Prof. univ. Titus Petrila Prof. Sonia Petrila Complemente de matematici pentru studeni economiti Universitatea de Vest Vasile Goldi Arad2 Refereni tiinifici Prof.univ.dr. Grigore Slgean, Universitatea Babe-Bolyai, Cluj-Napoca Prof.univ.dr. Damian Trif, Universitatea Babe-Bolyai, Cluj-Napoca 3 Cuvnt nainte Complementedematematicipentrustudeniieconomitiesteo sintezacursuluiinutpentrustudeniianuluiIdelaFacultateadetiine Economice a Universitii de Vest Vasile Goldi din Arad. Acestcurscautsajuteproaspeiistudenieconomitinrefacerea bazelorladisciplinamatematic,problemcucareseconfruntmarea majoritate a studenilor anului I. Este meritul de necontestat al Universitii Vasile Goldi pentru c a introdus acest curs, iniial opional iar n prezent obligatoriu, ceea ce permite mbuntirea cert a performanelor studenilor economitinabordareaMatematiciloreconomice,Statisticii economice, Teoriei grafelor, etc. Cursul caut s prezinte succint noiunile centrale de algebr linear (matrici,determinani,sistemedeecuaiialgerice)precumiceledecalcul diferenialiintegral.Nuseinsistpedemonstraiarezultatelornesen se dau doar cele mai fundamentale noiuni, dar se caut fixarea cunotinelor printr-o bogat exemplificare. Suntprezenteinoiuniledematematicisuperioare(integrale generalizate, ecuaii difereniale i funcii de mai multe variabile) precum i aplicaii(modele)simpledineconomiefundamentatematematic(modelul Leontieff, modelul Cobb-Douglas, funciidecost,venitiprofit, etc.)totul n ideia optimizrii unor performane economice. Suntemconvinicacestcursvafiuninstrumentutilnmna studenilor economiti dar i a tuturor celor interesai n utilizarea metodelor matematice n economie. Decembrie 2009 Autorii 4 5 Cuprins 1.ELEMENTE DE ALGEBR LINEAR. MATRICI, DETERMINANI, SISTEME ALGEBRICE DE ECUAII LINEARE......................................................... 7 1.1.PERMUTRI ......................................................................................................... 7 1.2.MATRICI PTRATICE............................................................................................ 8 1.3.DETERMINANI ................................................................................................... 8 1.4.REGULA LUI LAPLACE....................................................................................... 10 1.5.RANGUL UNEI MATRICI...................................................................................... 14 1.6.SISTEME DE ECUAII ALGEBRICE LINEARE......................................................... 16 1.7.REZOLVAREA SISTEMELOR ALGEBRICE LINEARE COMPATIBILE DETERMINATE . 18 1.8.SISTEME ALGEBRICE LINEARE OMOGENE........................................................... 20 1.9.METODA ELIMINRII SUCCESIVE A NECUNOSCUTELOR (METODA LUI GAUSS) .. 21 1.10.O APLICAIE N ECONOMIE: MODELUL DE PRODUCIE A LUI LEONTIEFF ........... 24 2.NOIUNI DE CALCUL DIFERENIAL............................................................. 27 2.1.IRURI ............................................................................................................... 30 2.2.SERII DE PUTERI................................................................................................. 34 2.3.LIMITA DE FUNCII ............................................................................................ 36 2.4.CONTINUITATEA................................................................................................ 38 2.5.DERIVABILITATEA............................................................................................. 39 2.5.1.Derivate de ordin superior........................................................................... 42 2.6.REGULA LUI LHOSPITAL................................................................................... 44 2.7.STUDIUL FUNCIILOR DE O VARIABIL CU AJUTORUL DERIVATELOR. MONOTONIE I CONCAVITATE. EXTREME ............................................................................................ 45 2.8.REPREZENTAREA GRAFIC A FUNCIILOR ......................................................... 50 2.9.APLICAII N ECONOMIE .................................................................................... 54 3.ELEMENTE DE COMBINATORIC.................................................................. 59 4.NOIUNI DE CALCUL INTEGRAL.................................................................... 62 4.1.INTEGRALA NEDEFINIT.................................................................................... 62 4.1.1.Metoda integrrii prin pri......................................................................... 63 4.1.2.Metoda substituiei....................................................................................... 64 4.1.3.Integrarea funciilor raionale..................................................................... 64 4.2.INTEGRALA DEFINIT........................................................................................ 68 4.2.1.Formula Leibnitz-Newton ............................................................................ 70 4.3.NOIUNEA DE INTEGRAL IMPROPRIE ............................................................... 71 4.4.INTEGRALELE EULER......................................................................................... 73 5.METODE APROXIMATIVE (NUMERICE) ....................................................... 75 5.1.CALCULUL APROXIMATIV AL DERIVATELOR...................................................... 75 5.2.INTERPOLARE.................................................................................................... 76 5.3.CALCULUL APROXIMATIV AL INTEGRALELOR.................................................... 78 6 6.FUNCII DE MAI MULTE VARIABILE............................................................ 80 6.1.LIMITA GLOBAL .............................................................................................. 80 6.2.CONTINUITATEA................................................................................................ 81 6.3.DERIVATE PARIALE ......................................................................................... 82 6.4.DERIVATE PARIALE DE ORDIN SUPERIOR ......................................................... 83 6.5.EXTREMUL FUNCIILOR DE MAI MULTE VARIABILE........................................... 83 6.6.EXTREME CU RESTRICII (CONSTRNGERI) .................................................... 85 6.7.O INTERPRETAREA ECONOMIC A DERIVATELOR PARIALE .............................. 87 6.8.O PROBLEM DE MAXIM.................................................................................... 89 7.ECUAII DIFERENIALE................................................................................... 90 7.1.ECUAII DIFERENIALE DE ORDINUL NTI ........................................................ 90 7.1.1.Ecuaii difereniale omogene ....................................................................... 95 7.2.ECUAII DIFERENIALE DE ORDINUL DOI ........................................................... 96 7.3.REZOLVAREAUNUISISTEMDEDOUECUAIIDIFERENIALELINEARE DE ORDINUL NTI................................................................................................................. 99 7 1. Elemente de algebr linear. Matrici, Determinani, Sisteme algebrice de ecuaii lineare 1.1.Permutri Printr-opermutareanelemente,numerotaterespectivcunumerele 1,2,...,n,senelegeoredistribuireaacestora 1i , 2i ,..., nicare,evident,va aveatotnelementedistinctedintrenumerele1,2,...,n.Seobinuietease folosi pentru aceast permutare notaia ||.|

\|ni i in, ,... ,, ,... 2 , 12 1. Evident ||.|

\|nn, ,... 2 , 1, ,... 2 , 1va fi permutarea identic. Numarul total de permutri , care se pot construi pentru n elemente, esten n = ... 2 1 ! . Exemplu:ncazul3 = n ,avempentruelementele1,2,3unnumr posibilde 6 3 2 1 ! 3 = =permutri ||.|

\|3 2 1, ,3 , 2 , 1i i i maiprecisavem permutrile ||.|

\|3 , 2 , 13 , 2 , 1, ||.|

\|2 , 3 , 13 , 2 , 1, ||.|

\|3 , 1 , 23 , 2 , 1, ||.|

\|1 , 3 , 23 , 2 , 1, ||.|

\|2 , 1 , 33 , 2 , 1, ||.|

\|1 , 2 , 33 , 2 , 1. Dacntr-opermutaredat 1i , 2i ,..., niseperturbsensulcresctor alelementelor(careexist,evident,pentru1,2,...,n),decidacexistdoi indici k i l astfel ca l ki i > , deil k < , se zice c avem o inversiune. Opermutareestepardaceaareunnumrpardeinversiunii imparncazcontrar.Permutareaidenticare0inversiuniieste considerat par. Exemplu:Lunddinnou3 = n ,dacconsidermpermutarea ||.|

\|2 , 3 , 13 , 2 , 1 eaareoinversiune(ntre3i2),ntimpcepermutarea 8 ||.|

\|1 , 2 , 33 , 2 , 1 are3inversiuni(ntre3i2,3i1,2i1)iarpermutarea ||.|

\|2 , 1 , 33 , 2 , 1 are 2 inversiuni (ntre 3 i 1, 3 i 2). 1.2.Matrici ptratice Printr-omatricenelegemuntablouAdeelementedispusentr-un anumitnumrndeliniiimdecoloanencadratededouparanteze(), adic ja a aaa a aa a aiAnm n nijmm

|||||.|

\|=.... . ..........2 12 22 211 12 11 Sezice atunci c avemomatrice Ade ordinulm n .Evidentcelementul general al unei astfel de matrici va fi un element ijaaflat la intersecia liniei a i-a cu coloana j. ncazulparticularcndnumrulliniilorinumrulcoloaneloreste acelai, adic avemm n = , se zice c matricea este ptratic. 1.3.Determinani Printr-un determinant, ataat unei matrici ptratice |||||.|

\|=nn n nnna a aa a aa a aA.... ... . .......2 12 22 211 12 11 de ordinul n, se nelege un numr, notat cu 9 ) det( A sau nn n nnna a aa a aa a a.... ... . .......2 12 22 211 12 11, care este egal cu= Pni i inn n nnnna a aa a aa a aa a aA ....... ... . .......) det(2 12 12 12 22 211 12 11 ,unde ||.|

\|ni i in, ,... ,, ,... 2 , 12 1 este opermutareanumerelor1,2,...,n,estesemnulacesteipermutri(care este+pentrupermutripareieste-pentrupermutriimpare),suma fiindextinspentrutoatepermutrileP,nnumrde! n ,carepotfi formate cu 1,2,...,n. Seobservcfiecaretermenalacesteisumeesteunprodusden (ordinul matricei i al determinantului) elemente ale matricei cu restricia c dinfiecarelinieicoloannuaparedectunsingurinumaiunsingur factor.Dinaceastdefiniiesevedecvaloareaunuideterminantnuse modificdacsenlocuiescliniileprincoloaneledeacelaordinsau reciproc. Exemplu:FieacumomatriceptraticAdeordinul3,adic |||.|

\|=33 32 3123 22 2113 12 11a a aa a aa a aA .Prin) det(A ,conformdefiniieidemaisus,vom nelege suma 33 21 12 31 22 13 32 23 11 31 23 12 32 21 13 33 22 11a a a a a a a a a a a a a a a a a a + +undes-au explicitat toate permutrile pentru 1, 2, 3 (scrise mai sus) iar semnul + s-a precizatpentrucazulpermutrilorparentimpcesemnul - afostasociat permutrilor impare. Se remarc faptul c rezultatul de mai sus este n acord cu regula lui Sarussauregulatriunghiuluistabilitenliceupentrudeterminaniide ordinul 3. 10 1.4.Regula lui Laplace Prinminor ijM ,alunuielement ijaalunuideterminantdeordinul n,senelegedeterminantuldeordinuln-1careseataeazmatriceide acelaordin(n-1)obinutprinsuprimarealinieiai-aiacoloaneiaj-a. Dacacestminoresteprecedatdesemnul j i + ) 1 (eldevinecomplementul algebric ijAataat lui ijaadic ijj iijM A+ = ) 1 ( . Pentrucalculareaunuideterminantdeunordinnoarecaresepoate utilizarezultatulcunoscutsubnumelederegula(teorema)luiLaplacecare permitedezvoltareadeterminantuluidupelementeleoricreiliniisau coloane. Maiprecis,pentrudezvoltareadupelementelelinieiai-a(saua coloanei a j-a) avem + + + =in in i i i inn nj n nin ij i in jn jA a A a A aa a a aa a a aa a a aa a a a...... .... . . . . .... .... . . . . .... ...... ...2 2 1 12 12 12 2 22 211 1 12 11 nj nj j j j jA a A a A a + + + ...2 2 1 1 nesenaceastregulnlocuietecalcululunuideterminantde ordinul n cu calcularea a n determinani de ordinul n-1. Cumlinia(coloana)dupcumsefacedezvoltareapoatefialeas arbitrar,esteutil,npractic,deaalegeoliniesaucoloancareareun numrmaximdezerouri,deoarecepentruaceleelementenulenumai trebuiesc calculai complemenii algebrici respectivi. Apelndatuncilaproprietialedeterminanilorcarepermit transformareaunuideterminantdatntr-unaltulechivalent(cuaceeai valoare),sevacutassetransformedeterminantulntr-unulcunumr maxim (n-1) de zerouri pe o aceai linie (coloan). Mai precis se poate apela la urmtoarele proprieti: 1. Un determinant care are toate elementele unei linii (sau coloane) egale cu zero, are valoarea zero. 112.Undeterminantcudoulinii(saucoloane)proporionale,arevaloarea zero. 3.Dacelementeleuneilinii(saucoloane)semultipliccuoaceeai constantkirezultatulseadauglaaltlinie(saucoloan)darfra modificalinia(saucoloana)iniial,valoareadeterminantuluinuse schimb. Exemplu: S se evalueze determinantul de ordinul 5 3 2 1 3 02 1 4 6 25 5 0 1 32 7 3 0 13 1 0 5 2 = dDac am utiliza regula lui Laplace ar trebui s calculm 5 sau 4 determinani de ordinul 4 care apoi i ei ar trebui redui la determinani de ordinul 3, etc.Dacnsliniacincimultiplicatcu3oadugmlaliniadouaiapoi scdem linia cinci multiplicat cu 4, din linia patra, avem 3 2 1 3 010 7 0 18 25 5 0 1 37 13 0 9 13 1 0 5 2 = dDezvoltndacestdeterminantdupcoloaneatreiacareconineunsingur element diferit de zero, obinem 10 7 18 25 5 1 37 13 9 13 1 5 2) 1 (8 = d . Transformnd acum acest determinant prin adugarea la linia nti a linieiadoua,multiplicatcu2,isczndliniadouamultiplicatcu3din linia treia i aceeai linie a doua multiplicat cu 2 din linia patra, obinem 24 33 36 026 34 26 07 13 9 117 25 13 0 = d . 12 Acestdeterminant,dezvoltatdupcoloana1,conducelaununic determinantdeordinul3,caresecalculeazdupregulilecunoscute.Mai precis 103224 33 3626 34 2617 25 13 = = d . Observaia1:ncazuldeterminanilorcareautoateelementele situate deasupra sau dedesubtul diagonalei principale egale cu zero, valoarea acestor determinani este egal cu produsul tuturor elementelor ce formeaz diagonala principal. Observaia2:Folosindaceeaitehnicaformriidezerouri, succesiv,pecoloane(linii)searatcundeterminantVandermondede ordinul n adic 1 12112 1.... . . ....1 ... 1 1 nnn nna a aa a a este egal cu ) )...( )( ( ) (1 3 1 2 11n nn j ij ia a a a a a a a = < ,adiccuprodusultuturor diferenelor posibile j ia a cun j i < 1 . Definiie: O matrice ptratic A se zice nesingular dac0 ) det( A . n caz contrar ea este singular. Oricematriceptratic,nesingular,Aadmiteoinvers 1 Aale creielementesunt ) det(AAji adiccomplemeniialgebriciaimatricei transpuse (matricea obinut prin nlocuirea liniilor cu coloanele) mpriicu valoarea determinantului matricei A (diferit de zero). Definindprodusuladoumatriciptraticedeacelaordin* AiB prin

* n condiiile produsului a dou matrici neptratice A i B (de ordinul (n, m) respectiv (p, r)) acesta nu se va putea efectua dect dac numrul coloanelor primei matrici (m) este egal cu numrul liniilor celei de a doua matrici (p), elementele ijcale matricii produs C fiind suma produselor elementelor corespunztoare ale elementelor liniei a i-a a matricii A i a coloanei a j-a matricei B. 13,... ..... ... ................. ..... ... ...... ..... ... .............................................2 2 1 1 2 22 2 12 1 1 21 2 11 12 2 22 1 21 2 2 22 22 12 21 1 2 21 22 11 211 2 12 1 11 2 1 22 12 12 11 1 1 21 12 11 112 12 22 211 12 112 12 22 211 12 11||||||.|

\|+ + + + + + + + ++ + + + + + + + ++ + + + + + + + +==||||||.|

\|||||||.|

\|nn nn n n n n n nn n n n nn n nnn n n n n n n nnn n n n n n n nnn n nnnnn n nnnb a b a b a b a b a b a b a b a b ab a b a b a b a b a b a b a b a b ab a b a b a b a b a b a b a b a b ab b bb b bb b ba a aa a aa a aproduscarengeneralnuestecomutativ,searatcpentruoricematrice nesingularAdeordinulniinversaei 1 A ,avemE A A A A = = 1 1, unde E este matriceaunitate de acela ordin n, adic ||||||||.|

\|=1 . . . 0 0. . .. . .. . .0 . . . 1 00 . . . 0 1E .AceastmatriceEareproprietateaevidentc, pentru orice matrice ptratic A de ordinul n, avemA E A A E = = . Exemplu:Fiematricea |||.|

\|=4 1 21 1 20 1 3Acareestenesingular( 0 5 ) det( = A ). Formnd atunci pe ) det(1AAAji= obinem ||||||.|

\|=51510535122515411A . Se verific imediat c |||.|

\|= = 1 0 00 1 00 0 11 1A A A A . 14 1.5.Rangul unei matrici Sconsidermomatrice ||||||||.|

\|=nn n nrm rr r rm rm ra a aa a a aa a a aa a a aA. . .. . . . . .... .... ... . ... . .... ...... ...2 12 12 2 22 211 1 12 11de ordinulm n .Prinrangulacesteimatricisenelegeordinulmaximral unui minor diferit de zero al acestei matrici. Cu alte cuvinte dac, de pild, determinantul0.... ....11 11 =rr rrra aa aDitoideterminaniideordinsuperior lui r, formai cu elementele lui A, sunt zero, rangul acestei matrici este r. Evidentpentruacalcularanguluneimatricioprimcalearfidea calculadeterminaniiformaicuelementeleacesteimatrici,ncepndcu determinantul de ordin maxim (min(n,m)) i apoi, succesiv, determinanii de ordinmaimic.nmomentulcnd,urmndaceastcale,amstabilitun determinant diferit de zero, ordinul acestui determinant este rangul matricei. Pe de alt parte observnd c urmtoarele transformri elementare: 1.) interschimbarea liniilor cu coloanele, 2.) multiplicarea unei linii (coloane) cu o constant arbitrar nenul, 3.)adunarealaolinie(coloan)aalteilinii(coloane)multiplicatecuo constant, nu modific rangul unei matrici (determinantul de ordin maxim rmnnd n continuarediferitdezero),dacfolosindacestetransformrisereduce matricealaoformdiagonal(fcndzeroelementelenediagonale)atunci numrul elementelor nenule de pe diagonala principal ne d rangul matricei respective. 15Exemplu:Fiematricea ||||||.|

\| =0 3 210 5 07 1 35 4 14 2 0A .Interschimbnd primeledoucoloaneimultiplicndprimaliniecu,obinemmatricea echivalent ||||||.|

\| 0 2 310 0 57 3 15 1 42 0 1. Adugnd la coloana treia prima coloan multiplicat cu 2 i apoi adugnd noua prim linie, multiplicat convenabil, la liniile celelalte se obine ||||||.|

\| 6 2 00 0 09 3 03 1 00 0 1. nfinalmultiplicndliniadouacu-1,scznddincoloanatreiacoloana doua multiplicat cu 3, iar apoi scznd din a treia i a cincea liniepe linia doua multiplicat corespunztor, se ajunge la forma diagonal dorit ||||||.|

\|0 0 00 0 00 0 00 1 00 0 1 ceea ce arat c rangul acestei matrici este doi. 16 1.6.Sisteme de ecuaii algebrice lineare Sconsidermunsistemalgebricdeecuaiilineare(necunoscutele apar laputereanti)de secuaiicunnecunoscute 1x , 2x , ..., nx ,adicun sistem de forma s n sn s sn nn nb x a x a x ab x a x a x ab x a x a x a= + + += + + += + + +.... .......2 2 1 12 2 2 22 1 211 1 2 12 1 11 undecoeficienii ijai termenii liberi 1b , 2b , ..., sbsuntnumererealedate. Introducnd matricile|||||.|

\|=sn s snna a aa a aa a aA.... .......2 12 22 211 12 11, |||||.|

\|=nxxxX.21, |||||.|

\|=sbbbB.21 acestsistemsepoatescriematricialB AX= ,egalitateaacestormatrici avndlocdacinumaidactoateelementelelorcoinciddecidaceste satisfcut sistemul de mai sus. nceleceurmeazvomanalizasistemuldatdeecuaiilinearedin punctul de vedere al compatibilitii (rezolvabilitii) sale. Vom spune c un astfel de sistem este compatibil determinat dac el are o soluie unic i este compatibilnedeterminatdacareoinfinitatedesoluii.Sistemelecarenu admit nici o soluie se numesc incompatibile. ncazulsistemeloromogene( 0 ...2 1= = = =sb b b )soluianul 0 ...2 1= = = =nx x xexistntotdeauna,eafiindnsconsideratosoluie trivial.ncazulacestorsistemeproblemacompatibilitiisepunesub aspectul existenei unor soluii netriviale. Dacnumrulecuaiilorestemaimaredectalnecunoscutelor, sistemele vor fi n general incompatibile sau compatibile determinate. n caz contrar sistemele pot fi incompatibile sau compatibile nedeterminate. Aceste observaii vor fi utile n completarea rezultatelor teoretice de mai jos care precizeazcondiiidecompatibilitatengeneral(fraprecizatipul compatibilitii). 17Prin matricea extins a matricii A a sistemului se nelege matricea A ,obinutdinA,prinadugareauneinoicoloaneformatdintermenii liberi, adic |||||.|

\|=s sn s snnbbba a aa a aa a aA..... .......212 12 22 211 12 11. FieMunminordeordinmaxim,diferitdezero,almatriceiA (ordinul cruianed irangullui A).Toiminorii matriceiAobinuiprin bordarealuiMdarcuelementeneaparinnddoarluiA(arputeasfie termeni liberi), se vor numi determinani caracteristici ai sistemului dat. Au loc atunci urmtoarele dou teoreme complet echivalente: TeoremaluiRouch:Sistemuldeecuaiialgebricelinearedemaisuseste compatibil dac i numai dac rangul matricei extinseAeste egal cu rangul matricei A a sistemului; Teorema lui Kronecker-Capelli: Sistemul de ecuaii algebrice lineare de mai susestecompatibildacinumaidactoideterminaniisicaracteristici sunt egali cu zero. Aacumatenionasemanteriorceledourezultatedemaisusnu spun nimic despre tipul de compatibilitate. ncazulparticularcndnumrulecuaiilorcoincidecucelal necunoscutelor( n s = )iimplicitmatriceaesteptraticavemunrezultat puterniccunoscutsubnumeledeTeorema(regula)luiCramercarespune c: Condiianecesarisuficientpentrucaunsistemdenecuaiialgebrice lineare (neomogene!) cu n necunoscute s fie compatibil determinateste ca determinantulsistemului) det( Asfiediferitdezero.nacestcazsoluia unic a sistemului este dat de ) det(11Adx = , ) det(22Adx = , ..., ) det( Adxii= , ..., ) det(Adxnn= , unde idsuntdeterminaniiobinuidin) det(A prinnlocuireacoloaneide coeficieni a lui ixcu coloana termenilor liberi. ObservmcteoremaluiCramerpoatefireobinutidacscriem sistemul algebric linear, de n ecuaii n n necunoscute, sub form matricial. Dac A este matricea sistemului, B matricea (coloana) termenilor liberi iar X matricea (coloana) necunoscutelor atunci sistemul se poate scrieB X A = . 18 Acceptnd acum c matricea A este nesingular ( 0 ) det( A ) i deci admitematriceainvers 1 A ,multiplicndcuaceastalastnga,obinem cB A X =1 ceea ce determin soluia (unic). Astfel s-a artat suficiena condiieipentrucompatibilitateadeterminatdinTeorema(regula)lui Cramer, mai precis0 ) det( A . 1.7.Rezolvarea sistemelor algebrice lineare compatibile determinate Sconsidermdinnouunsistemdesecuaiialgebricelineare neomogene*,nnnecunoscute,sistemcarematricialseputeascriei B X A = , A, B i X avnd semnificaiile precizate nainte. Spresupunemacumcacestsistemestedeterminat.Niciteorema lui Rouch nici teorema lui Kronecker-Capelli nu nedau nsindicaii cum trebuie calculate soluiile acestui sistem. S acceptmc rangul matriceisistemului A este r. Acest rang este, conform teoremelor menionate nainte, egal cu cel al matricei extinseA . Dacnoiizolmatuncirecuaiidinsistem,ecuaiicareaucai coeficieni elementele din determinantul de ordin maximal (r) diferit de zero iacceptnd,pentrusimplificare,cacesteaaraparineprimilorrliniiir coloane ale matricei sistemului, avem subsistemul r n rn r rn nn nb x a x a x ab x a x a x ab x a x a x a= + + += + + += + + +......... .......... .......... .......... ................2 2 1 12 2 2 22 1 211 1 2 12 1 11 Searatcoricesoluieasistemuluidatiniialseregseten soluiileacestuisubsistemidecivafisuficientsneconcentrmasupra acestuia din urm. Evidentcn r deoarecedacn r >nuamputeaforma,cu coeficieniisistemului,niciundeterminantdeordinulr,aacumam presupus (i care s fie i diferit de zero). Dacn r =am avea un sistem, construit pe o matrice ptratic, i cu determinantdiferitdezero.Evidentelvaaveaosoluieunic

* Cazul sistemelor omogene, cnd0 ...2 1= = = =sb b b , va fi schiat ulterior. 19(compatibilitateadeterminat)caresevacalculacuteorema(regula)lui Cramer. Dacn r < ,pstrndnmembrulstngdoarnecunoscutelecu coeficienii determinantului0 rDi mutnd n membrul drept restul am avea n rn r r r r r rr r rn n r r r rn n r r r rx a x a b x a x a x ax a x a b x a x a x ax a x a b x a x a x a = + + + = + + + = + + ++ ++ ++ +... ...... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ............. ...... ...1 1 , 2 2 1 12 1 1 , 2 2 2 2 22 1 211 1 1 , 1 1 1 2 12 1 11 EvidentcprinaplicareareguleiluiCrameracestuisistem,dedeterminant 0 rD ,seobinesoluiasa 1x , 2x ,..., rxnfunciederestul necunoscutelor 1 + rx , 2 + rx ,..., nx .Acceptndcacesteultimenecunoscute, numiteilibere,arluarespectivvalorileconstante 1 + rc , 2 + rc ,..., nc-alese ntr-o manier arbitrar, am obine n final pentru (sub)sistemul considerat o infinitatedesoluiicorespunztorvalorilorarbitrare kc(compatibilitate nedeterminat). Amputeascoateacumioobservaieimportantpentrupractici anume:Unsistemalgebriclinearcompatibildeterminatareosoluieunic dac i numai dac rangul matricii sale este egal cu numrul necunoscutelor. Evidentdacnumrulecuaiilorsestestrictmaimicdectnumrul necunoscutelor ( n s < ) sistemul nu va putea fi compatibil determinat. Exemplu S se studieze i s se rezolve sistemul 0 8 9 54 3 4 31 25 4 3 2 15 4 3 2 15 4 3 2 1= + += + + + = + +x x x x xx x x x xx x x x x Acest sistem este compatibil deoarece rangul matricei sistemului A este egal curangulmatriceiextinse,ambelefiinddoi(5 11 1,adicdeterminantul formatcucoeficieniilui 1xi 2xdinliniantiaiatreia,estediferitde zero). Rezolvnd atunci subsistemul 5 4 3 2 15 4 3 2 18 9 52 1x x x x xx x x x x + = + + + = +, folosind regula lui Cramer (determinantul su fiind diferit de zero), obinem 20 4 3 25 4 3 1474741434145x x xx x x x+ + = + =. Alegndatuncinecunoscutele 3x , 4x , 5xcainecunoscutelibere, egalitiledemaisusnedauinfinitatea(tripl)desoluiialesistemului considerat (compatibilitate nedeterminat). 1.8.Sisteme algebrice lineare omogene Sconsidermsistemuldemaisusncazulcnd |||||.|

\|=|||||.|

\|=0.00.21sbbbB , adicncazulomogen.Dupcumesteevident,soluianul(trivial) 0 ...2 1= = = =nx x x estentotdeaunaprezent.Nepropunem,ncelece urmeaz, s schim rezultate care s permit studiul existenei i a soluiilor netriviale (nenule). SpresupunemdinnoucrangulmatriceiAasistemuluiester. Dacn r =atunci,0 rD ,vaexistaosingursoluiecareevidentvafi soluia trivial. Pentrun r < , sistemul va avea de asemenea soluii netriviale care se calculeaz dup aceeai tehnic ca i n cazul sistemelor neomogene.n particular un sistem de n ecuaii lineare omogene n n necunoscute are o soluie netrivial dac i numai dac determinantul sistemului este zero (ntr-adevrfaptulcdeterminantulestezeroesteechivalentcuaceeac rangulralmatriceiAestemaimicdectnidecinencadrmncazul n r < , caz studiat mai sus). Pedealtparte,dac,ntr-unsistemdeecuaiiomogenenumrul ecuaiilorestemaimicdectnumrulnecunoscutelorrangulnemai putndfiegalcunumrulnecunoscutelor,atuncisistemultrebuiesaib obligatoriu soluii diferite de zero. Exemplu:Ssedetermine,dacesteposibil,soluianetriviala urmtorului sistem algebric linear omogen. 210 3 16 2 50 5 34 12 110 2 7 3 2 20 2 8 35 4 3 2 15 4 3 2 15 4 3 2 15 4 3 2 1= + + = + += + = + + +x x x x xx x x x xx x x x xx x x x x. Numrulecuaiilorfiindmaimicdactcelalnecunoscutelor sistemulvaaveaobligatoriusoluiinetriviale.Rangulmatriceisistemului este2,determinantulformatcucoeficieniilui 1xi 2xdinprimeledou ecuaii,adic 2 21 3,fiinddiferitdezero.Lundprimeledouecuaiii considerndpe 3x , 4x , 5xcainecunoscutelibere,seobinepentru 1xi 2x , respectiv, 5 4 3 25 4 3 121825872183819x x x xx x x x+ = + = ceeace,pentruoricevalorialetripletului) 0 , 0 , 0 ( ) , , (5 4 3 x x x ,ne furnizeaz o infinitate de soluii netriviale ale sistemului. 1.9.Metoda eliminrii succesive a necunoscutelor (Metoda lui Gauss) Sconsidermdinnouunsistemdesecuaiialgebricelinearenn necunoscute.nceleceurmeazvomdaometoddestudiereaacestor sisteme,metodcarevapermiteevaluareaimediatacompatibilitiisau incompatibilitiisistemuluiurmatdeunalgoritmpracticdesoluionarea sistemului (n cazul compatibilitii). Spresupunemccoeficientul011 a(dacnuarfiaaprocedeul sencepecuunaltcoeficient,diferitdezero,alnecunoscutei 1x ,deoarece celpuinunuldintreeitrebuiesfiediferitdezeropentruaavean necunoscute !). Vom transforma sistemul eliminnd, pentrunceput, necunoscuta 1xdintoateecuaiile,exceptndprima(cu011 a ).Pentruafaceaceasta vommultiplicasuccesivambiimembriaiprimeiecuaiicu 11111311121,..., ,aaaaaas 22 i vomscdea aceast ecuaie multiplicat din, respectiv, linia doua, linia treia .a.m.d.nfelulacestasevaajungelaurmtorulsistemechivalent(cu aceleai soluii), tot de s ecuaii n n necunoscute, ' ' ... '....... .......... .......... ..........' ' ... '' ' ... '........2 23 3 2 322 2 2 221 1 2 12 1 11s n sn sn nn nn nb x a x ab x a x ab x a x ab x a x a x a= + += + += + += + + + undecoeficienii'ijaitermeniiliberi'ibsuntobinuiprinoperaiile specificate. Sadmitemacumc0 '22 a .Multiplicndliniadouasuccesivcu '',...,'',''22222422232aaaaaas iscznd-odinlinia,respectiv,atreia,apatra,...,as-a, se obine un nou sistem, echivalent cu cel iniial, mai precis " " ... "........ .......... .......... .........." " ... "' ' ... ' '........3 33 3 3 332 2 3 23 2 221 1 3 13 2 12 1 11t n tn tn nn nn nb x a x ab x a x ab x a x a x ab x a x a x a x a= + += + += + + += + + + + unde"lmai"lbseobinprinoperaiilespecificate iars t (unele ecuaii putnd s dispar, observaie valabil i la eliminarea lui 1x ). Procedeulvacontinuanaceeaimanier.Dac,peparcursul eliminrilor,ajungemlaoecuaiencarecoeficieniinecunoscutelordin membrul stngsunt zero iar termenul liber corespunztor este nenul, atunci sistemul dat va fi incompatibil. Dac aceast situaie nu apare, vom obine n final un sistem echivalent de tipul ) 1 ( ) 1 ( ) 1 (2 2 , 2 1 1 , 2 2 221 1 , 1 1 1 , 1 2 12 1 11............ .......... .......... ..........' ' ... ' ' ... '.... ... = + += + + + + += + + + + + +kk nkkn kkkkn n k k k kn n k k k kb x a x ab x a x a x a x ab x a x a x a x a x a 23unde011 a ,0 '22 a ,0) 1 ( kkkaiundeevidents k idecin k .n acest caz sistemul dat este compatibil. El va fi compatibil determinat pentru n k =i compatibil nedeterminat pentrun k < . ntr-adevr dacn k =sistemul are forma ) 1 ( ) 1 (2 2 2 221 1 2 12 1 11.......... .......... .......... .......... ..........' ' ... '........ == + += + + +nn nnnnn nn nb x ab x a x ab x a x a x a Dinultimaecuaie, ) 1 ( nnnafiinddiferitdezero,seobineovaloare unicpentru nx .Introducnd-opeaceastanpenultimaecuaievom determinaunivocpe 1 nx.a.m.d.Seobineastfelsoluiaunicasociat compatibilitii determinate. Dacn k < , alegnd ca i necunoscute libere pe 1 + kx , 2 + kx , ..., nxse determin, ca i nainte de jos n sus, succesiv, kx , 1 kx , ..., 1x , ca funcii denecunoscutelelibere,ajungndastfellaoinfinitatedesoluii (compatibilitate nedeterminat). Rezumnd,dacsistemulsereduce,prinprocedeuleliminrilor succesive, la o form triunghiular ( n k = ) el va fi compatibil determinat iardacsereducelaoformtrapezoidal( n k < )elvaficompatibil nedeterminat. n practica rezolvrii sistemelor prin procedeul Gauss se va lucra cu matriceasistemuluibordat(darseparatdeaceastacuolinievertical) cumatricea(vectorul)termenilorliberi.Utilizndatuncitransformrile indicate n procedeu (n fapt transformri elementare) se va ajunge la forma triunghiular (trapezoidal) cutat. Exemplu: S se rezolve, prin procedeul Gauss, sistemul 25 6 32 39 5 23 2 13 2 13 2 1= = + = + +x x xx x xx x x Transformnd succesiv matricea bordat avem |||.|

\| |||.|

\| |||.|

\| 8 8 0 011 2 3 09 5 2 152 16 12 011 2 3 09 5 2 125 1 6 32 3 1 19 5 2 1 ajungnd astfel la sistemul echivalent 24 8 811 2 39 5 233 23 2 1= = = + +xx xx x x

care are soluia unic21 = x ,32 = x ,13 = x . 1.10.O aplicaie n economie: Modelul de producie a lui Leontieff Modelul de producie Leontieff este un model pentru economia unei rintregisauauneiregiuni.nacestmodelexistnprodusediferite, consumul egalndntotalitateproducia.Remarcmcoparteaproduciei esteconsumatchiardectreindustrii(ninterior)iarrestulpentrua satisface cererea exterioar. Problemacaresepuneicaresecautsserezolve,estesse determineniveleledeproduciealeindustriilorncondiiilencarecererea exterioarestedatiarpreurilesuntfixate.Vommsuranivelelede producientermeniivaloriiloreconomice.Dupoanumitperioadde timp precizat fie: =ixvaloarea monetar a produciei totale a industriei a i-a, =idvaloareamonetaraproducieiaindustrieiai-anecesar pentru satisfacerea cerinei exterioare, =ijcvaloareamonetaraproducieiindustrieiai-anecesar industriei a j-a pentru ca aceasta s produc o unitate monetar a propriei producii. Sdefinimvectorulproducie|||||.|

\|=nxxxx.21,vectorulcerere |||||.|

\|=ndddd.21 i matricea de consum |||||.|

\|=nn n nnnc c cc c cc c cC.... ... . .......2 12 22 211 12 11. 25Este evident c jx , jd ,0 ijcpentru fiecaren j , 1 = ,n i , 1 =*. Cantitatea n in i ix c x c x c + + + ...2 2 1 1 estevaloarea producieiindustriei ai-anecesartuturorcelornindustrii.Suntematunciconduila urmtoareaecuaied Cx x + = ,numitimodeluldeproduciealui Leontieff. Introducndmatriceaunitatedeordinuln, nI , ecuaiaprecedentse poatescriematricialisubformad Cx x In= saud x C In= ) ( .Aceast ecuaies-arputearezolvaprinmetodadeeliminarealuiGauss.Dac matriceaC In esteinversabilsistemulareosoluieunic d C I xn1) ( = . Exemplu:Spresupunemceconomiauneiregiuniconstntrei sectoare prelucrare, agricultur i servicii, iar matricea de consum asociat lor este |||.|

\|=3 , 0 1 , 0 2 , 01 , 0 3 , 0 4 , 01 , 0 2 , 0 5 , 0C . Spresupunemccerereaexterioarestede50deunitipentru prelucrare,30deunitipentrupentruagriculturi20deunitipentru servicii. S se gseasc nivelul produciei care satisface aceast cerere. SoluiavafidatdeecuaiamodeluluiLeontieffadic,ncazul nostru, de ctred x C I = ) (3, unde |||.|

\|=203050d . Daraceastecuaierevinelasoluionareasistemuluialgebriclinear neomogen 20 7 , 0 1 , 0 2 , 030 1 , 0 7 , 0 4 , 050 1 , 0 2 , 0 5 , 03 2 13 2 13 2 1= + = + = x x xx x xx x x. Aplicnd atunci metoda de eliminare a lui Gauss se obin soluiile 1872750501 = x ,1652744502 = x ,10699503 = x .

* Adic j i i iau toate valorile naturale de la 1 la n. 26 Laacelarezultatajungemdaccalculmdeterminantulmatricei C I 3 (egalcu27idecidiferitdezero)iapoimatriceainvers 13) ( C I . Se obine atunci din nou c ||||||.|

\|= =5950274450275050) (13d C I x . FacemobservaiacdacmatriceaCareelementenenegativei dacsumaelementelorfiecreiliniesaucoloaneestemaimicdect1, atunci ntotdeauna 1) ( C Iexist iar vectorul de producie x este unic i are doar elemente pozitive. 272. Noiuni de calcul diferenial n cele ce urmeaz vom da o trecere n revist a principalelor noiuni i rezultate ale calculului diferenial pentru funcii de o variabil. Generaliti Printr-o ax nelegem o dreapt pe care s-a fixat un punct O, numit origine, s-a precizat un sens de parcurgere ( ) i s-a definit o unitate de msur u. EsteevidentcmulimeanumerelorrealeRestencoresponden biunivoc(unulaunu)cumulimeapuncteloruneiaxe.ntr-adevrla fiecare x R i corespunde un unic punct M (obinut prin deplasarea unitii u de x ori) i reciproc, x fiind abscisa punctului M. Aceast coresponden permiteosinonimientrepuncteleaxeiinumerelereale,axarespectiv numindu-seiaxareal.Punctuldelainfinitalaxeireale(nsensulde parcurssaunsensulinvers)corespundesimbolului + respectiv din R . Printr-unintervaldeschis) , ( b aalaxeirealentelegemtoate punctele(numerelereale)xaleaxeicaresatisfaccondiiab x a < < .Dac dublainegalitateconineisemnulegal,adicb x a ,intervaluldevine nchis i se noteaz cu] , [ b a . Printr-ovecintateaunuipunct) (x M alaxeireale,notatcu(x), vomnelegeoriceintervaldeschisalaxeicareconinepunctul) (x M . Vecintateaestefinitdaccapetelesale(extremitileintervalului deschis) sunt numere finite (neinfinite). Noiunea de funcie FieAiBdoumulimidenumerereale,adic B A, R.Printr-o funciefdefinitpeAcuvalorinB( B A f : )senelegeo coresponden (legtur) f prin care la orice elementA x i va corespunde un unicB y . Acest y, obinut aplicnd legea corespondenei f asupra lui x, ) (x f y = , va purta numele de imagine a lui x prin f. 28 Fieacumunsistemdedouaxeperpendiculare(cuaceeaiorgine O), Ox i Oy, formnd un sistem cartezian de axe Oxy. S reprezentm, prin punctelecorespunztoare,mulimeaApe axaOx imulimeaBpe axaOy. Evidentcprincorespondenf,fiecruiA x M ) (ivacorespundeun B y N ) (unicdinB.Ducndatunciparalelelacealaltax,prinpunctele M i N, la intesecia acestora vom avea un punct P al planului Oxy, punct de coordonate) , ( y xunde x este abscisa iar y este ordonata lui P. Atunci cnd ) (x MparcurgentreagamulimeA,mulimeapunctelorPvadescrieceea ce se numete graficul funcieiB A f : . O funcie este deci definit prin tripleta (f, A, B). Mulimea A se mai numete i domeniu de definiie a lui f iar mulimea B codomeniu. Subliniem caracterul univoc obligatoriu al corespondenei respective pentru ca aceasta s reprezinte o funcie. Deci nu va fi posibil ca unui x fixat dinAs-icorespund,prinf,simultanunB x f y = ) (1 iun B x f y = ) (2, 2 1y y .nschimbdefiniiafuncieinuinterzicecaun acela y din B s fie imaginea a dou valori diferite 1xi 2xdin A, adic s avem) (1x f y =i) (2x f y =pentru 2 1x x ,A x x 2 1, . n plus dac corespondena dat implic toate puncteleA x , ea nu vaimplicaobligatoriuitoatepuncteleB y .Adicpotsexistepuncte (numere) din B care s nu fie imaginea nici unui punct din A. Definiie:OfuncieB A f :seziceinjectivdacpentruorice perechedepuncte 2 1x x dinA,imaginilecorespunztoare) (1 1x f y =i ) (2 2x f y =dinBvorsatisfaceinegalitatea 2 1y y sau,echivalent,dac pentru oriceA x x 2 1,pentru care are loc) ( ) (2 1x f x f =aceasta s implice ca 2 1x x = . Injectivitatea implicn fapt caracterulbiunivoc(unu launu) al corespondeneidintremulimeaAimulimeaimaginilorprinf,adicf(A). Evident cB A f ) ( . Definiie:OfuncieB A f :sezicesurjectivdacoricarearfi unelementB y elesteimagineaunuiA x ,adicexistcelpuinun A x astfelnct) (x f y = .Evidentcnacestcazcorespondena respectiv acoper ntregul B sau, n ali termeni,B A f = ) ( . Ofunciecareesteattinjectivctisurjectivsevanumi bijectiv. Daccorespondenaasociatfuncieifestebijectivatunciaceast coresponden(legtur)vzutdelaBlaAvaaveadinnoucalitateaunei 29funcii(caracterunivocidelaBlaA!)ieasevanumifunciainversa funciei iniiale (directe) f i se va nota cuA B f :1. Esteevidentcfunciainversnuexistpentruoricefuncief. Pentru ca ea s existe trebuie ca corespondena iniial (direct) f s acopere ntregul B i ea s aib un caracter biunivoc. Exemplu: Fie + R ) 1 , 1 ( : f datprinlegea1 ) (2+ = x x f y .Sevedecaceast corespondenntreceledoumuliminumerice) 1 , 1 ( = Ai += R Bare uncaracterunivoc:lafiecarexseasociazunsingurycareseobine ridicnd pe acel x la ptrat i adugnd 1. Seremarcfaptulcaceastfuncienuesteniciinjectiv(lavalori A x x 2 1,cumarfi 211 = xi 212 = x ,corespundaceeaivaloare + = = R452 1y y ) dar nici surjectiv deoarece += R B A f ) 2 , 1 ( ) ( . Dacnsaceeailege1 ) (2+ = x x festeaplicatunui) 1 , 0 ( = A iar B se ia ca fiind) 2 , 1 (corespondena respectiv va fi i injectiv i surjectiv, adic bijectiv. Va exista deci i funcia invers) 1 , 0 ( ) 2 , 1 ( :1f dat prin legea1 ) ( = y y f x(cu valoarea pozitiv a radicalului). FieacumdoufunciiB A f :iC B g : ,A,BiCfiind muliminumericedate.SnotmcuB x f y = ) (icuC y g z = ) (elementeleimagineacelordoufuncii.Observmcceledoufuncii realizeaz,prinintermediulmulimiitafetB,ocorespondencare asociaz,nfinal,laoriceA x ununicC z .Aceastnou corespondenvadefinifunciacompusC A g f : princareunui A x i corespunde univoc)) ( ( x f g z = , oricare ar fiA x . Definiie:Vomspunecfesteofunciepardac) ( ) ( x f x f = ,A x . Evident c o funcie par are graficul simetric fa de axa Oy. Definiie:Vomspunecfesteofuncieimpardac) ( ) ( x f x f = , A x . Evident graficul unei funcii impare este simetric fa de originea O a reperului Oxy. Definiie:VomspunecfunciafesteperiodicdeperioadTdacexist un T, independent de x, astfel ca) ( ) ( x f T x f = + ,A x i T este cel mai mic numr real cu aceast proprietate. 30 EvidentcgraficuluneifunciiperiodicedeperioadTodattrasat peolungimeT,sereproduceidentic,prinindigo,pentreguldomeniu de definiie. 2.1.iruri Conceptuldeiresteesenialpentrufundamentareacalculului diferenial. Prinirnelegemomulimedenumere 1a , 2a ,..., na ,...pusen coresponden biunivoc cu mulimea numerelor naturale N, adic ... , ..., , 2, 1 ... , ..., , ,2 1na a an

Aceastcorespondenbiunivoc,unulaunu,permitenesen numerotareatermeniloriruluiprinaceiindiciilapicior.Totdatorit acestei corespondenebiunivoceunirarentotdeauna attea elemente cte numere naturale sunt, adic un numr infinit. Un ir se poate da i doar prin termenul su general nai se noteaz atunci{ }N n na . De exemplu irul 1, 21, 31, ..., n1, ... se poate scrie N )`nn1. Problema central a teoriei irurilor este problema convergenei. Dar pentruadefinicorectaceastproblemvatrebuinprealabilsdefinim conceptul de punct de acumulare i limita. Definiie:Vomspunecpunctul(numrul)aestepunctdeacumulareal irului{ }N n nadac noricevecintatea sa existo infinitatede termeni ai irului (care pot s coincid i cu a). Exemplu: Pentru irul N )`nn1 se observ c0 = aar fi un punct de acumularedeoarecenoricevecintateasa(orictdemic!)existo infinitate de termeni ai irului. Exemplu:Pentruirul N )` +nn2) 1 ( 1 seobservcatt0cti2 suntpunctedeacumularedeoarece,att0cti2,catermeni,aiiruluise afl, respectiv, n numr infinit n orice vecintate a acestora. 31Definiie:Unpunctdeacumularea,unicifinit,sevanumilimita(punct limit) a irului considerat. Dac a este limita irului este evident cn afara oricrei vecinti a sa exist cel mult un numr finit de termeni ai irului. Exemplu:Pentruirul nan11+ =sevedec1arfiunpunctde acumulare unic i finit. nafara vecintii)34, 0 (, de pild, exist 3 termeni ai irului iar nafara vecintii) 3 , 0 (nu exist nici un termen al irului. Definiie: Vom spune c un ir este convergent dac el are o limit. ncazcontrar(nuexistpunctedeacumulare,existmaimulte puncte de acumulare sau punctulde acumulare este infinit), irul seva zice divergent.ncazulirurilordivergentecuunpunctdeacumulareinfinitse maispune,prinextensie(abuz)delimbaj,cirulesteconvergentctre infinit. Exemplu:irul{ }N nn2arficonvergentctre +(nfapteste divergent!) Convergenairuluictreunpunctasenoteazcua ann= limsau a an . Pentrustabilireaconvergeneiunuiirunrolesenialaumonotonia i mrginirea irurilor. Definiie:Vomspunecirul{ }N n naestemonotondac,pentruN n , arelocfie 1 +n na afie 1 +n na a .nprimulcazirulsezicemonoton cresctor iar n cazul al doilea monoton descresctor. Exemplu:irul N )`nn1 satisfcndcondiia 11 1+>n n (1 +n na a ), N n ,estemonoton(strict)descresctoriarirul{ }N nn2satisfcndcondiia 12 2+ x f ,pentruc x a < < ,i0 ) ( ' < x f ,pentrub x c < < , atunci c este un maximum local pentru f; b) Dac0 ) ( ' < x f , pentruc x a < < , i0 ) ( ' > x f , pentrub x c < < , atunci c este un minimum local pentru f; c)Dac) ( ' x fareacelasemnalgebricpec x a < c f , atunci f are un minim local n c; b) Dac0 ) ( ' ' < c f , atunci f are un maxim local n c; c)Dac0 ) ( ' ' = c f ,atuncinusepoateafirmanimic(testuleste neconcluziv). Exemplu:Ssedetermine(dacexist)extremele(locale)ale funciei urmtoareR R : f , 2 3 46 8 3 ) ( x x x x f + = . Determinm punctele critice (suspecii de extrem) 2 2 3) 1 ( 12 12 24 12 ) ( ' = + = x x x x x x f0 ) ( ' = x fpentru01 = xi13 , 2= x . Studiulmonotonieifunciei(alsemnuluiprimeiderivate)nearatc 0 ) ( ' < x f ,pentru0 < xi0 ) ( ' > x f ,pentru0 > x ,deciavemoschimbare de monotonie n0 = x(dar nu n1 = x ). Daccalculm) 1 4 3 ( 12 12 48 36 ) ( ' '2 2+ = + = x x x x x f ,sevedec 0 12 ) 0 ( ' ' > = f ,decifaren0 = xunpunctdeminim(ceeacerezulti dintestulcuprimaderivat)ntimpce0 ) 1 ( ' ' = fadic1 = xnueste punct de extrem local (ceea ce rezultase deja i din studiul cu' f ), el fiind n fapt un punct de inflexiune (unde se schimb tipul de concavitate). Rezultatele ar putea fi introduse ntr-un tabel final. 48 Vomdaacumenunulunorteoremefundamentalepentrufunciile derivabile. TeoremaluiRolle:DacR ] , [ : b a festecontinupe] , [ b a ,derivabil pe) , ( b aidac) ( ) ( b f a f = ,atunciexistcelpuinunnumr) , ( b a c astfel nct0 ) ( ' = c f . nesenaceastteoremstatueazc,ncondiiileipotezei(dacf ndeplineteacestecondiiieasemainumetefuncieRolle!),existcel puinunpunctcriticncaretangentalagraficulfuncieivafievident paralel cu axa Ox. ncazulparticular0 ) ( ) ( = = b f a f ,teoremaluiRolleafirmc ntredourdcinialeuneifunciiRolleexistcelpuinordcina derivatei acestei funcii. O alt consecin important a teoremei lui Rolle afirm (Consecin ateoremeilui Rolle):ntredourdciniconsecutive 1xi 2x , 2 1x x f ,0 ) 0 ( < f ,0 ) 1 ( > f , 0 ) ( > + fidecivomputeaafirmaexistenaadourdcinireale aparinndintervalelor) 0 , (i) 1 , 0 ( .Evidentcelelaltedourdciniale ecuaii vor fi complexe (conjugate). O alt teorem importantn aplicaiile calculului diferenial (i care generalizeaz teorema lui Rolle) este TeoremaluiLagrange(acreterilorfinite):FieR ] , [ : b a fofuncie continupe] , [ b aiderivabilpe) , ( b a .Atunciexistunnumr) , ( b a c astfel ca a ba f b fc f=) ( ) () ( ' , sau, echivalent,) )( ( ' ) ( ) ( a b c f a f b f = . Cum a ba f b f ) ( ) ( estepantacoardeicareunetepunctele )) ( , ( a f a Ai)) ( , ( b f b B , teorema lui Lagrange scoate n eviden existena unuipunctcncaretangentageometric(depant) ( ' c f )esteegalcu panta coardei AB, adic ele sunt paralele. 50 OconsecinimportantateoremeiluiLagrangefurnizeazun instrumentdelucruextremdeutilnstabilireaderivabilitiiuneifuncii ntr-un punct c. Mai precis are loc Corolar al teoremei lui Lagrange:DacfunciaR ] , [ : b a festecontinuntr-o(c),) , ( b a c ,idacea esteiderivabiln(c)\{c}atunci,nipotezacexistlimita) ( ' lim x fc x, funcia f va fi derivabil i n puntulc x =i valoarea limitei de mai sus va fi) ( ' c f . Aceastconsecinpoatefiaplicatcusuccesnacelecazuricnd aplicarea direct a definiiei derivabilitii ntr-un punct nu este confortabil. Exemplu:FieR ] 1 , 1 [ : fdatde 21 arcsin ) ( x x x x f + = . Compusdinfunciielementare,nintervalul, 1 1 < < xfunciavafi derivabilixxxxxx x f arcsin1 1arcsin ) ( '2 2=+ = .Pentrua analizaderivabilitateain1 = xin1 = x(undecontinuitateaeste evidentsatisfcut),calculm 2) ( ' lim1 = x fx.Varezultacfunciadat estederivabilin1 = xvaloareaderivateinacestpunctfiind 2, respectiv 2 . 2.8.Reprezentarea grafic a funciilor A reprezenta grafic o funcieR A f :nseamn a desena graficul luif,adicmulimeapunctelor{ } A x x f x )), ( , ( ,ntr-unsistemdeaxe rectangulare Oxy. Sfacemctevaconsideraiiprivindreprezentareagraficaunei funciif.Pentrufixareaideilorvompresupunec) , ( b a A =iarfesteo funciederivabildedouoripe) , ( b a .Acceptmicazulcnd ) , ( ) , ( + = b a . Primulpaspecarevatrebuis-lfacemestesstabilimdomeniul efectiv de lucru care ar putea fi inclus n domeniul de definiie) , ( b a . Pentru stabilireaacestuidomeniuefectivseanalizeazsuccesivposibilulcaracter parsauimparafunciei,ieventualasaperiodicitate.nipotezaunui 51rspuns pozitiv, n primele cazuri domeniul efectiv de lucru va fi la dreapta sau la stnga originii O iar n ultimul lungimea sa ar fi egal cu lungimea uneiperioade,informaiileobinuteputnd fin final extinse,prinsimetrie, respectiv periodicitate, pe ntregul domeniu de definiie. naldoilearndsevorcutapunctedesprijinalereprezentrii tiutfiindfaptulcaceastaesteaproximativ(oreprezentareexactar pretinde reprezentarea unei infiniti de puncte)) ( , ( x f xceea ce este practic imposibil!).ntreacestepunctedesprijinarfipuncteledeinterseciecu axeledecoordonate(dacexist)decipunctele0 = x ,) 0 ( f y =ia x = , 0 = yunde a este o rdcin a ecuaiei0 ) ( = x f . Completm aceast etap i cu studiul funciei pe extremitile domeniului de definiie, deci evalum) ( lim x fa x i) ( lim x fb x. naltreilearndvomanalizacomportamentullainfinit(daceste cazul)prinstabilireaasimptotelor.Acesteasimptote(nesentangentela infinitlaramurilenemrginitealefunciei)suntfieverticale(0x x = ,cu + = ) (0x fsau = ) (0x f )fieorizontale(0y y = ,cu 0) ( lim y x fx=+ sau 0) ( lim y x fx= ),fieoblice.Acesteadinurm,careleconincaicazuri particularepeprimele,arfidreptedeforman mx y + =carearsatisface cerina ca0 )) ( ) ( ( lim = + + n mx x fx sau (i)0 )) ( ) ( ( lim = + n mx x fx. n prinvina lui m el este dat de xx fx) (lim+ (xx fx) (lim ) i odat ce el estedeterminatiareovaloarefinit(cazul = mcorespunde asimptotelorverticale)setreceladeterminarealui) ) ( ( lim mx x f nx =+ ( ) ) ( ( lim mx x f nx = ).Dacnesteinfinit,chiardacmaavutovaloare finit, nu avem asimptot (dreapta este aruncat la infinit!). Se trece apoi la studiul monotoniei funciei intervalele unde funcia estecresctoaresaudescresctoare,iladeterminareaextremelorlocale (relative). Pe ntregul interval de derivabilitate se formeaz' fal crui semn sedetermin(pesubintervalecorespunztoare)odatcurdcinileecuaiei 0 ) ( ' = x f(punctelecritice).Aplicareatestuluicuprimaderivat,va permiteodatcustabilireasubintervalelordemonotonie,precizarea punctelor de extrem i a punctelor de inflexiune. ncondiiileexisteneiunorpuncteizolatedenederivabilitate 0x(carecorespundunorpuncteunghiularealegraficului)serecomandi 52 evaluarea) ( ' lim0x fx x i) ( ' lim0x fx x ceeaceardetermina,respectiv,pantele subtangentelor n punctul unghiular 0x . Dacfunciaestederivabildedouori(npracticserecomand utilizarea lui' ' fdoar dac structura acesteia este suficient de simpl pentru adeterminaattzerourilesalectisemnul)setrecelastabilirea concavitiifunciei(intervaleleunde' ' faresemnconstant)iapunctelor deschimbareaconcavitii(punctedeinflexiune),determinateprin 0 ) ( ' ' = x f . Pentruuurareatrasriiefectiveagraficului,rezultateledemaisus setranspunntr-untabel(tabeldevariaie)careprezint,pentregul domeniuefectivdelucru,semnullui' fi' ' fiarnfinalmonotoniai concavitatea lui f cu punctele reprezentative (extreme, inflexiune, intersecii cuaxele,limitepeextremitisaunpunctedediscontinuitatesau nederivabilitate). nsfrit,naintedetrasareagraficuluitranspunereansistemul Oxyainformaiilordintabeluldevariaie,sereprezintasimptotele(dar ntr-o manier distinct de grafic). Apoi graficul obinut pe domeniul efectiv de lucru se extrapoleaz pe ntregul domeniu de definiie. Exemplu:SsereprezintegraficfunciaR R } 1 , 1 { \ : fdatde 11) (2=xarctg x f . I. Deoarece) ( ) ( x f x f = ,} 1 , 1 { \ R x , funcia este par i graficul su vafisimetricfadeaxaOy.Cadomeniulefectivdelucruvafisuficient deci s lum} 1 { \+R . II.Pentru0 = x , 4 = yiar0 ) ( lim =+ x fx ( 0 = yfiinddeciiasimptot orizontal). Avem i 2) ( lim1 =x fx, 2) ( lim1=x fx. III. nafara asimptotei orizontale0 = y , nu exist alte asimptote. IV.iV.Funciafiindindefinitderivabil,pentreguldomeniuefectivde lucru, putem scrie 2 22) ( '2 4+ =x xxx f , 2 2 42 4) 2 2 () 2 2 3 ( 2) ( ' '+ + =x xx xx f . Cumnumitoriisuntpozitivi,0 ) ( ' < x fpentru0 > xiar0 ) ( ' = x fareca soluie doar pe0 = x . Testul cu prima derivat va arta c acest punct critic este chiar un punct de maxim M (anticipnd c0 ) ( ' > x fpentru0 < x , ceea 53cesevedeprinsimetrie).nceeaceprivete0 ) ( ' ' = x faceasta,n domeniulefectivdelucru,vaaveadoarsoluia2 , 137 1+= xiar 0 ) ( ' ' < x fpentru2 , 1 0 < x(concavinferior)i0 ) ( ' ' > x fpentru 2 , 1 > x(concavsuperoir).Anticipmc2 , 1 = xvafiunpunctde schimbare a concavitii, adic un punct de inflexiune. Toateacesteinformaiisepotpunentr-untabeldevariaiecare, extins prin simetrie i la zona0 < x , va fi Graficul corespunztor este 54 2.9.Aplicaii n economie Fiedinnoufunciadecost) (x C-costuldeaproducexunitidintr-un anumitprodus.PrincostmarginalsenelegeratadeschimbaluiCn raportcuxadic,nfaptdupcumamvzutdeja,acestaestederivata ) ( ' x Cafuncieidecost.Setiedeasemeneaccostulmarginaleste (aproximativ)egalcucostulproducieiuneiunitisuplimentaredin produsul considerat. Sintroducemdeasemeneafunciadecostmediu xx Cx c) () ( = , reprezentndcostulpeunitate,dacseproducxunitidinprodusul respectiv. Dorim s vedem ce se ntmpl ntr-un punct de minimum pentru funcia de cost mediu. Teorem:a)Dacaesteunpunctdeminimumpentru) (a c(adic0 ) ( ' = a c ) atunci) ( ' ) ( a C a c = ; b)Daccostulmarginalestemaimicdectfunciadecostmediu, atunci aceast funcie descrete; c)Daccostulmarginalestemaimaredectfunciadecostmediu, atunci aceast funcie crete. Rezultatul este imediat dac se calculeaz xx c x Cxxx Cx C xxx C x x Cx c) ( ) ( ') () ( ') ( ) ( ') ( '2 2=((

= = ; deoarece0 ) ( ' = a cavem i0 ) ( ) ( ' = a c a Cadic) ( ) ( ' a c a C = . Daccostulmarginal) ( ' x Cestemaimicdectcostulmediuadic 0 ) ( ) ( ' < x c x Catunci0) ( ) ( ') ( ' navem i Cnk xCnk xk xdxn nn+= ++ = + }1) (1) () (1 1. nceeaceprivete }+ +=nnc bx axdxI) (2 cu1 > n(i0 < pentru c bx ax + +2)aceastasecalculeazpascupas(2Icuajutorullui 1I , 3Icuajutorullui 2I ,etc.)stabilindu-seioformulderecurendetipul ) (1 =n nI f I . Observaie: La integrale din funcii raionale de tipul studiat se poate ajunge,prinsubstituiiconvenabile,incondiiileintegralelordetipul }dx x x R ) cos , (sinsaudx x c bx ax R}+ + ) , (2,undeprin) , ( v u Rse nelege o funcie raional n variabilele u i v. n primul caz se folosete o 68 substituiedeforma 2122sin2xtgxtgx+=i 2121cos22xtgxtgx+=iartxtg =2 ( arctgt x 2 = ), ajungndu-se la o funcie raional n t.naldoileacazsenoteaz,depild(substituiileluiEuler), t a x c bx ax + = + +2 (dac0 > a )ideci 22 t a xt c bx + = +adic a t bc tx22= , ceea ce va conduce, n final, la o funcie raional n t. 4.2.Integrala definit Spredeosebiredeintegralanedefinit,integraladefinitesteun concept legat nemijlocit de o problem concret, practic Fie f o funcie real definit pe un interval finit] , [ b a , funcie pe care opresupunemimrginitpe] , [ b a .Nepropunemscalculmaria delimitat de graficul acestei funcii, de axa real Ox i de paralelele (la axa Oy),a x =ib x = . Pentru aceasta vom urma urmtorii pai: 1.Considermodiviziunedaintervalului] , [ b aadicmprimacest intervalnnsubintervale] , [1 k kx x (delungime,respectiv, 1 k kx x )prin punctele de diviziune b x x x x an n= < < < < = 1 1 0... . Atamacesteidiviziuniaanumitanorm,notatprind ,icareeste lungimea celui mai mare subinterval ( ) ( max1 =k kkx x d ). 2.Alegemunpunctintermediaroarecare knfiecaresubinterval ) , (1 k kx x, deci) , (1 k k kx x ,n k , 1 = . 3. Formm suma (Riemann) =nkk k kx x f11) )( ( . Aceastsumreprezintnfaptsumaariilordreptunghiurilor ataate fiecrui subinterval) , (1 k kx x, de nime) (kf i baz 1 k kx x . Evident c aceast sum va aproxima aria cutat . 69Definiie: Dac exist = nkk k kdnx x f110) )( ( lim i aceast limit ia o valoarefinit,oricarearfialegereapunctelorintermediare k ,atunci funcia f se zice integrabil definit de la a la b (n sens Riemann) i valoarea acestei integrale este un numr ce se noteaz prin }badx x f ) (i care este dat de }= =bankk k kdnx x f dx x f110) )( ( lim ) ( . Observaie:Cerinaca,nprocesultreceriilalimit,savem 0 dcautsevitengrmdireapunctelordediviziunenanumite zonentimpcenalteleelearfiladistanmarefix(iimplicit aproximarea ariei ar rmne destul de grosier). Se arat c toate funciile continue sunt i integrabile definit. De asemenea i funciile monotone sunt integrabile definit. Exist funcii integrabile nedefinit care nu sunt integrabile definit. La fel sunt i funcii integrabile definit care nu sunt integrabile nedefinit. Proprietile integralei definite: Dac f i g sunt dou funcii integrabile definit pe] , [ b a , avem atunci a) } }=babadx x f k dx x kf ) ( ) ( , unde k este orice constant real; b)[ ]} } } = bababadx x g dx x f dx x g x f ) ( ) ( ) ( ) ( ; c) } } }+ =bccabadx x f dx x f dx x f ) ( ) ( ) ( ,undecesteoricenumrdin ) , ( b a ; d) } } =abbadx x f dx x f ) ( ) ( ; e)0 ) ( =}aadx x f . Semnificaiageometricnlimbajulariilor,aproprietilorc)ie)este imediat.Proprietatead)atenioneazcintegraladefinit }badx x f ) (msoarariaorientat(ariamturatnsensulaxeiOx,pozitivdac f estedeasupraaxeiOxinegativdacgraficulluifestesubaxaOx).n 70 consecindacf esteo funcieimpar( ) ( ) ( x f x f = ), 0 ) ( =}aadx x f ,n timp ce aria geometric delimitat de graficul funciei ar fi }adx x f0) ( 2 . Remarcmcattformuladeintegrareprinprictimetoda substituiei se aplic identic i n cazul integralei definite, adic avem } } = bababadx x g x f x g x f dx x g x f ) ( ' ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 'i}+ = babaC x g F dx x g x g f )) ( ( ) ( ' )) ( ((evidentcncazulultimeiformulefcndsubstituia) (x g u = , dx x g du ) ( ' =sevaajungenprimafazlaoaltintegraldefinitcualte limite, i , de integrare pentru u, mai precis) (a g = i) (b g = .) 4.2.1. Formula Leibnitz-Newton Definiiaintegraleidefiniteicalculareaacesteiaprinaceast definiie este, evident, un proces laborios i care cere un mare buget de timp. Pentru funciile f care, pe lng c sunt integrabile definit, sunt i integrabile nedefinit(primitivabile,antiderivabile),calcululintegraleidefinitesepoate face direct prin Formula (Teorema) Leibnitz-Newton care spune c } =baa F b F dx x f ) ( ) ( ) ( ( )bax F ) ( =unde F este o primitiv a lui f. Evidentcaceastformulnuesteaplicabilpentrufunciile neintegrabilenedefinit.Dinfericireclasafunciilorcareadmitambele tipurideintegrale,estesuficientdelarg,ceeaceconferformuleidemai sus o importan deosebit. Exemplu:Ssecalculezedx x x}+301 .ncercmprimadats calculmdx x x}+1 .Pentruaceastavomfolosimetodasubstituiei punnd1 + = x u , adic12 = u xiudu dx 2 = . Observm c dac0 = xatunci1 = ui dac3 = xatunci2 = u . Urmeaz atunci c151163252) 2 2 ( 2 ) 1 ( 1213215212 430212= = = = +} } }u u du u u udu u u dx x x . 714.3.Noiunea de integral improprie nintroducereanoiuniideintegraldefinit(Riemann) }badx x f ) ( s-a presupus c: 1.limitele de integrare a i b sunt numere finite; 2.funcia f este mrginit pe intervalul] , [ b a . Vom extinde acum noiunea de integral definit n cazul n care fie lungimeaintervaluluideintegraredevineinfinit,fiefunciaf(numiti integrand)estenemrginit.Integralarezultatseziceafiatuncio integral improprie. Sconsidermprimadatintegraladinfunciimrginiteluatepe intervale nemrginite.Definiie:FieR ) , [ : a f .Dacexist }tadx x f ) (pentruorice a t atunci prin integrala improprie }adx x f ) (nelegem } ta tdx x f ) ( lim . Integralaimproprie }adx x f ) (seziceconvergentdaclimitademaisus exist i este finit. n caz contrar integrala se zice divergent. Analogsepoatedefinii } } =bt tbdx x f dx x f ) ( lim ) ( ,unde R ] , ( : b fiarb t . DacR R : fiR aatunciprinintegralaimproprie } dx x f ) (senelege } } } + =aadx x f dx x f dx x f ) ( ) ( ) (ieavafi convergentdacambeleintegralealesumeisuntconvergenteivafi divergent dac cel puin una dintre acestea este divergent. Exemplu:Pentrucevalorialeparametruluirealintegrala improprie }11dxx este convergent? Se vede c pentru1 = avem = = = } }) 1 ln (ln lim1lim11 1t dxxdxxttt,adicintegralaimproprieeste divergent. Pentru1 avem 72 |.|

\|=+ = = + } }11lim111lim1lim11111 1 txdxxdxxttttt. Pentru1 > ( 0 1 > )avem01 1lim1== |.|

\| tt.ntr-adevrvomavea 11 11=} dxx i deci integrala improprieva fi convergent. Pentru1 < ( 0 1 < ), = = |.|

\| 11lim1lim ttt t iintegralaimproprie este divergent. Sanalizmacumcazulintegralelorimpropriidinfuncii nemrginite. Definiie:FieR ) , [ : b a fofunciedefiniticontinupe) , [ b acuproprietateac =) ( lim x fb x(sau ).Prinintegralaimpropriea funciei nemrginite f pe intervalul] , [ b anelegem dx x f dx x fbata b t} }=) ( ) ( lim .Aceastintegralsevaziceconvergentdac limita respectiv exist i este finit i se zice divergent n caz contrar. AnalogdacR ] , ( : b a festeofunciecontinupe] , ( b adar nemrginitna x =( =) ( lim x fa x(sau ))sedefinete dx x f dx x fbt a tba} }= ) ( lim ) ( . DacR ] , ( ) , [ : b c c a festeofunciecontinupedomeniulde definiiedarnemrginitnc( =) ( lim x fc x sau =) ( lim x fc x)definim pe dx x f dx x f dx x fbccaba} } }+ = ) ( ) ( ) (iconvergenaintegraleivadepindede convergenaambilortermeniaiacesteisume(aacumafostdefinitmai sus). Exemplu: S se evalueze, dac este posibil,dxx}3021. 73Cum2 = xesteunpunctdediscontinuitatepentruintegrandul 21 x (n fapt2 = xeste o asimptot vertical la grafic), vom descompune prima dat } } }+=322030212121dxxdxxdxx. Dar[ ] = = == } }2 ln ) 2 ln( lim 2 ln lim21lim2120220 0 2t x dxxdxxttttt, adicintegralaaceastaestedivergent.nacestecondiii,indiferentde convergenaintegralei }3221dxx,integralatotaldxx}3021 vafi divergent. 4.4.Integralele Euler IntegraleleEulersuntnitefunciispecialedefinitecuajutorulunor integraleimpropriiicarejoacunrolimportant,depild,ncalculul probabilitilor i statistica matematic. Prima integral Euler i funcia Beta Integrala } 101 1) 1 ( dx x xq p estenumitprimaintegralEuler.Se vedecpentru1 pi1 qaceastintegralesteointegraldefinit (proprie). n caz contrar ea este o integral improprie. Teorem: a)Dac0 > pi0 > qprimaintegralEuleresteimpropriedar convergent; b)Dac0 psau0 qatunciprimaintegralEulereste improprie i divergent. Pentru0 > pi0 > qsepoatedefinifunciaBeta(ndouvariabilepi q) prinR ) , 0 ( ) , 0 ( : B ,dx x x q p Bq p} =101 1) 1 ( ) , ( . A doua integral Euler i funcia Gama Integrala } 01dx e xx p senumeteadouaintegralEuler.Avem rezultatul: 74 a)Dac0 > patunciadouaintegralEuleresteimpropriedar convergent; b)Dac0 patunciadouaintegralEuleresteimpropriei divergent. Pentru0 > psepoatedefini,cuajutorulceleideadouaintegraleEuler (convergente),ifunciaGama,R ) , 0 ( : , } = 01) ( dx e x px p. Aceastfunciegeneralizeazconceptuldefactorialpentrunumere naturale(n!).Maiprecisavemurmtoareleproprieti:1 ) 1 ( = , ) 1 ( ) 1 ( ) ( = p p p ,dac1 > p ,)! 1 ( ) ( = n n ,pentru *N n , = |.|

\|21,) , () () ( ) (q p Bq pq p=+ , pentru0 , > q p . Integrala Euler-Poisson Integralaimproprie }02dx ex esteintegralaEuler-Poisson.Se arat c aceast integral este convergent. Verificm aceasta mai jos. ntr-adevr, prin substituia 2x t = ,t x = , tdtdx2, avem 2 212121 12101210 02 = |.|

\| = = =} } } dt e t dt etdx et t x. Alte proprieti: =} dx ex2, 222=} dx ex. 755. Metode aproximative (numerice) nceleceurmeazvomschiactevaprocedeeaproximative (numerice)utilencalcululdiferenialiintegral.Vomdaioscurt prezentareaconceptuluideinterpolarecarearpermiteaproximareaunei dependene funcionale f n zone unde aceasta nu este cunoscut analitic, pe baza unor valori) (ix fdate, cu ixdin domeniul unde f este cunoscut. 5.1.Calculul aproximativ al derivatelor Spresupunemcdorimsaproximmderivatauneifuncii derivabile f ntr-un punct a fr s cunoatem forma analitic a dependenei f,darcunoscndpe) (a fi) ( h a f +(undehesteocantitatemic,astfel c a+h s aparin domeniului de definiie a lui f). DacutilizmadezvoltareTaylorinelimitmlatermenulce conine prima derivat avem ... ) ( ' ) ( ) ( + + = + a hf a f h a f , de unde ha f h a fa f) ( ) () ( ' + . n mod analog acceptnd cunoscut funcia n dou puncte vecine a+hia-h,dezvoltareaTaylornvecintateaacestorpunctepermite stabilirea i a formulei (aproximative) hh a f h a fa f2) ( ) () ( ' + . nesenambeleaproximridemaisusnlocuiescpantatangentei geometricena( ) ( ' a f )cupantauneicoardecareunetepunctedin vecintatea lui a. Desigurcprocedeuldeaproximaresepoateextindeilacalculul derivatei de ordinul doi, etc. fr a cunoate n continuare forma analitic a dependenei f. De exempludacse cunoate) (a f ,) ( h a f ,) ( h a f +(cuhmic), dezvoltarea Taylor limitat la termenul ce conine pe) ( ' ' a fne permite s scriem c 2) ( ) ( 2 ) () ( ' 'hh a f a f h a fa f + + . 76 5.2.Interpolare SpresupunemcurmrindoanumitmrimeCnfunciedeo variabilt(variabilaindependent)sedeterminunsetdevalorialeluiC pentru anumite valori ale lui t, mai precis 25 , 7 30 , 7 45 , 7 70 , 7 80 , 7 50 , 8 30 , 10 50 , 24 ) (40 30 20 17 15 10 5 1iit Ct S figurm aceste puncte ( ) ( ,i it C t ) ntr-un reper cartezian: Dacunimprinarcecontinueacestepunctes-arobineocurbce aproximeazdependenafuncional) (t C .Evidentavndoastfeldecurb am putea obine informaii despre valorile lui) (t Ci pentru valori t diferite de it . Problema care se pune este cum s unim aceste puncte, ce curb s folosimpentrucaeroareasfiectmaimic.Saupescurt,cetehnicde interpolare, s folosim. nmatematiciexistogamlargdemetodedeinterpolare.Unele dintreelefolosescivalorialederivateidependeneifuncionale necunoscutenpunctele(nodurile) it ,altelesuntchiarconvergentectre dependenafuncionalexact) (t C C = ,cndnumrulnodurilor (punctelor) itcrete nedeterminat. 77Noivomschianceleceurmeazcelemaisimpleprocedeede interpolarecunoscute,carenuimplicdectvalorile) (it Cilacarenune vom pune problema erorii. Mai precis, dac acceptm c variaia lui) (t C , ntre dou valori iti 1 + italevariabileiindependentet,estelinear,vomaveaaanumita interpolare linear (punctele ( ) ( ,i it C t ) se vor uni cu segmente de dreapt). n esen, pentru) , (1 +i it t tavem n acest caz i ii ii it tt C t Ct t t C t C + ++11) ( ) () ( ) ( ) ( , adicndezvoltareaTaylordeordinulntiamaproximatderivata) ( 'it Cprin i ii it tt C t C++11) ( ) (. Analogdacpunctele itarfiuniteprinarcedeparabol(adic c bt at t C + + =2) ( ),apelndladezvoltareaTaylordeordinuldoiunde 1 11 1) ( ) () ( ' + +i ii iit tt C t Ct Ciar ( )( )1 11 1) ( ) ( 2 ) () ( ' ' + + + i i i ii i iit t t tt C t C t Ct C , putem scrie, pentru) , (1 1 + i it t t , ( )( )1 11 121 11 1) ( ) ( 2 ) (2) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( + + + + + + + i i i ii i i ii ii ii it t t tt C t C t C t tt tt C t Ct t t C t Cceea ce corespunde interpolrii parabolice. Exemplu:inndcont devalorilecunoscute aleluiCpentrut=1,5, 10, 15, 17, 20, 30, 40 s se determine pe) 7 ( Cfolosind a) interpolarea linear; b) interpolarea parabolic. a)58 , 95) 5 ( ) 10 () 5 7 ( ) 5 ( ) 7 ( = + C CC Cb) 45 , 95 5) 5 ( ) 10 ( 2 ) 15 (2) 10 7 (10) 5 ( ) 15 () 10 7 ( ) 10 ( ) 7 (2=+ + + C C C C CC C 78 5.3.Calculul aproximativ al integralelor Scopulacestuiparagrafestedeadaovaloareaproximativa integralei definite (de la a la b, din funcia continu f) }badx x f ) ( , n cazul n care: -f este cunoscut doar n cteva puncte (noduri) ix ; -calcululexplicitaluneiprimitiveFestefoartecomplicatsau imposibil. Metodelepropusesebazeaznesenpeinterpolareafuncieif,cu ajutorul lui) (ix f . S acceptm, pentru nceput, c avem) 1 ( + npuncte (noduri) ix , echidistante, definite prinih a xi+ = , na bh=fiind pasul (echidistana nodurilor), iarn i ,..., 1 , 0 = , cub nh a xn= + = . Aproximnd atunci aria }badx x f ) (prin ariile dreptunghiurilor, de aceeai baz na bh=i nlimi, respectiv,) (a f ,) (1x f , ...,) (1 nx f , obinem formula aproximativ )`+ }=11) ( ) ( ) (niibax f a f h dx x fcunoscutisubnumeledeformuladreptunghiurilor.Evidentceroarea aproximrii de mai sus este cu att mai mic cu ct pasul h este mai mic. Dac acum ne propunem s mbuntim aproximarea prin nlocuirea ariei dreptunghiului (pe fiecare subinterval) , (1 + i ix x ) cu aria trapezului de laturi) (ix fi) (1 + ix fse va obine o nou formul, cunoscut ca i formula trapezelor, mai precis )`+ + }=11) ( 2 ) ( ) (2) (niibax f b f a fhdx x f . Aceast formul, mai precis dect cea a dreptunghiurilor, are i ea o eroare cu att mai mic cu cth este maimic(numruln- alpunctelor ix , ). 79Dacapelmacumlainterpolareaparabolic,acceptndc cunoatem valoarea funciei f n 3 puncteh xi , ixih xi +(cunoatere n 3punctepermiteaproximarealuifprintr-oparabolc bx ax + +2),avem imediat pentru { } ) ( ) ( 4 ) (3) ( h x f x f h x fhdx x fi i ih xh xii+ + + }+. Aceastformul,cunoscuticaFormulaluiSimpsonsepoate extinde i n cazul a n+1 puncte (noduri) echidistante, cu n par (i deci n+1 impar). Aplicnd,succesiv,lafiecaretripletde3noduriinterpolarea parabolic, obinem n final Formula Simpson ( ) ( ))`+ + + }==+22122201 2) ( 2 ) ( 4 ) ( ) (3) (niiniibax f x f b f a fhdx x f . Este evident c aceast aproximare din ce n ce mai bun dac 0 h( n ), este superioar formulelor precedente, aproximarea curbei printr-un arc de parabol fiind mai bun dect aproximarea prin segmente. 80 6. Funcii de mai multe variabile n practic se ntmpl foarte des ca o mrime studiat s depind nu doardeovariabilcidemaimultevariabile,simultan.Aparedeci necesitatea extinderii conceptului defuncie deo variabil la funcii de mai multe variabile. Definiia funciei reale de mai multe (n) variabile reale Fie A, B dou mulimi din R. Prin produsul cartezian al acestor dou mulimi,notatcuB A ,senelegemulimeatuturorperechilorordonate ) , ( y x ,undeA x iB y .Evident,analog,prin nnA A A A

ori...vom nelege mulimea n-uplelor ordonate) ,..., , (2 1 nx x x , undeA xi ,n i , 1 = . Prinfunciifdenvariabiledefinitepeomulime nA R ,cu valori n R ( R A f : ), se nelege o coresponden univoc f care asociaz laoricen-uplordonatA x x xn ) ,..., , (2 1 unnumrunicrealnotatcu R = ) ,..., , (2 1 nx x x f z .Avafievidentdomeniuldedefiniiealfuncieif iar{ } R = B x x x fn) ,..., , (2 1 va fi codomeniul acestei funcii. Exemplu:n1928CharlesCobbiPaulDouglasaupublicatun studiuncareeincercausmodelezecretereaeconomieiamericanen perioada1899-1922.Modelullorsimplificaterafundamentatdefuncia =1) , ( K bL K L Q ,undeQesteproduciatotal(valoareamonetara tuturorbunurilorprodusentr-unan),Lestecantitateademuncfolosit (totalul numrului de ore lucrate ntr-un an), K mrimea capitalului investit, uncoeficientrealsubunitar,ntimpcebesteoconstantpozitiv supraunitar. Evident c aceastfuncieQ,devariabileleLiK, aredomeniulde definiie 2R+ ) , ( K Ldeoarece att L ct i K sunt0 > . Nevomlimitanceleceurmeaz,pentrusimplificare,lafunciide dou variabile) , ( y x f z = , unde 2) , ( R A y xiarR z . 6.1.Limita global VomspunecfunciaR A f :arelimitagloballnpunctul ) , ( b a(punctdeacumulareluiA)dacvalorile) , ( y x fseapropiedel 81cnd) , ( y xse apropie pe un drum arbitrar, de) , ( b a . Aceasta se va scrie l y x fb a y x=) , ( lim) , ( ) , (saul y x fb ya x=) , ( lim . Evidentcaceastapropieretrebuieprecizatriguros.Ceamai simpl i intuitiv manier pentru a realiza aceasta ar fi folosirea noiunii de distand(euclidian)ntrepunctele) , ( y xi) , ( b a ,adic 2 2) ( ) ( b y a x d + = , respectiv de distan ntre numere reale) , ( y x fi l, dat del y x f ) , ( . naceastecondiiivomspunecl y x fb a y x=) , ( lim) , ( ) , ( dacinumai dacpentru0 > ,0 > astfelcadacA y x ) , (i < + 2 2) ( ) ( b y a xatunci < l y x f ) , ( . Observm c dac,utiliznd drumuri particulare diferite, limita lui f ia valori diferite, atunci limita global nu exist. Exemplu: S se studieze existena limitei 2 22 2) 0 , 0 ( ) , (3limy xy xy x+.Dacneapropiemde) 0 , 0 ( de-a-lungulaxeireale0 = yavem,evident, 1 ) , (220= ==xxy x fy,pentruorice0 x ,ideci1 ) , ( y x fdac ) 0 , 0 ( ) , ( y xpe axa real. Dacneapropiemde ) 0 , 0 (de-a-lungulaxeiimaginare0 = xavem 33) , (220 = ==yyy x fx,pentruorice0 y ,aac3 ) , ( y x fcnd ) 0 , 0 ( ) , ( y xpe axa ordonatelor. Deoareceftindectrelimitediferitede-a-lungulunordrumuridiferite, limita global nu exist. 6.2.Continuitatea FieR R2 A f :ofuncierealdedouvariabilerealedefinit pe A i fie) , ( b aun punct de acumulare a lui A (care aparine acestuia). Definiie: Vom spune c f este continu n punctul) , ( b adac ) , ( ) , ( lim) , ( ) , (b a f y x fb a y x=. 82 OfuncieR A f :careestecontinunoricepunctaluiAvafi continu pe A. Dac f i g sunt funcii continue ntr-un acela punct atunci i g f ,g f ,g f /( 0 g ) sunt continue n punctul respectiv. 6.3.Derivate pariale FieR R2 A f :i) , ( b aunpunctdeacumularealuiAcarei aparine acestuia. Definiie:Vomspunecfestederivabilparialnraportcu variabila x, n punctul) , ( b a , dac exist a xb a f b x fa x) , ( ) , (limi aceasta ia o valoare finit. Respectiva limit se va numi derivata parial n raport cu x i se va nota cu ) , ( ) , ('b a f b axfx. Analogsedefineteiderivataparialnraportcuynotatcu ) , ( ) , ('b a f b ayfy.DacfunciaR A f :admitederivataparialn raportcux(y)noricepunctA b a ) , (atunciseziceceaestederivabil parial n raport cu x (y) pe mulimea A. Observaie:Existenaderivatelorparialealeuneifunciifntr-un punct nu implic continuitatea lui f n acel punct. Exemplu: Funcia =+ =) 0 , 0 ( ) , ( 0) 0 , 0 ( ) , ( ) , (2 2y xy xy xxyy x fnu este continu n) 0 , 0 ( deoarece dac ne apropiem de acesta pe axa real ) 0 ( = ylimitaeste0,dardacneapropiemde) 0 , 0 (pedreaptamx y =) 0 ( m , limita este egal cu012+ mm. Totui derivatele pariale ale acestei funcii, n zero, exist: 00) 0 , 0 ( ) 0 , (lim ) 0 , 0 (0==xf x fxfx iar0) 0 , 0 ( ) , 0 (lim ) 0 , 0 (0==yf y fyfy Remarc: Odat fixat o variabil, efectuarea derivatei n raport cu cealalt(derivareaparial)sefaceconformacelorairegulicaincazul funciilor de o variabil. 83 6.4.Derivate pariale de ordin superior Derivatelepariale ixf aleuneifunciifdenvariabile,n i , 1 = ,suntiele funciidenvariabilepentrucaresevaputeapune,larndullor,problema derivabilitiiajungndu-seastfelladerivateparialedeordinuldoi ' 'j ix xj i i jfx xfxfx =||.|

\| iprocesulpoatecontinuaajungndu-sela derivate pariale de ordin superior (3, 4, ..., n,...). Lema lui Schwartz: FieR A f : , 2R A . Dac exist derivatele pariale (mixte)deordinuldoi ' 'xyfi ' 'yxfielesuntcontinuenpuncteleluiA, atunci vom putea scrie ) , ( ) , (' ' ' 'b a f b a fyx xy= ,A b a ) , ( . 6.5.Extremul funciilor de mai multe variabile nceleceurmeazsevaextindeconceptuldeextrem(maximsau minim), local (relativ) sau global (absolut) la funcii de mai multe variabile. Teorem: (generalizarea Teoremei lui Fermat) FieR A f : , nA R ,ofunciedenvariabilecareadmite derivateparialedeordinulnticontinue.DacA a a a an = ) ,..., , (2 1 este un maxim (minim) local atunci 0 ) ( ... ) ( ) (2 1== ==axfaxfaxfn. Observaie: Punctele) ,..., , (2 1 na a a a =pentru care 0 ) ( ... ) ( ) (2 1== ==axfaxfaxfn poartnumeledepunctecriticesau puncte staionare. Se vede deci c pentru orice punct de extrem local derivatele pariale deordinulntiseanuleazceeacearreprezentaocondiienecesarde extrem. 84 Pentruadaiocondiiesuficientdeextrempentruunpunct staionara,spresupunemc 2C f (adicsuntfunciiceadmitderivate deordinuldoicontinue)isconstruimaanumitulHessian,maiprecis matricea ptratic de ordinul n |||||.|

\|||||||||.|

\| =nn n nnnn n nnna a aa a aa a aaxfax xfax xfax xfaxfax xfax xfax xfaxfa H.... . . .......) ( ... ) ( ) (. . . .) ( ... ) ( ) () ( ... ) ( ) () (2 12 22 211 12 11222212222221 22122 12212, cu). (2ax xfaj iij =Arelocatunciurmtoareateorem(condiiesuficientdeextrem local), Teorem: Dac a este un punct staionar pentru funciaR A f : , nA R i 2C f , atunci i dac a) urmtorii minori principali a lui) (a Hsunt toi pozitivi, adic 011> a ,021 2112 11>a aa a, ...,0.... . . .......2 12 22 211 12 11>nn n nnna a aa a aa a a atunci punctul a este un punct de minim (local) pentru f; b) urmtorii minori principali a lui) (a Halterneaz ca semn, adic 011< a ,021 2112 11>a aa a, ...,0.... . . .......) 1 (2 12 22 211 12 11> nn n nnnna a aa a aa a a atunci punctul a este un punct de maxim (local) pentru f; c)anumiiminoriprincipalinundeplinesccondiiiledesemndela a)saub)atunciaesteunpunctea(nuenicipunctdemaxim,nicide minim) iar dac sunt zero nu putem trage nici o concluzie. 85ncazulfunciilordedouvariabile 2C f ,ceacceptpunctul staionar) , ( b a ,dacnotm) , (22b axfr= ,) , (2b ay xfs = ,) , (22b ayft=i 2s rt = , atunci a) dac0 > i0 > r ,) , ( b aeste punct de minim local; b) dac0 > i0 < r ,) , ( b aeste punct de maxim local; c) dac0 < , avem un punct ea; d) dac0 = nu putem trage nici o concluzie (alte tehnici trebuiesc folosite pentru soluionarea problemei). 6.6.Extreme cu restricii (constrngeri) n acest paragraf vom discuta o metod general pentru determinarea extremelorrelativealeuneifunciialecreivariabileindependentesatisfac unasaumaimulterestricii(constrngeri).Aceastmetodestenumit metoda multiplicatorilor lui Lagrange. nfaptestevorbadeproblemadeaoptimiza(gsiextremele)unei funcii) ,..., , (2 1 nx x x fundevariabileleindependente 1x , 2x ,..., nxsunt supusecondiiilorsuplimentare(restriciilor,constrngerilor) j n jc x x x g = ) ,..., , (2 1,n m j < = ,..., 2 , 1 .Funciafestenumitifuncia obiectiv,funciile 1g , 2g ,..., mgsuntfunciiledeconstrngere(restricie) iar 1c , 2c , ..., mcsunt constantele de constrngere (restricie). Optimizarea cu restricii are un rol proeminent n teoria economic prinimportanamaximalizriiunorutilitisubrezervaunorrestriciide buget. Pentrurezolvareaproblemeideextremcurestriciioprimmetod constnexprimareacelormvariabileindependente(dinrestriciile j jc g = )cafunciidecelelalten-mvariabileindependenteiastfels eliminm, n funcia obiectiv, aceste m variabile n favoarea celorlalte (n-m). Prinaceasteliminareproblemainiial,cuconstrngeri,sevatransforma ntr-oproblemdeoptimizare,frconstrngeri,nraportcucelen-m variabile rmase. nmultecazurinuvafinsposibil,tehnicvorbind,sexprimm aceste m variabile ca funciide restul n-m. n aceast situaie va fi utilizat ometodgeneralcare,chiardacmretenumrulecuaiilori 86 necunoscutelor,areavantajuluneiuoareaplicabiliti.Estevorbade metoda multiplicatorilor lui Lagrange. Vomilustraaceastmetod,fraintrandetaliileunor demonstraii justificative, n cazul optimizrii unei funciide douvariabile ) , ( y x f ,variabilecaresuntsupuserestricieiunicec y x g = ) , ((evidentnu putem avea mai multe restricii, numrul restriciilor trebuie s fie strict mai mic dect numrul variabilelor). PrimulpasesteformareaaanumiteifunciialuiLagrange (Lagrangian) ] ) , ( [ ) , ( ) , , ( c y x g y x f y x L = , unde (multiplicatorul lui Lagrange) este n fapt o necunoscut auxiliar suplimentar. SedeterminapoipunctelecriticealeLagrangianului,adicse rezolv sistemul ===c y x gy xygy xyfy xxgy xxf) , () , ( ) , () , ( ) , ( Puncteleextremealeluifsevoraflaprintresoluiilesistemului anterior ( jucnd rolul de necunoscut auxiliar). Exemplu:Unconsumatorare ladispoziie1200 deunitimonetare (u.m.) pentru a le cheltui pe dou produse, primul costnd 40 u.m. pe unitate iaraldoilea60u.m.peunitate.SepresupunemcutilitateaUpecare consumatoruloobineprinxunitidinprimulprodusiyunitidin produsul al doilea este dat de funcia Cobb-Douglas 4 , 0 6 , 020 ) , ( y x y x U = . Cteunitidinfiecareprodustrebuiescumpereconsumatorulpentrua maximaliza utilitatea? Evident c restricia asociat problemei de maxim propus este 1200 60 40 = + y x . FormndLagrangianulavem) 1200 60 40 ( 20 ) , , (4 , 0 6 , 0 + = y x y x y x L i deci sistemul punctelor critice este 870 1200 60 400 60 80 40 126 , 04 , 0= + == ||.|

\|== |.|

\|=y xLyxyLxyxL. Prineliminarealuidinprimeledouecuaiiajungemla 94=xy adicx y94=ceea ce, mpreun cu ecuaia treia conduce la posibilulpunct de extrem18 = xi8 = y . Severificcacestaestechiarpunctuldemaximcutatfolosind faptul c o matrice Hessian este negativ definit. 6.7.O interpretarea economic a derivatelor pariale Dac) , ( L K f Q =este o funcie de producie, Q depinznd de capitalul K i cantitatea de munc L, atunci KQKQK KL K f L K fL KKfK K K== 000 0 00 0lim) , ( ) , (lim ) , (0, adic aceast derivat aproximeaz rata cu care producia se schimb n raport cu capitalul pentru un volum de munc fixat 0L L = . Dac1 = K , atunci) , (0 0L KKfQ i deci aceast derivat parial reprezint (aproximativ) modificarea produciei datorat unei creteri de capital cu o unitate. Ea se va numi i produsul marginal de capital. n mod analog) , (0 0L KLf va aproxima schimbarea produciei datorit modificrii cu o unitate a volumului de munc (pstrnd capitalul fixat 0K ) i se va numi i produsul marginal de munc. S lum, de pild, cazul funciei de producii Cobb-Douglas R ) , 0 [ ) , 0 [ : Q , 4 / 1 4 / 34 ) , ( L K L K Q = . Dac000 . 10 = Ki625 = L , producia va fi 88 000 . 20 ) 5 ( ) 10 ( 44 / 1 4 4 / 3 4= = Q . Pe de alt parte 233 ) 625 , 000 . 10 (625000 . 104= ===LK KLKQ iar 8 ) 625 , 000 . 10 (625000 . 104 / 3= |.|

\|===LKLKLQ. nfelulacestadac6250= = L LiKcretecuK ,Qvacrete (aproximativ) cuK 23. Dac10 = K , atunci 015 . 20 1023000 . 20 ) 625 , 000 . 10 ( = + Q . Dar evalund direct 99 , 014 . 20 625 ) 010 . 10 ( 4 ) 625 , 010 . 10 (4 / 1 4 / 3= = Q ,adicaproximareaeste foarte bun. n cele ce urmeaz, folosind derivatele pariale, vom arta cum i n cecondiiimodelulpropusdeCobbiDouglaspoatefiacceptatpentru evaluarea produciei totale a unui sistem economic. Condiiile de validare impuse de Cobb i Douglas ar fi urmtoarele: a) Dac fie capitalul fie volumul de munc se anuleaz, acela lucru va fi i cu producia; b)Produsulmarginaldecapitalesteproporionalcucantitatea produciei pe unitatea de capital; c)Produsulmarginaldemuncesteproporionalcucantitatea produciei pe unitatea de munc. Adouacondiiespunec KQKQ = sau KKQQ = ,cu o constant.DacadmitemcLesteconstant,integrndambiimembrin raport cu K, obinem 1ln ln ln C K Q + = ,unde 1CesteofunciedeL,adic K L C L K Q ) ( ) , (1= . Analogdincerinatreia L K C L K Q ) ( ) , (2= ,adic,combinnd rezultatele precedente, L bK L K Q = ) , ( , unde b este o nou constant. Daccapitalul ivolumuldemunccresc amndoudem oriavem ) , ( ) , ( L K Q m L K bm mL mK Q + += = ,iacceptndciproducia cretedemori,avemnmodnecesarca1 = + idecirezultfuncia cunoscut a lui Cobb i Douglas 89 =1) , ( L bK L K Q . 6.8.O problem de maxim Un productor al unui singur produs are dou tipuri de clieni. Dac produce a uniti pentru clienii de tip 1, atunci aceti clieni sunt dispui s plteasca 10 100 europeunitate.Dacproducebunitipentruclienii de tip 2, acetia vor pltib 20 200 euro pe unitate. Costurile productorului ncondiiileproduceriiacuniti,suntc 40 180 +euro.nscopul maximalizriiprofituluicttrebuiesseproducpentrufiecarepia (pentru fiecare tip de clieni)? Evident c funcia de profit este )] ( 40 180 [ ) 20 200 ( ) 10 100 ( ) , ( b a b b a a b a f + + + = . Punctele critice (staionare) sunt date de sistemul: 0 40 160 40 40 2000 20 60 40 20 100= = == = =b bbfa aaf de unde) 4 , 3 ( ) , ( = b a . Formnd pe20 ) 4 , 3 (' '2 =af ,40 ) 4 , 3 (' '2 =bfi 0 ) 4 , 3 ( ) 4 , 3 (' ' ' '= =ba abf f ,atunci0 20 < = ri0 800 > = ,deci3 = ai 4 = beste un punct de maximum pentru funcia profit. 90 7. Ecuaii difereniale Definiie: Se numete ecuaie diferenialde ordin n pentru o funcie ) (x f y =olegtur(relaie)ntrevariabilaindependentx,funcia ) (x f y =i cele n derivate succesive' y ,' ' y , ..., ) (ny , adic 0 ) ,..., ' ' , ' , , () (=ny y y y x F , AiciFesteofuncieden+2variabile,definitpeun 2 nR+ A ,icu valori n R. Ordinul ecuaiei difereniale este ordinul maxim al derivatei funciei ) (x yprezent n ecuaie. Arezolva(integra)ecuaiadiferenialnseamnagsitoate funciile) (x y ,derivabiledenoricareverificaceastecuaie.Aceste funcii se vor numi soluii sau (curbe) integrale ale ecuaiei difereniale. 7.1.Ecuaii difereniale de ordinul nti S considerm o ecuaie diferenial de ordinul nti, adic o ecuaie de forma0 ) ' , , ( = y y x F , undeR R3 A F : . RezolvareaacesteiecuaiidiferenialedepindedeformafuncieiF. n cele ce urmeaz vom da cteva cazuri particulare importante. Ecuaii cu variabile separabile Prinecuaiecuvariabileseparabilevomnelegeoriceecuaiede forma 0 ) ( ' ) ( = x a y y b ,0 , b afiind funcii date. Cum dxdyy = ' ,ecuaiademaisussepoateseparan dy y b dx x a ) ( ) ( = , fiecare din cei doi membri ai egalitii depinznd fie de x fie de y. Soluiasevaobineintegrnd(nedefinit)fiecaremembrual egalitii, n raport cu x, respectiv cu y, adic } }= dy y b dx x a ) ( ) ( . Se obine 91astfellegturantreyixcesatisfaceecuaia,adicfunciasoluie ) (x y y = . Exemplu: Fie ecuaiay xy = ' . Aceast ecuaie se retranscrie Cx y C exykxyk x yxdxydyydxdyxk= = = + = = =ln ln lnundeR C k, . Observmcsoluiauneiastfeldeecuaiidiferenialedepinde ntotdeaunadeoconstantCnumitconstantdeintegrare.nfaptavem, datorit prezenei acestei constante, o familie de soluii (curbe integrale). Pentruaindividualizaacestecurbe(soluii)trebuiecaecuaiei diferenialesiseataezeaanumitelecondiiiiniialeadic,pentru ecuaiilediferenialedeordinulnti,savemiocondiiedetipul 0 0) ( y x y =(condiia Cauchy). Adeterminaaceasoluiecaresatisfaceoastfeldecondiieiniial (numit i problema Cauchy) nseamn a determina acea curb din familia de soluii care trece prin punctul) , (0 0y x . Dac,nexemplulprecedent,secautsoluiapentrucare1 ) 1 ( = y , avem1 1 1 = = C Ci soluia unic va fix y = . Evidentcpentruoecuaiediferenialdeordinulnavemn constantedeintegrareivafinevoiedencondiiiiniialepentru determinarea lor. Ecuaiidiferenialelinearedeordinulntiomogene(fr membru drept) Este vorba de ecuaiile de forma 0 ) ( ' ) ( = + y x b y x a , cu a i b funcii date de x,0 ) ( x a . Linearitateaimpliccfuncianecunoscutyiderivata' yapardoarla puterea nti. Sevedeimediatcsoluiageneralauneiastfeldeecuaii reductibillaoecuaiecuvariabileseparabile,este }= dxx ax bCe y) () (,unde R C . Exemplu:0 2 ' = y xy( 2 ) ( , ) ( = = x b x x a ) 92 R = = = = = } }C k Cx y x e yxdxydyxdxydyydxdyxk, , 2 2 22 2. Ecuaiidiferenialelinearedeordinulntineomogene(cu membrul drept nenul) Este vorba de ecuaiile ) ( ) ( ' ) ( x g y x b y x a = + , unde a, b i g sunt funcii de x,0 ) ( x a ,0 ) ( x g . Exist dou metode pentru rezolvarea acestei ecuaii: 1) metodaidentificrii o metod mai simpl dar cu cmp de aplicabilitate mai redus; 2) metoda variaiei constantei (a lui Lagrange) o metod mai general dar mult mai laborioas. Rezolvarea prin metoda identificrii Aceast metod nu va fi aplicabil dect dac: 1) coeficienii ecuaiei sunt constani, adica x a = ) (ib x b = ) ( ; 2)membruldreptestefieofunciepolinom,fieofuncie exponenialmultiplicatcuunpolinom,fieofuncielinearnkx sini kx cos . Searatcdac... ) (1+ + = n nNx Mx x gsau kxne x P x g ) ( ) ( =sau ) cos( ) sin( ) ( kx N kx M x g + =atunciecuaiaadmiteosoluieparticularde tipul) (x Q Yn= ,respectiv kxne x Q Y ) ( =sau kxne x xQ Y ) ( =(dacsoluia generalaecuaieiomogeneeste kxCe-deciareacelak!),respectiv ) cos( ) sin( kx B kx A Y + = . Aici) (x Pn i) (x Qn suntpolinoamedegraduln,coeficieniilui ) (x Qn urmndafideterminaiprinmetodaidentificriiadoupolinoame (egalarea coeficienilor acelorai puteri). Odat ce avem soluia particular Y a ecuaiei neomogene date, dac aceastaseadaugsoluieigeneraleaecuaieiomogeneasociate(careeste evidentR =C Ce yxab,0)seobinesoluiageneralaecuaiei neomogene. Exemplu: S se rezolve ecuaia) ( ' x g y y = +( 1 = = b a ). 93Cautmlanceputsoluiageneral 0yaecuaieiomogeneasociate,adic R = = = = +} }C Ce y dxydyydxdyy yx, 0 '0. S presupunem c) (x geste acum de forma: 1) 2) ( x x g =Membruldreptfiindunpolinomdegraduldoiacelalucruvom puteaspuneidespresoluiaparticularD Bx Ax Y + + =2.nlocuind aceastformasoluieiparticularenecuaie,prinidentificarea polinoamelorseajungelaurmtorulsistemalgebricpentrunecunoscutele A,B i D 1 = A0 2 = + B A0 = + D B ,adic1 = A ,2 = B ,2 = Didecisoluia2 22+ = x x Y ,iar soluiageneralaecuaieineomogenevafi 2 220+ + = + =x x Ce Y y yx; 2) xe x g = ) (Acumformageneralasoluieiparticularevafi xAe Y =i,prin nlocuireanecuaieseobine x xe Ae = 2 ,adic 21= Aiavem xe Y21= . Soluia general a ecuaiei neomogene va fi atunci x xe Ce Y y y210+ = + =. Observaie: Cnd xe x g= ) (- aceeai form a funciei exponeniale regsindu-seinsoluiageneral a ecuaieiomogene,soluiaparticular Y se va cuta sub forma1 = =A Axe Yx, adic xxe Y= ; 3)x x g sin ) ( =Formageneralasoluieiparticulareax B x A Y cos sin + =care, prinintroducerenecuaieiidentificare,conducela 21= = B A ,adic x x Y cos21sin21 = . Avem atunci pentru x x Ce Y y yxcos21sin210 + = + =. 94 Rezolvarea prin metoda variaiei constantei (a lui Lagrange) Vomreluaecuaialineardeordinulntineomogenncazulcnd coeficienii nu mai sunt n mod necesar constani adic ) ( ) ( ' ) ( x g y x b y x a = + ) 0 ) ( ( x a . Evidentcecuaialineardeordinulntiomogenasociat 0 ) ( ' ) ( = + y x b y x aaresoluiageneral }= dxx ax bCe y) () (0,R C .Snotm, pentrusimplificare, }= ) () () (x F dxx ax b iscutmsoluiaparticularYa ecuaieineomogenesubforma ) () (x Fe x C Y = ,unde) (x Cesteofunciece trebuie determinat. nlocuind n ecuaie aceast form pentru Y obinem ) ( ) ( ' ) ( ] ) ( )' )( ( )[ () ( ) ( ) ( ) ( ' ) ( ) ( ) ( ' ) () (0) ( ) () ( ) ( ) (x g e x C x a e x b e x a x Cx g e x C x b e x F x C x a e x C x ax F x F x Fx F x F x F= + + = + +=

Cumparantezaptratdemaisusestezero() ( x Fefiindosoluieaecuaiei omogeneasociate)varezultacnmodnecesar ) () () () ( 'x Fex ax gx C=de unde, prin integrare, se obine }= dx ex ax gx Cx F ) () () () ( . Soluia general a ecuaiei neomogene y va fi }+ = + = dx ex ax ge Ce Y y yx F x F x F ) ( ) ( ) (0) () (, cu } = dxx ax bx F) () () ( . Exemplu:Considerndecuaia) ( ' x g y y = + ,cu xCe y=0,relund raionamentulanteriorpentru1 = ai1 = b ,obinemnfinal }= dx e x g x Cx) ( ) ( . n cazul 2) ( x x g = , k x x e dx e xe e x dx xe e x dx e x x Cx x x x x x x+ + = + = = =} } }) 2 2 ( 2 2 2 ) (2 2 2 2 (undes-afolosit,dedouori,integrareaprinpri).Avematunci

02 22yxYke x x y+ + =

,nconcordancurezultatulobinutprinmetoda identificrii. 957.1.1. Ecuaii difereniale omogene Definiie:Oecuaiediferenialestenumitomogendac nlocuind pe x prin kx i y prin ky ecuaia rmne neschimbat. nesenoastfeldeecuaiesepoatescriesubforma) ( 'xyh y = . Notndatunci xyt =( 0 x )adictx y =ixdt tdx dy + =ecuaiadevine ) (t hdxxdt tdx=+ adicoecuaiecuvariabileseparabiledeforma 0 ) ( ) ( = + dt t n dx x m . Dup rezolvare t va fi n final nlocuit cu xy. Exemplu:Sserezolveecuaiadiferenialxydx dy y x = + ) (2 2. Observndc,prinnlocuireakx x iky y ecuaiarmne neschimbat, putem afirma c aceast ecuaie diferenial este omogen. Fieatuncitx y =ixdt tdx dy + = .Prinnlocuireobinem dx tx xdt tdx x t x2 2 2 2) )( ( = + +caresemaiscriedx x t dt t x2 3 2 3) 1 ( = +) 0 ( t dxxdttt 1 132 =+ adic k xtt dxxdtt t+ = = |.|

\|+} }ln21ln1 1 12 3 sau, xyt = , kyxy = 222ln . Ultimulrezultatestenfaptosoluieimplicit,deforma 0 ) , ( = y x f ,carenuarpermiteexprimarealuiynfunciedex.Darease poate reprezenta parametric prin formulele ktte cce tx ytec x == ==unde ,222121. O definiie mai general a unei ecuaii difereniale omogene este cea auneiecuaiideforma) , ( ' ) , ( y x g y y x f =undefigsuntdoufuncii omogenedeacelaordinm(adic) , ( ) , ( y x f k ky kx fm=i ) , ( ) , ( y x g k ky kx gm= ) 96 Exemplu: Ecuaia

dx xy dy y xy xxyyy x g y x f ) , ( ) , (2 22 2) ( ' = + +=

. Darfunciilefigsuntomogenedeunacelaordin(2)deoarece ) , ( ) , (2y x f k ky kx f =i) , ( ) , (2y x g k ky kx g = . Defaptecuaiadatsepoateretranscrieisubforma(dejastudiat), ) ( 'xyh y = , observnd c ) () / ( 1/) / 1 () / ('2 2 2 222 2xyhx yx yx y xx y xy xxyy =+=+=+= 7.2.Ecuaii difereniale de ordinul doi Definiie:Senumeteecuaiediferenialdeordinuldoiorice ecuaie de forma0 ) ' ' , ' , , ( = y y y x F ,R A xadicorelaientrevariabilaindependentx,funciaR A y :i derivatele sale' yi' ' y(definite pe un acela A). Ecuaiidiferenialedeordinuldoicaresepotreducelaecuaii (un sistem de) de ordinul nti Dac avem ecuaii de forma0 ) ' ' , ' , ( = y y x F- adic n care nu apare explicitfuncia) (x y y = ,acesteasepotreduceladouecuaiidifereniale deordinulnti.ntr-adevrpunnd' y z =(ideci' ' ' y z = )relaiademai susdevineoecuaiediferenialdeordinulnti0 ) ' , , ( = z z x F .Integrnd aceastasevadetermina) (x ziapoidinecuaiadeordinulnti' y z =se determin i) (x y . Exemplu: S se rezolve ecuaia diferenial0 ' ' ' = +y y . Punnd' y z = , ecuaia de mai sus devine + = = = +1ln 0 ' C x z dxzdzz zxe C z= 2) (12Ce C = . Imediat 4 3) ( C e C y dx x z yx+ = =}. 97Ecuaiidiferenialelinearedeordinulaldoileacucoeficieni constani fr membrul doi Ne vom limita la acest tip de ecuaii difereniale de ordinul al doilea pentru a putea utiliza, n condiiile