Clasa a XII-a - ALGEBRA - 1 - Partea I - Legi de compozitie · Clasa a XII-a - ALGEBRA - 3 - Partea...

Clasa a XII-a - ALGEBRA - 1 -

Partea I - Legi de compozitie

Legi de compozitie

Definitia pprroodduussuulluuii ccaarrtteezziiaann :

- Fie M o multime nevida ;

- Prin produsul cartezian MM intelegem multimea tuturor perechilor de elemente

yx,

unde : prima componenta este x iar cea de-a doua este y , cand Myx , , adica :

MyxyxMM ,/,

Definitia lleeggiiii ddee ccoommppoozziittiiee :


- Se numeste ooppeerraattiiee aallggeebbrriiccaa bbiinnaarraa sau lleeggee ddee ccoommppoozziittiiee iinntteerrnnaa sau simplu lleeggee

ddee ccoommppoozziittiiee definita pe M o aplicatie :

MMM : , yxyx ,,

care asociaza fiecarei perechi MMyx , unicul element Myx , .

- Elementul yx, se numeste cccooommmpppuuusssuuulll llluuuiii x cccuuu y .



Legi de compozitie

Observatii :

11)).. La orice pereche (cuplu) MMyx , = M2 , aceasta operatie face sa corespunda in

mod unic elementul yx, din aceeasi multime M .

22)).. Uneori in loc de yx, se poate scrie : y x .

333)))... Pentru elementul yx, , numit compusul lui compozitie de legeaprin cu yx , se

pot folosi diferite notatii :

yx * , yx , yx , yx , yx , yx , yx , yx , yx , etc.

Se intelege ca in majoritatea cazurilor aceste denumiri sunt conventionale .

44)).. In general pe M se pot defini mai multe operatii diferite .

Cand dorim sa punem in evidenta una dintre ele vom utiliza parantezele :

* , M

si vom spune ca operatia " * " confera multimii M o ssstttrrruuuccctttuuurrraaa aaalllgggeeebbbrrriiicccaaa sau ca * , M

este un sssiiisssttteeemmm aaalllgggeeebbbrrriiiccc .

Definitia lleeggiiii ddee ccoommppoozziittiiee AADDIITTIIVVAA :

- Aplicatia : MMM : , yxyx ,, cu :

yxyx ,

desemneaza o lleeggee ddee ccoommppoozziittiiee aaddiittiivvaa .

Definitia lleeggiiii ddee ccoommppoozziittiiee MMUULLTTIIPPLLIICCAATTIIVVAA :

- Aplicatia : MMM : , yxyx ,, cu :

yxyx ,

desemneaza o lleeggee ddee ccoommppoozziittiiee mmuullttiipplliiccaattiivvaa .



Legi de compozitie

Concluzie :


- Numim lege de compozitie interna ( operatie algebrica ) pe multimea M orice functie

definita pe MM cu valori in M :

MMM :* , yxyx *,

care asociaza fiecarui cuplu MMyx , un unic element Myx * .

- Elementul Myx * se citeste : yx cu compus ( sau yx cu operat ) in aceasta

ordine .

Important :

- Fie M o multime nevida si legea " * " ;

- Cuplul * , M este un sistem algebric sau vom spune ca operatia " * " confera

multimii M o structura algebrica

dddaaacccaaa sssiii nnnuuummmaaaiii dddaaacccaaa

pentru aplicatia : MMM :* , yxyx *,

avem :

Myx * , Myx , .



Legi de compozitie

Introducere :

- Fie * , M o structura algebrica ;

- Si H o submultime nevida a lui M , MH ;

- Este posibil ca pentru Hyx , elementul yx * sa fie :

1). In multimea H , adica Hyx * ;

2). Sau sa fie in afara ei , adica HMyx * .

Definitie ppaarrttee ssttaabbiillaa :

- Pentru orice Hyx , , compusul yx * apartine tot lui H , adica Hyx * ,

atunci putem spune ca H este parte stabila a lui M in raport cu operatia " * " .

Concluzie :

- Daca H este o parte stabila a lui M in raport cu legea de compozitie MMM :

atunci pe H putem defini legea de compzitie :

HHH :'

punand :

Hyxyxdef

,,'

, Hyx , .

- Vom spune ca ' este legea de compozitie pe H de catre .



Legi de compozitie

- Fie M o multime finita , aaaM n,.....,, 21 ;

- O lege de compozitie pe M , MMM : , poate fi data prin ceea ce este

cunoscut sub numele de tabla operatiei , care consta dintr-un tabel cu n linii si n coloane

afectate celor n elemente ale lui M .

- Tabla legii de compozitie contine la intersectia liniei lui ai cu coloana a j

elementul aa ji , .

a1 a2 a3 ..... ..... ..... a j ..... an

a1 .

a2 .

a3 aa 23, .

... .

... .

ai ..... ..... ..... ..... ..... ..... aa ji ,

...

...

an

Observatii :

Din tabla unei operatii pe o multime finita putem deduce urmatoarele proprietati :

1). Daca multimea M este parte stabila in raport cu legea " * " este o lege de compozitie pe

M ( constatand ca toate rezultatele compunerilor aa ji* sunt din M ) .

2). - comutativitatea ;

- elementul neutru , (daca exista ) ;

- simetricul fiecarui element , (daca are ) .



Legi de compozitie

Exercitiul nr. 1 : ( Schneider )

Sa se arate in fiecare din urmatoarele cazuri ca multimea M este parte stabila a lui E

in raport cu legea de compozitie specificata :

1). ;2M , RE , 622* yxxyyx ;

2). ;1M , RE , 3222* yxxyyx ;

3). ;2M , RE , 10663* yxxyyx ;

4). ;4M , RE , 16*22 yxyx ;

5). 3;1M , RE , 622* yxxyyx ;

6). 6;4M , RE , 3055* yxxyyx ;

7).

;

2

5M , RE ,

5

6*

yx

xyyx ;

8). ;2M , RE , 4

2*

yx

xyyx ;

9). 1;M , RE , yx

xyyx

3

2* ;

10). 2;1M , RE , 5332

6443*

yxxy

yxxyyx ;

11). ;1M , RE , 2*2222 yxyxyx ;

12).

Nyx

xy

yxM ,

25

42 , RME 2 , inmultirea matricilor ;

13).

Nyx

xy

yxM ,

43

2 , RME 2 , adunarea matricilor ;

14). ZyxyxM ,5 , RE , inmultirea numerelor reale .

Exercitiul nr. 2 : ( Mircea Ganga )

Sa se arate ca : 1 zCzH este parte stabila a lui C ia raport cu operatia de

inmultire .



Legi de compozitie

Exercitiul nr. 3 : (Mircea Ganga )

Pe R se considera legea de compozitie : 62* yxxyyx .

Sa se arate ca 3;1H este parte stabila a lui R in raport cu legea " * " .


Pe R se considera legea 84205 yxxyyx .

Sa se arata ca ;4H este parte stabila a lui R in raport cu legea " " .


Pe R consideram legea de compozitie : 9*22 yxyx . Aratati ca ;3H

este o parte stabila a lui R ia raport cu legea " * " .


Fie RMa

a

a

aAH 30

00

010

0ln1

. Aratati ca H este parte stabila a

lui RM 3 in raport cu operatia de inmultire .


Fie RMRAH 2 cossin

sincos

. Sa se arate ca H este parte

stabila a lui RM 2 in raport cu operatia de inmultire .


Fie ZMdcbaZdcbadc

baH 2,,,,

. Aratati ca H este parte

stabila a lui ZM 2 in raport cu operatia de inmultire a matricilor .



Legi de compozitie


Fie

Qyxyx

xy

yxAQMAH ,,134,

2

32

22

2 . Aratati ca H este

parte stabila a lui QM 2 in raport inmultirea matricilor .


Pe R se defineste legea de compozitie " * " prin xyyxyx * . Sa se determine

Ra astfel incat multimea ,aH sa fie parte stabila a lui R in raport cu legea " * " .

Exercitiul nr. 11 : (Teste grila admitere Poli )

Multimea valorilor lui Ra , pentru care intervalul ;6 este parte stabila in raport

cu operatia ayxxyyx 66* .



Legi de compozitie

Vom considera structura algebrica ,*M

Adica M o multime nevida echipata cu o lege de compozitie " * " :

MMM :* , yxyx *, .

Definitie AASSOOCCIIAATTIIVVIITTAATTIIII :

- O lege de compozitie MMM :* , yxyx *, se numeste aassoocciiaattiivvaa daca :

zyxzyx **** , Mzyx ,,

Observatii AAssoocciiaattiivviittaattee :

1). Daca legea " * " este asociativa , atunci se omit in scriere parantezele si se scrie simplu

zyx **

2). Vom da acelasi nume structurii algebrice ,*M definita prin legea " * " , adica vom

spune ca este o structura algebrica asociativa , sau spunem simplu ca legea este asociativa pe M

3). Daca H este o parte stabila a lui M in raport cu legea " * " si daca " * " este

asociativa pe M , atunci legea " * " ramane asociativa si pe H . Altfel spus ,*H devine o

structura algebrica asociativa .

4). O lege " * " nu este asociativa daca exista Mzyx ,, pentru care :

zyxzyx ****



Legi de compozitie


Sa se arate ca urmatoarele legi de compozitie sunt asociative :

1). 627* yxxyyx pe Z ;

2). 227* yxxyyx pe Z ;

3). 1237* yxxyyx pe ;3 ;

4). xy

yxyx

1* pe 1;1 ;

5). 2*2222 yxyxyx pe ;1 ;

6). Inmultirea matricilor pe

Ryx

xy

yxM ,

32 ;

7). xyx yln3* pe ;11;0 ;

8). 11*

1lg

xyx

y pe ;1 .


Sa se arate ca urmatoarele legi de compozitie nu sunt asociative :

1). 105* yxxyyx pe R ;

2). 52* yxxyyx pe R ;

3). xyx y 5* pe N ;

4). yx

yxyx

22*

pe 1R .

Exercitiul nr. 3 : ( Ganga )

Stabiliti care din urmatoarele aplicatii sunt algebrice asociative pe submultimea ;0 :

1). 2

*ba

ba

2). 1 baba

3). abba 2 4). aba b



Legi de compozitie

5). abba * 6). abab

log

7). baba ,max 8). baba .


Pe R se definesc urmatoarele legi de compozitie :

1). 2* yxyx 2). xyyx 4

3). xyyxyx 7 4). 2044 yxxyyx

5). 2

*xy

yxyx 6). 3 33 yxyx

Care din aceste legi este asociativa ?


Fie RMARbaab

baAH 21det,,

.

Aratati ca :

1). H este parte stabile a lui RM 2 in raport cu inmultirea matricilor .

2). ,H este structura algebrica asociativa .


Pe R se considera legea de compozitie : ymxyx * , Rm . Sa se determine m

astfel incat legea sa fie asociativa .


Pe R se considera legea de compozitie : yxaxyyx 2* , Ra . Determinati

a astfel incat legea sa fie asociativa .


Pe R definim legile de compozitie :

1* byaxyx , cyxxyyx 222 , Rcba ,,

Determinati cba ,, astfel incat operatiile sa fie asociative .



Legi de compozitie


adica M o multime nevida echipata cu o lege de compozitie " * " :

MMM :* , yxyx *, .

Definitie CCOOMMUUTTAATTIIVVIITTAATTEE :

- O lege de compozitie MMM :* , yxyx *, se numeste ccoommuuttaattiivvaa daca :

xyyx ** , Myx ,

Observatii CCoommuuttaattiivviittaattee :

1). Daca pentru structura algebrica ,*M definita prin " * " avem ca " * " este

comutativa , atunci structura algebrica este comutativa sau simplu spunem ca " * " este

comutativa pe M .

2). Daca H este o parte stabila a lui M in raport cu legea " * " si daca " * " este

comutativa pe M , atunci legea " * " ramane comutatuva si pe H . Altfel spus ,*H

devine o structura algebrica comutativa .

4). O lege " * " nu este comutativa daca exista Myx , astfel incat :

xyyx **



Legi de compozitie


Sa se arate ca urmatoarele legi de compozitie sunt comutative :

1). 877* yxxyyx pe ;1 ;

2). 5

6*

yx

xyyx pe

;

2

5 ;

3). 25*22 yxyx pe ;5 ;

4). 11*

1ln2

1

xyxy

pe ;22;1 .


Sa se arate ca urmatoarele legi de compozitie nu sunt comutative :

1). Inmultirea matricilor pe multimea :

Nyx

yx

yxM ,

32 ;

2). Inmultirea matricilor pe multimea :

Ryx

yx

yxM ,

53 ;

3). xyx y 1* pe N ;

4). xyx y2

* pe R .


Fie ;4;3;2;1H si pe R legea de compozitie :

restin , 5

2 si 2 daca , *

y

yxxyyx

Aratati ca ,*H este structura necomutativa .



Legi de compozitie


Pe R se considera legea de compozitie : 204 yxxyyx . Fie 5;3H .

Aratati ca ,H este o structura algebrica comutativa .


Fie

Ra

aARMAH aa ,

10

1 2 . Aratati ca ,H este structura

algebrica comutativa , unde " " este inmultirea obisnuita a matricilor .


Fie 2;1 H si aplicatia 11*1ln

xyxy

. Sa se arate ca ,*H este o

structura algebrica comutativa .


Pe R se defineste legea de compozitie : yxyx 3 . Aratati ca " " este o lege

necomutativa .


Pe multimea ;2H se considera aplicatia : 622* yxxyyx . Aratati

ca ,*H este structura algebrica comutativa .


Pe multimea 1;H se considera aplicatia : 3

2*

yx

xyyx . Demonstrati ca

,*H este structura algebrica comutativa .


Se considera

RMRaaa

aaAH a 2

* ; 1212

12

. Demonstrati ca

structura algebrica ,H este structura algebrica comutativa , unde " " este inmultirea

obisnuita a matricilor .



Legi de compozitie


Fie RMyxRyxyxy

yyxH 2

2212,,

47

24

. Aratati ca ,H este



Se considera 1;0 H si aplicatia xyx y3ln* . Sa se arate ca ,*H este o



Pe R se defineste legea de compozitie definita prin : byaxxyyx 2* , Rba , .

Determinati ba, pentru care legea este asociativa si comutativa .



Legi de compozitie



MMM :* , yxyx *, .

Definitie EELLEEMMEENNTT NNEEUUTTRRUU :

- Un element Me se numeste eelleemmeenntt nneeuuttrruu pentru o lege de compozitie

MMM :* , yxyx *, daca :

xexxe ** , Mx

Teorema :

- Daca o lege de compozitie admite element neutru , atunci acesta este unic .

Observatii EElleemmeenntt nneeuuttrruu :

1). Daca H este o parte stabila a lui M in raport cu legea " * " si daca Me este

element neutru pentru legea " * " , atunci daca He . acesta ete element neutru al legii

induse de " * " pe multimea H .

Definitie EELLEEMMEENNTT NNEEUUTTRRUU llaa ssttaannggaa :

- Un element Me se numeste eelleemmeenntt nneeuuttrruu llaa ssttaannggaa pentru o lege de compozitie :

" * " , MMM :* , yxyx *, daca :

xxes * , Mx .

Definitie EELLEEMMEENNTT NNEEUUTTRRUU llaa ddrreeaappttaa :

- Un element Me se numeste eelleemmeenntt nneeuuttrruu llaa ddrreeaappttaa pentru o lege de compozitie :

" * " , MMM :* , yxyx *, daca :

xex ds * , Mx



Legi de compozitie

Important :

- Daca un element Me este element neutru pentru legea " * " daca si numai daca e

este element neutru atat la stanga cat si la dreapta .


Pe multimea ;2H definim aplicatia " * " : 1063* yxxyyx .

Sa se arate ca " * " este o lege de compozitie pe H . cu element neutru .


Pe multimea ;31; M se considera aplicatia : 62* yxxyyx .

Aratati ca ;*M este o structura algebrica fara element neutru .


Pe multimea 7;5H definim aplicatia : 4266* yxxyyx .

Aratati ca ;*H este o structura algebrica avand elementul neutru 7e .


Fie iCH o submultime a lui C . Definim pe C legea de compozitie :

iyxixyyx 1

Aratati ca ;H este o structura algebrica cu elementul neutru ie 1 .


Sa se calculeze elementul neutru fata de legea :

a). 1233* yxxyyx pe ;3 ;

b). 12

*

yxxy

xyyx pe 1;0 ;

c). xy

yxyx

1* pe 1;1 ;



Legi de compozitie

d). xyx yln3* pe ;11;0

e). 2*2222 yxyxyx pe ;1 .


Sa se arate ca nu exista element neutru fata de legea :

a). 444

34*

yx

xyyx pe

2

3; ;

b). 622* yxxyyx pe ;31; .



Legi de compozitie



MMM :* , yxyx *, .

Vom presupune in plus ca aceasta lege de compozitie este asociativa si ca admite element

neutru , fie acesta e .

Definitie EELLEEMMEENNTT SSIIMMEETTRRIIZZAABBIILL :

- Un element Mx se numeste ssiimmeettrriizzaabbiill in raport cu o lege de compozitie

MMM :* , yxyx *, , asociativa si cu element neutru , daca exista un element :

Mx'

astfel incat exxxx '' ** , Mx

Observatii EElleemmeenntt SSiimmeettrriizzaabbiill :

1). Daca Mx este simetrizabil , atunci unicul element Mx'

cu proprietatea :

exxxx '' **

se numeste ssiimmeettrriiccuull lluuii x ( in raport cu operatia " * " ) .

2). Facem precizarea si in acest caz ca simetricul lui x , elementul x' trebuie sa

apartina multimii M .

Definitie EELLEEMMEENNTT SSIIMMEETTRRIICC llaa ssttaannggaa :

- Fie ,*M o operatie algebrica avand Mes element neutru la stanga si Mx .

Spunem ca Mxs'

este un simetric al lui x la stanga in raport cu legea " * " daca :

exx ss *'

- Se mai spune ca Mx este simetrizabil la stanga in raport cu " * " daca exista

Mxs'

pentru care :

exx ss *' .



Legi de compozitie

Definitie EELLEEMMEENNTT SSIIMMEETTRRIICC llaa ddrreeaappttaa :

- Fie ,*M o operatie algebrica avand Med element neutru la stanga si Mx .

Spunem ca Mxd'

este un simetric al lui x la dreapta in raport cu legea " * " daca :

exx dds '*

- Se mai spune ca Mx este simetrizabil la dreapta in raport cu " * " daca exista

Mxd'

pentru care :

exx dds '* .

TEOREMA :

- Fie ,*M o operatie algebrica asociativa si cu element neutru e . Daca Mx are

un element simetric , atunci acesta este unic .

TEOREMA :

- Fie ,*M o operatie algebrica asociativa si cu element neutru . Atunci :

1). Daca elementele Myx , sunt simetrizabile , atunci compusul lui x cu y

este simetrizabil si mai mult :

xyyx '''**

2). Daca elemntul Mx este simetrizabil , simetricul sau , x' , este de asemenea

simetrizabil si :

xx ' '

3). Daca Mx este simetrizabil , iar My nu este simetrizabil , atunci :

Mxyyx *,*

nu sunt simetrizabile .



Legi de compozitie


Sa se studieze simetrizabilitatea elementelor urmatoarelor multimi in raport cu legile de

compozitie specificate :

a). ZM ; 2* yxyx ;

b). ;4M ; 16*22 yxyx ;

c). 7;5M ; 4266* yxxyyx ;

d). RM ; 25

7

5

22* yxxyyx ;

e). ;11;0 M ; xyx yln3* ;

f). 1;0M ; 12

*

yxxy

xyyx ;

g). ;2M ; 62* yxxyyx .


Pe multimea ;2H definim aplicatia " * " : 1063* yxxyyx .

Sa se arate ca " * " este o lege de compozitie pe H . cu element neutru . Determinati

elementele simetrizabile din H in raport cu legea " * " .


Pe multimea 7;5H definim aplicatia : 4266* yxxyyx .

Aratati ca ;*H este o structura algebrica avand elementul neutru 7e . Determinati

elementele simetrizabile din H in raport cu legea " * " .



Legi de compozitie

Fie 0n un numar intreg ;

Daca Zba , am definit :

Definitie SSuummaa mmoodduulloo nn :

- Definim sssuuummmaaa mmmoooddduuulllooo n a lui a cu b , notata cu : ba ca fiind restul impartirii prin

n al numarului ba :

nbabadef

mod

Definitie PPrroodduussuull mmoodduulloo nn :

- Definim ppprrroooddduuusssuuulll mmmoooddduuulllooo n a lui a cu b , notata cu : ba ca fiind restul impartirii

prin n al numarului ba :

nbabadef

mod

S-au obtinut astfel doua legi de compozitie pe Z :

1). ZZZ , baba ;

si

2). ZZZ , baba ;

numite aadduunnaarreeaa mmoodduulloo n , respectiv iinnmmuullttiirreeaa mmoodduulloo n .

Observatii :

1). Vom nota cu n multimea claselor modulo n : 1,.....,3,2,1,0 nn

Exemplu : 5,4,3,2,1,06 sau 11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,012 etc.



Legi de compozitie

Lema :

- Fie Zba , ;

- Atunci oricare ar fi Zkh , avem : 1). bankbnha

si

2). bankbnha .

TEOREMA :

Operatiile de adunare si inmultire modulo n au proprietatile :

1). cbacba ;

2). abba ;

3). cbacba ;

4). abba ;

5). cabacba

oricare ar fi Zcba ,, .

Observatii :

Operatia “ “ are prioritate fata de “ “ si de aceea intr-o expresie ca :

cba

parantezele pot fi omise , scriind simplu :

cbacba



Legi de compozitie

Exercitiul nr. 1 : ( Manual )

Sa se alcatuiasca tablele operatiilor induse pe 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 Z de

adunarea si inmultirea modulo n .


Pe R definim legea de compozitie RRR , yxyx *, , unde :

xyyxyx * . Aratati ca aceasta lege de compozitie este asociativa , comutativa si cu

element neutru . Intervalul ;1 este parte stabila a lui R in raport cu legea de

compozitie " * " ?


Pe R definim legea de compozitie 1063 yxxyyx . Fie ;2H .

Aratati ca ,H este o structura algebrica comutativa , cu element neutru si ca orice element

din H este simetrizabil in raport cu legea " " .


Fie RH 1,1 si aplicatia : xy

yxyx

1* . Aratati ca ,*H este o structura

algebrica asociativa , comutativa , cu element neutru si orice element din H este simetrizabil in

raport cu " * " .


Se considera 1;0 H si aplicatia : xyx yln5* . Aratati ca ,*H este o

structura algebrica asociativa , comutativa , cu element neutru si ca orice element din H

este simetrizabil in raport cu legea data .


Fie 1;0H si aplicatia : yxxy

xyyx

12 . Aratati ca ,H este o

structura algebrica asociativa , comutativa , cu element neutru si ca orice element din H

este simetrizabil in raport cu legea data .



Legi de compozitie


Gasiti toate solutiile din 12 ale sistemului de ecuatii liniare :

1094

1143

yx

yx .


Pe R definim legea de compozitie RRR , yxyx *, , unde :

xyyxyx * . Aratati ca aceasta lege de compozitie este asociativa , comutativa si cu

element neutru . Sa se determine elementele simetrizabile .

Exercitiul nr. 9 : ( Nastasescu )

Pe multimea R a numerelor reale definim legea de compozitie astfel :

12

1 xyyxyx , oricare ar fi Ryx , . Sa se arate ca aceasta lege de compozitie

este asociativa , comutativa si cu element neutru . Sa se determine elementele simetrizabile .

Exercitiul nr. 10 : ( Gil )

Fie ;3G si legea " * " definita pe R prin : ayxxyyx 33* , Ryx , ,

Ra . Atunci " * " este lege de compozitie pe G daca si numai daca ?a


Legea de compozitie 43* yaxyx , Ryx , , Ra . Atunci " * " este lege de

compozitie comutativa daca si numai daca ?a


Legea de compozitie ayxxyyx 22* , Ryx , , Ra . Atunci " * " este lege de

compozitie asociativa daca si numai daca ?a



Legi de compozitie


Elementul neutru al legii de compozitie 2055* yxxyyx , Ryx , este ?


Fie ;2G si legea " * " definita pe R prin :

622* yxxyyx , Ryx , .

Aratati ca " * " este o lege de compozitie pe G .


Fie 1;1G si xy

yxyx

1* , Gyx , . Aratati ca " * " este lege de compozitie pe G .


Sa se arate ca legea de compozitie : xxyyx * , Ryx , .

a). Nu este comutativa ;

b). Nu este asociativa .


Sa se arate ca legea de compozitie : xyyx 2 , Zyx , nu admite element neutru .


Sa se determine elementele simetrizabile din multimea ;1M in raport cu legea :

1*22 yxyx , Myx ,


Fie Rba , . Pe R definim legea de compozitie " * " astfel : 2* byaxyx Ryx ,

Sa se determine ba si astfel incat aceasta lege de compozitie sa fie asociativa si comutativa .



Legi de compozitie


Se considera multimea numerelor reale R pe care se defineste legea de compozitie :

21662* yxxyyx , Ryx ,

a). Sa se arate ca legea " * " este asociativa si comutativa .

b). Sa se determine elementul neutru al legii " * " .

c). Sa se arate ca : 332*.....** 1

ori de

xxxxnn

n

, NnRx *, .

d). Sa se arate ca multimea ,3 este parte stabila in raport cu legea " * " .

Clasa a XII-a - ALGEBRA - 1 - Partea I - Legi de compozitie · Clasa a XII-a - ALGEBRA - 3 - Partea...

Documents

Transcript of Clasa a XII-a - ALGEBRA - 1 - Partea I - Legi de compozitie · Clasa a XII-a - ALGEBRA - 3 - Partea...