CLASA a IV-a - alexmariacnmv.files.wordpress.com · Să se arate că în paralelipipedul...

INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN CLUJ

COLEGIUL NAŢIONAL ,,MIHAI VITEAZUL,, TURDA

SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE DIN ROMÂNIA-FILIALA CLUJ

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ

„MARIAN ŢARINĂ”

Ediţia a XIII-a, 10– 11 MAI 2013

NOTĂ: Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. Timpul de lucru efectiv este de 2 ore .

CLASA a IV-a

PROBLEMA nr. 1 Să se efectueze: { [ ( ) ]} *** PROBLEMA nr. 2 Suma a trei numere naturale, aflate in ordine crescătoare, este 200. Primele două numere sunt numere impare consecutive, iar al treilea număr este cu 7 mai mare decât triplul numărului al doilea. Aflaţi numerele. Eugenia MIRON PROBLEMA nr. 3 Determinaţi numerele naturale ştiind că: , , Vasile ȘERDEAN, Liana JURCĂ PROBLEMA nr. 4 Într-o pungă sunt 36 de bomboane. Alin îşi serveşte prietenii astfel: primul ia o bomboană, al doilea două bomboane, şi aşa mai departe. Apoi serveşte invers: ultimul ia o bomboană, penultimul ia două bomboane, şi aşa mai departe. Lui Alin îi rămân şase bomboane. Câţi prieteni are Alin? ***








CLASA a V-a

PROBLEMA nr. 1 Găsiţi toate numerele naturale de două cifre cu proprietatea că diferenţa dintre număr şi răsturnatul său să fie pătrat perfect.

Monica FODOR, Monica DAN PROBLEMA nr. 2

Să se arate că nu există un număr natural nenul n astfel încât :

Gheorghe LOBONȚ, Annamaria POP PROBLEMA nr. 3

Fie mulţimea { }, unde sunt numere natural. Cu elementele mulţimii A

alcătuim toate sumele posibile de câte două numere distincte. Este posibil ca sumele obţinute să fie numere naturale consecutive?

Mariana URSU, Ancuța NECHITA PROBLEMA nr. 4

Considerăm numerele naturale nenule astfel încât . Determinaţi

restul împărţirii sumei la 11 şi restul împărţirii sumei la 7.

Vasile ȘERDEAN, Simona POP








CLASA a VI-a

PROBLEMA nr. 1 Să se determine numerele naturale şi care verifică relaţia: , unde [ ] este cel mai mic multiplu comun iar ( ) este cel mai mare divizor comun al numerelor şi . Gheorghe LOBONȚ PROBLEMA nr. 2 Rezolvaţi pe mulţimea numerelor naturale ecuaţia:

Monica FODOR, Ioan GROZA

PROBLEMA nr. 3 Ştiind că n este număr natural nenul

a) Arătaţi că numărul

este natural;

b) Să se determine n ştiind că

Vasile ȘERDEAN, Camelia MAGDAȘ

PROBLEMA nr. 4 Fie triunghiul şi [ bisectoarea unghiului [ ]. Prin punctul construim o paralelă la care intersectează pe în punctul . Pe prelungirea laturii [ ] se ia punctul astfel încât [ ] [ ] şi punctul să fie situat între şi .

a) Să se arate că este isoscel; b) Să se arate că ;

c) Să se calculeze valoarea raportului

.

Ioan GROZA







NOTĂ: Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

CLASA a VII-a

PROBLEMA nr. 1

Dacă √ √ √ √ iar √ √ √ √

stabiliţi dacă este adevărată apartenenţa „

√ ”.

*** PROBLEMA nr. 2 Determinaţi numerele naturale prime pentru care avem

Vasile ȘERDEAN, Monica FODOR PROBLEMA nr. 3 În dreptunghiul , bisectoarea unghiului intersectează diagonala în şi latura în . Dacă paralela prin la intersectează diagonala în , demonstraţi că . Mariana URSU PROBLEMA nr. 4 Fie triunghiul dreptunghic în şi înălţime, astfel încât ( ). Dacă şi sunt mijloacele laturilor [ ], respectiv [ ], iar şi sunt simetricele punctului faţă de punctele , respectiv , demonstraţi că :

a) ; b) Punctele şi sunt coliniare ;

c)

.

Ioan GROZA








CLASA a VIII-a

PROBLEMA nr. 1

Să se arate că nu există astfel încât: √

Gheorghe LOBONȚ PROBLEMA nr. 2 Să se rezolve sistemul :

{

√

√

√

√

Vasile ȘERDEAN, Cristian POP PROBLEMA nr. 3 Să se arate că în paralelipipedul dreptunghic în care aria totală este egală cu dublul volumului, are loc inegalitatea:

√ √ √ , unde reprezintă volumul paralelipipedului, iar sunt cele trei dimensiuni ale paralelipipedului. Vasile ȘERDEAN , Monica FODOR PROBLEMA nr. 4

Fie cubul cu muchia de lungime ( ) iar mijloc al

segmentului [ ].

a) Determinaţi măsura unghiului format de planul ( ) şi planul

( );

b) Demonstraţi că ( ) unde { };

c) Calculaţi distanţa de la punctul la planul ( ).

Ioan GROZA, Mirela RAȚIU








CLASA a IX-a

PROBLEMA nr. 1 Dacă şi , determinaţi maximul expresiei:

( )

Dorin ANDRICA PROBLEMA nr. 2 Pe cercul se consideră punctele în această ordine. Notăm razele cercurilor înscrise în triunghiurile şi cu razele cercurilor tangente perechilor de laturi şi , şi , şi , respectiv şi şi tangente interior cercului . Să se demonstreze:

Daniel VĂCĂREȚU PROBLEMA nr. 3 Se consideră numerele întregi nenule şi astfel încât | | şi | | . Să se arate:

| √ √ |

.

Gheorghe LOBONȚ PROBLEMA nr. 4 Fie şi două coarde perpendiculare ale unui cerc de centru O. Dacă este punctul de intersecţie dintre şi , atunci are loc inegalitatea: . Dorin ANDRICA








CLASA a X-a

PROBLEMA nr. 1 Să se calculeze :

∑ [ ] ,

unde prin [ ] s-a notat partea întreagă a numărului real . Gheorghe LOBONȚ PROBLEMA nr. 2 Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale nenule ecuaţia

(

) (

) .

Traian TĂMÂIAN PROBLEMA nr. 3 Fie un poligon regulat înscris într-un cerc de centru O şi rază . Să se arate că pentru orice punct din planul poligonului are loc inegalitatea:

( )

. Dorin ANDRICA PROBLEMA nr. 4

Pentru un număr natural , notăm cu numărul funcţiilor liniare

( ) unde { } care au rădăcini întregi. Să se

determine .

Dorin ANDRICA








CLASA a XI-a

PROBLEMA nr. 1 Fie funcţiile definite prin:

( ) {

( )

a) Să se determine mulţimea de derivabiliatate a funcţiei .

b) Să se calculeze ( )

( ).

Dorel I.DUCA PROBLEMA nr. 2 Să se determine funcţiile [ ) ştiind că este derivabilă şi ( ) . Mihai PITICARI PROBLEMA nr. 3 Fie ( ), , astfel încât: . Dacă demonstraţi că matricea este inversabilă. Traian TĂMÂIAN PROBLEMA nr. 4 Pentru un număr natural notăm cu numărul funcţiilor ,

( ) , unde { }, care au rădăcini întregi. Să se

calculeze:

.

Dorin ANDRICA, Mihai PITICARI








CLASA a XII-a PROBLEMA nr. 1

Să se calculeze ∫

*** PROBLEMA nr. 2 Fie un interval din şi o funcţie continua pe .

a) Arătaţi că dacă este convexă pe , atunci există două funcţii continue şi [ ] astfel încât să avem ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) (*) oricare ar fi şi [ ].

b) Arătaţi că dacă funcţiile continue şi [ ] satisfac relaţia (*), atunci pentru orice cu ( ) ( ) avem

( ) ( )∫ ( ) ( ( ) ( ))∫ ( )

( )

( )

Dorel I.DUCA PROBLEMA nr. 3 Fie ( ) un grup finit comutativ. Spunem că un element din are proprietatea ( ) dacă există un subgrup al lui astfel încât produsul elementelor din este egal cu . Să se arate că mulţimea elementelor lui cu proprietatea ( ) este subgrup al lui . Antonia CIOCAN PROBLEMA nr. 4 Fie [ ] un polinom cu rădăcini reale distincte. Demonstraţi că pentru orice număr real polinomul ( ) ( ) ( ) are cel puţin rădăcini reale distincte. Dorin ANDRICA

CLASA a IV-a - alexmariacnmv.files.wordpress.com · Să se arate că în paralelipipedul...

Documents

Transcript of CLASA a IV-a - alexmariacnmv.files.wordpress.com · Să se arate că în paralelipipedul...