Compunerea oscilatiilor armonice simple

a) doua oscilatii paralele si de aceiasi frecventa

- metoda fazorilor

)cos(2 122122

21

2 AAAAAAmplitudinea miscarii rezultante este maxima 21max AAA pentru

Fazorul : - vector rotitor - modul egal cu amplitudinea marimii sinusoidale - unghiul pe care-l face cu axele de coordonate este egal cu faza miscarii la orice moment de timp

)sin()sin(

222

111

tAytAy

)12(12 k

k212 oscilatiile componente sunt in faza

Amplitudinea miscarii rezultante este minima pentru

oscilatiile componente sunt in opozitiede faza

2211 sinsinsin AAA

2211 coscoscos AAA

2211

2211

coscossinsin

AAAA

tg

b) doua oscilatii paralele de frecvente diferite

Miscarile la care este supus simultan oscilatorul armonic sunt descrise de ecuatiile :

)sin()sin(

2222

1111

tAytAy

21min AAA

21

21 AA )cos(2 1221

22

21

2 ttAAAAA

])cos(1[2 1221

2 tAA 2cos1

2cos2

2)(

cos4 12221

2 tAA

Amplitudinea miscarii rezultante, este data de marimea vectorului rezultant:

2)(cos2 12

1tAA

t)( 12

Oscilatorul oscileaza cu semisuma celor doua frecvente si amplitudunea depinde de timp.

12

2

T

T - perioada de oscilatie a amplitudinii rezultante

2)(

2)( 1212

1ttt

2)(sin

2)(cos2 1212

1tAy

12 - frecventa bataiilor, frecventa de variatie a amplitudinii

Corpul va oscila cu o frecventa egala cu semisuma frecventelor, dar amplitudinea oscilatiei va varia foarte incet cu o frecventa egala cu diferenta celor doua frecvente.

221

Fenomenul de intarire si de atenuare periodica a oscilatiei se numeste fenomenul batailor.

Linia intrerupta arata modularea amplitudinii.

c) doua oscilatii care au loc in lungul a doua directii perpendiculare

)sin()sin(

22

11

tAytAx

- aceiasi pulsatie

(1)

Ecuatia (1) se poate scrie :

222

111

sincoscossin

sincoscossin

ttAy

ttAx

Inmultim pe rand cele doua ecuatii cu factorii , respectiv , si le scadem :

2sin 1sin2cos 1cos

Ridicam cele doua ecuatii la patrat si le adunam :

)(sin)cos(212

212

1122

2

21

2

AAxy

Ay

Ax

(2)

- ecuatia traiectoriei unui punct material supus la cele doua oscilatii perpendiculare

Ecuatia (2) reprezinta in general ecuatia unei elipse a carei parametrii depind de diferenta de faza .)( 12

)sin(coscoscos

)sin(sinsinsin

1212

21

1212

21

tAy

Ax

tAy

Ax

Cazuri particulare :

a) k212

xAA

y1

2 - ecuatia unei drepte 1

2

AA

tg

miscarea are loc in lungul unei drepte care trece prin origine si face unghiul cu axa OX.

Departarea punctului material fata de origine:

)sin(1 122

212

1

2222 tAAxAAyx

Corpul executa o miscare oscilatorie armonica cu amplitudinea 22

21 AA

b) )12(12 k

0221

2

2

2

1

Ay

Ax

Ay

Ax 0

2

21

Ay

Ax

0221

2

2

2

1

Ay

Ax

Ay

Ax 0

2

21

Ay

Ax

xAA

y1

2

1

2

AA

tg

c) 2)12(12 k

122

2

21

2

Ay

Ax

- ecuatia unei semielipse de axe A1 si A2

Daca A1 = A2 traiectoria unui cerc

d) pentru celelalte cazuri se obtin traiectorii eliptice inclinate.

Pentru pulsatii diferite traiectorii de forma complicata figurile lui Lissajous

- Traiectoria este stabila numai pentru rapoarte de numere intregi

Unde mecanice

Mediile continue (solide, lichide, gazoase) sunt formate din particule foarte mici intre care exista forte de interactiune.Daca o particula este pusa in oscilatie atunci si celelalte particule ale sistemului vor incepe sa oscileze datorita interactiunii care exista intre particule. Un astfel de mediu se numeste elastic si transmiterea perturbatiilor (oscilatiilor) din aproape in aproape se numeste unda mecanica (elastica).

Viteza de propagare a undei este finita.

c - viteza undei, viteza de propagare a perturbatieiv - viteza unei particule care oscileaza

Unda nu reprezintă transport de materie, ci numai transport de energie.

La o departare mare suprafata sferica se poate aproxima cu un plan unda plana progresiva.

Ecuatia undei plane progresive

),( to - elongatia la un moment t

Unda plana

Toate punctele unui mediu atins de o perturbatie formeaza frontul de unda; pentru mediul izotrop frontul de unda este o suprafata sferica.

După natura perturbaţiei şi modul de propagare al acesteia, putem clasifica undele în:

- unde longitudinale (direcţia de propagare a undei coincide cu direcţia de oscilaţie); - unde transversale (direcţia de propagare a undei este perpendiculară pe direcţia de oscilaţie).

Daca unda plana se propaga in directia versorului , elongatia particulei intr-un punct P de raza vectoare va fi aceiasi ca a particulei  

n

rnrx

'

)(),(),( '

crntftxtr

Toate punctele vor reproduce miscarea oscilatorie a punctului din origine insa cu o intarziere. Dupa un timp necesar perturbatiei de a ajunge din origine in punctul respectiv: c

xt '

)(),0(),(cxtf

cxttx

- ecuatia undei plane progressive

Se observa ca este o functie de diferenta cand se propaga in sensul pozitiv axei Ox ; in sensul negativ.

cxt

cxt

)( '' xP