CAPITOLUL IMECANICAPUNCTULUI MATERIALSI ASISTEMELORDE PUNCTE MATERIALE1.1.Spaiul i timpul n mecanica clasic.Nu poate fi descris starea mecanic a unui corp sau a unui sistem de corpuri, dect dac o racordm la spaiu i timp. In general materia care ne nconjoar este ntr-un continuu proces de micare,iar micarea ca mod de existen a materiei se realizeaz n spaiu i timp.Dinpunct de vedere al mecanicii clasice att spaiul ct i timpul auun caracter absolut. Aceasta nseamn c indiferent de locul nostru n univers, dimensiunileunui anumit obiect i durataunui anumit proces fizicsunt aceleai. Spaiul este omogen i izotrop, adic proprietile lui nu se modific la translaia ori rotaiaunui sistemfizic. Inceeaceprivetetimpul, acestaesteomogen, ceeace nseamncpeaxaunidimensionalatimpului durateledetimpsescurglafel, indiferent de momentele de timp ntre care se face msurtoarea, evident respectndu-se cauzalitatea, care cere ca evenimentele s se produc ntr-o succesiune determinat i anume de la trecut spre viitor.Pentru adescriemicareasaurepausulestenevoiede unreperspaial iun reper temporal. Reperul spaial este constituit din sistemul de obiecte fizice n raport cucareestespecificatpoziiaoricrui punct material, saungeneral, aoricrui obiect fizic.Fiecruireper spaial i vom asocia,de regul,un sistem de axe de coordonate cu ajutorul crora putem preciza coordonatele spaiale ale obiectului. Reperul temporal este constituit dintr-un ceasornic, asociat reperului spaial. Prin ceasornic nelegemunproces fizic (ngeneral unproces de mare regularitate), ale crui Nicolae Creu-Fizic general_______________________________________________________ Capitolul Ievenimente sunt luate drept reper pentru definirea succesiunii ce caracterizeaz orice alt mulime de evenimente.Ansamblul format din reperul spaial i reperul temporal poart numele de sistem de referin sau referenial.Revenind la reperul spaial, deoarece n mecanica clasic spaiul este plat, euclidian i tridimensional, rezult c acestui reper trebuie s i se ataeze trei axe de coordonate, deoarece n virtutea tridimensionalitii spaiului sunt suficiente trei mrimi independente pentru a caracteriza complet poziia spaial a unui corp, acestea fiind chiar coordonatele spaiale corespunztoare.Cele trei axe de coordonate pot fi linii drepte sau curbe, iar direcia i sensul acestora este indicat prin trei vectori unitari, numii versori. Dac cele trei axe sunt linii drepte, atunci sistemul nostru de coordonate se numete sistem de coordonate rectiliniu, iar dac cel puin o ax nu este linie dreapt sistemul se numete sistem de coordonate curbiliniu. Dac cei trei versori ataai axelor sunt mutual perpendiculari, atunci spunem c avem de-a face cu un sistem de coordonate ortogonale.Cel mai utilizat sistemdecoordonateestesitemul decoordonatecarteziene, care este un sistem de coordonate rectilinii ortogonale.Se poate vedea din figura 1.1 c nacest cazcoordonatele unui punct material seobinprinproiecia poziiei acestuia pe cele trei axe de coordonate, coordonatele fiind 0 0 0 1z x, y x , x x3 2 Figura 1.1Sistemul de coordonate carteziene2Nicolae Creu-Fizic general_______________________________________________________ Capitolul IPoziia punctului material M, dac se ine cont de versorii k , j , i poate fi descris i cu ajutorul vectorului de poziie (sau razei vectoare)rastfel ; + + k z j y i x r0 0 0(1)Altesistemedecoordonatefolositedesnfizicmai sunt sistemul decoordonate cilindrice, polare n plan i sferice, acestea fiind ilustrate n figurile1.2 , 1.3i 1.4, ele fcnd parte din clasa sistemelor de coordonate curbilinii ortogonale.Figura 1.2. Sistemul de coordonate cilindrice ( z , , )( z z sin y cos x )Figura 1.3. Sistemul decoordonate polare n plan( sin y , cos x )3Nicolae Creu-Fizic general_______________________________________________________ Capitolul IFigura 1.4. Sistemul de coordonate polare sferice( cos rz, sin rsin y , cos sin r x )Dac mobilul a crui micare dorim s o descriem se mic pe traiectorie, astfel c ntr-un timpdt( timp infinitezimal) ajunge dinMnMatunci raza vectoare a lui M va fi conform figurii 1.5.Figura 1.5. Vectorulr d r ' r + + dr r r(1.2)cu + + k dz j dy i dx dr(1.3)ntr-un alt sistem de coordonate, de exemplu n coordonate curbilinii ortogonale (fie acestea3 2 1q , q , q), acelai vectordrva putea fi scris astfel : + + 3 3 3 2 2 2 1 1 1e dq h e dq h e dq h dr(1.4)4Nicolae Creu-Fizic general_______________________________________________________ Capitolul Iaici3 2 1h , h , hfiind nite coeficieni care se determin din condiia ca2drs fie un invariant i care poart numele de coeficieniLam.In mod corespunztor, n coordonate carteziene definim volumul infinitezimal :dz dy dx dV (1.5)sau :3 2 1 3 2 1dq dq dq h h h dV (1.6)acelai element exprimat ncoordonatecurbilinii ortogonale. Putemdeasemenea defini elementul de suprafa infinitezimal, de exempludy . dx dxy (1.7)sauk i k i ikdq dq h h d (1.8)n coordonate curbilinii ortogonale.Sistemele de referinfa de care studiemmicarea corpurilor se clasific n refereniale inerialeirefereniale neineriale. In cazul sistemelor de referin ineriale, acestea se mic rectiliniu i uniform unele fa de celelalte. Sistemele de referin neineriale sunt acelea care nu se mic rectiliniu i uniform unele fa de celelalte.1.2. Cinematica punctului materialMecanica are ca pri importante cinematica, dinamica i statica.Cinematica se ocup cu studiul micrii corpurilor, fr s in cont de interaciunile acestora cu exteriorul. Dac distanele pe care se mic corpul sunt mult mai mari dect dimensiunileacestuia, atunci putemconsideracorpul caunpunct material. Punctul material reprezint un model n fizic, acest model presupunnd c uncorpsemicasemeni unui punct material ncareesteconcentrattoatmasa acestuia.5Nicolae Creu-Fizic general_______________________________________________________ Capitolul IFie deci un punct materialMcare efectueaz o micare dup curbaCi care n timpul infinitezimaldtparcurge pe curba(C ) distanads, creia i corespunde o variaie a luir egal cudr,ca n figura 1.6.Figura1.6Parcursulds i variaialui dr , rCurba(C )reprezint traiectoria punctului materialM.Scopul cinematicii este precizarea poziiei i vitezei punctului material norice moment detimp.Stareamecanicaunui corpestecomplet determinatdacse cunosc aceste mrimi. Pentru a determina acest stare, cinematica folosete ecuaii de micare, care exprim dependena de timp a coordonatelor, a componentelor vitezei corpului sau a acceleraiei. In aceste ecuaii de micare sunt implicate deci vectorul de poziie, vectorul vitez i vectorul acceleraie. Aceste mrimi sunt definite astfel :- vectorul de poziier + + k z j y i x r(1.9)- vectorul vitezvdtdrv(1.10)- vectorul acceleraieadtdva(1.11)6Nicolae Creu-Fizic general_______________________________________________________ Capitolul IPentruvectorul vitez, dacinemcont deparcursul elementar dspetraiectorie, avem : . vdtdsdsdrdtdrv (1.12)unde dsdr reprezint un vector tangent la traiectorie i care are modulul egal cu 1, adic este un versor. Acesta poart numele de versor tangent. Faptul c viteza ca vector poate fi scris ca n(1.12) cu ajutorul versoruluine arat c viteza este un vector totdeauna tangent la traiectorie.Pentru acceleraie, urmnd un raionament similar vom scrie + + +

,_

n a a nRvdts ddtdvdtdv. vdtddtv dan 222 (1.13)Aici n (1.13) am folosit relaia : nRvdtds.dsdvdtdv2 (1.14)unde Rndsd , cu ncare se numete versor normaliar R raza de curbur n punctul respectivatraiectoriei. Din(1.13) putemobservacacceleraiaesteun vector care are dou componente, o component tangenial a , numit aa pentru ceaestetangentlatraiectoriei ocomponentnormallacurbna, acrei orientare este descris de versoruln numit versor normal.7Nicolae Creu-Fizic general_______________________________________________________ Capitolul IPentru a demonstra orientarea vectorilor vitez i acceleraie s-au folosit versorii in. Se poate introduce i un al treilea versor, numitversor binormal b, definit astfel n b (1.15)Cei trei versori b si n , formeaz un triedru drept numit triedrul lui Frenet.In funcie de valorile vectorului vitez i acceleraie putem avea :a) Micri uniforme :v= constantb) Micri uniform variate : a= constantc) Micri variate: a = variabiliar n funcie de forma curbei(C ) , deci a traiectoriei putem aveaa) micri rectiliniib) micri curbilinii1.3.Dinamica punctului materialDinamica este acea parte a mecanicii care studiaz micarea corpurilor innd cont de interaciunile acestora cu exteriorul, adic innd cont de forele care acioneaz asupra acestora.La baza dinamiciimicriicorpurilor stau trei principii,enunate de ctre Newton, care au urmtoarele exprimri :Principiul Ial dinamiciisauprincipiul ineriei: Uncorpsemicrectiliniui uniform, sau se afl n repaus relativ, atta timp ct asupra lui nu acioneaz fore din exterior Principiul II al dinamicii sau principiul forei: Dac asupra unui corp cu masamacioneaz ofor, Faceasta imprim corpului oacceleraie direct proporional cu foraF i invers proporional cu masa corpului8Nicolae Creu-Fizic general_______________________________________________________ Capitolul ImFa(1.16)Pricipiul III al dinamicii sau principiul egalitii aciunii i reaciunii: Dac un corp acioneaz asupra altui corp cu o for numit aciune, cel de-al doilea corp acioneazcuoforegali desemncontrar, numitreaciune, asupraprimului. Aciuneai reaciuneasunt ntodeaunaegalenmodul i acioneaz asupraunor corpuri diferite.Ecuaia (1.16) reprezint legea fundamental a dinamicii i dac inem cont c:22dtr da (1.16)atunci se poate vedea c (1.16) devine o ecuaie diferenial a crei soluie ne permite gsirea legilor de variaie a vitezeirespectiv a coordonatelor n raport cu timpul i anume:) C , C , C , t ( v v3 2 1 1.17)`) C , C , C , , C , C , C , t ( r r6 5 4 3 2 1 (1.18)Constantele deintegrareC1.6sedetermin dincondiiile iniiale, carenseamn cunoaterea poziiei i vitezei la momentul t0.0 0r ) t ( r (1.19)0 0v ) t ( v (1.20)Din legea fundamental a mecanicii rezulttrei teoreme:a) Teorema impulsuluiDefinim mrimea fizic vectorial numit impuls (sau cantitatea de micare), egal cu produsul dintre masa corpului i viteza acestuia.v m p (1.21)Matematic mai putem scriep d dt F (1.22)i deci9Nicolae Creu-Fizic general_______________________________________________________ Capitolul I 21tt1 2p p dt F (1.23)Mrimea21ttdt F(1.24)senumeteimpulsul forei rezultanteaplicatepunctului material i esteegalcu variaia impulsului punctului material.Enunul de mai sus constituie teorema impulsului i se poate observa din (1.23) c un punct material nu-i poate schimba de la sine impulsul su, numai dac asupra lui acioneaz o for.b) Teorema momentului cineticConsiderm un corp rigid de data aceasta, care se poate roti n jurul unei axe, sub aciunea forei FFig. 1.7 Momentul foreiEfectul de rotaie al corpului este determinat de foraFi de distana suportului su pn la polul O, aflat pe axa de rotaie.Definim atunci mrimea :F r M (1.25)numit momentul forei fa de punctul O.Definim de asemenea mrimeap r L (1.26)numit moment cinetic (vezi figura 1.8)10Nicolae Creu-Fizic general_______________________________________________________ Capitolul IFig. 1.8 Momentul cineticPrin derivare obinem :M F rdtp dr pdtr ddtL d + (1.27)adicdt M L d (1.28)de unde1 2ttL L dt M21 (1.29)Relaia (1.29) ne arat c momentul forei aplicate unui punct material este egal cu variaiamomentului cinetical punctului material. Enunul de mai sus constituie teorema momentului cinetic.c) Teorema energiei cineticeForele pot produce deplasri ale corpurilor pe o direcie, n funcie de orientarea acestora. O msur a efectului aciunii unei fore, este exprimat de ctre lucrul mecanic. Prin definiie lucrul mecanic elementar este dat de:r d F dW (1.30)Dacfora Feste constant atunci:) r r ( F r d F W21rr1 2 (1.31)Dac fora nuesteonstant atunci integrareadepinde de expresia dedependena forei. Din (1.30) se mai obine:11Nicolae Creu-Fizic general_______________________________________________________ Capitolul Ic2dE )2v m( d v ) v m ( d dt v ) v m (dtdr ddtp ddW (1.32)unde 2v mE2creprezint energia cinetic a corpului supus aciunii foreiF. Prin integrare rezultc 1 c 2 c21cE E E dE W (1.33)adic:Lucrul mecanic efectuat de o for rezultant aplicat punctului material, este egal cu variaia energiei cinetice a punctului material.Este evident c, dac rezultanta forelor aplicate este permanent nul, energia cinetic a punctului material se conserv.1.4Fore conservative i neconservativeExistocategoriespecialdeforecareauproprietateaclucrul mecanic efectuatdeacesteaasuprapunctuluimaterial,nudepindedetraiectoriesauviteza punctului, ci numai de poziia iniial i final. Aceste fore se numesc fore conservative i exemple de astfel de fore avem: fora gravitaional, fora electric, fora elastic, etc. Pentru fora gravitaional 2rmMk F (1.34)de exemplu dac vom calcula lucrul mecanic efectuat de aceasta ntre dou puncte aflate la distanele h1 respectiv h2 fa de suprafaa Pmntului, (vezi figura 1.9) vom avea:202 1h Rh R2Rh hKmMrdrkmM W1 02 0 ++(1.35)Dac inem cont c greutatea corpului cu masa m la suprafaa Pmntului este egal chiar cu fora gravitaional:12Nicolae Creu-Fizic general_______________________________________________________ Capitolul I20RmMk mg (1.36)i dac h1 i h2 sunt mici n comparaie cu raza R0 a Pmntului, (1.35) se poate scrie i astfel:h mg ) h h ( mg W1 2 (1.37)Introducnd energia potenial gravitaionalmgh Ep (1.38)se poate vedea c n acest caz putem scriepE W (1.39)Figura 1.9 Lucrul mecanic al forei gravitaionaleUn calcul similar se poate face i pentru cazul forei electrostatice, la deplasarea ntre doupunctedincmpul electrostaticprodus deosarcin punctiformQaunei sarcini de prob q.Pentru cazul forelor elastice, presupunem de exemplu o micare fr frecare a unui corp, fixat de un resort care a fost ntins pe un plan orizontal ca n fig. 1.10. Vom avea pentru cazul destinderii resortului:kx Fe (1.40)13Nicolae Creu-Fizic general_______________________________________________________ Capitolul IFigura 1.10Fora elastic 2x k2x kdx kx W2A2BxxAB (1.41)tim c energia potenial elastic are formula:2kxE2p (1.42)deci scriind nc o dat (1.41) vom avea:pE W (1.43)n cazul forelor conservative lucrul mecanic al acestora este egal cu variaia energiei potenialeluat cusemnschimbat. Evident, pentrudeplasri mici alecorpurilorn cmpuri de fore conservative:pdE dW (1.44)1.5Energia mecanic i conservarea acesteiaEnergia mecanic a unui corp poate fi de dou feluri: cinetic i potenial. Am dedus mai nainte c dac asupra unui corp acioneaz mai multe fore, atunci lucrul mecanic al forei rezultante este egal cu variaia energiei cinetice a corpului.cdE r d F (1.45)Aceste fore care daurezultantaFpotfiuneleconservative,altele neconservative. Dac notm cu Fc forele conservative i cu FN forele neconservative ce acioneaz asupra punctului materialn (1.45) vom avea expresia:( )c N cdE r d F F + (1.46)14Nicolae Creu-Fizic general_______________________________________________________ Capitolul Ii deci) E E ( d dE dE r d Fp c p c N+ + Dar E E Ep c + reprezint energia mecanic total a corpului i decidE dWN(1.47)sau integrnd:E E E Winitial final N (1.48)adic variaia energiei mecanice a unui corp este egal cu lucrul mecanic al forelor neconservative. Evident, dac asupra unui corp nu acioneaz nici un fel de fore sau acioneaz numai fore conservative, atunci energia mecanic a corpului nu se modific (se conserv Efinal = Einiial). Afirmaia de mai sus reprezint legea (teorema) conservrii energiei mecanice.1.6Exemple de aplicare ale teoremelor de variaie sau conservare a energieiSconsidermcazul unui corpdemasmcareestetrasnjospeunplan nclinat de unghi i lungime de o for extern F paralel cu planul. Figura 1.11 ilustreaz fenomenul ce urmeaz a fi analizat i forele care acioneaz. Se cere s se determine viteza la baza planului, considernd un coeficient de frecare pe plan diferit de zero i egal cu . Vom considera c viteza iniial n vrful planului este zero.Figura 1.11 Micarea unui corp pe un plan nclinatnlimea planului este: sin l h (1.49)15Nicolae Creu-Fizic general_______________________________________________________ Capitolul In vrful planului energia mecanic a corpului este:mgh EA (1.50)iar la baza planului2v mE2B(1.51)Aplicnd teorema variaiei energiei mecanice avem c:F F tiv neconserva A BW W W E Ef+ (1.52)AiciWFfeste lucrul mecanic al forei de frecare iar WF este lucrul mecanic al forei externe Fcare trage corpul pe plan. cos l g m cos l F Wf Ff (1.53)l F WF (1.54)Aplicnd (1.52) vom avea deci cos mgl l F mgh2mv2 i deci) cos glml F( 2 gh 2 v + (1.55)Putemaborda aceeai problem folosind de exemplu teorema variaiei energiei cinetice. Conform cu acesta :G N Ff F cA cBW W W W E E + + + (1.56)Aici:WF lucrul mecanic al forei externe FWFf lucrul mecanic al forei de frecareWN lucrul mecanic al reaciunii planuluiWG lucrul mecanic al greutiiSe vede c:16Nicolae Creu-Fizic general_______________________________________________________ Capitolul I )2cos( Gl W0 Wcos mgl Wl F WGNFfF i deci cos mgl Fl mgh2mv2 + de unde se observ c se va obinre acelai rezultat ca i cel din (1.55).Putem trata micarea aceasta folosindlegea fundamntal a dinamicii, care ne spune c sin G F F maf

de unde sin g cos gmFa + (1.57)Aplicnd ecuaialui Galilei:al 2 v se obine:) cos glml F( 2 gh 2 v + rezultatul identic din nou cu cel din (1.55).Din cele discutate mai sus se poate vedea c indiferent de modulde abordare a unei probleme, rezultatele sunt aceleai dacseaplic corect teoremele devariaiei conservareaenergiei. Abordareadinpunct devedereenergeticaproblemelor din mecanic este recomandat mai ales atunci cnd avem de-a face cu fore care nu sunt constante (depind de distan, de timp, de vitez, etc).17Nicolae Creu-Fizic general_______________________________________________________ Capitolul I1.7 Dinamica sistemelor de puncte materialeUn sistem de puncte materiale reprezint un sistem fizic format din mai multe corpuri care formeaz un ntreg,mai mult sau mai puin deformabil, aceste corpuri aflndu-se n interaciune ntre ele i sunt deci supuse la legturi reciproce i pot fi aproximate prin puncte materiale. Exemple de astfel de sisteme sunt: un corp considerat ca un ansamblu de particule (molecule, ioni), o main ale crei pri pot fi aproximate ca puncte materiale, sistemul solar , etc.Asupra fiecrui punct material din sistemvor aciona fore interne, din partea celorlalte puncte materiale i fore externe din partea corpurilor externe i care nu fac parte din sistem. Este important de menionat c forele interne sunt fore de interaciune dintre particule i se supun principiului al III-lea al dinamicii.Pentrupunctul materialkdinsistem, carearemasamkputemscrielegeaaII-aa dinamicii.+ N1 jkj) E (k2k2kF Fdtr dm(1.58)unde ) E (kFeste fora extern iarkjFsunt forele interne, cu care celelalte particule din sistem acioneaz asupra particulei k.Pentru ntreg sistemul: + N1 kNj , kkj) E (2k2kF Fdtr dm(1.59)i decik) E (2k2kFdtr dm(1.60)deoarece 0 FNj , kkj conform cu cele spuse mai sus.Intruct mk nu depinde de timp:) E (kk k22F r mdtd(1.61)18Nicolae Creu-Fizic general_______________________________________________________ Capitolul Icu ) E (Frezultanta forelor externe.Definim aici mrimeakkkk kcmmr mr(1.62)numit raza vectoare (vectorulde poziie) a centruluide mas.Avnd definitcmr, (1.61) se mai poate scrie:

,_

) E (2cm2kkkkk k22kFdtr dmmr mdtdm(1.63)Am notat kkm mi aceasta reprezint masa total a sistemului. Se observ c dac introducem centrul de mas al unui sistem de puncte materiale se poate spune c:Centrul de mas al sistemului se mic la fel ca un punct material cu masa egal cu masa sistemului i asupra cruia acioneaz numai forele externe ale sistemului.Se definete i viteza centrului de mas astfel:kkkk kcmmv mv(1.64)Subliniem nc o dat c forele interne nu pot modifica micarea centrului de mas. Ca un exemplu, dac un obuz este lansat pe oblic de la sol i acesta explodeaz n aer, centrul de mas al schijelor din obuzul respectiv va continua s se mite neperturbat pe o parabol ca i cum nimic nu s-ar fi ntmplat, pn cnd prima schij lovete solul.1.8 MICRI SELECTATE DIN MECANIC1.8.1. Ciocnirea corpurilorCiocnirea reprezint un proces mecanic n care interacia dintre corpurile care se ciocnesc dureaz un timp foarte scurt (finit).19Nicolae Creu-Fizic general_______________________________________________________ Capitolul In momentul atingerii corpurilor care se ciocnesc, viteza lor relativ se reduce la zero, iar energia cinetic relativ se transform n energie de deformare sau alte forme de energie. Dup ciocnire, deformaiile corpurilor sereduc, viteza relativ crete i energia cinetic relativ se restituie parial.Dac deformaiile de dup ciocnire dispar i energia cinetic relativ se restituie integral, fr a se transforma n alte forme de energie, ciocnirea se numete elastic. Dac deformaiile nu se anuleaz i energia cinetic relativ nu se restituie integral corpurilor, atunci ciocnirea esteneelastic. Dac nprocesul deciocnire corpurilefuzioneaz, atunci ciocnireaestetotal neelastici evident nacest caz corpurile se vor mica mpreun dup ciocnire.Fie dou corpuri nepunctiforme care se coicnesc i fie TT planul tangent (de contact) al acestora.Direcia NN perpendicular pe planul de contact se numete direcie sau linie de ciocnire.Dac linia de ciocnire NN trece n momentul ciocnirii prin centrele de mas ale celor dou corpuri, ciocnirea se numete centric, ncazcontrarciocnireasenumete necentric.Dac nainte de ciocnire corpurile se micau dup linia de ciocnire NN ciocnirea se numetefrontal, ncaz contrar ea se numeteoblic. Se poate spune c dac corpurile sunt sfere omogene, ciocnirea acestora este totdeauna centric dar n general oblic.Dac 1v i 2vsunt vitezele corpurilor fa de Pmnt nainte de ciocnire, atunci viteza relativ de ciocnire (viteza corpului 1 fa de corpul 2) va fi: 2 1 rv v v(1.65)Descompunem viteza relativ dup dou direcii perpendiculare, dup direcia liniei de ciocnire i dup o direcie perpendicular pe aceast coninut n planul de contact:20 Figura 1.12 Planul de contact i linia de ciocnireNicolae Creu-Fizic general_______________________________________________________ Capitolul I + t r n r rv v v(1.66)Dup ciocnire componentan rvi schimb semnul, deoarece nainte de ciocnire corpurile se apropie, iar dup ciocnire acestea se ndeprteaz. Componenta vitezeirelative din planul de contact,n cazul unei ciocniri perfect elastice,nu se modific. n general ns, prin ciocnire, deoarece corpurile nu sunt nici perfect elastice i nici absolut netede, celedoucomponentealevitezei relativesemodific. Astfel, componenta normal a vitezei relative de dup ciocnire n rveste n modul mai mic dect rnv, deoarece corpurile nu sunt perfect elastice. n ceea ce privete componenta vitezei din planul de contact, aceasta se micoreaz din cauza frecrii, astfel c dup ciocnire rt'rtv v . (vezi figura 1.12)n procesul de ciocnire se exercit fore de interaciune ntre corpuri, deci fore interne, dar acestea nupot schimba impulsul total i momentul cinetic total ale sistemului mecanic. n intervalul de timp foarte scurt ct dureaz ciocnirea, variaia de impuls i variaia de momentcinetic produse de eventuale fore externe,se pot neglija n comparaie cu variaiile de impuls i de moment cinetic produse de forele interne, care dei dureaz puin, sunt mult mai mari dect forele obinuite externe. De aceea impulsul i momentul cinetic ale sistemului de corpuri care se ciocnesc se conserv n procesul de ciocnire.1.8.1.1Ciocnirea plasticCiocnirea plastic este ociocnire total neelastic adou corpuri care se cupleaz, i care se deplaseaz cu aceeai vitez dup ciocnire.Fie m1 i m2 masele corpurilor i 1v , 2v vitezele nainte de ciocnire. Atunci din legea conservrii impulsului rezult:( ) + + v m m v m v m2 1 2 2 1 1(1.67)de unde obinem viteza dup ciocnire a corpurilor21Nicolae Creu-Fizic general_______________________________________________________ Capitolul I2 12 211m mv m v mv++ (1.68)Energia cinetic pierdut, transformat n alte forme de energie (de obicei sub form de cldur) va fi:( )

,_

+ + + 2r2212 12 122 1222121v v vm mm m21 v m m21v m21v m21Q Ec(1.69)unde:2 12 1m mm m+ (1.70)se numete mas redus a celor dou corpuri, iar2 1 rv v v (1.71)este viteza relativ de ciocnire.1.8.1.2 Ciocnirea perfect elasticn acest caz se conserv pe lng impulsul total i energia cinetic total. Considernd ciocnirea centrici central vom avea:' + + + +22221 12222112 2 1 1 2 2 1 1v m21v m21v m21v m21 v m v m v m v m

(1.72)de unde:2 21 1v v 2 vv v 2 v (1.73)unde2 12 2 1 1m mv m v mv++ (1.74)1.8.1.3Ciocnirea cu un perete22Nicolae Creu-Fizic general_______________________________________________________ Capitolul In cazul ciocnirii centrice, perfect elastice i frontale, considernd peretele ca un corp cu mas foarte mare (m2 >> m1) atunci din (1.74) avem:1 2 1 2v v 2 v; v v (1.75))Considermunperetenrepaus adic0 v2 i nacest cazdin(1.75) avemc1 1v ' v ,2 2v ' v , adic corpul 1 se va ntoarce napoi cu aceeai vitez (n modul).Pentru o ciocnire oblic , perfect elastic, cu un perete n repaus, ca n figura 1.13, vom avea:Figura 1.13 Ciocnirea oblic n n t tv v;v v (1.76)i deciv v (1.77)n acelai timp se mai poate spune c adic unghiul de inciden este egal cu unghiul de reflexie.1.8.2Micarea unui corp cu mas variabilCa un exemplu de corp a crui mas variaz n timpul micrii, considerm aici orachetcareexpulzeazcontinuugazedearderei acrei masetotalescaden timp.La fel de bine putem considera un corp care ctig mas n timp.Deoarece forele de expulzare (sau de alipire) sunt fore interne , acestea nu modific impulsultotal al sistemului.23Nicolae Creu-Fizic general_______________________________________________________ Capitolul IFie mmasa corpului ivviteza acestuia la un moment de timp t. Dup trecerea unui timp infinitezimaldt , masa m s-a modificat cudm.Fie u viteza cu care se mic dm. Atunci din legea conservrii impulsului avem :( ) ( ) u dm v m v d v dm m + + +adic :u dm v m v d dm v dm v d m v m + + + +Deoarece dmi dv sunt cantiti infinitezimale, produsul lor este o mrime neglijabil i atunci( ) v u dm dv m Imprind prindt ecuaia de mai sus devine :( )dtdmv v udtdmdtv dm (1.78)Mrimea v u v este viteza relativ de expulzare sau alipire iar dtdm este debitul masic de expulzare sau alipire. MrimearFdtdm. v (1.79)are dimensiunile unei fore i se numete for reactiv.Dac asupra corpului acioneaz i o for exterioar F atunci :( ) ( ) ( ) u . dm v m v d v dm m dt F + + + i obinemoecuaiemai general, careincludeicontribuiaforelorexternei a forei reactive, dat de ecuaia de mai josdtv dmdtdmv F +(1.80)care se mai numete i ecuaia lui I.V.Mecerski. Dac0 dm < avem expulzare de mas iar dac 0 dm > avem alipire.Dacdeexemplustudiemmicareaunei rachetelansatdepePmnt, neglijnd frecarea cu aerul, fora externeste g m F , astfel c (1.80) devine :24Nicolae Creu-Fizic general_______________________________________________________ Capitolul Idtv dmdtdmv g m +(1.81)Separnd variabilele pentru a putea integra :v dmdmv dt g + de unde :mmln v t g v voo + (1.82)cu0mmasa iniial a corpului (rachetei).Pentru o lansare pe vertical, plecnd din repaus,v , 0 vo este ndreptat n jos spre Pmnt, lafel ig, aacscrisscalar dupodirecieOzperpendicularpe suprafaa Pmntului (1.82) va fi :gtmmln v vo (1.83)Aceasta este legea de variaie a vitezei corpului cu timpul.Pentru ca racheta s se desprind de Pmnt trebuie ca fora reactiv s fie mai mare dect greutatea ei,g mdtdmvo adic debitul masicdtdmD de expulzare a gazelor s satisfac condiia :vmgD(1.84)1.8.3 Micarea oscilatorie a punctului materialMicarea oscilatorie este micarea pe care o efectueaz un corp de o parte i de alta a unei poziii, care de obicei este poziia de echilibru. Orice poziie de echilibru se caracterizeaz prin aceea c aici energia potenial a corpului este minim.Fieomicareoscilatorieliniar, adicomicareoscilatoriecaresefacedupo singur direcie i fie xaceast direcie. Considermcpoziia deechilibrua corpului estenpunctulxo=0i cnjurul acestei poziii, corpul efectueaz 25Nicolae Creu-Fizic general_______________________________________________________ Capitolul Ioscilaii mici. Notm cu U( x ) energia potenial a corpului aflat n acest cmp de fore, care fac ca el s oscileze de o parte i de alta a poziiei de echilibru.Pentru deplasrix mici fa de poziia de echilibru putem dezvolta funcia U(x)n serie Taylor astfel :( ) ( ) ... xdxU d21xdxdU0 U x U2x22xoo+

,_

+

,_

+ (1.85)Deoarece n poziia de echilibru avem un minim al energiei poteniale, avem c0dxdUox

,_

De obicei, ne intereseaz variaia energiei poteniale, deoarece aceasta produce efecte mecanice, aa c putem s etalonm energia potenial astfel cU(x=xo) = 0i deci :( )2 2x x22x k21xdxU d21x Uo

,_

(1.86)Fora corespunztoareacestei energii poteniale va fi :x . kdxdUF (1.87)Relaiile (1.87) i (1.86) ne spun c n cazul unor oscilaii liniare mici, forele care acioneazsunt foreelastice, iarnacest cmpdefore, energiapotenialesteo energie potenial de tip elastic. Forele elastice sunt fore conservative, de aceea ele deriv din potenial.1.8.3.1 Cazul oscilaiilor liniare libere.Oscilaiile liniare libere sunt oscilaiile care se fac dup o singur direcie, iar asupra corpului acioneaz numai fore elastice. Ecuaia de micare, conform cu legea a doua a dinamicii va fi :x . kdtx dm22 (1.88)26Nicolae Creu-Fizic general_______________________________________________________ Capitolul IPentru o scriere simplificat, notm 2022mk, xdtx d , xdtdx i deci0 x x20 + (1.89)Ecuaia(1.89) esteoecuaiediferenialdeordinul doi cucoeficieni constani. Soluia unei astfel de ecuaii difereniale se caut sub forma rte x astfel c:0 r202 + (1.90)Aceast ecuaie se numete ecuaia caracteristic a ecuaieidifereniale,rdcinile ecuaiei caracteristice fiind0 2 , 1i r t n funcie de acestea soluia ecuaiei difereniale fiind :t r2t r12 1e . C e . C x + (1.91)unde 1Ci 2Csunt constante complexeMrimea 2omk (1.92)se numete pulsaie proprie a oscilatorului iar mrimeaoo2T(1.93)poart numele deperioadpropriea oscilatorului, i reprezint timpul n care oscilatorul efectueaz o oscilaie complet. Conform cu(1.91):t i2t i10 oe . C e . C x + (1.94)Deoarecexeste omrime real, trebuie s avem x * x ( * x este complex conjugata luix) i deci .t i2t i1t i *2t i *1o o o oe C e C e C e C + + adic1*2 2*1C C ; C C Lum aceste constante complexe de forma: i2i1e2aC , e2aC cua i de data aceasta mrimi reale.27Nicolae Creu-Fizic general_______________________________________________________ Capitolul IRezult n continuare conform cu (1.94) c :( ) ( )[ ] ( ) + + + +t cos a e e2axot i t io o(1.95)Ecuaia (1.95) este ecuaia unei oscilaii armonice liniare libere. Mrimile caracteristice ale acestei ecuaii sunt :xelongaia micriia amplitudinea micrii0 pulsaia proprie faza iniial a oscilaiei1.8.3.2Oscilaii liniare amortizate.De obicei asupra corpurilor care oscileaz, n afar de fora elastic acioneaz i fore de frecare. Experiena arat c forele de frecare care apar aici sunt proporionale cu viteza de oscilaie. Legea de micare va fi deci :x x k x m (1.96)Mrimea x reprezint fora de frecare, iar se numete coeficientul forei de frecare. Notm i aici : 2m ;mk2o i ecuaia diferenial a micrii este :0 x x 2 x2o + + (1.97)iar ecuaia caracteristic :0 r 2 r2o2 + + (1.98)Soluiile ecuaiei caracteristice sunt :2o22 , 1r t (1.99)a.Cazul amortizrilor mici :Dac fora de frecare este mic, adic2o2 < avem :28Nicolae Creu-Fizic general_______________________________________________________ Capitolul I i i r2 2o 2 , 1t t (1.100)iar soluia ecuaiei(1.97)va fi( ) ( ) ( ) + + + t cos t A t cos aee e C e e C xtt i t2t i t1(1.101)unde tte a e a ) t ( A iar 1 se numete timp de relaxare.Ecuaia (1.101) descrie o oscilaie armonic, cu amplitudinea care scade exponenial n timp. De asemenea 02 2o , deci pulsaia acestei micri oscilatorii este diferit de pulsaia proprie.Ooscilaie descris de (1.101) poart numele de oscilaie armonic amortizat, graficul elongaiei acesteia fiind reprezentat n figura 1.14.x(t)=10[exp(-0.1t)] cos (t+/4)0 7 14 21 28 3510622610t(s)x(t)Figura 1.14 Oscilaie amortizat Pentru a caracteriza astfel de oscilaii, se folosete decrementul logaritmic, care este definit calogaritmul natural al raportului adou amplitudini consecutive.( )( )TT t At Aln + (1.102)29Nicolae Creu-Fizic general_______________________________________________________ Capitolul IEsteevident cvomavea amortizri dincencemai mari cuct decrementul logaritmic crete.b. Cazul amortizrilor mariIn acest caz fora de frecare este relativ mare astfel c :2o2 >Atunci din(1.99)22o2212o21rr + De data aceasta :t2t12 1e C e C x + (1.103)ecuaia noastr reprezint o micare amortizat aperiodic.1.8.3.3Oscilaii forate ale punctului materialDei n realitate am vzut c asupra oscilatorului acioneaz pe lng fora elastic foredefrecare(nuexistnnaturmicarefrfrecare), careduclaamortizarea oscilaiilor corpului, totui n natur se cunosc micri oscilatorii care se menin timp ndelungat (de exemplu oscilatiile unui pendul de ceas).Este posibil s obinem oscilaii care se ntrein dac din exterior acionm cu fore, cednd deci oscilatorului energie pentru a suplini pierderile datorit frecrilor.Fora care acioneaz din exterior i care ajut la ntreinerea oscilaiilor este o for periodic, cu pulsaia , n general diferit de pulsaia proprie a oscilatorului.Fie deci fora excitatoare din exterior de format cos F ) t ( F0 (1.104)Vom avea acum ecuaia de micare :t cos F x kx x m0 + (1.105)De aici :t cosmFx x 2 x0 20 + + (1.106)Presupunem pentru (1.106) o soluie de forma : .) t cos( a x + . Atunci30Nicolae Creu-Fizic general_______________________________________________________ Capitolul It sin a x t cos a x2 care nlocuite n (1.106) i identificnd termenii :( )2 222 2oo4 mFa + (1.107)2o22tg (1.108)Deci ecuaia micrii va fi dup un timp > t:( )

,_

++ 2o22 222 2oo2arctg t cos4 mFx (1.109)Se observ din (1.109) c oscilatorul va oscila cu pulsaia forei externe,dar defazat fadeaceastacuununghi defaz. Amplitudinea aaoscilaiei ntreinute, (forate) depinde de pulsaia forei excitatoare. Amplitudinea devine maxim cnd ( ) 0 adda (condiia de extremum)de unde rezult c pulsaia forei externe pentru care amplitudinea este maxim este2 2o r2 (1.110)Valoarea maxim a amplitudinii o gsim uor nlocuind(1.110)n(1.107) :2 2oomaxm 2Fa (1.111)Fenomenul de apariie a unui maxim al amplitudinii poart numele de rezonan. Din (1.111) se vede c maximul amplitudinii este cu att mai mare cu ct coeficientul de amortizare estemai mic, acestatinzndlainfinit cnd tindelazero. De 31Nicolae Creu-Fizic general_______________________________________________________ Capitolul Iasemeneacuctestemai miccuatt pulsaiaderezonanaamplitudinii se apropie de pulsaia proprie0Fenomenul de rezonan are multiple aplicaii n fizic i n tehnic. Astfel, pe acest fenomensebazeazfuncionareadiferitelorinstrumentemuzicale, radioreceptoare, instrumente de msur etc. In fizic prin rezonan se pot determina anumite mrimi microscopice, caracteristice atomilor sau moleculelor, deci rezonana este o cale de explorat proprietile materiei.In tehnic,deexemplu nconstrucia demaini, pentrua evita efectele distructive produse larezonana amplitudinii, este indicat cafrecvena proprie aoscilaiilor instalaiilor, s fie diferit de cea a vibraiilor care apar n timpul funcionrii acestora.1.8.4 Analogia mecano-electricVom arta n cele ce urmeaz c ecuaiile difereniale ale diferitelor micri oscilatorii se aplic i la circuitele oscilante electrice, n care apar oscilaii ale sarcinii electrice.Astfel, dac considerm la nceput un circuit oscilant simplu, format dintr-un condensator de capacitateC i o bobin de inductanL ca n figura 1.15 , fcnd bilanul tensiunilor pe ochiul de circuit avem:q LdtdIL U ;CqU0 U UL CL C (1.112)deoarece qdtdqI i deci ecuaia diferenial a evoluiei sarcinii n circuit este0 0120 + + q q qLCq (1.113)soluia acesteia fiind de forma:( ) + t cos a q0(1.114)adic sarcina din circuit variaz armonic, oscilaiile acesteia fiind oscilaii armonice libere cu pulsaia proprie LC10 .32Nicolae Creu-Fizic general_______________________________________________________ Capitolul IFigura 1.15Circuit oscilant simpluIn realitate,deoarece nu exist elemente ideale de circuit,un circuit oscilant trebuie s conin i o rezistena electric n care sunt incluse contribuiile rezistenei conductorului bobinei realei rezistenei dielectricului condensatorului real, can figura 1.16.Figura 1.16 Circuit oscilant RLCBilanul tensiunilor pe circuit este acum dat de:0 U U UL C R +(1.115)Introducnd din nou sarcina electric :0 q LCqq R + + Fcnd notaiile standard :LR2 ,LC120 avem ecuaia diferenial:0 q q 2 q20 + + (1.116)care pentru cazul unor rezistene mici are ca soluie o oscilaie amortizat a sarcinii n circuit, adic 33Nicolae Creu-Fizic general_______________________________________________________ Capitolul I( ) + t cos e a qt(1.117)Pentru a ntreine oscilaiile sarcinii din circuit, este necesar evident un aport energetic din exterior, ceea ce inseamn aplicarea la bornele circuitului a unei tensiuni alternative de o anumit pulsaie ca n figura 1.17.Figura 1.17Circuit oscilant RLC cu oscilaii electrice forateLund pentru( ) + t cos U U~0, obinem ( ) + + t cos U U U U0 L R C(1.118)Avem n acest caz evident de-a facedup trecerea timpului de relaxare cu oscilaii forate ale sarcinii n circuit, a cror ecuaie matematic este:) t cos(LRLC1LUq222220 ++

,_

(1.119)1.8.5 Analiza Fourier a micrii oscilatoriiMicrile oscilatorii ale cror ecuaii de micare sunt descrise cuajutorul funciilor sinus sau cosinusse numesc micri oscilatorii armonice. Numele acestora le este dat de ctre aceste funcii, care se numesc funcii armonice.Exist ns n natur micri care dei nu sunt armonice , sunt totui periodice. Un exemplu de astfel de micare este cea din figura 1.18.34Nicolae Creu-Fizic general_______________________________________________________ Capitolul IFigura 1.18 Semnal periodic nearmonicUn semnal periodic de perioad T are urmtoarea proprietate :) t T ( f ) t ( f + (1.120)Dac funcia ) t ( feste periodic i continu atunci ea poate fi scris astfel:) t n sin B t n cos A ( ) t ( fn0 nn + (1.121)Expresia de mai sus poart numele de serie Fourier trigonometric (SFT), coeficienii nAinBnumindu-secoeficieni Forier, iarestelegat deperioadafunciei prin relaia:T2 (1.122)Dac se cunoate perioada semnalului care trebuie analizat, determinarea coeficienilor Fourier se poate face innd cont de ortogonalitatea funciilor t n cos it n sin . Conform acestei proprieti:0 dt t m cos t n sinm n daca 0m n daca21dt t m cos t n cosT1m n daca 0m n daca21dt t m sin t n sinT1T0T0T0 ' ' (1.123)i atunci rezult:35Nicolae Creu-Fizic general_______________________________________________________ Capitolul I0 n , dt t n sin ) t ( fT2B0 n , dt t n cos ) t ( fT2Adt ) t ( fT1AT0nT0nT00 (1.124)Seria Fourier poate fi scris i n form complex. Astfel, dac inem cont de formulele lui Euler:i 2e et n sin2e et n cost in t int in t in +(1.125)atunci:t innt innt in n n t in n nt in t innt in t inne C e Ce2iB Ae2iB Ai 2e eB2e eA + + + ++ i nlocuind coeficienii nA i nB cu :2iB AC ;2iB ACA Cn nnn nn0 0+(1.126)rezult : + nt inne C ) t ( f(1.127)Expresia(1.127)poartnumeledeserieFourierexponenial(SFE), determinarea coeficienilor dindezvoltareanseriebazndu-sedeasemeneapeproprietateade ortogonalitate a sistemului de funcii de tipul t ine. Aceast proprietate, pentru acest sistem de funcii ne spune c:' m n daca 0m n daca Tdt eT0t ) m n ( i (1.128)36Nicolae Creu-Fizic general_______________________________________________________ Capitolul IEste uor de vzut c n acest caz: T0t inndt e ) t ( fT1C(1.129)1.8.5.1Seria Fourier a unui semnal dreptunghiularCa un exemplu la cele expuse mai sus, s deteminm coeficienii Fourier la un semnal periodic dreptunghiular, ilustrat n figura 1.19.Figura 1.19Semnal dreptunghiular Calculm coeficienii:' 11]1

+ par n , 0impar n ,n1B 0 dt t n cosT1A...... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..........0 dt t 2 sinT1B 0 dt t 2 cosT1A1t sinT1B 0 dt t cos . 1T1A21dt 0 dt 1T1An2 / T0n2 / T022 / T022 / T012 / T01T2 / T2 / T00 Prin urmare semnalul dreptunghiular va puteafi obinut dintr-o serie Fourier trigonometric astfel:... t 7 sin71t 5 sin51t 3 sin31t sin121... t 5 sin B t 3 sin B t sin B21) t ( f5 3 1+ + + + + + + + + (1.130)37Nicolae Creu-Fizic general_______________________________________________________ Capitolul IFr prea mari eforturi se pot gsi i coeficienii din seria Fourier exponenial.Desigur sepuneproblemacti termeni trebuieluai nconsiderarenseria Fourier. Rspunsul depinde de eroarea cu care dorims aproximmsemnalul. Evident nuntotdeaunaluareanconsiderareaunui numr maredecomponente Fourier ne asigur cea mai mic eroare.Infigura1.20estereprezentattransformataFourier aunui semnal sinusoidal cu frecvena de 5 KHz achiziionat cu o plac de achiziie la o frecven de achiziie de 40000Hz.Figura 1.20Transformata Fourier a unuisemnal de 5 KHz.38Nicolae Creu-Fizic general_______________________________________________________ Capitolul IProbleme de verificare la capitolul I1. Exprimati in coordonate polare sferice vectorii viteza si acceleratie stiind ca in coordonate carteziene acestia au urmatoarele expresii:2 2 22 2 2sin cossin sincosdx dy dzv i j kdt dt dtd x d y d za i j kdt dt dtx ry rz r + + + +rr rrr r rr2. Energia potentiala de interactiune dintre doi nucleoni se poate exprima printr-o relatie de tip Yukava, data de:000( )rrrU r U er Sa se calculeze expresia fortei de interactiune dintre cei doi nucleoni, considerand ca aceasta forta este o forta conservativa.3.Un pendul cu perioada proprie 00.63 T s executa oscilatii intretinute ca urmare a actiunii asupra lui a unei forte perturbatoare de tip armonic. Stiind ca rezonanta miscarii are loc la o pulsatie a fortei egala cu 9.4 / rad s , sa se calculeze decrementul logaritmic al miscarii oscilatorii.3. Sa se calculeze seria Fourier a unui semnal periodic dat de figura de mai jos :39