CAPITOLUL 1

CIRCUITE ELECTRICE DE CURENT CONTINUU

1.1. CIRCUIT ELECTRIC

1.1.1. Elemente de circuit. Caracterizareaelementelor de circuit

Prin circuite electrice de curent continuu nelegem circuitele n care curenii i tensiunile au valori invariabile n timp. Este accepta-t notarea acestor mrimi cu litere mari : I, E, U etc. Componentele unui circuit electric se numesc elemente de circuit. Un ciruit simplu de curent continuu, cuprinznd o surs cu t.e.m. E i rezistena intern Ri , care alimenteaz un rezistor R (figura.1.1), are dou elemente: sursa i rezistorul.Elementele de circuit cu dou borne (terminale) de acces se numesc elemente dipolare. Dac elementul dipolar poate fi caracterizat printr-o singur mrime, el se numete element ideal de circuit; de exemplu, rezistorul ideal este caracterizat numai de rezistena sa, R.

Fig.1.1 Fig. 1.2 Fig.1.3

Elemente pasive i active. Un element de circuit de curent conti-nuu se numete pasiv, dac nu poate ceda energie electric n circuit oricare ar fi sensul curentului prin element; de regul, un astfel de element a b s o a r b e energie electric. Rezistorul R (figura 1.1) este un element pasiv de circuit.

21

Un element de circuit de curent continuu se numete activ, dac poate genera energie de natur electric n anumite regimuri de funcionare (exist i regimuri, n care un astfel de element poate, eventual primi energie electric, fiind deci un receptor de energie). Sursele de curent sau tensiune electric sunt elemente active (figura 1.4, figura 1.5).

Fig.1.4. Reprezentarea Fig.1.5. Surse ideale de energie: sursei reale de tensiune. a surs ideal de tensiune U = E;

b surs ideal de curent I = J

Circuitul electric format numai din elemente pasive se numete circuit pasiv; un circuit electric care pe lng elementele pasive are cel puin un element activ se numete circuit activ.Caracteristica elementului de circuit. Relaia ntre tensiunea U la bornele unui element dipolar i intensitatea I a curentului prin element caracterizeaz complet elementul de circuit. Aceast relaie prezentat grafic n planul coordonatelor U I poart denumirea de caracteristic tensiune-curent a elementului de circuit.Elementele de circuit se numesc liniare dac caracteristica tensiune- curent este o linie dreapt (figura 1.2); aceste elemente se numesc neliniare dac caracteristica menionat este o linie curb (figura 1.3).De regul, elementele reale de circuit sunt neliniare, dar n multe cazuri practice pot fi considerate ca fiind liniare, n limite suficient de largi ale curentului i tensiunii.

22

1.1.2. Elemente de circuit, ideale i reale

Pentru simplificarea calculelor practice i a analizei circuitelor electrice de curent continuu (c.c.) se recurge la prezentarea grafic a circuitelor prin scheme echivalente, n care elementele de circuit surse de energie i rezistene (conductane) sunt considerate ca fiind ideale.Rezistorul ideal. Acesta este un element de circuit care are tensiu-nea la borne proporional cu intensitatea curentului, oricare ar fi valoarea acestui curent; factorul de proporionalitate este rezistena R a rezistorului. Ecuaia de circuit a rezistorului poate fi scris:

U = R I . (1.1)Mrimea inversproporional rezistenei R se numete conductan, se noteaz G i este egal:

1G = . (1.2)

RSimbolul grafic al acestor elemente i caracteristica tensiune-curent o dreapt care trece prin originea axelor este prezentat n fig.1.6.

Fig. 1.6.Fig 1.7. Surs ideal de

tensiune

Rezistorul ideal este un element pasiv, puterea disipat pe acest element poate fi calculat ca:

U 2PR = U I = R I 2 = G U 2 = . (1.3)

RAceast putere este totdeauna pozitiv i primit pe la borne, reg-

23

sindu-se sub forma de cldur dezvoltat n unitatea de timp, prin efect Joule. Sursa ideal i real de tensiune(curent). Sursa ideal de tensiune este un element de circuit, care are tensiunea la borne independent de curentul ce trece prin surs . Simbolul grafic i caracteristica U-I sunt reprezentate n figura 1.7. Este clar c sursa real de tensiune sau curent difer prin faptul c n primul caz n serie cu sursa este conectat rezistena Ri , iar n al doilea conductana Gi, n paralel, aa cum se vede n figura 1.8. Ecuaia ce leag tensiunea la borne iintensitatea curentului ntr-o sur-s real de tensiune este: U = Ri I E , (1.4)ceea ce arat c tensiunea se mai poate reprezenta sub forma unei surse ideale de tensiune E, legat n serie (s fie parcurs de ace-lai curent) cu un rezistor Ri .Un sistem format dintr-o surs ideal de curent J legat n para-lel cu un rezistor de conductan Gi este parcurs de un curent total

Fig. 1.8.Reprezentri echivalente ale sursei de energie electric:

a reprezentarea serie a sursei reale detensiune; b reprezentarea derivaie a

sursei reale de curent.

accesibil la bornele sistemului (figura 1.8, b):

I = J + Gi U, (1.4)relaie ce mai pote fi scris sub forma

1 J U = I . (1.5) Gi Gi

Din relaiile (1.3) i (1.5) se vede c sistemul reprezentat n figura 1.8, b se comport identic cu sursa real de tensiune, dac sunt ndeplinite condiiile:

Gi = 1 / Ri , J = Gi E = E / Ri . (1.6)

24

Prin urmare, relaiile (1.6) constituie condiiile de comportare echivalent a sursei reale de tensiune cu sistemul reprezentat n figura 1.8, b i numit surs real de curent.n raport cu sensurile precizate, sursa funcioneaz n regim de generator atunci cnd curentul prin surs este pozitiv i n regim de receptor cnd curentul este negativ. Puterea la bornele sursei, Pb = = U I = E I este pozitiv n primul caz (regim de generator) i negativ n cel de-al doilea (regim de receptor), ceea ce este bine ilustrat n figura 1.9.

a b cFig. 1.9. Bilanuri energetice caracteristice conductorului (filiform)

parcurs de curent: a U + E = RI, Pb+ Pg = Pec. n conductor se disip prin efect electrocaloric (Pec)ireversibil (Joule) att puterea primit pe la borne (Pb), ct i cea cedat de sursa de energie (Pg); b U = E + RI, Pb = Pg+Pec. Puterea transmis Pb se pierde n parte prin efect electrocaloric (Pec) ireversibil, restul este primit de sursa de energie care o nmagazineaz sub forma energiei sale specifice; c E = U + RI, Pg = Pb+Pec. Sursa de energie cedeaz putere n exterior, din care o parte se restituie conductorului, transformat ireversibil n cldur, prin efect electrocaloric.

Aa dar, energia electric schimbat de surs prin borne ntr-un interval de timp (t, t + t) este W = Pb t. Energia electric este pozitiv (W > 0) cnd este efectiv cedat de surs i negativ (W < 0) cnd este primit de surs. n ce privete intensitatea curentului I prin surs, aceasta depinde de elementele de circuit conectate la bornele sale, denumite i elemente de structur.

25

1.1.3. Elemente de structur a circuitelor electrice

Reprezentrile grafice ale circuitelor electrice poart denumirea de scheme electrice echivalente. Aici am dori s accentum: schema echivalent a unui circuit electric este un fragment grafic care, cu un anumit grad de exactitate reflect circuitul real; acesta din urm este (sau poate fi) montat, schema ns numai desenat! Aa dar, expresia uzual ...s montm schema... este complet absurd!Schema arat modul n care se interconecteaz ntr-un circuit elementele componente ale acestuia, adic rezistoarele i sursele de energie electric. Un exemplu de schem echivalent este prezentat n figura 1.10.n cele ce urmeaz se definesc termenii indispensabili descrierii complete a structurii unui circuit electric:

born, extremitate a unui ele-ment al circuitului;

nod, born comun unui nu-mr de cel puin trei elemente de circuit; Fig. 1.10. Exemplu de schem elec-tric a unui circuit de c.c.

latur, grup de elemente de circuit legate direct (n serie, fr ra-mificri) ntre dou noduri ale circuitului;

bucl, succesiune continu de laturi ale circuitului, ce formeaz un contur nchis;

ochi, bucl ce nu conine laturi interioare; cale, succesiune continu de laturi ale circuitului, ce leag

dou borne oarecare (de obicei noduri).Revenind la schema din figura 1.10 se recunosc:borne nu sunt;noduri a, b, c, d, e, f ;laturi (1)- (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9), (10)- (11);bucle (1)- (2)- (3)- (7), (7)- (8)- (5)- (6)- (10) - (11), etc.;ci ntre nodurile a i b , de exemplu: (4), (3)- (8)- (5), etc.

26

Un rol deosebit n definirea structurii unui circuit electric joac i conceptul de sistem de bucle fundamentale; acesta este un sistem de bucle independente, ce nu se pot deduce unele din celelalte i care conin toate laturile circuitului. Alegerea buclelor independente ale unui circuit poate s difere, dar numrul lor este ntotdeauna acelai pentru un circuit dat.n literatura de limb rus este utilizat nc un termen de descriere a schemei circuitului electric, n opinia autorului important: arbore de schem o succesiune de laturi, care leag toate nodurile schemei fr a crea un contur nchis (o bucl). n cazul schemei din figura 1.10 exemplu de arbore poate fi: (7)- (3)- (8)- (5)- (9) etc. Orice latur adugat la arbore creaz o bucl fundamental (i independent).O latur de circuit se numete activ sau pasiv dup cum conine sau nu surse de energie electric; corespunztor, un circuit va fi activ sau pasiv, dac conine surse de energie sau, respectiv numai elemente (laturi) pasive.Este utilizat i noiunea de pasivizare a circuitului ndeprtarea din circuit a surselor de energie electric fr a modifica rezistena laturilor acestuia. Pasivizarea surselor de enetgie este ilustrat n

Fig.1.11. Pasivizarea surselor de energie electric.

27

figura 1.11. Procedura pasivizrii este suficient de clar i nu necesit explicaii suplimentare.Sunt denumite borne de acces sau poli acele borne ale circuitului electric, prin care acesta poate fi legat cu alte circuite; un circuit cu un numr oarecare de borne de acces se numete multipol. n cazul c are numai dou borne de acces se numete dipol.Circuitul electric se numete complet dac nu are borne de acces cu exteriorul. Dac la un astfel de circuit cu l se noteaz numrul de laturi, cu n numrul de noduri i cu b numrul de bucle funda-mentale (independente), conform teoremei lui Euler se poate demonstra c ntre aceste mrimi exist relaia urmtoare:

b = l n + 1 . (1.7)

1.2. TEOREMELE (LEGILE) LUI KIRCHHOFF

1.2.1. Prima teorem a lui KirchhoffVom considera o suprafa nchis ( ) trasat astfel nct s nchid un singur nod (figura 1.12) al unui circuit. Fie I1, I2 i I3 intensit-

Fig. 1.12.Fig. 1.13.

ile curenilor prin conductoarele care se ramific din nodul respec-tiv. Pentru suprafaa n conformitate cu legea conservrii sarcinii se poate scrie:

I = I1 + I2 I3 i

q = 0 ,

28

ceea ce semnific c sarcina electric existent pe suprafeele conductoarelor parcurse de curent continuu este invariabil n timp. nlocuind n enunul legii I = q / t , obinem:

I1 + I2 I3 = 0. (1.8)Relaia (1.8) exprim prima teorem (lege) a lui Kirchhoff referitoare la nodul considerat, care, generalizat se enun astfel:suma a l g e b r i c a intesitilor curenilor din laturile ce se ramific dintr-un nod al unui circuit de curent continuu este n u l

N Ik = 0 . (1.9) K = 1

Astfel, dup convenia adoptat n formularea legii conservrii sar-cinii, intensitile curenilor care pleac din nod se iau cu semnul plus (+), iar cele ale curenilor ce vin n nod cu semnul minus ().Exemplu. Din nodul (a) al unei reele (circuit) de c.c. se ramific patru conductoare. Stiind c I1 =1 A , I2 = 2 A , I3 = 5 A , s se determine curentul I4.Pentru I4 se alege un sens de referin arbitrar, ca n figura 1.13 i, aplicnd pri-ma teorem a lui Kirchhoff se obine:

I1 + I2 I3 + I4 = 0 ,de unde rezult:

I4 = I3 (I1 + I2) = 5 3 = 2 A.Sensul curentului I4 coincide cu sensul de referin ales arbitrar; n caz contrar ar fi trebuit schimbat.

1.2.2. A doua teorem a lui Kirchhoff

Pentru a clarifica esena celei de-a dou teoreme (lege) a lui Kirchhoff se va considera o succesiune de laturi dintr-o reea de c.c., care formeaz un contur nchis i care, cum a fost specificat mai sus poart denumirea de ochi (bucl ce nu conine laturi interioare). Se admite de asemenea c sensurile de referin a curenilor din laturi coincid cu sensurile de referin ale tensiunilor

29

electromotoare (t.e.m.), precum este prezentat n figura 1.14. Bucla nchis se va parcurge n direcia acului ceasornicului (indicat cu o sgeat). Considernd tensiunile de la bornele laturilor cu sensurile de referin din figur, pot fi scrise urmtoarele ecuaii pentru aceste tensiuni (n conformitate cu teorema potenialului electric staionar, [1] i relaia prezentat mai sus, U = Ri I E ):

U1 + E1 = R1 I1 U2 + E2 = R2 I2 U3 + E3 = R3 I3 (1.10) U4 + E4 = R4 I4

Fig. 1.14.

Relaiile de legtur ntre tensiunile la bornele laturilor i potenia-lele bornelor se vor scrie astfel:

U1 = Va Vb U2 = Vc Vb U3 = Vc Vd (1.11) U4 = Vd Va

nmulind cu (1) relaia U2 (sensul tensiunii este invers sensului parcurgerii buclei nchise) i adunnd parte cu parte, se obine:

U1 U2 + U3 + U4 = Va Vb Vc + Vb + Vc Vd + Vd Va = 0,sau

U1 U2 + U3 + U4 = 0 . (1.12)Procednd n mod analog cu sistemul (1.10) i innd cont de rezul-tatul stabilit prin (1.12), se obine:

E1 E2 + E3 + E4 = R1 I1 R2 I2 + R3 I3 + R4 I4 . (1.13)

30

Au fost obinute astfel dou ecuaii (1.12) i (1.13) i, deci dou formulri (diferite) pentru teorema a doua a lui Kirchhoff, care sunt echivalente numai pentru circuitele cu elemente liniare de curent. Pentru teorema a doua Kirchhoff sunt valabile dou enunuri:

ntr-un ochi fr de surse t.e.m. suma algebric a tensiunilor la bornele laturilor ce-l alctuiesc este nul :

N Uk = 0 . (1.14) k = 1

ntr-o bucl nchis (ochi) suma algebric a cderilor de tensiune pe rezistoarele laturilor este egal cu suma algebric a t.e.m. ale surselor din laturile acesteia : N N

Ik Rk = Ek . (1.15) k = 1 k = 1

Sumele de mai sus sunt algebrice, din cauza adoptrii arbitrare a sensului n care se parcurge ochiul; tensiunile la bornele laturilor care au sens opus celui ales pe ochi intervin n suma (1.15) cu semnul . Regula rmne aceeai i pentru t.e.m. i cderile de tensiune pe rezistoarele din laturile ochiului dat.Exemple pe teorema a doua a lui Kirchhoff:

S se aplice teorema a doua Kirchhoff pentru circuitul din figura alturat.Conform primului enun

U1 U2 + U3 = 0,iar dup al doilea enun:E1 E2 + E3 = R1 I1 R2 I2 + R3 I3.

Sunt date: U1 = 200 V, U2 = 50 V i U3 = 400 V. Se cere U4 (sensul artat)Conform primului enun U1 + U2 U3 U4 = 0, de undeU4 = (U1 + U2) U3 = 250 400 = = 150 V.

31

n ochiul de circuit din figur sunt date: R1 = 10 , R2 = 20 , R3=1 i curenii I1 = 5 A , I2 = 1 A i I3= 10 A . S se determine t.e.m. E3 .Pentru rezolvare se scrie teorema doi Kirchhoff n forma enunlui al doilea:E3 = R1 I1 R2 I2 + R3 I3 = 50 20

+ 10 = 40 V.

1.2.3. Rezolvarea circuitelor electrice liniare de c.c. prin metoda asocierii (transformrilor simple)

Circuit electric liniar, prin definiie se numete acel circuit n structura cruia intr numai rezistoare al cror material se comport liniar din punct de vedere conductiv. Rezistivitatea acestor materiale fiind constant, definete fiecrui rezistor o valoare cons-tant, bine determinat a rezistenei sale electrice. n continuare vom lua cunotin cu anumite reguli de asociere a sensurilor de referin i a elementelor circuitelor liniare de c.c.

1. Reguli de asociere a sensurilor de referinale curentului i tensiunii la borne.

Vom analiza un circuit liniar, alctuit dintr-o surs ideal de tensi-une care alimenteaz un rezistor liniar, reprezentat n figura 1.15, a.

a b cFig. 1.15.

Deoarece tensiunea la bornele sursei este aceeai cu cea de la bornele rezistorului, adic U = E i respectiv U = R I se poate deduce curentul prin circuit:

I = E / R .

32

Sursa de energie E dezvolt o putere n circuit care este egal:Pg = E I.

Aceast putere este cedat rezistorului, unde energia sursei se transform n cldur prin efect Joule. Astfel,

Pg = E I = R I 2 = PR .Fa de bornele A i B (figura 1.15, a), curentul prin borne i tensi-unea ntre borne au sensurile asociate n moduri diferite, dup cum ne referim: la partea din stnga unde este sursa de energie, sau la cea din dreapta, unde se afl receptorul de energie. n cazul unui circuit dipolar se spune c sensurile tensiunii i curentului sunt asociate dup regula utilizat pentru genera-tor dac sensurile lor sunt cele pentru sursa electric n regim de generator (figura 1.15, b); tensiunea i curentul au sensurile de referin asociate dup regula utilizat pentru receptoare dac sensurile lor sunt cele utilizate pentru un rezistor (figura 1.15, c). Este important de subliniat c precizarea regulei de asociere a sens-urilor de referin ale tensiunii i curentului la bornele unui element dipolar este obligatorie! Numai n raport cu aceste sensuri au semnificaie valorile numerice ale acestor mrimi, care pot fi negative sau pozitive.

2. Conexiunile rezistoarelorEste momentul s facem o remarc , considerm, important: cele expuse mai sus referitor la teoremele Kirchhoff, la fel ca i cele ce vor urma n continuare, inclusiv legea lui Ohm despre care nu s-a pomenit nc toate acestea se expun cu un singur scop care poate fi formulat ca metode de rezolvare a circuitelor liniare de c.c.. Unele dintre aceste metode fiind mai simple (metodele transform-rilor echivalente), altele mai complicate. Din categoria transform-rilor echivalente simple fac parte i conexiunile rezistoarelor.Rezistena echivalent a unui circuit dipolar, liniar i pasiv este raportul dintre tensiunea aplicat la borne i intensitatea curentuluiprin circuit (1.16). Relaia de calcul deci este urmtoarea:

33

UR e =

I

Fig. 1.16. Fig. 1.17.

a) Asocierea n serien figura 1.17 sunt prezentate dou rezistoare R1 i R2 legate n serie. Din figur este evident c U = U1 + U2, unde U1 = R1 I, iar U2 = R2 I i atunci tensiunea U care este egal cu U = Re I poate fi prezentat astfel:

U = U1 + U2 ; Re I = R1 I + R2 I,de unde, simplificnd cu I ( 0) se obine

Re = R1 + R2 . (1.16)

1 1 1Dat fiind faptul c Re = , R1 = i R2 = , se obine

Ge G1 G2

1 1 1 = + , (1.17)

Ge G1 G2sau

G1 G2Ge = . (1.18)

G1 + G2 G

n caz c elementele sunt identice, atunci Re = 2R iar Ge = . 2

34

b) Asocierea n paralelS analizm acum situaia, cnd cele dou rezistoare sunt conectate n paralel. Rezistena echivalent Re se determin, punndu-se condiia ca pentru aceeai tensiune ntre borne curentul prin borne n cele dou variante (figura 1.18) s fie acelai; numai cu respectarea acestei condiii transformarea poate fi considerat echi-valent. Deci, curentul prin rezistena echivalent este I = U / Re i, n conformitate cu prima teore-m Kirchhoff se poate scrie:

Ik = 0 sau I = I1 + I2 ,unde U U I1 = , I2 = . R1 R2 Fig. 1.18.nlocuind I1 i I2 i innd cont c I = U / Re , simplificnd cu U ( 0) vom obine: 1 1 1 = + , (1.19) Re R1 R2sau

R1 R2Re = . (1.20)

R1 + R2Pentru conductana echivalent n acest caz obinem, evident:

Ge = G1 + G2 . (1.21)Pentru elemente identice Ge =2 G, iar Re = R / 2.

Relaiile de calcul al rezistenelor echivalente pot fi generaizate pentru cazul n care sunt asociate n serie (figura 1.19) sau paralel (figura 1.20) un numr n de rezistoare diferite. Utiliznd teorema a doua Kirchhoff, asemntor exerciiilor de mai sus, obinem:

Re = R1 + R2 + R3 +...+ Rn . (1.22)

35

Fig. 1.19. Asocierea a n rezistoare n serie.

Relaia (1.22) poate fi scris i sub alte forme: n Re = Rk . (1.23) k = 1

sau 1 n 1 = . (1.24) Ge k = 1 Gk

n cazul elementelor identice Re = n R i Ge = G / n .Pentru aceleai elemente, legate n paralel prima teorem Kirchhoff

ab

Fig. 1.20. Dou variante de asociere a rezistenelor n paralel.

se scrie:I = I1 + I2 + I3 +...+ In , (1.25)

unde U U

I = , Ik = , k = 1, 2, 3, ..., n Re Rk

36

Dac n relaia (1.25) substituim curenii i mprim cu U ambii termeni, obinem pentru asocierea n paralel a n rezistoare:

1 1 1 1 = + + ... + , (1.26)

Re R1 R2 Rnsau mai compact

1 n 1

= . (1.27) Re k +1 Rk

i n Ge = Gk . (1.28) k = 1

n cazul rezistoarelor identice, Re = R / n iar Ge = n G .La finalul acestui subparagraf am vrea s subliniem c conexiunile rezistoarelor n serie sau paralel sunt o realitate, iar determinarea rezistenei echivalente a unui sector (pri) de circuit ce conine aceste conexiuni se face nu de dragul determinrii, ci pentru ca s se ajunc la schema simplificat i echivalent din figura 1.16 sau figura 1.18, n care cele trei mrimi I, U i R sunt legate ntre ele prin legea lui Ohm, care poate fi formulat astfel:ntr-un circuit nchis curentul este direct proporional cu t.e.m. i invers proporional rezistenei (echivalente) a circuitului.Legea lui Ohm, conform definiiei poate fi scris n felul urmtor:

EI = , (1.29) Re + Ri

unde I i E sunt curentul i tensiunea electromotoare n circuit, res-pectiv; Re rezistena prii exterioare a circuitului (echivalent); Ri rezistena intern a sursei de energie electric. Legea lui Ohm poate fi scris i altfel:

37

E = I (Re + Ri) . (1.30)n expresiile (1.29) i (1.30) curentul se msoar n amperi A, t.e.m. n voli V, iar rezistena n ohmi .Rezistena total a circuitului este: Re + Ri = E / I.Legea lui Ohm este adevrat nu numai n raport cu circuitul n ansamblu, ci i cu fiecare segment (latur) a lui aparte. Dac un seg-met de circuit nu conine surs de energie, atunci sarcinile electrice se deplaseaz prin acest segment din punctul cu un potenial mai nalt spre cel cu un potenial mai jos; sursa de energie se consum pentru susinerea acestei diferene de potenial ntre punctul (nodul) iniial i cel final al segmentului. Aceast diferen de potenial se numete tensiune aplicat pe segment (latur). Deci, legea lui Ohm pentru un segment de circuir (fr surs de energie) se poate scrie ca I = U / R , fiind U tensiunea aplicat iar R rezistena segmen-tului. Poate fi formulat legea lui Ohm astfel:Intensitatea curentului printr-o latur a circuitului este egal cu tensiunea la bornele acestei laturi mprit la rezistena acesteia.Din aceast definiie urmeaz c tensiunea (deseori se spune cderea de tensiune) la bornele laturii este egal cu produsul intensitii curentului i rezistena ei: U = I R.Pentru un circuit nchis care conine sursa de energie E cu rezistena intern R i , cea echivalent R i curentul I , conform legii lui Ohm se poate scrie:

E = I R i + I R = I R i + U ,unde I R = U cderea de tensiune pe rezistena R , adic n circuitul exterior sau, altfel spus la bornele sursei de energie (a generatorului); I R i este cderea de tensiune pe rezistena intern a sursei de energie.S-a tot vorbit mai sus de intensitatea curentului, de tensiune i cderea de tensiune; aceste mrimi ale circuitelor de c.c. (i nu numai) pot i de cele mai multe ori trebuie, s fie msurate. Deci, curentul n circuit se msoar cu aparatul numit a m p e r m e t r u , tensiunea cu v o l t m e t r u l . Pentru conectarea ampermetrului n

38

circuitul curentului se produce o ruptur, unde se i conecteaz (consecutiv) ampermetrul (v. figura 1.21). Astfel prin aparat va tre-

Fig. 1.21. Schema conectrii ampermetrului i voltmetrului.

ce tot curentul msurat.Voltmetru arat cderea de tensi-une pe un segment dat al circui-tului. Dac voltmetrul este cone-ctat la nceputul circuitului exte-rior, adic la polul pozitiv al ge-neratorului (sursa de energie), el va arta cderea de tensiune n

circuitul exterior, care va fi totodat i tensiunea la bornele sursei. Tensiunea la bornele sursei de energie (a generatorului) este egal cu diferena dintre t.e.m. i cderea de tensiune pe rezistena intern a acestei surse, adic U = E I R i .Dac rezistena circuitului exterior sursei se micoreaz, discrete i suma R i + R, ceea ce duce la creterea curentului I. Aceasta va majora cderea de tensiune n interiorul sursei de energie (I R i), dat fiind R i = const. Prin urmare, cu micorarea rezistenei R a circuitu-lui extern, tensiunea la bornele sursei de energie de asemenea scade. Dac aceste borne se interconecteaz cu un conductor rezistena cruia este practic nul, curentul n circuit va fi maximal i egal cu I = E / R i cea mai mare valoare posibil a curentului furnizat de sursa dat de energie. Regimul de funcionare cu rezistena circuitu-lui exterior R 0 se numete s c u r t c i r c u i t .Pentru sursele de energie cu rezisten intern mic, cum sunt gene-ratoarele (mainile electrice), acumulatoarele acidice acest regim este foarte periculos el poate distruge respectiva surs. Scurtcir-cuitul poate aprea ca rezultat al deteriorrii izolaiei conductoarelor ce conecteaz sursa de energie cu consumatorul ei. Pentru a proteja echipamentele electrotehnice de scurtcircuit se utilizeaz tot felul de sigurane i dispozitive de protecie.Vom ncheia acest subparagraf cu cteva exemple de rezolvare a circuitelor de c.c. prin metoda transformrilor echivalente simple, utiliznd teoremele lui Kirchhoff i legea lui Ohm.Exemple.

39

Rezistoarele din figura alturat au valorile R1= 1 , R2 = 2 ,R3 = 6 . S se calculeze rezistena echivalent a circuitului.Schema prezint o asociere mixt: R1 i R2 n serie i mpreun n paralel cu R3. Rezistena echivalent va fi:

(R1+R2) R3 Re = = 2 . R1+R2 +R3

Sunt date: R1= 4 , R2 = 3 i R3 = 6 . S se determine Re.

R2 R3 Re = R1 + = 6 . R2 + R3

3. Divizor de tensiune i curenta) Divizorul de tensiune

Acesta prezint un circuit electric alctuit din dou rezistoare n serie, pentru a obine o tensiune mai mic dect tensiunea de la bornele circuitului. Un astfel de circuit este reprezentat n figura 1.22. Prin divizor trece un curent egal cu

Fig. 1.22. Fig.1.23.

U40

I = ,R1+R2

iar tensiunea care prezint interes, n cazul din figura 1.22 U2 este

U U2 = I R2 = R2 ,

R1+R2

sau ntr-o form general acceptat

R2 U2 = U . (1.31)

R1+R2

Exemplu. S se prezinte grafic un dispozitiv care s permit obinerea unei tensiuni, ajustabile ntre 0 i o valoare maxim U.n acest scop poate fi utilizat un reostat cu un singur sul de rezisten R , prev-zut cu un cursor mobil; simbolul grafic al dispozitivului este dat n figura 1.23.Tensiunea dintre cursor i borna 0, potenialul creea se presupune egal cu zero va fi:

xUx = U ,

Runde x este rezistena reostatului ntre cursor i borna 0 (de mas); la deplasa-rea cursorului de jos n sus, tensiunea Ux va crete de la 0 la U. Aspectul unui reostat practic, cu un singur sul este prezentat n figura 1.24.

Fig. 1.24. Reostat dispozitiv cu rezisten variabil:1 cursorul; 2 contact imobil .

b) Divizorul de curent

41

Este un circuit format din dou rezistoare n paralel, plasat ntr-o latur a unui circuit electric, pentru a obine prin unul dintre elemente un curent mai mic dect curentul principal (I, figura 1.25).

Fig. 1.25. Schema unui divizor de curent.

Cele dou elemente asociate n paralel dau o rezisten echivalent care se determin prin relaia (1.20), iar tensiunea comun la bornele lor este U = I Re .Curenii prin fiecare element al divizo-rului pot fi calculai astfel:

R2 I1 = I , (1.32)

R1 + R2

R1 I2 = I . (1.33)

R1 + R2Exemple.Un galvanometru G cu rezistena proprie (in-tern) de 9,9 indic 1 mA (10-3A ) pe divizi-une. Scala aparatului posed 50 div . S se de-termine rezistena untului (o rezisten conecta-t la bornele G) dac se dorete ca aparetul s poat fi utilizat pentru a msura cureni de pn la 1 A (v. figura din dreapta). Din formula divizorului de curent Rs Ig = I Rg+ Rsse deduce Rg: Rg Rs = , nA 1 unde nA = I / Ig este raportul n care se demultiplic curentul prin galvano-metru n prezena untului. Deoarece Ig = 50 1 10 3 = 5 10 2 A, rezult raportul nA care este:

42

1 10 2 nA = = = 20 , 5 10 2 5

prin urmare rezistena untului va fi:

Rg 9, 9 Rs = = = 0,521 . nA 1 20 1

Ce rezisten trebuie conectat n serie cu un galvanometru cu Rg = 9,9 pentru a dispune de un voltmetru capabil s ms-oare tensiuni pn la 30 V ? (v. schema ) (la captul scalei curentul este de 50 mA).

Atunci cnd acul aparatului deviaz la captul scalei, tensiunea la bornele galvanometrului este egal cu: U = 50 10 3 9,9 = 0,495V. innd cont de formula divizorului de tensiune, pentru cazul dat se poate scrie:

Rg Ug = U ,

Rg + R adde unde se obine rezistena adiional cutat, R ad :

R ad = Rg (nV 1),unde nV = U / Ug este raportul de demultiplicare al divizorului de tensiune format cu Rg i R ad ; pentru nV = 30 / 0,495 = 60,61 rezult

R ad = Rg (nV 1) = 9,9 (60,61 1) = 590,1 .Rezistena voltmetrului ce msoar tensiunea U poate fi calculat ca:

R V = Rg + R ad = 9,9 + 590,1 = 600 ,sau , n conformitate cu legea lui Ohm

U 30R V= = = 600 Ig 5 10 2

acelai rezultat, ceea ce este firesc s fie.4. Sursa real de tensiune

Anterior a fost considerat cazul sursei ideale de tensiune i curent.

43

Sursa real de tensiune este un generator de tensiune, care are rezisten intern (R i 0). Un astfel de generator funcionnd n sarcin, se caracterizeaz prin ecuaia:

uAB = e i R g ,sau cu notaiile acceptate pentru circuitele de c.c.

U = E I R i . (1.34)n (1.34) R i = Rg este rezistena intern a generatorului de tensiune.Schema echivalent cu elemente ideale, care este descris de aceast ecuaie poate fi obinut din teorema a doua a lui Kirchhoff (figura 1.26). Spre deosebire de sursa ideal de tensiune pentru care

Fig. 1.26. Surs real de tensiune:a schema echivalent; b caracteristica U I.

tensiunea U nu depinde de curentul I, n cazul sursei reale tensiunea la borne scade cnd curentul crete (relaia 1.34 i figura 1.26, b).Graficul din figura 1.26, b conine dou puncte distincte, care n practic determin dou regimuri de funcionare a sursei:

funcionarea n gol (I = 0)

U = U0 = E ; I = 0

funcionarea n scurtcircuit (U = 0) i n acest caz E U

I = Isc = max. posibil !! U = 0 Ri Ri

44

De menionat c dac regimul de funcionare n gol nu este rezonabil din considerentele c energia nu este distribuit nicieri, n rezultat nici nu are sens de a crea o surs de curent fr a fi utilizat. Regimul de funcionare n scurtcircuit este inad-misibil (n subparagrafele precedente a fost menionat c acest caz de funcionare este un accident care se termin lamentabil pentru sursa de tensiune respectiv se distruge!).

Exemple.1. Sursa real de tensiune are U0= 12 V i I0 = 120 A . Care vor fi elementele schemei ideale?Elementele ideale vor fi:

U0 12E = U0 = 12 V ; Ri = = = 0,1 .

I0 120

2. Se cere schema echivalent a unei surse reale, tensiunea de mers n gol i intensitatea curentului de scurtcircuit, dac sursa debiteaz I1 = 10 A la U1 = 100 V i I2 = 10 A la U2 = 50 V.

Din relaiile U1 = E Ri I1 i U2 = E Ri I2 se obine Ri:

U1 U2 100 50 Ri = = = 5

I2 I1 20 10 Tensiunea de mers n gol este:

U0= E = U1 + Ri I1 = 100 + 5 10 = 150 V,

iar curentul de scurtcircuit

E 150Isc = = = 30 A. Ri 5

5. Sursa real de curent

45

Dac ecuaia (1.34) se mparte la rezistena Ri , se obine: U E = I = Isc I, Ri R i

sau U

Isc = + I = Ii + I. (1.35) R i

innd cont de relaia (1.35), n conformitate cu legea nti a lui Kirchhoff se poate prezenta grafic schema echivalent a sursei reale de curent, care este dat n figura 1.27, a. Elementul ideal care debi-

a b c

Fig.1.27. Surs real de curent:a schema echivalent; c caracteristica I U.

teaz curentul Isc se numete surs ideal de curent (figura 1.27, b); pentru o astfel de surs R i = (Ii = 0) i I = Isc pentru orice U (figura 1.27, c). De regul, curentul Isc se mai noteaz i cu Ig (curentul de generator). I Isc

U0 0 U Fig. 1.28.

Astfel, sursa real de curent esteansamblul alctuit din sur-sa ideal de curent n pa-ralel cu rezistena inter-n a generatorului.Caracteristica curent-tensiune a surseireale de curent este reprezentat n fig-ura 1.28, de unde se vede clar c cu

46

creterea tensiunii intensitatea curentului debitat de surs scade p-n la valoarea I = 0, cnd U = U0 = Isc R i .Exemple. 1. S se determine sursa echivalent real de curent, dac generatorul are t.e.m. E = 100 V i o rezisten intern R i = 0,5 . Curentul sursei reale, rezisten intern a creea este R i = 0,5 se calculeaz srfel:

E 100 Isc = = = 200 A.

R i 0,5

2. Generatorul are U0 = 200 V i Isc = 200 A ; s se determine sursa real echivalent de curent.Trebuie de calculat deci, rezistena intern a sursei, R i :

U0 200 Ig = Isc = 200 A; R i = = = 1 .

Ig 200

Finaliznd acest subparagraf , putem rezuma n felul urmtor rezul-tatele obinute mai sus:Orice generator electric, cu tensiunea de mers n gol U0 i curentul de scurt circuit Isc poate fi reprezentat fie printr-o surs real de tensiune ale crei elemente ideale se determin prin

U0 E = U0 i R i = R g = (figura 1.29, a), Isc

Fig.1.29. Surse reale de tensiune (a) i curent (b)

fie printr-o surs real de curent ale crei

47

elemente ideale pot fi calculate astfel: U0

I0 = Isc i R i = (figura 1.29, b) . Isc

6. Asocierea surselor idealea) Asocierea surselor de tensiune

Dac dou surse ideale de tensiune sunt conectate (asociate) n serie, atunci n montaj adiional acestea admit o surs echivalent de tensiune cu t.e.m. Ee = E1 + E2 (figura 1.30, a).Dac ns sursele sunt n montaj diferenial (sunt n opoziie), t.e.m.

Fig. 1.30. Asocierea surselor de tensiune.

a sursei echivalente va fi Ee = E1 E2 (figura 1.30, b). Prin urmare:un sistem de surse ideale de tensiune asociate n serie admit o surs echivalent cu t.e.m. egal cu suma algebric a t.e.m. a surselor componente:

nEe = Ek . (1.36) k +1

O b s e r v a i e : dou surse ideale de tensiune pot fi conectate n paralel numai atunci cnd tensiunile lor electromotoare sunt egale, adic E1 = E2 = E = Ee t.e.m.. a sursei echivalente.

b) Asocierea surselor de curentDac dou surse ideale de curent sunt conectate (asociate) n para-lel, acestea admit o surs echivalent cu curentul Ige= Ig1+Ig2 (figura

48

1.31, a). Dac sursele sunt n montaj diferenial (n opoziie), atunci

Fig. 1.31. Asocierea surselor de curent.

curentul sursei echivalente va fi: Ige = Ig2 I g1 (figura 1.31, b).Aa dar: un sistem de surse ideale de curent asociate n paralel ad-mit o surs de curent echivalent, avnd curentul egal cu suma algebric a curenilor surselor componente:

nIge = Igk . (1.37) k +1

O b s e r v a i e : dou surse ideale de curent pot fi conectate n serie numai dac au curenii egali, adic Ig1= Ig2= Ig. Curentul sursei de curent, echivalente cu sursele n serie este curentul lor comun Ige=Ig

7. Asocierea surselor realea) Asocierea n paralel a surselor de tensiune

Presupunem date dou surse de tensiune asociate n paralel, aa cum se vede n figura 1.32, a ; trebuie de determinat alementele Ee i Re ale unei surse echivalente. Aceasta se face suficient de simplu,

a bFig. 1.32. Transformri echivalente.

prin transformarea surselor de tensiune n surse de curent (figura 1.32, b).

49

Cele dou surse ideale de curent E1 / R1 = E1G1 i E2 / R2 = E2G2 pot fi nlocuite cu o surs unic, cu curentul sumar E1G1 + E2G2 = = Ige . Rezistena intern a sursei de curent i conductana ei rezult din asocierea n paralel a celor dou rezistene (conductane):

R1 R2Re = , (1.38)

R1 + R2sau

Ge = G1 + G2 .

Revenind la sursa de tensiune care va avea rezistena intern i t.e.m. echivalent (figura 1.32, a):

1 1 E1 + E2

1 E1G1 + E2G2 R1 R2 Ee = Ie = = . (1.39) Ge G1 + G2 1 1

+ R1 R2

Aa dar: tensiunea electromotoare a sursei echivalente este valoarea medie ponderat a t.e.m. ale surselor componente, ponderele fiind conductanele; rezistena intern a sursei echiva-lente se calculeaz ca i cum rezistenele surselor ar fi n paralel.

Exemple. 1. S se determine elementele sursei de tensiune echivalente cu dou surse ide-ntice n paralel.n conformitate cu relaiile stabilite mai sus (1.39) i (1.38), se poate scrie:

2EG R Ee = = E i Ie = .

2G 22.n circuitul din figura alturat se poate considera c sunt asociate n paralel dou surse, una cu t.e.m. nul, E2 = 0. S se determine elementele sursei echivalente de tensiune.

50

Aplicnd relaia (1.39), cu condiia c E2 = 0 obinem:

E1 R1 R2 R1 Ee = = E1 .

R1 R1 + R2 R1 + R2

Rezistena intern este egal: R1 R2

Re = . R1 + R2

b) Asocierea n serie a surselor de tensiuneDac n serie sunt conectate dou surse de tensiune (figura 1.33), se admite prezentarea lor printr-o surs echivalent cu Ee i Re care se pot calcula cu condiia: pentru aceeai tensiune la borne, acestea s fie traversate de acelai curent.Pentru schemele din figura 1.33 se pot scrie relaiile evidente: U = E1 + E2 (R1 + R2)I i U = Ee Re I,din care se obine (identificnd) Fig. 1.33. Asocierea n serie

a surselor de tensiune.termenii:

Ee = E1 + E2 i

Re = R1 + R2 .

Dac n serie sunt asociate n surse, relaiile respective sunt: n

Ee = Ek (1.40)

k +1 n

Re = Rk . (1.41) k +1

n cazul a n surse identice: Ee = n E i Re = n R .

51

c) Asocierea n paralel a surselor de curentSistemul format din n surse reale de curent conectate n paralel poate fi interpretat ca fiind alctuit din n surse ideale de curant i n rezistoare n paralel; elementele sursei echivalente rezult: n

Ige = Igk (1.43) k +1

nGe = Gk . (1.44) k +1

n cazul a n surse identice: Ige = n Ig i Ge = n G .

Exemplu.S se afle sursa de tensiune echiva-lent cu sistemul de surse din figura alturat.Sursa de tensiune se transform n surs de curent, apoi se aplic regulile de asociere n paralel a surselor de cu-rent. Astfel, se obine:

Ige = E / R + Ig = 10/1 + 6 = 16 A;

Re = (1 0,5) / (1 + 0,5) = 0,5 / 1,5 = 1 / 3 .Sursa de tensiune echivalent (v. figura) deine elementele:

Ee = Ige Re = 16 1 / 3 = 5,33 V; Re = 0,33 .

52

1.3. REZOLVAREA CIRCUITELOR ELECTRICE LINIAREDE C.C. CU AJUTORUL DIAGRAMELOR ORIENTATE

1.3.1. Diagrame orientate de cureni i tensiuni

ntr-un circuit electric tensiunile de la bornele laturilor i curenii prin laturi satisfac teoremele lui Kirchhoff. Reamintim aici c prima teorem Kirchhoff se refer la curenii laturilor care se ramific dintr-un nod; a doua teorem la tensiunile la bornele laturilor ce alctuiesc un ochi. n continuare vom urmri modul de aplicare a teoremelor lui Kirchhoff la rezolvarea i analiza circuitelor de c.c.

1. Aplicarea primei teoreme a lui Kirchhoffn conformitate cu prima teorem a lui Kirchhoff ( 1.2), suma algebric a curenilor prin laturile care se ramific dintr-un nod este nul:

Ik = 0 , (1.45) k B

unde cu B se noteaz mulimea indicilor laturilor care se ramific n nodul (b).Exemple.1. ntr-un circuit cu 3 noduri i 6 laturi (N = 3, L = 6 ) se cunosc valorile curenilor aa cum se indic n figura dat. S se verifice 1a teorem a lui Kirchhoff.Aceasta se poate face, aplicnd teorema pentru fiecare nod aparte:

nodul (a) 8 + 4 1 11 = 0; (b) 7 + 5 8 4 = 0; (c) 11 + 1 7 5 = 0,

ceea ce dovedete c intensitile curenilor sunt n deplin concordan cu enunul primei teoreme Kirchhoff. Este momentul s facem o r e m a r c : pentru a verifica prima teorem Kirchhoff

53

nu este necesar s se prezinte circuitul cu toate elementele sale; este suficient s se figureze doar nodurile i laturile circuitului, cu sensurile curenilor figurai pe laturi. Acest mod de prezentare simplificat a circuitului electric poart denumirea diagram orientat de curent. n teoria circuitelor (i nu numai) astfel de diagrame se mai numesc i graf orientat.2. Este dat diagrama de cureni din figura a i unele valori concrete ale curenilor. S se determine curenii ce nu sunt cunoscui.Se scriu ecuaiile nodurilor, conform teoremei 1 Kirchhoff:

nodul (a): I1 + 2 3 1 = 0; (b): I2 + 1+ 1 I1 2 = 0; (c): I3 + 3 + 1 = 0.Din aceste relaii se determin: I1 + 2 4 = 0, I1 = 2 A; I2 + 1+ 1 4 = 0, I2 = 2 A; I3 + 4 = 0, I3 = 4 A.

a

bCurentul I3 rezult negativ, aceasta semnificnd c direcia sa iniial (diagrama sau graful a ) nu este adevrat, sensul real fiind opus celui de referin (ales arbitrar). n figura b este dat diagrama complet a curenilor, exprimai n amperi.Pentru calcularea unui curent trebuie s se cunoasc, care este numrul de ecuaii independente ce se obin prin aplicarea primei teoreme Kirchhoff. Rspunsul la aceast ntrebare poate fi gsit din analiza circuitelor simple din figura 1.34, a i b.

a bFig. 1.34. Diagrame simple de cureni.

54

Precum simplu se verific, pentru circuitul cu dou noduri din figu-ra 1.34, a n ambele noduri ecuaia 1 Kirchhoff este una i aceeai:

I2 I1 I3 = 0 i I2 + I1 + I3 = 0.n cazul circuitului cu trei noduri (figura 1.34, b) pot fi scrise trei ecuaii:

nodul (a): I2 + I1 + I3 = 0;(b): I4 + I5 I2 I1 = 0; (c): I4 I5 I3 = 0.

Sunt scrise trei ecuaii, dar numai dou dintre acestea sunt indepen-dente; de exemplu, ecuaia pentru nodul (c) poate fi obinut din primele dou, nmulite cu ( 1) i adunate. Se poate trage o con-cluzie general: pentru un circuit electric cu N noduri pot fi scrise N 1 ecuaii independente, aplicnd teorema nti a lui Kirchhoff.Astfel

Ik = 0 , (1.46) k B

unde B este mulimea de noduri a circuitului (k = 1, 2, 3,..., N 1).

2. Aplicarea teoremei a doua a lui KirchhoffSe poate de reamintit enunul teoremei 2 a lui Kirchhoff sub prima form a acestuia: ntr-un circuit nchis (ochi) fr t.e.m. suma algebric a cderilor de tensiune este nul:

Uk = 0 , (1.47) k P

unde P este mulimea de indici ale laturilor ce intr n componena ochiului. Semnul + n suma de mai sus corespunde cazului cnd sensul de referin al tensiunii laturii coincide cu direcia n care se parcurge ochiul; n caz contrar, semnul tensiunii este .

Exemple.55

1. S se verifice teorema 2 Kirchhoff pentru ochiurile specificate pe diagrama de tensiuni din figura din dreapta. Tensiunile pe diagram sunt indicate n voli.Pentru ochiurile (1), (2) i (3) se pot scrie urmtoarele ecuaii cunform (1.47):

ochiul (1): 8 + 17 25 = 0; (2): 15 + 10 25 = 0; (3): 17 10 7 = 0.

Aadar, pentru aplicarea celei de a doua teoreme a lui Kirchhoff conform primului enun, nu este necesar s se figureze circuitul electric n detaliu; este suficient s se prezinte numai nodurile i laturi-le cu sensul tensiunilor la borne (v. figura). Asemenea prezentare, ca i n cazul primei teoreme a lui Kirchhoff, poart denumirea de diagram orientat (de tensiuni) sau graf orientat . 2. Este dat un circuit cu L = 6 laturi i N = 4 noduri (v. figura adiacent) se cunosc trei tensiuni la borne. S se determine tensiunile necunoscute i s se prezinte diagrama orientat de tensiuni.

a bDin figura a necunoscute sunt tensiunile U1, U2 i U3. Din ochiul (1) rezult:

U1+ 10 40 = 0; U1 = 30 V.Din ochiul (2) obinem:

U2 + 20 10 = 0; U2 = 10 V.Din ochiul (3) obinem:

U3 U2 U1= 0; U3 = 20 V.Diagrama orientat a tensiunilor este prezentat n figura b.

Dar cte ecuaii (independente) pot fi scrise conform teoremei 2 Kirchhoff ? Numrul ecuaiilor independente de tensiuni pe ochi este egal cu numrul ochiurilor i n d e p e n d e n t e .

56

O c h i u l se consider i n d e p e n d e n t n raport cu alte ochiuri dac nu este constituit din laturile acestora. O definiie i mai simpl: ochiul este independent dac conine cel puin o latur nou. Drept exemplu, n figura 1.35 ochiurile formate din laturile 1,

Fig. 1.35.

3, 6; 2, 4, 6 i 3, 4, 5 sunt independente fiindc toate au cte o latur (cel puin) pe care nu o au celelalte. Ochiul ns format din laturile 1, 2 i 5 nu este inde-pendent din simplu motiv c nu coninenici o latur care nu ar aparine celor trei

ochiuri. Aadar, dac numrul total de laturi ale unui circuit este L iar numrul total de noduri N, n conformitate cu teorema lui Euler, numrul de ochiuri independente este:

M = L (N 1). (1.48)Aplicnd teorema a doua a lui Kirchhoff ntr-un circuit cu L laturi i N noduri, se obine un sistem de ecuaii independente M = L N +1 de tensiuni pe ochiuri:

Um = 0 , unde p = 1, 2, ..., M . mP

n continuare vom demonstra utilizarea teoremei 2 Kirchhoff n cea de-a doua formulare, enunul creea este: nte-un ochi indepen-dent de circuit suma algebric a t.e.m. este egal cu suma algebric a cderilor de tensiune. S ne clarificm, despre ce este vorba. Foarte frecvent circuitele de c.c. sunt constituite doar numai din re-zistoare i surse de tensiune. Dup echivalarea elementelor reale de circuit cu elemente ideale, o latur k a circuitului poate fi compus doar numai dintr-un rezistor ideal i o surs ideal de tensiune, legate n serie. n aa caz se poate scrie:

Em = Im Rm (p = 1, 2, ..., M ). (1.49) mP mP

57

Din relaia (1.49) urmeaz c la aplicarea teoremei 2 Kirchhoff sub aceast form, ochiul de reea se parcurge de dou ori: o dat pentru t.e.m. i a doua pentru cderile de tensiune pe rezistoare.n privina semnelor +, : semnul unei t.e.m. este + dac sensul ei coincide cu sensul ales pe ochi, n caz contrar este ; sensul unei cderi de temsiune Im Rm este + dac sensul curentului prin rezistor coincide cu sensul ales pe ochi, n caz contrar este . S vedem toate acestea, cum se spune n lucru.Exemple.1. S se deduc ecuaiile, satisfcute de intensitile curenilor prin cele trei la-turi ale circuitului de c.c.din figura 1.36.

Fig. 1.36.

n circuit observm dou noduri N = 2 i trei laturi L = 3. Prin urmare, con-form teoremei 1 Kirchhoff (sau mai laconic Kirchhoff 1) pot fi scrise N 1 = 2 1 = 1 ecuaii; conform Kirchhoff 2 se pot scrie M = L N + 1 = 2 ecuaii. Aceste ecuaii sunt:

pentru nodul (a) I1 + I2 I3 = 0;pentru ochiul (1) E1 E2 = I1R1 I2R2;

(2) E2+ E3 = I2R2+ I3R3.Semnul termenilor n partea stng i dreapt a ecuaiilor scrise conform teore-mei 2 Kirchhoff se determin aa cum a fost menionat n ultimul alineat.Observaie. Dac circuitul liniar conine i surse de curent, atunci pentru ochi-urile cu aceste surse se aplic forma general a teoremei 2 Kirchhoff, n care se nlocuiesc n funcie de cureni numai tensiunile la bornele rezistoarelor, iar tensiunile la bornele surselor de curent se pstreaz ca necunoscute (v. exem-plul ce urmeaz).

2. S se obin ecuaiile circuitului din figura 1.37 aplicnd, unde-i posibil, forma particular a teoremei Kirchhoff-2.

58

n schema propus N = 3, deci conform Kirchhoff-1 pot fi scrise dou ecuaii:

(a) I1 = I3 + I4 + Ig ;

(b) I2 + I3 + I5 + Ig = 0;

n ecuaiile de mai sus s-a nlocuit I6 cu Ig, unde este curentul debitat de sursa Fig. 1.37.

ideal de curent. Conform teoremei Kirchhoff-2 pot fi scrise 5 3 + 1= 3 ecua-ii i anume:

(1) E1 = I1R1+ I4R4;(2) 0 = I3R3 I5R5 I4R4;(3) E2 = I5R5 I2R2 .

Ultima ecuaie pentru ochiul (4) ce conine sursa ideal de curent se poate scrie pa baza formei generale Kirchhoff-2: (4) I3R3 Ug = 0.

1.3.2. Rezolvarea circuitelor cu ajutorulteoremelor lui Kirchhoff

Procesul de rezolvare a circuitelor electrice de c.c. i obinerea valorilor numerice ale intensitilor curenilor i tensiunilor cuprin-de trei etape:

stabilirea i scrierea sistemului de ecuaii al circuitului; soluionarea sistemului de ecuaii i determinarea necunos-

cutelor (cureni i tensiuni); verificarea corectitudinii calculelor.

Prima etap ncepe cu rspunsul la ntrebarea: cte ecuaii trebuie de scris? Rspunsul este evident: exact attea ecuaii, cte necunos-cute sunt prezente. A doua ntrebare fireasc: cte ecuaii se scriu n conformitate cu teorema nti i cte cu teorema a doua a lui Kirchhoff ? Rspunsul este: dac circuitul liniar de c.c. conine L la-turi i N noduri, atunci:

conform teoremei 1 Kirchhoff se scriu N 1 ecuaii pentru curenii laturilor ce au acces la nodul n (n = 1, 2, ..., N 1);

59

conform teoremei 2 Kirchhoff se scriu L ( N 1)=M ecu-aii ntre cele L tensiuni la bornele laturilor.

Aa dar, sistemul de ecuaii este:

Ik = 0 (a = 1, 2, ..., (N 1)) (1.50) kA

conform teoremei 1 Kirchhoff i

Em = Im Rm (p = 1, 2, ..., M ). (1.51) mP mP

Ecuaiile (1.50) i (1.51) includ i situaiile particulare n care latura m este alctuit numai dintr-un rezistor (Em = 0 ) sau numai dintr-o surs t.e.m. (Rm = 0).Dac circuitul are i surse de curent, atunci:

sursa de curent determin curentul prin latura respectiv (acesta nu mai este necunoscut), numrul necunoscutelor se reduce cu o unitate la cureni, dar adaug o nou necunoscut care este tensiunea la bornele sursei de curent;

numrul de ochiuri pe care se pote scrie a doua teorem Kirchhoff se reduce dar, pentru ochiurile rmase se poate aplica teorema 2 Kirchhof n forma general. Prin urmare, i n acest caz rezult un sistem de L ecuaii cu L necunoscute care sunt toate tensiunele la bornele generatoarelor de curent i toate intensitile curenilor prin laturile care nu conin surse de curent.n continuare, vom urmri cele expuse mai sus prin analiza a dou circuite de c.c.Exemple.1. S se determine intensitile curenilor debitai de cele dou surse de t.e.m. ale circuitului din figura 1.38, unde E1 = 19 V, E2 = 7 V, R1 = 2 , R2 = 1 , R3 = 3 .

60

Fig. 1.38.

Etapa 1.n circuit sunt N = 2 noduri i L = 3 laturi. Este clar c ecuaii trebuie s se stabileasc: (N 1) + L (N 1) = L;n cazul de fa : 2 1 + 3 2 + 1 = 3.Conform teoremei 1 Kirchhoff : N 1 = 2 1 = 1ecuaii;

conform teoremei 2 Kirchhoff : L (N 1) = 3 2 + 1= 2 ecuaii. Astfel, se obin trei ecuaii:

nodul (a) I1 + I2 = I3 ;ochiul (1) E1 = I1R1+ I3R3;

E2 = I2R2 + I3R3.nlocuind cu valorile numerice se obine sistemul de ecuaii:

I1 + I2 = I3 ;19 = 2I1 + 3I3 ; 7 = I2 + 3I3 ;

Aici se ncheie prima etap, prin obinerea unui sistem de trei ecuaii neconoscute cei trei cureni I1, I2 i I3.Etapa 2. Rezolvarea sistemului de ecuaii i determinarea necunoscutelor.Folosind prima ecuaie, nlocuim I3 n celelalte dou:

19 = 2I1 + 3 (I1 + I2) = 5I1 + 3 I2 ;7 = I2 + 3 (I1 + I2) = 3 I1 + 4 I2 .

S-a obinut un sistem din dou ecuaii cu dou necunoscute I1 i I2 care pot fi calculate, de exemplu prin metoda reducerii, sau utiliznd determinanii. Astfel, I1 = 5 A i I2 = 2A. Etapa 2 se ncheie cu determinarea curentului I3, din prima ecuaie de unde rezult:

I1 + I2 = 5 2 = 3 A = I3.

Avnd valorile cunoscute ale intensitilor curenilor se pot construi diagramele orientate (grafurile) de cureni (figura 1.39, a) i tensiuni (figura 1.39, b).

61

Fig. 1.39. Diagramele orientate (grafurile) curenilor (a) i tensiunilor (b)circuitului de curent continuu.

Totul este bine, dar... cum rmne cu etapa 3 verificarea? Rspuns la aceast ntrebare rmne s se dea ulterior. Acum ns trebuie s fie clar un lucru, imp-ortant: verificarea prin folosirea teoremelor Kirchhoff nu detecteaz eventuala eroare de calcul! Este necesar deci un alt instrument.

Teorema conservrii puterilor. S considerm ecuaiile obinute prin aplicarea teoremei 1 Kirchhoff tuturor nodurilor unui circuit electric. nmulind fiecare din aceste ecuaii cu potenialul noduluirespectiv i sumnd toate relaiile astfel obinute, rezult:

n

Vj Ik = 0. (1.52)j= 1 k (j)

Dat fiind faptul c n relaia (1.52) n membrul stng fiecare din cureni figureaz de dou ori (odat nmulind potenialul Vk(e) al nodului din care iese curentul cu semnul +, i odat Vk(i) al nodu-lui n care intr curentul, cu semnul ), relaia (1.52) poate fi res-cris sub forma:

l l

Ik (Vk(e) Vk(i)) = Uk Ik = 0, (1.53) k= 1 k= 1

deoarece diferena Vk(e) Vk(i) este tocmai tensiunea Uk la bornele laturii k. n conformitate cu acest rezultat, numit teoremma con-servrii puterilor suma puterilor schimbate pe la borne de laturile unui circuit electric complet (nchis) cu cmpul electromag-netic al surselor t.e.m. este ntotdeauna nul.Folosind relaia U + E = I R pentru fiecare latur activ de curent rezultatul (1.53) se mai poate pune sub forma:

l l

62

Ik (Rk Ik Ek) = Uk Ik = 0, (1.53) k= 1 k= 1

sau l l

Rk I k2 = Ek Ik , (1.54) k= 1 k= 1

corespunznd urmtorului enun al teoremei: suma puterilor consumate prin efect electrocaloric ireversibil (Joule) n rezisten-ele unui circuit electric complet este egal cu suma algebric a puterilor cedate de sursele de energie electric.Verificarea egalitii (1.54) pentru un circuit electric se numete bilanul puterilor circuitului respectiv.Revenind la exemplul cu figura 1.38, poate fi efectuat verificarea, adic Etapa 3. Puterea dat de surse:

E1I1 E2I2 = 19 5 7 2 = 95 14 = 81 W.Puterea consumat n rezistoare:

R1 I12 + R2 I22 + R3 I32 = 2 25 + 1 4 + 3 9 = 81 W.Aadar,

R1 I12 + R2 I22 + R3 I32 = E1I1 E2I2 i

81 W = 81 W.

n concluzie se poate afirma c verificarea calculelor se finalizeaz cu bilanul puterilor.

2. S se efectueze analiza circuitului din figura 1.40; valorile t.e.m. ale surse-lor de tensiune, a intensitii curentului sursei de curent i valorile rezisenelor sunt date direct n dreptul elementelor respective.n acest exemplu se va executa doar etapa 1 (aa se pune problema).Deoarece circuitul are L = 6 i N = 4, ecuaii trebuie s se scrie 6: trei pentru cureni i trei de tensiuni. Se obine:

63

(a) I1 = I2+ I3 ;(b) I4 = 0,25+ I3 ;

Fig. 1.40.

(c) I4 + I5= 0,25.Acestea sunt trei ecuaii de cureni scrise conform teoremei 1 Kirchhoff; urm-toarele trei ecuaii de tensiuni, se scriu conform teoremei 2 Kirchhoff:

(1) 9 = 10 I1 + 5 I2 ;(2) 6,5 = 5 I2 15 I4 20 I3;(3) 0 = Ug 15 I4.

Diagramele orientate (grafurile) de cureni (a) i tensiuni (b) sunt reprezentate n figura de mai sus. Soluiile respective sunt marcate pe figuri n amperi (A) i voli (V ).n multe cazuri concrete, circuitele liniare pot fi analizate direct, construindu-se concomitent ambele diagrame. S urmrim aceast tehnologie.Exemplu.S se determine intensitile curenilorprin laturile circuitului rep-rezentat n figura1.41,a. Valorile t.e.m.i a rezistenelor sunt notate pe schem.

Fig. 1.41.

Circuitul are N = 3 i L = 7. Nodul (c) este conectat la mas, ntre nod-urile (a) i (c), respectiv (b) i (c) sunt conectate cele dou surse cu t.e.m. , de 12 V i 6 V; deci potenialele nodurilor (a) i (b) fa de mas sunt cunoscute:

64

Va = 12 V i Vb = 6 V. diferena de potenial ntre nodurile (a) i (b) este egal Va Vb = 12 6 = 6 V (figura 1.41, b). Cum se vede n schem, rezistoarele de 3 k i 6 k sunt conectate ntre nod-ul (a) i mas; intensitile curenilor prin aceste rezistoare sunt: 12 V / 3 k = 4 mA i 12 V / 6 k = 2 mA. n mod asemntor se calculeaz curenii prin rezistorul de 1 k legat ntre nodul (b) i mas, precum i prin rezistoarele de 2 k i 6 k legate ntre nodurile (a) i (b) (figura 1.41, c).Este simplu de calculat curenii debitai de sursele ideale de t.e.m., prin aplica-rea teoremei 1 Kirchhoff pentru nodurile (a) i (b) (figura 1.41, d). Diagrama de tensiuni complet (figura 1.41, e) justific valorile curenilor obinui n dia-grama de cureni.

Merit de subliniat c utilizarea teoremelor Kirchhoff n calculele i analiza circuitelor liniare de c.c. nu totdeauna este justificat. De exemplu, n cazul circuitelor liniare cu o unic surs de t.e.m., este rezonabil utilizarea aa-numitei metode de transfigurri simple. Vom exemplifica aceasta pe un caz concret. Presupunem dat circuitul de c.c. liniar cu o singur surs de energie, schema rep-rezentat m figura 1.42, a. Cum se vede, N = 2 i L = 3 i, conform

Fig. 1.42. Schema echivalent a unui circuit liniar de c.c.

celor expuse anterior ar trebui de stabilit sistemul de ecuaii (n cazul de fa, 1 ecuaie n cureni 2 1 = 1 i dou ecuaii n tensi-uni L N +1 = 3 2 + 1 = 2), de rezolvat sistemul de trei ecuaii cu

65

trei necunoscute curenii I1, I2, i I3 i de finalizat cu verificarea soluiei. Toate acestea nu prezint dificulti n acest caz, dar se poate, totui de procedat i mai simplu, apelnd la metoda trans-figurrilor simple. Cu unele elemente ale acestei metode ne-am ntlnit deja, n cazul calculelor rezistenei echivalente a dou sau mai multe rezistoare, conectate n serie sau paralel. Exerciiul efectuat n figura 1.42 poziiile b, c i d n literatura de limb rus poart denumirea de , ceea ce n traducere nseamn nfurare desfurare. ntr-adevr, de la poziia a la poziia d are loc nfurarea schemei: rezistoarele R2 i R4 sunt conectate n serie, deci R24 = R2 + R4; rezistoarele R3 i R24 sunt conectate n paralel, deci R3 24 = R3 (R2 + R4)/ R3 + (R2 + R4), pozi-ia c (n urma acestei transfigurri nodul (a) s-a transformat din real n eliminat); rezistoarele R1 i R3 24 sunt conectate n serie, deci rezi-stena echivalent a circuitului va fi

R3 (R2 + R4) R1 3 24 = R1 + R3 24 = R1 + .

R3 + R2 + R4 E

Iar acum se poate calcula curentul primei laturi I1 = . R1 3 24

Curenii I2 i I3 pot fi determinai dac se cunoate tensiunea U(a b) (aici, practic ncepe desfurarea schemei) care poate fi calculat conform regulei divizorului de tensiune ( 1.1.3):

R 3 24 U(a b)

U(a b) = E ; I3 = (legea lui Oh); I2 = I1 I3 . R1 + R 3 24 R3

Volumul de lucru se poate dovedi ceva mai mare, dar el este elementar, ceea ce micoreaz considerabil probabilitatea erorilor.n continuare vom mai analiza un caz, demn de atenie aparte.Exemplu.S se determine cderea de tensioune la bornele rezistorului de 150 i inten-sitatea curentului prin rezistorul de 300 din circuitul de c.c. reprezentat n figura 1.43, a.

66

a bFig. 1.43.

Circuitul dat poate fi echivalat cu cel din figura 1.43, b dac se ine cont c: rezistoarele de 100 i 200 sunt n serie i echivalente cu un rezistor

de 300 ; rezistoarele de 300 i 600 sunt legate n paralel i echivalente cu

un rezistor de 200 ; sursele de 200 V i 55 V n serie, sunt echivalente cu una singur, cu

sensul celei de 200 V, de valoare 145 V.

Circuitul echivalent obinut n urma acestor modificri este reprezentat n figu-ra 1.43, b. Uor de observat c schema a devenit mai simpl i conine cu o latur mai puin, fiind L = 3 iar N = 2. Nu vom intra de aceast dat n detaliile de rezolvare a acestui nou circuit, ci vom prezenta soluia din figura 1.44. Solu-

Fig. 1.44. Diagrame orientate i soluii (schema echivalent, 1.43, b).ia obinut pentru circuitul echivalent este suficient pentru determinarea mrimilor cutate. n figura dat mai sus sunt reprezentate diagramele orientate (grafurile) de cureni i tensiuni ale circuitului dat (figura 1.43, a), de-duse din diagramele circuitului echivalent (figura 1.43, b), n mod direct.

Acest exemplu este semnificativ prin faptul c n urma transfigur-rilor echivalente a schemei din figura 1.43, a s-a obinut schema

67

echivalent din figura 1.43, b n care elementele pasive (rezistoare-le) formeaz o stea. Cum se procedeaz mai departe? Vom vedea n continuare.

1.3.3. Relaii de transfigurare

T r a n s f i g u r a r e a unui circuit const n transformarea acestuia ntr-un circuit echivalent: cunoscutele exemple de conectare a rezis-toarelor n serie i n paralel, echivalarea unui generator real de tensiune cu un generator real de curent etc. n electritehnic metodele de transfigurare sunt folosite pentru simplificarea circuitelor, a calculelor i analizei acestor circuite lucru care a fost menionat deja, ceva mai sus. n continuare, vom studia cteva tipuri de transfigurri, nc necu-noscute la acest moment.

1. Transfigurarea stea- triunghi i triunghi-stea. n figura 1.45, a este dat un circuit, configuraia cruia permite catalogarea lui ca circuit n stea, iar cel din figura 1.45, b ca circuit n triunghi Elementele acestor circuite sunt R1, R2 i R3, respectiv R12 , R23 i R31.

Fig. 1.45.Circuitul n stea are trei laturi legate ntre un nod central i bornele de acces, iar circuitul n triunghi are cele trei laturi legate direct ntre cele trei borne de acces.A transfigura triunghiul n stea nseamn a gsi elementele R1, R2 i R3 ale unui circuit n stea care poate nlocui n orice condiii

68

circuitul n triunghi, deci care este echivalent cu acesta. Prin urma-re, se dau R12, R23 i R31 i se cer R1, R2 i R3. Punndu-se problema echivalenei n orice condiii, cele dou circu-ite sunt echivalente i atunci cnd se alimenteaz numai la o singur pereche de borne, de exemplu ntre bornele (1) i (2), fiind borna (3) n gol, liber (aa cum este artat n figura 1.45). n acest caz cele dou rezistene echivalente R1, i R2 trebuie s fie egale (n sum) cu :

R12 (R23 + R31)R1 + R2 = .

R12 + R23 + R31

n mod analog, alimentnd pe la bornele (2), (3) i (3), (1) se obin relaiile urmtoare:

R23 (R31 + R12)R2 + R3 =

R12 + R23 + R31 R31 (R12 + R23)

R3 + R1 = R12 + R23 + R31

Din adunarea celor trei ecuaii se obine:

R12 R23 + R23 R31 + R31R12 R1 + R2 + R3 = .

R12 + R23 + R31

Dac din aceast relaie se scad pe rnd cte una dintre ecuaiile precedente, pentru R1, R2 i R3 se obine:

R12 R31 R23 R12 R31 R23 R1 = ; R2 = ; R3 = . R12 + R23 + R31 R12 + R23 + R31 R12 + R23 + R31

(1.55)Dac rezistoarele din laturile triunghiului sunt de egal valoare, adic R12 = R23 = R31 = R atunci se obine: R1 = R2 = R3 = R /3. Aceast particularitate i raportul rezistenei laturilor triunghi-stea este frecvent utilizat n electrotehnica practic. (de exemplu, la pornirea unor motoare electrice asincrone).

69

Transfigurarea stea triunghi. Pentru aceasta cele dou circuite se alimenteaz pe rnd ca n figura 1.45, de exemplu pe la bornele (1) i (2), cu bornele (3) i (2) n scurtcircuit. Se calculeaz conductanele echivalente care trebuie s fie egale i se obine:

G1 (G2 + G3) G12 + G31 = ;

G1 + G2 + G3

G2 (G3 + G1) G23 + G12 = ;

G1 + G2 + G3

G3 (G1 + G2) G31 + G23 = .

G1 + G2 + G3

Dac acest sistem de ecuaii se rezolv asemntor cazului prece-dent, se obine:

G1 G2 G2 G3 G3 G1G12 = ; G23 = ; G31 = . G1 + G2 + G3 G1 + G2 + G3 G1 + G2 + G3

(1.56)innd cont c G = 1 / R , pot fi obinute expresii pentru R12, R23 i R31 :

R1R2 R2R3 R3R1R12 = R1 + R2 + ; R23 = R2 + R3 + ; R31 = R3 +R1 + .

R3 R1 R2 (1.57)

Dac conductanele circuitului n stea sunt n toate laturile egale, adic G1 = G2 = G3 = Gst = 1 / R tr , obinem:

1 Gs t 1 G12 = G23 = G31 = = =

R t r 3 3 R s t de unde rezult

70

R t rR s t = , ca i n cazul precedent.

3n relaiile de mai sus R s t este rezistena laturei de stea, respectiv R t r de triungi. Exemplu.Eficiena acestui tip de transfigurri poate fi urmrit n schema din figura 1.46, unde n poziia a este schema unui pod neechilibrat iar n poziia b schema dup transfigurarea stelei r1, r2, i r5 n triunghiul rab , rbc i rca .

a bFig. 1.46.

2. Transfigurarea circuitelor n generatoare echivalente. Metoda generatorului echivalent

n unele cazuri practice apare necesitatea studierii regimului de funcionare a unei laturi dintr-un circuit electric complex, n dependen de modificarea rezistenei acestei laturi. n acest caz nu este necesar de efectuat calcule voluminoase ale circuitului n ansamblu, dac se utilizeaz metoda generatorului echivalent. n conformitate cu aceast metod, influena tuturor surselor circui-tului asupra laturii n cauz poate fi nlocuit cu aciunea unui generator echivalent conectat n serie cu latura, cu t.e.m. Eec i rezistena intern rec (indicele ec nsemn echivalent).Vom demonstra posibilitatea acestei transfigurri pentru determi-narea curentului n latura cu un rezistor variabil r, din schema repre-zentat n figura 1.47, a.

71

Fig. 1.47. Schemele circuitului pentru determinarea curentului uneilaturi dup metoda generatorului echivalent.

Presupunem c sunt date E1, E2, E3 i rezistoarele r1, r2, r3, r4, r5 ale schemei. Pentru a stabili dependena curentului de rezistena r sepa-rm latura, restul circuitului fiind inclus n dreptunghiul cu linie punctat, indicnd bornele a i b prin care acesta este conectat cu latura investigat (figura 1.47, b). Partea selectat a circuitului avnd dou borne, este un cuadripol activ A, litera A n interiorul dreptunghiului indicnd c influena surselor E1, E2 i E3 asupra laturii studiate nu este nul.Conectm n latura cu pricina dou surse de t.e.m. egale ca mrime dar cu sens opus, E' i E" (poziia c, n aceeai figur); evident, cu-rentul I n latur va fi acelai ca i n poziia b. Acest curent poate fi interpretat ca suprapunerea curenilor Ia provocat de E', E1, E2, E3 (schema poziia d) i Ib sub aciunea t.e.m. E" (schema poziia e, unde laturile circuitului nu conin surse, deci dreptunghiul este pasiv i notat P).

72

Pentru ca curentul I al laturii cercetate s fie egal cu curentul Ib din schema figura 1.47, e sursa E' se alege de aa valoare ca curentul Ia s fie egal cu zero. Aceast condiie poate fi respectat, dac t.e.m. E' va fi egal cu tensiunea de mers n gol la bornele a i b a circu-itului: E' = Uabg ol . Valoarea t.e.m. E' pentru aceste condiii poate fi determinat i pa cale analitic; n acest caz, utiliznd lagea lui Ohm pentru o latur din circuit cu t.e.m. E' i tensiunea Uab (schema 1.47, d):

Uab E' Ia = .

rDin aceast ecuaie se vede c pentru curentul Ia = 0 t.e.m. E' este egal cu tensiunea de mers n gol Uabg ol la bornele a i b ale schemei. Prin urmare, pentru a determina curentul I al circuitului iniial este suficient de studiat numai schema din figura 1.47, e cu sursa de t.e.m. E" = E' = Uabg ol . Acest circuit const din elementul rezistiv al laturii studiate r nseriat cu rezistena de intrare rin a celeilalte pri ale schemei (rin = r) fa de bornele a i b (schema 1.47, f ). Rezistena de intrare a prii pasive a circuitului din figura 1.47, e poate fi calculat, inndu-se cont de regula: generatoarele de t.e.m. se scurtcircuiteaz, iar laturile cu generatoarele de curent se rup. Astfel, rezistena de intrare fa de bornele a i b (schema 1.47, a) va fi:

r6 (r' + r4) rin = ,

r6+ r' + r4

r1 r2 r3 + r1 r3 r5 + r2 r3 r5unde r' = .

r1 r2 + r1 r3 + r1 r5 + r2 r3 + r2 r5

Influena t.e.m. E" asupra rezistenei r din schema figura 1.47, f poate fi prezentat ca influena generatorului echivalent de t.e.m. Eechiv care este egal cu tensiunea de mers n gol la bornele a i b la care se conecteaz latura cercetat:

Eechiv = E" = Uabg ol .

73

Rezistena intern a generatorului echivalent este egal cu rezistena de intrare a celeilalte pri pasive ale schemei fa de bornele a i b, la care se conecteaz latura menionat:

rechiv = rin .Cunoscnd Eechiv i rechiv ale generatorului echivalent (schema 1.47, f ) se poate calcula curentul prin latura studiat:

Eechiv I = . (1.58) r + rechiv

Aceast metod de calcul a curentului printr-o latur a unui circuit electric complex este numit metoda generatorului echivalent sau metoda dipolului activ; prima dintre aceste denumiri este legat cu efectul nfluenei circuitului n ansamblu asupra laturii studiate, drept influena unui generator echivalent. A doua denumire este legat de faptul c, n raport cu latura n cauz restul circuitului conectat cu latura prin bornele a i b, este numit dipol.Ceea ce pare curios i important de subliniat este faptul c n literatura de specialitate occidental aceste metode poart denumi-rea de teoreme ale lui Helmholtz i Thevenin. n literatura respec-tiv sovietic (de limb rus) foarte puini autori pomenesc numele savanilor menionai.Este clar din cele expuse mai sus c teorema Helmholtz Thevenin se refer la generatorul echivalent de tensiune. Judecnd n mod analog, poate fi introdus conceptul de generator echivalent de curent ceea ce a i fost fcut de un alt savant Norton, prin teorema care-i poart numele. Generatorul echivalent de tensiune se poate de

74

transfigurat n generator echiva-lent de curent (figura 1.48) i n aa fel se obine generatorul echi-valent de curent al circuitului n raport cu bornele A i B. Se poate enuna deci urmtoarea teorem a generatorului echivalent de cu-rent al unei reele active: n raport cu dou borne A i B orice circuit liniar activ de c.c.se poate transfi-gura ntr-un generator echivalent

Fig. 1.48. Transfigurarea genera-torului echivalent de tensiune (a)

n generator echivalent de curent (b).

de curent avnd Ig = IscAB = UAB 0 / RAB0 i conductana echivalent GAB0 = 1 / RAB0 .S considerm generatorul echivalent de curent al unui circuit, care debiteaz pe un receptor de conductan G = 1 / R . Calculm tensiunea UAB la bornele receptorului:

1 UAB = IAB R = IAB .

GFolosind cunoscuta teorem a divizorului de curent, obinem IAB:

RAB 0 G IAB = Isc AB = IscAB .

R + RAB 0 G + GAB 0 nlocuind n expresia tensiunii, vom obine pentru aceasta:

Isc AB UAB = . (1.59)

G + GAB 0

Relaia (1.59) este exprimarea matematic a teoremei lui Norton, care poate fi enunat astfel: tensiunea la bornele unei laturi pasive de conductan G conectate ntre bornele A i B ale unei reele liniare active de c.c. este egal cu raportul dintre intensitatea cu-rentului care se stabilete la scurtcircuitarea bornelor i suma

75

dintre conductana G a laturii i conductana GAB 0 a reelei pasi-vizate fa de bornele A , B.

1.3.4. Teorema transferului maxim de putere

Pentru circuitul activ reprezentat n figura 1.49 tensiunea pe reziste-na de sarcin rs , conform legii lui Ohm pentru un sector (latur) pasiv de circuit, este egal : Uab = I rs . Anterior a fost artat c t.e.m. a unei surse de energie este : E = Uab+ r I, unde r este rezis-tena intern a sursei. nlocuind Uab se poate scrie:

E = Uab+ r I = r I + rs I . (1.60) Exptresia (1.60) este ecuaia ce reflect starea echilibrului electric ntr-un circuit simplu nchis. Din aceast ecuaie se poate obine legea lui Ohm pentru un circuit simplu nchis cu generator echivalent de t.e.m..E (figura 1.48, a):

EI = . (1.61)

r + rs Puterea circuitului extern este

rs E 2Ps = rs I 2 = . (1.62)

(r + rs) 2

Curentul n circuitul exterior al generatorului echivalent de curent (schema de transfigurare paralel, figura 1.48, b) poate fi calculat:

U rs I

I = Ig = Ig , (1.63) r r

unde Ig (n figura 1.51 notat Ik) este curentul sumar al generatorului, I curentul debitat pe sarcin i de unde

r

76

I = Ig . ( r + rs )

Fig. 1.49. Schema unui circuit nchis de curent.

Fig. 1.50. Regim de funcionare a sursei de energie: a nedorit (mers n gol); b inadmisibil

(scurtcircuit)

a bFig. 1.51. Scheme reale ale surselor de energie:

a de tensiune (schema consecutiv); b de curent(schema paralel de transfigurare).

Puterea dezvoltat n sarcin (figura 1.49) va fi egal:

rs I g2 r 2Ps = rs I 2 = . (1.64)

(r + rs) 2

Aceast putere este nul n dou cazuri: n regimul de mers n gol (rs = ) i cazul de scurtcircuit (rs = 0). Puterea debitat pe sarcin este maxim atunci cnd relaia rs/(r+rs)2 atinge valoarea maximal;

77

lund derivata de gradul nti a acestei fracii i egalnd-o cu zero, vom afla condiia de transmitere a puterii maxime de la surs pe sarcin:

d r (r + rs) 2 2 r (r + rs) = = 0

d t (r + rs) 2 (r + rs) 2

sau(r + rs) 2 2 r (r + rs) = 0,

de unde se determin rs = r. (1.65)

n cazul generatorului de t.e.m. E (schema consecutiv, figura 1.51, a) puterea absorbit de sarcin (receptor) :

P = r I 2 .Conform legii lui Ohm (schema 1.49) :

EI = , (r + rs)

puterea va fi rs E 2 E 2

P = = . (1.66) (r + rs)2 r 2

+ rs rs

T.e.m. fiind dat, puterea va fi maxim cnd numitorul va fi minim. Pentru a gsi minimul numitorului, constatm c produsul terme-nilor este constant, adic:

r rs = r.

rs Este cunoscut din matematic: dintre toate perechile de numere al cror produs este constant, suma numerelor e minim cnd ele sunt

78

egale; de exemplu, 1 16 = 2 8 = 4 4 4 + 4 < 2 + 8 < 1 + 16. Prin urmare, deoarece produsul termenilor din paranteza de la numitor (relaia 1.66) este constant, suma lor va fi minim cnd ei sunt egali:

r = rs rs = r . (1.67)

rs Am obinut aceeai condiie ca i n cazul generatorului de curent, relaia (1.65).n acest caz puterea maxim va fi:

E 2 Pmax = . (1.68)

4 rSe ajunge astfel la enunul teoremei transferului maxim de putere: un generator transfer unui rezistor(sarcine) o putere maxim E 2 / 4 r atunci cnd rezistena rezistorului este egal cu rezistena intern a generatorului.Puterea poate fi deci reprezentat ca funcie de R (rs) observnd c:

pentru R = 0, puterea P = 0 (v. figura 1.52); R = Ri (r), puterea P = Pmax ; R = , puterea P = 0.

Receptorul care satisface condiia de transfer maxim de putere este considerat adaptat sursei. Adaptarea receptoarelor este important i se utilizeaz pe larg n tehnica semnalelor (televiziune, radioteh-nic etc.). Prin urmare, puterea generatorului de energie se consum, parial debitat pe sarcin, parial irosit n interiorul su. Chiar i n cazul unui regim adaptat puterea pierdut n interiorul sursei de energie este egal cu o jumtate din puterea total, adic:

P = r I 2 = rs I 2 = E I / 2 .Se poate defini randamentul transferului de energie ca :

P t P = = ,

79

Pg t Pg unde P = rs E 2/ (r + rs)2 este puterea debitat pe sarcin iar Pg = E 2/ (r + rs). Prin nlocuire se obine: rs 1

= = . (1.69)r + rs 1 + r / rs

Din formula (1.69) se vede c n cazul mersului n gol cnd rs = randamentul este gol = 1; n caz de scurtcircuit, cnd rs = 0 randa-mentul sc = 0. n regim adaptat (r = rs) ad = = 0,5.

Fig. 1.52. Fig. 1.53.n figura 1.53 sunt reprezentate curbele P (Pg), Ps (P) i funcie de mrimea relativ a rezistenei circuitului exterior, rs / r. Merit de subliniat faptul c n condiii practice regimul nominal al puterii surselor rareori coincide cu regimul adaptat, fiindc n acest caz randamentul este ad = 0,5 (v. figura) iar curentul sursei prin sarcindepete considerabil curentul nominal. Aceasta poate conduce lao degajare substanial de cldur n interiorul sursei.Regimul adaptat poate fi acceptat n cazurile practice, atunci cnd un randament mic nu este determinant. Dar dac considerentele economice sunt hotrtoare, stunci rezistena intern a sursei trebuie s fie mai mic dect rezistena circuitului exrerior (r < rs). ntr-un astfel de caz regimul nominal al sursei sete aproape de regimul de mers n gol i 1.

80

1.3.5. Metoda curenilor de contur (Maxwell)

Rezolvarea circuitelor electrice prin metoda direct (a transfigur-rilor simple) i a teoremelor Kirchhoff ridic dificultatea rezolvrii unui sistem cu un numr mare de ecuaii i necunoscute ce corespunde numrului de laturi. n condiiile impuse de tehnica actual, cnd circuitele utilizate n practic devin tot mai complexe, problema gsirii unor metode care ar reduce considerabil volumul calculelor se impune imperios. Tendina fireasc n aceste condiii este, n primul rnd aceea de a micora efortul de calcul, prin reducerea numrului de ecuaii ce trebuie rezolvate. O asemenea reducere se poate realiza utiliznd n locul intensitilor curenilor din laturi alte variabile (mrimi fictive sau de semnificaie fizic real), care s satisfac identic cte una din cele dou teoreme ale lui Kirchhoff.Astfel, conform unei observaii fcute de Maxwell, se poate considera c fiecrei bucle (sau ochi) a unui sistem dat de bucle fundamentale (sau independente) i se poate asocia un curent fictiv I c, numit curent ciclic sau curent de contur care s parcurg n cir-cuit nchis bucla dat, aa nct intensitatea curentului real din orice latur a circuitului s fie suma algebric a intensitilor cu-renilor de contur ce trec prin aceast latur:

Ik = I cp . (k = 1, 2, ..., l ) (1.70) p k

n baza acestei observaii Maxwell a aprut un mecanism de calcul al curenilor prin laturile unui circuit nchis, care se numete metoda curenilor de contur (prescurtat MCC). Aceast metod permite micorarea numrului total de ecuaii ce trebuie de rezolvat; anterior a fost artat c dac circuitul conine L laturi (tot atea cureni necunoscui) i N noduri, conform teoremei 1 Kirch-hoff se scriu N 1 ecuaii i conform teoremei 2 se scriu L (N 1). Aa dar, la baza MCC se afl noiunea de curent de contur o mrime virtual, de calcul, care curge doar prin propriul contur.

81

S considerm acum schema din figura 1.54. Vom diviza-o n trei conturi (sau ochiuri) adiacente i vom admite c n fiecare contur circul propriul su curent II , III i IIII. Sensul acestor cureni este acelai n cele trei conturi n direcia acului ceasorniculai, aa cum este artat n schem. Se observ totodat c curenii de contur coincid cu valorile curen-ilor reali (acetea sunt de aseme-

Fig 1.54. Schema unui circuit re-lativ complex pentru calculul

curenilor prin MCC.

nea indicai n schem) doar n laturile exterioare: II = I1 , III = I6, IIII = I3 . (1.71)

Curenii laturilor adiacente sunt egali cu diferena curenilor de contur ai ochiurilor vechine. Aa,

I2 = III IIII , I4 = II IIII , I5 = IIII II . (1.72)Prin urmare, cunoscnd curenii de contur pot fi uor calculai curenii reali ai laturilor.Pentru a calcula curenii de contur n cazul schemei din figura 1.54 este suficient de alctuit doar trei ecuaii (dup numrul de ochiuri fundamentale), n conformitate cu teorema 2 Kirchhoff (relaia 1.51):pentru bucla (conturul) I:

(r1 + r10 + r4 + r5) II r4III r5IIII = E1 + E4 , pentru conturul II:

(r2 + r4 + r6) III r4II r2IIII = E2 E4 , pentru conturul III:

(r2 + r3 + r5) IIII r5II r2III = E3 E2 .

Ecuaiile scrise alctuiesc sistemul de ecuaii

82

(r1 + r10 + r4 + r5) II r4III r5IIII = E1 + E4 (r2 + r4 + r6) III r4II r2IIII = E2 E4 (1.73)(r2 + r3 + r5) IIII r5II r2III = E3 E2

care permite determinarea curenilor de contur II IIII i, ulterior a curenilor reali din laturile circuitului, I1 I6 .Deseori MCC este folosit pentru a deduce posibilitile altor metode de calcul i pentru analiza circuitelor la forma general. n astfel de cazuri se scriu ecuaiile curenilor de bucl la forma generalizat. n acest scop rezistena sumar a conturului dat se noteaz cu index dublu jos, care indic numrul conturului i se numete r e z i s t e n - p r o p r i e a c o n t u r u l u i . Aa, n schema analizat mai sus re-zistenele proprii ale celor 3 bucle sunt:

r11 = r1 + r10 + r4 + r5;r22 = r2 + r4 + r6; (1.74)r33 = r2 + r3 + r5.

R e z i s t e n e l e c o m u n e a l e b u c l e l o r n v e c i n a t e sunt considerate ca coeficieni pe lng respectivii cureni, notndu-se cu index dublu jos, care indic buclele ntre care sunt conectate; aa,

r12 = r4 , r13 = r5 , r23 = r2 . (1.75)

innd cont de (1.74) i (1.75), sistemul de ecuaii (1.73) se poate scrie ntr-o form general astfel: r11 II r12 III r13 IIII = EI ,

r21 II + r22 III r23 IIII = EII , (1.76) r31 II r32 III + r33 IIII = EIII .

n aceste ecuaii sunt notate: EI = E1 + E4, EII = E2 E4 i EIII = E3 E2 (1.77)

83

care se numesc t . e . m . d e c o n t u r i prezint suma algebric a t.e.m. ale laturilor conturului dat. Se ia cu semnul + t.e.m. sensul creea coincide cu sensul curentului de contur.Ecuaiile curenilor de contur se rezolv prin metoda determinani-lor, sau utiliznd forma matriceal de prezentare a ecuaiilor.

Utilizarea determinanilor i a matricelor pentru rezolvarea ecuaiilor obinute prin MCC.Vom considera rezolvarea sistemului (1.76) cu ajutorul determinanilor. Pentru curentul Ik din latura k se poate scrie expresia:

Ik = k / , (1.78)unde este d e t e r m i n a n t u l p r i n c i p a l al sistemului de ecuaii :

r11 r12 r13

= r21 r22 r23 . (1.79)

r31 r32 r33

Determinantul k se obine din determinantul principal prin nlocuirea coloanei k cu coloana termenilor din dreapta ecuaiilor sistemului (1.76). De exemplu, pentru primul curent de contur II (k = 1)

E1 r12 r13

1 = EII r22 r23 . (1.80)

EIII r32 r33

Prin urmare, calculul curentului de contur se reduce la alctuirea a doi deterni-nani care, de fapt pot fi scrii fr ca n prealabil s se scrie sistemul de ecuaii.n acest scop, se nscriu iniial rezistenele proprii ale conturilor r11 , r22 , r33 etc., care se plaseaz pe diagonala principal (din colul stng sus spre colul drept jos) cu semnul +. Determinantul este simetric fa de diagonala princi-pal rezistenele comune negative din partea superioar a diagonalei sunt ref-lecia rezistenelor comune negative din partea inferioar a diagonalei. Astfel, calculnd rezistenele comune ale conturilor r12 , r13 , ... etc. pentru prima linie i rn1 , rn2 , ... pentru linia n , pot fi completate partea de sus i cea de jos a

84

determinanturlui. Cunoscnd se determin k i apoi se calculeaz valoarea curentului Ik .Se poate demonstra dependena curentului de contur de toate sursele t.e.m. EI , EII , EIII , ...etc., pentru ce determinantul k se desco