· Problema 3. Fie paralelipipedul dreptunghic ABCDA 0B 0C D . Not am cu M, N ˘si P mijloacele...
1
Societatea de Științe Matematice din România Olimpiada Nat ¸ional˘ a de Matematic˘ a Etapa Judet ¸ean˘ a¸ si a Municipiului Bucure¸ sti, 10 martie 2018 CLASA a VIII-a Varianta 2 Problema 1. Ar˘ atat ¸ic˘adac˘a m, n ∈ N * , atunci n m n o + n n m o 6=1. (Am notat cu {x} partea fract ¸ionar˘ a a num˘ arului real x.) Gazeta Matematic˘ a Problema 2. Fie a, b, c ∈ [1, ∞). Demonstrat ¸ic˘a a √ b a + b + b √ c b + c + c √ a c + a + 3 2 ≤ a + b + c. Problema 3. Fie paralelipipedul dreptunghic ABCDA 0 B 0 C 0 D 0 . Not˘ am cu M , N ¸ si P mijloacele muchiilor [AB], [BC ], respectiv [BB 0 ]. Fie {O} = A 0 N ∩ C 0 M . a) Ar˘ atat ¸i c˘a punctele D, O, P sunt coliniare. b) Ar˘ atat ¸ic˘a MC 0 ⊥ (A 0 PN )dac˘a¸ si numai dac˘a ABCDA 0 B 0 C 0 D 0 este cub. Problema 4. a) Fie numerele naturale nenule a, b, c astfel ˆ ıncˆ at a<b<c ¸ si a 2 + b 2 = c 2 . Demonstrat ¸i c˘ adac˘a a 1 = a 2 , a 2 = ab, a 3 = bc, a 4 = c 2 , atunci a 2 1 + a 2 2 + a 2 3 = a 2 4 ¸ si a 1 <a 2 <a 3 <a 4 . b) Demonstrat ¸i c˘a, oricare ar fi n ∈ N, n ≥ 3, exist˘a numerele naturale nenule a 1 ,a 2 ,...,a n care verific˘ a relat ¸iile a 2 1 + a 2 2 + ... + a 2 n-1 = a 2 n ¸ si a 1 <a 2 <...<a n-1 <a n . Timp de lucru 4 ore. Fiecare problem˘ a este notat˘ a cu 7 puncte.
-
Upload
trinhthuan -
Category
Documents
-
view
244 -
download
2
Transcript of · Problema 3. Fie paralelipipedul dreptunghic ABCDA 0B 0C D . Not am cu M, N ˘si P mijloacele...
![Page 1: · Problema 3. Fie paralelipipedul dreptunghic ABCDA 0B 0C D . Not am cu M, N ˘si P mijloacele muchiilor [AB], [BC], respectiv [BB0]. Fie fOg= A0N \C0M.](https://reader030.fdocumente.com/reader030/viewer/2022013104/5ae058497f8b9ab4688d389d/html5/thumbnails/1.jpg)
Societatea de ȘtiințeMatematice din România
Olimpiada Nationala de MatematicaEtapa Judeteana si a Municipiului Bucuresti, 10 martie 2018
CLASA a VIII-a
Varianta 2
Problema 1. Aratati ca daca m,n ∈ N∗, atunci{m
n
}+{ n
m
}6= 1.
(Am notat cu {x} partea fractionara a numarului real x.)Gazeta Matematica
Problema 2. Fie a, b, c ∈ [1,∞). Demonstrati ca
a√b
a + b+
b√c
b + c+
c√a
c + a+
3
2≤ a + b + c.
Problema 3. Fie paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C ′D′. Notam cu M , N siP mijloacele muchiilor [AB], [BC], respectiv [BB′]. Fie {O} = A′N ∩ C ′M .a) Aratati ca punctele D, O, P sunt coliniare.b) Aratati ca MC ′ ⊥ (A′PN) daca si numai daca ABCDA′B′C ′D′ este cub.
Problema 4. a) Fie numerele naturale nenule a, b, c astfel ıncat a<b<c si a2+b2 =c2.Demonstrati ca daca a1 = a2, a2 = ab, a3 = bc, a4 = c2, atunci a21 + a22 + a23 = a24 sia1 < a2 < a3 < a4.b) Demonstrati ca, oricare ar fi n ∈ N, n ≥ 3, exista numerele naturale nenule a1, a2, . . . , ancare verifica relatiile a21 + a22 + . . . + a2n−1 = a2n si a1 < a2 < . . . < an−1 < an.
Timp de lucru 4 ore.Fiecare problema este notata cu 7 puncte.
