric (Formula de cuadratur Newton-Ctes)

Formule Newton-Cotes

Formulele de integrare care utilizeaz valorile funciei la capetele intervalului de integrare, y1 = f(a), yN = f(b) sunt denumite formule nchise.

Foarte uzuale sunt metodele care utilizeaz interpolarea polinomial pe o diviziune echidistant a intervalului de integrare {a = x0, x1, , xN = b} cu pasul xi+1 xi = h =(b a)/N, formulele obinute fiind denumite formule de cuadratura de tip Newton-Cotes.

( ) ( ) ( )xRxpxf nn +=

Aceast metod utilizeaz aproximarea funciei f(x) prin polinoame de interpolare Lagrange, punctele date n intervalul [a,b] fiind echidistante.

Avnd n vedere c integrala definit nu poate fi direct calculabil se va aproxima funcia cu un polinom de interpolare astfel nct:

deci integrala va fi:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +== ba

n

b

a

b

an

b

an

b

a

dxxpdxxfdxxRdxxpdxxfI

Polinomul de interpolare poate fi asimilat cu polinomul de interpolare Lagrange:

( ) ( ) ( ) ( )=

==n

0iiinn xfxlxLxp

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) =+

+=

=n

ij0j ji

j

ni1ii1ii0i

n1i1i0i xx

xxxx...xxxx...xx

xx...xxxx...xxxl

)xx)...(xx)(xx()!1n()(f)x(R n10

)1n(

n +=

+

unde polinomul baz Lagrange :

- restul Lagrange

Deci formula de cuadratur (integrare numeric) Newton-Ctes este:

( ) [ ]b,ax

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

++

=+==

=

+

=

b

a

n

i

n

i

b

ai

n

ii

b

a n

b

a n

b

adx

nxfxxdxxlxfdxxRdxxLdxxfI

0

1

0 !1)()()(

Observaie: Metodele concrete de tip Newton-Ctes se difereniaz ntre ele prin valoarea adoptat pentru ordinul metodei n i prin modul de considerare a limitelor intervalului de integrare.

n continuare se vor considera cazurile n care formulele se deduc utiliznd funciile Lagrange de interpolare de ordinul I (formula trapezului) i de ordinul II (formula lui Simpson) cu nodurile echidistante.

Formula trapezelor este surprinztor de eficient chiar i pentru intervale infinite. Ambele reguli se obin aplicnd cele mai simple tipuri de interpolare subintervalelor diviziunii:

nabh,hkax,bxx...xxxa kn1n210

=+==

( ) ( ) )(;,, 1010 abhxfxfbxax ===( )dxxfb

a( ) ( ) ( )xRxpxf 11 +=

( ) ( ) ( ) += ba

1

b

a1

b

a

dxxRdxxpdxxf

3.1. Formula de integrare a trapezelor

Este o aplicaie direct a interpolrii liniare Lagrange n dou puncte. Se cunoate funcia n dou noduri

i se dorete calculul aproximativ al integralei definite

utiliznd polinomul liniar de interpolare Lagrange:

)bx)(ax(!2

)(''f)x(R 1 =

unde restul este n cazul polinomului de interpolare liniar:

bxax 10 =

( )== ''f12h)("f)ab(

121Eroare

33

Trapez

( ) 2Mx''f [ ]b,ax2

3

Trapez M6h

21Eroare ( ) ( )b,ax =

Dac exist M2>0 astfel nct atunci are loc relaia:

Deci formula trapezului este: ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )+== ''f12hbfaf2hdxxffI3b

aTrapez

Se numete formula trapezului pentru catunci cnd funcia f este o funcie care ianumai valori pozitive atunci integrala esteaproximat cu aria trapezului ca i nfigur.

0n

abxxh,hiax,bxx...xxxa i1iin1n210 >==+==

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )====

=

=

= ''fn12

ab''fn1

n12ab''f

n12ab''f

12hEroare 2

3

''f

1n

0ii2

31n

0ii3

31n

0ii

3

TrapezGen

43421

( )b,a( ) ( )=

=''f''f

n1 1n

0ii

nsumnd dup toate subintervalele i f este de clas C2 rezult c exist un punct a..

se obine eroarea pentru metoda generalizat:

( )23

3

22

3

TrapezGen Mnh

121M

n12abEroare =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )''12

22 2

31

1f

nabxfbfaf

nabdxxffI

n

ii

b

aTrapezGen

++== =

Deci formula trapezelor generalizat este:

( ) 2Mx''f [ ]b,axDac exist M2>0 astfel nct atunci are loc relaia:

Formula poate fi mbuntit innd cont de faptul c eroarea este proporional cu 1/n2, adic dac dublm numrul de noduri n care este dat funcia f, atunci eroarea scade de patru ori, dar timpul de calcul va crete. Geometric nseamn c f(x) s-a aproximat cu n segmente de dreapta, adic integrala rezult prin nsumarea ariilor a n trapeze.

3.2. Formula de integrare a lui SIMPSON

O mbuntire a integrarii numerice fa de regula trapezelor: dac se utilizeaza polinoame de interpolare de grad mai mare. Acesta ar fi pasul logic urmtor pentru a genera o regul de cuadratur pentru integrare pornind de la interpolarea patratic adic utilizarea polinoamelor algebrice de gradul doi pentru aproximarea unei funcii ntre trei noduri consecutive. n acest fel se poate pune n eviden una dintre cele mai uzuale formule de integrare numeric, formula lui Simpson. n cazul n care numrul nodurilor prin care este definit funcia de sub integral este par atunci pe primul sau pe ultimul interval se aplic formula trapezului.

Se cunoate funcia n trei noduri:

( ) ( ) ( )210210 xf,xf,xfbx,2bacx,ax =+===

2abh,hax1

=+=iar polinomul de interpolare Lagrange de ordin doi este cel cu care se aproximeaz funcia de sub integrala definit.

Observaie: Interpretarea geometric a formulei lui Simpson, prezentat n figur, indic aproximarea ariei de sub curba y=f(x) cu aria de sub parabola (definit de polinomul de interpolare Lagrange) care aproximeaz funcia f(x).

( ) ( ) ( )xRxpxf 22 +=( ) ( ) ( ) += b

a2

b

a2

b

a

dxxRdxxpdxxf

( ) ( )bx2

baxax!3

)('''f)x(R 2

+=

Se presupune interpolarea funciei de integrat f(x) cu un polinom ptratic p2(x) n nodurile x0, x1, x2.

unde restul este n cazul polinomului de interpolare ptratic este:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )321321321 bf

22cf

11

af

00

2

0iii22 xfxlxfxlxfxlxfxl)x(Lxp ++===

=

Se definete regula lui Simpson considernd polinomul de interpolare Lagrange de ordin doi:

( )( )

( )( )

( )434214342143421

Simpson2SimsonSimpson Eroare

b

a2

LI

b

a2

fI

b

a

dxxRdxxLdxxf +=

++== ba

210

b

a 22SimpsonSimpsondx)]b(f)x(l)c(f)x(l)a(f)x(l[dx)x(L)L(I)f(I

;)ba)(ca()bx)(cx()x(l0

= ;)bc)(ac()bx)(ax()x(l1

=)cb)(ab()cx)(ax()x(l2

=

( )

unde:

( ))b(f)c(f4)a(f3hfISimpson ++

( )( )( )( ) ( )( ) { ( )( )( )

===

===b

a5

mediedeteorema

b

a

b

a

b

a22

b

aSimpson

)('''f)ab(2880

1dxbxcxax!3

)('"fdxx'''fbxcxax!3

1

dxxRdx)x(pdx)x(fEroare

( )== '''f2880h)('"f)ab(

28801Eroare

55

Simpson

( ) 3Mx'''f [ ]b,axDac exist M3>0 astfel nct atunci are loc relaia:( )

3

5

3

5

Simpson M2880hM

2880abEroare = ( ) ( )b,ax =

( ) ( ) ( ) ( ) ++== ba

5

Simpson '''f2880h)b(f)c(f4)a(f

3hdxxffI

Deci formula lui Simpson se va scrie:

Cu ct lungimea intervalului (a,b) este mai mic cu att resturile sunt mai mici.

0n2abh >=

( ) [ ] =

++ ++=1n

0i2i21i2i2

ib

aSimpsonGen )x(f)x(f4)x(f3

hdxxf)f(I

Formula lui Simpson generalizat pe perechi de subintervale

Date fiind calitile sale i simplitatea aplicrii practice, formula generalizat se utilizeaz foarte des, Mathcadul utiliznd formula lui Simpson aplicat repetat pe un numr tot mai mare de subintervale pn la atingerea preciziei dorite.Pentru creterea preciziei calculului, intervalul [a,b] poate fi divizat n 2n subintervale de lungimi egale 2h, cu pasul h pe care se aplic formula lui Simpson pe fiecare interval [x2i,x2i+2].

;i,hhi =Pentru

;)x(f)x(f2)x(f4)x(f3h

)x(f...)x(f4)x(f2...)x(f4)x(f2)x(f4)x(f

3h)f(I

1N

1kN2k2

N

1k1k20

n1k2k2

3210SimpsonGen

+++=

++++++++

==

+

;2nN =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]b,a,f180

habf90

hnEroarea 44

45

SimpsonGen ==

( )( ) 44 Mxf [ ]b,ax

( )4

4

SimpsonGen M180habEroarea

Analog nsumnd se obine relaia erorii n formula lui Simpson generalizat:

Dac presupunem c exist M4>0 astfel nct

( )544SimpsonGen abn2880MEroarea

2RD ,RD:f

= dxdy)y,x(fI

= ba

)x(g

)x(g

2

1

dy)y,x(fdxdxdy)y,x(f

= )x(g )x(gx 21 dy)y,x(fI

3.3. Formule de cubatur numeric

Fie funcia z = f(x,y),

se face transformarea

- se poate calcula prin una din metodele prezentate anterior (trapezelor, Simpson, etc).

definit sub form analitic sau numeric pe un domeniu , figura 5. Pentru calculul integralei duble

Deci:

= ba x

dxIdxdy)y,x(f - se poate calcula cu una din formulele de cuadratur.

Evaluarea unei integrale duble (triple) se face deci prin repetarea unei formule de cuadratur (utilizate n calculul de arii, volume, densiti de sarcin superficiale, volumice, repartiia densitii de curent)!!!

Fig. 5 Integrarea unei suprafee

APLICAIA 1

Calculul aproximativ al integralelor pentru functii date analitic (formula trapezelor)

\\ functia analitica a carei integrala trebuie calculata (aproximata numeric)f z( ) e

z2 sin z( ):=

N 102:= i 0 N..:= \\ numarul de puncte in care se calculeaza valoarea functiei

a 1:= b 7:= xi a ib a

N+:= \\ relatia nodurilor de calcul

Itrapezb a2 N f a( ) f b( )+ 2

1

N 1

j

f xj( )=

+

:= \\ formula de aproximare a integralei

Itrapez 0.129864381011505= \\ rezultatul numeric cu 15 cifre dupa virgula

Evaluarea erorii introduse de procedeul de calcul: hb a

N:= \\ pasul dintre noduri

Erh

243 f xN( ) 4 f xN( ) f xN 2( )+ 3 f x0( )+ 4 f x1( ) f x2( )+( ):=

Er 1.275 10 4=

Idefa

bzf z( )

d:= Idef 0.129738201252747= \\ calculul integralei cu operatorul definit in Mathcad\\ calculul integralei cu metoda trapezuluiItrapez 0.129864381011505=

Eroarea absoluta cu referire la rezultatul obtinut cu operatorul integrala definit in Mathc

Er_ref Idef Itrapez:= Er_ref 1.262 10 4=

APLICAIA 2

Calculul aproximativ al integralelor pentru functii date numeric (formula trapezelor)

N 103:= i 0 N..:= xiiN

:= yii 1+N 1 sin i( )+:=

\\ numarul de puncte in care se cunoaste functia numerica

x0 0= a x0:= xN 1= b xN:= \\ capetele intervalului de definire

Itrapezb a2 N y0 yN+ 2

1

N 1

j

yj=

+

:= \\ formula trapezelor pentru calculul aproximativ al

integralei

Itrapez 0.501902031365308= \\ rezultatul numeric al aproximarii

Evaluarea erorii introduse de procedeul de calcul:

Pasul dintre noduri este: hb a

N:= h 1 10 3=

Erh

243 y N 4 y N 1 y N 2+ 3 y 0+ 4 y 1 y 2+( ):=

Er 3.023 10 5= \\ abaterea fata de valoarea reala

Observatie: Marimea erorii de calcul prin aproximarea integralei cu formula trapezelor, depinde in mare masura de continutul functiei supusa analizei; Cu cresterea numarului de valori cunoscute ale functiei, precizia de calcul se imbunatateste semnificativ.

APLICAIA 3

Calculul aproximativ al integralelor pentru functii date analitice (formula lui Simpson)

f z( ) ez sin z( ):= \\ functia analitica a carei integrala trebuie calculata (aproximata numeric)

N 104:= i 0 2 N..:= \\ numarul de puncte in care se calculeaza valoarea functiei

a 1:= b 3:= xi a ib a2 N+:= \\ relatia nodurilor de calcul

j 1 3, 2 N 1..:= k 2 4, 2 N 2..:= \\ definirea selectiva a variabilelor de interatie

ISimpsonb a6 N f a( ) f b( )+ 2

k

f xk( )+ 4j

f xj( )+ := \\ formula lui Simpson de aproximarintegraleiISimpson 10.9501703146855= \\ rezultatul numeric

Calculul integralei in mod direct cu operatorul definit in Mathcad:

Idefa

bzf z( )

d:= Idef 10.9501703146855=

ISimpson 10.9501703146855=

Er_ref Idef ISimpson:= Er_ref 1.7763568 10 14= \\ eroarea absoluta

Observatie: cantitativ, eroarea este puternic influentata de numarul de subintervale considerate.

Pentru un numar N=50 de subintervale de calcul eroarea este de ordinul:

Eroare 8.1328187965002 10 9

Observatie: Metoda lui Simpson se poate implementa intr-un program de calcul in Mathcad:

ISimpson_algoritm f a, b, N,( ) hb a

N

S f a( ) f b( )+

S S 4 f a i h+ h2

++

i 0 N 1..for

S S 2 f a i h+( )+i 1 N 1..for

h6

S

:=

ISimpson_algoritm f a, b, N,( ) 10.9501703146856=

Eroarea dintre rezultatul obtinut predefinit si cel obtinut prin algoritm

Er1 Idef ISimpson_algoritm f a, b, N,( ):= Er1 5.507 10 14=Eroarea dintre rezultatul obtinut din metoda si cel obtinut prin algoritm

Er2 ISimpson ISimpson_algoritm f a, b, N,( ):= Er2 3.73 10 14=

APLICAIA 4

Propunem o functie si dorim determinarea ariei suprafetei numai pe discul caracterizat de inecuatia x2 y2+ r2 unde r este constant .

f x y,( ) x2 2 y2 2 x+ 1+:= i 0 40..:= j 0 40..:= Mi j, fi 20

10j 20

10,

:=Graficul de suprafata

M

Aria: A

r

x

r2 x2

r

r2 x2

y1xf x y,( )d

d

2

+y

f x y,( )dd

2

+

d

d:= A 9.482=

M0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

01

2

3

45

6

7

89

10

11

12

1314

15

16

17

1819

20

21

2223

24

-7 -6.22 -5.48 -4.78 -4.12 -3.5 -2.92 -2.38 -1.88 -1.42 -1 -0.62 -0.28 0.02 0.28 0.5-7.19 -6.41 -5.67 -4.97 -4.31 -3.69 -3.11 -2.57 -2.07 -1.61 -1.19 -0.81 -0.47 -0.17 0.09 0.31

-7.36 -6.58 -5.84 -5.14 -4.48 -3.86 -3.28 -2.74 -2.24 -1.78 -1.36 -0.98 -0.64 -0.34 -0.08 0.14

-7.51 -6.73 -5.99 -5.29 -4.63 -4.01 -3.43 -2.89 -2.39 -1.93 -1.51 -1.13 -0.79 -0.49 -0.23 -0.01

-7.64 -6.86 -6.12 -5.42 -4.76 -4.14 -3.56 -3.02 -2.52 -2.06 -1.64 -1.26 -0.92 -0.62 -0.36 -0.14-7.75 -6.97 -6.23 -5.53 -4.87 -4.25 -3.67 -3.13 -2.63 -2.17 -1.75 -1.37 -1.03 -0.73 -0.47 -0.25

-7.84 -7.06 -6.32 -5.62 -4.96 -4.34 -3.76 -3.22 -2.72 -2.26 -1.84 -1.46 -1.12 -0.82 -0.56 -0.34

-7.91 -7.13 -6.39 -5.69 -5.03 -4.41 -3.83 -3.29 -2.79 -2.33 -1.91 -1.53 -1.19 -0.89 -0.63 -0.41

-7.96 -7.18 -6.44 -5.74 -5.08 -4.46 -3.88 -3.34 -2.84 -2.38 -1.96 -1.58 -1.24 -0.94 -0.68 -0.46-7.99 -7.21 -6.47 -5.77 -5.11 -4.49 -3.91 -3.37 -2.87 -2.41 -1.99 -1.61 -1.27 -0.97 -0.71 -0.49

-8 -7.22 -6.48 -5.78 -5.12 -4.5 -3.92 -3.38 -2.88 -2.42 -2 -1.62 -1.28 -0.98 -0.72 -0.5

-7.99 -7.21 -6.47 -5.77 -5.11 -4.49 -3.91 -3.37 -2.87 -2.41 -1.99 -1.61 -1.27 -0.97 -0.71 -0.49

-7.96 -7.18 -6.44 -5.74 -5.08 -4.46 -3.88 -3.34 -2.84 -2.38 -1.96 -1.58 -1.24 -0.94 -0.68 -0.46

-7.91 -7.13 -6.39 -5.69 -5.03 -4.41 -3.83 -3.29 -2.79 -2.33 -1.91 -1.53 -1.19 -0.89 -0.63 -0.41-7.84 -7.06 -6.32 -5.62 -4.96 -4.34 -3.76 -3.22 -2.72 -2.26 -1.84 -1.46 -1.12 -0.82 -0.56 -0.34

-7.75 -6.97 -6.23 -5.53 -4.87 -4.25 -3.67 -3.13 -2.63 -2.17 -1.75 -1.37 -1.03 -0.73 -0.47 -0.25

-7.64 -6.86 -6.12 -5.42 -4.76 -4.14 -3.56 -3.02 -2.52 -2.06 -1.64 -1.26 -0.92 -0.62 -0.36 -0.14

-7.51 -6.73 -5.99 -5.29 -4.63 -4.01 -3.43 -2.89 -2.39 -1.93 -1.51 -1.13 -0.79 -0.49 -0.23 -0.01

-7.36 -6.58 -5.84 -5.14 -4.48 -3.86 -3.28 -2.74 -2.24 -1.78 -1.36 -0.98 -0.64 -0.34 -0.08 0.14-7.19 -6.41 -5.67 -4.97 -4.31 -3.69 -3.11 -2.57 -2.07 -1.61 -1.19 -0.81 -0.47 -0.17 0.09 0.31

-7 -6.22 -5.48 -4.78 -4.12 -3.5 -2.92 -2.38 -1.88 -1.42 -1 -0.62 -0.28 0.02 0.28 0.5

-6.79 -6.01 -5.27 -4.57 -3.91 -3.29 -2.71 -2.17 -1.67 -1.21 -0.79 -0.41 -0.07 0.23 0.49 0.71

-6.56 -5.78 -5.04 -4.34 -3.68 -3.06 -2.48 -1.94 -1.44 -0.98 -0.56 -0.18 0.16 0.46 0.72 0.94-6.31 -5.53 -4.79 -4.09 -3.43 -2.81 -2.23 -1.69 -1.19 -0.73 -0.31 0.07 0.41 0.71 0.97 1.19

-6.04 -5.26 -4.52 -3.82 -3.16 -2.54 -1.96 -1.42 -0.92 -0.46 -0.04 0.34 0.68 0.98 1.24 1.46

=

APLICAIA 5

Fie o curba (cale-drum) in planul x-y si dorim calcularea integralei pe aceasta curba.

x t( ) 3 sin t( ):= y t( ) 4 cos t( ):= tinitial 0:= tfinal 2 :=

Consideram o functie de variabila complexa z care trebuie integrata: f z( ) 1

z2 z+ 1+:=

Calea in planul complex z: z t( ) x t( ) i y t( )+:=

4 2 0 2 45

0

5

y t( )

x t( )

n 0 2..:= m 3 3..:=

Zm 3+ n,m4

in4+:=

t tinitial tinitial 0.01+, tfinal..:=

f z( ) if z 0> 1z, 0,

:= Z

0.750.50.250

0.25

0.5

0.75

0.75 0.25i+0.5 0.25i+0.25 0.25i+

0.25i

0.25 0.25i+0.5 0.25i+0.75 0.25i+

0.75 0.5i+0.5 0.5i+0.25 0.5i+

0.5i

0.25 0.5i+0.5 0.5i+0.75 0.5i+

=

f Z( )

tinitial

tfinaltf z t( )( )

tz t( )d

d

d 6.283i=Integrala curbilinie:

APLICAIA 6

Se considera un bloc format din mai multe straturi de materiale dielectrice imperfecte, de grosimi foarte mici; la fiecare strat fiind cunoscuta conductivitatea electrica. Se dau aceste valori ale conductivitatii electrice pentru fiecare strat. De asemenea, se figureaza blocul, cu mentiunea ca dimensiunea perpendiculara pe plan este . Se cere determinarea rezistentei electrice intre fetele arcuite sub unghiul dat, BA, respectiv CD, presupuse metalizate.

45 deg:= 0.65 m:=r1 2.5cm:=r2 8cm:=

N 500:= (numar de straturi)

i 1 N..:=

Afisarea valorilor conductivitatii pentru fiecare strat:

T 0 1 2 3 4 5 6 70 0 0.25 0.2 0.15 0.118 0.096 0.081 0.07

10 4 m=

A. Intre cele doua fete curbate ale blocului considerat, din constructia acestuia, pot fi echivalate un numar de N rezistente electrice cu o rezistenta totala dependenta de sectiunea variabila si de conductivitatile celor N straturi de dielectrici. In cazul in care nu se tine cont de capacitatile care apar in bloc intre straturile de material dielectric imperfect, valoarea rezistentei totale poate fi obtinuta din formula integrala a legii lui Ohm. B. Pentru legea lui Ohm, forma integrala ca model matematic pentru rezolvarea numerica se exprima:

i --> conductivitatea electrica a fiecarui stratR

r1

r2r

1i Si

dSi ri sin ( ) m:= --> aproximarea fiecarei suprafete de stratdr --> grosimea considerata a fiecarui strat

C. In consecinta, trebuie efectuata integrala scrisa mai sus, printr-o aproximare numerica sub forma de sumare, cu specificatia ca numarul de elemente din suma reflecta numarul de straturi de dielectrici imperfecti situati intre fetele arcuite ale blocului. Sumarea numerica se opereaza cu formula trapezelor, iar expresia de sub integrala se noteaza cu o functie numerica:

yi1 mi Si

:= Itrapezr2 r1

2 N m y1 yN+ 22

N 1

j

y j=

+

:= (formula trapezelor)

Itrapez 2.394k= R Itrapez:=R 2.394k= (rezistenta electrica totala)

D. Fiindca nu se precizeaza grosimea straturilor de material din bloc, nu este posibila calcularea rezistentei fiecarui strat si apoi inserierea lor. De aceea, posibilitatea de integrare numerica se aplica in Mathcad doar cu formule rezultat al metodelor numerice de aproximare. Nu exista un operator predefinit in Mathcad, de integrare a functiilor date numeric. E. Cadrul problemei este unul demonstrativ, eroarea care intervine in calcul are o pondere mica in importanta problemei, fapt pentru care nu s-a procedat la o evaluare, desi se cunoaste ca valoarea ei depinde direct de maximul derivatei functiei numerice de sub integrala.

APLICAIA 7

Sa se calculeze fluxul campului B(x,y) [T] prin suprafata continuta in planul xOy intre coordonate specificate.

x1 0:= x2 3.5:= y1 1:= y2 5.8:= [m]

B x y,( ) 3 sin 1x2 1+

e

3x2 y2+ 1

x4 y3+ 1+:=

B

B x y,( ) k --> orientarea inductiei campului magnetic

A. Definirea fluxului magnetic printr-o suprafata deschisa serveste drept punct de pornire pentru solutionarea problemei. Integrala dubla definita a produsului scalar dintre vectorul inductie magnetica si vectorul elementului de arie, corespunzator suprafetei parcurse de densitatea de flux magnetic, reprezinta valoarea numerica a fluxului total prin acea suprafata. B. Relatia de definire a fluxului magnetic, enuntata anterior:

sB d ds

dxdy k --> elementul de arie daca se considera suprafata plan

discretizata in domenii de marime foarte mica. S

--> produsul scalar al vectorilor de sub integrala devine:

B

ds B x y,( ) k dx dy k B ds B x y,( ) dx dy k k 1

C. Urmeaza a fi calculata prin aproximare integrala dubla a functiei sub care se da inductia magnetica, in care se s-a explicat produsul scalar. Metoda numerica aleasa pentru aceasta aplicatie se constituie ca o rea formulei de cuadratura a lui Simpson. Cuadratura presupune evaluarea unei arii prin impartirea domeniuintr-un numar de noduri. In sensul celor mentionate mai sus, se defineste functia inductiei magnetice pe doy specificate, se alege un numar de noduri in care sa se imparta intervalele x si y si se calculeaza formulelcuadratura:

f x y,( ) if x1 x x2( ) y1 y y2( ) B x y,( ), 0, :=--> functie limitata la domeniul specificat, obtinuta prin impunerea domeniului de definitie, in mod logic cu operatorii de inegalitate si cel boolean SI, impreuna cu instructiunea conditionala IF.

n 102:= --> numarul de puncte din intervalul de pe axa Ox

m 102:= --> numarul de puncte din intervalul de pe axa Oy

i 0 2 n..:= j 0 2 m..:= --> variabile de iteratie

hxx2 x1

2 n:= hyy2 y1

2 m:=--> latimea subintervalelor in care se imparte domeniul;

hx 0.018= hy 0.024=

xi x1 i hx+:= y j y1 j hy+:= --> punctele de submarginire din domeniul de definitie.k 2 4, 2 m 2..:= l 1 3, 2 m 1..:=

Ixi

h y3

f xi y 0,( ) f xi y 2 m,( )+ 2k

f xi y k,( ) + 4 l f xi y l,( )+ :=--> integrala dupa variabila y calculata cu formula lui Simpson (formula de cuadratura).

k 2 4, 2 n 2..:= l 1 3, 2 n 1..:=

--> integrala evaluata dupa variabila x tot cu formlui Simpson.Id

hx3

Ix0Ix2 n+ 2

k

Ixk+ 4l

Ixl+ :=Id 0.415423769135332= --> rezultatul numeric al integralei, rezultat care

de fapt reprezinta fluxul magnetic total prin suprafata delimitata.

Id:= 0.415423769135332= [Wb] D. Alta varianta de calcul al integralei duble este data de apelarea operatorului existent in Mathcad, integrala definita (apel: Shift+7), care, scris in limbajul de programare C++ dupa un algoritm ce are la baza o metoda de aproximare a integralei asemanatoare, obtine rezultatul numeric in spatiu Mathcad redus:

Idefx1

x2x

y1

y2yf x y,( ) d

d:= Idef 0.4154237641045=

--> se executa si o exprimare a erorii absolute, fapt care arata de la a cate-a zecimala rezultatele paragrafelor C. si D. difera, in situatia in care rezultat de referinta se considera a fi cel dat de operatorul din Mathcad. Pentru micsorarea erorii se mareste numarul de intervale in care se impart domeniile x si y.

Er Idef Id:= Er 5.031 10 9= (rezultatele difera de la a noua zecimala).

E. Precum in majoritatea problemelor din lucrarea supusa atentiei, si in acest caz studiat, posibilitatea de integrare are o varianta simpla prin apelul operatorului predefinit. Cu toate acestea, se expune o metoda numerica, ce poate inlocui varianta simpla, o metoda prin a carei detaliere se face dovada intelegerii programului de rulare din spatele operatorului predefinit. Analitic si apoi numeric, rezolvarea unor astfel de probleme de calcul, cand functia de definire a inductiei magnetice apare complicata, nu intervine ca o varianta optima.

APLICAIA 1APLICAIA 2APLICAIA 3APLICAIA 4APLICAIA 5APLICAIA 6APLICAIA 7