Caracterizarea texturilor color pentru segmentarea ...old.unitbv.ro/Portals/31/Sustineri de...

1

Investeşte în oameni!

FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operaţional Sectorial Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 – 2013 Axa prioritară 1 „Educaţie şi formare profesională în sprijinul creşterii economice şi dezvoltării societăţii bazate pe cunoaştere” Domeniul major de intervenţie 1.5. „Programe doctorale şi post-doctorale în sprijinul cercetării” Titlul proiectului: „Burse doctorale pentru dezvoltare durabila” BD-DD Numărul de identificare al contractului: POSDRU/107/1.5/S/76945 Beneficiar: Universitatea Transilvania din Braşov

Universitatea Transilvania din Brasov Scoala Doctorală Interdisciplinară

Departament: ELECTRONICĂ ȘI CALCULATOARE

Ing. Alexandru E. CĂLIMAN

Caracterizarea texturilor color pentru

segmentarea imaginilor de psoriazis

Color texture characterization for

psoriasis image segmentation

Conducător ştiinţific

Prof. dr. ing. Gheorghe TOACȘE

BRAȘOV, 2013

2

MINISTERUL EDUCAŢIEI NAŢIONALE

UNIVERSITATEA “TRANSILVANIA” DIN BRAŞOV BRAŞOV, B-DUL EROILOR NR. 29, 500036, TEL. 0040-268-413000, FAX 0040-268-410525

RECTORAT

D-lui (D-nei) ..............................................................................................................

COMPONENŢA Comisiei de doctorat

Numită prin ordinul Rectorului Universităţii „Transilvania” din Braşov Nr. 6066 din 02.10.2013

PREŞEDINTE: - Conf. univ. dr. ing. Carmen GERIGAN

DECAN – Facultatea de Inginerie Electrică și Știința Calculatoarelor

CONDUCĂTOR ŞTIINŢIFIC: - Prof. univ. dr. ing. Gheorghe TOACȘE Universitatea Transilvania din Brașov

REFERENŢI: - Prof. univ. dr. ing. Constantin VERTAN Universitatea Politehnica din București - Conf. univ. dr. ing. mat. Bebe Ion BUCUR Universitatea Politehnica din București - Conf. univ. dr. ing. Mihai IVANOVICI Universitatea Transilvania din Brașov

Data, ora şi locul susţinerii publice a tezei de doctorat: 16.11.2013, ora 11.00, sala NII1. Eventualele aprecieri sau observaţii asupra conţinutului lucrării vă rugăm să le transmiteţi în timp util, pe adresa [email protected]. Totodată vă invităm să luaţi parte la şedinţa publică de susţinere a tezei de doctorat. Vă mulţumim.

3

CUPRINS (lb. romana) Pg.

teza

Pg.

rezumat

1. Introducere 5 7

2. Segmentarea imaginilor 7 8

2.1 Noțiuni generale 7 8

2.2 Evaluarea performanțelor segmentării 9 9

2.3 Metode de segmentare a imaginilor 11 9

2.3.1 Segmentare orientată pe contururi 11 9

2.3.2 Segmentare orientată pe regiuni 13 10

2.4 Caracterizarea texturilor 15 11

2.4.1 No țiuni generale 16 11

2.4.2 Metode statistice 17 12

2.4.3 Metode bazate pe mărimi fractale 20 12

2.4.4 Metode bazate pe mărimi morfologice 26 14

2.5 Segmentare pe baza mărimilor texturale 33 16

2.6 Concluzii 36 17

2.7 Obiective 37 -

3. Mărimi fractale pentru caracterizarea texturilor color 39 19

3.1 Sinteza imaginilor fractale 40 19

3.2 Mărimi fractale pentru imagini color 44 22

3.2.1 Dimensiunea box counting 45 23

3.2.2 Lacunaritatea și mărimi derivate din aceasta 48 24

3.2.3 Dimensiunea de corela ție 50 26

3.3 Concluzii și contribuții originale 52 27

4. Morfologie matematică pentru imagini color 55 28

4.1 Extinderea la imagini color 55 28

4.2 Pseudo-morfologie probabilistică 59 29

4.2.1 Imagini în nivele de gri 60 30

4.2.2 Extinderea PMMP la domeniul color 63 32

4.2.3 Evitarea culorilor false 69 35

4

4.3 Aplicații în caracterizarea texturilor color 72 35


5. Aplicații în segmentarea imaginilor de psoriazis 81 40

5.1 Evaluarea afecțiunii psoriazis 81 40

5.2 Mărimi texturale pentru imagini în nivele de gri 86 41

5.3 Mărimi texturale pentru imagini color 90 43


6. Concluzii finale și contribuții originale 101 49

6.1 Contribuții originale 103 50

6.2 Direcții viitoare de cercetare 106 -

Bibliografie 107 53

ANEXE

A Sinteza fractalilor probabilistici 115 -

A.1 Mișcare Browniană 115 -

A.2 Funcții de două variabile 116 -

B Analiza componentelor principale 117 -

Scurt Rezumat (romana/engleza) 119 57

CV (lb. română) 120 58

CV (lb. engleză) 121 59

5

CUPRINS (lb. engleza) Pg.

teza

Pg.

rezumat

1. Introduction 5 7

2. Image segmentation 7 8

2.1 General notions 7 8

2.2 Segmentation performance assessment 9 9

2.3 Image segmentation methods 11 9

2.3.1 Contour-based segmentation 11 9

2.3.2 Region-based segmentation 13 10

2.4 Texture characterization 15 11

2.4.1 General notions 16 11

2.4.2 Statistical methods 17 12

2.4.3 Methods based on fractal measures 20 12

2.4.4 Metods based on morphological measures 26 14

2.5 Texture-based segmentation 33 16

2.6 Conclusions 36 17

2.7 Objectives 37 -

3. Fractal measures for color texture characterization 39 19

3.1 Fractal image synthesis 40 19

3.2 Fractal measures for color images 44 22

3.2.1 Box counting dimension 45 23

3.2.2 Lacunarity and measures derived from it 48 24

3.2.3 Correlation dimension 50 26

3.3 Conclusions and original contributions 52 27

4. Mathematical morphology for color images 55 28

4.1 Extension to color images 55 28

4.2 Probabilistic pseudo-morphology 59 29

4.2.1 Grey-level images 60 30

4.2.2 PMMP extension to color images 63 32

4.2.3 False colors avoiding 69 35

6

4.3 Applications in color texture characterization 72 35


5. Applications in psoriasis image segmentation 81 40

5.1 Psoriasis assessment 81 40

5.2 Textural measures for grey-level images 86 41

5.3 Textural measures for color images 90 43


6. Final conclusions and original contributions 101 49

6.1 Original contributions 103 50

6.2 Future research directions 106 -

Bibliography 107 53

APPENDIX

A Probabilistic fractal synthesis 115 -

A.1 Brownian motion 115 -

A.2 Two-variable functions 116 -

B Principal Component Analysis 117 -

Abstract (romanian/english) 119 57

CV (romanian) 120 58

CV (english) 121 59

1. Introducere

Prin analiza imaginilor se înţelege procesul de extragere de informaţii din imagini, înurma căruia se pot lua anumite decizii. Prin urmare, tehnicile de analiză a imaginilor audevenit din ce în ce mai populare, fiind utilizate în diverse aplicaţii.

Printre operaţiile utilizate în procesele de analiză a imaginilor se regăsesc extragereade contururi, segmentarea sau calculul de mărimi texturale, operaţii pe baza cărora sepot realiza măsurători ale diverselor mărimi, recunoaştere de obiecte sau diverse eval-uări ale parametrilor obiectelor din imagini (arii, perimetre, distanţe, etc.). Segmentareaimaginilor reprezintă o tehnică de analiză prin care imaginile sunt descompuse în părţilelor constituente, informaţiile despre acestea putând fi ulterior utilizate în recunoaştereade obiecte sau pattern-uri. Apariţia obiectelor cu proprietăţi texturale poate îngreunaoperaţiile de analiză deoarece acestea reprezintă suprafeţe complexe, cu multe contururi,ce pot fi interpretate greşit printr-o abordare inedecvată. Au apărut astfel, tehnicile deanaliză a texturilor, în care sunt analizate regiuni ale imaginilor, sau chiar imagini întregi,cu scopul de extrage informaţii ce pot fi utilizate ulterior în operaţii mai complexe.

Dat fiind faptul că tehnicile de analiză a imaginilor au fost dezvoltate iniţial în contex-tul imaginilor în nivele de gri, una din problemele apărute în acest domeniu este apariţia şiutilizarea la scară din ce în ce mai largă a imaginilor color, în ultimul timp îmbunătăţindu-se în mod constant calitatea acestora. Problema constă în faptul că majoritatea operaţiilorde analiză introduse pentru imagini în nivele de gri nu pot fi extinse în mod direct la ima-gini color, din cauza naturii vectoriale a valorilor pixelilor din aceste imagini. Aşadar,în ultimul timp s-a urmărit propunerea de metode de analiză care să abordeze imaginilecolor ţinând cont de natura vectorială a informaţiei color.

Pe această direcţie se încadrează şi cercetările realizate în cadrul prezentei teze dedoctorat, prin investigarea oportunităţilor de a propune noi metode de analiză texturală,care să ţină cont de natura vectorială a datelor din imaginile color.

Obiectivul tezei

Principalul obiectiv al prezentei lucrări este de a propune diverse metode de analiză atexturilor color care să ia în considerare faptul că imaginile color reprezintă funcţii vec-toriale. În acest sens, vor fi investigate oportunităţile introducerii unor mărimi texturalenoi, sau extinderea celor existente pentru imagini în nivele de gri, astfel încât abordărilerezultate să fie de natură vectorială.

Cercetările se vor concentra asupra mărimilor ce consideră imaginea ca fiind un obiectcu proprietăţi fractale, dat fiind faptul că modelarea imaginilor color prin funcţii cu carac-ter fractal a fost introdusă recent, existând puţine studii în această direcţie. De asemenea,se are în vedere investigarea mărimilor bazate pe operaţii din morfologia matematică, ex-tinderile acestei teorii la domeniul color prezentând unele dezavantaje.

Evaluarea mărimilor propuse se va realiza în contextul unei aplicaţii medicale privindsegmentarea imaginilor texturale color conţinând leziuni de psoriazis. Dat fiind faptul căsegmentările imaginilor reprezintă operaţii ambigue, ale căror rezultate sunt, în general,evaluate în mod subiectiv, se are în vedere utilizarea unor segmentări de referinţă pentrucompararea rezultatelor obţinute pe baza mărimilor introduse în prezenta lucrare.

7

2. Segmentarea imaginilor

Imaginile digitale sunt din ce în ce mai des utilizate în aplicaţii automate de detecţiea obiectelor sau diverse sisteme de decizie bazate pe informaţii extrase din spectrul vizibilsau invizibil. Una din cele mai importante operaţii în cadrul unui astfel de sistem, ce areca scop identificarea obiectelor de interes este segmentarea.

În acest capitol sunt prezentate câteva noţiuni generale despre segmentarea imagini-lor, fiind descrise principalele tehnici de segmentare. Apoi urmează o prezentare a câtorvamărimi texturale clasice şi o prezentare a modului în care acestea pot fi utilizate în seg-mentarea imaginilor. Capitolul se încheie cu o secţiune de concluzii şi cu prezentareaobiectivelor prezentei teze de doctorat.

2.1 Noţiuni generale

Operaţia de segmentare a imaginilor este utilizată adesea în sistemele automate deanaliză a imaginilor. Prin segmentare, domeniul imaginii este divizat, astfel încât ima-ginea să fie împărţită în regiuni de sine stătătoare, fiecare cu o semnificaţie proprie.Matematic, modelând imaginea ca o funcţie f : Df → S, unde Df reprezintă un dome-niu bidimensional (ex. o submulţime din R2) iar S este mulţimea valorilor pixelilor uneiimagini, segmentarea acesteia este definită ca partiţionarea completă a domeniului Df ,într-un ansamblu de mulţimi disjuncte, nevide şi conexe Dfi , numite segmente, ce satisfacfiecare un anumit criteriu C; acest criteriu nu este respectat pentru reuniunea oricărordouă elemente ale partiţiei [21].

Au fost propuse diverse operaţii de segmentare ale unei imagini [24][40], cum ar fimetode bazate pe extragerea contururilor, pe creşterea regiunilor, pe histogramă, petrăsături locale, pe fuziunea regiunilor rezultate în urma unei suprasegmentări, ş.a.m.d.În literatură, acestea au fost grupate în două mari clase, în funcţie de modalitatea deabordare a fiecărei metode: metode orientate pe contururi şi metode orientate pe regiuni.

Metodele de segmentare orientate pe contururi urmăresc detecţia frontierelorobiectelor din imagine, acestea fiind caracterizate de schimbări semnificative ale valorilorpixelilor într-o vecinătate spaţială. Dezavantajul major al acestor metode este dat defaptul că, din cauza zgomotului sau a altor efecte nedorite, acestea nu garantează obţinereaunor contururi închise în jurul obiectelor.

Metodele de segmentare bazate pe regiuni urmăresc extragerea regiunilor dinimagine ce respectă un anumit criteriu de uniformitate. Acest criteriu poate fi aplicat di-rect asupra valorilor pixelilor din imagine sau asupra unor mărimi caracteristice derivate,ce pot fi calculate incluzând şi pixeli din vecinătatea pixelului curent. Considerând spaţiulcaracteristicilor ca fiind spaţiul valorilor pixelilor din imagine, putem clasifica astfel tehni-cile de segmentare bazate pe histogramă ca o sub-categorie a metodelor de segmentarebazate pe regiuni. Imaginile texturale pot fi segmentate cu ajutorul acestor metode, dacăspaţiul caracteristicilor este constituit din mărimi de caracterizare a texturilor.

În concluzie, metodele de segmentare propuse se pot grupa în două mari clase, înfuncţie de metodologia abordată: detecţia contururilor şi extragerea directă a regiunilor.Cu toate că există numeroase metode propuse pentru segmentare, acestea sunt de obicei

8

CAPITOLUL 2. SEGMENTAREA IMAGINILOR 9

metode ad hoc, introduse pentru rezolvarea unor probleme specifice. Evaluarea perfor-manţelor unei metode de segmentare întâmpină anumite dificultăţi, datorate în principallipsei unei referinţe obiective cu care să fie comparat rezultatul obţinut.

2.2 Evaluarea performanţelor segmentării

O evaluare cantitativă a rezultatelor generate de către un algoritm de segmentare esteîn general dificil de realizat, dată fiind diversitatea aplicaţiilor în care este necesară oastfel de operaţie. În [36] a fost realizat un experiment în care mai multe imagini au fostpropuse pentru a fi segmentate manual. S-a constatat că, din cauza caracterului generalal imaginilor, au apărut situaţii în care aceeaşi imagine a fost segmentată în mod diferitde către oameni diferiţi. Prin urmare, evaluarea rezultatelor unei segmentări depinde deevaluator, fiind realizată în mod subiectiv de către fiecare om în parte.

În [52] au fost prezentate trei clase de evaluări ale unei operaţii de segmentare: metodeanalitice, metode bazate pe evaluarea calităţii segmentării şi metode bazate pe evaluareadiscrepanţei dintre diferite segmentări ale aceleiaşi imagini. Dintre acestea, cele maipopulare sunt metodele bazate pe evaluarea discrepanţelor dintre rezultatul unui algoritmdat şi o segmentare de referinţă. Se pot utiliza mărimi cantitative pentru evaluareaacestei discrepanţe, cum ar fi numărul şi/sau poziţia pixelilor segmentaţi greşit, numărulsegmentelor rezultate, etc. Această metodă are însă dezavantajul necesităţii unui rezultatde referinţă care, după cum a fost prezentat anterior poate fi obţinut în mod subiectiv.

În [15] au fost propuse mai multe metode de evaluare ale unor operaţii de segmentareaplicate pe imagini satelitare. Considerând operaţia de segmentare ca o clasificare a pi-xelilor în diferite clase reprezentând obiectele din imagine, una dintre aceste metode sebazează pe numărul pixelilor incorect clasificaţi. Această metodă compară segmentarearezultată utilizând un anumit algoritm de segmentare cu o segmentare de referinţă, cal-culând procentul pixelilor incorect clasificaţi.

2.3 Metode de segmentare a imaginilor

Metodele de segmentare au fost clasificate, în funcţie de abordarea propusă, în metodebazate pe contururi şi metode bazate pe regiuni. În continuare, vor fi prezentate pe scurt,câteva metode reprezentative din fiecare clasă.

2.3.1 Segmentare orientată pe contururi

Algoritmii de segmentare urmăresc detecţia obiectelor din imagine prin determinareafrontierelor dintre acestea. Aceste frontiere, denumite contururi, sunt caracterizate devariaţii semnificative ale valorilor pixelilor într-o vecinătate spaţială. Dat fiind faptulcă imaginile sunt modelate matematic ca funcţii cu domeniul de definiţie bidimensional,variaţiile valorilor pixelilor pot fi analizate prin intermediul gradientului funcţiei imagine,ce poate fi obţinut printr-o filtrare liniară de derivare. Dacă amplitudinea acestui gradienteste mai mare decât un anumit prag, atunci pixelul respectiv este considerat ca fiind pixelde contur. De obicei, pentru diminuarea artefactelor introduse din cauza zgomotului din


imagine, filtrele de derivare sunt combinate cu filtre de netezire. Au apărut astfel, filtrelede extragere de contururi bazate pe gradient (ex Prewitt, Izotrop şi Sobel) [30].

Principalul dezavantaj al acestor metode este că în regiunile în care tranziţia dintreobiecte este mai lentă, magnitudinea gradientului scade şi astfel, printr-o comparare cuun prag fix rezultă întreruperi ale contururilor detectate. Acestea pot apărea şi din cauzazgomotului sau a iluminării neuniforme a obiectelor. O soluţie a acestei probleme poate fiutilizarea metodelor de segmentare bazate pe extragerea directă a regiunilor din imagine.

2.3.2 Segmentare orientată pe regiuni

Metodele de segmentare orientată pe regiuni urmăresc caracterizarea fiecărei regiunide sine stătătoare pe baza unor trăsături definitorii ale acelei regiuni. Cea mai simplăproprietate a unui obiect dintr-o imagine este dată de valorile pixelilor ce compun acelobiect. Astfel, au apărut metodele de segmentare bazate pe prăguirea histogramei.

Segmentare pe baza histogramei

Atunci când valorile pixelilor sunt definitorii pentru obiectele din imagine, acestea potfi utilizate drept criteriu pentru realizarea unei segmentări, histograma imaginii avândo structură de moduri dominante. Pixelii având valori corespunzătoare unui mod suntconsideraţi ca aparţinând unei clase de obiecte. O astfel de segmentare este caracterizatăprin faptul că segmentele nu sunt întotdeauna conexe.

Au fost introduse şi metode de alegere automată a pragurilor, cum ar fi metoda Bhat-tacharya [6] sau tehnici automate de clustering, ce pot fi aplicate şi în cazul imaginilorcolor. Unul din principalele dezavantaje ale acestei metode este dat de faptul că nu se iauîn considerare relaţiile spaţiale existente între pixeli. Astfel, din cauza iluminării neuni-forme, a apariţiei umbrelor sau a zgomotului, unii pixeli pot fi consideraţi ca aparţinând înmod eronat unei anumite clase. Pentru a lua în considerare distribuţia spaţială a pixelilorîn imagine, au fost propuse metode de segmentare în suportul imaginii [49]. Una dintrecele mai populare astfel de metode este creşterea regiunilor [24].

Creşterea regiunilor

Pornind de la anumiţi pixeli din imagine, numiţi seminţe, aflaţi în interiorul obiectelor,se grupează în jurul acestora pixelii cu proprietăţi similare. Există deci, două etape:alegerea seminţelor şi creşterea regiunilor. Procesul se opreşte atunci când toţi pixelii dinimagine au fost asociaţi unui anumit obiect sau când nu mai există pixeli similari cu ceiiniţiali.

Dezavantajul unei astfel de metode este că dacă se doreşte segmentarea unei imaginicu variaţii mari ale valorilor pixelilor în interiorul obiectelor, acestea nu vor permiteregiunilor să "crească" foarte mult. Se poate concluziona deci, că o metodă de segmentarebazată exclusiv pe valorile pixelilor nu generează întotdeauna rezultate satisfăcătoare.O soluţie la această problemă este includerea unei vecinătăţi din jurul fiecărui pixel înprocesul de segmentare. Astfel, fiecărui pixel i se asociază una sau mai multe valori caresă caracterizeze atât pixelul în sine, cât şi relaţia spaţială pe care acesta o are cu pixeliivecini. Unele dintre cele mai populare mărimi caracteristice, utilizate în segmentare suntmărimile texturale.


2.4 Caracterizarea texturilor

Imaginile ce conţin variaţii mari ale valorilor pixelilor sunt dificil de segmentat utilizânddoar informaţii privitoare la valorile respective ale pixelilor. Aceste regiuni poartă numelede texturi. În ultimii 30 de ani au fost propuse numeroase încercări de a extrage mărimicare să caracterizeze proprietăţi ale texturilor din punct de vedere numeric, astfel încâtacestea să fie utilizate în aplicaţii de clasificare, indexare sau segmentare a imaginilor. Însecţiunile următoare sunt descrise o serie de astfel de abordări.

2.4.1 Noţiuni generale

Texturile reprezintă variaţia datelor din imagine la o scală mai mică decât scala deinteres [41]. În Figura 2.1d este prezentată o imagine ce conţine trei texturi: texturapenelor păsării, iarba şi pădurea din fundal.

Texturile se pot grupa în trei clase: regulate, semi-regulate şi neregulate. În celeregulate, un anumit element textural, numit texel, se repetă periodic, formând o structurădeterministă. În texturile neregulate nu există un astfel de element, acestea fiind compusedintr-o variaţie a datelor într-un mod probabilistic. Clasa texturilor semi-regulate, este oclasă intermediară, în care există texeli, însă aceştia au poziţii şi mărimi aleatoare. Acestetipuri de texturi sunt exemplificate în Figura 2.1.

Au fost propuse numeroase abordări de caracterizare a texturilor. În [48] acestea aufost clasificate în metode geometrice, statistice, bazate pe anumite modele ale imaginii şibazate pe tehnici din domeniul prelucrării semnalelor. Metodele geometrice se referă ladescrierea texturilor regulate şi semi-regulate prin forma şi poziţia texel-ilor [41]. Metodele

(a) Textură regulată (b) Textură semi-regulată

(c) Textură neregulată (d) Imagine texturală

Figura 2.1: Exemple de texturi.


statistice sunt bazate pe distribuţii de ordinul 2 sau funcţii de autocorelaţie [26]; aces-tea sunt adecvate pentru analiza texturilor neregulate, dată fiind structura aleatoare aacestora. Metodele bazate pe construcţia unui model al imaginii sunt caracterizate prinutilizarea unui model matematic ce poate fi aplicat atât pentru descrierea texturii, câtşi pentru sinteza acesteia (ex. fractali, câmpuri aleatoare Markov). Metodele bazate petehnici din prelucrarea semnalelor se referă în special la filtre ce pot fi utilizate pentruextragerea unor informaţii texturale din imagini (ex. filtre Gabor, filtre neliniare dindomeniul morfologiei matematice).

În cele ce urmează este descris câte un exemplu din fiecare categorie, exceptândmetodele geometrice, deoarece acestea au ca principal obiectiv detecţia şi descrierea texel-ilor, aceştia neexistând în toate tipurile de texturi.

2.4.2 Metode statistice

Texturile nu pot fi descrise utilizându-se doar valorile pixelilor, fiind necesară o abor-dare care să ia în considerare o vecinătate din jurul fiecărui pixel. Aşadar, mărimile statis-tice de ordinul unu sunt insuficiente pentru descrierea texturilor, existând texturi diferitecu aceeaşi histogramă [45]. Prin urmare, au fost introduse mărimi statistice de ordinuldoi, care să ia în considerare, pe lângă statistica privind variaţia a doi pixeli, informaţiiprivind relaţia spaţială a acestora. Matricea de coocurenţă reprezintă o astfel de mărime,fiind o funcţie de densitate de probabilitate de ordinul doi ce caracterizează perechi depixeli din regiunea studiată [26]. Matricea de coocurenţă nenormată este definită ca:

Cd(i, j) = Card{(x, y)|(I(x, y) = i) ∩ (I(x+ dx, y + dy) = j)} (2.1)

unde x şi y reprezintă coordonate spaţiale, i şi j sunt valorile posibile ale pixelilor, iard = (dx, dy) este un vector bidimensional de translaţie, ce determină relaţia spaţialădintre pixelii analizaţi. Pentru a reprezenta o densitate de probabilitate, această matriceeste normată, rezultând matricea Nd.

Matricea de coocurenţă, poate fi utilizată direct pentru descrierea texturilor. Totuşi,pentru extragerea unor valori numerice, care să fie utilizate mai uşor în comparaţii, au fostintroduse mai multe mărimi statistice, obţinute pe baza acestei matrici, numite adeseamărimile Haralick [26]: energia, corelaţia, contrastul, omogenitatea, etc.

Deşi matricile de coocurenţă au devenit foarte populare, acestea au un mare dezavan-taj: sunt practic imposibil de aplicat în mod direct pentru imagini color. Acest lucru esteo consecinţă a numărului foarte mare de culori existente în imaginile actuale (aproximativ16.7 milioane); din această cauză, ar rezulta matrici de coocurenţă cu dimensiuni foartemari, imposibil de manipulat utilizând maşinile de calcul uzuale actuale. Un alt dezavan-taj al matricii de coocurenţă este invarianţa la anumite transformări ale imaginii, cum arfi schimbări de scală sau variaţii ale iluminării. În continuare sunt prezentate o serie demărimi ce posedă aceste tipuri de invarianţă, fiind bazate pe abordări multirezoluţie.

2.4.3 Metode bazate pe mărimi fractale

Termenul de fractal a fost introdus de către Mandelbrot, în anul 1983 [33]. Principalaproprietate vizuală a obiectelor fractale este autosimilaritatea. În funcţie de aceasta, ex-istă două tipuri de fractali: determinişti şi probabilistici. In cazul fractalilor determinişti,


există o autosimilaritate exactă, obiectele fiind compuse din copii fidele ale lor, dar sca-late cu o anumită valoare; fractalii probabilistici sunt compuşi din submulţimi pentru caremărimile probabilistice sunt aceleaşi cu ale mulţimii iniţiale, de asemenea, scalate cu oanumită valoare. Imaginile texturale au fost modelate şi analizate pe baza teoriei fractale,existând numeroase lucrări legate de acest subiect [39] [31].

Mandelbrot a definit noţiunea de fractal ca fiind o mulţime cu dimensiunea Hausdorffmai mare decât dimensiunea sa topologică. Dimensiunea topologică a unei mulţimi estedată de cel mai mic întreg n, astfel încât, dacă se acoperă respectiva mulţime cu o familiede mulţimi deschise, să nu existe mai mult de n+ 1 astfel de mulţimi cu elemente comune[19]. Astfel, o curbă are dimensiunea topologică 1, o suprafaţă dimensiunea 2, etc.

Dimensiunea Hausdorff porneşte de la definiţia mărimii Hausdorff H. Dacă F ⊂ Rn

şi s ∈ R+, oricare ar fi δ > 0, se defineşte

Hsδ(F ) =

∧{∞∑i=1

|Ui|s : F ⊂∞⋃i=1

Ui, |Ui| < δ

}, (2.2)

unde∧

reprezintă extragerea infimum-ului unei mulţimi şi |Ui| reprezintă diametrulmulţimii Ui [20]. MărimeaHs(F ) = lim

δ→0Hsδ(F ) se numeşte mărimea Hausdorff s-dimensională.

A fost demonstrat că Hs(F ) este o funcţie descrescătoare în raport cu s. Mai mult, existăo valoare s0 pentru care

Hs(F ) =

{∞ dacă 0 ≤ s ≤ s0

0 dacă s > s0(2.3)

Această valoare critică în care funcţia "sare" de la ∞ la 0 poartă numele de dimensiuneaHausdorff, notată dimHF . O astfel de definiţie este dificil de utilizat în mod direct, în im-plementări practice fiind utilizate aproximări ale acestei dimensiuni: (i) dimensiunea boxcounting, (ii) dimensiunea de corelaţie, (iii) dimensiunea Minkowski-Bouligand. Fiecaredin acestea este denumită generic dimensiune fractală (DF ) în anumite articole. Cu toateacestea, Mandelbrot a definit dimensiunea Hausdorff ca dimensiune fractală.

(i) Algoritmul pentru determinarea dimensiunii box counting urmăreşte acoperireaspaţiului în care se află obiectul fractal cu mulţimi de dimensiune cunoscută, denumitecutii (eng. box), şi numărarea cutiilor ce acoperă obiectul. Această etapă se repetă pentrudiferite dimensiuni ale cutiilor. În cazul unui obiect fractal F , numărul cutiilor rezultateN(δ) variază în funcţie de dimensiunea δ a acestora după relaţia

Nδ(F ) = δ−dimBF , (2.4)

unde dimBF se numeşte dimensiunea box counting. Rezultă că

logNδ(F ) = −dimBF log δ. (2.5)

Prin urmare, dimensiunea box counting poate fi determinată practic, ca fiind panta drepteide regresie dată de numărul de cutii cu care este acoperită mulţimea fractală, în funcţiede mărimea acestora, în coordonate logaritmice.

În aplicaţii, pentru măsurarea dimensiunilor box counting a funcţiilor cu caracter frac-tal (ex. mişcare Browniană) sau a imaginilor în nivele de gri, au fost propuse diversemodalităţi de calcul sau estimare a numărului de cutii, cum ar fi metoda diferenţelor pro-pusă în [43] sau metoda probabilistică introdusă de [50]. Utilizând metoda probabilistică,


se poate calcula şi o altă mărime fractală: lacunaritatea. Termenul de lacunaritate a fostintrodus de Mandelbrot ca o măsură a eterogenităţii unui obiect fractal.

(ii) O altă modalitate de a estima dimensiunea Hausdorff este prin dimensiunea decorelaţie, introdusă în [25] şi care se bazează pe calculul integralei de corelaţie C(δ):

C(δ) =2qδ

N(N − 1), (2.6)

unde qδ reprezintă numărul de perechi de puncte din mulţimea fractală aflate la o distanţămai mică decât δ. Dimensiunea de corelaţie, dimCF a unui obiect fractal F este dată de:

dimCF = limδ→0

logC(δ)

log δ. (2.7)

(iii) O a treia metodă practică de estimare a dimensiunii Hausdorff este algoritmulcovering blanket. Acesta se bazează pe ideea de a calcula lungimea L a unei curbe F prindilatarea acesteia utilizând un disc de rază ε, urmată de calculul ariei A(ε), a mulţimiidilatate; lungimea curbei F va fi egală cu

L(F ) = limε↘0

A(ε)

2ε. (2.8)

Dacă F este un fractal atunci lungimea calculată variază în funcţie de ε:

Lε(F ) = c limε↘0

ε(1−dimMBF ) (2.9)

unde c este o constantă, iar dimMBF reprezintă dimensiunea Minkowski-Bouligand aobiectului F . Aceasta poate fi calculată în modul următor [7]:

dimMBF = limε↘0

(2− logA(ε)

log ε

). (2.10)

Conceptul a fost extins la calculul dimensiunilor obiectelor fractale din Rn [33]:

dimMBF = limε↘0

(dimTF + 1− log V (ε)

log ε

), (2.11)

unde dimTF reprezintă dimensiunea topologică a obiectului fractal F ∈ Rn, iar V (ε)reprezintă hipervolumul ce încadrează obiectul fractal, la distanţa ε.

Pentru analiza semnalelor şi a imaginilor această tehnică a fost formalizată utilizândconcepte din morfologia matematică, rezultând algoritmul covering blanket [35]. Alăturide acest procedeu pentru calculul dimensiunii Minkowski-Bouligand – ce poate fi utilizatăca mărime de caracterizare a texturilor – în cadrul morfologiei matematice au fost definiteşi alte mărimi texturale. Toate acestea sunt prezentate în secţiunea următoare.

2.4.4 Metode bazate pe mărimi morfologice

Morfologia matematică (MM) reprezintă o ramură a matematicii utilizată pentru ex-tragerea de informaţii cu privire la formele obiectelor din imagini [44]. MM a fost in-trodusă pentru imagini binare, care pot fi considerate mulţimi de puncte bidimensionale;prin urmare, operaţiile elementare din MM sunt bazate pe teoria mulţimilor. Extinderea


la imagini în nivele de gri a introdus o generalizare a operaţiilor morfologice de bază, careau fost compuse ulterior în operaţii mai complexe [47].

Pentru definirea operaţiilor morfologice de bază este necesară introducerea conceptuluide element structurant. Acesta reprezintă o mulţime, de obicei de dimensiuni reduse,utilizată pentru extragerea de informaţii din imaginea de analizat. Acestei mulţimi ise asociază o origine, cu ajutorul căreia elementul structurant este poziţionat în fiecarepunct al imaginii, prin operaţii de translaţie. Astfel, pentru o imagine binară F şi utilizândelementul structurant B, cele două operaţii de bază din morfologia matematică, erodareaεB(F ) şi dilatarea δB(F ), se definesc în modul următor:

εB(F ) = {x | Bx ⊆ F} ; δB(F ) = {x | Bx ∩ F 6= ∅} (2.12)

unde Bx reprezintă translaţia elementului structurant B în punctul x al imaginii iniţiale.Aceste două operaţii respectă proprietatea de dualitate:

εB(F ) =(δB(FC)

)C şi δB(F ) =(εB(FC)

)C (2.13)

unde FC reprezintă complementara imaginii F .Erodarea şi dilatarea determină ca obiectele din imagine fie să se micşoreze, fie să

crească în dimensiune. Pentru a corecta aceste efecte şi a aduce obiectele la forma iniţială,au fost introduse operaţiile de deschidere γB(F ) şi închidere morfologică φB(F ):

γB(F ) = δB̌ [ε(F )] ; φB(F ) = εB̌ [δ(F )] (2.14)

unde B̌ reprezintă simetricul lui B în raport cu originea. Aceste operaţii determină caobiectele mari să fie aduse la mărimea şi forma iniţială, generând şi un efect de netezire acontururilor. Deschiderea şi închiderea sunt, de asemenea operaţii duale. În plus, acestearespectă o altă proprietate importantă, şi anume idempotenţa:

γB (γB(F )) = γB(F ) şi φB (φB(F )) = φB(F ). (2.15)

Această proprietate este importantă în cazul filtrării imaginilor deoarece garantează că oimagine nu va fi modificată de mai multe ori prin iteraţii multiple ale aceleiaşi transformări.

Extinderea acestor operaţii la imagini în nivele de gri s-a realizat utilizând conceptulde umbră a unei funcţii U(f), ce permite trecerea de la o funcţie la o mulţime şi invers[34]. Pentru a reveni la funcţia f , a fost definită transformarea top a unei mulţimi T(A).Între cele două transformări, top şi umbră, există relaţia T (U(f)) = f .

Extinderea operaţiilor morfologice la funcţii reale de o variabilă (semnale) sau douăvariabile (imagini în nivele de gri) s-a realizat prin transformarea acestora în mulţimi:

εg(f) = εU(g)(U(f)); δg(f) = δU(g)(U(f)), (2.16)

unde g se numeşte de asemenea element structurant sau funcţie structurantă. O for-malizare a acestor operaţii a fost realizată utilizându-se teoria laticilor [42]. O latice esteo mulţime, căreia i se asociază o ordine parţială şi pentru care fiecare două elemente auun infimum şi un supremum. Infimum-ul unei mulţimi reprezintă cel mai mare element,mai mic sau egal decât fiecare element al mulţimii respective; supremum-ul mulţimii estecel mai mic element, mai mare sau egal decât elementele mulţimii. Pentru f : Df → S şig : Dg → S unde S este o latice, erodarea şi dilatarea au fost definite în modul următor:


[εg(f)] (x) =∧z∈Dg

(f(x+ z)− g(z)

), ∀x ∈ Df ; (2.17)

[δg(f)] (x) =∨z∈Dg

(f(x− z) + g(z)

), ∀x ∈ Df , (2.18)

unde∧

şi∨

sunt operatorii de calcul a infimum-ului şi a supremum-ului. Pentru a seevita confundarea unităţilor spaţiale din domeniul de definiţie al funcţiei, Df , cu valorilefuncţiei f(x) ∈ S, foarte des se utilizează elemente structurante de tip plat (eng. flat),definite ca g(x) = 0,∀x ∈ Dg.

Pornind de la cele patru operaţii morfologice prezentate, se pot defini operaţii maicomplexe de extragere de trăsături din imagini. Pentru extragerea de informaţii texturaledintr-o imagine, utilizând operaţii morfologice, au fost propuse mai multe abordări:

• Algoritmul covering blanket. Scopul acestei abordări este de a calcula lungimea,în cazul semnalelor, sau ariei în cazul suprafeţelor ce modelează imagini în nivelede gri, utilizând operaţii morfologice pentru obţinerea unei învelitori a obiectului.În cazul imaginilor, această învelitoare este determinată de suprafeţele imaginilorgenerate prin dilatare şi erodare. Se poate aplica apoi ecuaţia 2.11 pentru calcululdimensiunii Minkowski-Bouligand, variind dimensiunea elementului structurant.

• Granulometria este o funcţie reprezentând evoluţia volumului unei imagini, dupăefectuarea operaţiei de deschidere morfologică, în funcţie de mărimea elementu-lui structurant. Imaginile în tonuri de gri pot fi considerare ca fiind suprafeţe,z = f(x, y), în spaţiul tridimensional, valorile pixelilor pentru fiecare coordonatăspaţială (x, y) din imagine reprezentând înălţimi ale suprafeţei. Volumul unei astfelde suprafeţe se poate calcula ca suma tuturor pixelilor din imagine.

În [46] a fost propusă noţiunea de pseudo-granulometrie, constând în utilizareaoperaţiei morfologice de erodare în loc de deschidere.

• Covariaţia morfologică este definită ca variaţia volumului unei imagini în urmaerodării cu un element structurant P2,d format din două puncte, aflate la distanţa||d|| unul faţă de celălalt, în funcţie de această distanţă. Calculând funcţia pentrudiferite orientări ale vectorului d, putem forma un vector de trăsături texturale cepoate fi folosit în operaţii de clasificare, segementare, indexare, etc.

Toate aceste mărimi pot fi utilizate pentru descrierea locală a unei imagini textu-rale, conducând la asocierea fiecărui pixel al imaginii cu un vector de trăsături texturale.Segmentarea unei astfel de imagini se poate realiza apoi ţinând cont de aceste trăsături.

2.5 Segmentare pe baza mărimilor texturale

Segmentarea imaginilor nu generează întotdeauna rezultate satisfăcătoare atunci cândeste bazată doar pe valorile pixelilor. De cele mai multe ori se urmăreşte să se ia înconsiderare şi informaţii privind relaţia spaţială pe care pixelii o au între ei. Astfel, secalculează anumite mărimi de descriere a unei vecinătăţi, acestea utilizându-se în procesul


de segmentare. Mărimile de descriere a texturii fac parte din această categorie, contribuindla descrierea regiunii analizate prin mărimi scalare sau vectoriale.

Una dintre cele mai populare metode de segmentare bazată pe mărimi texturale coloreste metoda JSEG [18]. Aceasta se bazează pe calculul mărimii J , ce reflectă omogenitateaunei regiuni, atât din punctul de vedere al culorilor cât şi al texturii. JSEG combină ometodă de segmentare bazată pe detecţia contururilor – date de mărimea J calculatălocal – cu o metodă bazată pe regiuni – creşterea de regiuni. Prin urmare, algoritmiiprezentaţi în Secţiunea 2.3 pot fi aplicaţi şi în cadrul texturilor, însă nu direct, utilizândvalorile pixelilor, ci în spaţiul caracteristicilor determinat de mărimile texturale. Astfel,pentru o segmentare utilizând mărimile texturale definite în Secţiunea 2.4 se poate utilizao metodă de clustering (ex. k-means) care să clasifice pixelii din imagine în funcţiede textura din care aceştia fac parte. Procedeul este ilustrat în Figura 2.2: un blocde extragere de caracteristici texturale, la nivel local, urmat de o clasificare a acestortrăsături. Avantajul acestui procedeu este că permite compararea diferitelor abordări deextragere a informaţiilor texturale, acestea fiind utilizate în aceeaşi operaţie de analiză aimaginilor (segmentare), utilizând aceeaşi tehnică de clasificare.

Figura 2.2: Segmentarea texturilor utilizând clasificarea caracteristicilor texturale.

2.6 Concluzii

În acest capitol s-a realizat o prezentare sistematică a metodelor utilizate în seg-mentarea imaginilor. Această prezentare a avut ca scop analiza critică a metodelor actualeşi evidenţierea aspectelor ce pot constitui teme de dezvoltare pentru obţinerea unor per-formanţe mai bune. Concluziile care decurg din această analiză şi care constituie punctede plecare pentru prezenta lucrare sunt prezentate în continuare:

• La nivelul actual în domeniul segmentării imaginilor există două mari clase demetode: bazate pe contururi şi bazate pe regiuni:

– segmentarea bazată pe contururi nu generează tot timpul rezultate satisfăcă-toare, existând situaţii în care, din cauza condiţiilor de iluminare, nu se obţincontururi închise în jurul obiectelor;

– segmentarea bazată pe regiuni, în care se iau în calcul doar valorile pixelilor,poate produce rezultate greşite atunci când în imagine există variaţii de luminăsau obiecte cu proprietăţi texturale.


• O abordare frecventă este de a lua în considerare informaţii privind aranjamentulspaţial al pixelilor determinate prin intermediul mărimilor texturale.

Metodele de segmentare a imaginilor ce conţin texturi se bazează pe următoarelecategorii de mărimi texturale:

– statistice;

– bazate pe mărimi fractale;

– bazate pe operaţii morfologice.

• Algoritmii clasici de segmentare pot fi aplicaţi şi în cadrul texturilor, utilizându-sespaţiul caracteristicilor.

Spaţiul caracteristicilor este determinat de mărimile texturale calculate la nivel local.Una din problemele apărute în utilizarea mărimilor texturale pentru segmentare estecă foarte puţine au fost extinse astfel încât să fie utilizate în analiza imaginilor color,în abordări care să ţină cont de natura vectorială a pixelilor din aceste imagini. Demulte ori, extinderea s-a realizat marginal. Totuşi, în astfel de abordări nu se ţinecont de corelaţiile ce există între canale în anumite spaţii de culoare, ceea ce poateconduce la rezultate ambigue, cum ar fi segmentări diferite rezultate prin aplicareaunei tehnici de segmentare pe fiecare canal de culoare în parte. De asemenea, oabordare marginală poate genera, în anumite cazuri, apariţia unor elemente caresă îngreuneze procesul de analiză, cum ar fi culorile false introduse de morfologiamatematică aplicată marginal.

Lucrarea de faţă îşi propune să rezolve problemele menţionate anterior, prezentândcâteva abordări de extindere la imagini color a mărimilor fractale şi a celor bazate pemorfologia matematică.

3. Mărimi fractale pentrucaracterizarea texturilor color

Dintre numeroasele metode de caracterizare numerică a texturilor, mărimile fractaleau avantajul de a fi invariante la schimbări de scală sau variaţii ale iluminării, acesteafiind obţinute în urma unei analize multirezoluţie a imaginii.

În [39] este argumentat că majoritatea suprafeţelor texturale din natură pot fi consi-derate, în anumite limite, fractali; imaginile de intensitate ale acestor suprafeţe texturaleau de asemenea proprietăţi fractale. Pe baza acestei ipoteze au fost propuse numeroasemetode de analiză în care imaginile texturale în nivele de gri sunt privite din perspectivaobiectelor fractale, urmărindu-se calculul sau estimarea unor mărimi caracteristice. To-tuşi, majoritatea abordărilor propuse se referă la imagini în nivele de gri, modelate prinfuncţii bidimensionale reale şi deci, privite ca suprafeţe în spaţiul tridimensional.

Acest capitol prezintă o clasă de funcţii cu proprietăţi fractale – mişcare browniană –împreună cu modalităţi de sinteză a acestora, aceste tehnici de sinteză putând fi utilizatepentru generarea imaginilor de tip fractal. Pe baza acestei tehnici de generare a imagi-nilor fractale color, a fost propusă o extindere a algoritmului probabilistic de estimare adimensiunii box counting şi a lacunarităţii imaginilor sintetizate [29] [28]. Pornind de lafuncţia lacunaritate obţinută, am propus diferite mărimi scalare calculate pe baza aces-teia, ce pot fi utilizate pentru discriminarea texturilor color [9]. De asemenea, am propuso extindere la domeniul color a calculului dimensiunii de corelaţie [8].

3.1 Sinteza imaginilor fractale

Pentru calibrarea diferitelor tehnici de estimare a mărimilor fractale, au fost introdusemetode prin care se pot sintetiza astfel de imagini cu parametri cunoscuţi. În continuareeste prezentată funcţia mişcare Browniană, utilizată drept model pentru generarea unorsemnale sau imagini cu proprietăţi fractale [38].

Particulele de materie solidă suspendate într-un lichid au o mişcare neregulată. Aceastămişcare, restricţionată la o singură dimensiune, poate fi modelată prin funcţia X(t), alecărei valori au o variaţie aleatoare. Incremenentele X(t2)−X(t1) au o distribuţie normalăşi o medie pătratică proporţională cu diferenţa în timp (t):

(X(t2)−X(t1))2 ∝ |t2 − t1| (3.1)

unde, X(t)2 reprezintă media pătratică a semnalului aleator X(t). Astfel că

X(t0 + t)−X(t0) şi1√r

(X(t0 + rt)−X(t0)) (3.2)

au aceleaşi distribuţii pentru orice constantă de scalare r > 0.O generalizare a fost introdusă utilizându-se un parametru care poate ajusta comple-

xitatea semnalului generat. Astfel, a fost propusă o funcţie pentru care

(X(t2)−X(t1))2 ∝ |t2 − t1|2H (3.3)

19

CAPITOLUL 3. MĂRIMI FRACTALE 20

unde H ∈ (0, 1) se numeşte parametrul Hurst, iar X(t) se numeşte mişcare Brownianăfracţionară [38]. Se poate demonstra că cele două funcţii X(t) şi 1

rHX(rt) sunt identice

din punctul de vedere al proprietăţilor statistice. A fost demonstrat că parametrul Hcontrolează dimensiunea fractală (DF ) a funcţiei: DF = 2−H

Pentru generarea unui astfel de semnal au fost propuse mai multe metode: randommidpoint displacement, integrarea zgomotului alb, metode bazate pe sinteză în domeniulspectral, etc. Aceste metode pot fi extinse astfel încât să rezulte suprafeţe modelate prinfuncţii reale bidimensionale cu proprietăţi fractale. Aceste suprafeţe pot fi considerateimagini în nivele de gri reprezentând texturi cu trăsături fractale. Dimensiunea fractală,în cazul unor astfel de funcţii bidimensionale, este de asemenea cunoscută: DF = 3−H,rezultând astfel o generalizare pentru cazul funcţiilor reale n-dimensionale:

DF = n+ 1−H. (3.4)

Metoda random midpoint displacement a fost extinsă recent pentru generarea de ima-gini fractale color [29]. Extinderea a fost realizată marginal, în spaţiul de culoare RGB,considerând cele trei canale de culoare ca fiind independente şi aplicându-se algoritmul degenerare pe fiecare canal de culoare în parte. În Figura 3.1 sunt prezentate trei imaginifractale color generate pe baza acestui algoritm. Se observă că parametrul H are rolul dea ajusta complexitatea texturilor generate.

Metodele de sinteză amintite generează semnale cu o dimensiune fractală cunoscută.Au fost propuse însă şi proceduri de generare a unor funcţii cu lacunaritate ajustabiă. Deexemplu, Saupe a propus modificarea algoritmului random midpoint displacement [38]:în cazul algoritmului original, rezoluţia semnalului generat se îmbunătăţeşte cu un factorr = 1

2la fiecare iteraţie; Saupe a propus modificarea valorii lui r, susţinând că aceasta

poate controla lacunaritatea. Totuşi, dat fiind faptul că lacunaritatea este o funcţie,ajustarea acesteia nu se poate realiza utilizându-se doar un parametru. În literaturănu există însă, o analiză cuprinzătoare a acestei probleme. Aşadar, în cele ce urmeazăam realizat un experiment în scopul studierii comportamentului funcţiilor generate şi adimensiunii fractale a acestora, în funcţie de parametrul ce controlează lacunaritatea.

Utilizând extinderea propusă de Saupe, în care parametrul r controlează lacunaritatea,

(a) H = 0.1 (b) H = 0.5 (c) H = 0.9

Figura 3.1: Imagini texturale color, cu proprietăţi fractale, generate utilizând extindereaalgoritmului random midpoint displacement, propusă în [29].


au fost sintetizate câte 50 de funcţii bidimensionale reale, modelând imagini în nivele degri, pentru fiecare combinaţie de parametri r şi H, cu valori între 0.1 şi 0.9, cu incrementde 0.2. În Figura 3.2 sunt prezentate câte un exemplu de imagine generată cu H şi ravând valorile 0.1, 0.5 şi 0.9. Se poate observa că parametrul H controlează comple-xitatea texturilor, la nivel de vecinătate: o valoare apropiată de 0 a acestui parametrudetermină o complexitate mare, cu variaţii mari ale pixelilor vecini, în timp ce pentruvalori apropiate de 1, pixelii vecini sunt corelaţi, existând tranziţii lente între aceştia.Influenţa parametrului r se poate observa cel mai bine în imaginile generate cu H = 0.9:

(a) H = 0.1, r = 0.1 (b) H = 0.1, r = 0.5 (c) H = 0.1, r = 0.9

(d) H = 0.5, r = 0.1 (e) H = 0.5, r = 0.5 (f) H = 0.5, r = 0.9

(g) H = 0.9, r = 0.1 (h) H = 0.9, r = 0.5 (i) H = 0.9, r = 0.9

Figura 3.2: Imagini texturale în nivele de gri, cu proprietăţi fractale, generate utilizândgeneralizarea algoritmului random midpoint displacement pentru obţinerea funcţiilor culacunarităţi variabile, pentru trei valori ale parametrilor H şi r.


o valoare apropiată de 0 a acestuia determină apariţia unor variaţii ale valorilor pixelilor,dar la o scală mai mare decât vecinătatea imediată a acestora. De exemplu, imaginea dinFigura 3.2g, deşi este de complexitate mică, pixelii vecini având valori apropiate, prezintătotuşi o eterogenitate perceptuală, dată de variaţia pixelilor la o scală mai mare. Spredeosebire de aceasta, imaginea din Figura 3.2i, are un aspect omogen atât la nivel devecinătate a pixelilor, cât şi privită la o scală mai mare.

Pentru cele 50 de imagini generate cu parametrii H şi r având valori între 0.1 şi 0.9 cuincrement de 0.2, au fost estimate dimensiunile fractale cu ajutorul algoritmului coveringblanket, descris în Secţiunea 2.4.4. În Tabelul 3.1 sunt prezentate mediile acestor dimen-siuni, obţinute pentru fiecare pereche de valori a paremetrilor. Teoretic, dimensiuneafractală depinde numai de H, după ecuaţia (3.4). Totuşi, în tabel se poate observa că di-mensiunile fractale măsurate depind şi de valoarea parametrului r, variind descrescător înfuncţie de acesta. Experimentul a fost repetat utilizând algoritmul de generare propus deMusgrave [37], care de asemenea introduce un parametru pentru controlul lacunarităţii.Rezultatele au fost asemănătoare.

În concluzie, problema generării de funcţii cu dimensiune fractală şi lacunaritate con-trolabile şi independente rămâne deschisă; propunerile existente, deşi corecte din punct devedere teoretic, generează rezultate inexacte. Acest lucru poate fi o consecinţă a naturiidiscrete a funcţiilor generate, obiectele fractale ideale fiind definite în domeniul continuu.

În continuare sunt prezentate o serie de mărimi fractale definite pentru imagini colorîn contextul discriminării texturilor. Pornind de la extinderea algoritmului de generarea imaginilor fractale color, introdusă în [29], a fost propusă extinderea algoritmului pro-babilistic introdus în [50], pentru estimarea dimensiunii box counting. În plus, pe bazamărimilor probabilistice utilizate, a fost introdusă lacunaritatea pentru imagini color. Oextindere a dimensiunii de corelaţie pentru imagini color este de asemenea prezentată.

3.2 Mărimi fractale pentru imagini color

Analiza imaginilor utilizând mărimi fractale a fost, pentru o lungă perioadă de timp,limitată la cazul particular al imaginilor în nivele de gri, acestea fiind modelate ca funcţiireale cu domeniul bidimensional. În [29] a fost prezentată extinderea algoritmului probabi-listic de estimare a numărului de cutii, ce are ca scop calcularea dimensiunii box counting.Utilizându-se acelaşi cadru de lucru, a fost introdusă şi mărimea fractală complementarădimensiunii: lacunaritatea imaginilor color [28]. Pe baza acestei metodologii, în [8] ampropus o extindere a dimensiunii de corelaţie, pentru a fi aplicată imaginilor color.

Tabelul 3.1: Mediile dimensiunilor fractale ale imaginilor generate cu parametrii H şi rvariabili.

r = 0.1 r = 0.3 r = 0.5 r = 0.7 r = 0.9

H = 0.1 2.64 2.63 2.61 2.59 2.59H = 0.3 2.55 2.53 2.51 2.48 2.46H = 0.5 2.40 2.38 2.35 2.32 2.25H = 0.7 2.22 2.19 2.16 2.10 2.02H = 0.9 2.01 2.01 1.98 1.96 1.93


3.2.1 Dimensiunea box countingAlgoritmul box counting probabilistic urmăreşte definirea unor hipercuburi de dimen-

siune δ care să fie centrate în fiecare punct al unui obiect fractal şi numărarea punctelorfractalului existente în interiorul acelor hipercuburi. În abordarea extinsă, imaginile colorsunt considerate ca fiind obiecte în spaţiul 5-dimensional determinat de cele două coor-donate spaţiale (x, y), cu care se pot identifica local pixelii în cadrul imaginii şi cele treicomponente de culoare (R, G, B), în cazul utilizării spaţiului de culoare RGB. Pentrustabilirea punctelor din interiorul unui hipercub, în [29] a fost utilizată distanţa Cebîşev,care pentru doi vectori p1 şi p2 este definită ca:

dC(p1, p2) = maxi

(|p1i − p2i|) (3.5)

unde p1i şi p2i sunt componentele vectorilor p1 şi p2. Pentru o imagine color în spaţiulRGB, un pixel p = (x, y, fr(x, y), fg(x, y), fb(x, y)) se află în interiorul unui hipercub delatură δ, centrat în pixelul p0, dacă distanţa d(p, p0) este mai mică decât δ

2.

Dimensiunea box counting (dimB) pentru imagini color poate fi utilizată în discrimina-rea texturilor color. În Figura 3.3 sunt prezentate trei texturi, împreună cu dimensiunilebox counting corespunzătoare. Se poate observa că dimensiunile rezultate reflectă gradulde complexitate perceptuală al texturii, acestea putând fi utilizate în operaţii de clasifi-care, indexare sau segmentare a imaginilor texturale color.

Dimensiunea box counting a unui obiect fractal este dată de panta dreptei de regresiedeterminată de punctele (log δ,− logNδ), unde Nδ reprezintă numărul de cutii de dimen-siune δ cu care este acoperit fractalul. Pentru fractalii ideali, din domeniul continuu,aceste puncte sunt situate pe o dreaptă. Totuşi, imaginile texturale reale nu fac parte dincategoria fractalilor ideali; în cazul texturilor reale, numai o parte din punctele respectivese vor situa pe o dreaptă. Prin urmare, pentru caracterizarea unei texturi reale se poateutiliza direct funcţia − log(Nδ) sau chiar Nδ.

În [50] a fost subliniat faptul că pot exista obiecte fractale având aceeaşi dimensiune,însă aspect diferit. Astfel, a fost introdusă o mărime fractală complementară dimensi-unii, lacunaritatea, ce reflectă eterogenitatea unui fractal. În secţiunea următoare esteprezentată o extindere a acestei mărimi la imagini color.

(a) Textura1 (dimB = 3.21) (b) Textura2 (dimB = 3.48) (c) Textura3 (dimB = 3.82)

Figura 3.3: Trei imagini texturale color şi dimensiunile box counting estimate.


3.2.2 Lacunaritatea şi mărimi derivate din aceasta

Lacunaritatea Λ(δ) a fost definită ca o funcţie ce descrie eterogenitatea fractalilor. În[28] a fost propus conceptul de lacunaritate pentru imagini color, concluzionându-se căaceastă mărime poate fi utilizată pentru discriminarea texturilor cu diferite complexităţi.

În Figura 3.4 sunt prezentate funcţiile lacunaritate rezultate pentru cele trei texturicolor din Figura 3.3. Funcţiile rezultate reflectă gradul de eterogenitate al texturilor, înfuncţie de scală, dată de mărimea cutiilor utilizate pentru acoperirea imaginii. Se observăcă "Textura1" şi "Textura2" prezintă un grad mare de eterogenitate în jurul valorii δ = 10,dat de mărimea elementelor texturale din imagine; în schimb, pentru "Textura3", gradulde eterogenitate rămâne ridicat şi la scale mai mari, reflectând diferenţele mari de culoaredin întreaga imagine. Vectorii formaţi din valorile acestor funcţii pot fi utilizaţi în moddirect pentru caracterizarea texturilor color.

Figura 3.4: Funcţiile lacunaritate Λ(δ) ale celor trei texturi color din Fig. 3.3.

Totuşi, pentru extragerea unor valori numerice, care să fie utilizate mai uşor în compa-raţii, în [9] am introdus patru mărimi scalare, extrase în mod empiric din această funcţieşi care au fost utilizate în segmentarea imaginilor texturale: aria suprafeţei cuprinse întregraficul funcţiei Λ(δ) şi axa x, raportul dintre aria jumătăţii din stânga şi cea din dreaptaa graficului funcţiei lacunaritate, momentul probabilistic de ordin 3 al funcţiei normalizateşi poziţia valorii maxime. În continuare sunt prezentate fiecare din aceste mărimi:

• Aria suprafeţei cuprinse între graficul funcţiei şi axa x. Valoarea acestei arii poatefi calculată prin însumarea valorilor funcţiei

A(δmin, δmax) =δmax∑k=δmin

Λ(k), (3.6)


unde δmin şi δmax reprezintă dimensiunile minimă şi respectiv maximă a cutiilorutilizate. Această mărime integratoare reflectă eterogenitatea globală a imaginii,fiind o sumă a gradelor de eterogenitate pentru fiecare scală dată de valoarea δ.

• Raportul dintre aria jumătăţii din stânga şi cea din dreapta a graficului funcţiei:

R(δmin, δmax) =

m∑k=δmin

Λ(k)

δmax∑k=m

Λ(k)

, (3.7)

unde m = δmax+δmin

2reprezintă media aritmetică a dimensiunilor maximă şi minimă

a cutiilor. Această mărime este cu atât mai mare cu cât gradul de eterogenitatepentru scalele mici este mai pronunţat decât cel pentru scalele mari.

• Momentul probabilistic de ordin 3 al funcţiei normalizate este derivat din calcululunei astfel de mărimi pentru o funcţie densitate de probabilitate:

SΛ =δmax∑k=δmin

(k − Λ)3Λn(k), (3.8)

unde Λ este media distribuţiei Λn, obţinute prin normarea funcţiei lacunaritate.Acestă mărime reflectă gradul de asimetrie al unei distribuţii.

• poziţia valorii maxime a lacunarităţii este dată de

PM = arg maxk

[Λ(k)] (3.9)

şi reprezintă scala pentru care obiectul fractal are cel mai mare grad de eterogenitate.

În Tabelul 3.2 sunt prezentate aceste mărimi, calculate pentru cele trei texturi prezen-tate în Figura 3.3. Se poate observa că fiecare din aceste mărimi poate fi utilizată pentrudiscriminarea celor trei texturi, reflectând forma graficului funcţiei lacunaritate.

Tabelul 3.2: Mărimile scalare introduse, calculate pentru texturile color din Figura 3.3.

Mărime Textura1 Textura2 Textura3Aria 7.29 8.04 7.71Raportul ariilor 2.68 1.74 1.21Skewness 1.01 0.75 -0.86Poziţia maximului 7 11 13

În concluzie, aceste patru mărimi scalare introduse pot fi utilizate în operaţii de clasi-ficare a texturilor, cum ar fi indexare sau segmentare pe baza trăsăturilor locale. Funcţialacunaritate prezentată este calculată pe baza mărimilor probabilistice propuse de Voss,în scopul estimării dimensiunii box counting. În continuare este prezentată extinderea uneialte dimensiuni fractale pentru a fi aplicată imaginilor color: dimensiunea de corelaţie.


3.2.3 Dimensiunea de corelaţie

Dimensiunea de corelaţie este o mărime prin care se estimează dimensiunea Hausdorffa unui obiect fractal, în anumite cazuri particulare acestea fiind identice [4].

Dimensiunea de corelaţie este calculată pe baza integralei de corelaţie. În [8] am propusaplicarea acestei dimensiuni în cazul imaginilor color, considerându-le ca fiind obiecte5-dimensionale. Spaţiul de culoare utilizat este spaţiul uniform perceptual CIELAB,caracterizat prin faptul că distanţa perceptuală dintre două culori poate fi exprimatăprin distanţa euclidiană dintre respectivele culori, modelate ca puncte tridimensionale,având coordonatele date de componentele L, a şi b [51].

În Figura 3.5a sunt prezentate dimensiunile de corelaţie rezultate pentru nouă texturicolor generate utilizând algoritmul random midpoint displacement, cu parametrul H luândvalori de la 0.1 la 0.9. Se poate observa că, în cazul acestei dimensiuni, valorile rezultatesunt mai mici decât cele obţinute pentru dimensiunea box counting. Totuşi, acestea variazămonoton descrescător în funcţie de H, ceea ce înseamnă că această mărime poate fiutilizată în clasificarea texturilor în funcţie de complexitatea acestora.

Figura 3.5b prezintă histogramele distanţelor rezultate pentru imaginile texturale colordin Figura 3.3. Se poate observa că acestea pot fi utilizate direct pentru descriereacantitativă a unei texturi color. Dimensiunile de corelaţie ale celor trei texturi din Figura3.3 sunt 1.78 pentru "Textura1", 2.12 pentru "Textura2" şi 2.34 pentru "Textura3".

Dimensiunea de corelaţie a fost utilizată cu succes în [8] pentru evaluarea calităţii uneisecvenţe video. În cazul unei pierderi de informaţie în procesul de transmisie al fluxuluivideo, cadrele sunt afectate prin apariţia unor culori artificiale şi a unor iregularităţi,generându-se un aspect texturat. Mărimile fractale prezentate au fost folosite pentrucaracterizarea obiectivă a acestor degradări.

(a) Dimensiunea de corelaţie în funcţie de H (b) Histogramele distanţelor

Figura 3.5: Dimensiunile de corelaţie pentru imagini fractale color generate utilizândalgoritmul random midpoint displacement cu parametrul H având valori de la 0.1 la 0.9(partea stângă). Histogramele distanţelor rezultate pentru imaginile texturale color dinFigura 3.3 (partea dreaptă).


3.3 Concluzii şi contribuţii originale

În acest capitol au fost prezentate noţiuni despre sinteza imaginilor fractale împreunăcu o extindere a unei astfel de metode de sinteză la imagini color. Au fost efectuate experi-mente în cazul sintezei imaginilor fractale în nivele de gri, pentru evidenţierea dependenţeidimensiunii fractale de parametrul introdus pentru controlul lacunarităţii. De asemenea,au fost prezentate extinderea la imagini color a mărimilor fractale dimensiune box count-ing şi lacunaritate. În vederea extragerii unor valori numerice din funcţia lacunaritate,care să fie utilizate mai uşor în operaţii de clasificare, în [9] am introdus patru mărimiscalare calculate pe baza acestei funcţii. În plus, pentru discriminarea texturilor color,am propus extinderea dimensiunii de corelaţie la imagini color, aceasta fiind utilizată în[8] pentru evaluarea calităţii unei secvenţe video.

Prin urmare, contribuţiile originale aduse prin intermediul acestui capitol sunt:

• Evidenţierea dependenţei dimensiunii fractale de lacunaritate.

În acest sens, am efectuat două experimente în care a fost analizată variaţia di-mensiunii fractale în funcţie de parametrul introdus pentru ajustarea lacunarităţiiimaginilor fractale în tonuri de gri; a rezultat faptul că deşi dimensiunea fractală şilacunaritatea unei imagini sintetizate sunt controlate prin parametri diferiţi, acesteanu sunt independente, parametrul de control al lacunarităţii influenţând valoareadimensiunii fractale.

• Introducerea a patru mărimi scalare în vederea discriminării texturilor color [9].

Cele patru mărimi scalare, calculate pe baza lacunarităţii imaginilor color sunt:

– aria suprafeţei cuprinse între graficul funcţiei şi axa x; această mărime reflectăeterogenitatea globală a texturii analizate;

– raportul dintre aria jumătăţii din stânga şi cea din dreapta a graficului funcţiei;acesta creşte în funcţie de gradul de eterogenitate pentru scalele mici utilizateîn analiză, relativ la acelaşi grad de eterogenitate pentru scalele mari;

– momentul probabilistic de ordin 3 al funcţiei normalizate; acest moment deter-mină gradul de asimetrie şi direcţia acestei asimetrii pentru graficul funcţieilacunaritate;

– poziţia valorii maxime a lacunarităţii; aceasta reprezintă scala pentru caretextura analizată are cel mai mare grad de eterogenitate.

• Extinderea mărimii texturale dimensiune de corelaţie la imagini color [8].

Am prezentat utilitatea acestei mărimi în contextul discriminării între texturi coloravând diverse complexităţi. Această mărime texturală a fost utilizată cu succes înevaluarea calităţii unei secvenţe video, pe baza analizei complexităţii texturale acadrelor video.

Mărimile utilizate pentru caracterizarea texturilor vor fi utilizate în Capitolul 5 în con-textul segmentării imaginilor texturale. În capitolul următor vor fi introduse noi mărimitexturale color, bazate pe morfologia matematică şi în special pe extinderi ale acesteiteorii la imagini color.

4. Morfologie matematică pentruimagini color

Pentru a extrage informaţii utile dintr-o imagine adesea aceasta trebuie transformatăastfel încât aceste informaţii să fie mai uşor de extras. Morfologia matematică ce aparţinetehnicilor de prelucrare neliniară a fost introdusă şi studiată în ultimii 40 de ani. Încadrul morfologiei matematice, imaginea este modelată ca o latice, necesitând existenţaunei relaţii de ordine parţială între elementele acesteia. Morfologia matematică a fostdefinită pentru imagini binare şi în nivele de gri, pentru care structurile de latice se potobţine relativ simplu. Extinderea morfologiei matematice la domeniul color a întâmpinatanumite dificultăţi din cauza naturii vectoriale a pixelilor color.

În acest capitol sunt prezentate pe scurt cele mai populare abordări de extindere amorfologiei matematice la domeniul color şi problemele apărute pentru fiecare din acestea.Pornind de la faptul că fiecare din aceste abordări prezintă anumite dezavantaje, amintrodus două noi propuneri de a extinde operaţiile morfologice, ce pot fi utilizate cusucces în analiza texturală.

4.1 Extinderea la imagini color

Morfologia matematică reprezintă o ramură a matematicii ce se ocupă cu analizaformelor din imagini, pe baza unor tehnici de prelucrare neliniară. Formalizarea operaţi-ilor morfologice în contextul teoriei laticilor a permis extinderea acestora de la prelucrăriale imaginilor binare la imagini în nivele de gri. O latice L reprezintă o mulţime căreiai se asociază o relaţie de ordine parţială, astfel încât pentru fiecare submulţime nevidăP ⊂ L există un infimum,

∧P şi un supremum,

∨P [17]. Din definiţia laticii, rezultă

că pentru a fi o latice, o mulţime trebuie să aibă asociată o relaţie de ordine parţială.O relaţie binară R reprezintă o ordine parţială într-o mulţime S dacă respectă urmă-toarele proprietăţi: reflexicitate, tranzitivitate şi antisimetrie. Dacă sunt respectate doarprimele două proprietăţi, R se numeşte pre-ordonare parţială. Dacă, în plus, se respectă şiproprietatea de totalitate, adică fiecare două elemente din mulţime să fie comparabile, or-donarea se numeşte totală. Există şi pre-ordonări totale, pentru care se respectă condiţiilede reflexivitate, tranzitivitate şi totalitate.

Mulţimea numerelor reale R este o latice şi deci, operaţiile din morfologia matematicăpot fi aplicate imaginilor în nivele de gri modelate ca funcţii reale f : Df → S ⊂ R.Se urmăreşte ordonarea valorilor pixelilor determinaţi de poziţia elementului structurant,alegându-se apoi valoarea minimă (corespunzătoare operaţiei de erodare) şi respectiv max-imă (corespunzătoare dilatării) dintre acestea. Imaginile color sunt, însă, funcţii vectoriale(S ⊂ R3) şi pentru aplicarea operaţiilor morfologice este necesară stabilirea unei relaţiide ordine parţială între date de tip vectorial. În [5] ordonările vectorilor au fost gru-pate în 4 clase: de tip M (marginal), de tip R (redus), de tip P (parţial) şi de tip C(condiţional), însă, toate acestea prezintă unele dezavantaje atunci când sunt utilizatepentru construcţia unei morfologii color. De exemplu, ordonarea marginală generează cu-lori false, ordonările reduse şi parţiale nu respectă, în general, proprietatea de antisimetrie,

28

CAPITOLUL 4. MORFOLOGIE MATEMATICĂ 29

în timp ce ordonarea condiţională necesită stabilirea unei priorităţi între componentelevectorilor de culoare, determinând astfel apariţia unor neliniarităţi perceptuale.

Pe lângă abordările de extindere a operaţiilor morfologice ce utilizează relaţiile deordine între vectori, au mai fost introduse şi metode care au ca scop calculul direct alvalorilor infimum şi supremum ale unei mulţimi de vectori. Acestea se bazează pe fap-tul că operaţiile morfologice nu necesită în mod explicit existenţa unei relaţii de ordine,ci doar extragerea unor astfel de valori extreme din mulţimea dată. O astfel de abor-dare poartă numele de pseudo-morfologie din cauza nerespectării cadrului teoretic utilizatîn formalizarea morfologiei matematice, şi anume existenţa unei structuri de latice. Înplus, această evitare a utilizării unei structuri de latice determină nerespectarea unorproprietăţi ale operaţiilor morfologice. Cu toate acestea, pseudo-morfologiile pot avea oaplicabilitate practică. De exemplu, în [3] este introdusă o pseudo-morfologie derivatădin morfologia construită pe baza ordinii lexicografice: vectorii sunt ordonaţi în funcţiede una dintre componente; este utilizat un parametru ce determină procentul de vectorireţinut după această ordonare; vectorii rămaşi, sunt ordonaţi după a doua componentă;procesul se repetă până când sunt utilizate toate componentele, sau rămâne un singurvector. Această abordare poartă numele de pseudo-morfologie α-trimmed şi este utilizatăîn filtrarea imaginilor şi în clasificarea texturilor.

În concluzie, există numeroase abordări de extindere a morfologiei matematice la ima-gini color, fiecare având anumite avantaje, dar şi dezavantaje. În secţiunea următoareeste prezentată o pseudo-morfologie bazată pe mărimi probabilistice, în care cele douăextreme (infimum şi supremum) necesare operaţiilor de erodare şi dilatare sunt estimateprin mijloace probabilistice.

4.2 Pseudo-morfologie probabilistică

În [27] am propus estimarea celor două extreme pe baza inecuaţiei lui Cebîşev, cepermite exprimarea probabilităţii ca dintr-o anumită distribuţie să existe date într-uninterval centrat în valoarea medie a distribuţiei respective [16]. Fie o variabilă aleatoareξ având media µξ şi dispersia σξ, inecuaţia lui Cebîşev este exprimată în modul următor:

P{|ξ − µξ| ≥ kσξ} ≤1

k2. (4.1)

Această inegalitate este valabilă pentru orice distribuţie, atâta timp cât media şi dispersiaau valori finite. Cu ajutorul parametrului k, se pot genera intervale simetrice în jurulvalorii medii, apropierea extremelor acestui interval de valoarea minimă şi maximă adistribuţiei depinzând de valoarea lui k. Limitele acestor intervale sunt date de relaţia(4.2). Definim aceste limite ca fiind pseudo-extremele probabilistice ale distribuţiei, E+

şi E−, în sensul inecuaţiei lui Cebîşev:{E+ ∆

= µξ + kσξ

E− ∆= µξ − kσξ

(4.2)

În continuare este prezentată aplicarea directă a acestei abordări în morfologia matem-atică pentru imagini în nivele de gri.


4.2.1 Imagini în nivele de gri

În [13] am propus utilizarea inecuaţiei lui Cebîşev şi a pseudo-extremelor probabi-listice determinate cu ajutorul acesteia în obţinerea unei pseudo-morfologii matematiceprobabilistice (PMMP) aplicate pentru imagini în nivele de gri. Astfel, considerându-seo imagine f : Df → S ⊂ R, şi un element structurant plat g având domeniul de definiţieDg, am definit operaţiile de pseudo-erodare şi pseudo-dilatare ca:

[εg(f)](x) =∧z∈Dg

f(x+ z)∆= µξ − kσξ, ∀x ∈ Df (4.3)

[δg(f)](x) =∨z∈Dg

f(x− z)∆= µξ + kσξ, ∀x ∈ Df (4.4)

unde ξ reprezintă o variabilă aleatoare ce modelează valoarea nivelului de gri al pixelilordeterminaţi de Df ∩ Dg. Prin urmare, media µξ şi dispersia σξ sunt calculate la nivellocal, într-o vecinătate determinată poziţia elementului structurant.

În cele ce urmează, este prezentată o analiză calitativă a rezultatelor obţinute pentrutrei valori ale parametrului k: 0.2 (pentru care se generează pseudo-extreme apropiate devalorile medii ale distribuţiilor locale), 2 (o valoare apropiată de valoarea optimă în cazuldistribuţiei globale) şi 4 (mai mare decât valoarea optimă):

• k = 0.2. Pseudo-extremele probabilistice calculate pentru valori mici ale lui k suntapropiate de valorile medii ale distribuţiilor locale, determinate de poziţia elementu-lui structurant în cadrul imaginii. Prin urmare, comportamentul operaţiilor definiteîn cadrul PMMP este similar cu cel al unui filtru de mediere (v. Figurile 4.1a şi 4.2a).În acest caz, operaţiile pseudo-morfologice prezintă un comportament mai apropiatde cel al unor filtre liniare de netezire decât de al unor filtre neliniare morfologiceclasice.

• k = 2. Comparând calitativ imaginile din Figurile 4.1b şi 4.2b cu cele din Figurile4.1c şi respectiv 4.2c se poate observa că pentru o astfel de valoare a parametruluik se generează rezultate similare utilizând abordările PMMP şi morfologia matem-atică clasică, în nivele de gri (GLMM). Totuşi, apar şi anumite deosebiri, cum arfi faptul că morfologia clasică introduce anumite artefacte, datorate distribuţiilorlocale particulare (ex. vârful pălăriei în Fig. 4.1c). Datorită filtrării statistice in-trinseci abordării PMMP, imaginea rezultată în urma pseudo-erodării nu prezintăastfel de artefacte şi totodată, forma elementului structurant nu este vizibilă încadrul rezultatelor.

• k = 4. În cazul în care k are o valoare mare, valorile extreme generate pentru fiecareprelucrare locală vor fi foarte depărtate de valoarea medie. Ţinând cont, însă, defaptul că aceste extreme reprezintă valori ale unor pixeli şi deci, este necesar caacestea să se afle într-un interval mărginit, nivelele de gri reprezentate de acestevalori vor fi repartizate către nuanţele extreme: negru şi alb (Figura 4.3). Aceastăsituaţie poate fi asociată cu morfologia matematică clasică, în cazul utilizării unuielement structurant non-plat.


(a) PMMP, k = 0.2 (b) PMMP, k = 2 (c) GLMM

Figura 4.1: Pseudo-erodări PMMP pentru două valori ale parametrului k şi erodăriGLMM rezultate utilizând un element structurant plat de mărime 11× 11.

(a) PMMP, k = 0.2 (b) PMMP, k = 2 (c) GLMM

Figura 4.2: Pseudo-dilatări PMMP pentru două valori ale parametrului k şi erodăriGLMM rezultate utilizând un element structurant plat de mărime 11× 11.

(a) Pseudo-erodare (b) Pseudo-dilatare

Figura 4.3: Pseudo-erodare şi pseudo-dilatare PMMP pentru k = 4 utilizând un elementstructurant plat de mărime 11× 11.


Pentru realizarea unei analize cantitative a influenţei parametrului k asupra rezul-tatelor PMMP, în Figura 4.4 este prezentată eroarea medie dintre imaginile generate prinpseudo-erodare şi pseudo-dilatare şi cele generate cu ajutorul morfologiei matematice cla-sice, în funcţie de acest parametru. Nivelele de gri ale pixelilor sunt reprezentate pe 8biţi şi deci au valori între 0 şi 255. Se poate observa că, pentru fiecare tip de operaţiemorfologică, există o valoare optimă a parametrului, pentru care imaginea generată uti-lizând abordarea PMMP este mai apropiată de imaginea generată utilizând abordareaclasică. Aceste valori optime sunt apropiate de valoarea 2, care este o valoare optimă şipentru histograma întregii imagini, în cazul imaginii "Lena", utilizată în această analiză.Astfel că, un mod de calcul a valorii parametrului k utilizată în prelucrările PMMP localedeterminate de ecuaţiile 4.3 şi 4.4 poate fi prin analiza histogramei întregii imagini. Semai poate observa că erorile dintre rezultatele celor două abordări diferă în funcţie demărimea elementului structurant, crescând odată cu aceasta.

Figura 4.4: Eroarea medie dintre rezultatele generate de PMMP şi cele generate deGLMM, în funcţie de parametrul k.

4.2.2 Extinderea PMMP la domeniul color

Imaginile color pot fi modelate ca funcţii vectoriale f : Df → S ⊂ R3. Pentru a evaluaîn mod obiectiv varianţa datelor vectoriale în scopul aplicării inecuaţiei lui Cebîşev peaceste date, în [13] am propus utilizarea metodei Principal Component Analysis (PCA)aplicată pe valorile pixelilor color. Date fiind corelaţiile existente între canalele de culoarepentru anumite spaţii de culoare (ex. RGB), PCA permite evaluarea corectă a varianţeidatelor color de-a lungul primei componente principale. Astfel că, cele două pseudo-extreme ale unei mulţimi de date vectoriale pot fi estimate ca fiind pseudo-extremeledeterminate cu ajutorul inecuaţiei lui Cebîşev (ecuaţia 4.2), aplicate pe prima componentăprincipală rezultată în urma PCA.

Totuşi, această abordare nu poate fi aplicată direct pentru extinderea PMMP la ima-gini color din cauza unui dezavantaj al algoritmului PCA: acest algoritm determină numaidirecţia de-a lungul căreia varianţa datelor este maximă. Totuşi, pentru a stabili o ordineîntre două puncte pe o anumită direcţie, este necesar ca acelei direcţii să i se asocieze un


sens (ex. direcţia orizontală, sensul de la stânga la dreapta). Nu este posibil, însă, să aso-ciem în mod automat un sens pentru fiecare vector propriu generat în cadrul algoritmuluiPCA, deoarece direcţiile vectorilor proprii respectivi sunt obţinute în urma unor rotaţii,rezultate printr-o transformare liniară; aceste rotaţii pot fi efectuate fie într-un sens, fieîn celălalt, în jurul unei axe date. Prin urmare, în [13] am propus ca pseudo-extremelegenerate pe prima componentă principală a unei mulţimi de date vectoriale din spaţiuln-dimensional, să fie ordonate utilizând n perechi de vectori de referinţă n-dimensionali,pentru care o ordine este cunoscută a priori în cadrul fiecărei astfel de perechi. Procedeuleste ilustrat în Figura 4.5, unde se cunoaşte a priori o ordonare între referinţe, R+ > R−

şi deci rezultă că între pseudo-extremele Eα şi Eβ va fi stabilită relaţia Eα > Eβ.

Figura 4.5: Ordonarea Eα şi Eβ în funcţie de referinţele ordonate R− şi R+.

În cadrul extinderii pseudo-morfologiei matematice probabilistice la imagini color, estenecesară estimarea unor pseudo-extreme locale, într-o vecinătate determinată de poziţiaelementului structurant; în plus, este necesar ca aceste pseudo-extreme să fie ordonate,pentru ca unul din ele (cel mai mic) să fie asociat operaţiei de pseudo-erodare iar celălalt,operaţiei de pseudo-dilatare. Această ordonare poate fi efectuată utilizându-se trei perechide vectori de referinţă calculaţi pentru întreaga imagine şi pentru care o ordine estestabilită a priori în cadrul fiecărei perechi. În [14], aceşti vectori de referinţă au fostcalculaţi într-un mod automat, ca fiind pseudo-extremele generate cu ajutorul inecuaţieilui Cebîşev, pe fiecare componentă principală rezultată în urma aplicării algoritmuluiPCA pe întreaga distribuţie a imaginii color. Au rezultat astfel trei perechi de referinţe,(

R −1 ,R +1

),(

R −2 ,R +2

),(

R −3 ,R +3

), cu R −i < R +

i , ordonate în funcţie de poziţia proiecţiei lorpe axa determinată de culorile negru şi alb. Utilizând aceste referinţe, cele două operaţiipseudo-morfologice pot fi definite în cazul imaginilor color f , utilizându-se elementulstructurant g cu domeniul de definiţie Dg, în modul următor:

[εg(f)](x) =∧z∈Dg

x∈Df

f(x+ z)∆=

=

arg min

i[−−−−→R −0 R +

0 ·−−→R −0 i], i ∈ {Eα,Eβ}

arg mini

[−−−−→R −1 R +

1 ·−−→R −1 i], i ∈ {Eα,Eβ} dacă

−−−−→R −0 R +

0 ·−−−→EαEβ = 0

arg mini

[−−−−→R −2 R +

2 ·−−→R −1 i], i ∈ {Eα,Eβ} dacă

−−−−→R −0 R +

0 ·−−−→EαEβ =

−−−−→R −1 R +

1 ·−−−→EαEβ = 0

(4.5)


[δg(f)](x) =∨z∈Dg

x∈Df

f(x− z)∆=

=

arg max

i[−−−−→R −0 R +

0 ·−−→R −0 i], i ∈ {Eα,Eβ}

arg maxi

[−−−−→R −1 R +

1 ·−−→R −1 i], i ∈ {Eα,Eβ} dacă

−−−−→R −0 R +

0 ·−−−→EαEβ = 0

arg maxi

[−−−−→R −2 R +

2 ·−−→R −1 i], i ∈ {Eα,Eβ} dacă

−−−−→R −0 R +

0 ·−−−→EαEβ =

−−−−→R −1 R +

1 ·−−−→EαEβ = 0

(4.6)

unde Eα şi Eβ reprezintă pseudo-extremele datelor locale dintr-o regiune determinată depoziţia elementului structurant g.

În Figura 4.6 sunt prezentate rezultatele generate pentru imaginea color "Lena", uti-lizând extinderea PMMP propusă. Toate operaţiile au fost aplicate în spaţiul de culoareRGB deoarece cele trei canale, reprezentând componentele vectorilor de culoare, suntputernic corelate şi deci, adecvate pentru aplicarea PCA. Se poate observa că parametrulk, intrinsec inecuaţiei lui Cebîşev apare şi in cazul imaginilor color. Influenţa acestuiparametru asupra rezultatelor este similară cazului imaginilor în nivele de gri: o valoaremică a lui k generează imagini apropiate celor generate în urma unei filtrări de medierevectorială, în timp ce, cu cât k este mai mare, cu atât efectul neliniar al celor douăoperaţii morfologice este mai pronunţat. Astfel, parametrul k poate fi utilizat pentruajustarea gradului de neliniaritate al operaţiilor pseudo-morfologice obţinute. Totuşi, încazul imaginilor color, valori foarte mari ale parametrului k pot genera extreme depărtatede distribuţia iniţială, rezultând culori false ce nu au legătură cu cele iniţiale, sau maimult, aceste extreme pot fi chiar în afara spaţiului de culoare utilizat.

Operaţiile propuse nu se pot numi morfologice din cauza faptului că abordarea nunecesită ordonarea tuturor vectorilor din mulţimea iniţială, adică a tuturor valorilor pi-xelilor dintr-o imagine, şi prin urmare nu există o structură de latice în cadrul imaginii.În plus, din cauza utilizării distribuţiilor locale în estimarea pseudo-extremelor, operaţiilede deschidere şi închidere morfologică rezultate nu respectă proprietatea de idempotenţă(ecuaţia 2.15). Cu toate acestea, caracterul dual al operaţiilor propuse permite aplicareaacestora în algoritmi de analiză a imaginilor, cum ar fi calculul unor mărimi de caracteri-zare a texturilor (prezentat în Secţiunea 4.3).

(a) ε(f), k = 1.5 (b) ε(f), k = 0.2 (c) Lena (d) δ(f), k = 0.2 (e) δ(f), k = 1.5

Figura 4.6: Pseudo-erodări şi pseudo-dilatări ale imaginii color "Lena", utilizând unelement structurant plat de dimensiune 11× 11 şi două valori pentru parametrul k.


Din cauza estimării pseudo-extremelor cu ajutorul inecuaţiei lui Cebîşev, este posibilca acestea să nu aparţină mulţimii iniţiale, apărând astfel efectul nedorit de culori false(culori ce nu există în imaginea iniţială). În secţiunea următoare este introdusă o metodăprin care acest efect este evitat.

4.2.3 Evitarea culorilor false

Unul din dezavantajele extinderii PMMP la imagini color este introducerea de culorifalse. În [14] am propus o metodă de evitare a acestui efect, prin alegerea ca extreme aleunei mulţimi vectoriale pe vectorii ale căror componente principale au valorile minimă şirespectiv maximă. Ordonarea acestor vectori a fost realizată în mod similar cu ordonareapseudo-extremelor probabilistice, utilizându-se vectori de referinţă.

În Figura 4.7 sunt prezentate rezultatele obţinute utilizând această metodă în extin-derea morfologiei matematice la imagini color, utilizându-se un element structurant dedimensiune 11× 11. Spaţiul de culoare folosit este RGB, pentru a se putea realiza o com-paraţie cu rezultatele generate de PMMP. Se poate observa că efectul de culori false esteînlăturat, însă reapar dezavantajele existente în cadrul morfologiei matematice clasice (v.Figurile 4.1c şi 4.2c): forma elementului structurant este vizibilă în cadrul rezultatelor iarstructurile morfologice din imagine nu sunt conservate la fel de bine ca în cazul PMMP.

În continuare sunt prezentate trei mărimi texturale pentru imagini color, calculate pebaza extinderii PMMP la imagini color şi a abordării prezentate în această secţiune.

(a) ε(f) (b) Lena (c) δ(f)

Figura 4.7: Pseudo-erodare şi pseudo-dilatare a imaginii color "Lena", obţinute utilizândun element structurant plat de dimensiune 11× 11.

4.3 Aplicaţii în caracterizarea texturilor color

Algoritmul covering-blanket utilizează operaţiile morfologice de dilatare şi erodare pen-tru calculul învelitorii unei suprafeţe ce modelează o imagine în nivele de gri. Acest algo-ritm este utilizat pentru estimarea dimensiunii Minkowski-Bouligand a imaginilor,această dimensiune putând fi folosită în discriminarea texturilor, reflectând complexitateaacestora. Algoritmul poate fi extins în mod direct la imagini color utilizând abordărilepseudo-morfologice propuse: pseudo-morfologia matematică probabilistică (PMMP) şi


pseudo-morfologia bazată pe calculul extremelor unei mulţimi de date vectoriale utilizându-se prima componentă principală a datelor (aceasta va fi notată în continuare cu PM-PCA)[13] [14]. Pentru evaluarea estimărilor acestei dimensiuni utilizând atât PMMP cât şiPM-PCA, am generat nouă imagini texturale color, utilizând algoritmul random mid-point displacement pentru imagini color, cu parametrul H având valori de la 0.1 la 0.9 cuincrement de 0.1. În Figura 4.8 sunt prezentate estimările dimensiunilor fractale ale ima-ginilor generate. Acestea sunt obţinute utilizând algoritmul covering-blanket aplicat pebaza a patru abordări de extindere a morfologiei matematice la color: PMMP, PM-PCA,morfologie bazată pe ordonarea lexicografică, aplicată în spaţiul HSV cu V având cea maimare prioritate, urmată de S şi H [32] şi pseudo-morfologia α-trimmed [3], aplicată înspaţiul RGB, cu R având cea mai mare prioritate, urmată de G şi B. Se observă că toateaceste abordări pot fi utilizate pentru discriminarea texturilor color, însă metoda PMMPdetermină cea mai mare gamă dinamică a valorilor obţinute.

O altă mărime texturală ce poate fi calculată pe baza operaţiilor morfologice estegranulometria. Aceasta foloseşte operaţia de deschidere morfologică, urmărind calcululvolumul imaginii rezultate după o astfel de operaţie în funcţie de mărimea elementuluistructurant. În [10] am argumentat faptul că extinderea operaţiei de deschidere mor-fologică la imagini color întâmpină anumite probleme. Scopul operaţiei de deschideremorfologică este de a reface structurile distorsionate în urma operaţiei de erodare. Încazul imaginilor în nivele de gri, această refacere a structurilor are la bază faptul căpixelii pot lua valori doar pe axa negru-alb, acestea fiind "mutate" de către erodare şidilatare de-a lungul acestei axe: dacă erodarea modifică valorile pixelilor înspre negru,dilatarea se realizează în aceeaşi manieră, însă modificând valorile în sens opus, spre alb.Pe de altă parte, în cazul imaginilor color, schimbarea valorilor pixelilor poate fi realizatăde-a lungul oricărei direcţii din spaţiul tridimensional determinat de spaţiul de culoareutilizat. Prin urmare, calculul granulometriei utilizând operaţii de deschidere pentru ima-gini color poate genera rezultate irelevante, obţinute în urma analizei unor culori diferitede cele din imaginea iniţială. Din această cauză, în [10] am propus utilizarea pseudo-

Figura 4.8: Dimensiunile fractale (Minkowski-Bouligand) pentru nouă imagini fractalecolor, generate utilizând algoritmul random midpoint displacement cu parametrulH avândvalori de la 0.1 la 0.9.


granulometriei pentru discriminarea între texturi color; aceasta utilizează operaţia deerodare în loc de deschidere morfologică.

În Figura 4.9 sunt prezentate funcţiile de pseudo-granulometrie rezultate pentru 15dimensiuni ale elementului structurant, de la 3 × 3 la 31 × 31, pentru imaginile textu-rale color din Figura 3.3. Funcţiile sunt obţinute utilizând cele două pseudo-morfologiipropuse, PMMP şi PM-PCA. Se observă că această mărime poate fi utilizată în discri-minarea texturilor, volumele obţinute în urma erodărilor şi variaţia acestora în funcţie dedimensiunea elementului structurant fiind diferite de la o textură la alta.

(a) PMM (b) PM-PCA

Figura 4.9: Funcţiile de pseudo-granulometrie obţinute pentru imaginile din Figura 3.3,utilizând 15 dimensiuni ale elementului structurant, pe baza PMMP şi PM-PCA.

În [10] am propus o nouă modalitate de exprimare a pseudo-granulometriei, prin eva-luarea diferenţei dintre volumul imaginii iniţiale şi cea obţinută în urma erodării. O astfelde evaluare a volumului poate evita anumite situaţii nedorite, în cazul imaginilor color.De exemplu, aplicând operaţia de erodare pe anumite regiuni diferite, se pot genera culoridiferite, dar având acelaşi volum. Cu toate acestea, variaţia volumului relativ la imagineainiţială poate fi diferită, determinând ca diferenţa volumelor să fie adecvată, într-un astfelde caz, pentru o eventuală discriminare între regiunile respective.

Covariaţia morfologică reprezintă, de asemenea, o mărime texturală bazată pe op-eraţii morfologice. În [13] am propus extinderea acestei mărimi la domeniul color utilizândabordarea PMMP. Din cauza faptului că pseudo-morfologiile necesită o mulţime de datepentru calculul celor două pseudo-extreme, în [3] a fost propus ca în locul celor douăpuncte utilizate drept element structurant compus, să fie folosite două elemente struc-turante, situate la o distanţă variabilă.

Am aplicat această abordare pentru cele trei imagini texturale din Figura 3.3, uti-lizând cele două pseudo-morfologii introduse (PMMP şi PM-PCA), cu două elementestructurante de dimensiune 3× 3. Distanţa dintre cele două elemente structurante a fostmodificată de-a lungul a patru direcţii (0◦, 45◦, 90◦, 135◦), efectuându-se 25 de modificăriale acestei distanţe pe fiecare direcţie şi deci, rezultând un vector de covariaţie morfologică


de lungime 100 pentru fiecare imagine analizată. Acest vector conţine volumele imagini-lor erodate, obţinute pentru fiecare din cele 25 de iteraţii, pe fiecare direcţie. Rezultateleobţinute sunt prezentate în Figura 4.10. Se observă obţinerea unor vectori de covariaţiemorfologică diferiţi, în fiecare caz, pentru cele trei texturi analizate.

(a) PMM (b) PM-PCA

Figura 4.10: Vectorii de covariaţie morfologică obţinuţi pentru texturile din Figura 3.3,utilizând 25 de modificări ale distanţei între elementele structurante, pe patru direcţii(0◦, 45◦, 90◦, 135◦), calculaţi pe baza PMMP şi PM-PCA.


În acest capitol au fost prezentate principalele tehnici de extindere a morfologiei ma-tematice la imagini color. În acest context, am propus două abordări pseudo-morfologice:o pseudo-morfologie probabilistică, în care două pseudo-extreme ale unei mulţimi de datevectoriale sunt estimate prin mijloace probabilistice şi o pseudo-morfologie ce are ca scopevitarea apariţiei culorilor false, în care cele două valori extreme sunt alese din mulţimeainiţială. Utilitatea acestor abordări este demonstrată prin prezentarea extinderilor atrei mărimi texturale la imagini color: dimensiunea fractală exprimată prin dimensiuneaMinkowski-Bouligand, pseudo-granulometria şi covariaţia morfologică.

Aşadar, acest capitol cuprinde următoarele contribuţii originale:

• Introducerea conceptului de pseudo-morfologie matematică probabilistică (PMMP)pentru imagini în nivele de gri şi color [13].

Acest concept determină o abordare ce presupune estimarea extremelor unei mulţimide date scalare, pe baza inecuaţiei lui Cebîşev. Rezultă astfel două pseudo-extremece pot aproxima valorile extreme reale ale distribuţiei. Am realizat extinderea laimagini color prin aplicarea inecuaţiei lui Cebîşev pe prima componentă principalăa vectorilor, generată prin intermediul algoritmului Principal Component Analysis


(PCA). Ordonarea pseudo-extremelor rezultate a fost realizată utilizându-se vectoride referinţă, pentru care se cunoaşte o ordonare a priori.

• Propunerea unei abordări pseudo-morfologice (PM-PCA) care să evite generarea deculori false, carecteristice pseudo-morfologiei probabilistice [14].

Principalul dezavantaj al PMMP este reprezentat de introducerea de culori false.Am propus o metodă de evitare a acestui efect, prin alegerea extremelor unei mulţimide date vectoriale pe baza calculului valorilor minime şi maxime de pe prima com-ponentă principală, generată cu ajutorul algoritmului PCA.

• Extinderea la color a mărimilor texturale dimensiune Minkowski-Bouligand, pseudo-granulometrie şi covariaţie morfologică. [13] [10].

Am extins aceste mărimi utilizând cele două pseudo-morfologii propuse (PMMPşi PM-PCA), utilitatea lor fiind prezentată în contextul discriminării între texturicolor, ce se poate realiza pe baza vectorilor rezultaţi.

• Evidenţierea irelevanţei operaţiei de deschidere morfologică, în cazul imaginilor color[10].

Scopul operaţiei de deschidere morfologică este de a reface structurile distorsionateîn urma operaţiei de erodare. Cu toate acestea, în cazul imaginilor color pot existasituaţii în care, în urma deschiderii, să rezulte culori diferite de cele din imagineainiţială. Pentru evitarea acestei probleme, am propus ca pentru analiza texturilorcolor, în locul granulometriei să se utilizeze operaţia de pseudo-granulometrie, cefoloseşte erodarea în locul deschiderii morfologice.

• Propunerea utilizării diferenţei volumelor pentru exprimarea pseudo-granulometrieişi a covariaţiei morfologice [10].

Cele două mărimi texturale au fost propuse iniţial pe baza evaluării volumului uneiimagini obţinute în urma operaţiei morfologice de erodare. Totuşi, în cazul imagini-lor color pot apărea situaţii în care după aplicarea operaţiei de erodare pe anumiteregiuni diferite, să rezulte culori diferite, dar având acelaşi volum. Variaţia volumu-lui imaginii rezultate, relativ la imaginiea iniţială poate fi însă diferită. Aşadar, ampropus exprimarea mărimilor texturale pseudo-granulometrie şi covariaţie morfolog-ică utilizându-se această variaţie a diferenţei volumelor, în locul volumului imaginiirezultate în urma erodării.

În capitolul următor mărimile texturale pentru imagini color, prezentate şi propuse înacest capitol şi în cel precedent vor fi utilizate în contextul segmentării imaginilor texturalereprezentând leziuni dermatologice.

5. Aplicaţii în segmentarea imaginilorde psoriazis

În acest capitol, utilitatea mărimilor texturale introduse în Capitolele 3 şi 4 va fi discu-tată în cadrul unei aplicaţii medicale, în contextul segmentării imaginilor color ce conţinleziuni de psoriazis. Evaluarea rezultatelor din acest capitol se va realiza utilizându-semetoda propusă în [15], în care procentul pixelilor corect clasificaţi este utilizat drept cri-teriu de evaluare a segmentării. Este nevoie, deci, de o referinţă, obţinută prin segmentaremanuală, care să fie utilizată pentru comparaţii.

În continuare, este realizată o scurtă descriere a afecţiunii psoriazis, urmată de prezentareasegmentărilor rezultate utilizând mărimi texturale existente şi propuse, toate acestea fiindcomparate cu segmentările de referinţă.

5.1 Evaluarea afecţiunii psoriazis

Psoriazisul este o afecţiune cronică, cu evoluţie de lungă durată, caracterizată prinapariţia unor plăci roşii, proeminente, acoperite de scuame albe-sidefii (v. Figura 5.1).Cea mai folosită modalitate pentru măsurarea severităţii leziunilor de psoriazis este in-dicele PASI (Psoriasis Area and Severity Index). Evaluarea ariei leziunilor de psoriazisşi a parametrilor de severitate necesari calculării indicelui PASI este însă realizată înmod subiectiv de către fiecare medic dermatolog putând, deci, apărea erori [22]. Recent,au fost propuse modalităţi automate de a măsura diferiţi parametri necesari în evalua-rea indicelui PASI, însă nici una din aceste metode nu s-a impus deocamdată [1] [23].Aceste metode automate presupun fotografierea leziunilor, separarea regiunilor lezionatede pielea sănătoasă prin metode de segmentare şi calculul diferiţilor parametri pe zonelesegmentate. O problemă importantă în automatizarea acestui proces apare în etapa desegmentare a leziunii din cauza complexităţii leziunilor ce determină un caracter texturalal imaginii. Din acest motiv, metodele bazate pe valorile pixelilor nu generează rezultatesatisfăcătoare. În [2] a fost propusă utilizarea mărimilor texturale pentru imagini în nivelede gri pentru caracterizarea leziunilor de psoriazis.

(a) Psoriazis1 (b) Psoriazis2 (c) Psoriazis3

Figura 5.1: Trei leziuni de psoriazis.

40

CAPITOLUL 5. APLICAŢII 41

În cele ce urmează voi realiza o comparaţie între segmentări generate pe baza a diferitemărimi texturale: mărimi clasice, calculate pe baza imaginilor în nivele de gri şi mărimilepentru imagini color propuse în prezenta lucrare. Acestea sunt utilizate în metoda desegmentare ilustrată în Figura 2.2. Clasficarea în spaţiul caracteristicilor este realizatăutilizându-se algoritmul nesupervizat k-means.

Segmentările rezultate sunt evaluate cantitativ, relativ la o segmentare manuală arespectivei leziuni. Pentru teste, vor fi utilizate cele trei imagini de psoriazis din Figura5.1 împreună cu segmentările manuale, prezentate în Figura 5.2.

(a) Psoriazis1 (b) Psoriazis2 (c) Psoriazis3

Figura 5.2: Segmentările manuale ale leziunilor de psoriazis din Figura 5.1.

În secţiunea următoare sunt prezentate segmentările rezultate utilizând mărimi tex-turale calculate pe baza imaginilor în nivele de gri.

5.2 Mărimi texturale pentru imagini în nivele de gri

În Capitolul 2 au fost prezentate mai multe mărimi de descriere a texturilor ce potfi extrase din imaginile în nivele de gri. În continuare acestea sunt utilizate în contextulsegmentării imaginilor texturale conţinând leziuni de psoriazis.

Mărimile Haralick

În Secţiunea 2.4.2 a fost prezentat calculul mărimilor texturale utilizând metode statis-tice. Una dintre cele mai populare astfel de abordări este utilizarea matricii de coocurenţă(relaţia 2.1) pentru calculul mărimilor Haralick [26]. În cele ce urmează am realizat o seg-mentare a imaginilor din Figura 5.1:

– Am extras componenta de luminanţă din fiecare imagine color;

– Am fixat dimensiunea unei ferestre de calcul a fiecărei mărimi texturale; dată fi-ind dimensiunea imaginilor (360 × 240), am ales ca dimensiunea ferestrei să fie de31× 31, dimensiunea pe fiecare direcţie reprezentând aproximativ 10% din dimen-siunea imaginii pe direcţia respectivă;

– Poziţionând fereastra pe fiecare pixel al imaginii, am calculat cele patru mărimiHaralick utilizând valorile luminanţelor pixelilor determinaţi de poziţia ferestrei;dat fiind faptul că matricea de coocurenţă depinde de direcţia vectorului d, am


utilizat patru astfel de direcţii (0◦, 45◦, 90◦, 135◦), rezultând astfel câte un vector de16 mărimi texturale pentru fiecare pixel;

– Am clasificat vectorii rezultaţi utilizând metoda k-means, cu k = 2 reprezentândcele două clase de pixeli din imagine: leziune şi piele sănătoasă;

– Am aplicat o metodă de extragere a contururilor pe hărţile de segmentare rezultateîn urma clasificării; contururile rezultate reprezintă segmentarea finală.

Rezultatele sunt prezentate în Figura 5.3, împreună cu procentul de pixeli corect clasi-ficaţi (PPCC), corespunzător fiecărui rezultat [15]. Se observă că rezultatul segmentăriiimaginii "Psoriazis2" este cel mai bun, din punctul de vedere al procentului de pixelicorect clasificaţi, în timp ce rezultatul obţinut pentru imaginea "Psoriazis3" este cel maipuţin satisfăcător. Aceste rezultate pot fi corelate cu percepţia vizuală a celor trei lezi-uni, cea din imaginea "Psoriazis2" fiind cea mai bine delimitată din cele trei, pe când înimaginea "Psoriazis3" conturul dintre leziune şi pielea sănătoasă nu este atât de evident.

(a) Psoriazis1, PPCC: 95.488% (b) Psoriazis2, PPCC: 97.243% (c) Psoriazis3, PPCC: 83.314%

Figura 5.3: Segmentările imaginilor din Figura 5.1 rezultate utilizând mărimile Haralick,împreună cu procentul de pixeli corect clasificaţi (PPCC).

Dimensiunea Minkowski-Bouligand

Pe baza algoritmului covering blanket se poate estima dimensiunea Minkowski-Bouliganda unei imagini. Această dimensiune se poate calcula la nivel local, într-o fereastră centratăîn fiecare pixel al imaginii şi poate fi utilizată în clasificarea pixelilor, rezultând astfel osegmentare. Utilizând aceeaşi mărime a ferestrei ca în cazul precedent (31×31), imaginileîn nivele de gri rezultate prin calculul luminanţei şi cinci dimensiuni ale elementului struc-turant folosit pentru generarea dilatărilor şi erodărilor, se obţin segmentările din Figura5.4. Se observă că, din punctul de vedere al procentului pixelilor corect clasificaţi, aceastăabordare generează rezultate mai bune decât cele obţinute în cazul precedent.

Totuşi, după cum a fost prezentat în Secţiunea 3.2.1, imaginile texturale reale nureprezintă fractali ideali, acestea prezentând limitări din cauza caracterului discret. Di-mensiunea Minkowski-Bouligand este o mărime integratoare, ce nu ia în considerare acestaspect. Prin urmare, am propus realizarea unei segmentări pe baza volumelor utilizateîn calculul acestei dimensiuni. Aceste volume sunt introduse într-un vector care poatefi utilizat direct pentru segmentare, într-o abordare bazată pe clasificare de mărimi vec-toriale. Calculând aceşti vectori la nivel local şi aplicând o clasificare k-means, în modsimilar abordărilor precedente, se obţin rezultatele din Figura 5.5. Se poate observa cărezultatele sunt mai bune, din punctul de vedere al procentului de pixeli corect clasificaţi,decât în cazul utilizării dimensiunii Minkowski-Bouligand.



Figura 5.4: Segmentările imaginilor din Figura 5.1 rezultate utilizând dimensiuneaMinkowski-Bouligand.


Figura 5.5: Segmentările imaginilor din Figura 5.1 rezultate utilizând volumele necesareestimării dimensiunii Minkowski-Bouligand.

Granulometria, pseudo-granulometria şi covariaţia morfologică

Operaţiile morfologice pot fi utilizate şi în extragerea unor mărimi texturale: gran-ulometrie, pseudo-granulometrie şi covariaţie morfologică. Acestea au ca scop analizavariaţiei volumului unei imagini rezultate în urma unor operaţii morfologice, în funcţie deanumite proprietăţi ale elementului structurant.

Segmentările imaginilor de psoriazis din Figura 5.1, rezultate pe baza acestor mărimi,sunt prezentate în Figura 5.6. Mărimile au fost calculate la nivel local, pe imaginile înnivele de gri obţinute din componenta de luminanţă a imaginilor color. Se observă căaceste mărimi determină segmentări mai slabe, din punctul de vedere al procentului depixeli corect clasificaţi, decât cele din Figura 5.5, obţinute utilizând volumele necesareestimării dimensiunii Minkowski-Bouligand.

În secţiunea următoare segmentările obţinute pe baza mărimilor texturale pentru ima-gini în nivele de gri sunt comparate cu rezultatele obţinute utilizând mărimile texturalepentru imagini color, propuse în Capitolele 3 şi 4.

5.3 Mărimi texturale pentru imagini color

În această secţiune mărimile propuse sunt utilizate în contextul segmentării imaginilorde psoriazis printr-o clasificare k-means realizată în spaţiul caracteristicilor, determinatde aceste mărimi texturale, calculate la nivel local.



(d) Psoriazis1, PPCC: 95.989% (e) Psoriazis2, PPCC: 97.922% (f) Psoriazis3, PPCC: 85.697%

(g) Psoriazis1, PPCC: 96.319% (h) Psoriazis2, PPCC: 97.537% (i) Psoriazis3, PPCC: 86.78%

Figura 5.6: Segmentările imaginilor din Figura 5.1 rezultate utilizând mărimile texturalebazate pe morfologia matematică pentru imagini în nivele de gri: granulometrie (primulrând), pseudo-granulometrie (al doilea rând) şi covariaţie morfologică (al treilea rând).

Dimensiunea box counting şi lacunaritatea

Am utilizat dimensiunea box counting şi lacunaritatea imaginilor color în segmentareaimaginilor de psoriazis din Figura 5.1, într-o abordare bazată pe clasificarea acestor mărimicalculate la nivel local [11] [12]. Segmentările obţinute prin clasificarea utilizând algoritmulk-means sunt prezentate în Figura 5.7. Se poate observa că aceste mărimi texturale nuconduc la rezultate satisfăcătoare într-o astfel de abordare, existând erori de clasificareîntre cele două clase de pixeli. Mai mult, în aceste rezultate apare vizibil principaluldezavantaj al unei metode de segmentare bazate pe clasificare, şi anume că pot rezultasegmente care nu sunt conexe.

Rezultatele ar putea fi îmbunătăţite prin diverse metode, cum ar fi utilizarea unui altclasificator, realizarea unei suprasegmentări utilizând mai mult de două clase, urmată deo fuziune a segmentelor obţinute, sau prin filtrarea hărţilor de segmentare. Totuşi, pentruefectuarea unei comparaţii între diferitele mărimi texturale prezentate şi propuse, am alespăstrarea aceluiaşi cadru experimental: calcului mărimilor texturale la nivel local, urmatde o clasificare k-means utilizând două clase.




Figura 5.7: Segmentările imaginilor din Figura 5.1 rezultate utilizând dimensiunea boxcounting (rândul de sus) şi lacunaritatea (rândul de jos) pentru imagini color, împreunăcu procentul de pixeli corect clasificaţi.

În Secţiunea 3.2.2 am introdus patru mărimi scalare calculate pe baza funcţiei la-cunaritate. Totuşi, în contextul segmentării imaginilor de psoriazis pe baza clasificăriik-means, aceste mărimi, nu generează rezultate satisfăcătoare, segmentările fiind similarecu cele din Figura 5.7. Aceste mărimi pot fi, însă, utilizate în discriminarea dintre texturi,utilizând un clasificator adecvat, după cum a fost prezentat în Secţiunea 3.2.2.

Dimensiunea de corelaţie

Utilizând extinderea dimensiunii de corelaţie la imagini color drept mărime texturalăcalculată local, în scopul realizării unei segmentări prin clasificare în spaţiul caracteristi-cilor, se obţin rezultatele din Figura 5.8. Se observă că rezultatele sunt mai bune decâtcele din Figura 5.7, atât din punctul de vedere al unei analize vizuale a segmentărilorobţinute, cât şi în privinţa procentului de pixeli corect clasificaţi.

Alături de extinderea la color a mărimilor texturale bazate pe modelarea imaginilorca obiecte fractale (v. Capitolul 3), în prezenta lucrare au mai fost introduse mărimi decaracterizare a texturilor color calculate pe baza operaţiilor din morfologia matematicăşi a extinderilor la color introduse în Capitolul 4. În continuare, acestea sunt aplicate încontextul segmentării imaginilor color conţinând leziuni de psoriazis.

Mărimi texturale bazate pe operaţii morfologice

În secţiunea precedentă a fost arătat că volumele necesare estimării dimensiunii Minkowski-Bouligand, pentru imagini în nivele de gri, pot fi utilizate direct ca mărime texturală, aces-



Figura 5.8: Segmentările imaginilor din Figura 5.1 rezultate utilizând extinderea la colora dimensiunii de corelaţie (rândul de sus).

tea conducând la segmentări mai bune decât cele rezultate utilizându-se doar dimensiuneaMinkowski-Bouligand. Acest lucru se întâmplă şi în cazul imaginilor color. În Figura 5.9sunt prezentate segmentările obţinute în cazul utilizării acestei dimensiuni fractale şi încazul utilizării volumelor necesare estimării acestei dimensiuni, pentru PMMP. Rezul-tatele generate pentru PM-PCA sunt similare. Se observă că segmentările obţinute pebaza dimensiunii Minkowski-Bouligand sunt mult mai slabe decât cele obţinute utilizândvolumele necesare estimării acestei dimensiuni, spre deosebire de cazul imaginilor în nivelede gri, unde rezultatele generate prin cele două abordări sunt asemănătoare. Procentelepixelilor corect clasificaţi, rezultate în urma segmentării realizate pe baza volumelor, suntîn general mai mari decât cele din cazul imaginilor în nivele de gri (Figura 5.5). Rezultădeci, că luându-se în considerare caracterul vectorial al datelor din informaţiile color, sepot realiza discriminări între texturi cu o acurateţe mai mare decât în cazul utilizării doara componentei de luminanţă extrasă din aceste imagini.

Pseudo-granulometria şi covariaţia morfologică au fost, de asemenea, utilizate dreptmărimi texturale ce pot fi folosite în segmentarea imaginilor. Acestea sunt bazate tot peoperaţii morfologice, fiind extinse la color în Secţiunea 4.3, pe baza celor două pseudo-morfologii introduse (PMMP şi PM-PCA). Am utilizat aceste extinderi pentru segmentareaimaginilor de psoriazis, într-o abordare similară cu cele precedente. Rezultatele suntprezentate în Figura 5.10, pentru cele două mărimi obţinute pe baza PMMP. Rezultateleobţinute pe baza PM-PCA sunt similare. Se poate observa că segmentările sunt realizatecu o acurateţe mai mare decât dacă se utilizează aceleaşi mărimi texturale dar definitepentru imagini în nivele de gri (v. Figura 5.6).

Se poate concluziona că, luând în considerare informaţia color din imagini şi calculândanumite mărimi texturale ţinând cont de această informaţie, se pot obţine rezultate maibune în segmentarea imaginilor ce conţin texturi color, decât în cazul în care am utilizadoar informaţia de luminanţă. Cu toate acestea, există cazuri în care mărmile texturalepropuse nu pot fi utilizate direct în operaţii de segmentare pe baza clasificării. Totuşi,aceste mărimi pot fi utilizate în operaţii de indexare sau clasificare între texturi dacă seutilizează un clasificator adecvat.




Figura 5.9: Segmentările imaginilor din Figura 5.1 rezultate utilizând dimensiuneaMinkowski-Bouligand (rândul de sus) şi volumele necesare estimării acestei dimensiuni(rândul de jos) calculate prin intermediul PMMP.



Figura 5.10: Segmentările imaginilor din Figura 5.1 rezultate utilizând pseudo-granulometria (rândul de sus) şi covariaţia morfologică (rândul de jos) bazate pe PMMP.



În acest capitol, mărimile texturale prezentate şi propuse în prezenta lucrare au fostutilizate în contextul segmentării imaginilor ce conţin leziuni de psoriazis. Aceste mărimiau fost calculate la nivel local, pentru fiecare pixel rezultând o valoare în spaţiul carac-teristicilor. Acest spaţiu a fost clasificat apoi astfel încât pixelii din imagine să fie grupaţiîn două clase: pixeli ce aparţin regiunii cu piele sănătoasă şi pixeli ce aparţin leziuniide psoriazis. Clasificarea a fost realizată utilizând metoda k-means cu două clase, core-spunzătoare celor două regiuni texturale din imaginile de test. Drept mărimi texturale,au fost utilizate mărimi existente, ce pot fi calculate pe baza imaginilor în nivele de gri,precum şi mărimi propuse în prezenta lucrare, ce pot fi calculate pe baza imaginilor color.A fost demonstrat că nu toate mărimile propuse pot fi utilizate direct într-o operaţiede segmentare pe baza unei clasificări, însă există şi mărimi, a căror extindere la colora fost introdusă în prezenta teză de doctorat, care generează rezultate mai bune decâtcorespondentele lor din cazul imaginilor în nivele de gri.

Prin urmare, contribuţiile originale aduse prin intermediul acestui capitol sunt:

• Utilizarea mărimilor texturale pentru imagini în nivele de gri în segmentarea ima-ginilor de psoriazis.

În acest sens, am utilizat mărimile Haralick, dimensiunea Minkowski-Bouligand şimărimi bazate pe morfologia matematică pentru imagini în nivele de gri. Dintreacestea, cele mai bune segmentări, din punctul de vedere al procentului de pixelicorect clasificaţi, au fost generate utilizând dimensiunea Minkowski-Bouligand.

• Utilizarea volumelor necesare estimării dimensiunii Minkowski-Bouligand drept mă-rime texturală.

Acestea au fost utilizate atât pentru imagini în nivele de gri cât şi color, pe bazacelor două pseudo-morfologii introduse în Capitolul 4, în ambele cazuri conducândla rezultate mai bune decât cele generate utilizând doar dimensiunea Minkowski-Boulingand.

• Utilizarea mărimilor texturale propuse pentru imagini color în segmentarea imagi-nilor de psoriazis [9] [11] [12].

Am utilizat atât mărimi texturale bazate pe modelarea imaginilor ca obiecte fractale,cât şi mărimi calculate pe baza operaţiilor din morfologia matematică. Anumitemărimi cum ar fi dimensiunea box counting sau lacunaritatea nu pot fi utilizate directîn operaţii de segmentare pe baza clasificării. Pe de altă parte, mărimile bazatepe operaţii morfologice conduc la rezultate mai bune decât cele obţinute utilizândaceleaşi mărimi, dar definite pe baza morfologiei matematice pentru imagini în nivelede gri. Aşadar, se poate concluziona mărimile texturale propuse pot îmbunătăţiprocesele de analiză ale unei imagini texturale, depinzând însă de modul în caresunt utilizate.

6. Concluzii finale şi contribuţiioriginale

Prezenta lucrare a avut ca principal obiectiv introducerea de mărimi texturale pentruimagini color, în al căror calcul să se ia în considerare caracterul vectorial al valorilorpixelilor din aceste imagini. Pe baza studiilor, a experimentelor şi propunerilor realizateîn prezenta teză de doctorat, se pot concluziona următoarele:

• Segmentarea imaginilor nu generează întotdeauna rezultate satisfăcătoare, atuncicând este bazată doar pe valorile pixelilor.

Din cauza iluminării neuniforme sau a apariţiei zgomotului pot apărea erori în sta-bilirea contururilor sau în delimitarea dintre obiecte. Mai mult, dacă se doreştesegmentarea unei imagini cu variaţii mari ale valorilor pixelilor în interiorul obiec-telor, determinând apariţia unor regiuni cu proprietăţi texturale, apar dificultăţi înstabilirea contururilor obiectelor din cauza acestor variaţii. Astfel, de multe ori seurmăreşte ca, pe lânga valorile pixelilor, să se ia în considerare şi informaţii privindrelaţia spaţială pe care pixelii o au între ei. Unele dintre cele mai populare mărimicaracteristice ce reflectă aceste relaţii spaţiale sunt mărimile texturale.

• Mărimile texturale pot îmbunătăţi procesul de segmentare sau pot fi utilizate în op-eraţii de indexare sau discriminare a texturilor.

Aceste mărimi pot fi grupate în următoarele categorii:

– statistice (ex. mărimile Haralick);

– bazate pe anumite modele ale imaginii (ex. mărimi fractale – dimensiuneafractală , lacunaritatea, etc.);

– bazate pe tehnici din prelucrarea semnalelor (ex. mărimi morfologice – granu-lometria, covariaţia morfologică, etc.).

• Algoritmii clasici de segmentare pot fi aplicaţi şi în cadrul texturilor, utilizându-sespaţiul caracteristicilor.

Spaţiul caracteristicilor este determinat de mărimile texturale calculate la nivel local.Una din problemele apărute în utilizarea mărimilor texturale pentru segmentare estecă foarte puţine au fost extinse astfel încât să fie utilizate în analiza imaginilor color,în abordări care să ţină cont de natura vectorială a pixelilor din aceste imagini. Demulte ori, extinderea s-a realizat marginal. Totuşi, în abordările marginale nu se ţinecont de corelaţiile ce există între canale în anumite spaţii de culoare, ceea ce poateconduce la rezultate ambigue, cum ar fi segmentări diferite rezultate prin aplicareaunei tehnici de segmentare pe fiecare canal de culoare în parte. De asemenea, oabordare marginală poate genera, în anumite cazuri, apariţia unor elemente caresă îngreuneze procesul de analiză, cum ar fi culorile false introduse de morfologiamatematică aplicată marginal.

49

CAPITOLUL 6. CONCLUZII FINALE ŞI CONTRIBUŢII ORIGINALE 50

• Mărimile fractale pentru imagini color se bazează pe modelarea imaginilor ca obiecteîn spaţiul 5-dimensional, determinat de componentele spaţiale (x, y) şi de culoare (R,G, B) ale imaginilor.

Pe baza algoritmului box counting probabilistic existent se pot calcula două mărimitexturale (dimensiunea box counting, şi lacunaritatea), ce pot fi utilizate în discri-minarea între diferite texturi, în funcţie de complexitatea acestora. De asemenea,pe baza funcţiei lacunaritate extinse la domeniul color se pot calcula mărimi scalarecare pot fi utilizate în discriminări sau indexări de texturi. Dimensiunea de core-laţie poate fi extinsă, de asemenea, la color utilizându-se modelarea imaginilor caobiecte 5-dimensionale, aceasta putând fi utilizată cu succes în evaluarea calităţiiunei secvenţe video, pe baza analizei complexităţii texturale a cadrelor video.

• Există numeroase abordări de extindere a morfologiei matematice la imagini color,fiecare din acestea având anumite avantaje, dar şi dezavantaje.

Una dintre cele mai populare astfel de abordări se bazează pe ordonarea lexicograficăa valorilor pixelilor, aceasta fiind o ordonare vectorială totală. Dezavantajele acesteiabordări sunt:

– necesitatea stabilirii unei priorităţi între componentele vectoriale;

– generarea unor neliniarităţi perceptuale.

Există şi abordări pseudo-morfologice, ce se bazează pe faptul că operaţiile morfo-logice nu necesită în mod explicit existenţa unei relaţii de ordine, ci doar extragereaunor valori infimum şi supremum ale unei mulţimi de vectori.

• Pseudo-morfologiile nu respectă proprietăţile teoretice ale abordărilor morfologice;totuşi, acestea pot avea aplicabilitate practică.

Pseudo-morfologiile pot fi utilizate în operaţii de filtrare, extragere de contururi saucalcul al unor mărimi de descriere a texturilor: dimensiune Minkowski-Bouligand,pseudo-granulometrie şi covariaţie morfologică.

• Mărimile texturale pentru imagini color pot determina, în cadrul operaţiilor de seg-mentare, rezultate mai bune decât mărimile corespondente utilizate pentru imaginiîn nivele de gri.

Aceste rezultate depind, însă, de metoda de clasificare utilizată pentru discrimina-rea în spaţiul caracteristicilor. Acest spaţiu este determinat de valorile mărimilortexturale, calculate la nivel local, pentru fiecare pixel din imaginea de segmentat.Clasificarea în acest spaţiu determină o clasificare a pixelilor din imagine, ce poatefi considerată o segmentare a imaginii.

6.1 Contribuţii originale

Contribuţiile originale prin care obiectivele definite pentru această teză de doctoratau fost atinse sunt:


• Introducerea a patru mărimi scalare, calculate pe baza funcţiei lacunaritate, în ve-derea discriminării texturilor color [9].

Cele patru mărimi scalare sunt:

– aria suprafeţei cuprinse între graficul funcţiei şi axa x; această mărime reflectăeterogenitatea globală a texturii analizate;

– raportul dintre aria jumătăţii din stânga şi cea din dreapta a graficului funcţiei;acesta creşte în funcţie de gradul de eterogenitate pentru scalele mici utilizateîn analiză, relativ la acelaşi grad de eterogenitate pentru scalele mari;

– momentul probabilistic de ordin 3 al funcţiei normalizate; acest moment deter-mină gradul de asimetrie al graficului funcţiei lacunaritate;

– poziţia valorii maxime a lacunarităţii; aceasta reprezintă scala pentru caretextura analizată are cel mai mare grad de eterogenitate.

• Extinderea mărimii texturale dimensiune de corelaţie la imagini color [8].

Am prezentat această mărimi în contextul discriminării între texturi color avânddiverse complexităţi.

• Introducerea conceptului de pseudo-morfologie matematică probabilistică (PMMP)pentru imagini în nivele de gri şi color [13].

Acest concept determină o abordare ce presupune estimarea extremelor unei mulţimide date scalare, pe baza inecuaţiei lui Cebîşev. Rezultă astfel două pseudo-extremece pot aproxima valorile extreme reale ale distribuţiei. Am realizat extinderea laimagini color prin aplicarea inecuaţiei lui Cebîşev pe prima componentă principalăa vectorilor, generată prin intermediul algoritmului Principal Component Analysis(PCA). Ordonarea pseudo-extremelor rezultate a fost realizată utilizându-se vectoride referinţă, pentru care se cunoaşte o ordonare a priori.

• Propunerea unei abordări pseudo-morfologice (PM-PCA) care să evite generarea deculori false, carecteristice pseudo-morfologiei probabilistice [14].

Principalul dezavantaj al PMMP este reprezentat de introducerea de culori false.Am propus o metodă de evitare a acestui efect, prin alegerea extremelor unei mulţimide date vectoriale pe baza calculului valorilor minime şi maxime de pe prima com-ponentă principală, generată cu ajutorul algoritmului PCA.

• Extinderea la color a mărimilor texturale dimensiune Minkowski-Bouligand, pseudo-granulometrie şi covariaţie morfologică. [13] [10].

Am extins aceste mărimi utilizând cele două pseudo-morfologii propuse (PMMPşi PM-PCA), utilitatea lor fiind prezentată în contextul discriminării între texturicolor, ce se poate realiza pe baza vectorilor rezultaţi.

• Evidenţierea irelevanţei operaţiei de deschidere morfologică, în cazul imaginilor color.

Scopul operaţiei de deschidere morfologică este de a reface structurile distorsionateîn urma operaţiei de erodare. Cu toate acestea, în cazul imaginilor color pot existasituaţii în care, în urma deschiderii, să rezulte culori diferite de cele din imaginea in-iţială. Aşadar, analiza texturilor color prin intermediul operaţiei de granulometrie,


ce se bazează pe operaţia de deschidere morfologică, poate genera rezultate irele-vante. Pentru evitarea acestei probleme, am propus ca pentru analiza texturilorcolor, în locul granulometriei să se utilizeze operaţia de pseudo-granulometrie, cefoloseşte erodarea în locul deschiderii morfologice.

• Propunerea utilizării diferenţei volumelor pentru exprimarea pseudo-granulometrieişi a covariaţiei morfologice [10].

Cele doă mărimi texturale au fost propuse iniţial pe baza evaluării volumului uneiimagini obţinute în urma operaţiei morfologice de erodare. Totuşi, în cazul imagini-lor color pot apărea situaţii în care după aplicarea operaţiei de erodare pe anumiteregiuni diferite, să rezulte culori diferite, dar având acelaşi volum. Variaţia volumu-lui imaginii rezultate, relativ la imaginiea iniţială poate fi însă diferită. Aşadar, ampropus exprimarea mărimilor texturale pseudo-granulometrie şi covariaţie morfolog-ică utilizându-se această variaţie a diferenţei volumelor, în locul volumului imaginiirezultate în urma erodării.

• Utilizarea volumelor necesare estimării dimensiunii Minkowski-Bouligand drept mă-rime texturală.

Acestea au fost utilizate atât pentru imagini în nivele de gri cât şi color, pe baza celordouă pseudo-morfologii propuse (PMMP şi PM-PCA), în ambele cazuri conducândla rezultate mai bune decât cele generate utilizând doar dimensiunea Minkowski-Boulingand. Acest lucru este o consecinţă a faptului că imaginile texturale reale nureprezintă fractali ideali, existând limitări din cauza caracterului discret al imaginilordigitale. Volumele necesare estimării acestei dimensiuni fractale reflectă caracteruleterogen al texturilor.

• Utilizarea mărimilor texturale propuse pentru imagini color în segmentarea imagi-nilor de psoriazis [9] [11] [12].

Am utilizat atât mărimi texturale bazate pe modelarea imaginilor ca obiecte fractale(dimensiunea box counting, dimensiunea de corelaţie, funcţia lacunaritate şi mărimiscalare calculate pa baza acesteia), cât şi mărimi calculate pe baza operaţiilor dinmorfologia matematică (dimensiunea Minkowski-Bouligand, pseudo-granulometriaşi covariaţia morfologică). Anumite mărimi cum ar fi dimensiunea box counting,lacunaritatea sau mărimile scalare propuse pe baza acestei funcţii nu pot fi utilizatedirect în operaţii de segmentare pe baza clasificării. Pe de altă parte, mărimilebazate pe operaţii morfologice conduc la rezultate mai bune decât cele obţinute uti-lizând aceleaşi mărimi, dar definite pe baza morfologiei matematice pentru imaginiîn nivele de gri. Aşadar, se poate concluziona mărimile texturale propuse pot îm-bunătăţi procesele de analiză ale unei imagini texturale, depinzând însă de modulîn care sunt utilizate.

Bibliografie

[1] M. H. Ahmad Fadzil, D. Ihtatho, A. Mohd Affandi, and S. H. Hussein. Objectiveassessment of psoriasis erythema for PASI scoring. Journal of medical engineeringtechnology, 33(7):516–524, 2009.

[2] N.K. Al Abbadi, N.S. Dahir, M.A. AL-Dhalimi, and H. Restom. Psoriasis detectionusing skin color and texture features. Journal of Computer Science, 6(6):648–652,2010.

[3] E. Aptoula and S. Lefèvre. α-trimmed lexicographical extrema for pseudo-morphological image analysis. Journal of Visual Communication and Image Rep-resentation, 19(3):165 – 174, 2008.

[4] J.-M. Bardet. Dimension de correlation locale et dimension de hausdorff des pro-cessus vectoriels continus - local correlation dimension and hausdorff dimension ofcontinuous random fields. Comptes Rendus de l’Academie des Sciences - Series I -Mathematics, 326(5):589 – 594, 1998.

[5] V. Barnett. The ordering of multivariate data. Journal of the Royal StatisticalSociety, 139(3):318 – 355, 1976.

[6] C. G. Bhattacharya. A simple method of resolution of a distribution into Gaussiancomponents. Biometrics, 1:115–135, 1967.

[7] G Bouligand. Ensembles impropres et nombre dimensionnel. Bull. Sci. Math., 52:320– 344, 1928.

[8] B. Budescu, Căliman, A., and M. Ivanovici. The correlation dimension: A videoquality measure. In L. Atzori, J. Delgado, and D. Giusto, editors, Mobile Mul-timedia Communications, volume 79 of Lecture Notes of the Institute for Com-puter Sciences, Social Informatics and Telecommunications Engineering, pages 55–64. Springer Berlin Heidelberg, 2012.

[9] Căliman, A. and M. Ivanovici. Psoriasis image analysis using color lacunarity. InOptimization of Electrical and Electronic Equipment (OPTIM), 2012 13th Interna-tional Conference on, pages 1401–1406, 2012.

[10] Căliman, A., M. Ivanovici, and R. Coliban. Pseudo-granulometry and morpho-logical covariance for color psoriasis image segmentation. Trimis spre recenzie laconferinţa 2013 E-Health and Bioengineering Conference (EHB).

[11] Căliman, A., M. Ivanovici, and N. Richard. Colour fractal dimension for psoriasisimage analysis. In Proceedings of Signal Processing and Applied Mathematics forElectronics and Communications, pages 113–116, Cluj-Napoca, România, August2011.

53

BIBLIOGRAFIE 54

[12] Căliman, A., M. Ivanovici, and N. Richard. Fractal feature-based color imagesegmentation for a healthcare application in dermatology. In Proceedings of the2011 E-Health and Bioengineering Conference (EHB), pages 391–394, Iaşi, România,November 2011.

[13] Căliman, A., M. Ivanovici, and N. Richard. Probabilistic pseudo-morphology forgreyscale and color images. Pattern Recognition, (0):–, 2013.

[14] Căliman, A., M. Ivanovici, N. Richard, and G. Toacse. A multivariate mathemati-cal morphology based on orthogonal transformation, probabilistic extrema estimationand distance optimization. In C. L. Hendriks, G. Borgefors, and R. Strand, editors,Mathematical Morphology and Its Applications to Signal and Image Processing, vol-ume 7883 of Lecture Notes in Computer Science, pages 255–266. Springer BerlinHeidelberg, 2013.

[15] A. Carleer, O. Debeir, and E. Wolff. Assessment of very high spatial resolutionsatellite image segmentations. Phogotrammetric Engineering and Remote Sensing,71(11):1285–1294, 2005.

[16] P. Chebyshev. Des valeurs moyennes. Journal de mathematiques pures et appliquees,2(12):177–184, 1867.

[17] B. A. Davey and H. A. Priestley. Introduction to Lattices and Order. CambridgeUniversity Press, 2 edition, 2002.

[18] Yining Deng, B.S. Manjunath, and Hyundoo Shin. Color image segmentation. IEEEComputer Society Conference on Computer Vision and Pattern Recognition, 2:24–46,1999.

[19] G. Edgar. Measure, Topology, and Fractal Geometry. Springer, 2007.

[20] K. Falconer. Fractal Geometry, mathematical foundations and applications. Johnwiley and Sons, 1990.

[21] K.S. Fu and J.K. Mui. A survey on image segmentation. Pattern Recognition, 13(1):3–16, 1981.

[22] A.Y. Goedkoop, M.A de Rie, M.B.M. Teunissen, D.I. Picavet, P.O. van der Hall,J.D. Bos, P.P. Tak, and M.C. Kraan. Digital image analysis for the evaluation of theinflammatory infiltrate in psoriasis. Archives of Dermatological Research, 297(2):51–59, 2005.

[23] David Delgado Gómez, Line Harder Clemmensen, Bjarne K. Ersbøll, andJens Michael Carstensen. Precise acquisition and unsupervised segmentation of multi-spectral images. Computer Vision and Image Understanding, 106:183–193, May 2007.

[24] R. C. Gonzales and R. E. Woods. Digital image processing. Upper Saddle River, NJ,Prentice Hall, 2007.

[25] Peter Grassberger and Itamar Procaccia. Measuring the strangeness of strange at-tractors. Physica D: Nonlinear Phenomena, 9(1-2):189 – 208, 1983.

BIBLIOGRAFIE 55

[26] R. Haralick, K. Shanmugam, and I. Dinstein. Textural feature for image classification.In IEEE Transactions on System Man and Cybernetics, volume 3(6), pages 610–621,November 1973.

[27] M. Ivanovici, Căliman, A., N. Richard, and C. Fernandez-Maloigne. Towards amultivariate probabilistic morphology for colour images. In Proceedings of the 6thEuropean Conference on Colour in Graphics, Imaging and Vision, pages 189 – 193,Amsterdam, the Netherlands, May 6-9 2012.

[28] M. Ivanovici and N. Richard. The lacunarity of colour fractal images. In ICIP’09 -IEEE International Conference on Image Processing, pages 453–456, Cairo, Egypt,November 7-11 2009.

[29] M. Ivanovici and N. Richard. Fractal dimension of colour fractal images. IEEETransactions on Image Processing, 20(1):227–235, January 2011.

[30] Anil K. Jain. Fundamentals of digital image processing. Prentice-Hall, EnglewoodCliffs, NJ, 1989.

[31] J.M. Keller and S. Chen. Texture description and segmentation through fractalgeometry. Computer Vision, Graphics and Image processing, 45:150–166, 1989.

[32] G. Louverdis, M.I. Vardavoulia, I. Andreadis, and Ph. Tsalides. A new approach tomorphological color image processing. Pattern Recognition, 35(8):1733 – 1741, 2002.

[33] B.B. Mandelbrot. The Fractal Geometry of Nature. W.H. Freeman and Co, New-York, 1982.

[34] P. Maragos. A representation theory for morphological image and signal processing.IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 11(6):586–599,June 1989.

[35] P. Maragos and F.K. Sun. Measuring the fractal dimension of signals: morpho-logical covers and iterative optimization. IEEE Transactions on signal Processing,41(1):108–121, January 1993.

[36] D. Martin, C. Fowlkes, D. Tal, and J. Malik. A database of human segmented naturalimages and its application to evaluating segmentation algorithms and measuringecological statistics. In Proc. 8th International Conference on Computer Vision,volume 2, pages 416–423. July 2001.

[37] F. K. Musgrave, C. E. Kolb, and R. S. Mace. The synthesis and rendering of erodedfractal terrains. SIGGRAPH Comput. Graph., 23(3):41–50, July 1989.

[38] H.O. Peitgen and D. Saupe. The sciences of fractal images. Springer Verlag, 1988.

[39] A. Pentland. Fractal-based description of natural scenes. IEEE Transactions onPattern Analysis and Machine Intelligence, 6(6):661–674, 1984.

[40] M. Petrou and C. Petrou. Image Processing: The fundamentals. John Wiley andSons, 2010.

BIBLIOGRAFIE 56

[41] M. Petrou and P. G. Sevilla. Image Processing: Dealing with Texture. John Wileyand Sons, 2006.

[42] C. Ronse. Why mathematical morphology needs complete lattices. Signal Processing,21(2):129 – 154, 1990.

[43] N. Sarkar and B.B. Chaudhuri. An efficient differential box-counting approach tocompute fractal dimension of image. IEEE Transactions on Systems, Man and Cy-bernetics, 24(1):115–120, January 1994.

[44] J. Serra. Image Analysis and Mathematical Morphology, volume I. Academic Press,1982.

[45] L. Shapiro and G. Stockman. Computer Vision. Prentice Hall, 2000.

[46] K. Sivakumar and J. Goutsias. Discrete morphological size distributions and densi-ties: estimation techniques and applications. Journal of Electronic Imaging, 6(1):31–53, 1997.

[47] P. Soille. Morphological Image Analysis: Principles and Applications. Springer-Verlag, 2002.

[48] M. Tuceryan and A. K. Jain. Texture analysis. In The Handbook of Pattern Recog-nition and Computer Vision, pages 207–248. World Scientific Publishing Co., 1998.

[49] C. Vertan and M. Ciuc. Tehnici fundamentale de Prelucrarea şi Analiza Imaginilor.Matrix Rom, Bucureşti, 2007.

[50] R. Voss. Random fractals : characterization and measurement. Scaling phenomenain disordered systems, 10(1):51–61, 1986.

[51] G. Wyszecki and W. S. Stiles. Color Science: Concepts and Methods, QuantitativeData and Formulae. John Wiley and Sons, 2 edition, 1982.

[52] Yu Jin Zhang. A review of recent evaluation methods for image segmentation. InSignal Processing and its Applications, Sixth International, Symposium on. 2001,volume 1, pages 148–151, 2001.

57

REZUMAT

Obiectivul tezei intitulate ”Caracterizarea texturilor color pentru segmentarea imaginilor de psoriazis” a fost de a studia și propune modalități de analiză a texturilor color. Mărimile scalare sau vectoriale cu ajutorul cărora se pot caracteriza numeric regiuni ale unei imagini sau chiar imagini întregi ce conțin texturi color permit clasificarea texturilor în vederea realizării operației de segmentare. În acest sens, au fost investigate oportunitățile introducerii unor mărimi texturale noi, sau extinderea celor existente pentru imagini în nivele de gri, astfel încât abordările rezultate să țină cont de natura vectorială a valorilor pixelilor din imaginile color. Cercetările s-au concentrat asupra mărimilor obținute în contextul modelării imaginilor folosind teoria fractalilor și a celor bazate pe operații din morfologia matematică, urmărind aplicarea acestor teorii pe i magini color. De asemenea, s-a urmărit aplicarea și validarea utilității mărimilor texturale propuse în contextul segmentării imaginilor texturale reprezentând leziuni de psoriazis. Concluzia prezentei lucrări este că mărimile texturale propuse pot îmbunătăți procesele de analiză ale unei imagini texturale color, acest fapt fiind demonstrat prin generarea unor rezultate mai bune î n urma utilizării acestor mărimi în cadrul operației de segmentare a imaginilor de psoriazis, decât cele obținute pe baza trăsăturilor pentru imagini în nivele de gri.

ABSTRACT

The objective of the thesis entitled “Color texture characterization for psoriasis image segmentation” was to study and propose color texture analysis methods. The scalar or vectorial measures, which may be used for a numerical characterization of an image region or of an entire textural image, allow texture classification in order to achieve image segmentation. In this respect, the opportunities of new textural measures introduction or the extension of the ones existing for grey-level images were investigated, so that the resulted approaches to take into account the vectorial nature of the color pixel values. The research was focused on the measures obtained in the context of image modeling using fractal theory and on those based on mathematical morphology operations, aiming the application of these theories on color images. Also, the validation of the proposed textural measures utility in the context of psoriasis image segmentation was aimed. The conclusion of this paper is that the proposed textural measures may enhance the color textural image analysis processes. This fact was proved by generating better segmentations of psoriasis images using these measures than the results obtained using grey-level features.

58

CURRICULUM VITAE

DATE PERSONALE Nume: CĂLIMAN Prenume: ALEXANDRU Data și locul nașterii: 16.06.1985, Brașov, jud. Brașov Adresa: Str. Ștefan cel Mare, Nr. 15, Sc. D, Ap. 8 500398, Brașov, jud. Brașov E-mail: [email protected]

STUDII

• Octombrie 2010 – Octombrie 2013, Universitatea Transilvania din Brașov, Facultatea de Inginerie Electrică și Știința Calculatoarelor, studii doctorale. Titlul tezei de doctorat: ”Caracterizarea texturilor color pentru segmentarea imaginilor de psoriazis”.

• Octombrie 2009 – Iulie 2011, Universitatea Transilvania din Brașov, Facultatea de Inginerie Electrică și Știința Calculatoarelor, Master: Sisteme Electronice și de Comunicații Integrate

• Octombrie 2004 – Iulie 2009, Universitatea Transilvania din Brașov, Facultatea de Inginerie Electrică și Știința Calculatoarelor, Licența: Electronică Aplicată

EXPERIENȚĂ PROFESIONALĂ

• Octombrie 2010 – Iulie 2013, activități de predare (Bazele Prelucrării Semnalelor, Prelucrarea și Analiza Imaginilor) în cadrul Departamentului de Electronică și Calculatoare, Universitatea Transilvania din Brașov

• Decembrie 2007 – Octombrie 2010, Stagiu de practică în cadrul companiei FotoNation, Brașov

• Iulie 2006 – Septembrie 2006, Stagiu de practică în cadrul companiei Siemens PSE, Brașov

ACTIVITATE ȘTIINȚIFICĂ

• 1 lucrare în jurnal ISI cu factor de impact 2.63 (ca prim autor) • 7 lucrări în proceedings-uri (2 indexate ISI, 4 indexate BDI) ale unor conferințe

internaționale (5 ca prim autor) • participare la conferințe internaționale în Olanda, Suedia și România • stagiu de cercetare în cadrul laboratorului XLIM-SIC, Universitatea din

Poitiers, Franța

mailto:[email protected]

59

CURRICULUM VITAE

PERSONAL INFORMATION Surname: CĂLIMAN Name: ALEXANDRU Birth date and place: 16.06.1985, Brașov, jud. Brașov Address: Str. Ștefan cel Mare, Nr. 15, Sc. D, Ap. 8 500398, Brașov, jud. Brașov E-mail: [email protected]

EDUCATION

• October 2010 – October 2013, Transilvania University of Brasov, Electrical Engineering and Computer Science Faculty, PhD. Thesis title: ”Color texture characterization for psoriasis image segmentation”.

• October 2009 – July 2011, Transilvania University of Brasov, Electrical Engineering and Computer Science Faculty, Masters Degree: Embedded Systems

• October 2004 – July 2009, Transilvania University of Brasov, Electrical Engineering and Computer Science Faculty, Bachelor Degree: Applied Electronics

PROFESIONAL ACTIVITY

• October 2010 – July 2013, teaching activities (Signal Processing, Image Processing and Analysis) within Electronics and Computers Department, Transilvania University of Brasov

• December 2007 – October 2010, Internship within FotoNation, Brasov • July 2006 – September 2006, Internship within Siemens PSE, Brașov

SCIENTIFIC ACTIVITY

• 1 paper in ISI journal with 2.63 impact factor (as first author) • 7 proceedings papers (2 indexed ISI, 4 indexed in International Databases) at

international conferences (5 first author) • participation at international conferences in Netherlands, Sweden and

Romania • research internship within XLIM-SIC laboratory, University of Poitiers, France

mailto:[email protected]

Caracterizarea texturilor color pentru segmentarea ...old.unitbv.ro/Portals/31/Sustineri de...

Documents

Transcript of Caracterizarea texturilor color pentru segmentarea ...old.unitbv.ro/Portals/31/Sustineri de...