Culegere Gheba Matematica Clasele 5-9

MULŢIMITITLUL

CONŢINUTULUIEXEMPLE, EXPLICAŢII

1 Relaţii între mulţimi Dacă avem: Apartenenţă, : 2A; Egalitate, = : B = C; Incluziune, : BA

2 Submulţime Dacă avem: Mulţimea B este o submulţime a mulţimii A pentru că

fiecare element din B aparţine mulţimii A.3 Operaţii cu mulţimi Dacă avem:

Reuniunea: ; .Intersecţia: ; .

Diferenţa: }{ BxsiAxxBA ;

.Produsul cartezian: .

4 Mulţimi finite şi mulţimi infinite

Mulţime finită este mulţimea cu un număr finit de elemente.

Exemple de mulţimi finite: Mulţime infinită este mulţimea cu un număr infinit de

elemente.Exemplu de mulţime infinită:

5 Mulţimile N, Z, Q, R, R\Q

. este mulţimea numerelor reale ce cuprinde toate categoriile

de numere inclusiv cele scrise sub formă de radicali. numere iraţionale.

6 Relaţia NZQR Orice număr natural este număr întreg; Orice număr întreg este şi un număr raţional; Orice număr raţional este număr real.

Exemplu:

7 Scrierea numerelor naturale în baza zece

De exemplu, un număr natural format din trei cifre se scrie în baza zece astfel:

8 Propoziţii adevărate şi propoziţii false

Exemple de propoziţii: Propoziţie adevărată: ,, ” Propoziţie falsă: ,, ”Prin negarea unei propoziţii adevărate se obţine o propoziţie falsă, şi invers.

9 Împărţirea cu rest a numerelor naturale

Dacă avem: Teorema împărţirii cu rest:

TITLUL CONŢINUTULUI EXEMPLE, EXPLICAŢII10 Divizibilitatea în N Un număr natural este divizibil cu un alt număr natural dacă restul

împărţirii dintre cele două numere este egal cu zero. Dacă avem sau atunci: m este multiplul lui d şi d este

divizorul lui m. Exemplu: .

Exemplu: .11 Proprietăţile divizibilităţii

(cele mai uzuale) Dacă avem atunci şi . Dacă avem şi atunci şi . Dacă avem şi iar , atunci şi .

12 Criteriile de divizibilitate dacă c = 0, sau 2, sau 4, sau 6, sau 8. dacă c = 0, sau 5. dacă c = 0. dacă a+…+b+c se împarte exact la 3. dacă a+…+b+c se împarte exact la 9. dacă .

13 Numere prime şi numere compuse

Numere prime sunt numere care au doar doi diviyori: pe 1 şi pe el însuşi. Exemple: 2, 3, 5, 7, 11, etc.

Numere compuse sunt numere care au cel puţin trei divizori. Exemple: 6, , 12, 15, etc.

14 Numere pare şi numere impare

Numere pare sunt numere divizibile cu 2. Forma de scriere a cestora este .

Numere impare sunt numere nedivizibile cu 2. Forma de scriere a cestora este .

15 Numere prime între ele Numere prime între ele sunt numere care au ca divizor comun doar numărul 1. Exemple: 4 şi 9; 15 şi 19.

16 Descompunerea unui număr natural într-un produs de puteri de numere prime

Prin descompunerea unui număr natural într-un produs de puteri de numere prime se înţelege scrierea acestuia sub formă de produs de factori care la rândul lor nu se mai pot descompune.Exemplu:

17 C.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c. Pentru a afla c.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c. se procedează astfel: Se descompun în produs de puteri de numere prime

numerele date:

Pentru a afla c.m.m.d.c. se iau factorii comuni (o singură dată) cu puterea cea mai mică şi se înmulţesc între ei:

. Pentru a afla c.m.m.m.c. se iau factorii comuni şi necomuni

(o singură dată) cu puterea cea mai mare şi se înmulţesc între ei:

.18 Divizibilitatea în Z Divizibilitatea în Z este asemănătoare cu divizibilitatea în N.

În Z: .

TITLUL CONŢINUTULUI EXEMPLE, EXPLICAŢII

19

Fracţii subunitare, echiunitare, supraunitare Fracţii subunitare

Fracţii echiunitare

Fracţii supraunitare

20

Amplificarea şi simplificarea fractiilor Amplificarea

Simplificarea

21

Fracţii ireductibile Fracţie ireductibilă este fracţia în care numărătorul şi numitorul sunt numere prime între ele. Exemplu de obţinere a unei fracţii ireductibile, pas cu pas:

22

Transformări de fracţii Fracţii zecimale finite .

Fracţii zecimale periodice simple .

Fracţii zecimale periodice mixte .

Exemple:

O fracţie ordinară se poate transforma într-o fracţie zecimală prin împărţirea numărătorului la numitorul fracţiei. Exemplu:

23

Compararea, ordonarea şi reprezentarea pe axă a numerelor reale

Compararea numerelor raţionale

Dintre numerele şi mai mare ete numărul ….

Aducem numerele date la acelaşi numitor: şi .

Se observă că numărul mai mare este numărul b. Se poate să aducem numerele date şi la acelaşi numărator iar atunci comparăm numitorii.

Compararea numerelor reale din care cel puţin unul este număr iraţional

Dintre numerele şi mai mare ete numărul ….Introducem factorii sub radical şi obţinem: şi . Se observă că numărul mai mare este numărul b.


24

Valoarea absolută a unui număr real

Valoarea absolută a unui număr real: Valoarea absolută a unui număr iraţional Dacă avem: , cel puţin unul este iraţional, , atunci . Exemplu:

25

Opusul şi inversul unui număr real

Opusul unui număr real: opusul lui a este a.

Inversul unui număr real: inversul lui a este .

26

Partea întreagă şi partea fracţionară a unui număr real

Partea întreagă şi partea fracţionară a unui număr real pozitiv:

4,4 este între 4 şi 5.

Partea întreagă [4,4] = 4. Partea fracţionară {4,4} = 4,4 [4,4] = 4,4 4 = 0,4. Partea întreagă şi partea fracţionară a unui număr real negativ:

2,6 este între 3 şi 2. Partea întreagă [2,6] = 3. Partea fracţionară {2,6} = 2,6 [2,6] = 2,6 +3 = 0,4.

27

Rotunjirea şi aproximarea unui număr real

Metoda de a aproxima un număr real, mai ales când acesta este o fracţie zecimală sau un număr iraţional este folosită la estimări şi exerciţii de comparare.

Exemplu: Dacă s-ar cere aproximarea cu două zecimale prin lipsă atunci am avea: . Dacă s-ar cere aproximarea cu două zecimale cu adaos atunci am avea: .

28

Intervale în R; reprezentarea pe axă

Interval mărginit închis la ambele margini:

Interval mărginit închis la una din margini margini:

Interval mărginit deschis la ambele margini:

Interval mărginit închis sau deschis la una din margini şi nemărginit la cealaltă:

Interval nemărginit la ambele margini:


29

Rădăcina pătrată a unui număr natural pătrat perfect

dacă dacă În general .

Exemplu: .

30

Algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate

Aşadar, radical din 55225 este egal cu 235.

Să calculăm rădăcina pătrată a lui 55225.Despărţim numărul în grupe de câte două cifre, de la dreapta spre stânga.Ne întrebăm: care este cel mai mare număr al cărui pătrat este mai mic sau egal cu 5.Acesta este 2; îl scriem în dreapta sus;Îl ridicăm la pătrat, obţinem 4 şi-l trecem sub 5, aflăm restul scăderii 1.Coborâm grupul de următoarele 2 cifre lângă rest.Dublăm pe 2 şi rezultatul 4 îl trecem sub 2.Ne gândim care cifră punem alături de 4 şi rezultatul îl înmulţim cu cifra aleasă astfel încât numărul dat să se cuprindă în 152.Ne gândim care cifră punem alături de 4 şi rezultatul îl înmulţim cu cifra aleasă astfel încât numărul dat să se cuprindă în 152.Rezultatul fiind 129, îl trecem sub 152 şi aflăm restul scăderii.Cifra 3 o trecem la rezultat, alături de 2.Coborâm următoarea grupă de cifre, pe 25, lângă restul 23.Coborâm dublul lui 23, care este 46.Ne gândim care cifră punem alături de 46, numărul format îl înmulţim cu acea cifră iar rezultatul să fie mai mic sau egal cu 2325.Acesta poate fi 5 şi facem calculele.Trecem rezultatul 2325 sub numărul 2325 şi efectuăm scăderea.Restul fiind zero, algoritmul s-a terminat, cifra 5 o trecm la rezultat alături de 23.

31

Scrierea unui număr real pozitiv ca radical din pătratul său

Dacă avem atunci acest număr se poate scrie şi .

Dacă avem atunci acest număr se poate scrie şi .

32

Reguli de calcul cu radicali

Doi radicali se pot aduna sau scădea numai dacă sunt ,,la fel” adică avem termeni asemenea:

Exemplu: . Înmulţirea radicalilor: ; .Împărţirea radicalilor: ; .

33

Scoaterea şi introducerea factorilor sub radical

Scoaterea factorilor de sub radical . Prezentăm una din metodele cele mai utilizate la scoaterea factorilor de sub radical. Se descompune numărul dat în produs de puteri de numere prime – se iau perechi de numere prime egale – dintr-o pereche va ieşi un factor de sub radical – factorii nepereche vor rămâne sub radical – factorii ieşiţi sau rămaşi sub radical se înmulţesc.

Exemplu:

Introducerea factorilor sub radical se bazează pe operaţia . Dacă avem pentru a introduce pe 3 sub

radical, se ridică la puterea 2 numărul 3 după care se înmulţeşte cu 5.

.


34

Raţionalizarea numitorilor Raţionalizarea numitorilor de forma .

.

Raţionalizarea numitorilor de forma . În primul rând conjugatul numărului este numărul . Pentru

raţionalizarea numitorului de această formă, fracţia se va amplifica cu conjugatul numitorului.

.

35

Operaţii cu numere reale Adunarea şi scădereaPentru a efectua adunarea sau scăderea numerelor raţionale este necesar a parcurge următorii paşi: Se transformă fracţiile zecimale în fracţii ordinare; Se aduc fracţiile la acelaşi numitor; Se efectuează adunarea/scăderea.Exemplu:

Proprietăţile adunării: Adunarea este comutativă: a + b = b + a. Adunarea este asociativă: a + b + c = (a + b) + c. Elementul neutru al adunării este 0: a + 0 = a. Pentru orice a există opusul lui a astfel încât: a + (-a) = 0.

Înmulţirea La înmulţirea unui număr întreg cu o fracţie, se înmulţeste numărul

întreg cu numărătorul fracţiei, numitorul rămânănd neschimbat; Se transformă fracţiile zecimale în fracţii ordinare; La înmulţirea a două fracţii ordinare se înmulţesc numărătorii între ei şi numitorii între ei. Exemplu:

a)

b)

Proprietăţile înmulţirii: Înmultirea este comutativă: a b = b a; Înmultirea este asociativă: a b c = (a b) c; Elementul neutru al înmulţirii este 1: a 1 = a; Înmulţirea este distributivă faţă de adunare sau scădere: a ( b + c ) = ab + ac


35

Operaţii cu numere reale ÎmpărţireaLa împărţirea a două numere raţionale se înmulţeşte primul număr cu al doilea inversat. Exemplu:

Tabelul înmulţirii semnelor:F1 F2 P + + ++ + +

Tabelul împărţirii semnelor:D I C + + ++ + +

Ridicarea la putere,,Puterea este o înmulţire repetată”

Exemplu:

Operaţii cu puteri: 1a = 1; a1 = a; a0 = 1, dacă a 0; 0a = 0, dacă a 0;

am an = am+n; am : an = am-n; (am)n = amn; (ab)m = ambm.

36

Ordinea efectuării operaţiilor şi folosirea parantezelor

Într-un exerciţiu de calcul aritmetic ce conţine mai multe operaţii cu numere raţionale se efectuează mai întâi ridicările la putere, apoi înmulţirile şi împărţirile în ordinea în care sunt scrise şi apoi adunările şi scăderile, la fel, în ordinea în care sunt scrise.

În exerciţiile de calcul aritmetic care conţin paranteze se efectuează mai întâi calculele din parantezele mici (rotunde), apoi cele din paranteze mari (drepte) şi apoi cele din acolade.

Dacă în faţa unei paranteze ce conţine un număr raţional sau o sumă/diferenţă de numere raţionale se află simbolul ,,”, atunci se poate elimina semnul şi paranteza, scriind numerele din paranteză cu semnul schimbat.

Exemplu:

.37

Factorul comun Dacă atunci şi ).....(..... wcbafwfcfbfaf

Exemplu: 38

Media aritmetică Media aritmetică .


39

Media aritmetică ponderată

Media aritmetică ponderată

unde pi

este ponderea numărului ai .40

Media geometrică a două numere reale pozitive

Media geometrică .

41

Raportul a două numereDacă avem numerele reale a şi b, atunci raportul lor este egal cu .

Exemplu: Fie şi . .

42

Proprietatea fundamentală a proporţiilor Dacă avem proporţia atunci

43

Derivarea proporţiilorDacă avem proporţia atunci mai putem obţine şi proporţiile:

; ; .

44

Aflarea unui termen necunoscut dintr-o proporţie dată

Dacă avem proporţia atunci .

În general dacă avem atunci

.

45

Mărimi direct proporţionale

Dacă numerele a, b, c, …., w sunt direct proporţionale cu numerele atunci se poate forma un şir de

rapoarte egale: , unde i este

coeficientul de proporţionalitate. Proprietate generală a unui şir de rapoarte egale:

.

Exemplu de o problemă: Să se împartă numărul 76 în trei părţi direct proporţionale cu numerele 3, 5, 11. Rezolvare:

46

Mărimi invers proporţionale

Dacă numerele a, b, c, …., w sunt invers proporţionale cu numerele atunci se poate forma un şir de produse egale:

Acest şir de produse egale se poate transforma într-un şir de rapoarte egale, precum:

,unde i este coeficientul de proporţionalitate.


47

Regula de trei simplă Regula de trei simplă cu directă proporţionalitate

Regula de trei simplă cu inversă proporţionalitate

48

Procente Procentul este un număr raţional; .

Exemple: ; .

49

Aflarea a p% dintr-un număr Din relaţia

Exemplu: .

50

Aflarea unui număr când se cunoaşte p% din el Din .

Exemplu: 51

Aflarea raportului procentual Din .

Exemplu:

Mai explicit:

52

Calculul probabilităţii de realizare a unui eveniment

. Exemplu. Într-un coşuleţ sunt 8 mere galbene şi 12 mere roşii.

Care este probabilitatea ca luând la întâmplare un măr, acesta să aibă culoarea roşie?

.

CALCUL ALGEBRIC


1 Calculul cu numere reprezentate prin litere

Termenii de forma cl unde c, numit coeficientul termenului, reprezintă un număr, iar, l, partea literală a termenului, este formată din numere reprezentate prin litere, eventual, cu diverşi exponenţi, îi numim termeni asemenea dacă părţile lor literale sunt identice, iar adunarea lor se numeşte reducerea termenilor asemenea.

Exemple: 1) Perechi de termeni asemenea: ; .2) Adunarea: .3) Înmulţirea: .

4) Împărţirea: .

5) Ridicarea la o putere: .6) Ridicarea la o putere cu exponent număr negativ:

2 Formulele de calcul prescurtat

Formule utilizate:1) Produsul dintre un număr şi o sumă/diferenţă: 2) Pătratul unui binom: 3) *Pătratul unui trinom: 4) Produsul sumei cu diferenţa: 5) Produsul a două paranteze: Exemple:1) ;2) ;

3) ;

4) ;5) .

3 Descompunerea în factori Formule utilizate:1) Scoaterea factorului comun: 2) Restrângerea pătratului unui binom: 3) Diferenţa de pătrate: 4) Descompunerea unui trinom de forma: ; dacă atunci: .Exemple:1) ; 2) ;3) ; 4) .


4 Rapoarte de numere reprezentate prin litere

Exemple:

; ; ; cu condiţia ca .

5 Amplificarea Amplificarea ;

Exemplu: .

6 Simplificarea Simplificarea ;

pentru a simplifica un raport de fapt se caută c.m.m.d.c. al termenilor raportului dat.

Exemplu: Să se simplifice raportul: ; se descompun în

factori termenii raportului şi după aceea se simplifică.

.

7 Adunarea sau scăderea Adunarea sau scăderea

;

Unde k este c.m.m.m.c. al lui n şi q.Exemplu:

8 Înmulţirea Înmulţirea ;

Exemplu: .

9 Împărţirea Împărţirea ;

Exemplu: .

10

Ridicarea la putere Ridicarea la putere ;

Exemplu: .

11

Ridicarea la putere cu exponent număr negativ Ridicarea la putere ;

Exemplu: .

FUNCŢII


1 Noţiunea de funcţie Daca fiecărui element din mulţimea A îi corespunde un element din mulţimea B spunem că este definită o funcţie pe A cu valori în B.

Se notează: A = domeniul de definitie, B = codomeniul functiei.Exemplu:

2 Funcţii definite pe mulţimi finite, exprimate prin diagrame, tabele, formule, grafic

x -1 0 2 3 5y 1 2 4 5 7

f(x) = x + 2

3 Funcţii de tipul f:AR, f(x) = ax + b, unde A este un interval de numere reale

Exemplu:Să se construiască graficul funcţiei f:[-2;4)R, ;Pentru ;Pentru ;Graficul funcţiei este un segment de dreaptă ce uneşte punctele A şi B, închis în A şi deschis în B.* Dacă mulţimea A este un interval de numere mărginit la o extremă şi nemărginit la cealaltă extremă, atunci graficul funcţiei este o semidreaptă cu originea în extrema mărginită a intervalului.

4 Functii de tipul f:RR, f(x) = ax + b

Exemplu:Sa se construiască graficul funcţiei f:RR,

;

Pentru ;

Pentru

Graficul funcţiei este o dreaptă ce trece prin punctele A şi B.

ECUAŢII, INECUAŢII, SISTEME DE ECUAŢII


1 Ecuaţii de forma ,

Propoziţia cu o variabilă de forma ax + b = 0 se numeşte ecuaţie cu o necunoscută, unde a şi b sunt numere reale.

Într-o ecuaţie avem ,,dreptul” de a trece termeni dintr-un membru în alt membru cu semnul schimbat.

Într-o ecuaţie avem ,,dreptul” de înmulţi/împărţi egalitatea cu un număr diferit de zero. Procedeul este utilizat pentru eliminarea numitorilor şi la final aflarea necunoscutei.

Exemplu:

.

2 Ecuaţii echivalente Două ecuaţii sunt echivalente dacă au aceeaşi soluţie. Bazându-se pe proprietăţile egalitatăţii, se pot obţine ecuaţii echivalente

pornind de la o ecuaţiei dată.Exemplu: Fie ecuaţia

a) adunăm la ambii membri ai ecuaţiei numărul 5:

b) înmulţim ecuaţia (toţi termeni) cu 3:

3 Inecuaţii de forma ,

Propoziţia cu o variabilă de forma ax + b > 0 se numeşte inecuaţie cu o necunoscutăă, unde a şi b sunt numere reale.

Într-o inecuaţie avem ,,dreptul” de a trece termeni dintr-un membru în alt membru cu semnul schimbat.

Într-o inecuaţie avem ,,dreptul” de înmulţi/împărţi inegalitatea cu un număr diferit de zero. Procedeul este utilizat pentru eliminarea numitorilor şi la final aflarea necunoscutei.

Dacă o inecuaţie se va înmulţi/împărţi cu un număr negativ atunci sensul inegalităţi se schimbă.

Exemplu: .

4 Sisteme de ecuaţii de forma

,

Metoda reducerii: Se alege o necunoscută cu scopul de a fi ,,redusă” ţi se identifică coeficienţii

săi; Se află c.m.m.m.c. al coeficienţilor şi se înmulţesc ecuaţiile astfel încât să se

obţină coeficienţii necunoscutei numere opuse; Se adună ecuaţiile şi se obţine o ecuaţie cu o singură necunoscută, după care

se rezolvă;La fel se procedează şi cu cealaltă necunoscută.

Exemplu:

;

.


4 Sisteme de ecuaţii de forma

,

Metoda substituţiei: Se află dintr-o ecuaţie o necunoscută în funcţie de cealaltă necunoscută; Se introduce valoarea acestei necunoscute în cealaltă ecuaţie şi se rezolvă

ecuaţia; Se află cealaltă necunoscută.

Exemplu: din ;

Introducem pe în

Introducem pe în .

5 Probleme ce se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor, inecuaţiilor şi a sistemelor de ecuaţii

Etapele de rezolvare a unei probleme:1. Stabilirea datelor cunoscute şi a celor necunoscute din problemă. 2. Alegerea necunoscutei (necunoscutelor) şi exprimarea celorlalte date

necunoscute în funcţie de aceasta (acestea).3. Alcătuirea unei ecuaţii (sistem de ecuaţii) cu necunoscuta

(necunoscutele) aleasă (alese), folosind datele problemei.4. Rezolvarea ecuaţiei (sistemului de ecuaţii).5. Verificarea soluţiei.6. Formularea concluziei problemei.

Exemplul 1(ecuaţie): Un călător parcurge un drum în 3 zile astfel: în prima zi

parcurge din drum, a doua zi parcurge din rest iar a treia zi ultimii 40 de

km. Aflaţi lungimea totală a drumului.Rezolvare: Stabilim necunoscuta principală – lungimea totală a drumului, pe care o notăm cu x;

În prima zi a parcurs: ; i-au rămas de parcurs ; a doua zi a parcurs

;

Avem ecuaţia: pe care o rezolvăm:

este lungimea totală a

drumului.

Exemplul 2 (inecuaţie): Să se gasească trei numere naturale consecutive a căror sumă este mai mică decât 16.Rezolvare: Stabilim necunoscuta principală – numărul cel mai mic pe care îl şi notăm cu x;Celelalte două numere vor fi x + 1 şi x + 2 inecuaţia: pe care o rezolvăm:

soluţiile: (1;2;3), (2;3;4), (3;4;5), (4;5;6).


5 Probleme ce se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor, inecuaţiilor şi a sistemelor de ecuaţii

Exemplul 3 (sistem de două ecuaţii): Două creioane şi nouă cărţi costă împreună 80 de lei. Dacă 5 creioane şi 4 cărţi costă împreună 42 de lei, aflaţi preţul unui creion şi a unei cărţi.Rezolvare: Stabilim necunoscutele problemei: preţul unui creion = x şi preţul unei cărţi = y.

Se formează sistemul de ecuaţii: pe care îl rezolvăm:

x = 2 lei (preţul unui creion).

Introducem valoarea lui x în prima ecuaţie: lei (preţul unei cărţi).

GEOMETRIE

MĂSURARE ŞI MĂSURITITLUL CONŢINUTULUI EXEMPLE, EXPLICAŢII

1 Lungime Unitatea de măsură a lungimii este metrul – m. Multiplii metrului - m:

. . . .

Submultiplii metrului: . . . .

2 Arie Unitatea de măsură a ariei este metrul pătrat – m2. Multiplii metrului pătrat – m2:

. . . .

Submultiplii metrului pătrat – m2: . . . .

Alte unităţi de măsură a ariei: . .

3 Volum Unitatea de măsură a volumului este metrul cub – m3. Multiplii metrului cub – m3:

. . . .

Submultiplii metrului cub – m3: . . . .

Unitatea de măsură a volumului – litrul . . . .

4 Unghi Unitatea de măsură a măsurii unui unghi este metrul – gradul sexagesimal.

. .

FIGURI ŞI CORPURI GEOMETRICE

TITLUL CONŢINUTULUI

EXEMPLE, EXPLICAŢII

1 Punctul, dreapta, planul, semiplanul, semidreapta, segmentul de dreaptă, unghiul

Punctul este figura geometrică ce se aseamănă cu o urmă lăsată de un creion;

Punctul nu are dimensiune; Punctele se notează cu litere mari de tipar: A, B, C,.., A1, A2,…

Dreapta este figura geometrică ce se aseamănă cu un fir foarte subţire perfect întins;

Dreapta are o singură dimensiune - lungimea; Dreptele se notează astfel: AB, BC, …, d, d1, d2, …

Planul este figura geometrică ce se aseamănă cu o pânză foarte subţire perfect întinsă;

Planul are două dimensiuni – lungimea şi lăţimea; Planele se notează astfel: (ABC) sau , , , …

Semiplanul – o dreaptă inclusă într-un plan împarte planul dat în două semiplane.

Semidreapta – este dreapta mărginită la un capăt.

Segmentul de dreaptă – este dreapta mărginită la ambele capete.

Unghiul – este figura geometrică formată de două semidrepte cu originea comună.

2 Poziţii relative a două drepte în spaţiu

Explicatii:a) drepte identice;b) drepte concurente,

;c) drepte paralele,

şi coplanare; d) drepte oarecare, şi necoplanare;



3 Relaţia de paralelism în spaţiu

e) dacă a b şi b c ,atunci şi a c.

4 Relaţia de perpendicularitate Dacă dreptele a şi b sunt perpendiculare pe acelaşi plan, atunci aceste drepte sunt paralele între ele.

5 Axioma paralelelor6 Unghiurile cu laturile

respective paraleleExplicaţii:Cazul I unghiurile sunt congruente; Cazul II – unghiurile sunt suplementare.

7 Unghiul a două drepte în spaţiu; drepte perpendiculare

Explicaţii: Dacă avem dreptele a şi b (necoplanare)

şi este necesar să gasim unghiul dintre ele, procedăm astfel:

căutăm o dreaptă paralelă cu una dintre ele şi care are un punct comun cu cealaltă

(de ex. b c);Unghiul pe care îl formează dreapta c cu dreapta a este şi unghiul dintre deptele a şi b ( unghiul de măsura ).

8 Dreapta perpendiculară pe un plan

Explicaţii:Dacă dreptele a şi b şi , atunci şi Teoremă: O dreaptă perpendiculară pe un plan este perpendiculară pe orice dreaptă inclusă în planul dat.

9 Distanţa de la un punct la un plan

Explicaţii: distanţa de la un punct la un plan

este ,,drumul cel mai scurt” de la acel punct la planul dat;

distanţa de la un punct la un plan este lungimea segmentului de dreaptă perpendicular pe planul dat;

PQ = distanţa de la punctul P la planul dacă PQ.

Pentru asta este necesar: 10

Teorema celor trei perpendiculare



11 Proiecţii de puncte, de segmente de dreaptă şi de drepte pe un plan

Explicatii: Proiecţia unui punct pe un plan este un punct. Dacă AA`, A` este

proiecţia lui A pe planul . Proiecţia unui segment de dreaptă pe un plan este un segment de

dreaptă. Dacă AA`, BB`, A`B` este proiecţia lui AB pe planul . Proiecţia unei drepte pe un plan este o dreaptă. Dacă AA`, BB`,

A`B` este proiecţia lui AB pe planul .

12 Unghiul dintre o dreaptă şi un plan; lungimea proiecţiei unui segment

Exemplu / aplicaţie:Dreapta AB nu este paralelă cu planul . BC. Unghiul dintre dreapta AB şi planul dat este unghiul BAC de măsura . Dacă BC = 6cm şi AC = 8cm,

atunci:

13 Unghi diedru; unghiul plan corespunzător diedrului

Explicaţii:

14 Plane perpendiculareExplicatii: Dacă :

Sau: Două plane sunt perpendiculare dacă măsura unghiului plan al diedrului celor două plane este de 900.

15 Simetria faţă de un punct în plan; simetria faţă de o dreaptă în plan

Punctul B este simetricul lui A faţă de punctul O dacă A,O, B sunt coliniare şi AO=OB;

Punctul B este simetricul lui A faţă de dreapta a dacă A, O, B sunt coliniare, ABa şi AO=OB.

16 Calculul distanţei de la un punct la o dreaptă

Exemplu / aplicaţie:

Fie ABCA`B`C` o prismă triunghiulară regulată dreaptă cu muchia bazei de 6 cm şi înălţimea de 8cm. Să se afle distanţa de la punctul A` la dreapta BC.Rezolvare: ADBC; AA`(ABC)A`DBC.

17 Calculul distanţei de la un punct la un plan

Exemplu / aplicaţie:Fie VABC o piramidă triunghiulară regulată dreaptă cu AB = 12 cm şi înălţimea VO = cm. Se cere să se afle distanţa de la punctul O la planul (VBC).Rezolvare:



18

Unghiul dintre două plane

Exemplu / aplicaţie:Fie VABCD o piramidă patrulateră regulată dreaptă cu AB = 18cm şi înălţimea VO = 12 cm. Se cere să se afle sinusul unghiului dintre planele (ABC) şi (VBC).

Rezolvare:

TRIUNGHIULTITLUL

CONŢINUTULUIEXEMPLE, EXPLICAŢII

1 Perimetrul şi aria Perimetrul

Semiperimetrul ;

Aria ;

Aria unui triunghi dreptunghic ;

Aria unui triunghi echilateral .

2 Suma măsurilor unghiurilor într-un triunghi

Suma măsurilor unghiurilor într-un triunghi este egală cu 180. Într-un triunghi dreptunghi, unghiurile ascuţite sunt complementare.

3 Unghi exterior unui triunghi

m( ACD) = m( ABC) + m( BAC). m( ACD) = 180 m( BCA)

4 Linii importante în triunghi

Mediana

Mediana este segmentul de dreaptă ce uneşte vârful unui triunghi cu mijlocul laturii opuse.Punctul de intersecţie al medianelor se numeşte centrul de greutate.

Mediatoarea

Mediatoarea este dreapta perpendiculară pe mijlocul unei laturi.Punctul de intersecţie al mediatoarelor se numeşte centrul cercului circumscris triunghiului.

Bisectoarea

Bisectoarea este semidreapta ce împarte unghiul în două unghiuri adiacente congruente.Punctul de intersecţie al bisectoarelor se numeşte centrul cercului înscris triunghiului.

Înălţimea

Înălţimea este perpendiculara dusă din vârful unui triunghi pe latura opusă.Punctul de intersecţie al înălţimilor se numeşte ortocentrul triunghiului.

TRIUNGHIUL



5 Linia mijlocie în triunghi

Segmentul de dreaptă ce uneşte mijloacele a două laturi a unui triunghi se numeşte linia mijlocie.

6 Triunghiul isoscel – proprietăţi

Triunghiul isoscel este triunghiul care are două laturi congruente.

Într-un triunghi isoscel unghiurile de la bază sunt congruente. Într-un triunghi isoscel bisectoarea unghiului de la vârf este şi mediană,

şi înălţime, şi mediatoare. Într-un triunghi isoscel medianele (înălţimile sau bisectoarele)

corespunzătoare laturilor congruente, sunt congruente.7 Triunghiul

echilateral – proprietăţi

Triunghiul echilateral este triunghiul care are toate cele trei laturi congruente. .

Într-un triunghi echilateral toate unghiurile sunt congruente şi fiecare are măsura egală cu 60

. Într-un triunghi echilaterat bisectoarea oricărui unghi

este şi mediană, şi înălţime, şi mediatoare.8 Criteriile de

congruenţă a triunghiurilor

Criteriul de congruenţă LUL

Dacă

Atunci

Criteriul de congruenţă ULU

Dacă

Atunci

Criteriul de congruenţă LLL

Dacă

Atunci

9 Triunghiul dreptunghic – relaţii metrice

Teorema înălţimii AD2 = BDDCTeorema catetei AB2 = BDBCTeorema catetei AC2 = DCBCTeorema lui Pitagora AB2 + AC2 = BC2

10 Relaţii trigonometrice

300 450 600

sin

cos

tg

ctg

;

;



11 Teorema lui Thales şi reciproca ei

Teorema. O paralelă dusă la o latură într-un triunghi determină pe celelalte două (sau pe prelungirile lor) segmente proporţionale.

Reciproca. Dacă punctele M şi N determină pe cele două laturi ale triunghiului ABC segmente proporţionale atunci MN este paralelă cu BC.

12 Teorema fundamentală a asemănării

Teorema. O paralelă dusă la o latură într-un triunghi formează cu celelalte două (sau cu prelungirile lor) un triunghi asemenea cu cel dat.

13 Criteriile de asemănare a triunghiurilor

Criteriul de asemănare LULDouă triunghiuri sunt asemenea dacă au câte două laturi respectiv proporţionale şi unghiurile cuprinse între ele congruente.

B

N

Criteriul de asemănare LLLDoua triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile respectiv proporţionale.

Criteriul de asemănare UUDouă triunghiuri sunt asemenea dacă au câte două unghiuri respectiv congruente.

B N; C P

PATRULATERUL CONVEX

TITLUL CONŢINUTULUI EXEMPLE, EXPLICAŢII1 Perimetrul şi aria

patrulaterelor studiateARIA UNUI PARALELOGRAM

ARIA UNUI DREPTUNGHI

ARIA UNUI PATRAT

ARIA UNUI ROMB

ARIA UNUI TRAPEZ

2 Suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex

Suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex este egală cu 360.

3 Paralelogramul – proprietăţi

Proprietati:1. Laturile opuse sunt congruente două câte două. [AB][CD]; [BC][AD] .2. Unghiurile opuse sunt congruente, A C şi B D;3. Unghiurile alăturate sunt suplementare, m( A)+m( B)=1800 şi

m( B)+m( C)=1800;4. Într-un paralelogram diagonalele se intersectează

înjumătăţindu-se, [OA][OC]; [OB][OD] .4 Dreptunghiul – proprietăţi

particulareAlte proprietăţi:1. Toate unghiurile sunt congruente şi de 900.2. Diagonalele sunt congruente.

5 Pătratul – proprietăţi particulare

Alte proprietăţi:1. Toate laturile sunt congruente;2. Toate unghiurile sunt congruente şi de 900;3. Diagonalele sunt congruente;4. Diagonalele se intersectează perpendicular

una pe cealaltă;5. Diagonalele sunt şi bisectoarele unghiurilor.

TITLUL CONŢINUTULUI EXEMPLE, EXPLICAŢII6 Rombul – proprietăţi

particulareAlte proprietăţi:1. Toate laturile sunt congruente;2. Diagonalele sunt perpendiculare;3. Diagonalele sunt şi bisectoarele unghiurilor.

7 Trapezul – linia mijlocie în trapez

Segmentul de dreaptă care uneşte mijloacele laturilor neparalele se numeşte linie mijlocie.

şi

8 Trapeze particulare Trapez dreptunghic Trapez isoscel

Într-un trapez isoscel, unghiurile alăturate bazelor sunt congruente. Într-un trapez isoscel diagonalele sunt congruente.

CERCUL

TITLUL CONŢINUTULUI EXEMPLE, EXPLICAŢII1 Cercul – centrul rază,

diametru, disc Cercul este locul geometric al tuturor

punctelor dintr-un plan egal depărtate faţă de un punct fix numit centrul cercului.

O = centrul cercului; OC = raza cercului de lungime R; AB = diametrul cercului; BD = coardă;

= arc de cerc;

= semicerc.2 Unghi la centru; unghi cu

vârful pe cerc Unghi cu vârful în centrul cercului

m( AOB) = m( ) Unghi cu vârful pe cerc

m( BCA) = m( ) / 2. Dacă avem două unghiuri congruente înscrise

într-un cerc, cu vârful în centrul cercului, acestea subîntind între laturile lor, două arce congruente.

TITLUL CONŢINUTULUI EXEMPLE, EXPLICAŢII3 Coarde şi arce în cerc 1. Dacă arcul AB este congruent cu arcul CD

atunci şi [AB][CD]. Şi reciproca este adevărată.

2. Dacă MC ND atunci arcul CD este congruent cu arcul MN.

3. Dacă ORCD atunci P este mijlocul lui [CD] şi R este mijlocul arcului CD. O este centrul cercului; {P}=ORCD.

4. Coarde egal depărtate de centru sunt congruente.

Dacă OP=OQ atunci [CD][AB].4 Tangenta la cerc dintr-un

punct exterior cercului Fie punctul P exterior cercului; PA şi respectiv PB sunt tangente la

cerc; OAPA; OBPB; [PA] [PB]; OP2 = OA2 + AP2

5 Lungimea cercului, aria discului

Lungimea cercului: Aria discului (cercului):

Lungimea arcului de cerc AC:

Aria sectorului de cerc (OAC)

6 Calculul elementelor în triunghiul echilateral ; ; ; ;

; .

7 Calculul elementelor în pătrat; ;

; ;; .

8 Calculul elementelor în hexagonul regulat ; ; ; ;

.

CORPURI GEOMETRICE



1 Paralelipipedul dreptunghic

Descriere şi desfăşurata corpului (la o scară mai mică)

Formule:

baza este un dreptunghi;a,b,c =dimensiunile paralelipipedului;d = diagonala paralelipipedului

A B C D A

B` C` D` A`

CD

C`D`

A`

Baza superioara

Baza inferioara

2 Cubul Descriere şi desfăşurata corpului (la o scară mai mică)toate feţele (6) sunt pătrate;l = muchia cubului;d = diagonala cubului;are 12 muchii.

A B C D A

A` B` C` D` A`

D C

D` C`

Formule:

3 Prisma triunghiulară Descriere şi desfăşurata corpului (la o scară mai mică)baza este un triunghi echilateral;l = latura bazei;h = înălţimea prismei

Formule:

4 Prisma patrulateră Descriere şi desfăşurata corpului (la o scară mai mică)baza este un pătrat;l = latura bazei;h = înălţimea prismei;d = diagonala prismei

Formule:



5 Piramida triunghiulară Descriere şi desfăşurata corpului (la o scară mai mică)baza este un triunghi echilateral;

Formule:

l = latura bazei;h = înălţimea piramidei;ab = apotema bazei;ap = apotema piramidei;ml = muchia laterală;feţele sunt triunghiuri isoscele.

6 Tetraedrul regulat Descriere şi desfăşurata corpului (la o scară mai mică)

Formule: toate feţele

sunt triunghiuri echilaterale;

toate muchiile sunt congruente.

7 Piramida patrulateră Descriere şi desfăşurata corpului (la o scară mai mică)baza este un pătrat;l = latura bazei;h = înălţimea piramidei;ab = apotema bazei;ap = apotema piramidei;ml = muchia laterală;feţele sunt triunghiuri isoscele.

Formule:

Culegere Gheba Matematica Clasele 5-9

Documents

Transcript of Culegere Gheba Matematica Clasele 5-9