1. Teorema lui Ceva Ene Mihai+Radu Vlad+Budacu Vlad

2. Teorema lui Menelaus Ciocan Cristian+Cioară Alexandru+Răileanu Daniel

3. Teorema lui Pitagora Paraipan Rareș+Postelnicu Marius+Anghel Mircea

A

B

C

D

8. Demonstraţie folosind descompunereaunui trapez dreptunghic

A B

C

DE

ab

c

bc/2

bc/2

a²/2

In trapezul dreptunghic ABDE avemm(<A)=m(<E)=90º, AB=CE=c, DE=AC=b, AC+CE=b+c (m(<BCD) =90º)

Aria ABDE = ½ (AB+DE)•AE=½ (b+c)(b+c)= ½ (b+c)²Aria ABDE = aria ABC +aria CDE+ariaBCD=

= bc/2 + bc/2 + ½ • a²/2 = ½ (2bc + a²)Deci (b+c)²= 2bc + a² saub²+2bc+c² = 2bc + a²

c

b

a

Intradevăr, a² = b² + c² c.c.t.d.

TEOREMA LUI PITAGORA

Intr-un triunghi dreptunghic,patratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma patratelor lungimilor catetelor. BC 2 =AB 2 +AC 2

Demonstratie In Δ ABC aplicam de doua ori teorema catetei: AC 2 =DC∙BC AB 2 =BD∙BC Adunam relatiile: AC 22 AB =DC∙BC+BD∙BC= =BC(DC+BD)=BC∙BC BC 2 +AB 2 =BC 2

Teorema reciproca. Daca intr-un triunghi suma patratelor a doua laturi este egala cu patratul laturii a treia, atunci triunghiul este dreptunghic.

4.Teorema înălţimii: Lungu+Zaharioiu+Dumitrache Irina

A

B

D

C

Se da Δ ABC dreptunghic in A. Se duce

inaltimea AD.Teorema inaltimii spune ca: Inaltimea este media geometrica a

proiectiilor catetelor pe ipotenuza. AD 2 =BD∙DC

Demonstratie: ΔABD~ΔADC (BAD≡ACD fiind unghiuri

cu laturi perpendiculare) Rezulta ca

ADBD

DCAD

→AD 2 =BD∙DC

Reciprocele teoremei inaltimii:

1) Daca in Δ ABC, BAC=90 0 si AD 2 =BD∙DC atunci ADBC 2) Daca in Δ ABC, ADBC si AD 2 =BD∙DC, atunci BAC=90 0

5. Teorema catetei Dogaru + Chiriţă+ Drăgoiu Bogdan

A

B

C

D

Intr-un triunghi dreptunghic, cateta este media geometrica a lungimii proiectiei sale pe ipotenuza si ipotenuza.

AB 2 =BD∙BC Demonstratie:

Δ ABD ~Δ ABC (B este comun )

Deci ABBD

BCAB

→AB 2 =BD∙BC

Pentru cateta AC→ AC 2 =DC∙BC Teorema reciproca 1. Daca intr-un triunghi ABC, ADBC si AB 2 =BD∙BC →BAC=90 0 Teorema reciproca 2. Daca intr-un triunghi ABC BAC=90 0 si AB 2 =BD∙BC →ADBC

6. Teorema lui Thales:

Nicolae + Georgescu + Murgociu

Teoremă :

O paralelă la una din laturile unui triunghi determină pe celelalte două laturi segmente proporţionale.

Pentru a demonstra teorema lui Thales, luând cazul în care paralela intersectează laturile în interior (!), există multe metode, unele dintre ele apelând la 'teoreme de continuitate' sau alte 'artificii' care nu-şi au locul la nivelul gimnazial căruia mă adresez. Demonstraţia pe care v-o propun vă cere doar să acceptaţi formula de calculare a ariei unui triunghi, S=bh/2, fără a ne interesa de 'consistenţa' acesteia. Oricum, conform programelor şcolare în vigoare, noţiunea de arie şi calcularea ariei unui triunghi sunt abordate înaintea teoremei lui Thales.

Figura de mai sus, cu tot ce mai implică ea (apartenenţa punctelor D şi E pe laturi, existenţa triunghiului ABC) ne dă ipoteza şi concluzia teoremei. Figura de mai jos arată cum obţinem valoarea unuia dintre cele două rapoarte care apar în teorema lui Thales.

În acelaşi mod obţinem valoarea celui de-al doilea raport.

În final avem:

Analizând relaţiile obţinute, constatăm că AD/BD=A(trADE)/A(trBDE)=A(trADE)/A(trDEC)=AE/EC, adică relaţia cerută şi teorema este demonstrată.

7. Teorema bisectoarei

Zota Mădălina+Pârvan Casian

8. Teorema lui Van Aubel Vasile Ruxandra+Pandele

9. Teorema lui Steiner Neagu Bianca+Şerban Luciana

10. Teorema lui Pitagora generalizată &

Teorema lui Stewart

Dumitrache Radu + Păncescu Teodora