Proieciile cilindrice

Proieciile cilindrice se numesc astfel dup suprafaa auxiliar a cilindrului, care este utilizat drept plan de proiecie i pot fi considerate ca un caz particular al proieciilor conice i anume cnd conul este considerat tangent la ecuator, iar vrful conului se gsete la infinit. Reeaua de meridiane i paralele de pe sfera pmnteasc se presupune proiectat mai nti pe suprafaa cilindrului (fig. 6.1), care apoi se taie dup una din generatoarele sale i ca atare se poate desfura n plan.

n cazul proieciilor cilindrice drepte, reeaua cartografic obinut se prezint n principiu astfel: meridianele apar ca linii drepte paralele, iar paralelele, de asemenea, ca linii drepte paralele, perpendiculare pe liniile ce reprezint meridianele.

Dup modul n care suprafaa cilindrului atinge sfera terestr proieciile cilindrice pot fi tangente (linia de tangen este un cerc mare) sau secante (suprafaa sferei este ntretiat dup dou cercuri mici).

Proieciile cilindrice se pot clasifica dup poziia axei cilindrului n raport cu axa polilor, n:

proiecii normale sau drepte; proiecii oblice.Proieciile cilindrice normale sunt acelea n care axa cilindrului coincide cu axa polilor (vezi 4.2).

Proieciile cilindrice ecuatoriale sau transversale (fig. 4.3), sunt proieciile n care axa cilindrului este perpendicular pe axa polilor, deci se confund cu un diametru al ecuatorului.

n proieciile cilindrice oblice, unghiul format de axa cilindrului i axa polilor variaz ntre 00 i 900 (fig. 4.4).

Cnd cilindrul este tangent la sfer, repartizarea deformrilor se produce astfel (fig. 6.2.a): de-a lungul cercului mare dup care se face tangena se afl linia de deformri nule, n raport cu care, de o parte i de alta, deformrile se produc n sens pozitiv, adic scrile sunt mai mari dect unitatea.

Dac cilindrul este secant, se obin dou linii de deformri nule, care corespund cu cercurile mici, dup care s-a fcut intersecia sferei cu cilindrul (fig. 6.2.b). n interiorul acestor linii de deformri nule, deformrile se produc n sens negativ (scrile sunt mai mici dect unitatea), iar n exteriorul lor, n sens pozitiv (scrile sunt mai mari dect unitatea).

Proieciile cilindrice tangente sunt indicate s se foloseasc astfel: proieciile cilindrice drepte (normale) pentru regiuni situate pe ecuator; proieciile cilindrice transversale sau ecuatoriale pentru regiuni alungite n sensul meridianelor i proieciile oblice, pentru regiuni care sunt alungite n sensul unui cerc mare, care s nu fie nici meridianul i nici ecuatorul.

n cazul regiunilor dispuse n sensul paralelelor, cilindrul se consider secant la paralela central a regiunii de cartografiat.

O clasificare a proieciilor cilindrice se mai poate face i din punctul de vedere al deformrilor, dup cum urmeaz: arbitrare (echidistante pe o anumit direcie), conforme i echivalente.

Dintre proieciile cilindrice, cele mai folosite sunt proieciile normale. n cazul acestor proiecii, direciile principale vor coincide cu direciile meridianelor i paralelelor.

6.1. Proiecia cilindric ptratic

A fost construit prima dat de prinul Henric Navigatorul n anul 1438. Cilindrul se consider tangent la sfera terestr dup ecuator, deci este oproiecie cilindric dreapt (normal). n aceast proiecie meridianele i paralelele se reprezint prin linii drepte perpendiculare ntre ele i echidistante n funcie de densitatea stabilit, astfel c rezult o reea de ptrate, de unde vine i numele proieciei. Laturile unui ptrat reprezint arcele de paralele i meridiane, considerate ntinse.

Construcia reelei cartografice n proiecia cilindric ptratic se poate realiza fie prin calcul fie grafic.

n primul caz se calculeaz distanele dintre meridiane i paralele. Referindu-ne la figura 6.3, rezult:

;

,

(6.1)n care:

R raza globului;

( diferena de longitudine dintre dou meridiane consecutive;

( latitudinea paralelei care se proiecteaz (( i ( exprimate n radiani).Considernd c densitatea reelei cartografice este de 150 i R=1, rezult:

(6.2)

Distana y1 dintre ecuator i paralela 150 va fi:

(6.3)

Avnd n vedere c reeaua cartografic este o reea de ptrate, nu mai este necesar s se calculeze y2, y3 etc., ci cu valorile lui y1 i x1 se va construi un numr de ptrate corespunztor densitii propuse. De exemplu, pentru o densitate a reelei de 150 se vor construi 12 ptrate pe vertical i 24 de ptrate pe orizontal.

Valorile lui x i y au fost calculate pentru . Cnd se construiete reeaua la o anumit scar, atunci aceste valori se vor nmuli cu valoarea razei globului redus la scara aleas.

Metoda pornete de la dou drepte perpendiculare ntre ele, una reprezentnd lungimea ecuatorului redus la scar, de exemplu 1:250000000, adic mm, iar cealalt, lungimea unui meridian, de asemenea redus la scara respectiva (fig. 6.4), adic mm. Se vor mpri cele dou perpendiculare n attea pri egale ct corespund densitii alese. La o densitate de 100, pe dreapta orizontal care reprezint proiecia ecuatorului vor rezulta de segmente, iar pe vertical, care reprezint proiecia unui meridian, se vor obine segmente. Aceste segmente reprezint lungimile laturilor ptratelor reelei cartografice, iar reeaua va arta ca n fig. 6.4.

Pe dou din laturile dreptunghiului se noteaz n exterior valorile paralelelor i meridianelor, innd cont bineneles de poziia i densitatea lor. Pentru notarea paralelelor se pornete cu valoarea zero de la proiecia ecuatorului crescnd din 100 n 100 att spre nord ct i spre sud. Pentru notarea meridianelor se d valoarea zero meridianului central, care poate fi oricare dintre meridiane, n funcie de regiunea ce trebuie s aib un loc central pe hart.

Din punctul de vedere al deformrilor, aceasta este o proiecie echidistant pe meridian. n schimb, pe direcia paralelelor distanele sunt foarte mult deformate, crescnd de la nord spre ecuator, care, este linia de deformri nule, aa cum se poate urmri n tabelul 6.1 sau n fig. 6.5.

Tabelul 6.1.(mnS2(

9001,000((180000/

7501,0003,8643,86472009/

6001,0002,0002,00038057/

4501,0001,4141,41419045/

3001,0001,1551,1558014/

1501,0001,0351,0351059/

001,0001,0001,0000000/

(dup G.N. Liodt, 1948)

Fig. 6.5. Harta lumii n proiecia cilindric ptratic cu elipsele deformrilor

Aceast proiecie se utilizeaz pentru construcia hrilor universale ale zonelor din jurul ecuatorului i ale unor regiuni mari de pe glob, de exemplu bazinele oceanice (fig. 6.6).

Fig. 6.6. Harta Oceanului Atlantic n proiecie cilindric ptratic

6.2. Proiecia cilindric Lambert

Aceasta este o proiecie dreapt, cilindrul fiind tangent la ecuator. Meridianele i paralelele se reprezint prin linii drepte paralele i perpendiculare ntre ele, ns distana ntre paralele se micoreaz odat cu creterea latitudinii.

La baza construciei acestei proiecii st teorema lui Arhimede, dup care suprafaa unei zone sferice este egal cu suprafaa unui cilindru care are aceeai nlime cu zona sferic i baza egal cu lungimea unui cerc mare al sferei.

Din fig. 6.7 se observ c dreptunghiul m, n, e, q, corespunztor zonei sferice M, N, E, Q, are ca baz lungimea ecuatorului (care este un cerc mare al sferei terestre), iar ca nlime (I), distana dintre planul ecuatorului i planul cercului paralel mn, planuri care delimiteaz zona sferic respectiv.

Suprafaa zonei sferice este:, ns , deci:

(6.4)

Suprafaa dreptunghiului corespunztor este , ns i deci:

(6.5)

Relaiile (6.4 i 6.5) demonstreaz condiia de echivalen a proieciei. Se poate demonstra c aceast condiie este asigurat i n cazul n care ne referim la toat sfera.

Suprafaa sferei este:

.

(6.6)

Dreptunghiul care are nlimea egal cu axa polilor, adic , iar baza egal cu lungimea ecuatorului, va avea suprafaa:

(6.7)

deci din relaiile (6.6 i 6.7) rezult condiia de echivalen pentru toat sfera:

.

Reeaua cartografic n aceast proiecie se poate realiza att prin calcul ct i grafic i const n determinarea distanelor dintre meridiane i dintre paralele.

Referindu-ne la fig. 6.7, distana x dintre meridianele A i B va fi:

.

(6.8)

Distana y dintre ecuator i paralela punctului C este:

,

(6.9)

n care:

R raza globului redus la scar;

( diferena de longitudine dintre dou meridiane consecutive;

( latitudinea paralelei care se proiecteaz.

n tabelul 6.2. sunt date valorile pentru y la o densitate a latitudinii de 100 (cu ), care se vor nmuli cu raza globului redus la scar.

Tabelul 6.2.(100200300400500600700800900

y0,17360,34200,50,64280,76600,86600,93970,98481,000

Distana x dintre meridiane se va calcula o singur dat, deoarece este constant.

Pentru aceeai densitate de 100 i cu , rezult:

,adic:

,

valoare ce trebuie nmulit cu valoarea razei globului redus la scara propus.

Prin metoda grafic se deseneaz un semicerc ca cel din fig. 6.8, de exemplu, la scara 1:200000000, raza fiind egal cu 32 mm. Considernd c densitatea reelei este de 150 se va mpri semicercul n 12 pri egale cu ajutorul unui raportor obinndu-se punctele a, b, c, d, ... (fig. 20.8). Din aceste puncte se vor duce paralele la raza CE pn intersecteaz diametrul PnPs, care de fapt reprezint proiecia unui meridian i rezult punctele etc., din care se vor trasa dreptele paralele la ecuator a cror lungime va fi egal cu lungimea ecuatorului redus la scara dat, adic:

mm.

Pentru trasarea meridianelor, se va mpri o paralel oarecare n attea pri cte solicit densitatea reelei. Adic, n exemplul dat, densitatea fiind de 150, paralela se va mpri n 24 de pri. Prin punctele rezultate se vor trasa paralele la diametrul PnPs, care vor fi perpendiculare pe proiecia paralelelor.

Din punctul de vedere al deformrilor, aceasta este o proiecie echivalent care deci pstreaz nedeformate suprafeele. Dintre celelalte elemente, cel mai mult deformate sunt unghiurile, aa cum se poate observa din tabelul 6.3 excepie fcnd cele din jurul ecuatorului, care este linia de deformri nule.

Fig. 6.8. Construcia grafic a reelei cartografice n proiecia LambertTabelul 6.3.(y

baS2(

9001,0000,000(1,000180000/

7500,9660,2593,8641,000121057/

6000,8660,5002,0001,00073045/

4500,7070,7071,4141,00038057/

3000,5000,8661,1551,00016026/

1500,2590,9661,0361,0003058/

000,0001,0001,0001,0000000/

Proiecia cilindric Lambert se ntrebuineaz pentru hri universale ale vegetaiei, populaiei etc.

6.3. Proiecia cilindric Mercator

A fost construit pentru prima dat n 1569 de ctre cartograful olandez Gerhard Kremer (Mercator).

n aceast proiecie, suprafaa desfurabil este cilindrul care poate fi considerat tangent la ecuator sau secant la dou paralele oarecare. Deci, este o proiecie cilindric dreapt, avnd axa polilor n coinciden cu axa cilindrului.

Att meridianele ct i paralelele se reprezint prin linii drepte paralele i perpendiculare unele pe altele, meridianele se menin echidistante, iar paralelele se deprteaz ntre ele pe msura creterii latitudinii (fig. 6.9). Astfel, reeaua are aspectul unor dreptunghiuri alungite din ce n ce mai mult n sensul meridianelor, pe msura creterii latitudinii, din care cauz proiecia se mai numete i cu latitudini crescnde.

Construcia reelei cartografice se realizeaz calculnd mai nti distana dintre paralele i apoi distana dintre meridiane.

Distana dintre ecuator i oricare paralel se poate determina cu ajutorul relaiei:

(6.10)

n care:

C raza globului redus la scar (n cazul cnd cilindrul este tangent la sfer; dac cilindrul este secant, atunci );

latitudinea paralelei de secant;

latitudinea paralelei care se proiecteaz.

Cnd , rezult:

,

(6.11)

adic polii nu se pot reprezenta n aceast proiecie, deoarece se gsesc la infinit fa de ecuator.

Distana dintre meridiane rmne constant pentru ntreaga reea i se obine din relaia:

,

(6.12)

n care:

R raza globului la scar;

latitudinea paralelei de secant;

n aceast proiecie reeaua cartografic se construiete practic pn la paralelele , deoarece la 900, .

Valorile lui x i y au fost calculate pentru , deci construcia reelei la o anumit scar necesit nmulirea acestor valori cu raza sferei redus la scara aleas.

Din punctul de vedere al deformrilor, proiecia Mercator este o proiecie conform, pstrnd deci nedeformate unghiurile, deformnd ns foarte mult suprafeele, aa cum se observ i n tabelul 6.5, astfel la latitudinea de scara suprafeelor este egal cu 4,000, deci acestea sunt mrite de patru ori, iar la latitudinea , suprafeele sunt mrite de peste 33 de ori.

Tabelul 6.4.Tabelul 6.5.

(y(a = bS2(

900(900((0000/

8002,43638005,75933,1660000/

7001,73547002,9248,5500000/

6001,31706002,0004,0000000/

5001,01075001,5562,4210000/

4000,76294001,3051,7030000/

3000,54933001,1551,3330000/

2000,35642001,0641,1320000/

1000,17541001,0151,0300000/

000,000001.0001,0000000/

Modul repartiiei deformrilor n cadrul reelei cartografice n proiecia Mercator este prezentat n fig. 6.10 cu ajutorul profilului omenesc.

Datorit deformrii foarte mult a suprafeelor, aceast proiecie nu este indicat a se folosi n construcia hrilor colare pentru c d o imagine neverosimil asupra repartiiei apei i uscatului pe de o parte, iar pe de alta, asupra regiunilor uscatului situate la latitudini mari. Aa de exemplu n fig. 6.11. se observ c Groenlanda apare ca fiind aproximativ egal cu Africa, dei n realitate Africa este de 15 ori mai mare dect Groenlanda. De asemenea peninsula Scandinav apare mai mare dect cele trei peninsule sudice ale Europei considerate mpreun: Iberic, Italic i Balcanic, fapt iari inexact.Fig. 6.10. Repartiia deformrilor n proiecia Mercator cu ajutorul

profilului omenesc

Fig. 6.11. Harta lumii n proiecia Mercator cu elipsele deformrii

Importana practic a proieciei Mercator const n aceea c ea ntrunete toate calitile unei hri ce se folosete n navigaia maritim i trebuie s ndeplineasc urmtoarele condiii:

1. S se poat fixa cu uurin poziia unui punct prin coordonatele sale i respectiv s se determine coordonatele unui punct. Pentru rezolvarea mai uoar a acestui lucru, este bine ca meridianele i paralelele s fie perpendiculare.

2. Harta trebuie s fie construit ntr-o proiecie conform.

3. Loxodroma s se reprezinte printr-o linie dreapt.

4. S se poat msura cu uurin distanele pe ea.

Proiecia Mercator ndeplinete aceste condiii.

Proiecia Mercator nu este altceva dect proiecia cilindric dreapt ptratic, transformat din arbitrar (echidistant) n conform. n aceast proiecie, distana dintre paralele s-a alungit n aceeai proporie n care s-a mrit, n proiecia cilindric, distana dintre meridiane (pe msur ce crete latitudinea).Fig. 6.12. Harta Oceanului Atlantic n proiecia Mercator

Pentru msurarea distanelor pe o hart construit n proiecia Mercator, precum i pentru a trece sau a raporta o distan se ntrebuineaz ca unitate de msur mila marin, care este egal cu minutul de pe scara latitudinilor din dreptul regiunii n care se msoar distana. Arcul de meridian de un minut se reprezint alungit la latitudini diferite, dei n realitate el este constant pe suprafaa Pmntului. Minutul de latitudine crescnd constituie unitatea de msurat distanele la latitudinea corespunztoare.

Deci, i cea de-a patra condiie este ndeplinit i ca atare proiecia Mercator poate fi folosit pentru hri necesare n special navigaiei maritime. Se ntrebuineaz pentru hri de navigaie maritim ale planisferului, caz n care cilindrul este tangent la sfer, fie pentru hri ale bazinelor oceanice cnd cilindrul este secant.

6.4. Proiecia cilindric dreptunghiular

Este cunoscut i sub denumirea de proiecia lui Anaximandru (610 -546 .e.n.). Cilindrul se consider secant dup dou paralele simetrice fa de ecuator (fig. 6.13).

Reeaua cartografic se prezint ca o reea de dreptunghiuri ale cror laturi sunt arcele de meridiane i paralele. Astfel, nlimea unui dreptunghi este egal cu lungimea arcului de meridian subntins i redus la scar, iar baza dreptunghiului este egal cu lungimea arcului de paralel de secant subntins i redus la scar.

Pentru construirea reelei cartografice se folosesc urmtoarele formule:

(6.13)

.

(6.14)

Relaia (6.13) permite calcularea distanei dintre meridiane:

R raza globului redus la scar;

latitudinea paralelei dup care se face ntretierea suprafeei cilindrului cu suprafaa sferei;

( diferena de longitudine dintre meridianele ce se proiecteaz i care trebuie s fie exprimat n radiani, adic:

.

Prin relaia (6.14) se calculeaz distana dintre paralele iar ( trebuie exprimat n radiani.

Din tabelul 6.6 se afl valorile lui y pentru latitudini din 15 n 150, pentru un glob cu raza .

Valoarea lui x (distana dintre meridiane) pentru o diferen de longitudine tot de 150 i pentru un glob sau sfer cu raza este de 0,185.

Pentru a calcula valorile lui x i y pentru o scar aleas, va trebui ca valorile lui x i ale lui y (din tabelul 6.6) s fie nmulite cu scara globului redus la scara aleas.

n privina deformrilor, proiecia Anaximandru este o proiecie echidistant, care pstreaz nedeformate distanele n sensul meridianelor, precum i de-a lungul celor dou paralele dup care se face intersecia. Acest lucru se poate observa att din analiza elipselor de deformri din fig. 6.14, precum i din tabelul 6.7 care cuprinde valorile scrilor i deformrilor maxime unghiulare.Tabelul 6.4.Tabelul 6.5.

(y(baS2(

9001,5719001,000((180000/

7501,3097501,0002,7322,73255018/

6001,0476001,0001,4141,41419045/

4500,7854501,0001,0001,0000000/

3000,5243001,0000,8160,81611036/

1500,2621501,0000,7320,73217048/

000,000001,0000,7070,70719045/

(dup G.N. Liodot, 1948)Fig. 6.14. Harta lumii n proiecia cilindric dreptunghiular a lui Anaximandru

cu elipsele deformrilor

Din acest tabel rezult c scara pe meridiane i scara pe paralela de 450 (considerat paralela de secant) sunt egale cu scara principal, adic 1,000. Pe paralela 450, distanele, suprafeele i unghiurile sunt nedeformate, deci ele sunt linii de deformri nule.

Proiecia Anaximandru se ntrebuineaz pentru hri universale.

6.5. Proiecia cilindric stereografic Gall

Este o proiecie dreapt, iar cilindrul este secant dup paralela 450.

Caracteristica proieciei o constituie faptul c permanent punctul de vedere care se gsete pe ecuator este diametral opus meridianului care se proiecteaz, deci este mobil.Reeaua cartografic are aspect rectangular. Meridianele sunt reprezentate prin linii drepte, paralele i echidistante, iar paralelele, prin linii drepte paralele, iar distana dintre ele crete spre poli.

Construcia reelei necesit n primul rnd determinarea distanelor dintre paralele i ecuator, care se poate calcula sau determina grafic.

S presupunem c vrem s proiectm un punct oarecare R de pe glob pe cilindru (fig. 6.15). Raza proiectant pornete din punctul E de pe ecuator i va proiecta punctul R pe cilindru prin R0. Distana de la R0 de pe cilindru pn n punctul N, situat pe cilindru la ecuator, este tocmai distana la care se va proiecta cercul paralel al punctului R.

Distana aceasta se poate calcula. Referindu-ne la figura 6.15:- - ecuatorul;

- - axa polilor care coincide cu axa cilindrului;- OR raza sferei (globului terestru);

- OP raza sferei (globului terestru) n punctul P situat pe paralela de +450 latitudine;

- EO raza sferei la ecuator;

- ( - latitudinea punctului R;

- - latitudinea paralelei de 450 latitudine nordic;

- y distana ;

;

.

Suma se poate nlocui prin produsul i:

.

Unghiul i deci:

.

(6.15)

Distana x dintre meridiane se calculeaz cu relaia:

, (6.16)

n care:

este diferena de longitudine dintre dou meridiane consecutive.

Metoda grafic se realizeaz pornind de la un cerc cu raza de mm, care reprezint sfera terestr redus la scara 1:200000000 (fig. 6.16, a).

Se traseaz diametrul vertical i orizontal care intersecteaz sfera la . Semicercul se mparte prin punctele a, b, c, ... etc. n arce de cerc n cte 150, n conformitate cu densitatea aleas. Din punctul E ca punct de perspectiv se duc razele proiectante prin punctele etc. Acestea intersecteaz planul de proiecie Q n punctele etc. Din aceste puncte se duc paralele la diametrul orizontal, care reprezint proiecia cercurilor paralele, a cror lungime va fi egal cu lungimea paralelelor de 450 reduse la scara de 1:200000000, adic cu 141,5 mm (aproximativ 142 mm).

Una din dreptele care reprezint un cerc paralel pe planul de proiecie se va mpri n 24 de segmente (ca urmare a densitii de 150). Prin aceste puncte care mpart paralelele n 24 de pri egale se duc perpendiculare pe paralele, egale ca mrime cu , care reprezint meridianele (fig. 6.6.a).Fig. 6.6. Proiecia cilindric stereografic Gall

a) metoda grafic de construcie a reelei cartografice;

b) harta lumii n proiecia Gall

Din punctul de vedere al deformrilor, proiecia Gall este o proiecie arbitrar, deci nu pstreaz nimic nedeformat, exceptnd elementele care sunt situate pe paralele de secant, care sunt linii de deformri nule.

n tabelul 6.8. sunt cuprinse valorile scrilor pe direciile principale, ale suprafeelor i deformrilor maxime unghiulare n proiecia Gall cu cilindrul secant dup paralelele .

Tabelul 6.8.

(bbS2(

9001,866((180000/

7501,4823,3334,96045024/

6001,2441,7322,15518053/

4501,0911,2551,3396030/

3001,0001,0001,0000000/

1500,9490,9870,8513016/

000,9330,8660,8084016/

(dup G.N. Liodot, 1948)

Proiecia Gall se ntrebuineaz pentru construcia hrilor universale, atlase.

6.6. Proiecia cilindric Gauss Krger

A fost propus i prelucrat n perioada anilor 1825 1830 de ctre matematicianul K.Fr. Gauss (1777 1855). Mai este cunoscut i sub numele de proiecie U.T.M. (Universal Transversal Mercator). Deoarece primele formule de lucru au fost elaborate de ctre L. Krger n anul 1912, proiecia mai este numit i proiecia Gauss Krger. n practica curent ns se folosete numai termenul de proiecia Gauss.

Proiecia se face pe un cilindru considerat tangent la un meridian, deci transversal (fig. 6.17). n aceast proiecie, reprezentarea suprafeei elip-soidului terestru se face direct pe un plan fr trecerea inter-mediar pe sfer, iar suprafaa Pmntului este mprit n 60 de fuse sferice a cte 60 longitudine, pentru a nu se depi limita admisibil a deformrilor lungimilor prin proiectare relativ .

Reeaua cartografic are aspectul din fig. 6.18. Meridianul axial al unui fus de 60 se reprezint printr-o linie dreapt, iar celelalte meridiane i paralele sunt linii curbe simetrice fa de meridianul axial i ecuator.

Construcia proieciei se bazeaz pe calcularea coordonatelor punctelor de intersecie a meridianelor i paralelelor cu ajutorul formulelor:

(6.17)

(6.18)

n care:

B lungimea arcului meridian de la ecuator pn la paralela cu latitudinea (;

( - diferena de longitudine dintre meridianul punctului i meridianul axial al fusului;

N lungimea razei de curbur a primului vertical ( a normalei);

;

;

.n practic se obine o precizie suficient cu relaiile (6.17) i (6.18), excluznd termenii n i :

,

(6.19)

.

(6.20)

Axele de coordonate rectangulare n aceast proiecie sunt Ox, care coincide cu proiecia meridianului axial, i Oy, care coincide cu proiecia ecuatorului, avnd ca origine intersecia meridianului axial cu ecuatorul. Pentru fiecare fus de 60 se consider un sistem de proiecie i un sistem de coordonate rectangulare.

ara noastr este acoperit de dou fuse de 60 i anume fusele 34 i 35 )Cluj Napoca i Bucureti). ntruct este posibil ca pentru mai multe puncte din fuse diferite s existe aceleai coordonate, s-a convenit ca n faa valorii ordonatei Y s se scrie numrul fusului (numerotarea ncepnd de la meridianul Greenwich).

Din fig. 6.19 se vede c punctele care sunt situate n stnga meridianului axial au ordonatele Y negative. Pentru a nltura acest lucru, acestora li se adaug 500 km, ca atare originea axelor va avea coordonatele:

Rezult c toate punctele dispuse n dreapta meridianului axial vor avea ordonata Y mai mare cu 500 km, iar cele din stnga, mai mic cu 500 km. De exemplu, dou puncte P1 i P2, au urmtoarele coordonate rectangulare:

P1:X1 = 2465823,0 m

P2:X2 = 4397253,0 m

Y1 = 5728735,0 m

Y2 = 5401254,0 m

Punctul P1 se afl n fusul 5, la o deprtare de ecuator de 2465823 m i la m de meridianul axial, deci n dreapta lui.

Punctul P2 se afl n fusul 5 la 4397253,0 m de ecuator i m de meridianul axial, ns n stnga acestuia.

Din punctul de vedere al deformrilor, este o proiecie conform, deci pstreaz nedeformate unghiurile, n schimb sunt deformate suprafeele i lungimile. Deformrile sunt cu att mai mari cu ct lungimile sunt situate mai departe de meridianul axial al fusului. Deformrile liniare se pot calcula cu relaia:

,

(6.21)

n care

Y este ordonata;

, iar n funcie de coordonatele geografice, dup formula:

,

(6.22)n care: ( - diferena de longitudine dintre meridianul punctului i meridianul axial al fusului;

;

( - latitudinea;

i .

Pentru ara noastr, deformrile maxime se produc de-a lungul meridianului de 240 i n Delta Dunrii (fig.6.20).6.20. Repartiia deformrilor n proiecia Gauss

6.6.1. Unghiul de convergen al meridianelor n proiecia Gauss

Unghiul de convergen al meridianelor ntr-un punct al proieciei este unghiul format n acel punct de meridianul punctului i o paralel (trasat prin punct) la meridianul axial. (Deoarece unghiul format de dou curbe se definete ca unghiul fcut de tangentele la curbe, rezult c unghiul de convergen se face ntre tangenta la meridianul punctului i paralela la meridianul axial dus prin punct.).Proiecia fiind conform, unghiul de convergen se mai formeaz i ntre tangenta la paralela punctului i o paralel dus prin acest punct la axa y-ilor (adic la proiecia ecuatorului). Din fig. 6.21 se vede c ca avnd laturile perpendiculare.

Valorile unghiurilor de convergen ale meridianelor n diferite puncte se pot gsi n tabele speciale, dar pot fi calculate i dup formulele (1.1) i (2.2).

6.6.2. Unghiul de convergen medie

n cartografie, unghiul de convergen medie este unghiul format de meridianul mediu al trapezului n punctul central al trapezului cu paralela dus n acest punct la meridianul axial al fusului din care face parte trapezul i este pozitiv sau negativ, dup cum trapezul se afl n dreapta sau n stnga meridianului axial (fig. 6.22).

Unghiul de convergen, mpreun cu declinaia magnetic se ntrebuineaz pentru orientarea planetei.

Datorit faptului c poate fi ntrebuinat pentru regiuni foarte mari ale globului, aceast proiecie poate fi numit pe drept cuvnt proiecie internaional. Ea are o serie de avantaje, printre care amintim racordarea facil a tuturor foilor de hart, deformri relativ mici, de exemplu pentru hri cu scrile mai mici dect 1:25000 deformaia ajunge pn la 0,670/00, iar pentru hri la scri mai mari ca 1:25000 ajunge pn la 0,170/00 (n acest caz, fusele au limea de 30).

6.7. Proiecia cilindric Soloviev

A fost prelucrat n anul 1937, la propunerea Institutului central de cercetri tiinifice geografice, aerofotogrammetrice i cartografice, de ctre M.D. Soloviev n colaborare cu F.A. Starostin, n scopul de a gsi o proiecie potrivit pentru hrile RUSIA la scri mici necesare pentru atlase.

Cea mai potrivita a fost considerat una din variantele proieciei cilindrice secante oblice, prelucrat dup proiecia cilindric stereografic Gall. Aceast nou proiecie se deosebete de proiecia care-i st la baz, respectiv proiecia Gall, prin aceea c axa globului are o nclinare de 150 fa de axa cilindrului (fig. 6.23). Cercul mic dup care se face intersecia suprafeei cilindrice cu sfera este cercul paralel care mparte teritoriul RUSIA. El se va reprezenta printr-o linie dreapt.

Condiiile ce trebuiau ndeplinite n noua proiecie au fost:

- paralelele reelei cartografice trebuie s fie curbe: meridianele pot fi linii curbe, ns pe ct posibil ele trebuie s fie apropiate de liniile drepte, cel puin n partea mai important a hrii, reeaua cartografic trebuie, n limita posibilitilor, s reduc curbura teritoriului Rusiei spre marginile de vest i este ale hrii n raport cu curbura de pe proiecia conic dreapt;- reeaua cartografic trebuie s cuprind i proiecia polului sub form de punct;- contururile principale ale hrii nu trebuie s aib deformri prea mari.

n proiecia oblic a lui Soloviev, meridianul central este reprezentat printr-o linie dreapt, celelalte meridiane fiind curbe simetrice fa de acestea.

Paralelele sunt reprezentate prin linii curbe, excepie fcnd paralela de secant, ns au o curbur mai mic dect paralelele din proieciile conice drepte.

Ca urmare a acestui fapt, prile extreme estice i vestice ale teritoriului Rusiei nu mai sunt aa de puternic curbate n comparaie cu zona medie a teritoriului Rusiei. Polul se reprezint printr-un punct.

Datorit aspectului reelei de meridiane, privind o hart n proiecia cilindric oblic Soloviev, avem o imagine mai clar a rotunjimii Pmntului (fig. 6.24).

Fig. 6.24. Harta Rusiei n proiecie cilindric oblic Soloviev

Proiecia se construiete folosind trigonometria sferic i plan i calculndu-se punctele de intersecie ale meridianelor cu paralelele. Din punctul de vedere al deformrilor, aceast proiecie face parte din grupa proieciilor arbitrare, deci, nu pstreaz nici suprafeele i nici unghiurile nedeformate.Fig. 6.1. Principiul proieciilor cilindrice tangente

+

+

+

+

(

a)

b)

1800 1600 1400 1200 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 00 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1200 1400 1600 1800

m M

N n

Pn

Ps

( y

( R

R A

E

E/

x

Fig. 6.3. Principiul proieciei cilindrice ptratice

900

800

700

600

500

400

300

200

100

00

100

200

300

400

500

600

700

800

900

2500 0 2500 5000 km

Fig. 6.4. Reeaua cartografic n proiecia cilindric ptratic

Fig. 6.7.

Q

I

q

e

M

N

n

E

m

R

(

I

EMBED Equation.DSMT4

1800 1650 1500 1350 1200 1050 900 750 600 450 300 150 00 150 300 450 600 750 900 1050 1200 1350 1500 1650 1800

900

750

600

450

300

150

00

150

300

450

600

750

900

a/

b/

c/

d/

e/

C

g/

h/

i/

j/

k/

2000 0 2000 4000 km

2000 0 2000 4000 km

Fig. 6.9. Reeaua cartografic n proiecia Mercator

1800 1600 1400 1200 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 00 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1200 1400 1600 1800

700

600

500

400

300

200

100

00

100

200

300

400

500

600

700

A

x

r

R

R O (0

(

x/

PS

PN

E/

E

B

Fig. 6.13. Principiul proieciei cilindrice dreptunghiulare a lui Anaximandru

C

D

(

( / 2 (0

Ps

Pn

Fig. 6.15. Principiul proieciei cilindrice stereografice Gall

R0

R

E

E/

N

P0

+Y

E/

E

120 180

Pn

Ps

240

180

500 km

Fig. 6.17. Poziia cilindrului n proiecia Gauss

Pn

Ps

meridianul axial

O

E/

E

Fig. 6.18. Aspectul reelei cartografice n proiecia Gauss

+X

+X

0

Fig. 6.19. Originea axelor de coordinate n cadrul unui fus de 60 n longitudine n proiecia Gauss

Fig. 6.21. Unghiul de convergen al meridianelor

y/

D

(

(

P

yP

x

x /

xP

y

(

(

Meridian geografic

Caroiaj

Meridian magnetic

(

D

(

Caroiaj

Meridian geografic

Meridian magnetic

a)

b)

Fig. 6.22. Unghiul de convergen medie

a) pozitiv; b) - negativ

Fig. 6.23. Poziia cilindrului n proiecia oblic Soloviev

Ps

E

Pn

E/

exprimat n radiani

y = distana ntre paralele

Loxodroma este linia curb dintre dou puncte ce ntretaie meridianele sub acelai unghi pe glob (loxis = oblic; dromos = drum). Pe globul terestru loxodroma are forma unei spirale n spaiu (curb cu dubl curbur) avnd ca puncte asimptotice polii (adic nu atinge polii).

PAGE 217

_1183380087.unknown

_1183441152.unknown

_1183460177.unknown

_1183466813.unknown

_1183466928.unknown

_1183468254.unknown

_1183468544.unknown

_1183468682.unknown

_1183468702.unknown

_1183470607.unknown

_1183468651.unknown

_1183468454.unknown

_1183468491.unknown

_1183468315.unknown

_1183467012.unknown

_1183468010.unknown

_1183466941.unknown

_1183466844.unknown

_1183466920.unknown

_1183466827.unknown

_1183464134.unknown

_1183466522.unknown

_1183466590.unknown

_1183464215.unknown

_1183462538.unknown

_1183462554.unknown

_1183460421.unknown

_1183441394.unknown

_1183441678.unknown

_1183441780.unknown

_1183441814.unknown

_1183441692.unknown

_1183441517.unknown

_1183441594.unknown

_1183441441.unknown

_1183441300.unknown

_1183441333.unknown

_1183441364.unknown

_1183441318.unknown

_1183441231.unknown

_1183441259.unknown

_1183441203.unknown

_1183438038.unknown

_1183438436.unknown

_1183440878.unknown

_1183440896.unknown

_1183438489.unknown

_1183438199.unknown

_1183438299.unknown

_1183438069.unknown

_1183380391.unknown

_1183380526.unknown

_1183380570.unknown

_1183380412.unknown

_1183380331.unknown

_1183380374.unknown

_1183380198.unknown

_1183298009.unknown

_1183298871.unknown

_1183378705.unknown

_1183378765.unknown

_1183380075.unknown

_1183378730.unknown

_1183299203.unknown

_1183378618.unknown

_1183299141.unknown

_1183298316.unknown

_1183298659.unknown

_1183298854.unknown

_1183298458.unknown

_1183298081.unknown

_1183298149.unknown

_1183298049.unknown

_1183267015.unknown

_1183297832.unknown

_1183297896.unknown

_1183297912.unknown

_1183297866.unknown

_1183297874.unknown

_1183297801.unknown

_1183297814.unknown

_1183267060.unknown

_1183266544.unknown

_1183266869.unknown

_1183266924.unknown

_1183266772.unknown

_1183227424.unknown

_1183266451.unknown

_1183227398.unknown