CURS_10_ECNI.pdf

7/23/2019 CURS_10_ECNI.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/curs10ecnipdf 1/9

CURS 10

1

CURS 10 ECNI

FUNCII MATEMATICE UZUALE - continuare

1. DIVIZORI !I MULTIPLI COMUNI

Pentru calculul divizorilor i al multiplilor comuni se folosesc func#iile:

gcd calculeaz$ cel mai mare divizor comun a dou$ numere;

lcm calculeaz$ cel mai mic multiplu comun a dou$ numere.

1.1. Cel mai mare divizor comun

Func#ia MATLAB gcd calculeaz$ cel mai mare divizor comun a dou$ numere întregi; se apeleaz$ cusintaxa:

a=gcd(x,y)

Exemplul 1. S$ se determine cel mai mare divizor comun al numerelor 30 i 21. Cu secven#a:a=gcd(30,21) rezult$: a=3

1.2. Cel mai mic multiplu comun

Func#ia MATLAB lcm returneaz$ cel mai. mic multiplu comun a dou$ numere întregi. Se apeleaz$ cu

sintaxa:

a=lcm(x,y)

Exemplul 2. S$ se determine cel mai mic multiplu comun al numerelor: 9 i 30.

2. NUMERE COMPLEXE

Opera#iile cu numere complexe folosesc func#iile:

abs Calculeaz$ valoarea absolut$ (modulul) a argumentului;

angle Calculeaz$ faza (unghiul) argumentului;

unwrap Calculeaz$ p$r #ile real$ i imaginar $ ale numerelor complexe exprimate în forma polar $

conj Calculeaz$ conjugata complex$ a argumentului;

imag Extrage partea imaginar $ a argumentului;

real Extrage partea real$ a argumentului.



Elemente de calcul numeric ingineresc

2

2.1. Definirea numerelor complexe în MATLAB

Numerele complexe sunt permise în toate opera#iile i func#iile din MATLAB. Acestea sunt introduseutilizând variabilele speciale i si j, ca în exemplele: 2 3 z i= + sau 2 3 z j= + . Pentru a defini matricea:

2 3 1

2

i M

i i

+ = − −

exist$ dou$ metode:

- ca sum$ a dou$ matrice cu elemente numere reale, una reprezentând partea real$ iar cealalt$ parteaimaginar $;

M=[2 1; 0 2] +[3 0;-1 -1]*i

- ca o matrice cu elemente numere complexe.

M=[2+3*i 1; -i 2-i]

Prin al doilea procedeu trebuie evitat orice spa#iu liber (blanc) între p$r #ile real$ si imaginar $ aleaceluiai num$r complex; astfel:

a=[2+3*i]

b=[2 +3*i] returneaz$:

a=[2.0000+3.0000i]

b=[2.0000 0+3.0000i], nota#ia b reprezentând dou$ numere separate.

Dac$ variabilele i sau j au fost deja utilizate în alte scopuri, pentru calculul cu numere complexe poatefi declarat$ o nou$ unitate imaginar $, în modul urm$tor: i1=sqrt(-1)

2.2. Modulul $i argumentul numerelor complexe

Un num$r complex z se exprim$ sub una dintre formele:

- cartezian$: z=x+iy

- polar $: z=rei'

unde x i y sunt p$r #ile real$ i imaginar $ ale num$rului complex z, iar r i ' sunt modulul iargumentul num$rului complex z.

Func#ia abs determin$ modulul elementelor unui vector sau unei matrice; se apeleaz$ cu sintaxa:

r=abs(z)

Func#ia angle calculeaz$ argumentul elementelor unui vector sau unei matrice, în radiani; se apeleaz$ cu sintaxa:



CURS 10

3

fi=angle(z)

Func#ia unwrap permite calculul p$r #ilor reale, cu sintaxa: x=unwrap(z) sau x=unwrap(real(y))respectiv a p$r #ii imaginare, cu sintaxa: y= unwrap(imag(z)) Argumentul num$rului complex trebuie s$

fie exprimat în radiani.

Exemplul 3. S$ se scrie num$rul complex z=1+i sub forma polar $. Cu instruc#iunile:

x=l; y=l; z=x+i*y; r=abs(z); fi=angle(z) se ob#ine rezultatul: r= 1.4142; fi=0.7854

Exemplul 4. S$ se scrie num$rul complex z=4ei / 4π sub forma cartezian$. Cu instruc#iunile: r=sqrt(4);fi=pi/4; z=r.*exp(i*fi).

Exemplul 5. Fie dat$ matricea cu numerele complexe exprimate sub forma polar $:

4 4

2 22

1 i i

i i

e e M

e e e

π π

π

π π

−

−

=

S$ se determine proiec#iile acestor numere pe axele real$ i imaginar $, aplicând func#ia unwrap

2.3. P&r)ile real& $i imaginar& $i conjugatul numerelor complexe

Partea real$ a unui num$r complex poate fi determinat$ cu func#ia real ; se apeleaz$ cu sintaxa:x=real(z)

iar partea imaginar $ poate fi determinat$ cu func#ia imag ; se apeleaz$ cu sintaxa: y=imag(z)

Conjugatul z al unui num$r complex se poate determina cu func#ia conj ; se apeleaz$ cu sintaxa:conjugata=conj(z)

Exemplul 6. Fie dat$ matricea

4

1 2

4 i

i

M

i e

π

+ = −

. S$ se determine partea real$, imaginar $ i conjugatul elementelor acesteia.

3. FUNCIILE PUTERE, RADICAL, LOGARITM !I EXPONENIAL*

Func#iile MATLAB pentru ridicarea la putere, extragerea radicalului, calculul logaritmului i alexponen#ialei, sunt:

^ Ridic$ un num$r a la puterea n (an);

exp Calculeaz$ exponen#iala (ex);

log Calculeaz$ logaritmul natural (ln);

log2 Calculeaz$ logaritmul în baza 2 (log2);




4

log10 Calculeaz$ logaritmul zecimal (log10);

nextpow2 Determin$ puterea N a num$rului 2 care majoreaz$ modulul argumentului P( 2 N

P ≤ );

pow2 Calculeaz$ valoarea num$rului 2 la puterea n (2n);

sqrt Calculeaz$ radicalul de ordinul doi dintr-un num$r.

Dac$ argumentul acestor func#ii elementare sunt matrice, ele opereaz$ element cu element.Argumentele func#iilor pot fi i numere complexe.

3.1. Func)ia putere

MATLAB-ul dispune de dou$ func#ii pentru ridicarea la putere:

• pow2 - pentru a ridica 2 la puterea n (2"),

• ^ - pentru a ridica un num$r a la puterea n (x=an). Se apeleaz$ cu sintaxele:

y=pow2(x) - calculeaz$ num$rul y=2x. Dac$ x este o matrice, y va fi o matrice de aceleaidimensiuni cu elementele calculate dup$ aceast$ regul$, func#ia ac#ionând element cu elementy=pow2(m,n) - calculeaz$ num$rul y=m*2";

x=a^n - calculeaz$ puterea n a num$rului a, x=a". Exponentul n poate avea orice valoare,real$ sau complex$. Pentru calculul radicalului de ordinul n dintr-un num$r a, se utilizeaz$ func#ia putere sub forma: x=a1/n. Func#ia nextpow2 având ca argument scalarul P, se apeleaz$ cu sintaxa:

N=nextpow2(P) i returneaz$ cei mai mic num$r natural N astfel încât 2 N P ≥ . Dac$ P este vector,

func#ia returneaz$ scalarul N, astfel încât 2 N majoreaz$ num$rul de elemente ale vectorului.

Exemplul 7. S$ se calculeze: A = [23 25 213.5].

Exemplul 8. S$ se efectueze aceleai calcule ca la punctul anterior, utilizând operatorul de ridicare la putere A. Cu secven#a: A=[2^3 2^5 2^13.5] se ob#in aceleai rezultate.

Exemplul 9. S$ se calculeze: 3 125 x = .

Exemplul 10. S$ se determine puterile N ale lui 2 care majoreaz$ elementele vectorului A=[4 -8 17].S$ se calculeze vectorul majorant P=2 N.

3.2. Func)ia radical

Calculul radicalului de ordinul 2 dintr-un num$r, a= , poate utiliza func#ia putere, sau func#ia sqrt ,apelat$ cu sintaxa: x=sqrt(a)

Argumentul a poate fi orice num$r real sau complex. Dac$ num$rul a este negativ sau complex,rezultatul calculului este un num$r complex.

Exemplul 11. S$ se calculeze radicalul fiec$rui element al matricei: X =[1 2;4 -9]



CURS 10

5

3.3. Func)ia logaritm

Calculul logaritmului natural al logaritmului în baza 2 sau al logaritmului în baza 10 al unui num $r autilizeaz$ func#iile log, log2 i respectiv log10, apelate cu sintaxele:

x=log(a) x=log2(a) x=log10(a)

Dac$ argumentul func#iilor log i log10 este un num$r negativ, sau complex, z=x+iy, rezultatul estecalculat cu rela#iile:

log(z) = log(abs(z)) + i*atan2(y,x) i log10(z) = log10(abs(z)) + i*atan2(y,x) unde atan2 este func#iaMATLAB ce calculeaz$ arctangenta num$rului complex.

Exemplul 12. S$ se calculeze logaritmul natural i zecimal din numerele e2 i 100.

Exemplul 13. S$ se calculeze logaritmul în baz$ 2 al elementelor matricei: A = [4 23 82 10].

3.4. Func)ia exponen)ial&

Calculul exponen#ialei: x=ea, (unde e= 2.71828182845...) folosete func#ia exp , apelat$ cu sintaxa:x=exp(a)

Dac$ argumentul este num$rul complex z=x+iy, rezultatul este calculat cu rela#ia:ez = ex (cos(y) +i*sin(y))

Exemplul 14. S$ se calculeze: e , e2 i e-3. Cu secven#a:

4. FUNCIILE TRIGONOMETRICE

Func#iile trigonometrice se apeleaz$ cu sintaxa:

x=nume_func#ie(argument) unde:

- nume_func#ie este numele uneia dintre func#iile trigonometrice de mai jos;

- argument este valoarea pentru care se evalueaz$ func#ia;

- x este variabila în care se returneaz$ rezultatul.Dac$ argumentul este o matrice, func#iile trigonometrice opereaz$ asupra fiec$rui element.

4.1. Func)iile trigonometrice directe

Func#iile trigonometrice directe în MATLAB sunt:

sin Calculeaz$ sinusul argumentului;

cos Calculeaz$ cosinusul argumentului;

tan Calculeaz$ tangenta argumentului;




6

cot Calculeaz$ cotangenta argumentului;

sec Calculeaz$ secanta argumentului;

cosec Calculeaz$ cosecanta argumentului.

Pentru argumente numere complexe, z=x+iy, rela#iile de calcul sunt: sin(z)=sin(x)cosh(y)+i*cos(x)sinh(y); cos(z) = cos(x)cosh(y) – i*sin(x)sinh(y); tan(z) = sin(z)/cos(z)

Exemplul 15. S$ se calculeze func#iile trigonometrice directe ale elementelorvectorului:[ ]/ 4 3 / 4 5 / 4π π π

4.2. Func)iile trigonometrice inverse

Func#iile trigonometrice inverse în MATLAB sunt:

asin Calculeaz$ arcsinusul argumentului;

acos Calculeaz$ arccosinusul argumentului;

atan Calculeaz$ arctangenta argumentului;

atan2 Calculeaz$ arctangenta unui argument complex;

acot Calculeaz$ arccotangenta argumentului;

asec Calculeaz$ arcsecanta argumentului;

acsc Calculeaz$ arccosecanta argumentului.

Exemplul 16. S$ se calculeze func#iile trigonometrice inverse pentru elementele vectorului: X = [0 l

2 / 2 ]

4.3. Func)iiie hiperbolice

Func#iile hiperbolice se apeleaz$ cu sintaxa: x=nume_func#ie(argument), unde:

- nume_func#ie este numele uneia dintre func#iile hiperbolice de mai jos;

- argument este valoarea pentru care se evalueaz$ func#ia;

- x este variabila în care se returneaz$ rezultatul.

Dac$ argumentul este o matrice, func#iile trigonometrice opereaz$ asupra fiec$rui element.

4.3.1. Func)iiie hiperbolice directe

Func#iile hiperbolice directe în MATLAB sunt:

sinh Calculeaz$ sinusul hiperbolic al argumentului.



CURS 10

7

cosh Calculeaz$ cosinusul hiperbolic al argumentului.

tanh Calculeaz$ tangenta hiperbolic$ a argumentului.

coth Calculeaz$ cotangenta hiperbolic$ a argumentului.

sech Calculeaz$ secanta hiperbolic$ a argumentului.

csch Calculeaz$ cosecanta hiperbolic$ a argumentului.

4.3.2. Func)iiie hiperbolice inverse

Func#iile hiperbolice inverse în MATLAB sunt

asinh Calculeaz$ arcsinusul hiperbolic al argumentului;

acosh Calculeaz$ arccosinusul hiperbolic al argumentului;

atanh Calculeaz$ arctangenta hiperbolic$ a argumentului;

acoth Calculeaz$ arccotangenta hiperbolic$ a argumentului;

asech Calculeaz$ arcsecanta hiperbolic$ a argumentului;

acsch Calculeaz$ arccosecanta hiperbolic$ a argumentului.

5. MATRICI SPECIALE

Î MATLAB exist$ un set de func#ii care genereaz$ matrici speciale, folosite în aplica#ii de algebr $ liniar $ i prelucrarea semnalelor. Mai jos sunt date doar câteva astfel de func#ii, cele uzuale folosite înaplica#iile curente.

compan Calculeaz$ companionul matriceal;

diag Genereaz$ o matrice diagonal$;

magic .Genereaz$ p$tratul magic;

5.1. Companionul matriceal

Func#ia compan calculeaz$ companionul unei matrice; se apeleaz$ cu sintaxa: A=compan(p).

Dac$ p este un vector cu coeficien#ii polinomiali scrii în ordine descresc$toare a puterilor, compan(p)este companionul matriceal corespondent. Prima linie a companionului este constituit$ din numerereprezentând câtul cu semn schimbat dintre coeficien#ii polinomiali, începând cu puterea (n-1) pân$ latermenul liber i coeficientul polinomial al puterii n, adic$ -p(2:n)/p(1). Pentru polinomul:

P(x) = p(l)xn + p(2)xn-1 + p(3)xn-2+...+p(n - l)x2 + p(n)x + p(n + 1) ; prima linie a companionului este:. .




8

-p(2)/p(1), -p(3)/p(1), ..........., -p(n+1)/p(1)

Valorile proprii ale companionului unui vector p, ai c$rui coeficien#i polinomiali sunt da#i de func#iaeig(compan(p)) , sunt r $d$cinile polinomului. Prin urmare, pentru a determina r $d$cinile unui polinom,

se poate folosi expresia MATLAB:

r= eig(compan(p)) unde p sunt coeficien#ii polinomului în ordinea descresc$toare a puterilor.

Exemplul 17. S$ se determine r $d$cinile polinomului:

p(x)=x3 – x2 - x + 1

Se scrie vectorul coeficien#ilor polinomiali, se determin$ companionul i apoi valorile proprii aleacestuia. Valorile proprii ale companionului sunt chiar r $d$cinile polinomului. Cu secven#a deinstruc#iuni MATLAB: p=[l -l -l l]; b = compan (p); r = eig(b) sau, mai compact: r=eig(compan(p))

5.2. Matricea diagonal&

Func#ia diag genereaz$ matrice diagonale sau opereaz$ cu diagonalele unor matrice; se apeleaz$ cu unadintre sintaxele:

D=diag(X) D=diag(X,k)

Argumentul op#ional k indic$ diagonala corespunz$toare, anume:

k = 0, diagonala principal$;

k > 0, indic$ diagonala k de deasupra celei principale;k < 0, indic$ diagonala k de sub cea principal$.

Dac$ argumentul X este un vector cu n componente, func#ia diag(X,k) genereaz$ o matrice p$trat$ deordinul n+abs(k), cu elementele vectorului X pe diagonala k. Apelat$ f $r $ argumentul k, func#iacreeaz$ o matrice cu elementele vectorului X pe diagonala principal$.

Dac$ argumentul X este o matrice, func#ia diag(X,k) extrage un vector coloan$ format din elementelede pe diagonala k a matricei X.

Exemplul 17. Fie dat$ matricea A =[l 2 3; 4 5 6;.7 8 9]

S$ se genereze o matrice având diagonala principal$ identic$ cu cea a matricei A i cu celelalteelemente egale cu zero. Cu secven#a MATLAB: B=diag(diag(A)} se ob#ine rezultatul.

Exemplul 18. S$ se genereze o matrice de ordinul 2m+1, definit$ de rela#iile:

1

1 1

0

i m i j

i j

in rest

− − =

= = ±

; unde [ ] [ ]1,2 1 , 1,2 1i m j m∈ + ∈ + cu m=2.

Exemplul 19. S$ se aplice func#ia diag vectorului V=[1 2 3]. S$ se afieze diag(V,2).



CURS 10

9

5.3. P&tratul magic

P$tratul magic de ordinul n este o matrice n x n, construit$ cu întregii de la 1 la n2, care are sumaelementelor de pe fiecare linie, coloan$, diagonal$ sau anti-diagonal$ principal$, egal$. P$tratul magic

are suma scalat$ dublu stochastic. Func#ia magic se apeleaz$ cu sintaxa:

A=magic(n) unde argumentul n trebuie s$ fie mai mare sau egal cu 3.

Exemplul 20. S$ se genereze p$tratul magic de ordinul 4.

CURS_10_ECNI.pdf

Documents

Transcript of CURS_10_ECNI.pdf