Curs de Matematici Speciale - Cadastru + IC Germana 2016

Curs 5: Integrale triple

Fie functia f : D ⊂ R3 → R, continua si notam integrala tripla pe D astfel

I =

∫∫∫D

f (x, y, z) dxdydz.

1. Daca D este paralelipipedul dreptunghic

[a,b]× [c,d, ]× [e, f ]

atunci ∫∫∫D

f (x, y, z) dxdydz =

∫ f

e

[∫ b

a

(∫ d

c

f (x, y, z) dy

)dx

]dz.

Exemplul 1: Sa se calculeze∫∫∫

Ω

cos (x+ y + z) dxdydz, în cazul în care

Ω este cubul [0,π

2

]×[0,π

2

]×[0,π

2

].

Solutie: Avem

1

I =

∫ π

2

0

∫ π

2

0

∫ π

2

0

cos (x+ y + z) dy

dx

dz =

=

∫ π

2

0

∫ π

2

0

[sin(x+ z +

π

2

)− sin (x+ z)

]dx

dz =

=√

2

∫ π

2

0

∫ π

2

0

cos(x+ z +

π

4

)dx

dz =

=√

2

∫ π

2

0

[sin

(z +

3π

4

)− sin

(z +

π

4

)]dz =

= 2

∫ π

2

0

cos(z +

π

2

)dz = −2

∫ π

2

0

sin z =

= 2 cos z |π20 = 2 (0− 1) = −2.

Facem observatia ca daca functia este cu variabile separate, adica

f (x, y, z) = u (x) · v (y) · w (z)

atunci ∫∫∫D

f (x, y, z) dxdydz =

∫ b

a

u (x) dx ·∫ d

c

v (y) dy ·∫ f

e

w (z) dz.

Exemplul 2: Calculati integrala tripla

I =

∫∫∫D

zdxdydz,

undeD : [1, 2]× [1, 3]× [0, 4] .

Solutie:

2

Observam ca domeniul este un paralelipiped dreptunghic de dimensiuni 1, 2si 4, iar functia este cu variabile separate. Atunci avem:

I =

∫∫∫V

zdxdydz =

∫ 2

1

dx ·∫ 3

1

dy ·∫ 4

0

zdz = 1 · 2 · z2

2|40= 16.

2. Daca

D = (x, y, z) | x ∈ [a, b] , u (x) ≤ y ≤ v (x) , α (x, y) ≤ z ≤ β (x, y)

atunci∫∫∫D

f (x, y, z) dxdydz =

∫ b

a

[∫ v(x)

u(x)

(∫ β(x,y)

α(x,y)

f (x, y, z) dz

)dy

]dx.

3. DacaD = (x, y, z) | z ∈ [a, b] , (x, y) ∈ Ez

atunci ∫∫∫D

f (x, y, z) dxdydz =

∫ b

a

∫∫Ez

f (x, y, z) dxdy

dz.

4. Daca

D = (x, y, z) | (x, y) ∈ E, α (x, y) ≤ z ≤ β (x, y)

3

atunci ∫∫∫D

f (x, y, z) dxdydz =

∫∫E

(∫ β(x,y)

α(x,y)

f (x, y, z) dz

)dxdy.

Exemplul 3: Calculati I =

∫∫∫V

ydxdydz unde V este limitat de planele:

x = 0, y = 0, z = 0, 2x+ y + 2z = 2.Solutie:Ecuatia planului prin taieturi este:

2x+ y + 2z = 2 |: 2⇔ x

1+y

2+z

1= 1

si avem figura

Din ecuatia planului 2x+ y + 2z = 2 avem z = 1− x− y

2de unde rezulta

I =

∫∫∫V

ydxdydz =

∫∫D

(∫ 1−x−y2

0

ydz

)dxdy =

=

∫∫D

(yz |1−x−

y2

0

)dxdy =

∫∫D

y(

1− x− y

2

)dxdy

4

unde D este proiectia piramidei (V ) în planul xOy si avem figura

si scriem:

I =

∫∫D

ydxdy −∫∫D

xydxdy − 1

2

∫∫D

y2dxdy =

=

∫ 1

0

(∫ 2−2x

0

ydy

)dx−

∫ 1

0

(∫ 2−2x

0

xydy

)dx− 1

2

∫ 1

0

(∫ 2−2x

0

y2dy

)dx =

= 2

∫ 1

0

(1− x)2dx− 2

∫ 1

0

x (1− x)2dx− 1

2· 8

3

∫ 1

0

(1− x)3dx =

=2

3− 1

6− 1

3=

1

6.

5. Schimbarea de variabilaDaca x = x (u, v, w)

y = y (u, v, w)z = z (u, v, w)

; (u, v, w) ∈ ∆; x, y, z ∈ C1∆;

D (x, y, z)

D (u, v, w)6= 0

atunci ∫∫∫D

f (x, y, z) dxdydz =

=

∫∫∫∆

f (x (u, v, w) , y (u, v, w) , z (u, v, w)) ·∣∣∣∣D (x, y, z)

D (u, v, w)

∣∣∣∣ dudvdw.Cazuri particulare de schimbari de variabilaa) Coordonatele sferice x = ρ cos θ sinϕ

y = ρ sin θ sinϕz = ρ cosϕ

ρ ≥ 0θ ∈ [0, 2π]ϕ ∈ [0, π]

∣∣∣∣D (x, y, z)

D (ρ, θ, ϕ)

∣∣∣∣ = ρ2 sinϕ.

5

Exemplul 4: Calculati integrala tripla I =

∫∫∫V

zdxdydz, unde

V : x2 + y2 + (z − 1)2 ≤ 4, z ≥ 0.

Solutie:

Domeniul este o semisfera (z ≥ 0) centrata în (0, 0, 1) si de raza 2, deci vomfolosi coordonatele sferice: x = ρ cos θ sinϕ

y = ρ sin θ sinϕz = 1 + ρ cosϕ

ρ ∈ [0, 2]θ ∈ [0, 2π]

ϕ ∈z≥0

[0,π

2

] ∣∣∣∣D (x, y, z)

D (ρ, θ, ϕ)

∣∣∣∣ = ρ2 sinϕ

de unde rezulta

∫∫∫V

zdxdydz =

∫∫∫∆

(1 + ρ cosϕ) ρ2 sinϕdρdθdϕ =

=

∫∫ ∫[0,2]×[0,2π]×[0, π2 ]

ρ2 sinϕdρdθdϕ+

+

∫∫ ∫[0,2]×[0,2π]×[0, π2 ]

ρ3 sinϕ cosϕdρdθdϕ.

6

Deoarece functia din ambele integrale este cu variabile separate, iar domeniuleste un paralelipiped dreptunghic, avem:

I =

∫ 2

0

ρ2dρ ·∫ 2π

0

dθ ·∫ π

2

0

sinϕdϕ+

+

∫ 2

0

ρ3dρ ·∫ 2π

0

dθ ·∫ π

2

0

sinϕ cosϕdϕ

=16π

3+ 4π =

28π

3.

b) Coordonatele sferice generalizate x = aρ cos θ sinϕy = bρ sin θ sinϕz = cρ cosϕ

ρ ≥ 0θ ∈ [0, 2π]ϕ ∈ [0, π]

∣∣∣∣D (x, y, z)

D (ρ, θ, ϕ)

∣∣∣∣ = abcρ2 sinϕ.

Exemplul 5: Calculati integrala tripla∫∫∫

V

zdxdydz, unde

V :x2

4+y2

9+ z2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.

Solutie:

Domeniul este o optime de elipsoid (primul octant) de semiaxe 2, 3, 1, decivom folosi coordonatele sferice generalizate

x = 2 cos θ sinϕy = 3 sin θ sinϕz = 1 · ρ cosϕ

ρ ∈ [0, 1]

θx≥0∈y≥0

[0,π

2

]ϕ ∈z≥0

[0,π

2

]∣∣∣∣D (x, y, z)

D (ρ, θ, ϕ)

∣∣∣∣ = 6ρ2 sinϕ

si avem

7

∫∫∫∆

ρ cosϕ · 6ρ2 sinϕdρdθdϕ =

∫∫ ∫[0,1]×[0, π2 ]×[0, π2 ]

6ρ3 sinϕ cosϕdρdθdϕ =

= 6 ·∫ 1

0

ρ3dρ ·∫ π

2

0

dθ ·∫ π

2

0

sinϕ cosϕdϕ =

=3π

8.

c) Coordontele cilindrice x = aρ cos θy = bρ sin θz = z

ρ ≥ 0θ ∈ [0, 2π]z ∈ [h1, h2]

D (x, y, z)

D (ρ, θ, z)= abρ.

Exemplul 6: Calculati I =

∫∫∫V

√x2 + y2zdxdxydz, unde V este marginit

de cilidrul x2 + y2 = 1 si de planele z = 0, z = 4.Solutie:Folosim coordonatele cilidrice si avem: x = ρ cos θ, ρ ∈ [0, 1]y = ρ sin θ, θ ∈ [0, 2π]z = z, z ∈ [0, 4]

,D (x, y, z)

D (ρ, θ, z)= ρ, ∆ = [0, 1]× [0, 2π]× [0, 4]

de unde rezulta

I =

∫∫∫V

√x2 + y2zdxdxydz =

∫∫∫∆

√ρ2z · ρdρdθdz =

=

1∫0

ρ2dρ ·2π∫0

dθ ·4∫

0

zdz =1

3· 2π · 8 =

16π

3.

6. Aplicatii geometrice si fizicea) Volumul unui domeniu masurabil, compact D ⊂ R3

V ol (D) =

∫∫∫D

dxdydz.

Exemplul 7:Calculati volumul corpului (V ) marginit de sfera x2+y2+z2 = 4 si interiorul

conului√x2 + y2 = z.

Solutie:

8

Din intersectia conului√x2 + y2 = z cu sfera x2 + y2 + z2 = 4 obtinem

z =√

2⇒ x2 + y2 = 2

adica un cerc centrat în (0, 0) si de raza r =√

2 si avem figura:

Din cele de mai sus observam ca ]α care este de fapt unghiul ϕ (din coordo-natele sferice, format cu Oz pozitiv) este de 45, deoarece cercul x2+y2 =

(√2)2

este la o înaltime de√

2 unitati. Folosind coordonatele sferice rezulta: x = ρ cos θ sinϕy = ρ sin θ sinϕz = ρ cosϕ

ρ ∈ [0, 2]θ ∈ [0, 2π]

ϕ ∈[0,π

4

] ∣∣∣∣D (x, y, z)

D (ρ, θ, ϕ)

∣∣∣∣ = ρ2 sinϕ

V ol (V ) =

∫∫∫V

dxdydz =

∫∫∫∆

ρ2 sinϕdρdθdϕ =

=

∫∫ ∫[0,2]×[0,2π]×[0, π4 ]

ρ2 sinϕdρdθdϕ =

=

∫ 2

0

ρ2dρ ·∫ 2π

0

dθ ·∫ π

4

0

sinϕdϕ =

=8

3· 2π ·

(−√

2

2+ 1

)=

8π

3

(2−√

2).

b) Masa (M) si centrul de greutate (xG, yG,zG) al unui corp material,

9

care ocupa domeniul D din R3, de densitate ρ (x, y, z) cunoscuta

M =

∫∫∫D

ρ (x, y, z) dxdydz,

xG =1

M

∫∫∫D

xρ (x, y, z) dxdydz,

yG =1

M

∫∫∫D

yρ (x, y, z) dxdydz,

zG =1

M

∫∫∫D

zρ (x, y, z) dxdydz.

Exemplul 8: Calculati masa corpului marginit de portiunea de elipsoid x2 +y2

9+z2

4= 1

y ≥ 0

stiind ca densitatea lui variaza dupa legea ρ (x, y, z) = 3x+ 1.Solutie:

M =

∫∫∫V

(3x+ 1) dxdydz = 3

∫∫∫V

xdxdydz +

∫∫∫V

dxdydz.

10

Pentru calculul primei integrale vom folosi coordonatele sferice generalizate,iar cea de-a doua reprezinta formula volumului si avem: x = 1 · ρ cos θ sinϕ

y = 3 · ρ sin θ sinϕz = 2 · ρ cosϕ

ρ ∈ [0, 1]θ ∈ [0, π]ϕ ∈ [0, π]

∣∣∣∣D (x, y, z)

D (ρ, θ, ϕ)

∣∣∣∣ = 6ρ2 sinϕ

M = 3

∫∫∫∆

ρ cos θ sinϕ · 6ρ2 sinϕdρdθdϕ+1

2· 4π · 1 · 3 · 2

3=

= 18

∫ 1

0

ρ3dρ ·∫ π

0

cos θdθ︸ ︷︷ ︸0

·∫ π

0

sin2 ϕdϕ+ 4π = 4π.

c) Momentele de inertie ale unui corp material, (al carui model matem-atic îl constituie domeniul compact si marginit D ⊂ R3 de densitate ρ (x, y, z)cunoscuta), fata de axele de coordonate, fata de origine si fata de planele decoordonate sunt:

I0x =

∫∫∫D

(y2 + z2

)ρ (x, y, z) dxdydz

I0y =

∫∫∫D

(x2 + z2

)ρ (x, y, z) dxdydz

I0z =

∫∫∫D

(x2 + y2

)ρ (x, y, z) dxdydz

I0 =

∫∫∫D

(x2 + y2 + z2

)ρ (x, y, z) dxdydz

Ix0y =

∫∫∫D

z2ρ (x, y, z) dxdydz

Iy0z =

∫∫∫D

x2ρ (x, y, z) dxdydz

Iz0x =

∫∫∫D

y2ρ (x, y, z) dxdydz.

Exemplul 9: Calculati momentul de inertie, în raport cu originea, pentruportiunea de sfera

(V ) :

x2 + y2 + z2 ≤ 9z ≥ 0

,

11

densitatea de masa fiind ρ (x, y, z) = y.Solutie:

I0 =

∫∫∫V

(x2 + y2 + z2

)ρ (x, y, z) dxdydz =

=

∫∫∫V

(x2 + y2 + z2

)ydxdydz.

Pentru a calcula aceasta integrala vom folosi coordonatele sferice x = ρ cos θ sinϕy = ρ sin θ sinϕz = ρ cosϕ

ρ ∈ [0, 3]θ ∈ [0, 2π]

ϕ ∈[0,π

2

] ∣∣∣∣D (x, y, z)

D (ρ, θ, ϕ)

∣∣∣∣ = ρ2 sinϕ

si avem

I0 =

∫∫∫∆

ρ2 · ρ sin θ sinϕ · ρ2 sinϕdρdθdϕ =

=

∫∫ ∫[0,3]×[0,2π]×[0, π2 ]

ρ5 · sin θ · sin2 ϕdρdθdϕ =

=

∫ 3

0

ρ5dρ ·∫ 2π

0

sin θdθ︸ ︷︷ ︸0

·∫ π

2

0

sin2 ϕdϕ = 0.

12

d) Potentialul newtonian (gravitational) al unui corp D într-un punctP (x0, y0, z0) dat din spatiu

U (x0, y0, z0) =

∫∫∫D

ρ (x, y, z) dxdydz√(x− x0)

2+ (y − y0)

2+ (z − z0)

2.

unde ρ (x, y, z) este densitatea într-un punct curent M (x, y, z) ale corpului D.e) Atractia exercitata de un corp material D asupra unui punct

material P (x0, y0, z0) de masa m

Fx = Km

∫∫∫D

(x− x0) ρ (x, y, z) dxdydz[(x− x0)

2+ (y − y0)

2+ (z − z0)

2] 32

,

Fy = Km

∫∫∫D

(y − y0) ρ (x, y, z) dxdydz[(x− x0)

2+ (y − y0)

2+ (z − z0)

2] 32

,

Fz = Km

∫∫∫D

(z − z0) ρ (x, y, z) dxdydz[(x− x0)

2+ (y − y0)

2+ (z − z0)

2] 32

,

unde K este constanta atractiei universale iar ρ (x, y, z) este densitatea într-unpunct curent M (x, y, z) ale corpului D.

13

Probleme propuse1. Sa se calculeze I =

∫∫∫V

ydxdydz dacã V este marginit de planele de

coordonate x = 0, y = 0, z = 0 si planul

6x+ 3y + 4z = 12.

2. Calculati ∫∫∫V

e−x2−y2−z2 · zdxdydz

undeV =

(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 ≤ 9, z ≥ 0

.

3. Sa se calculeze ∫∫∫V

1√x2 + 9y2 +

(z − 1

2

)2 dxdydz,daca

V =

(x, y, z) ∈ R3 | x2 + 9y2 + z2 ≤ 3

4+ z

.

4. Trecând la coordonate sferice calculati urmatoarea integrala∫∫∫V

√x2 + y2 + z2dxdydz

unde V este domeniul limitat de sfera x2 + y2 + z2 = z.

Lector dr. mat. Hedrea Ioan CiprianDepartamentul de MatematicaUniversitatea Politehnica Timisoara

14