Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9 Formule

download Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9 Formule

of 28

Transcript of Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9 Formule

  • 7/21/2019 Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9 Formule

    1/28

    MULIMITITLUL

    CONINUTULUI

    EXEMPLE, EXPLICAII

    1 Relaii ntre mulimiDac avem: }.5;2;3{}5;3;2{}5;!;3;2;1{ === CBA

    "#artenen : 2";

    $%alitate & : ' & (; Inclu)iune : '"

    2 *u+mulime Dac avem: }.5;3;2{}5;!;3;2;1{ == BA Mulimea ' e,te - ,u+mulime a mulimii " #entru c

    iecare element /in ' a#arine mulimii ".3 0#eraii cu mulimi Dac avem: }.5;3;2{}!;3;2;1{ == BA

    Reuniunea: }{ BxsauAxxBA = ; }5;!;3;2;1{= BA .

    Inter,ecia: }{ BxsiAxxBA = ; }3;2{=BA .Dierena: }{ BxsiAxxBA = ;

    }!;1{=BA .

    r-/u,ul carte)ian:

    }2{3 BysiAxyxBA = .

    ! Mulimi inite 4i mulimiininite

    Mulime init e,te mulimea cu un numr init /eelemente.

    $em#le /e mulimi inite: }.5;3;2{}!;3;2;1{ == BA Mulime ininit e,te mulimea cu un numr ininit /e

    elemente.$em#lu /e mulime ininit: ....}.16677;...;3;2;1;6{=N

    5 MulimileN, Z, Q, R, R\Q ....}.16677;...;3;2;1;6{=N ;...}.3;2;1;6;1;2;3{.... =Z

    == 1238 baZbZab

    aQ .

    R e,te mulimea numerel-r reale ce cu#rin/e t-ate cate%-riile/e numere inclu,iv cele ,cri,e ,u+ -rm /e ra/icali.

    perfectpatratestenuaaQR = numere irai-nale.9 RelaiaNZQR RQZN

    0rice numr natural e,te numr ntre%; 0rice numr ntre% e,te 4i un numr rai-nal; 0rice numr rai-nal e,te numr real.

  • 7/21/2019 Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9 Formule

    2/28

    $em#lu: .!1

    222 =

    +=+=

    *crierea numerel-r naturalen +a)a )ece

    De eem#lu un numr natural -rmat /in trei cire ,e ,crie n +a)a)ece a,tel: cbaabc ++= 16166

    r-#-)iii a/evrate 4i#r-#-)iii al,e

    $em#le /e #r-#-)iii: r-#-)iie a/evrat: 33:12 =+ < r-#-)iie al,: 233:12 =+ e-rema m#ririi cu re,t: . rrcd

  • 7/21/2019 Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9 Formule

    3/28

    53216

    32!22

    !

    ==

    entru a ala c.m.m./.c. ,e iau act-rii c-muni - ,in%ur/at cu #uterea cea mai mic 4i ,e nmule,c ntre ei:

    123216! 2 == . entru a ala c.m.m.m.c. ,e iau act-rii c-muni 4i nec-muni

    - ,in%ur /at cu #uterea cea mai mare 4i ,e nmule,c ntreei:

    2!6532D16!E 2! == .1 Divi)i+ilitatea n Z Divi)i+ilitatea n Ze,te a,emnt-are cu /ivi)i+ilitatea n N.

    =n Z: }!;2;1;1;2;!{! +++=D .

    TITLULCONINUTULUI

    EXEMPLE, EXPLICAII

    17

    Aracii ,u+unitareecFiunitare ,u#raunitare Aracii ,u+unitare . ba

    b

    a

    26

    "m#liicarea 4i,im#liicarea ractiil-r "m#liicarea .6

    = m

    mb

    ma

    b

    am

    *im#liicarea .6:

    :

    = mmb

    ma

    b

    a m

    21

    Aracii ire/ucti+ile Aracie ireductibile,te racia n care numrt-rul 4i numit-rul,unt numere #rime ntre ele. $em#lu /e -+inere a unei raciiire/ucti+ile #a, cu #a,:

    .3

    !

    7

    12

    1

    2!

    39

    ! 322

    ===

    22

    >ran,-rmri /e racii Aracii )ecimale inite

    166

    abcbca = .

    Aracii )ecimale #eri-/ice ,im#le77

    aabc

    bca = .

    Aracii )ecimale #eri-/ice mite776

    ababcd

    cdba = .

    $em#le:

    15

    32

    76

    172

    76

    21213312.

    3

    !

    7

    12

    7

    11331.

    !

    7

    166

    225252 ==

    ===

    ===

    0 racie -r/inar ,e #-ate tran,-rma ntrB- racie )ecimal #rinm#rirea numrt-rului la numit-rul raciei. $em#lu:

    .33:223

    22 ==

  • 7/21/2019 Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9 Formule

    4/28

    23

    (-m#ararea -r/-narea 4ire#re)entarea #e a anumerel-r reale

    (-m#ararea numerel-r rai-nale

    Dintre numerele9

    =a 4i5

    9=b mai mare ete numrul G.

    "/ucem numerele /ate la acela4i numit-r:36

    35

    9

    :5

    ==a 4i

    36

    39

    5

    99

    ==b . *e -+,erv c numrul mai mare e,te numrul b. *e

    #-ate , a/ucem numerele /ate 4i la acela4i numrat-r iar atunci

    c-m#arm numit-rii. (-m#ararea numerel-r reale /in care cel #uin unul e,te numr

    irai-nalDintre numerele :3=a 4i =b mai mare ete numrul G.Intr-/ucem act-rii ,u+ ra/ical 4i -+inem: 933 ==a 4i

    9!==b . *e -+,erv c numrul mai mare e,te numrul b.

    TITLUL

    CONINUTULUIEXEMPLE, EXPLICAII

    2!

    Hal-area a+,-lut a unuinumr real

    Hal-area a+,-lut a unui numr real:

    =

    6

    66

    6

    aa

    a

    aa

    a

    Hal-area a+,-lut a unui numr irai-nal Dac avem: ba cel #uin unul e,te irai-nal ba< atunci abba = . $em#lu: .3223 =

    25

    0#u,ul 4i inver,ul unuinumr real

    0#u,ul unui numr real: -#u,ul lui ae,te a.

    Inver,ul unui numr real: inver,ul lui ae,tea

    1.

    29

    artea ntrea% 4i #artearaci-nar a unui numrreal

    artea ntrea% 4i #artea raci-nar a unui numr real #-)itiv:

    !! e,te ntre ! 4i 5.artea ntrea% E!! & !.artea raci-nar {!!} & !! E!! & !! ! & 6!. artea ntrea% 4i #artea raci-nar a unui numr real ne%ativ:

    29 e,te ntre 3 4i 2.artea ntrea% E29 & 3.artea raci-nar {29} & 29 E29 & 29 3 & 6!.

    2 R-tunJirea 4i a#r-imareaunui numr real Met-/a /e a a#r-ima un numr real mai ale, cCn/ ace,ta e,te -racie )ecimal ,au un numr irai-nal e,te -l-,it la e,timri 4i

    eerciii /e c-m#arare. $em#lu: .....!:21357!26 = Dac ,Bar cere a#r-imarea cu /-u )ecimale #rin li#,

  • 7/21/2019 Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9 Formule

    5/28

    atunci am avea: !:!26 = . Dac ,Bar cere a#r-imarea cu /-u )ecimale cu a/a-, atunciam avea: !!26 = .

    2

    Intervale n R;re#re)entarea #e a

    Interval mr%init ncFi, la am+ele mar%ini: ;E ba

    Interval mr%init ncFi, la una /in mar%ini mar%ini: D; ba

    Interval mr%init /e,cFi, la am+ele mar%ini: ; ba

    Interval mr%init ncFi, ,au /e,cFi, la una /in mar%ini 4i nemr%init lacealalt: D; a

    Interval nemr%init la am+ele mar%ini: R=+ ;

    TITLUL

    CONINUTULUIEXEMPLE, EXPLICAII

    27

    R/cina #trat a unuinumr natural #trat

    #erect

    ba = /ac .2 ab =aa =2 /ac .6>a =n %eneral aa =2 .

    $em#lu: 1515225 2 == .36

    "l%-ritmul /e etra%ere ar/cinii #trate

    "4a/ar ra/ical /in 55225e,te e%al cu 235.

    * calculm r/cina #trat a lui 55225.De,#rim numrul n %ru#e /e cCte /-u cire /e la /rea#ta ,#re ,tCn%a.

    ?e ntre+m: care e,te cel mai mare numr al crui #trat e,te mai mic ,au e%al cu5."ce,ta e,te 2; l ,criem n /rea#ta ,u,;=l ri/icm la #trat -+inem ! 4iBl trecem ,u+ 5 alm re,tul ,c/erii 1.(-+-rCm %ru#ul /e urmt-arele 2 cire lCn% re,t.Du+lm #e 2 4i re)ultatul ! l trecem ,u+ 2.?e %Cn/im care cir #unem alturi /e ! 4i re)ultatul l nmulim cu cira alea,a,tel ncCt numrul /at , ,e cu#rin/ n 152.?e %Cn/im care cir #unem alturi /e ! 4i re)ultatul l nmulim cu cira alea,a,tel ncCt numrul /at , ,e cu#rin/ n 152.Re)ultatul iin/ 127 l trecem ,u+ 152 4i alm re,tul ,c/erii.(ira 3 - trecem la re)ultat alturi /e 2.

    (-+-rCm urmt-area %ru# /e cire #e 25 lCn% re,tul 23.(-+-rCm /u+lul lui 23 care e,te !9.?e %Cn/im care cir #unem alturi /e !9 numrul -rmat l nmulim cu acea ciriar re)ultatul , ie mai mic ,au e%al cu 2325."ce,ta #-ate i 5 4i acem calculele.>recem re)ultatul 2325 ,u+ numrul 2325 4i eectum ,c/erea.Re,tul iin/ )er- al%-ritmul ,Ba terminat cira 5 - trecm la re)ultat alturi /e 23.

    31

    *crierea unui numr real#-)itiv ca ra/ical /in#tratul ,u

    Dac avem atunci ace,t numr ,e #-ate ,crie 4i !7 2 == .

    Dac avem2

    5atunci ace,t numr ,e #-ate ,crie 4i

    !

    25

    2

    5

    2

    52

    2

    == .

    32

    Re%uli /e calcul cura/icali

    D-i ra/icali ,e #-t a/una ,au ,c/ea numai /ac ,unt la el< a/icavem termeni a,emenea:

    $em#lu: 53352!15525!5 ==+=+ . =nmulirea ra/icalil-r: baba = ; 36163 = .=m#rirea ra/icalil-r: baba :: = ; 39:1 = .

  • 7/21/2019 Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9 Formule

    6/28

    33

    *c-aterea 4i intr-/ucereaact-ril-r ,u+ ra/ical

    *c-aterea act-ril-r /e ,u+ ra/ical. re)entm una /in met-/elecele mai utili)ate la ,c-aterea act-ril-r /e ,u+ ra/ical. *e/e,c-m#une numrul /at n #r-/u, /e #uteri /e numere #rime K,e iau #erecFi /e numere #rime e%ale K /intrB- #erecFe va ie4i unact-r /e ,u+ ra/ical K act-rii ne#erecFe v-r rmCne ,u+ ra/ical

    K act-rii ie4ii ,au rma4i ,u+ ra/ical ,e nmule,c.$em#lu: 99323232219 33 ===

    Intr-/ucerea act-ril-r ,u+ ra/ical ,e +a)ea) #e -#eraiababa = . Dac avem 53 #entru a intr-/uce #e 3 ,u+

    ra/ical ,e ri/ic la #uterea 2 numrul 3 /u# care ,e nmule4tecu 5.

    !5575353 2 === .

    TITLUL

    CONINUTULUIEXEMPLE, EXPLICAII

    3!

    Rai-nali)area numit-ril-r Rai-nali)area numit-ril-r /e -rma ba .

    ab

    bm

    bba

    bm

    ba

    mb

    =

    =

    .

    !

    93

    12

    97

    92

    97

    992

    97

    92

    739

    ==

    =

    =

    Rai-nali)area numit-ril-r /e -rma cba + . =n #rimul rCn/c-nJu%atul numrului cba + e,te numrul cba . entru

    rai-nali)area numit-rului /e acea,t -rm racia ,e vaam#liica cu c-nJu%atul numit-rului.

    22

    cba

    cbam

    cbacba

    cbam

    cba

    mcba

    =

    +

    =

    +

    .

    2

    3516

    !

    35162

    1219

    31626

    32!

    31626

    32!32!

    32!5

    32!

    522

    32!

    +=

    +=

    +

    =

    =+

    =+

    +=

    +

    3

    5

    0#eraii cu numere reale Adunarea i scderea

    entru a eectua a/unarea ,au ,c/erea numerel-r rai-nale e,te nece,ara #arcur%e urmt-rii #a4i: *e tran,-rm raciile )ecimale n racii -r/inare; *e a/uc raciile la acela4i numit-r; *e eectuea) a/unarea,c/erea.$em#lu:

    .3

    1

    9

    3!

    9

    19715!2

    3

    2

    3

    2

    592

    2

    352

    2233

    9 ==+

    =+=+

    r!priet"ile adunrii$

    "/unarea e,te c-mutativ: a + b = b + a. "/unarea e,te a,-ciativ: a + b + c = (a + b) + c. $lementul neutru al a/unrii e,te 6: a + 0= a. entru -rice aei,t -#u,ul lui aa,tel ncCt: a + (-a) = 0.

  • 7/21/2019 Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9 Formule

    7/28

    nmulirea La nmulirea unui numr ntre% cu - racie ,e nmule,te numrul

    ntre% cu numrt-rul raciei numit-rul rmCnn/ ne,cFim+at; *e tran,-rm raciile )ecimale n racii -r/inare;La nmulirea a /-u racii -r/inare ,e nmule,c numrt-rii ntre ei 4i numit-rii ntre ei.$em#lu:

    a .31!

    1

    !

    1

    12

    1

    12

    9

    ==

    =

    + .!21

    !

    3

    91!

    9

    3

    1!

    99!

    21

    ==

    ==

    r!priet"ile nmul"irii$

    =nmultirea e,te c-mutativ: a b = b a; =nmultirea e,te a,-ciativ: a b c = (a b) c; $lementul neutru al nmulirii e,te 1: a = a; =nmulirea e,te /i,tri+utiv a /e a/unare ,au ,c/ere:

    a ( b + c ) = a b + ac

    TITLULCONINUTULUI

    EXEMPLE, EXPLICAII

    35

    0#eraii cu numere reale m!rireaLa m#rirea a /-u numere rai-nale ,e nmule4te #rimul numr cual /-ilea inver,at.$em#lu:

    .3

    26

    76

    966

    51

    2!25

    5

    2!

    1

    25

    2!

    5:

    1

    25 36

    ==

    ==

    %abelul nmul"irii semnel!r$

    F1 F2 P+ + +

    +

    +

    +

    %abelul mpr"irii semnel!r$

    D I C+ + +

    +

    +

    +

    Ridicarea la !u"ereuterea e,te - nmulire re#etatermenii /e -rma clun/e c numit coefcientultermenuluire#re)int un numr iar l partea literal a termenului e,te-rmat /in numere re#re)entate #rin litere eventual cu /iver4ie#-neni i numim termeni asemenea/ac #rile l-rliterale ,unt i/entice iar a/unarea l-r ,e nume4te reducereatermenilor asemenea.

    .xemple$

    1 erecFi /e termeni a,emenea: 22 52 xysixy ; 3232 !5 yxsiyx + .2 "/unarea: 222 2!523 xyxyxyxyxyxy =++ .

    3 =nmulirea: ( ) ( ) 3!22 2!!23 yxyxxyx = .

    ! =m#rirea: ( ) 2335! !:2 xyyxyx = .5 Ri/icarea la - #utere: ( ) 739332 2 )yxy)x = .9 Ri/icarea la - #utere cu e#-nent numr ne%ativ:

    22 +

    ++=

    ++

    ba

    dc

    dc

    ba

    2 A-rmulele /e calcul#re,curtat

    #$rmule u"ili%a"e&1 r-/u,ul /intre un numr 4i - ,um/ieren: ( ) acabcba =2 tratul unui +in-m: ( ) 222 2 bababa +=

    3 8tratul unui trin-m: ( ) ( )bcacabcbacba +++++=++ 22222

    ! r-/u,ul ,umei cu /ierena: ( ) ( ) 22 bababa =+5 r-/u,ul a /-u #arante)e: ( ) ( ) ( ) ( )nmbnmanmba +++=++

    .xemple$

    1 ( ) xxxx 9232 2 +=+ ;

  • 7/21/2019 Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9 Formule

    11/28

    2 ( ) 1!!12 22 ++=+ xxx ;

    3 ( ) 71216!32 23!22 ++++=++ xxxxxx ;! ( ) ( ) 2575353 2 =+ xxx ;5 ( ) ( ) 16352 2 =+ xxxx .

    3 De,c-m#unerea n act-ri #$rmule u"ili%a"e&1 *c-aterea act-rului c-mun: ( )cbaacab =2 Re,trCn%erea #tratului unui +in-m: ( )222 2 bababa =+

    3 Dierena /e #trate: ( ) ( )bababa += 22

    ! De,c-m#unerea unui trin-m /e -rma: nmxx ++2 ; /ac

    Zbambasinba =+= atunci: ( ) ( )bxaxnmxx ++=++2 .

    .xemple$

    1 ( )5352515 2 = xxxx ;2 ( ) 22 !3192!7 =+ xxx ;3 ( ) ( )yxyxyx += 22! 22 ;! ( ) ( )!3122 += xxxx .

    TITLUL

    CONINUTULUIEXEMPLE, EXPLICAII

    ! Ra#-arte /e numerere#re)entate #rin litere

    .xemple$

    3

    2x;

    5

    yx +;

    !

    72 x;

    2

    2

    x

    xcu c-n/iia ca 6numit!rul .

    5 "m#liicarea "m#liicareakn

    km

    n

    mk

    =

    ;

    .xemplu$!

    93

    22

    23

    2

    32

    22

    +=

    ++=

    +

    x

    xx

    xx

    xx

    x

    xx

    .

    9 *im#liicarea*im#liicarea

    kn

    km

    n

    m k

    :

    :

    = ;

    #entru a ,im#liica un ra#-rt /e a#t ,e caut c.m.m./.c. al termenil-rra#-rtului /at.

    .xemplu: * ,e ,im#liice ra#-rtul:!

    !!2

    2

    ++

    x

    xx; ,e /e,c-m#un n

    act-ri termenii ra#-rtului 4i /u# aceea ,e ,im#liic.( )

    ( ) ( ) 22

    22

    2

    !

    !! 22

    2

    2

    +=

    ++=

    ++

    +

    x

    x

    xx

    x

    x

    xxx

    .

    "/unarea ,au ,c/erea "/unarea ,au ,c/erea

    k

    p/kmnk

    /

    p

    n

    m /knk

    +=+

    ::::

    ;

    Un/e k e,te c.m.m.m.c. al lui n4i /,.xemplu:

    .22

    293

    22

    293

    22

    2

    2

    3

    !

    2

    2

    3 222

    2 ++

    =++

    =+

    ++

    =

    ++

    xx

    xx

    xx

    xx

    xxx

    x

    xx

    x x

    =nmulirea=nmulirea

    /n

    pm

    /

    p

    n

    m

    = ;

    .xemplu:7

    2

    33

    2

    3

    2

    3 2

    2

    +=

    ++=

    +

    + xxx

    xx

    xx

    x

    x

    x

    x.

  • 7/21/2019 Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9 Formule

    12/28

    7 =m#rirea=m#rirea

    pn

    /m

    p

    /

    n

    m

    /

    p

    n

    m

    ==: ;

    .xemplu:!2

    2

    122

    21

    22

    2

    2

    1

    2

    22:

    2

    1

    +

    =+

    =

    +

    =

    +

    x

    x

    xx

    xx

    x

    x

    x

    x

    x

    x

    x

    x.

    16

    Ri/icarea la #utereRi/icarea la #utere

    a

    aa

    n

    m

    n

    m=

    ;

    .xemplu:1211

    2

    2

    2

    22

    +

    =

    =

    xx

    x

    x

    x

    x

    x.

    11 Ri/icarea la #utere cue#-nent numr ne%ativ Ri/icarea la #utere a

    aa

    m

    n

    n

    m=

    ;

    .xemplu: 22

    2

    22 121

    1 x

    xx

    x

    x

    x

    x +==

    .

    AU?(II

    TITLUL

    CONINUTULUIEXEMPLE, EXPLICAII

    1 ?-iunea /e uncie Daca iecrui element /in mulimea " i c-re,#un/e un element /inmulimea ' ,#unem c e,te /einit - uncie #e " cu val-ri n '.

    *e n-tea): .: BAf " & /-meniul /e /einitie ' & c-/-meniul unctiei.

    .xemplu$ { } 33;2;1;6;2: += xxfRf2 Auncii /einite #e

    mulimi initee#rimate #rin/ia%rame ta+ele-rmule %raic

    ' B1 6 2 3 5

    1 2 ! 5

    '! "'+ 2

    3 Auncii /e ti#ul

    f$AR f0x1 2 ax +bun/eAe,te uninterval /e numerereale

    .xemplu$

    * ,e c-n,truia,c %raicul uncieif:EB2;!R, 23 += xxf ;entru ;22922 =+== Afx ;entru 16;!16212!! =+== Bfx ;Oraicul unciei e,te un ,e%ment /e /rea#t ce une4te

  • 7/21/2019 Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9 Formule

    13/28

    #uncteleA4iB ncFi, nA4i /e,cFi, nB.8 Dac mulimeaAe,te un interval /e numeremr%init la - etrem 4i nemr%init la cealaltetrem atunci %raicul unciei e,te - ,emi/rea#tcu -ri%inea n etrema mr%init a intervalului.

    ! Aunctii /e ti#ulf$RR f0x1 2 ax +b

    *'em!lu&*a ,e c-n,truia,c %raicul unciei f$RR,

    11

    1

    11

    12 =

    xxf ;

    entru 5;9511

    55

    11

    1

    11

    299 Afx ==== ;

    entru

    ;511

    11

    1

    11

    9655 ==== Bfx

    Oraicul unciei e,te - /rea#t ce trece #rin #uncteleA4iB.

    $(U"II I?$(U"II *I*>$M$ D$ $(U"II

    TITLULCONINUTULUI

    EXEMPLE, EXPLICAII

    1 $cuaii /e -rma6=+ bax

    .8 RbRa

    r-#-)iia cu - varia+il /e -rma ax + b& 6 ,e nume4te ecuaie cu -necun-,cut un/e a4i b,unt numere reale.

    =ntrB- ecuaie avem /re#tul< /e a trece termeni /intrBun mem+ru n altmem+ru cu ,emnul ,cFim+at.

    =ntrB- ecuaie avem /re#tul< /e nmulim#ri e%alitatea cu un numr/ierit /e )er-. r-ce/eul e,te utili)at #entru eliminarea numit-ril-r 4ila inal alarea necun-,cutei.

    .xemplu$ 2233 +=+ xx 3223 =xx

    ( ) ( )2323 =x

    123

    23=

    =x .

    2 $cuaii ecFivalente D-u ecuaii ,unt ecFivalente /ac au aceea4i ,-luie. 'a)Cn/uB,e #e #r-#rietile e%alitatii ,e #-t -+ine ecuaii ecFivalente

    #-rnin/ /e la - ecuaiei /at..xemplu$ Aie ecuaia ;6!2 =x

    a a/unm la am+ii mem+ri ai ecuaiei numrul 5:512

    ;565!2=+

    +=+xx

    + nmulim ecuaia t-i termeni cu 3:1539

    3512=+

    =+xx

    3 Inecuaii /e -rma6 >

  • 7/21/2019 Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9 Formule

    14/28

    sensul ine(alit"i se sc4imb,

    .xemplu$ 9215

  • 7/21/2019 Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9 Formule

    15/28

    "vem ecuaia: !65

    2

    3++= xxx #e care - re)-lvm:

    15!65

    2

    3

    15

    35

    15 ++= xx

    x 9669515 ++= xxx

    9669515 = xxx 966! = x kmx 156!

    966 == e,te lun%imea t-tal

    a /rumului.

    *'em!lul (inecuaie)& * ,e %a,ea,c trei numere naturale c-n,ecutive acr-r ,um e,te mai mic /ecCt 19.

    Re)!l-are$ *ta+ilim necun-,cuta #rinci#al K numrul cel mai mic #e care l 4in-tm cux;(elelalte /-u numere v-r ix 1 4ix 2 inecuaia: 1921

  • 7/21/2019 Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9 Formule

    16/28

    $EOMET%IE

    MQ*UR"R$ I MQ*URITITLUL CONINUTULUI EXEMPLE, EXPLICAII

    1 Lun%ime Unitatea /e m,ur a lun%imii e,te metrul 5 m. Multi#lii metrului B m: mdam 161 = . mdam4m 166161 == . mdam4mkm 1666166161 === . km4mdamm 6616616161 === .

    *u+multi#lii metrului: mmcmdmm 1666166161 === . mmcmmdm 16616161 === . mmdmmcm 16166161 === . cmdmmmm 1661666161 === .

    2 "rie Unitatea /e m,ur a ariei e,te metrul ptrat 5 m6. Multi#lii metrului #trat K m6: 22 1661 mdam = . 222 166661661 mdam4m == . 2222 1666666166661661 mdam4mkm === . 2222 6666616666166161 km4mdamm === .

    *u+multi#lii metrului #trat K m6: 2222 1666666166661661 mmcmdmm === . 2222 166661666161 mmcmmdm === . 2222 166616666161 mmdmmcm === . 2222 6166661666666161 cmdmmmm === .

    "lte uniti /e m,ur a ariei: 2166661 m4a= . ari4amar 1661;1661 2 == .

    3 H-lum Unitatea /e m,ur a v-lumului e,te metrul cub 5 m7. Multi#lii metrului cu+ K m7: 33 16661 mdam = .

  • 7/21/2019 Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9 Formule

    17/28

    333 166666616661 mdam4m == . 3739333 1616161 mdam4mkm === . 3739333 1616161 km4mdamm === .

    *u+multi#lii metrului cu+ K m7: 3333 1666666666166666616661 mmcmdmm === . 3333 1666666166666161 mmcmmdm === . 3333 16666661666666161 mmdmmcm === . 3339373 1616161 cmdmmmm

    ===.

    Unitatea /e m,ur a v-lumului K litrul. 311 dml= . ldmm 166616661 33 == . mlcll 16661661 == . .1661;161 l4lldal ==

    ! Un%Fi Unitatea /e m,ur a m,urii unui un%Fi e,te metrul 5 (radulsexa(esimal.

    SSS6 3966961 == . SSS 961 = .

    AIOURI I (0R1URI O$0M$>RI($

    TITLUL

    CONINUTULUI

    EXEMPLE, EXPLICAII

    1 unctul /rea#ta #lanul,emi#lanul ,emi/rea#ta,e%mentul /e /rea#tun%Fiul

    Pu&c'ule,te i%ura %e-metric ce ,e a,eamn cu - urm l,at /e uncrei-n;

    unctul nu are /imen,iune; unctele ,e n-tea) cu litere mari /e ti#ar: " ' (.. "1 "2G

    D(e)p')e,te i%ura %e-metric ce ,e a,eamn cu un ir -arte ,u+ire#erect ntin,; Drea#ta are - ,in%ur /imen,iune B lun%imea; Dre#tele ,e n-tea) a,tel: "' '( G d d8 d6 G

    Pl)&ule,te i%ura %e-metric ce ,e a,eamn cu - #Cn) -arte ,u+ire#erect ntin,;

    lanul are /-u /imen,iuni K lun%imea 4i limea; lanele ,e n-tea) a,tel: "'( ,au , , ,G

    *empl)&ulK - /rea#t inclu, ntrBun #lan m#arte #lanul /at n /-u,emi#lane.

    *em(e)p')K e,te /rea#ta mr%init la un ca#t.

    *e-me&'ul e (e)p'K e,te /rea#ta mr%init la am+ele ca#ete.

  • 7/21/2019 Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9 Formule

    18/28

    U&-/ulK e,te i%ura %e-metric -rmat /e /-u ,emi/re#te cu-ri%inea c-mun.

    2 -)iii relative a /-u/re#te n ,#aiu

    .xplicatii$a /re#te i/entice;

    + /re#te c-ncurente{ }&dd = 21 ;

    c /re#te #aralele = 21 dd 4i c-#lanare;

    / /re#te -arecare = 21 dd4i nec-#lanare;

    TITLUL

    CONINUTULUI

    EXEMPLE, EXPLICAII

    3 Relaia /e #araleli,m n,#aiu

    e /ac a||b 4i b||c atunci 4i a||c,

    ! Relaia /e #er#en/icularitate Dac /re#tele a4i b,unt#er#en/iculare #e acela4i #lanatunci ace,te /re#te ,unt #aralele

    ntre ele..;; baba

    5 "i-ma #aralelel-r9 Un%Fiurile cu laturile

    re,#ective #aralele.xplica"ii$

    (a)ul I un%Fiurile ,untc-n%ruente;(a)ul II K un%Fiurile ,unt,u#lementare.

    Un%Fiul a /-u /re#te n

    ,#aiu; /re#te #er#en/iculare

    .xplica"ii$

    Dac avem /re#tele a4i bnec-#lanare 4ie,te nece,ar , %a,im un%Fiul /intre ele

    #r-ce/m a,tel: cutm - /rea#t #aralel cu una /intre

    ele 4i care are un #unct c-mun cu cealalt/e e. b||c;

    Un%Fiul #e care l -rmea) /rea#ta ccu/rea#ta ae,te 4i un%Fiul /intre /e#tele a4i b un%Fiul /e m,ura .

    Drea#ta #er#en/icular #eun #lan

    .xplica"ii$

    Dac /re#tele a4i b 4i bdsiad atunci 4i .d/e$rem&0 /rea#t #er#en/icular #e un

    #lan e,te #er#en/icular #e -rice

  • 7/21/2019 Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9 Formule

    19/28

    /rea#t inclu, n #lanul /at.7 Di,tana /e la un #unct la un

    #lan.xplica"ii$

    /i,tana /e la un #unct la un #lan e,te/rumul cel mai ,curt< /e la acel #unct la

    #lanul /at; /i,tana /e la un #unct la un #lan e,te

    lun%imea ,e%mentului /e /rea#t#er#en/icular #e #lanul /at;

    T & /i,tana /e la #unctul la #lanul /ac T.

    entru a,ta e,te nece,ar:

    bbQ

    aaQ

    16

    >e-rema cel-r trei#er#en/iculare

    AB

    bB

    b

    bMBbAB

    a

    TITLUL

    CONINUTULUI

    EXEMPLE, EXPLICAII

    11 r-iecii /e #uncte /e,e%mente /e /rea#t 4i/e /re#te #e un #lan

    .xplicatii$

    r-iecia unui #unct #e un #lan e,te un #unct. DacAA9A9e,te#r-iecia luiA#e #lanul .

    r-iecia unui ,e%ment /e /rea#t #e un #lan e,te un ,e%ment /e /rea#t.DacAABBA9B9e,te #r-iecia luiAB#e #lanul .

    r-iecia unei /re#te #e un #lan e,te - /rea#t. DacAA9BB9A9B9e,te #r-iecia luiAB#e #lanul .

    12 Un%Fiul /intre -/rea#t 4i un #lan;lun%imea #r-iecieiunui ,e%ment

    .xemplu 3 aplica"ie$

    Drea#taABnu e,te #aralel cu #lanul .BC.

    Un%Fiul /intre /rea#taAB4i #lanul /at e,te un%FiulBAC/e m,ura . DacBC& 9cm 4iAC& cm

    atunci: .!

    3

    9 ===AC

    BCt(

    13 Un%Fi /ie/ru; un%Fiul#lan c-re,#un)t-r/ie/rului

    .xplica"ii$

    dialplanun(4iulabm

    ==

    ;;;

    1! lane #er#en/iculare.xplicatii$ Dac :

    =

    b

    b

    a

    *au: D-u #lane ,unt!er!endiculare/acm,ura un%Fiului #lan al /ie/rului cel-r /-u

    #lane e,te /e 766.

  • 7/21/2019 Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9 Formule

    20/28

    15 *imetria a /e un#unct n #lan; ,imetriaa /e - /rea#t n

    #lan

    unctulBe,te ,imetricul lui " a /e #unctul&/acA& B,unt c-liniare 4iA&2&B:

    unctulBe,te ,imetricul luiAa /e /rea#taa/acA & B,unt c-liniareABa4i

    A&2&B,

    19 (alculul /i,tanei /e laun #unct la - /rea#t

    .xemplu 3

    aplica"ie$

    AieABCA9B9C - #ri,m triun%Fiular re%ulat /rea#tcu mucFia +a)ei /e 9 cm 4i nlimea /e cm. * ,eale /i,tana /e la #unctulA9la /rea#taBC,

    Re)!l-are:ADBC;AA9ABCA9DBC.

    .71U719!2UU

    .332

    39

    2

    3

    222 cmDAAAADDA

    lAD

    ==+=+=

    ===

    1 (alculul /i,tanei /e laun #unct la un #lan

    .xemplu 3 aplica"ie$

    Aie ;ABC- #irami/ triun%Fiular re%ulat /rea#t cu "' & 12 cm 4inlimea ;&& 92 cm. *e cere , ,e ale /i,tana /e la #unctul &la #lanul;BC.

    Re)!l-are$

    [ ] U;;

    U;U;

    &unde&;A&d;BC&d

    BC;ABC&AABC;&

    ==

    .939122!UU;329

    312

    9

    3U 22 ==+=+==== &A;&;A

    l&A

    .229

    212

    9

    3292

    U

    Ucm

    ;A

    &A;&& ====

    TITLUL

    CONINUTULUI

    EXEMPLE, EXPLICAII

    1

    Un%Fiul /intre /-u#lane

    .xemplu 3 aplica"ie$

    Aie ;ABCD- #irami/ #atrulater re%ulat /rea#t cuAB& 1cm 4i nlimea;&& 12 cm. *e cere , ,e ale ,inu,ul un%Fiului /intre #lanele ABC 4i;BC.

    Re)!l-are$

    int

    ;;;

    ABCplaneleredun(4iuleste

    BC;BC&ABC;&

    =

    ;72

    1

    2 === AB

    & .152251!!122 ==+=+= ;&&;

    .5

    !

    15

    12,in

    3

    ===;

    ;&

    >RIU?OVIULTITLUL

    CONINUTULUI

    EXEMPLE, EXPLICAII

  • 7/21/2019 Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9 Formule

    21/28

    1 erimetrul 4i aria erimetrul ;cba ++=

    *emi#erimetrul2

    cbap

    ++= ;

    "ria 2

    ,in

    2cpbpapp

    Bca4aA a =

    == ;

    "ria unui triun%Fi /re#tun%Fic2

    catetcatetA

    = ;

    "ria unui triun%Fi ecFilateral !32l

    A = .

    2 *uma m,uril-run%Fiuril-r ntrBuntriun%Fi

    *uma m,uril-r un%Fiuril-r ntrBun triun%Fi e,te e%al cu 16. =ntrBun triun%Fi /re#tun%Fi un%Fiurile a,cuite ,unt c-m#lementare.

    3 Un%Fi eteri-r unuitriun%Fi

    m ACD & m ABC m BAC. m ACD & 16m BCA

    ! Linii im#-rtante n

    triun%Fi

    Me/iana

    Me/iana e,te,e%mentul /e/rea#t ceune4te vCrulunui triun%Fi cu

    miJl-cul laturii-#u,e.unctul /einter,ecie alme/ianel-r ,enume4te centrul/e %reutate.

    Me/iat-area

    Me/iat-area e,te/rea#ta

    #er#en/icular #emiJl-cul uneilaturi.

    unctul /einter,ecie alme/iat-arel-r ,enume4te centrulcerculuicircum,cri,triun%Fiului.

    'i,ect-area

    'i,ect-area e,te,emi/rea#ta cem#arte un%Fiul n/-u un%Fiuria/iacentec-n%ruente.unctul /einter,ecie al

    +i,ect-arel-r ,enume4te centrulcercului n,cri,triun%Fiului.

    =nlimea

    =nlimea e,te#er#en/iculara/u, /in vCrulunui triun%Fi #elatura -#u,.

    unctul /einter,ecie alnlimil-r ,enume4te-rt-centrultriun%Fiului.

    >RIU?OVIUL

    TITLULCONINUTULUI

    EXEMPLE, EXPLICAII

    5 Linia miJl-cie ntriun%Fi

    *e%mentul /e /rea#t ce une4te miJl-acele a /-ulaturi a unui triun%Fi ,e nume4te linia miriun%Fiul i,-,cel K#r-#rieti

    >riun%Fiul i,-,cel e,te triun%Fiul care are /-u laturi c-n%ruente.DEDE ACAB

    =ntrBun triun%Fi i,-,cel un%Fiurile /e la +a) ,unt c-n%ruente.CB

    =ntrBun triun%Fi i,-,cel +i,ect-area un%Fiului /e la vCr e,te 4i me/ian4i nlime 4i me/iat-are.

    =ntrBun triun%Fi i,-,cel me/ianele nlimile ,au +i,ect-arelec-re,#un)t-are laturil-r c-n%ruente ,unt c-n%ruente.

  • 7/21/2019 Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9 Formule

    22/28

    >riun%FiulecFilateral K

    #r-#rieti

    >riun%Fiul ecFilateral e,te triun%Fiul care are t-atecele trei laturi c-n%ruente. DEDEDE BCACAB .

    =ntrBun triun%Fi ecFilateral t-ate un%Fiurile ,untc-n%ruente 4i iecare are m,ura e%al cu 96

    CBA . =ntrBun triun%Fi ecFilaterat +i,ect-area -ricrui un%Fi

    e,te 4i me/ian 4i nlime 4i me/iat-are. (riteriile /e

    c-n%ruen atriun%Fiuril-r

    (riteriul /e c-n%ruen

    LUL

    Dac

    =

    =

    UU

    UUU

    UU

    CBBC

    CBAABC

    BAAB

    "tunciUUU CBAABC

    (riteriul /e c-n%ruen

    ULU

    Dac

    =

    UUU

    UU

    UUU

    ACBBCA

    CBBC

    CBAABC

    "tunciUUU CBAABC

    (riteriul /e c-n%ruen

    LLL

    Dac

    =

    =

    UU

    UU

    UU

    CAAC

    CBBC

    BAAB

    "tunciUUU CBAABC

    7 >riun%Fiul/re#tun%Fic K relaiimetrice

    >e-rema nlimii "D2& 'DD(>e-rema catetei "'2& 'D'(>e-rema catetei "(2& D('(>e-rema lui ita%-ra "'2I "(2& '(2

    16 Relaiitri%-n-metrice

    00 0 300

    4&

    2

    1

    2

    2

    2

    3

    c54

    2

    3

    2

    2

    2

    1

    '-

    3

    31 3

    c'-3 1

    3

    3

    ip!tenu)

    !puscateta=,in 6ip!tenu)

    alaturatcateta=c-,

    alaturatcateta

    !puscatetat( = 6

    !puscateta

    alaturatcatetact( =

    1c-,,in 22 =+

    TITLUL

    CONINUTULUI

    EXEMPLE, EXPLICAII

    11 >e-rema lui >Fale,4i reci#r-ca ei

    Te5(em). & paralel dus la ! latur ntr=un triun(4idetermin pe celelalte d!u 0sau pe prelun(irile l!r1

    se(mente pr!p!r"i!nale,

    NC

    AN

    MB

    AM=

    %ecp(5c).Dac punctele M *i N determin pe cele

    d!u laturi ale triun(4iului ABC se(mente

    pr!p!r"i!nale atunci MN este paralel cu BC,

  • 7/21/2019 Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9 Formule

    23/28

    12 >e-remaun/amental aa,emnrii

    Te5(em). & paralel dus la ! latur ntr=un triun(4i

    f!rmea) cu celelalte d!u 0sau cu prelun(irile l!r1 un

    triun(4i asemenea cu cel dat,

    .AC

    AN

    BC

    MN

    AB

    AM==

    13 (riteriile /ea,emnare a

    triun%Fiuril-r

    C(+'e(+ul ,e )4em.&)(e

    LUL

    Doutriunghiurisunt asemeneadacau cte doulaturi respectivproporionale iunghiurile cuprinsentre elecongruente.

    ;N

    BC

    MN

    AB = 0

    N

    C(+'e(+ul ,e )4em.&)(e LLL

    Doua triunghiuri sunt

    asemenea dacau toatelaturile respectivproporionale.

    .M

    AC

    N

    BC

    MN

    AB==

    C(+'e(+ul ,e )4em.&)(e UU

    Doutriunghiuri sunt

    asemenea dacaucte douunghiurirespectiv congruente.

    7 N6 C P

    1">RUL">$RUL (0?H$W

    TITLUL CONINUTULUI EXEMPLE, EXPLICAII1 erimetrul 4i aria

    #atrulaterel-r ,tu/iateAR>A ?N?> ARA@.@&RAM 4ABinaltimeaba)aA == ,in= ADABA 2 ADAB +=

  • 7/21/2019 Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9 Formule

    24/28

    AR>A ?N?> DR.%?N>

    l@A =

    2

    ,in2 =d

    A

    2 l@ +=AR>A ?N?> A%RA%

    2lA=

    2

    2dA=

    l !=AR>A ?N?> R&MB

    2

    21 ddA

    =

    4lA = ,in2=lA l !=

    AR>A ?N?> %RA.Z

    2 4bBA +=

    DACDBCAB +++=

    2 *uma m,uril-r un%Fiuril-runui #atrulater c-nve

    *uma m,uril-r un%Fiuril-r unui #atrulater c-nve e,tee%al cu 396.

    3 aralel-%ramul K #r-#rieti

    r!prietati$

    1. Laturile -#u,e ,unt c-n%ruente /-u cCte /-u. EABECD; EBCEAD .2. Un%Fiurile -#u,e ,unt c-n%ruente A C4i B D;3. Un%Fiurile alturate ,unt ,u#lementare m Am B&1664i

    m Bm C&166;!. =ntrBun #aralel-%ram /ia%-nalele ,e inter,ectea)

    nJumtin/uB,e E&AE&C; E&BE&D .! Dre#tun%Fiul K #r-#rieti

    #articulareAlte pr!priet"i$

    1. >-ate un%Fiurile ,unt c-n%ruente 4i /e 766.2. Dia%-nalele ,unt c-n%ruente.

    5 tratul K #r-#rieti#articulare

    Alte pr!priet"i$

    1. >-ate laturile ,unt c-n%ruente;

    2. >-ate un%Fiurile ,unt c-n%ruente 4i /e 766

    ;3. Dia%-nalele ,unt c-n%ruente;!. Dia%-nalele ,e inter,ectea) #er#en/icular

    una #e cealalt;5. Dia%-nalele ,unt 4i +i,ect-arele un%Fiuril-r.

    TITLUL CONINUTULUI EXEMPLE, EXPLICAII

  • 7/21/2019 Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9 Formule

    25/28

    9 R-m+ul K #r-#rieti#articulare

    Alte pr!priet"i$

    1. >-ate laturile ,unt c-n%ruente;2. Dia%-nalele ,unt #er#en/iculare;3. Dia%-nalele ,unt 4i +i,ect-arele un%Fiuril-r.

    >ra#e)ul K linia miJl-cie ntra#e)

    e(mentul de dreapt care une*te

    mi

  • 7/21/2019 Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9 Formule

    26/28

    3 (-ar/e 4i arce n cerc 1. Dac arculABe,te c-n%ruent cu arcul CDatunci 4i EABECD. i reci#r-ca e,tea/evrat.

    2. DacMC||NDatunci arcul CDe,tec-n%ruent cu arculMN.

    3. Dac &RCDatuncie,te miJl-cul lui ECD4iRe,te miJl-cul arcului CD, &e,te centrulcercului; {}&&RCD.

    !. (-ar/e e%al /e#rtate /e centru ,untc-n%ruente.

    Dac &&&Qatunci ECDEAB.! >an%enta la cerc /intrBun

    #unct eteri-r cercului Aie #unctuleteri-r cercului; A4i re,#ectivB,unt tan%ente la

    cerc; &AA; &BB; EA EB; &2& &A2A2

    5 Lun%imea cercului aria/i,cului

    Lun%imea cercului: dR@ ==2"ria /i,cului cercului: 2RA =

    Lun%imea arcului /e cerc "(: 616

    = R

    @AC

    "ria ,ect-rului /e cerc 0"(

    6

    2

    396

    = R

    A &AC

    9 (alculul elementel-r ntriun%Fiul ecFilateral 3Rl= 6 2

    Ra= 6

    !

    332

    RA= 6

    !

    32l

    A = 6

    2

    3l4= 6 l 3= .

    (alculul elementel-r n #trat2Rl= 6

    22

    2 lRa == 6

    22RA= 6 2lA= 62ld= 6 l != .

    (alculul elementel-r nFea%-nul re%ulat Rl= 6 2

    3Ra = 6

    2

    332

    RA= 6

    2

    33 2lA = 6

    l 9= .

    (0R1URI O$0M$>RI($

    TITLUL

    CONINUTULUI

    EXEMPLE, EXPLICAII

    1 araleli#i#e/ul/re#tun%Fic

    De,criere 4i /e,4urata c-r#uluila - ,car mai mic

    Formule:

  • 7/21/2019 Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9 Formule

    27/28

    +a)a e,te un /re#tun%Fi;abc&dimensiunile

    paralelipipedului;d& /ia%-nala

    #araleli#i#e/ului

    ( )

    ( )

    2222

    2

    2

    cbad

    abc;

    acbcabA

    bcac4A

    abA

    t

    bl

    b

    ++=

    =++=+==

    =

    2 (u+ul De,criere 4i /e,4urata c-r#uluila - ,car mai mict-ate eele 9 ,unt #trate;l& mucFia cu+ului;d& /ia%-nala cu+ului;are 12 mucFii.

    Formule:

    3

    9

    !

    3

    2

    2

    2

    ld

    l;

    lA

    lA

    lA

    t

    l

    b

    =

    =

    =

    =

    =

    3 ri,ma triun%Fiular De,criere 4i /e,4urata c-r#uluila - ,car mai mic+a)a e,te un triun%FiecFilateral;l& latura +a)ei;4& nlimea #ri,mei

    Formule:

    4A;

    AAA

    4l4A

    lA

    b

    blt

    bl

    b

    =

    +===

    =

    2

    3

    !

    32

    ! ri,ma #atrulater De,criere 4i /e,4urata c-r#uluila - ,car mai mic+a)a e,te un #trat;l& latura +a)ei;

    4& nlimea #ri,mei;d& /ia%-nala #ri,mei

    Formule:

    222

    2

    2

    2

    !

    l4d

    4A;AAA

    4l4A

    lA

    b

    blt

    bl

    b

    +=

    = +=

    ===

    TITLUL

    CONINUTULUI

    EXEMPLE, EXPLICAII

    5 irami/a triun%Fiular De,criere 4i /e,4urata c-r#uluila - ,car mai mic

    Formule:

  • 7/21/2019 Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9 Formule

    28/28

    2

    22

    222

    222

    2

    ;

    +=

    +=

    +=

    lam

    4A&m

    a4a

    pl

    l

    bp

    +a)a e,te un triun%FiecFilateral;l& latura +a)ei;4& nlimea #irami/ei;ab& a#-tema +a)ei;ap& a#-tema #irami/ei;ml& mucFia lateral;eele ,unt triun%Fiurii,-,cele.

    3

    2

    !

    32

    4A;

    AAA

    aA

    lA

    b

    blt

    pb

    l

    b

    =

    +=

    =

    =

    9 >etrae/rul re%ulat De,criere 4i /e,4urata c-r#uluila - ,car mai mic

    Formule:

    12

    2

    3

    3!

    33

    2

    !

    3

    3

    2

    2

    2

    l4A;

    lAAA

    laA

    lA

    b

    blt

    pb

    l

    b

    =

    =

    =+=

    =

    =

    = t-ate eele

    ,unttriun%FiuriecFilaterale;

    t-atemucFiile,untc-n%ruente.

    irami/a #atrulater

    2

    22

    222

    222

    2

    ;

    +=

    +=

    +=

    lam

    4A&m

    a4a

    pl

    l

    bp

    De,criere 4i /e,4urata c-r#uluila - ,car mai mic

    +a)a e,te un #trat;l& latura +a)ei;4& nlimea #irami/ei;ab& a#-tema +a)ei;ap& a#-tema #irami/ei;ml& mucFia lateral;eele ,unt triun%Fiurii,-,cele.

    Formule:

    3

    2

    2

    4A;

    AAA

    aA

    lA

    b

    blt

    pb

    l

    b

    =

    +=

    =

    =