OSCILATII SI UNDE. MECANICA ANALITICA

Chimie, Chimie ingineri

Bibliografie

1. A. Hristev, Mecanica si acustica, Ed. Did. si Ped., Bucuresti, 19822. Şt. Vădeanu, Mecanica si rezistenta materialelor, curs litografiat,

Univ. Babeş-Bolyai Cluj, 1990.3. Şt. Vădeanu, Mecanica. Oscilatii si unde. Elemente de acustica,

partile IV si V, curs litografiat, Univ. Babeş-Bolyai Cluj, 1994.4. F.W. Sears, M.W.Zemansky, H.D.Young, Fizica, Ed. Did. şi Ped.,

Bucureşti, 1983.5. I. Irodov, Principes fundamentaux de la mecanique, Ed.Mir,1981.6. A. V. Pop, Metode fundamentale aplicate la rezolvarea problemelor

de mecanica, Univ. Babes-Bolyai Cluj, 20007. C. Plavitiu, A. Hristev, L. Georgescu, D. Borsan, V. Dima, C.

Stanescu, V. Lupas, L. Ionescu, Probleme de mecanica fizica si acustica, Ed. Did. şi Ped., Bucureşti, 1984

8. Şt. Vădeanu, F. Bota, V.Crişan, E.Galiger, Lucrari de laborator de mecanica, manual litografgiat, Univ. Babeş-Bolyai Cluj, 1985.

Principiile fundamentale ale dinamicii

1. Principiul inertiei “Un corp îsi pastreaza starea de repaus sau de miscare rectilinie si

uniforma atâta timp cât asupra lui nu se exercita nici o forta, sau daca rezultanta tuturor fortelor este zero".

Inertie: proprietatea unui corp de a-si pastra starea de repaus sau de miscare rectilinie si uniforma atata timp cat asupra lui nu actioneaza alt corp care sa-i modifice starea.Masa: expresia inertiei unui corp

Forta este o marime vectoriala, având ca unitate de masura în SI 1 newton . Forta este o masura a interactiunii corpurilor. NF SI 1

Consecintele principiului 1

Toate sistemele de referinta ce se misca rectiliniu si uniform se numesc sisteme de referinta inertiale. In aceste sisteme de referinta este valabil principiul inertiei.

Rezultanta egala cu zero a unui numar oarecare de forte este echivalenta cu inexistenta fortei.

Observatii:

Miscarea unui corp asupra caruia actioneaza mai multe forte a caror rezultanta este nula sau asupra caruia nu actioneaza nici o forta se numeste miscare inertiala.

Miscarea este caracterizata în raport cu un sistem de referinta ales arbitrar, de aceea miscarea are caracter relativ.

Impuls:

Principiul inertiei poate fi exprimat cantitativ sub forma legii conservarii impulsului:

smkg]p[ ,vmp

const.vmp

amF

amdt

vmddt

vmvmdt

ppdtpd 00

F

Obs: forta poate produce atat efect dinamic (imprimarea unei acceleratii) cat si efect static = deformare sau in cazul actiunii mai multor forte, realizarea echilibrului corpului

2. Principiul al II-lea al dinamicii“Daca asupra unui corp de masa m actioneaza o forta F, corpul primeste o acceleratie direct proportionala cu forta si invers proportionala cu masa corpului.”

3. Principiul al III-lea al dinamicii (al actiunii si reactiunii)

“Daca un corp (A) actioneaza asupra altui corp (B) cu o forta , cel de-al doilea corp reactioneaza asupra primului cu o forta egala si de sens contrar “.

ABF

BAF

A

BBAF

ABF

BAAB FF

Obs: fortele de actiune si reactiune apar deodata si dispar deodata.

Fortele se aplica la corpuri diferite (forte perechi)

4. Principiul independentei actiunii fortelor

“Daca mai multe forte actioneaza asupra unui corp, fiecare forta produce propriul efect, independent de actiunea altor forte”.

1F

2F

21 FFR

Lucrul mecanic

O masura a efectului de deplasare a fortei este lucrul mecanic care se defineste ca produsul scalar dintre forta si deplasare sau produsul dintre componenta fortei pe directia deplasarii si deplasarea respectiva.

dtFrdFdW v

rd - deplasarea elementara

dtFFFdzFdyFdxFrdFW zzyyxxzyx vvv

kdzjdyidxrd

In cazul unei forte constante:

),cos()( 12 dFFdrFrrFrdFrdFW

JW SI 1

tWP

Daca forta este tot timpul perpendiculara pe directia deplasarii, lucrul mecanic efectuat de forta este nul.Lucrul mecanic poate fi efectuat in diferite intervale de timp.

Puterea

Puterea medie – raportul dintre lucrul mecanic efectuat in acest interval si intervalul de timp

Puterea instantaneedtdW

tWP

t

0lim

Daca lucrul mecanic este efectuat uniform vF

dtrdF

dtdWP

WP SI 1

Energia cinetica. Variatia energiei cinetice

dtdmF v

dtrdrdFdW

v

vv dmdW

2vvv

2mddmdW Lucrul mecanic elementar al fortei F este absorbit de cresterea marimii

2v2m

2v2mEc - energia cinetica (de miscare)

dWdEc teorema variatiei energiei cinetice sub forma diferentiala

2

1

2

1

dWdEc teorema variatiei energiei cinetice sub forma integrala

1212 WEE cc (1)

Variatia energiei cinetice a unei particule este egala cu lucrul mecanic efectuat de forta rezultanta.

1212 0 cc EEW 1212 0 cc EEW

vFP

dtdW

dtdEc (2)

Ecuatiile (1) si (2) sunt valabile in SRI iar in SRNI se calculeaza si lucrul mecanic efectuat pentru fortele de inertie.

inertiec dWdWdE

Energia potentiala

Energia potentiala se poate defini numai pentru campuri de forte conservative )(rF

Intr-un camp de forte conservative lucrul mecanic efectuat de fortele campului nu depinde de drum sau de viteza particulei, depinde doar de pozitiile initiala si finala a particulei.

0

01221

122121

rdF

WWWWW

ba

bba

Z

X

Y

P P0

integrala pe curba inchisa

Un camp de forte este conservativ daca lucrul mecanic efectuat de fortele campului asupra punctului material este zero pe un drum inchis.

- punct de referinta0P

Prin definitie energia potentiala in punctul P este egala cu lucrul mecanic luat cu semn schimbat, efectuat pentru a deplasa punctul material din punctul de referinta P0 in punctul P sau egala cu lucrul mecanic efectuat de fortele campului pentru a deplasa un punct material din puncul P in punctul de referinta.

P

P

P

P

rdFrdFrU0

0

)(

X X

X

P1 P2

P0

Vrem sa determinam variatia energiei potentiale a punctului material cand se trece de la P1 la P2

)()(2

1

0

1

2

0

21 P

P

P

P

P

P

rUrUrdFrdFrdFW

P1 si P2 sunt descrise de 1r

2r

si

UW

Variatia energiei potentiale intre doua puncte ale unui camp de forte conservativ este egala cu lucrul mecanic luat cu semn schimbat efectuat de fortele campului pentru a deplasa punctul material intre doua puncte

Energia potentiala depinde de vectorul de pozitie sau de componentele vectorilor de pozitie.

dzzUdy

yUdx

xUdU

zyxUrUU

),,()(

dU – diferentiala totala este egala cu suma diferentialalor

yzxyzxU

yxyzyzxU

723

473 22

(3)

(1’)dUdW

Ex:

dzFdyFdxFrdFdW zyx

zUF

yUF

xUF

z

y

x

Componentele fortelor conservative pe axele de coordonate sunt egale cu derivatele partiale luate cu semn schimbat ale energiei potentiale in raport cu coordonatele. Exista o relatie directa intre forte si energie potentiala.

kzUF

jyUF

ixUF

z

y

x

Uk

zj

yi

x

kzUj

yUi

xUkFjFiFF zyx

kz

jy

ix

grad

(operatorul gradient - grad)

(4)

Din (3) si (4), tinand cont de (1’) obtinem:

- marime vectoriala- operatorul se aplica unei functii scalare

UgradUF

Fortele campului sunt egale cu gradientul energiei potentiale.

rUUF

Energia potentiala in camp gravitational

mgF

FF

z

y

x

00

zUmg

Energia potentiala va depinde numai de axa z deoarece componentele pe x si y sunt nule.

U

U

z

mgdzdU0 00

mghU

Energia mecanica a particuleiFc – forte conservative

Fn – forte neconservative

nc FFF

ncc dWdWdE

In camp conservativ dUdWc

nc dWdUdE

nc dWUEd )(UEE c - energia mecanica totala a particulei in camp

ndWdE nWEE 12

Variatia energiei mecanice a particulei intre doua pozitii 1 si 2 este egala cu lucrul mecanic al fortelor neconservatine.

vn

n FdtdW

dtdE

Derivata energiei mecanice a particulei in raport cu timpul este egala cu puterea fortelor neconservative.

Conservarea energiei mecanice a particulei- valabila in SRI

0nF 0dE 2

1

0dE constEE 21

constUEE c constrUm )(

2v2

In lipsa fortelor neconservative (sau in camp conservativ de forte) energia mecanica a particulei de conserva.