Metode Aproximative-Metoda

Elementului Finit in Vibroacustica

Master anul I

Controlul zgomotelor si vibratiilor

Curs 1

Prof.dr.ing. Mihai Valentin PREDOI

Curs M.V. Predoi 2

Introducere

• Bazele metodei elementelor finite

– Aproximarea cu elemente finite. Principii, algoritmi generali: idealizare, discretizare, rezolvare, prelucrarea rezultatelor.

– Metoda matricelor de rigiditate. Exemplul tijelor.

– Asamblarea matricelor elementare, rezolvare, postprocesare. Aplicarea deplasărilor nodale impuse.

– Efecte termo-mecanice

Curs M.V. Predoi 3

Definirea problemei

• Proiectarea moderna a structurilor mecanice si a maşinilor presupune calcule de rezistenta si vibraţii in care să se recurgă la un minim de simplificări ale formei si condiţiilor la limite.

http://public.cranfield.ac.uk/ab051154/FEMEC/femec.htmlhttp://www.npd-solutions.com/feaoverview.html

http://illustrations.marin.ntnu.no/structures/analysis/FEM/index.html

Curs M.V. Predoi 4

REFERINTE

• K.-J. Bathe, Finite Element Procedures, Prentice Hall, N. Jersey, 1996.

• O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor, The Finite Elements Method, vols. 1-4, ed.5, Butterworth-Heinemann, Oxford, 2000

• S.S. Rao, The Finite Elements Method in Engineering, Elsevier Science & Technology Books, 2004.

• I. Pascariu, Elemente Finite, Concepte-Aplicatii, Ed. Militara, 1985

• M. Blumenfeld, Introducere in metoda elementelor finite, Ed. Tehnica, 1995

• M. Rades, Finite Elements Analysis, Printech, 2006 (http://www.scribd.com/doc/27919257/M-Rades-FiniteElementAnalysis)

• A. Pascu, Metoda Elementului Finit, curs online: http://www.omtr.pub.ro/didactic/mef_fim.htm

Curs M.V. Predoi 5

Scurt Istoric

• 1940: Utilizarea metodelor matriciale in calculul structurilor (A. Hrennicoff -1941 si formulare variationala R.Courant- 1942)

• 1947: O. Zienkiewicz – sinteza metodelor de calcul bazate pe discretizare

• 1960: R.W. Clough – introduce denumirea de “element finit”

• 1967: O. Zienkiewicz, Y.K. Cheung “The finite element method in structural and continuum mechanics: Numerical solution of problems in structural and continuum mechanics”

Curs M.V. Predoi 6

Programe de calcul

• SAP4 (1973), SAP5 and NONSAP

• NASTRAN (1965), PATRAN,

• ANSYS, Swanson Analysis Systems (1970),

• ADINA – developed by K.-J. Bathe at M.I.T. (1975),

• MARC – Marc Analysis Research Corporation,

• ABAQUS - Hibbitt, Karlsson @ Sorensen, Inc. (1978),

• COSMOS-M – Structural Research& Analysis Corp. (1985),

• SAMCEF - by SAMTECH (1965)

• ALGOR- ALGOR Incorporated – Autodesk

• COMSOL – Comsol A.B. (1998)

Curs M.V. Predoi 7

Etapele unei analize cu elemente

finite• Realizarea modelului (idealizarea)

– Simplificarea optimala a geometriei

– Stabilirea incarcarilor

– Stabilirea conditiilor la limita

• Preprocesarea (discretizarea) – Introducerea in programul de calcul a datelor de intrare

(geometrie, incarcare, conditii la limite) si realizarea structurii de elemente finite (noduri si elemente)

• Procesarea (rezolvarea problemei)– Programul calculeaza valorile cerute in fiecare nod al structurii.

• Postprocesarea (prelucrarea rezultatelor)– Utilizatorul extrage din rezultate, cele necesare unei analize

complete a problemei analizate.

Curs M.V. Predoi 8

Tipuri de calcule cu elemente finite

• Rezistenta structurilor – calcul static

• Vibratii: pulsatii si forme proprii

• Vibratii: raspuns dinamic la solicitari variabile in

timp

• Calcule termice: temperaturi si fluxuri de caldura

• Mecanica fluidelor: ideale, compresibile,

viscoase.

• Calculul campurilor electrice si magnetice

• L

Curs M.V. Predoi 9

Calcule de Rezistenta Materialelor

• Metoda deplasarilor

In rezolvarea problemelor de calcul pentru structuri mecanice apar patru tipuri de ecuatii:– Ecuatii de echilibru

– Ecuatii de compatibilitate geometrica,

– Ecuatii constitutive,

– Conditii la limite

Daca fortele si deformatiile sunt eliminate si problema se rezolva in deplasari ale nodurilor, atunci se aplica metoda deplasarilor.Dupa determinarea deplasarilor, se determina deformatiile, apoi acestea se inlocuiesc in ecuatiile constitutive si se obtin tensiunile.

Curs M.V. Predoi 10

Calcule de Rezistenta Materialelor

• Metoda tensiunilor

In aceasta metoda, pentru cazul structurilor

formate din tije, elementele structurii reale devin

elemente finite si sunt conectate in articulaţii.

Relaţiile intre forte si deplasări pentru fiecare

element sunt reprezentate printr-o matrice de

rigiditate. Pentru o structura formata din multe

tije, aceste matrice trebuie asamblate intr-o

matrice globala de rigiditate, a întregii structuri.

Curs M.V. Predoi 11

Exemplul unei tije

• Ecuatia de echilibru

• Ecuatiile constitutive si de compatibilitate: Hooke

• Sub forma matriceala:

Ref. M. Rades, Finite Elements Analysis, Printech, 2006

f1 f2

u1 u2

f1 +f2 =0

1 1 2

2 2 1

EA EAf u u

L L

EA EAf u u

L L

= = −

= = −

{ } [ ]{ }1 1

2 2

1 1

1 1

f uEAf k u

f uL

− = ⇔ = −

Matricea de rigiditate a elementului in coordonate locale (legate de element)

x

Curs M.V. Predoi 12

Transformări de coordonate

u2

u1 U2i

U1i

V2i

V1i

Y

Xθ

[ ]

1 1 1

2 2 2

1

11

22

2

cos sin

cos sin

cos sin 0 0 cos sin 0 0;

0 0 cos sin 0 0 cos sin

i i i i

i i i i

i

i i i ii

ii i i i

i

u U V

u U V

U

VuT

Uu

V

θ θ

θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ

= +

= +

= =

X,Y = coordonate globale

(ale structurii in ansamblu)

u1,u2 = deplasări in sistemul

local (al elementului (i))

U1i,U2i, V1i,V2i = deplasări

in sistemul global (al

sistemului mecanic)

Curs M.V. Predoi 13

Proiecţii de forte

f2

f1 Fx2

Fy1

Fy2

Fy1

Y

Xθ

{ } [ ] { }

1 1 1 1

2 2 2 2

1

1 1

22

2

cos ; sin

cos ; sin

cos 0

sin 0;

0 cos

0 sin

x y

x y

x

y Ti i i

x

y

F f F f

F f F f

F

F fF T f

fF

F

θ θ

θ θ

θθ

θθ

= =

= =

= =

Curs M.V. Predoi 14

Matricea de rigiditate a unui

element (i) in coordonate globale

{ } [ ] { } [ ] [ ]{ } [ ] [ ][ ]{ }T T Ti i i i i i i i i iF T f T k u T k T U= = =

Matricea de rigiditate a elementului in reperul de coordonate globale

[ ] [ ] [ ][ ]

2 2

2 2

2 2

2 2

cos cos sin cos cos sin

cos sin sin cos sin sin

cos cos sin cos cos sin

cos sin sin cos sin sin

i i i i i i

T i i i i i ii ie i i i

i i i i i i i

i i i i i i

E AK T k T

L

θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ

− − − −

= = − − − −

Este o matrice: a) simetrica; b) singulara (matrice de ordin 4 si rang 1);

c) diagonal pozitiva

Curs M.V. Predoi 15

Exemplul unui sistem de tije

22 ,

2AE L

[ ]

1

12

3

3

11 1 1 1

21 1 1 1

51 1 1 1

61 1 1 1

U

VEAK

UL

V

→− − →− − = →− −

→− −

[ ]

1

11

2

2

11 0 1 0

20 0 0 0

31 0 1 0

40 0 0 0

U

VEAK

UL

V

→− → = →−

→

Ref. M. Rades, Finite Elements Analysis, Printech, 2006 (pag.25)

AE,L

6F

9F

22 ,

2AE L

12

3

1

2 3

[ ]

2

23

3

3

31 1 1 1

41 1 1 1

51 1 1 1

61 1 1 1

U

VEAK

UL

V

→− − →− − = →− −

→− −

Curs M.V. Predoi 16

Compatibilitatea deplasărilor

• Fiecare matrice de rigiditate a elementului se aplica

deplasărilor nodurilor de la capetele elementului.

• Deplasările posibile ale structurii se trec intr-o anumita

ordine intr-o matrice coloana.

• Legătura intre deplasările nodale ale unui element si

deplasările din matricea colana se face printr-o matrice

de poziţie.

[ ]{ }

1

1 1

1 22

3 2

3 3

3

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

U

U V

V UP U

U V

V U

V

= =

[ ]{ }

1

11

211

22

32

3

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

U

VU

UVP U

VU

UV

V

= =

[ ]{ }

1

2 1

2 23

3 2

3 3

3

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

U

U V

V UP U

U V

V U

V

= =

Curs M.V. Predoi 17

Matricea de rigiditate extinsa a unui

element • Matricele de

rigiditate extinse au ca scop sa distribuie coeficienţii matricelor de rigiditate ale elementelor astfel incat sa multiplice o aceeaşi matrice coloana a tuturor deplasărilor nodale ale structurii.

[ ] [ ]1 1 1

1 0 1 0 0 0

1 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 1 0 0 0

1 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

T EA EAK P P

L L

− − − = = −

ɶ

[ ] [ ]2 2 2

1 1 0 0 1 1

1 1 1 1 1 1 0 0 1 1

1 1 1 1 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 0 0 1 1

1 1 0 0 1 1

T EA EAK P P

L L

− − − − − − − − = = − − − − − − − −

ɶ

[ ] [ ]3 3 3

0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 0 0 1 1 1 1

1 1 1 1 0 0 1 1 1 1

1 1 1 1 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 1 1

T EA EAK P P

L L

− − − − − − = = − − − − − − − −

− −

ɶ

Curs M.V. Predoi 18

Matricea de rigiditate globala

• Rezolvarea problemei presupune reunirea matricelor de rigiditate ale elementelor astfel incat coeficienţii matricei sa multiplice aceeaşi matrice coloana a deplasărilor întregii structuri.

• Matricea de rigiditate globala se obţine ca suma a matricelor de rigiditate extinse ale tuturor elementelor

[ ]

2 1 1 0 1 1

1 1 0 0 1 1

1 0 2 1 1 1

0 0 1 1 1 1

1 1 1 1 2 0

1 1 1 1 0 2

ii

K K

− − − − − − − −

= = − − − − − − − −

∑ ɶ

Curs M.V. Predoi 19

Conditii la limite si solicitari

22 ,

2AE L

AE,L

6F

9F

22 ,

2AE L

12

3

1

2 3

1

1

2

3

0

0

0

0

U

V

V

U

=

=

=

=

2

3

6

9

x

y

F F

F F

=

=

Curs M.V. Predoi 20

Rezolvarea sistemului de ecuatii

1

1

2

3

2 1 1 0 1 1 0

1 1 0 0 1 1 0

1 0 2 1 1 1 2 6

0 0 1 1 1 1 0

1 1 1 1 2 0 0

1 1 1 1 0 2 3 9

x

y

y

x

F

F

U F

F

F

V F

− − − − − − − −

= − −

− − − − − −

22 3

2 1 6 4;

1 2 3 9

U FEA FL FLU V

V FL EA EA

= ⇒ = =

Sistemul de ecuatii redus se obtine prin eliminarea liniilor si coloanelor pentru

care deplasarile impuse sunt nule:

Curs M.V. Predoi 21

Tensiunile in tije

• Tensiunile in tije se obţin din ecuaţiile

constitutive (in acest caz legea Hooke)

( )i ii i

i

E AT L

L= ∆ ( ) ( )2 1 2 1cos cosi i i i i i iL U U V Vθ θ∆ = − + −

Pentru exemplul considerat:

1 2 3; 4 2 ; 5 2T F T F T F= = =

Curs M.V. Predoi 22

Tema

• Studiu bibliografic de pe internet, privind documentatie asupra Metodei Elementelor Finite (Finite Elements Method FEM) si de analizat exemplele din lucrarile respective.

• Pentru laborator se vor relua pasii de calcul pentru structura data si se vor programa in Matlab (Scilab).

• Se vor modifica parametrii de calcul (Arii, forte, conditii la limite)