120800568 Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9

MULIMITITLUL

CONINUTULUIEXEMPLE, EXPLICAII

1 Relaii ntre mulimi Dac avem: }.5;2;3{},5;3;2{},5;4;3;2;1{ === CBA Apartenen, : 2A; Egalitate, = : B = C; Incluziune, : BA

2 Submulime Dac avem: }.5;3;2{},5;4;3;2;1{ == BA Mulimea B este o submulime a mulimii A pentru c fiecare

element din B aparine mulimii A.3 Operaii cu mulimi Dac avem: }.5;3;2{},4;3;2;1{ == BA

Reuniunea: }{ BxsauAxxBA = ; }5;4;3;2;1{= BA .

Intersecia: }{ BxsiAxxBA = ; }3;2{= BA .

Diferena: }{ BxsiAxxBA = ; }4;1{= BA .

Produsul cartezian: }),{( BysiAxyxBA = .4 Mulimi finite i mulimi

infinite Mulime finit este mulimea cu un numr finit de

elemente.Exemple de mulimi finite: }.5;3;2{},4;3;2;1{ == BA

Mulime infinit este mulimea cu un numr infinit de elemente.

Exemplu de mulime infinit: ,....}.100,99;...;3;2;1;0{=N5 Mulimile N, Z, Q, R, R\Q ,....}.100,99;...;3;2;1;0{=N

;...}.3;2;1;0;1;2;3{.... =Z

== 1),(*,, baZbZabaQ .

R este mulimea numerelor reale ce cuprinde toate categoriile de numere inclusiv cele scrise sub form de radicali.{ }perfectpatratestenuaaQR = numere iraionale.

6 Relaia NZQR RQZN Orice numr natural este numr ntreg; Orice numr ntreg este i un numr raional; Orice numr raional este numr real.

Exemplu: .41222 =+=+=

7 Scrierea numerelor naturale n baza zece

De exemplu, un numr natural format din trei cifre se scrie n baza zece astfel: cbaabc ++= 10100

8 Propoziii adevrate i propoziii false

Exemple de propoziii:Propoziie adevrat: ,, 733:12 =+ Propoziie fals: ,, 233:12 =+ Prin negarea unei propoziii adevrate se obine o propoziie fals, i invers.

9 mprirea cu rest a numerelor naturale

Dac avem: .235:17 restsi=Teorema mpririi cu rest: ., rrcd

10

Divizibilitatea n N Un numr natural este divizibil cu un alt numr natural dac restul mpririi dintre cele dou numere este egal cu zero.Dac avem dm sau md atunci: m este multiplul lui d i d este divizorul lui m.Exemplu: }12;6;4;3;2;1{12 =D .Exemplu: ;....}3;....;9;6;3;0{3 nM = .

11

Proprietile divizibilitii (cele mai uzuale)

Dac avem dm atunci i dmk )( .Dac avem dm i dn atunci i dnm )( .Dac avem dm i em iar 1),( =ed , atunci i )( edm .

12

Criteriile de divizibilitate 2... bca dac c = 0, sau 2, sau 4, sau 6, sau 8.

5... bca dac c = 0, sau 5.

10... bca dac c = 0.

3... bca dac a++b+c se mparte exact la 3.

9... bca dac a++b+c se mparte exact la 9.

4... bca dac 4bc .13

Numere prime i numere compuse

Numere prime sunt numere care au doar doi diviyori: pe 1 i pe el nsui. Exemple: 2, 3, 5, 7, 11, etc.Numere compuse sunt numere care au cel puin trei divizori. Exemple: 6, , 12, 15, etc.

14

Numere pare i numere impare

Numere pare sunt numere divizibile cu 2. Forma de scriere a cestora este Nkk ,2 .

Numere impare sunt numere nedivizibile cu 2. Forma de scriere a cestora este Nkksauk + ,1212 .

15

Numere prime ntre ele Numere prime ntre ele sunt numere care au ca divizor comun doar numrul 1. Exemple: 4 i 9; 15 i 19.

16

Descompunerea unui numr natural ntr-un produs de puteri de numere prime

Prin descompunerea unui numr natural ntr-un produs de puteri de numere prime se nelege scrierea acestuia sub form de produs de factori care la rndul lor nu se mai pot descompune.Exemplu: .3231648 4 ==

17

C.m.m.d.c. i c.m.m.m.c. Pentru a afla c.m.m.d.c. i c.m.m.m.c. se procedeaz astfel: Se descompun n produs de puteri de numere prime numerele

date:

5321803248

22

4

=

=

Pentru a afla c.m.m.d.c. se iau factorii comuni (o singur dat) cu puterea cea mai mic i se nmulesc ntre ei:

1232)180,48( 2 == . Pentru a afla c.m.m.m.c. se iau factorii comuni i necomuni

(o singur dat) cu puterea cea mai mare i se nmulesc ntre ei:

240532]180,48[ 24 == .18

Divizibilitatea n Z Divizibilitatea n Z este asemntoare cu divizibilitatea n N.n Z: }4;2;1;1;2;4{4 +++=D .

TITLUL CONINUTULUI EXEMPLE, EXPLICAII

19

Fracii subunitare, echiunitare, supraunitare Fracii subunitare ., bab

a

20

Amplificarea i simplificarea fractiilor Amplificarea .0,

)

= mmbma

bam

Simplificarea .0,::(

= mmbma

ba m

21

Fracii ireductibile Fracie ireductibil este fracia n care numrtorul i numitorul sunt numere prime ntre ele. Exemplu de obinere a unei fracii ireductibile, pas cu pas:

.34

912

1824

3648 3(2(2(

===

22

Transformri de fracii Fracii zecimale finite

100, abcbca = .

Fracii zecimale periodice simple 99

)(, aabcbca = .

Fracii zecimale periodice mixte 990

)(, ababcdcdba = .

Exemple:

1532

90192

9021213)3(1,2.

34

912

9113)3(,1.

49

10022525,2 ========

O fracie ordinar se poate transforma ntr-o fracie zecimal prin mprirea numrtorului la numitorul fraciei. Exemplu:

).3(,73:223

22==

23

Compararea, ordonarea i reprezentarea pe ax a numerelor reale

Compararea numerelor raionale

Dintre numerele 67

=a i 56

=b mai mare ete numrul .

Aducem numerele date la acelai numitor: 3035

67)5

==a i 3036

56)6

==b .

Se observ c numrul mai mare este numrul b. Se poate s aducem numerele date i la acelai numrator iar atunci comparm numitorii.

Compararea numerelor reale din care cel puin unul este numr iraional

Dintre numerele 73=a i 8=b mai mare ete numrul .Introducem factorii sub radical i obinem: 6373 ==a i

648 ==b . Se observ c numrul mai mare este numrul b.

TITLUL

CONINUTULUI EXEMPLE, EXPLICAII24

Valoarea absolut a unui numr real Valoarea absolut a unui numr real:

=

0,0,00,

aaaaa

a

Valoarea absolut a unui numr iraional Dac avem: ba , cel puin unul este iraional, ba < , atunci

abba = . Exemplu: .3223 =

25

Opusul i inversul unui numr real

Opusul unui numr real: opusul lui a este a.

Inversul unui numr real: inversul lui a este a1

.

26

Partea ntreag i partea fracionar a unui numr real

Partea ntreag i partea fracionar a unui numr real pozitiv:

4,4 este ntre 4 i 5. Partea ntreag [4,4] = 4. Partea fracionar {4,4} = 4,4 [4,4] = 4,4 4 = 0,4.Partea ntreag i partea fracionar a unui numr real negativ:

2,6 este ntre 3 i 2. Partea ntreag [2,6] = 3. Partea fracionar {2,6} = 2,6 [2,6] = 2,6 +3 = 0,4.

27

Rotunjirea i aproximarea unui numr real

Metoda de a aproxima un numr real, mai ales cnd acesta este o fracie zecimal sau un numr iraional este folosit la estimri i exerciii de comparare.Exemplu: .....4721359,420 = Dac s-ar cere aproximarea cu dou zecimale prin lips atunci am avea: 47,420 = . Dac s-ar cere aproximarea cu dou zecimale cu adaos atunci am avea: 48,420 = .

28

Intervale n R; reprezentarea pe ax

Interval mrginit nchis la ambele margini: ];[ ba

Interval mrginit nchis la una din margini margini: ];( ba

Interval mrginit deschis la ambele margini: );( ba

Interval mrginit nchis sau deschis la una din margini i nemrginit la cealalt: ];( a

Interval nemrginit la ambele margini: R=+ );(

TITLUL EXEMPLE, EXPLICAII

CONINUTULUI29

Rdcina ptrat a unui numr natural ptrat perfect

ba = dac .2 ab =

aa =2 dac .0>a n general aa =2 .

Exemplu: 1515225 2 == .30

Algoritmul de extragere a rdcinii ptrate

Aadar, radical din 55225 este egal cu 235.

S calculm rdcina ptrat a lui 55225.Desprim numrul n grupe de cte dou cifre, de la dreapta spre stnga.Ne ntrebm: care este cel mai mare numr al crui ptrat este mai mic sau egal cu 5.Acesta este 2; l scriem n dreapta sus;l ridicm la ptrat, obinem 4 i-l trecem sub 5, aflm restul scderii 1.Coborm grupul de urmtoarele 2 cifre lng rest.Dublm pe 2 i rezultatul 4 l trecem sub 2.Ne gndim care cifr punem alturi de 4 i rezultatul l nmulim cu cifra aleas astfel nct numrul dat s se cuprind n 152.Ne gndim care cifr punem alturi de 4 i rezultatul l nmulim cu cifra aleas astfel nct numrul dat s se cuprind n 152.Rezultatul fiind 129, l trecem sub 152 i aflm restul scderii.Cifra 3 o trecem la rezultat, alturi de 2.Coborm urmtoarea grup de cifre, pe 25, lng restul 23.Coborm dublul lui 23, care este 46.Ne gndim care cifr punem alturi de 46, numrul format l nmulim cu acea cifr iar rezultatul s fie mai mic sau egal cu 2325.Acesta poate fi 5 i facem calculele.Trecem rezultatul 2325 sub numrul 2325 i efectum scderea.Restul fiind zero, algoritmul s-a terminat, cifra 5 o trecm la rezultat alturi de 23.

31

Scrierea unui numr real pozitiv ca radical din ptratul su

Dac avem 7 atunci acest numr se poate scrie i 4977 2 == .

Dac avem 25

atunci acest numr se poate scrie i 425

25

25

2

2

== .

32

Reguli de calcul cu radicali

Doi radicali se pot aduna sau scdea numai dac sunt ,,la fel adic avem termeni asemenea:

Exemplu: 5335)241(552545 ==+=+ .nmulirea radicalilor: baba = ; 30103 = .mprirea radicalilor: baba :: = ; 36:18 = .

33

Scoaterea i introducerea factorilor sub radical

Scoaterea factorilor de sub radical . Prezentm una din metodele cele mai utilizate la scoaterea factorilor de sub radical. Se descompune numrul dat n produs de puteri de numere prime se iau perechi de numere prime egale dintr-o pereche va iei un factor de sub radical factorii nepereche vor rmne sub radical factorii ieii sau rmai sub radical se nmulesc.

Exemplu:

66323232216 33 ===

Introducerea factorilor sub radical se bazeaz pe operaia baba = . Dac avem 53 pentru a introduce pe 3 sub

radical, se ridic la puterea 2 numrul 3 dup care se nmulete cu 5.

45595353 2 === .


34

Raionalizarea numitorilor Raionalizarea numitorilor de forma ba .

abbm

bbabm

bamb

=

=

)

.

463

1269

6269

66269

629

3()6

==

=

=

Raionalizarea numitorilor de forma cba + . n primul rnd conjugatul numrului cba + este numrul cba . Pentru raionalizarea

numitorului de aceast form, fracia se va amplifica cu conjugatul

numitorului. 22) )(

)()()(

cbacbam

cbacbacbam

cbamcba

=

+

=

+

.

23510

4)3510(2

121631020

)32(431020

)324()324()324(5

3245

22

)324

+=

+=

+=

=

+=

+

+=

+

35

Operaii cu numere reale Adunarea i scdereaPentru a efectua adunarea sau scderea numerelor raionale este necesar a parcurge urmtorii pai: Se transform fraciile zecimale n fracii ordinare; Se aduc fraciile la acelai numitor; Se efectueaz adunarea/scderea.Exemplu:

.3

17634

61691542

38

23

257)6(,2

235,27

2()2)3)3)6

==+

=+=+

Proprietile adunrii:Adunarea este comutativ: a + b = b + a.Adunarea este asociativ: a + b + c = (a + b) + c.Elementul neutru al adunrii este 0: a + 0 = a.Pentru orice a exist opusul lui a astfel nct: a + (-a) = 0.nmulirea La nmulirea unui numr ntreg cu o fracie, se nmuleste numrul

ntreg cu numrtorul fraciei, numitorul rmnnd neschimbat; Se transform fraciile zecimale n fracii ordinare; La nmulirea a dou fracii ordinare se nmulesc numrtorii ntre ei i numitorii ntre ei. Exemplu:

a) .3

141884

18712

18712

6(

==

=

b) .42184

73614

76

314

76)6(,4

21(

==

==

Proprietile nmulirii:nmultirea este comutativ: a b = b a;nmultirea este asociativ: a b c = (a b) c;Elementul neutru al nmulirii este 1: a 1 = a;nmulirea este distributiv fa de adunare sau scdere:

a ( b + c ) = a b + a c


35

Operaii cu numere reale mprireaLa mprirea a dou numere raionale se nmulete primul numr cu al doilea inversat. Exemplu:

.3

2090600

5182425

524

1825

245:

1825 30(

==

==

Tabelul nmulirii semnelor:F1 F2 P + + ++

+

+

Tabelul mpririi semnelor:D I C + + ++

+

+

Ridicarea la putere,,Puterea este o nmulire repetat

aaaaa n = ...

mm

aa 1=

Exemplu:322222225 ==

49

23

32 22

=

=

Operaii cu puteri: 1a = 1; a1 = a; a0 = 1, dac a 0;

0a = 0, dac a 0;

am an = am+n; am : an = am-n; (am)n = am n; (a b)m

= am bm.36

Ordinea efecturii operaiilor i folosirea parantezelor

ntr-un exerciiu de calcul aritmetic ce conine mai multe operaii cu numere raionale se efectueaz mai nti ridicrile la putere, apoi nmulirile i mpririle n ordinea n care sunt scrise i apoi adunrile i scderile, la fel, n ordinea n care sunt scrise. n exerciiile de calcul aritmetic care conin paranteze se efectueaz

mai nti calculele din parantezele mici (rotunde), apoi cele din paranteze mari (drepte) i apoi cele din acolade. Dac n faa unei paranteze ce conine un numr raional sau o

sum/diferen de numere raionale se afl simbolul ,,, atunci se poate elimina semnul i paranteza, scriind numerele din parantez cu semnul schimbat.

Exemplu:( )[ ]{ } =+++ 1032317:1043254 32( )[ ]{ } =+++= 308317:1012454

[ ]{ } =++= 308317:654[ ]{ } =++= 308317:304

{ } =+= 308317:34{ } =+= 30832

== 3085103040 == .

37

Factorul comun Dac wfcfbfafwcbaf ++++=++++ .....)....( atunci i ).....(..... wcbafwfcfbfaf ++++=++++

Exemplu: 24)2(12)1053(121012125312 ==+=+

38

Media aritmetic Media aritmetic

naaaam na

++++=

....321 .


39

Media aritmetic ponderat

Media aritmetic ponderat

n

nnp pppp

papapapam++++

++++=

........

321

332211

unde pi este ponderea numrului ai .40

Media geometric a dou numere reale pozitive

Media geometric bamg = .

41

Raportul a dou numereDac avem numerele reale a i b, atunci raportul lor este egal cu

ba

.

Exemplu: Fie 5,12=a i 25,3=b . 1350

3251250

25,35,12 25(

===

ba

.

42

Proprietatea fundamental a proporiilor Dac avem proporia n

mba

= atunci mbna =

43

Derivarea proporiilorDac avem proporia

nm

ba

= atunci mai putem obine i proporiile:

nb

ma

= ; ;mn

ab

= n

nmb

ba =

;

mnm

aba

=

.

;n

kmb

ka =

;kn

mkb

a

=

;nm

kbka

=

n

kmb

ka ::=

44

Aflarea unui termen necunoscut dintr-o proporie dat

Dac avem proporia 27

8=

x atunci 28

256

278

==

=x .

n general dac avem 2

21

1extrem

mezmez

extrem= atunci

2211

2211

mezextremextremmezi

extremmezmezextrem == .

45

Mrimi direct proporionale

Dac numerele a, b, c, ., w sunt direct proporionale cu numerele , , , ...., atunci se poate forma un ir de rapoarte egale: i

wcba=====

.... , unde i este coeficientul de proporionalitate.

Proprietate general a unui ir de rapoarte egale:

++++++++

=====

............ wcbawcba .

Exemplu de o problem: S se mpart numrul 76 n trei pri direct proporionale cu numerele 3, 5, 11. Rezolvare:

.44411;2045;12434

1976

11531153==

======++

++===

cbacbacba

46

Mrimi invers proporionale

Dac numerele a, b, c, ., w sunt invers proporionale cu numerele , , , ...., atunci se poate forma un ir de produse egale:

==== wcba .... Acest ir de produse egale se poate transforma ntr-un ir de rapoarte egale, precum:

iwcba =====

1....111 ,unde i este coeficientul de proporionalitate.


47

Regula de trei simpl Regula de trei simpl cu direct proporionalitate

caietecaietelei

leicaietex

leitavorcaietexleitcaiete

57

357

5,1725,17.............cos..............

7....................cos.....................2

==

=

Regula de trei simpl cu invers proporionalitate

zilezilemuncitori

zilemuncitorix

zilexnlucrareaceeasifacevormuncitorizilenlucrareofacmuncitori

87

567

144.............7

14...............................4

==

=

48

Procente Procentul este un numr raional;

100% pp = .

Exemple: 51

10020%20 == ;

45

100125%125 == .

49

Aflarea a p% dintr-un numr Din relaia bad inp =% ba

p=

100

Exemplu: 18100180060

1003060%30 ===din .

50

Aflarea unui numr cnd se cunoate p% din el Din ba

p=

100 p

ba = 100 .

Exemplu: 12045

54100;54%45 === xxdin

51

Aflarea raportului procentual Din ba

p=

100

abp = 100 .

Exemplu: .2580

20100;2080% === xdinx

Mai explicit: %2541

8020% ===x

52

Calculul probabilitii de realizare a unui eveniment cazuridetotalnr

favorabilecazuridenreaobabilitat.

.Pr = .

Exemplu. ntr-un coule sunt 8 mere galbene i 12 mere roii. Care este probabilitatea ca lund la ntmplare un mr, acesta s aib culoarea roie?

%7543

2012

12812

===

+=P .

CALCUL ALGEBRIC


1 Calculul cu numere reprezentate prin litere

Termenii de forma cl unde c, numit coeficientul termenului, reprezint un numr, iar, l, partea literal a termenului, este format din numere reprezentate prin litere, eventual, cu diveri exponeni, i numim termeni asemenea dac prile lor literale sunt identice, iar adunarea lor se numete reducerea termenilor asemenea.

Exemple: 1) Perechi de termeni asemenea: 22 52 xysixy ; 3232 45 yxsiyx + .2) Adunarea: 222 284523 xyxyxyxyxyxy =++ .3) nmulirea: ( ) ( ) 3422 24423 yxyxxyx = .4) mprirea: ( ) 23354 47:28 xyyxyx = .5) Ridicarea la o putere: ( ) 936332 82 zyxyzx = .6) Ridicarea la o putere cu exponent numr negativ:

22 +

+

+=

+

+

badc

dcba

2 Formulele de calcul prescurtat

Formule utilizate:1) Produsul dintre un numr i o sum/diferen:

( ) acabcba =2) Ptratul unui binom: ( ) 222 2 bababa +=3) *Ptratul unui trinom: ( ) ( )bcacabcbacba +++++=++ 222224) Produsul sumei cu diferena: ( ) ( ) 22 bababa =+5) Produsul a dou paranteze: ( ) ( ) ( ) ( )nmbnmanmba +++=++

Exemple:1) ( ) xxxx 6232 2 +=+ ;2) ( ) 14412 22 ++=+ xxx ;3) ( ) 91210432 23422 ++++=++ xxxxxx ;4) ( ) ( ) 2595353 2 =+ xxx ;5) ( ) ( ) 10352 2 =+ xxxx .

3 Descompunerea n factori Formule utilizate:1) Scoaterea factorului comun: ( )cbaacab =2) Restrngerea ptratului unui binom: ( ) 222 2 bababa =+3) Diferena de ptrate: ( ) ( )bababa += 224) Descompunerea unui trinom de forma: nmxx ++2 ; dac

Zbambasinba =+= , atunci: ( ) ( )bxaxnmxx ++=++2 .

Exemple:1) ( )5352515 2 = xxxx ; 2) ( ) 22 4316249 =+ xxx ;3) ( ) ( )yxyxyx += 224 22 ; 4) ( ) ( )43122 += xxxx .


4 Rapoarte de numere reprezentate prin litere

Exemple:

32x

; 5

yx +;

492 x ;

22xx

cu condiia ca 0numitorul .

5 Amplificarea Amplificarea

knkm

nmk

=

)

;

Exemplu: 463

)2)(2()2(3

23

2

2)2

+=

+

+=

+

xxx

xxxx

xxx

.

6 Simplificarea Simplificarea

knkm

nm k

::(

= ;

pentru a simplifica un raport de fapt se caut c.m.m.d.c. al termenilor raportului dat.

Exemplu: S se simplifice raportul: 4

442

2

++

xxx ; se descompun n

factori termenii raportului i dup aceea se simplific.( )

( ) ( ) 22

222

444

2(2

2

2

+=

+

+=

+++

xx

xxx

xxx

x

.

7 Adunarea sau scderea Adunarea sau scderea

kpqkmnk

qp

nm qknk +

=+):():():):

;

Unde k este c.m.m.m.c. al lui n i q.Exemplu:

.)2)(2(

263)2)(2(

263)2)(2(

22

34

22

3 22)22

+

+=

+

+=

++

+=

++

xxxx

xxxx

xxxx

xxx x

8 nmulirea nmulirea qn

pmqp

nm

= ;

Exemplu: 9

2)3)(3(

)2(32

3 22

+=

+

+=

+

+ xxx

xxxx

xx

xx

.

9 mprirea mprirea pn

qmpq

nm

qp

nm

==: ;

Exemplu: 422

)1(2)2()2)(1(

222

21

222:

21

+

=

+

=

+

=

+

xx

xxxx

xx

xx

xx

xx

.

10

Ridicarea la putere Ridicarea la putere a

aa

nm

nm

=

; Exemplu:

12)1(1 22

2

22

+=

=

xx

xx

xx

x .

11

Ridicarea la putere cu exponent numr negativ Ridicarea la putere a

aa

mn

nm

=

; Exemplu: 2

2

2

22 12)1(1 x

xxx

xx

x +=

=

.

FUNCII


1 Noiunea de funcie Daca fiecrui element din mulimea A i corespunde un element din mulimea B spunem c este definit o funcie pe A cu valori n B.

Se noteaz: .: BAf A = domeniul de definitie, B = codomeniul functiei.Exemplu: { } 3)(,3;2;1;0;2: += xxfRf

2 Funcii definite pe mulimi finite, exprimate prin diagrame, tabele, formule, grafic

0

1

2

3

4

5

6

7

-1 0 2 5

x -1 0 2 3 5y 1 2 4 5 7

f(x) = x + 2

3 Funcii de tipul f:AR, f(x) = ax + b, unde A este un interval de numere reale

Exemplu:S se construiasc graficul funciei f:[-2;4)R, 23)( += xxf ;Pentru )8;2(826)2(2 =+== Afx ;Pentru )10;4(10212)4(4 =+== Bfx ;Graficul funciei este un segment de dreapt ce unete punctele A i B, nchis n A i deschis n B.* Dac mulimea A este un interval de numere mrginit la o extrem i nemrginit la cealalt extrem, atunci graficul funciei este o semidreapt cu originea n extrema mrginit a intervalului.

4 Functii de tipul f:RR, f(x) = ax + b

Exemplu:Sa se construiasc graficul funciei f:RR,

1117

1112)( = xxf ;

Pentru )5;6(51155

1117

1172)6(6 Afx ==== ;

Pentru

)7;5(71177

1117

1160)5(5 ==== Bfx

Graficul funciei este o dreapt ce trece prin punctele A i B.

ECUAII, INECUAII, SISTEME DE ECUAII


1 Ecuaii de forma 0=+ bax ,

.*, RbRa

Propoziia cu o variabil de forma ax + b = 0 se numete ecuaie cu o necunoscut, unde a i b sunt numere reale.

ntr-o ecuaie avem ,,dreptul de a trece termeni dintr-un membru n alt membru cu semnul schimbat.

ntr-o ecuaie avem ,,dreptul de nmuli/mpri egalitatea cu un numr diferit de zero. Procedeul este utilizat pentru eliminarea numitorilor i la final aflarea necunoscutei.

Exemplu: 2233 +=+ xx 3223 = xx

( ) ( )2323 =x 1

23)23(

=

=x .

2 Ecuaii echivalente Dou ecuaii sunt echivalente dac au aceeai soluie.Bazndu-se pe proprietile egalitatii, se pot obine ecuaii echivalente pornind de la o ecuaiei dat.Exemplu: Fie ecuaia ;042 =x

adunm la ambii membri ai ecuaiei numrul 5: 512;50542

=++=+

xx

b) nmulim ecuaia (toi termeni) cu 3: 15363512

=+=+

xx

3 Inecuaii de forma ),,(,0 > 0 se numete inecuaie cu o necunoscut, unde a i b sunt numere reale.

ntr-o inecuaie avem ,,dreptul de a trece termeni dintr-un membru n alt membru cu semnul schimbat.

ntr-o inecuaie avem ,,dreptul de nmuli/mpri inegalitatea cu un numr diferit de zero. Procedeul este utilizat pentru eliminarea numitorilor i la final aflarea necunoscutei.

Dac o inecuaie se va nmuli/mpri cu un numr negativ atunci sensul inegaliti se schimb.

Exemplu: 68215

se rezolv;La fel se procedeaz i cu cealalt necunoscut.

Exemplu:

=

=+

323252

yxyx

=

=+

3231024

yxyx

77 =x 1=x ;

( )

=

=+

2323352

yxyx

=+

=+

6461536

yxyx

217 =y 3=y

=

=

31

yx

.


4 Sisteme de ecuaii de forma

=++

=++

00

222

111

cybxacybxa

,

Rccbbaa 212121 ,,,,,

Metoda substituiei: Se afl dintr-o ecuaie o necunoscut n funcie de cealalt necunoscut; Se introduce valoarea acestei necunoscute n cealalt ecuaie i se rezolv

ecuaia; Se afl cealalt necunoscut.

Exemplu:

=

=+

32352

yxyx

din 52 =+ yx xy 25 = ;

Introducem pe xy 25 = n 323 = yx ( ) 32523 = xx 34103 =+ xx 77 =x 1=x

Introducem pe 1=x n xy 25 = 3125 ==y

=

=

31

yx

.

5 Probleme ce se rezolv cu ajutorul ecuaiilor, inecuaiilor i a sistemelor de ecuaii

Etapele de rezolvare a unei probleme:1. Stabilirea datelor cunoscute i a celor necunoscute din problem. 2. Alegerea necunoscutei (necunoscutelor) i exprimarea celorlalte date

necunoscute n funcie de aceasta (acestea).3. Alctuirea unei ecuaii (sistem de ecuaii) cu necunoscuta

(necunoscutele) aleas (alese), folosind datele problemei.4. Rezolvarea ecuaiei (sistemului de ecuaii).5. Verificarea soluiei.6. Formularea concluziei problemei.

Exemplul 1(ecuaie): Un cltor parcurge un drum n 3 zile astfel: n prima zi

parcurge 31

din drum, a doua zi parcurge 53

din rest iar a treia zi ultimii 40 de

km. Aflai lungimea total a drumului.Rezolvare: Stabilim necunoscuta principal lungimea total a drumului, pe care o notm cu x;

n prima zi a parcurs: 3x

; i-au rmas de parcurs 3

2x; a doua zi a parcurs

52

32

53 xx

= ;

Avem ecuaia: 405

23

++=xxx pe care o rezolvm: 1540

52

3)15

)3)5)15

++=xxx

6006515 ++= xxx

6006515 = xxx 6004 = x kmx 1504

600== este lungimea total

a drumului.

Exemplul 2 (inecuaie): S se gaseasc trei numere naturale consecutive a cror sum este mai mic dect 16.

Rezolvare: Stabilim necunoscuta principal numrul cel mai mic pe care l i notm cu x;Celelalte dou numere vor fi x + 1 i x + 2 inecuaia: 1621

GEOMETRIE

MSURARE I MSURITITLUL CONINUTULUI EXEMPLE, EXPLICAII

1 Lungime Unitatea de msur a lungimii este metrul m. Multiplii metrului - m: mdam 101 = . mdamhm 100101 == . mdamhmkm 1000100101 === . kmhmdamm 001,001,01,01 === .

Submultiplii metrului: mmcmdmm 1000100101 === . mmcmmdm 100101,01 === . mmdmmcm 101,001,01 === . cmdmmmm 1,001,0001,01 === .

2 Arie Unitatea de msur a ariei este metrul ptrat m2.Multiplii metrului ptrat m2: 22 1001 mdam = . 222 100001001 mdamhm == . 2222 1000000100001001 mdamhmkm === . 2222 000001,00001,001,01 kmhmdamm === .

Submultiplii metrului ptrat m2: 2222 1000000100001001 mmcmdmm === . 2222 1000010001,01 mmcmmdm === . 2222 10001,00001,01 mmdmmcm === . 2222 01,00001,0000001,01 cmdmmmm === .

Alte uniti de msur a ariei: 2100001 mha = . arihamar 1001;1001 2 == .

3 Volum Unitatea de msur a volumului este metrul cub m3.Multiplii metrului cub m3: 33 10001 mdam = . 333 100000010001 mdamhm == . 3936333 1010101 mdamhmkm === . 3936333 1010101 kmhmdamm === .

Submultiplii metrului cub m3: 3333 1000000000100000010001 mmcmdmm === . 3333 10000001000001,01 mmcmmdm === . 3333 10000001,0000001,01 mmdmmcm === . 3336393 1010101 cmdmmmm === .

Unitatea de msur a volumului litrul . 311 dml = . ldmm 100010001 33 == . mlcll 10001001 == . .1001;101 lhlldal ==

4 Unghi Unitatea de msur a msurii unui unghi este metrul gradul sexagesimal. '''0 3600601 == . ''' 601 = .

FIGURI I CORPURI GEOMETRICE

TITLUL CONINUTULUI

EXEMPLE, EXPLICAII

1 Punctul, dreapta, planul, semiplanul, semidreapta, segmentul de dreapt, unghiul

Punctul este figura geometric ce se aseamn cu o urm lsat de un creion;

Punctul nu are dimensiune; Punctele se noteaz cu litere mari de tipar: A, B, C,.., A1, A2,

Dreapta este figura geometric ce se aseamn cu un fir foarte subire perfect ntins;

Dreapta are o singur dimensiune - lungimea; Dreptele se noteaz astfel: AB, BC, , d, d1, d2,

Planul este figura geometric ce se aseamn cu o pnz foarte subire perfect ntins;

Planul are dou dimensiuni lungimea i limea; Planele se noteaz astfel: (ABC) sau , , ,

Semiplanul o dreapt inclus ntr-un plan mparte planul dat n dou semiplane.

Semidreapta este dreapta mrginit la un capt.

Segmentul de dreapt este dreapta mrginit la ambele capete.

Unghiul este figura geometric format de dou semidrepte cu originea comun.

2 Poziii relative a dou drepte n spaiu

Explicatii:a) drepte identice;b) drepte concurente,

{ }Odd = 21 ;c) drepte paralele, = 21 dd

i coplanare; d) drepte oarecare,

= 21 dd i necoplanare;

TITLUL CONINUTULUI

EXEMPLE, EXPLICAII

3 Relaia de paralelism n spaiu

e) dac a | | b i b | | c ,atunci i a | | c.

4 Relaia de perpendicularitate Dac dreptele a i b sunt perpendiculare pe acelai plan, atunci aceste drepte sunt paralele ntre ele. .;; baba

5 Axioma paralelelor6 Unghiurile cu laturile

respective paraleleExplicaii:Cazul I unghiurile sunt congruente; Cazul II unghiurile sunt suplementare.

7 Unghiul a dou drepte n spaiu; drepte perpendiculare

Explicaii: Dac avem dreptele a i b (necoplanare) i

este necesar s gasim unghiul dintre ele, procedm astfel: cutm o dreapt paralel cu una dintre

ele i care are un punct comun cu cealalt (de ex. b | | c);Unghiul pe care l formeaz dreapta c cu dreapta a este i unghiul dintre deptele a i b ( unghiul de msura ).

8 Dreapta perpendicular pe un plan

Explicaii:Dac dreptele a i b i

bdsiad , atunci i .dTeorem: O dreapt perpendicular pe un plan este perpendicular pe orice dreapt inclus n planul dat.

9 Distana de la un punct la un plan

Explicaii: distana de la un punct la un plan este

,,drumul cel mai scurt de la acel punct la planul dat; distana de la un punct la un plan este

lungimea segmentului de dreapt perpendicular pe planul dat; PQ = distana de la punctul P la planul

dac PQ.

Pentru asta este necesar:

bbPQaaPQ

,,

10

Teorema celor trei perpendiculare

ABbB

b bMBbAB

a

TITLUL CONINUTULUI

EXEMPLE, EXPLICAII

11

Proiecii de puncte, de segmente de dreapt i de drepte pe un plan

Explicatii: Proiecia unui punct pe un plan este un punct. Dac AA`, A` este proiecia lui A pe planul . Proiecia unui segment de dreapt pe un plan este un segment de dreapt. Dac AA`, BB`, A`B` este proiecia lui AB pe planul . Proiecia unei drepte pe un plan este o dreapt. Dac AA`, BB`, A`B` este proiecia lui AB pe planul .

12

Unghiul dintre o dreapt i un plan; lungimea proieciei unui segment

Exemplu / aplicaie:Dreapta AB nu este paralel cu planul . BC. Unghiul dintre dreapta AB i planul dat este unghiul BAC de msura . Dac BC = 6cm i AC = 8cm, atunci: .

43

86

===

ACBCtg

13

Unghi diedru; unghiul plan corespunztor diedrului

Explicaii:

diedruluialplanunghiulPbaabm

===

}{;;;

14

Plane perpendiculare

Explicatii: Dac :

=

bb

a

Sau: Dou plane sunt perpendiculare dac msura unghiului plan al diedrului celor dou plane este de 900.

15

Simetria fa de un punct n plan; simetria fa de o dreapt n plan

Punctul B este simetricul lui A fa de punctul O dac A,O, B sunt coliniare i AO=OB;

Punctul B este simetricul lui A fa de dreapta a dac A, O, B sunt coliniare, ABa i AO=OB.

16

Calculul distanei de la un punct la o dreapt

Exemplu / aplicaie:

Fie ABCA`B`C` o prism triunghiular regulat dreapt cu muchia bazei de 6 cm i nlimea de 8cm. S se afle distana de la punctul A` la dreapta BC.Rezolvare: ADBC; AA`(ABC)A`DBC.

.91`916427``

.332

3623

222 cmDAAAADDA

lAD

==+=+=

===

17

Calculul distanei de la un punct la un plan

Exemplu / aplicaie:Fie VABC o piramid triunghiular regulat dreapt cu AB = 12 cm i nlimea VO = 62 cm. Se cere s se afle distana de la punctul O la planul (VBC).Rezolvare:

[ ] `.`);()(;`;`);(

VAOPundeOPVAOdVBCOdBCVABCOAABCVO

==

.6361224``;326

31263` 22 ==+=+==== OAVOVAlOA

.226

2126

3262`

` cmVA

OAVOOP ====

TITLUL CONINUTULUI

EXEMPLE, EXPLICAII

18

Unghiul dintre dou plane

Exemplu / aplicaie:Fie VABCD o piramid patrulater regulat dreapt cu AB = 18cm i nlimea VO = 12 cm. Se cere s se afle sinusul unghiului dintre planele (ABC) i (VBC).Rezolvare:

).()(int;;);(

VBCsiABCplaneleredunghiulesteBCVPBCOPABCVO

=

;92

182

===ABOP .152251448122 ==+=+= VOOPVP

.54

1512sin

3(

===

VPVO

TRIUNGHIULTITLUL

CONINUTULUIEXEMPLE, EXPLICAII

1 Perimetrul i aria Perimetrul ;cbaP ++=

Semiperimetrul 2

cbap ++= ;

Aria ))()((2sin

2cpbpappBcahaA a === ;

Aria unui triunghi dreptunghic 2catetcatetA = ;

Aria unui triunghi echilateral 4

32lA = .

2 Suma msurilor unghiurilor ntr-un triunghi

Suma msurilor unghiurilor ntr-un triunghi este egal cu 180. ntr-un triunghi dreptunghi, unghiurile ascuite sunt complementare.

3 Unghi exterior unui triunghi

m( ACD) = m( ABC) + m( BAC). m( ACD) = 180 m( BCA)

4 Linii importante n triunghi

Mediana

Mediana este segmentul de dreapt ce unete vrful unui triunghi cu mijlocul laturii opuse.Punctul de intersecie al medianelor se numete centrul de greutate.

Mediatoarea

Mediatoarea este dreapta perpendicular pe mijlocul unei laturi.Punctul de intersecie al mediatoarelor se numete centrul cercului circumscris triunghiului.

Bisectoarea

Bisectoarea este semidreapta ce mparte unghiul n dou unghiuri adiacente congruente.Punctul de intersecie al bisectoarelor se numete centrul cercului nscris triunghiului.

nlimea

nlimea este perpendiculara dus din vrful unui triunghi pe latura opus.Punctul de intersecie al nlimilor se numete ortocentrul triunghiului.

TRIUNGHIUL

TITLUL CONINUTULUI

EXEMPLE, EXPLICAII

5 Linia mijlocie n triunghi

Segmentul de dreapt ce unete mijloacele a dou laturi a unui triunghi se numete linia mijlocie.

=

2BCMN

BCMN

6 Triunghiul isoscel proprieti

Triunghiul isoscel este triunghiul care are dou laturi congruente. ][][ ACAB

ntr-un triunghi isoscel unghiurile de la baz sunt congruente. CB ntr-un triunghi isoscel bisectoarea unghiului de la vrf este i median,

i nlime, i mediatoare. ntr-un triunghi isoscel medianele (nlimile sau bisectoarele)

corespunztoare laturilor congruente, sunt congruente.7 Triunghiul

echilateral proprieti

Triunghiul echilateral este triunghiul care are toate cele trei laturi congruente. ][][][ BCACAB .

ntr-un triunghi echilateral toate unghiurile sunt congruente i fiecare are msura egal cu 60

CBA . ntr-un triunghi echilaterat bisectoarea oricrui unghi

este i median, i nlime, i mediatoare.8 Criteriile de

congruen a triunghiurilor

Criteriul de congruen LUL

Dac

Criteriul de congruen ULU

Dac

Criteriul de congruen LLL

=

=

`````

``

CBBCCBAABC

BAAB

Atunci ``` CBAABC

=

`````

```

ACBBCACBBC

CBAABC

Atunci ``` CBAABC

Dac

=

=

``````

CAACCBBCBAAB

Atunci``` CBAABC

9 Triunghiul dreptunghic relaii metrice

Teorema nlimii AD 2 = BD DCTeorema catetei AB 2 = BD BCTeorema catetei AC 2 = DC BCTeorema lui Pitagora AB 2 + AC 2 = BC 2

10 Relaii trigonometrice

300 450 600sin

21

22

23

cos

23

22

21

tg

33 1 3

ctg 3 1

33

ipotenuzopuscateta

=sin ; ipotenuzalaturatcateta

=cos

alaturatcatetaopuscatetatg = ; opuscateta

alaturatcatetactg =

1cossin 22 =+

TITLUL CONINUTULUI

EXEMPLE, EXPLICAII

11 Teorema lui Thales i reciproca ei

Teorema. O paralel dus la o latur ntr-un triunghi determin pe celelalte dou (sau pe prelungirile lor) segmente proporionale.

NCAN

MBAM

=

Reciproca. Dac punctele M i N determin pe cele dou laturi ale triunghiului ABC segmente proporionale atunci MN este paralel cu BC.

12 Teorema fundamental a asemnrii

Teorema. O paralel dus la o latur ntr-un triunghi formeaz cu celelalte dou (sau cu prelungirile lor) un triunghi asemenea cu cel dat.

.ACAN

BCMN

ABAM

==

13 Criteriile de asemnare a triunghiurilor

C riter iu l d e a sem n are L U LD ou triung h iu ri sun t asem enea d ac a u c te d ou la tu ri resp ectiv p rop orio na le i ung h iu rile cup rinse n tre e le co ng ruente .

C riter iu l d e a sem n are L L LD o ua triung h iu ri sun t asem enea dac a u toa te la tu rile resp ectiv p ro p orio na le .

.MPAC

NPBC

MNAB

==

C riter iu l d e a sem n are U UD o u tr iung h iu ri sun t a sem ene a da c au c te d o u ung h iu ri resp ectiv co ng ruente .

B N; C P

;NPBC

MNAB

= B

N

PATRULATERUL CONVEX

TITLUL CONINUTULUI EXEMPLE, EXPLICAII1 Perimetrul i aria

patrulaterelor studiateARIA UNUI PARALELOGRAM hABinaltimeabazaA == sin= ADABA )(2 ADABP +=ARIA UNUI DREPTUNGHI lLA =

2sin2

=

dA

)(2 lLP +=ARIA UNUI PATRAT 2lA =

2

2dA =

lP 4=

ARIA UNUI ROMB

2

21 ddA

=

hlA = sin2 = lA lP 4=

ARIA UNUI TRAPEZ

2

)( hbBA +=

DACDBCABP +++= 2 Suma msurilor unghiurilor

unui patrulater convexSuma msurilor unghiurilor unui patrulater convex este egal cu 360.

3 Paralelogramul proprieti

Proprietati:1. Laturile opuse sunt congruente dou cte dou.

[AB] [CD]; [BC] [AD] .2. Unghiurile opuse sunt congruente, A C i B D;3. Unghiurile alturate sunt suplementare, m( A)+m( B)=1800 i m( B)+m( C)=1800;4. ntr-un paralelogram diagonalele se intersecteaz njumtindu-se, [OA] [OC]; [OB] [OD] .

4 Dreptunghiul proprieti particulare

Alte proprieti:1. Toate unghiurile sunt congruente i de 900.2. Diagonalele sunt congruente.

5 Ptratul proprieti particulare

Alte proprieti:1. Toate laturile sunt congruente;2. Toate unghiurile sunt congruente i de 900;3. Diagonalele sunt congruente;4. Diagonalele se intersecteaz perpendicular una pe cealalt;5. Diagonalele sunt i bisectoarele unghiurilor.

TITLUL CONINUTULUI EXEMPLE, EXPLICAII6 Rombul proprieti

particulareAlte proprieti:

1. Toate laturile sunt congruente;2. Diagonalele sunt perpendiculare;3. Diagonalele sunt i bisectoarele unghiurilor.

7 Trapezul linia mijlocie n trapez

Segmentul de dreapt care unete mijloacele laturilor neparalele se numete linie mijlocie.

2bBMN += i .BCMN

2bBPQ =

8 Trapeze particulare Trapez dreptunghic Trapez isoscel

ntr-un trapez isoscel, unghiurile alturate bazelor sunt congruente. ntr-un trapez isoscel diagonalele sunt congruente.

CERCUL

TITLUL CONINUTULUI EXEMPLE, EXPLICAII1 Cercul centrul raz,

diametru, disc Cercul este locul geometric al tuturor

punctelor dintr-un plan egal deprtate fa de un punct fix numit centrul cercului. O = centrul cercului; OC = raza cercului de lungime R; AB = diametrul cercului; BD = coard;

= arc de cerc;

= semicerc.2 Unghi la centru; unghi cu

vrful pe cerc Unghi cu vrful n centrul cercului

m( AOB) = m( ) Unghi cu vrful pe cerc

m( BCA) = m( ) / 2. Dac avem dou unghiuri congruente nscrise

ntr-un cerc, cu vrful n centrul cercului, acestea subntind ntre laturile lor, dou arce congruente.

TITLUL CONINUTULUI EXEMPLE, EXPLICAII3 Coarde i arce n cerc 1. Dac arcul AB este congruent cu arcul CD

atunci i [AB] [CD]. i reciproca este adevrat.2. Dac MC | | ND atunci arcul CD este congruent cu arcul MN.3. Dac ORCD atunci P este mijlocul lui [CD] i R este mijlocul arcului CD. O este centrul cercului; {P}=ORCD.4. Coarde egal deprtate de centru sunt congruente.

Dac OP=OQ atunci [CD] [AB].

4 Tangenta la cerc dintr-un punct exterior cercului

Fie punctul P exterior cercului; PA i respectiv PB sunt tangente la

cerc; OAPA; OBPB; [PA] [PB]; OP2 = OA2 + AP2

5 Lungimea cercului, aria discului

Lungimea cercului: dRL pipi == 2Aria discului (cercului): 2RA pi=

Lungimea arcului de cerc AC: 0180pi

=

RLACAria sectorului de cerc (OAC)

0

2

)( 360pi

=

RA OAC6 Calculul elementelor n

triunghiul echilateral 3Rl = ; 2Ra = ;

433 2RA = ;

432lA = ;

23lh = ; lP 3= .

7 Calculul elementelor n ptrat2Rl = ;

222 lRa == ;

22RA = ; 2lA = ;2ld = ; lP 4= .

8 Calculul elementelor n hexagonul regulat Rl = ;

23Ra = ;

233 2RA = ;

233 2lA = ; lP 6= .

CORPURI GEOMETRICE

TITLUL CONINUTULUI

EXEMPLE, EXPLICAII

1 Paralelipipedul dreptunghic

Descriere i desfurata corpului (la o scar mai mic)baza este un dreptunghi;a,b,c =dimensiunile paralelipipedului;d = diagonala

Formule:

paralelipipedului

A B C D A

B` C` D` A`

CD

C`D`

A`

Baza superioara

Baza inferioara

( )( )

2222

22

cbadabcV

acbcabAbcachPA

abA

t

bl

b

++=

=

++=

+==

=

2 Cubul Descriere i desfurata corpului (la o scar mai mic)toate feele (6) sunt ptrate;l = muchia cubului;d = diagonala cubului;are 12 muchii.

A B C D A

A` B` C` D` A`

D C

D` C`

Formule:

3

6

4

3

2

2

2

ld

lVlAlA

lA

t

l

b

=

=

=

=

=

3 Prisma triunghiular Descriere i desfurata corpului (la o scar mai mic)baza este un triunghi echilateral;l = latura bazei;h = nlimea prismei

Formule:

hAVAAA

hlhPA

lA

b

blt

bl

b

=

+=

==

=

23

432

4 Prisma patrulater Descriere i desfurata corpului (la o scar mai mic)baza este un ptrat;l = latura bazei;h = nlimea prismei;d = diagonala prismei

Formule:

222

2

2

24

lhdhAV

AAAhlhPA

lA

b

blt

bl

b

+=

=

+=

==

=

TITLUL CONINUTULUI

EXEMPLE, EXPLICAII

5 Piramida triunghiular Descriere i desfurata corpului (la o scar mai mic)baza este un triunghi echilateral;l = latura bazei;

Formule:

222

222

222

2

;

+=

+=

+=

lam

hAOm

aha

pl

l

bp

h = nlimea piramidei;ab = apotema bazei;ap = apotema piramidei;ml = muchia lateral;feele sunt triunghiuri isoscele.

3

2

432

hAV

AAA

aPA

lA

b

blt

pbl

b

=

+=

=

=

6 Tetraedrul regulat Descriere i desfurata corpului (la o scar mai mic)

Formule:

122

3

34

332

43

3

2

2

2

lhAV

lAAA

laPA

lA

b

blt

pbl

b

=

=

=+=

=

=

= toate feele

sunt triunghiuri echilaterale;

toate muchiile sunt congruente.

7 Piramida patrulater

222

222

222

2

;

+=

+=

+=

lam

hAOm

aha

pl

l

bp

Descriere i desfurata corpului (la o scar mai mic)baza este un ptrat;l = latura bazei;h = nlimea piramidei;ab = apotema bazei;ap = apotema piramidei;ml = muchia lateral;feele sunt triunghiuri isoscele.

Formule:

3

2

2

hAV

AAA

aPA

lA

b

blt

pbl

b

=

+=

=

=

120800568 Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9

Documents

Transcript of 120800568 Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9